Как составить уравнение высоты параллелепипеда

Параллелепипед – это частный случай призмы, у которой основание и грани представляют собой параллелограмм.

Различают несколько разновидностей этой геометрической фигуры – прямой / прямоугольный параллелепипед, наклонный параллелепипед.

Высота параллелепипеда – это отрезок, который соединяет плоскости верхнего основания и нижнего основания параллелепипеда.

Высота перпендикулярна плоскости нижнего основания.

---

Для того, чтобы найти высоту параллелепипеда, можно воспользоваться традиционной формулой:

H = V / S.

H – высота параллелепипеда, V – объём параллелепипеда, S – площадь основания.

При этом объём параллелепипеда вычисляется по формуле: S = a * b * c, где a,b и c – это длины 3 измерений.

Что касается площади основания, то здесь может быть несколько случаев.

Если основание представляет собой параллелограмм, то S = a * b * sin(ab) – произведение 2 сторон на синус угла между ними.

Если мы имеем дело с прямоугольным параллелепипедом, то S = a * b – произведение 2 сторон.

Пример:

Боковое ребро наклонного параллелепипеда равно 10 см. Стороны основания равны 4 и 6 см, а угол между ними равен 30 градусов. Нужно найти высоту параллелепипеда.

1) V = 4 * 6 * 10 = 240 см3.

2) S = 4 * 6 * sin30° = 24 * 0,5 = 12 см.

3) H = V / S = 240 / 12 = 20 см.

Значит, высота параллелепипеда будет равна 20 см.

_

В случае с прямоугольным параллелепипедом всё немного проще.

Здесь высота будет совпадать с длиной грани (ребром) данной фигуры. Поэтому для нахождения высоты достаточно вычислить, чему равно боковое ребро.

Общая характеристика

В мире имеется множество предметов с формой параллелепипеда. Люди обычно не задумываются об этом, но архитектура и различные массивные строения состоят из нескольких граней. Выглядеть параллелепипед может по-разному в зависимости от типа.

Основные понятия и классификация

Определение параллелепипеда, пирамиды, куба и других многогранников было известно с древнейших времен. Основными характеристиками являются простота и значимость.

Выведенные формулы V и S значимы для решения различных задач с практическим содержанием и доказательства теорем (по чертежам). Виды параллелепипеда:

1. Прямой. Четыре боковые грани имеют углы по 90 градусов.
2. Прямоугольный. Каждая сторона фигуры является прямоугольной.
3. Наклонный.
4. Двугранный, трехгранный. Состоит из нескольких граней под углом 90 градусов.
5. Наклонный, диагональный. Боковые грани не перпендикулярны основаниям.
6. Ромбоэдр. Стороны являются одинаковыми ромбами.
7. Куб. Параллелепипед с равными (квадратными) сторонами.

В 6 классе на уроке геометрии изучают планиметрию (плоские фигуры). Здесь представлена развертка плоскостей.

Две стороны параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а содержащие единую линию — смежными. С точки зрения плоскостей, расположенных параллельно, внутри пересекаются три их пары. Эти вершины соединяет отрезок — диагональ. Длина трех ребер правильного многогранника называется измерением. Главным условием является общая вершина.

При решении задач важно понятие высоты — перпендикуляра, опущенного из любой вершины на обратную сторону. Грань, на которую опускается высота, считается основанием. Свойства параллелепипеда:

• любые стороны являются параллелограммами (с симметрией);
• стороны, расположенные друг против друга, будут параллельными и равными.

Кирпич — отличный пример прямоугольного параллелепипеда (ПП). Также его форму имеют девятиэтажные панельные дома, шифоньеры, шкафы-купе, контейнеры для хранения продуктов и прочие предметы быта.

Диагонали поверхности пересекаются и этой центральной точкой делятся на несколько частей. Они равны d2=a2+b2+c2

Грани параллелепипеда спереди и сзади равнозначны, также как верхняя и нижняя стороны, но не равны, поскольку не противоположные, а смежные.

Формулы и анализ

Для ПП верно мнение, что его объем равен величине тройного произведения векторов трех сторон, исходящих из единой вершины. Формулы для ПП:

1. V=a*b*c.
2. S б =2*c*(a+b).
3. S п =2*(a*b+b*c+a*c).

Расшифровка обозначений: V — объем фигуры, S — площадь поверхности, a — длина, b — ширина, c — высота.

Особым случаем параллелепипеда, в котором все стороны квадраты, является куб. Если любую из сторон обозначить буквой a, то для поверхности и объема используются формулы: S=6*a*2, V=3*а. В них V — объем фигуры, a — длина грани.

Последняя разновидность параллелепипеда — прямой тип. Его основанием будет параллелограмм, а основанием ПП — прямоугольник. Формулы, используемые в математике и геометрии: Sб=Ро*h, Sп=Sб+2Sо, V=Sо*h.

Для нахождения ответов недостаточно знать только свойства геометрической фигуры. Могут пригодиться формулы для вычисления S и V.

Диагональ ПП равна сложению квадратов его измерений: d2 = a2 + b2 + c2. Эта формула получается из теоремы Пифагора.

∆BAD — прямоугольный, поэтому BD2 = AB2 + AD2 = b2 + c2.

∆BDD1 является прямоугольным, значит, BD12 = BD2 + DD12. Нужно подставить значение: d2 = a2 + b2 + c2.

Стандартная формула: V= Sосн*h. Расшифровка обозначений: V — объем параллелепипеда, Sосн — площадь основания, h — высота.

S находится так же, как показатель параллелограмма или прямоугольника. При решении тестов и экзаменационных задач легче вычислять показатели призмы, в основе которой находится прямой угол. Также может пригодиться формула расчета стороны параллелепипеда Sбок = P*h, где:

• Sбок — площадь параллелепипеда;
• Р — периметр;
• h — высота, перпендикулярная основанию.

Объем фигуры равен величине смешанного произведения нескольких векторов, выпущенных из единой точки.

Практическое применение

Для вычисления объема, высоты и прочих характеристик фигуры нужно знать теоретические основы и формулы. Решение задач входит в программу сдачи ЕГЭ и билеты при поступлении в вуз.

Доказательство теорем

Теоретически S боковой поверхности ПП равна S б. п. = 2 (a+b)c. S полной поверхности равна Sполн. поверхности ПП=2 (ab+ac+bc).

Объем ПП равен произведению трех его боковых частей, выходящих из единой вершины (три измерения ПП): abc.

Доказательство: так как у ПП боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами — h=AA1=c. Если в основании лежит прямоугольник, то Sосн=AB ⋅ AD=ab. Диагональ d ПП можно найти по формуле d2=a2+b2+c2, где a, b, c — измерения ПП.

Если в основании расположен прямоугольник, то △ ABD прямоугольный, значит, по теореме Пифагора BD2=AB2+AD2=a2+b2. Если все боковые грани перпендикулярны основной линии, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD.

Когда △ BB1D прямоугольный, то по теореме Пифагора B1D=BB12+BD2.

Решение задач

Задача 1: известны ПП: 3, 4, 12 см, необходимо найти длину главной диагонали фигуры.

Поиск ответа на вопрос начинается с выстраивания схематического изображения, на котором означаются величины. Используется формула B1D2 = AB2 + AD2 + AA12. После вычислений получается выражение b2=169, b=13.

Задача 2: ребра ПП, выходящие из общей точки, равны 3 и 4, общая S — 94. Нужно найти третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ребра обозначаются а1 и а2, а неизвестное — а3. Площадь поверхности выражается S = 2 (a1a2 + a1a3 + a2a3).

Далее получаем a3 (a1 + a2) = S/2 — a1a2. Неизвестное ребро: a3 = S/2 — a1a2/a1 + a2 = 47−12/7 = 5.

Задача 3: два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из общей точки, составляют 72 и 18, диагональ равна 78. Нужно определить объем фигуры.

Для решения требуется найти диагональ по формуле вычисления квадратного корня из суммы (a2 + b2 + c2), где a, b, c — ребра фигуры. 78 — корень из суммы 722 + 182 + c2. Решение:

• 78 = корень из суммы 5508+с2
• 782 = 5508 + с2
• с2 = 6084 — 5508.
• С2 = 576.

Ответ: объем составляет 576.

Задача 4: ребро наклонного параллелепипеда составляет 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см является сечением фигуры, параллельным ребру. Нужно определить площадь боковой поверхности призмы.

KL и AD не являются равными, как пара ML и DC. Боковая S фигуры эквивалентна S сечения, умноженной на AA1, так как ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см².

Задача 5: ABCDA1B1C1D1 = 3, 4 см, боковое ребро — 12 см. Нужно определить диагональ ПП.

В основании лежит прямоугольник со сторонами АВ 3 см и AD 4 см. Боковое ребро составляет 3 см. BB1 является высотой ПП и равняется 12 см. Диагональ B1D2 = AB2 + BB1 2 += 9+16+144 = 169. B1D= 13 см.

Задача 6: основанием ПП служит квадрат, одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижней части. Нужно найти высоту фигуры, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро — 5 см.

Одна из вершин основания (F) равнозначно удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда. Вместе с диагональю нижней части (AC) она образует равнобедренный ∆AFC. AF = AC по условию. AF является ребром фигуры.

В равнобедренном ∆AFC стороны одинаковы: AF=FC=5 см, AC=8 см. Высота ∆AFC будет являться высотой параллелепипеда.

Высота треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора она равна:

• FK2 + (AC/2)2 = FC2;
• FK2 + 16 = 25;
• FK2 =25−16 = 9;
• FK = 3 см.

Высота фигуры составляет 3 см.

Установленные теоремы, доказательства, а также выведенные формулы помогают вычислить различные значения для фигуры.

8

Даны вершины
треугольника.
Найти:

1. длину стороны ВС;

2. уравнение высоты ВС;

3. уравнение высоты, проведённой из вершины
   А;

4. длину высоты, проведённой из вершины
   А;

5. угол В.

Сделать чертёж.

Дано: А(-8;3), В(4;-2), С(7;2).

РЕШЕНИЕ

1. Длину стороны ВС находим по формуле
   .
   По условию имеем В(4;-2), С(7;2).

1. Найдём уравнение стороны ВС. Найдём
   уравнение прямой, на которой лежит
   сторона ВС. Используем уравнение прямой,
   проходящей через две точки
   ,
   полагая
   

1. Найдём уравнение высоты, проведённой
   из вершины А. При составлении уравнения
   прямой, на которой лежит высота
   треугольника, воспользуемся формулой
   
   и условием перпендикулярности двух
   прямых
   :

Определим угловой коэффициент прямой
ВС. Для этого разрешим уравнение стороны
ВС относительно у:

Следовательно, высота, проведённая из
точки А, имеет угловой коэффициент

Тогда, уравнение высоты, опущенной из
вершины А(-8;3) на сторону ВС:

1. Найдём длину высоты, проведённой из
   вершины А. Она равна расстоянию от точки
   А(-8;3) до прямой ВС заданной уравнением
   .
   По формуле
   
   вычисляем расстояние от точки А до
   прямой ВС, полагая
   

1. Найдём угол В. Угол В равен углу между
   прямыми ВС и АВ и может быть найден с
   помощью формулы
   .
   Угловой коэффициент прямо ВС известен
   и равен
   .
   Найдём угловой коэффициент прямой АВ
   по формуле:
   

Тогда получаем,

И угол равен

Выполним чертёж. В прямоугольной
декартовой системе координат хОу строим
исходные точки и получаем треугольник
АВС. Затем из вершины А опустим
перпендикуляр на сторону ВС, получим
АК.

18

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.
Найти:

1. координаты вектора
   
   и длину ребра
   ;

2. угол между рёбрами
   
   и
   ;

3. площадь грани
   ;

4. объём пирамиды;

5. уравнение плоскости
   ;

6. уравнение прямой
   ;

7. угол между ребром
   
   и гранью
   ;

8. уравнение высоты, опущенной из вершины
   
   на грань
   ;

Сделать чертёж.

Дано: А₁(7;2;2), А₂(5;7;7), А₃(5;3;1),
А₄(2;3;7).

РЕШЕНИЕ

1. Вектор
   
   равен

Длину ребра

можно найти как расстояние между двумя
точками

и
,
оно равно

Получаем

1. Угол между рёбрами
   
   и
   
   найдём как угол между векторами
   
   и
   .

Вектор

Таким образом, имеем два вектора

и
,
угол между ними найдём по формуле:

Скалярное произведение двух векторов
в числителе дроби находили как сумму
произведений одноимённых координат
(проекций).

1. Площадь грани
   
   равна половине площади параллелограмма,
   построенного на векторах, как на
   сторонах. И площадь треугольника
   
   можно вычислить через векторное
   произведение
   

Координаты вектора

или

Векторное произведение вычислим через
определитель 3-го порядка, разложив его
по элементам первой строки:

Модуль векторного произведения

1. Объём треугольной пирамиды А₁А₂А₃А₄
   можно рассматривать как одну шестую
   часть объёма параллелепипеда, построенного
   на векторах
   ,
   
   и
   
   как на рёбрах:

Смешанное произведение трёх векторов
равно

1. Уравнение плоскости
   
   имеет вид

или для нашей задачи

Разложим определитель по элементам
первой строки:

1. Уравнения прямой
   
   найдём в канонической форме, для этого
   воспользуемся уравнением прямой,
   проходящей через две заданные точки
   
   и
   :

,

1. Углом ψ между ребром
   
   и гранью
   
   будет острый угол между прямой
   
   и её проекцией на плоскость
   .
   Для нахождения угла ψ воспользуемся
   формулой

Канонические уравнения прямой

получим как:

Отсюда l=5; m=1;
n=-5, где l,
m, n –
координаты направляющего вектора прямой
:

;

Уравнение плоскости

было получено в пункте 5:

Отсюда А=5; В=7; С=-4, где А, В, С – координаты
нормального вектора плоскости
:

Тогда получаем

1. Уравнения высоты, опущенной из вершины
   
   на грань
   .

Канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
,
имеют вид
,
где l, m, n
– координаты направляющего вектора
прямой.

Так как высота перпендикулярна плоскости
,
то из условия перпендикулярности прямой
и плоскости

координаты направляющего вектора
прямой, перпендикулярной плоскости
можно заменить координатами нормального
вектора плоскости l=A=5;
m=B=7; n=C=-4.

Окончательно получим

Выполним чертёж пирамиды как пересечения
плоскостей её граней:

Грань А₁А₂А₄:

Грань А₁А₂А₃:

Грань А₁А₃А₄:

Грань А₂А₃А₄:

28

Составить уравнение и построить линию,
каждая точка которой равноотстоит от
оси ординат и от окружности

РЕШЕНИЕ

В системе координат хОу строим ось
ординат х=0 и окружность

Пусть точка М(х; у) – произвольная точка
искомого геометрического места точек.
Опустим перпендикуляры на ось ординат
и на окружность.

Тогда расстояние от произвольной точки
М(х; у) до оси ординат
–
абсцисса точки М(х; у), а расстояние от
точки М(х; у) до окружности
.
Приравнивая эти расстояния и снимая
знак модуля, получаем

Получили уравнение параболы, строим
верхнюю часть окружности и параболы,
так как чертёж симметричный:

Соседние файлы в папке Приборостроителям

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #