Как составить векторное уравнение плоскости

35

36

9. Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от произвольной точки M0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно:

d = Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B2 + C 2

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2,-1,4) и В(3,2,-1) перпендикулярно плоскости x + y + 2z − 3 = 0 .

Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0 , вектор нормали к этой плоскости n1 (A,B,C). Вектор AB (1,3,-5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость,

перпендикулярная искомой имеет вектор нормали n2 (1,1,2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

n = AB × n			i	j	k	= i		3	− 5		− j		1	− 5		+ k		1	3		= 11i − 7 j − 2k.
2	=	1	3	− 5
1							1	2				1	2				1	1
			1	1	2

Таким образом, вектор нормали n1 (11,-7,-2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е.

11.2+ 7.1− 2.4 + D = 0; D = −21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x − 7 y − 2z − 21 = 0

10.Уравнение линии в пространстве

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0 . Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана какимлибо уравнением.

Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

F(x, y, z) = 0

Тогда пару уравнений Ф(x, y, z) = 0 назовем уравнением линии в пространстве.

11. Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору

Возьмем произвольную прямую и вектор S (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор S называется направляющим вектором прямой.

На прямой возьмем две произвольные точки M0 (x0 , y0 , z0 ) и M (x, y, z) .

z

37

38

Содержание

• Уравнения плоскости в координатной форме
  • Общее уравнение плоскости
  • Уравнение плоскости, проходящей через три точки
  • Параметрические уравнения плоскости
• Уравнения плоскости в векторном виде
  • Векторное параметрическое уравнение плоскости
  • Нормальное векторное уравнение плоскости
  • Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Определение. Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости.

Уравнения плоскости в координатной форме

Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат:

   

при этом вектор с координатами является нормальным вектором к плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой, можно получить, если решить систему уравнений

   

Здесь и — координаты трёх точек плоскости. Заметим, что уравнений в системе три, а переменных — четыре. То есть решение этой системы мы получаем с точностью до коэффициента. Этот коэффициент роли не играет — после подстановки решения в уравнение плоскости на него можно сократить. Рассмотрим это на примере.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и

Решение. Составляем систему уравнений

   

Числа выражаем через :

   

Получаем уравнение плоскости

   

или, после сокращения на ,

   

Параметрические уравнения плоскости:

   

Здесь — некоторая точка плоскости, и  — координаты направляющих веторов плоскости, — параметры.

Уравнения плоскости в векторном виде

 Векторное параметрическое уравнение плоскости:

   

где — направляющие векторы плоскости, — радиус-вектор некоторой фиксированной точки плоскости.

Это уравнение также можно записать в виде

   

То есть для того, чтобы вектор был радиус-вектором некоторой точки плоскости, необходимо, чтобы вектора и лежали в одной плоскости, то есть их смешанное произведение было равно нулю.

Нормальное векторное уравнение плоскости:

   

где — нормальный вектор плоскости.

Это уравнение также можно записать в виде

   

Если вектор — единичный (его длина равна ), то величина есть расстояние от точки до плоскости. Смысл этого уравнения в том, что проекция радиус-вектора любой точки плоскости на нормаль к ней есть постоянная величина, равная расстоянию до этой плоскости.

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве. Пусть нам дана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x , y , и z , которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек. Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства, можно определить уравнением A x + B y + C z + D = 0 . В свою очередь, любое уравнение A x + B y + C z + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A , B , C , D – некоторые действительные числа, и числа A , B , C не равны одновременно нулю.

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 . Допустим, задана некоторая плоскость и точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n → = ( A , B , C ) . Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат O x y z задает уравнение A x + B y + C z + D = 0 .

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M ( x , y , z ) .В таком случае векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n → , M 0 M → = A x – x 0 + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = A x + B y + C z – ( A x 0 + B y 0 + C z 0 )

Примем D = – ( A x 0 + B y 0 + C z 0 ) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: A x + B y + C z + D = 0 . Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А , B , C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C z + D = 0 , т.е. верным будет равенство A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 . Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Получим уравнение вида

A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) + D = 0 , и оно эквивалентно уравнению A x + B y + C z + D = 0 . Докажем, что уравнение A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 . Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) + D = 0 множество точек M ( x , y , z ) задает плоскость, у которой нормальный вектор n → = ( A , B , C ) . При этом плоскость проходит через точку M ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Иначе говоря, уравнение A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение A x + B y + C z + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , где λ – некое действительное число, не равное нулю. Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением A x + B y + C z + D = 0 , поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства. Например, уравнения x – 2 · y + 3 · z – 7 = 0 и – 2 · x + 4 · y – 2 3 · z + 14 = 0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 ( при конкретных значениях чисел A , B , C , D ). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 , и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости. В свою очередь, уравнение 4 x + 5 y – 5 z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением A x + B y + C z + D = 0 в том случае, когда подставив координаты точки M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) в уравнение A x + B y + C z + D = 0 , мы получим тождество.

Заданы точки M 0 ( 1 , – 1 , – 3 ) и N 0 ( 0 , 2 , – 8 ) и плоскость, определяемая уравнением 2 x + 3 y – z – 2 = 0 . Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение

Подставим координаты точки М 0 в исходной уравнение плоскости:

2 · 1 + 3 · ( – 1 ) – ( – 3 ) – 2 = 0 ⇔ 0 = 0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M 0 ( 1 , – 1 , – 3 ) принадлежит заданной плоскости.

Аналогично проверим точку N 0 . Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2 · 0 + 3 · 2 – ( – 8 ) – 2 = 0 ⇔ 12 = 0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N 0 ( 0 , 2 , – 8 ) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной плоскости; точка N 0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n → = ( A , B , C ) – нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением A x + B y + C z + D = 0 . Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2 x + 3 y – z + 5 = 0 . Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x , y , z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n → исходной плоскости имеет координаты 2 , 3 , – 1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ · n → = λ · 2 , λ · 3 , – λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Ответ: λ · 2 , λ · 3 , – λ , λ ∈ R , λ ≠ 0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n → = ( A , B , C ) является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором n → = ( A , B , C ) будет выглядеть так: A x + B y + C z + D = 0 . По условию задачи точка M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство: A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения A x 0 + B y 0 + C z 0 + D = 0 , получим уравнение вида A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0 . Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) и имеющей нормальный вектор n → = ( A , B , C ) .

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М ( x , y , z ) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n → = ( A , B , C ) и M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n → , M 0 M → = A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0

Задана точка М 0 ( – 1 , 2 , – 3 ) , через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n → = ( 3 , 7 , – 5 ) . Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x 0 = – 1 , y 0 = 2 , z 0 = – 3 , A = 3 , B = 7 , C = – 5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0

3 ( x – ( – 1 ) ) + 7 ( y – 2 ) – 5 ( z – ( – 3 ) ) = 0 ⇔ 3 x + 7 y – 5 z – 26 = 0

1. Допустим, М ( x , y , z ) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M 0 M → по координатам точек начала и конца:

M 0 M → = ( x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ) = ( x + 1 , y – 2 , z + 3 )

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n → , M 0 M → = 0 ⇔ 3 ( x + 1 ) + 7 ( y – 2 ) – 5 ( z + 3 ) = 0 ⇔ ⇔ 3 x + 7 y – 5 z – 26 = 0

Ответ: 3 x + 7 y – 5 z – 26 = 0

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А , B , C , D отличны от нуля, общее уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 называют полным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

1. В случае, когда D = 0 , мы получаем общее неполное уравнение плоскости: A x + B y + C z + D = 0 ⇔ A x + B y + C z = 0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О ( 0 , 0 , 0 ) , то придем к тождеству:

A · 0 + B · 0 + C · 0 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

1. Если А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: B y + C z + D = 0 , или A x + C z + D = 0 , или A x + B y + D = 0 . Такие плоскости параллельны координатным осям О x , O y , O z соответственно. Когда D = 0 , плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей B y + C z + D = 0 , A x + C z + D = 0 и A x + B y + D = 0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям O y z , O x z , O z y соответственно.

1. При А = 0 , В = 0 , С ≠ 0 , или А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , или А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 получим общие неполные уравнения плоскостей: C z + D = 0 ⇔ z + D C = 0 ⇔ z = – D C ⇔ z = λ , λ ∈ R или B y + D = 0 ⇔ y + D B = 0 ⇔ y = – D B ⇔ y = λ , λ ∈ R или A x + D = 0 ⇔ x + D A = 0 ⇔ x = – D A ⇔ x = λ , λ ∈ R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям O x y , O x z , O y z соответственно и проходят через точки 0 , 0 , – D C , 0 , – D B , 0 и – D A , 0 , 0 соответственно. При D = 0 уравнения самих координатных плоскостей O x y , O x z , O y z выглядят так: z = 0 , y = 0 , x = 0

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости O y z и проходящая через точку М 0 ( 7 , – 2 , 3 ) . Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z , а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости A x + D = 0 , A ≠ 0 ⇔ x + D A = 0 . Поскольку точка M 0 ( 7 , – 2 , 3 ) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости x + D A = 0 , иначе говоря, должно быть верным равенство 7 + D A = 0 . Преобразуем: D A = – 7 , тогда требуемое уравнение имеет вид: x – 7 = 0 .

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости O y z . Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости O y z : i → = ( 1 , 0 , 0 ) . Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:

A ( x – x 0 ) + B ( y – y 0 ) + C ( z – z 0 ) = 0 ⇔ ⇔ 1 · ( x – 7 ) + 0 · ( y + 2 ) + 0 · ( z – 3 ) = 0 ⇔ ⇔ x – 7 = 0

Ответ: x – 7 = 0

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости O x y и проходящая через начало координат и точку М 0 ( – 3 , 1 , 2 ) .

Решение

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости O x y определяется общим неполным уравнением плоскости A x + B y + D = 0 ( А ≠ 0 , В ≠ 0 ) . Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D = 0 и уравнение плоскости принимает вид A x + B y = 0 ⇔ x + B A y = 0 .

Найдем значение B A . В исходных данных фигурирует точка М 0 ( – 3 , 1 , 2 ) , координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: – 3 + B A · 1 = 0 , откуда определяем B A = 3 .

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x + 3 y = 0 .

Уравнения плоскости, компланарной двум неколлинеарным векторам

Напомним, что три или более векторов называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны. Эту плоскость будем называть компланарной заданным векторам .

Направляющими векторами плоскости называются два неколлинеарных вектора, компланарных этой плоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей.

Пусть в координатном пространстве заданы:

б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).

Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку

Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим — радиус-векторы точек и (рис.4.16).

Условие компланарности векторов (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения Применяя формулу (1.17), получаем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и компланарной двум неколлинеарным векторам:

Параметрическое уравнение плоскости

Пусть в координатном пространстве заданы:

б) два неколлинеарных вектора (рис.4.15).

Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам и проходящей через точку

Выберем на плоскости произвольную точку . Обозначим -радиус-векторы точек и (рис.4.16).

Точка принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны (см. разд. 1.3.2). Запишем условие компланарности: где — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что получим векторное параметрическое уравнение плоскости :

где — направляющие векторы плоскости, а — радиус-вектор точки, принадлежащей плоскости.

Координатная форма записи уравнения (4.19) называется параметрическим уравнением плоскости:

где и — координаты направляющих векторов и соответственно. Параметры в уравнениях (4.19),(4.20) имеют следующий геометрический смысл: величины пропорциональны расстоянию от заданной точки до точки принадлежащей плоскости. При точка совпадает с заданной точкой . При возрастании (или ) точка перемещается в направлении вектора (или ), а при убывании (или ) — в противоположном направлении.

1. Поскольку направляющие векторы плоскости неколлинеарны, то они ненулевые.

2. Любой вектор , коллинеарный плоскости, ортогонален нормальному вектору для этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:

Следовательно, координаты и направляющих векторов и плоскости и ее нормали связаны однородными уравнениями:

3. Направляющие векторы плоскости определяются неоднозначно.

4. Для перехода от общего уравнения плоскости (4.15) к параметрическому (4.20) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение уравнения определяя тем самым координаты точки принадлежащей плоскости;

2) найти любые два линейно независимых решения однородного уравнения определяя тем самым координаты решения и направляющих векторов и плоскости;

3) записать параметрическое уравнение (4.20).

5. Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему , достаточно либо записать уравнение (4.18) и раскрыть определитель, либо найти нормаль как результат векторного произведения направляющих векторов:

и записать общее уравнение плоскости в форме (4.14):

6. Векторное параметрическое уравнение плоскости (4.19), полученное в прямоугольной системе координат, имеет тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении остается прежним.

Пример 4.8. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы точки и (см. рис.4.11). Требуется:

а) составить параметрическое уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину;

б) составить общее уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка и компланарной радиус-векторам и

Решение. а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: Составим параметрическое уравнение:

1) находим любое решение уравнения , например, следовательно, точка принадлежит плоскости;

2) находим два линейно независимых (непропорциональных) решения однородного уравнения например и следовательно, векторы являются направляющими для плоскости;

3) записываем параметрическое уравнение плоскости (4.20):

б) Координаты середины отрезка были найдены в примере 4.5. Нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение ее направляющих векторов и

Составляем уравнение (4.14):

Тот же результат можно получить, записывая уравнение (4.18):

Векторное уравнение плоскости

Кроме того, плоскость может быть описана с помощью точки и вектора, перпендикулярного плоскости, называемой нормальным вектором.

Векторное уравнение плоскости имеет следующий вид:

Параметрическое уравнение → Векторное уравнение

Метод

1. Примите вектор положения из параметрического уравнения
2. Вычислите нормальный вектор
   • Вариант 1: используйте скалярное произведение
   • Вариант 2: используйте перекрестное произведение векторов
3. Вставьте вектор положения и нормальный вектор

Подсказка

Например

Вектор положения

Нормальный вектор

Вариант 1

Поскольку оба вектора направления перпендикулярны нормальному вектору $vec=begin x \ y \ z end$, скалярное произведение должно привести к нулю.

Теперь можно вычислить скалярное произведение.

Выберите любое значение $z$ , например $z=4$

Вычислите $x$, используя I. (вставьте $y$)

Вариант 2

Теперь мы вычисляем только перекрестное произведение векторов.

Вставьте

$text left(vec – begin 2 \ 1 \ 1 endright) cdot begin 2 \ -2 \ 4 end=0$

Векторное уравнение → параметрическое уравнение

Метод

1. Примите вектор положения, векторного уравнения
2. Используйте скалярное произведение для определения вектора направления
3. Вставьте вектор положения и вектор направления

Подсказка

Например

$text left(vec – begin 2 \ 1 \ 1 endright) cdot begin 2 \ -2 \ 4 end=0$

Вектор положения

Вектор направления

Используя нормальный вектор, мы можем определить оба вектора направления, необходимые для Параметрического уравнения.

1. Вектор направления

Должен быть найден вектор, с которым скалярное произведение равно нулю.

Особенно легко заменить первую координату на 0,а затем поменять местами две другие координаты и изменить знак.

2 Вектор направления

Здесь последняя координата должна быть заменена на 0, а две другие координаты должны изменить знак.

Вставьте

$text vec = begin 2 \ 1 \ 1 end + r cdot begin 0 \ -4 \ -2 end$ $+ s cdot begin -2 \ -2 \ 0 end$

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=uravneniya-ploskosti-komplanarnoi-dvum-nekollinyearnym-vektoram

http://lakschool.com/ru/matematika/ploskosti/vektornoe-uravnenie-ploskosti

[/spoiler]

1. Поверхности и линии первого порядка.

   Начать изучение
   

2. Параметрические уравнения прямой и плоскости.

   Начать изучение
   

3. Прямая линия на плоскости.

   Начать изучение
   

4. Векторные уравнения плоскости и прямой.

   Начать изучение
   

5. Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.

   Начать изучение
   

6. Уравнения прямой в пространстве.

   Начать изучение
   

Поверхности и линии первого порядка.

Уравнение первой степени, или линейное уравнение, связывающее координаты точки в пространстве, имеет вид
$$
Ax+By+Cz+D = 0,label{ref1}
$$
причем предполагается, что коэффициенты при переменных не равны нулю одновременно, то есть (A^{2}+B^{2}+C^{2} neq 0). Аналогично, линейное уравнение, связывающее координаты точки на плоскости, — это уравнение
$$
Ax+By+C = 0,label{ref2}
$$
при условии (A^{2}+B^{2} neq 0).

В школьном курсе доказывается, что в декартовой прямоугольной системе координат уравнения eqref{ref1} и eqref{ref2} определяют соответственно плоскость и прямую линию на плоскости. Из теорем о порядке алгебраических линий и поверхностей  следует, что то же самое верно и в общей декартовой системе координат. Точнее, имеют место следующие теоремы.

Эти теоремы полностью решают вопрос об уравнениях плоскости и прямой линии на плоскости. Однако ввиду важности этих уравнений мы рассмотрим их в других формах. При этом будут получены независимые доказательства теорем этого пункта.

---

Параметрические уравнения прямой и плоскости.

Прямая линия (на плоскости или в пространстве) полностью определена, если на ней задана точка (M_{0}) и задан ненулевой вектор (boldsymbol{a}), параллельный этой прямой. Разумеется, и точку, и вектор можно выбрать по-разному, но мы будем считать, что они как-то выбраны, и называть их начальной точкой и направляющим вектором. Аналогично, плоскость задается точкой и двумя неколлинеарными векторами, ей параллельными, — начальной точкой и направляющими векторами плоскости.

Мы будем предполагать, что задана декартова система координат в пространстве (или на плоскости, если мы изучаем прямую в планиметрии). Это, в частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-вектор относительно начала координат.

Пусть дана прямая. Обозначим через (boldsymbol{r}_{0}) и (boldsymbol{a}) соответственно радиус-вектор ее начальной точки (M_{0}) и направляющий вектор. Рассмотрим некоторую точку (M) с радиус-вектором (boldsymbol{r}) (рис. 6.1).

Вектор (overrightarrow{M_{0}M} = boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}), начало которого лежит на прямой, параллелен прямой тогда и только тогда, когда (M) также лежит на прямой. В этом и только этом случае для точки (M) найдется такое число (t), что
$$
boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0} = tboldsymbol{a}.label{ref3}
$$

Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу eqref{ref3} в качестве (t), вектор (boldsymbol{r}) в этой формуле определит некоторую точку на прямой.

Уравнение eqref{ref3} называется векторным параметрическим уравнением прямой, а переменная величина (t), принимающая любые вещественные значения, называется параметром.

Векторное параметрическое уравнение выглядит одинаково и в планиметрии, и в стереометрии, но при разложении по базису оно сводится к двум или трем скалярным уравнениям, смотря по тому, сколько векторов составляют базис.

Рассмотрим прямую в пространстве. Пусть ((x, y, z)) и ((x_{0}, y_{0}, z_{0})) — координаты точек (M) и (M_{0}), соответственно, а вектор (boldsymbol{a}) имеет компоненты ((a_{1}, a_{2}, a_{3})). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения eqref{ref3}, мы получим
$$
x-x_{0} = a_{1}t, y-y_{0} = a_{2}t, z-z_{0} = a_{3}t.label{ref4}
$$
Для прямой на плоскости мы получаем, аналогично,
$$
x-x_{0} = a_{1}t, y-y_{0} = a_{2}t.label{ref5}
$$
Уравнения eqref{ref4} или eqref{ref5} называются параметрическими уравнениями прямой.

Получим теперь параметрические уравнения плоскости. Обозначим через (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) ее направляющие векторы, а через (boldsymbol{r}_{0}) — радиус-вектор ее начальной точки (M_{0}). Пусть точка (M) с радиус-вектором (boldsymbol{r}) — произвольная точка пространства (рис. 6.2).

Вектор (overrightarrow{M_{0}M} = boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}), начало которого лежит на плоскости, параллелен ей тогда и только тогда, когда его конец (M) также лежит на плоскости. Так как (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) не коллинеарны, в этом и только этом случае (boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}) может быть по ним разложен. Поэтому, если точка (M) лежит в плоскости (и только в этом случае), найдутся такие числа (t_{1}) и (t_{2}), что
$$
boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0} = t_{1}boldsymbol{p}+t_{2}boldsymbol{q}.label{ref6}
$$

Это уравнение называется параметрическим уравнением плоскости. Каждой точке плоскости оно сопоставляет значения двух параметров (t_{1}) и (t_{2}). Наоборот, какие бы числа мы ни подставили как значения (t_{1}) и (t_{2}), уравнение eqref{ref6} определит некоторую точку плоскости.

Пусть ((x, y, z)) и ((x_{0}, y_{0}, z_{0})) — координаты точек (M) и (M_{0}) соответственно, а векторы (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}) имеют компоненты ((p_{1}, p_{2}, p_{3})) и ((q_{1}, q_{2}, q_{3})). Тогда, раскладывая по базису обе части уравнения eqref{ref6}, мы получим параметрические уравнения плоскости
$$
x-x_{0} = t_{1}p_{1}+t_{2}q_{1}, y-y_{0} = t_{1}p_{2}+t_{2}q_{2}, z-z_{0} = t_{1}p_{3}+t_{2}q_{3}.label{ref7}
$$

Отметим, что начальная точка и направляющий вектор прямой образуют на ней ее внутреннюю декартову систему координат. Значение параметра (t), соответствующее какой-то точке, является координатой этой точки во внутренней системе координат. Точно так же на плоскости начальная точка и направляющие векторы составляют внутреннюю систему координат, а значения параметров, соответствующие точке, — это ее координаты в этой системе.

---

Прямая линия на плоскости.

Параметрическое уравнение прямой утверждает, что точка (M) лежит на прямой тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки (M_{0}) коллинеарна направляющему вектору (boldsymbol{a}). Пусть в некоторой общей декартовой системе координат на плоскости заданы координаты точек и вектора (M(x, y)), (M_{0}(x_{0}, y_{0})), (boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2})). Тогда условие коллинеарности может быть записано в виде равенства
$$
begin{vmatrix}
x-x_{0}& y-y_{0}\
a_{1}& a_{2}
end{vmatrix}
= 0.label{ref8}
$$

Поэтому мы можем сформулировать следующее утверждение.

Уравнение eqref{ref8} линейное. Действительно, после преобразования оно принимает вид (a_{2}x-a_{1}y+(a_{1}y_{0}-a_{2}x_{0}) = 0), то есть (Ax+By+C = 0), где (A = a_{2}), (B = -a_{1}) и (C = a_{1}y_{0}-a_{2}x_{0}).

С другой стороны, при заданной системе координат для произвольного линейного многочлена (Ax+By+C), (A^{2}+B^{2} neq 0), найдутся такая точка (M_{0}(x_{0}, y_{0})) и такой вектор (boldsymbol{a}(a_{1}, a_{2})), что
$$
Ax+By+C =
begin{vmatrix}
x-x_{0}& y-y_{0}\
a_{1}& a_{2}
end{vmatrix}.label{ref9}
$$
Действительно, выберем числа (x_{0}) и (y_{0}) так, чтобы (Ax_{0}+By_{0}+C = 0). В качестве таких чисел можно взять, например,
$$
x_{0} = frac{-AC}{A^{2}+B^{2}}, y_{0} = frac{-BC}{A^{2}+B^{2}}.label{ref10}
$$
Если (C = -Ax_{0}-By_{0}), то (Ax+By+C = A(x-x_{0})+B(y-y_{0})), то есть выполнено равенство eqref{ref9} при (a_{2} = A), (a_{1} = -B). Итак, мы получили следующее утверждение.

Пусть в уравнении прямой (Ax+By+C = 0) коэффициент (B) отличен от нуля. Это означает, что отлична от нуля первая компонента направляющего вектора, и прямая не параллельна оси ординат. В этом случае уравнение прямой можно представить в виде
$$
y = kx+b,label{ref11}
$$
где (k = -A/B), а (b = -C/B). Мы видим, что к равно отношению компонент направляющего вектора: (k = a_{2}/a_{1}) (рис. 6.3).

Угловой коэффициент прямой в декартовой прямоугольной системе координат равен тангенсу угла, который прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчитывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего поворота от (boldsymbol{e}_{1}) к (boldsymbol{e}_{2}) (рис. 6.4).

Положив (x = 0) в уравнении eqref{ref11}, получаем (y = b). Это означает, что свободный член уравнения (b) является ординатой точки пересечения прямой с осью ординат.

Если же в уравнении прямой (B = 0) и ее уравнение нельзя представить в виде eqref{ref11}, то обязательно (A neq 0). В этом случае прямая параллельна оси ординат и ее уравнению можно придать вид (x = x_{0}), где (x_{0} = -C/A) — абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс.

---

Векторные уравнения плоскости и прямой.

Параметрическое уравнение плоскости утверждает, что точка (M) лежит на плоскости тогда и только тогда, когда разность ее радиус-вектора и радиус-вектора начальной точки (M_{0}) компланарна направляющим векторам (boldsymbol{p}) и (boldsymbol{q}). Эту компланарность можно выразить и равенством
$$
(boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}, boldsymbol{p}, boldsymbol{q}) = 0.label{ref12}
$$
Вектор (boldsymbol{n} = [boldsymbol{p}, boldsymbol{q}]) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости. Используя его, мы можем записать уравнение eqref{ref12} в виде
$$
(boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}, boldsymbol{n}) = 0.label{ref13}
$$

Уравнения eqref{ref12} и eqref{ref13} называют векторными уравнениями плоскости. Им можно придать форму, в которую не входит радиус-вектор начальной точки. Например, положив в eqref{ref13} (D = -(boldsymbol{r}_{0}, boldsymbol{n})), получим
$$
(boldsymbol{r}, boldsymbol{n})+D = 0.label{ref14}
$$

Для прямой на плоскости можно также написать векторные уравнения, аналогичные eqref{ref13} и eqref{ref14},
$$
(boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}, boldsymbol{n}) = 0 mbox{или} (boldsymbol{r}, boldsymbol{n})+C = 0.nonumber
$$
Первое из них выражает тот факт, что вектор (boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}) перпендикулярен ненулевому вектору (boldsymbol{n}), перпендикулярному направляющему вектору (boldsymbol{a}), и потому коллинеарен (boldsymbol{a}).

Рассмотрим вектор (boldsymbol{a} = alpha_{1}boldsymbol{e}_{1}+alpha_{1}boldsymbol{e}_{2}+alpha_{1}boldsymbol{e}_{3}) в общей декартовой системе координат (O, boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{e}_{2}, boldsymbol{e}_{3}). Очевидно, что ((boldsymbol{a}, boldsymbol{n}) = alpha_{1}(boldsymbol{e}_{1}, boldsymbol{n})+alpha_{2}(boldsymbol{e}_{2}, boldsymbol{n})+alpha_{3}(boldsymbol{e}_{3}, boldsymbol{n})). Теперь из формул eqref{ref15} следует, что
$$
(boldsymbol{a}, boldsymbol{n}) = Aalpha_{1}+Balpha_{2}+Calpha_{3}.nonumber
$$
(Заметьте, что в общей декартовой системе координат числа (A), (B), (C), вообще говоря, не являются координатами вектора (boldsymbol{n}), и скалярное произведение не записывается как сумма произведений одноименных компонент, но ((boldsymbol{a}, boldsymbol{n})) выглядит так же, как и в прямоугольных координатах.) Теперь очевидным становится следующее утверждение.

Утверждение 5 нетрудно доказать и непосредственно, рассматривая координаты вектора, параллельного плоскости, как разности соответствующих координат двух точек, лежащих в плоскости.

Все, сказанное о плоскостях, почти без изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. В частности, верно следующее утверждение.

Векторное уравнение прямой линии в пространстве может быть написано в виде
$$
[boldsymbol{r}-boldsymbol{r}_{0}, boldsymbol{a}] = 0.label{ref19}
$$
Здесь (boldsymbol{a}) — направляющий вектор прямой, а (boldsymbol{r}_{0}) — радиус-вектор ее начальной точки. В самом деле, это уравнение, как и векторное параметрическое, выражает коллинеарность векторов (boldsymbol{r}_{0}) и (boldsymbol{a}).

---

Параллельность плоскостей и прямых на плоскости.

Ниже, говоря о параллельных прямых или плоскостях, мы будем считать, что параллельные плоскости (или прямые) не обязательно различны, то есть что плоскость (прямая) параллельна самой себе.

Условия eqref{ref20} выражают не что иное, как коллинеарность векторов с компонентами ((A, B)) и ((A_{1}, B_{1})). Точно так же условия eqref{ref22} означают коллинеарность векторов с компонентами ((A, B, C)) и ((A_{1}, B_{1}, C_{1})). Поэтому согласно ранее доказанным этому и этому утверждениям условие параллельности прямых на плоскости можно записать в виде
$$
begin{vmatrix}
A& B\
A_{1}& B_{1}
end{vmatrix}
= 0,label{ref24}
$$
а условие параллельности плоскостей — в виде
$$
begin{vmatrix}
B& C\
B_{1}& C_{1}
end{vmatrix} =
begin{vmatrix}
C& A\
C_{1}& A_{1}
end{vmatrix} =
begin{vmatrix}
A& B\
A_{1}& B_{1}
end{vmatrix}
= 0.label{ref25}
$$

Утверждению 7 можно придать чисто алгебраическую формулировку, если учесть, что координаты точки пересечения прямых — это решение системы, составленной из их уравнений.

---

Уравнения прямой в пространстве.

Прямая линия в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе координат определяется системой уравнений вида
$$
left{begin{array}{l}
Ax+By+Cz+D = 0,\
A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1} = 0.
end{array}right.label{ref26}
$$
Пересечение плоскостей — прямая линия тогда и только тогда, когда они не параллельны, что согласно eqref{ref25} означает, что хоть один из детерминантов отличен от нуля:
$$
begin{vmatrix}
B& C\
B_{1}& C_{1}
end{vmatrix}^{2} +
begin{vmatrix}
C& A\
C_{1}& A_{1}
end{vmatrix}^{2} +
begin{vmatrix}
A& B\
A_{1}& B_{1}
end{vmatrix}^{2}
neq 0.label{ref27}
$$

Разумеется, систему eqref{ref26} можно заменить на любую, ей эквивалентную. При этом прямая будет представлена как пересечение двух других проходящих через нее плоскостей.

Вспомним параметрические уравнения прямой eqref{ref4}. Допустим, что в них ни одна из компонент направляющего вектора не равна нулю. Тогда
$$
t = frac{x-x_{0}}{alpha_{1}}, t = frac{y-y_{0}}{alpha_{2}}, t = frac{z-z_{0}}{alpha_{3}},nonumber
$$
и мы получаем два равенства
$$
frac{y-y_{0}}{alpha_{2}} = frac{z-z_{0}}{alpha_{3}}, frac{x-x_{0}}{alpha_{1}} = frac{z-z_{0}}{alpha_{3}},label{ref28}
$$
или, в более симметричном виде,
$$
frac{x-x_{0}}{alpha_{1}} = frac{y-y_{0}}{alpha_{2}} = frac{z-z_{0}}{alpha_{3}},label{ref29}
$$
Уравнения eqref{ref28} представляют прямую как линию пересечения двух плоскостей, первая из которых параллельна оси абсцисс (в ее уравнение не входит переменная (x)), а вторая параллельна оси ординат.

Если обращается в нуль одна из компонент направляющего вектора, например, (alpha_{1}), то уравнения прямой принимают вид
$$
x = x_{0}, frac{y-y_{0}}{alpha_{2}} = frac{z-z_{0}}{alpha_{3}},label{ref30}
$$
Эта прямая лежит в плоскости (x = x_{0}) и, следовательно, параллельна плоскости (x = 0). Аналогично пишутся уравнения прямой, если в нуль обращается не (alpha_{1}), а другая компонента.

Когда равны нулю две компоненты направляющего вектора, например, (alpha_{1}) и (alpha_{2}), то прямая имеет уравнения
$$
x = x_{0}, y = y_{0}.label{ref31}
$$
Такая прямая параллельна одной из осей координат, в нашем случае — оси аппликат.

Важно уметь находить начальную точку и направляющий вектор прямой, заданной системой линейных уравнений eqref{ref26}. По условию eqref{ref27} один из детерминантов отличен от нуля. Допустим для определенности, что (AB_{1}-A_{1}B neq 0). В силу утверждения 9 при любом фиксированном (z) система уравнений будет иметь единственное решение ((x, y)), в котором (x) и (y), разумеется, зависят от (z). Они — линейные многочлены от (z): (x = alpha_{1}z+beta_{1}), (y = alpha_{2}z+beta_{2}).

Не будем доказывать этого, хотя это и не трудно сделать. Для ясности, заменяя (z) на (t), получаем параметрические уравнения прямой
$$
x = alpha_{1}t+beta_{1}, y = alpha_{2}t+beta_{2}, z = t.nonumber
$$

Первые две координаты начальной точки прямой (M_{0}(beta_{1}, beta_{2}, 0)) можно получить, решая систему eqref{ref26} при значении (z = 0).

Из параметрических уравнений видно, что в этом случае направляющий вектор имеет координаты ((alpha_{1}, alpha_{2}, 1)). Найдем его компоненты в общем виде. Если система координат декартова прямоугольная, векторы с компонентами ((A, B, C)) и (A_{1}, B_{1}, C_{1}) перпендикулярны соответствующим плоскостям, а потому их векторное произведение параллельно прямой eqref{ref26}, по которой плоскости пересекаются. Вычисляя векторное произведение в ортонормированном базисе, мы получаем компоненты направляющего вектора
$$
begin{vmatrix}
B& C\
B_{1}& C_{1}
end{vmatrix},
begin{vmatrix}
C& A\
C_{1}& A_{1}
end{vmatrix},
begin{vmatrix}
A& B\
A_{1}& B_{1}
end{vmatrix}.label{ref32}
$$