Математика
5 класс
Урок № 48
Равенство дробей
Перечень рассматриваемых вопросов:
– обыкновенная дробь;
– числитель, знаменатель обыкновенной дроби;
– сократимая, несократимая дробь;
– равные дроби;
– основное свойство дроби.
Тезаурус
Дробь в математике – это число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы.
Правильные дроби – это дроби, в которых числитель меньше знаменателя.
Несократимая дробь – это дробь, в которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель – 1).
Сократимая дробь – это дробь, у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице.
Обязательная литература
1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.
Дополнительная литература
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
«Все, что без этого было темно, сомнительно и неверно, математика сделала ясным, верным и очевидным», – сказал Михаил Васильевич Ломоносов.
Эти слова как нельзя кстати походят к теме нашего занятия, на котором мы будем устанавливать между, казалось бы, разными дробями равенство, хоть и не вполне очевидное с первого взгляда.
Итак, выясним, какие дроби можно назвать равными.
Для начала нарисуем отрезок. Далее разделим его на две части. Затем каждую из половинок разделим ещё на две части.
Получается, что весь отрезок поделён на четыре части. Если теперь сложить две части из четырёх, то получится ровно половина отрезка, которая в виде обыкновенной дроби будет записана как одна вторая.
Получается, что одна вторая это тоже самое, что и две четвёртых, т. е. это равные дроби.
Возьмём торт и разделим его на 10 частей.
Половина торта – это 5 частей. В виде обыкновенной дроби получается, что частям торта. Отсюда получается так называемое основное свойство дроби, которое заключается в следующем: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
С помощью этого свойства всегда получаются равные дроби. Например,
Аналогично, представим семь в виде дроби:
Если возьмём число один, представим его в виде дроби, то получим:
Получается, что две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.
Это свойство можно применить и в обратном порядке, в этом случае говорят, что дробь можно сократить. Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, то дробь можно сократить на этот множитель, т. е. разделить на него числитель и знаменатель.
В этом случае тоже получается равная дробь. Такие дроби называются сократимыми.
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель, не равный нулю и единице. Например,
Или возьмём дробь :
Рассмотрим ещё один пример, возьмём дробь :
Стоит отметить, что общий множитель числителя и знаменателя можно найти как их НОД. Например,
Стоит отметить, что сокращать дроби можно постепенно, эти действия всё равно приведут к нужному результату.
Но дроби не всегда можно сократить.
Если числитель и знаменатель дроби являются взаимно простыми числами (имеют только один общий делитель – 1), то такая дробь называется несократимой.
Например, ; – несократимые дроби.
Стоит отметить, что для любой дроби существует единственная равная ей несократимая дробь. Например, дробь равна несократимой дроби , а дробь равна несократимой дроби .
Отметим ещё одно свойство: если числитель дроби делится на знаменатель, то дробь равна частному от деления числителя на знаменатель. Например, возьмём дробь . Мы знаем, что 45 делится на девять, значит, .
Решим задание, связанное с сокращением дробей.
Укажите все общие делители, НОД числителя и знаменателя дроби и сократите дробь.
Решение: начнём с того, что определим общие делители числителя и знаменателя дроби, разложив их на множители:
Общие делители у 66 и 90 – это числа 1, 2, 3, 6.
НОД (66; 90) = 6
Сократим дробь. Так как НОД (66; 90) = 6, то разделим числитель и знаменатель на 6 и получим:
Ответ: общие делители – это числа 1, 2, 3, 6.
НОД (66; 90) = 6, .
Тренировочные задания
№ 1. Сократите дробь .
Решение: для решения этой задачи достаточно определить НОД (15; 20) = 3, это и есть число, на которое будем делить и числитель, и знаменатель, поэтому .
Ответ: .
№ 2. На полке лежат 20 книг. Взяли 4 книги. Какой дробью можно выразить взятую часть книг?
Варианты ответа: ; ; .
Решение: для решения этой задачи сначала найдём дробь, равную взятой части. Это будет дробь . Далее посмотрим на варианты ответов – такой дроби нет, следовательно, нужно сократить полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 4, поэтому получаем .
Ответ: .
Равенство дробей.
Данная тема достаточно важна на основных свойствах дробей основана вся дальнейшая математика и алгебра. Рассмотренные свойства дробей, не смотря на свою важность очень просты.
Чтобы понять основные свойства дробей рассмотрим окружность.
На окружности видно, что 4 части или доли закрашены из восьми возможных. Запишем полученную дробь (frac{4}{8})
На следующей окружности видно, что закрашена одна часть из двух возможных. Запишем получившеюся дробь (frac{1}{2})
Если внимательно приглядимся, то увидим, что в первом случае, что во втором случае у нас закрашено половина круга, поэтому полученные дроби равны (frac{4}{8} = frac{1}{2}), то есть это одно и тоже число.
Как же это доказать математически? Очень просто, вспомним таблицу умножения и распишем первую дробь на множители.
(frac{4}{8} = frac{1 cdot color{red} {4}}{2 cdot color{red} {4}} = frac{1}{2} cdot color{red} {frac{4}{4}} =frac{1}{2} cdot color{red}{1} = frac{1}{2})
Что мы сделали? Расписали числитель и знаменатель на множители (frac{1 cdot color{red} {4}}{2 cdot color{red} {4}}), а потом разделили дроби (frac{1}{2} cdot color{red} {frac{4}{4}}). Четыре поделить на четыре это 1, а единица умноженное на любое число это и есть само число. То что мы проделали в приведенном примере называется сокращением дробей.
Посмотрим еще один пример и сократим дробь.
(frac{6}{10} = frac{3 cdot color{red} {2}}{5 cdot color{red} {2}} = frac{3}{5} cdot color{red} {frac{2}{2}} =frac{3}{5} cdot color{red}{1} = frac{3}{5})
Мы опять расписали числитель и знаменатель на множители и одинаковый числа в числители и знаменатели сократили. То есть два деленное на два дало единицу, а единица умноженная на любое число дает тоже самое число.
Основное свойство дроби.
Отсюда следует основное свойство дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
(bf frac{a}{b} = frac{a cdot n}{b cdot n})
Также можно дроби числитель и знаменатель делить на одно и тоже число одновременно.
Рассмотрим пример:
(frac{6}{8} = frac{6 div color{red} {2}}{8 div color{red} {2}} = frac{3}{4})
Если и числитель, и знаменатель дроби делить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
(bf frac{a}{b} = frac{a div n}{b div n})
Дроби у которых есть и в числители, и в знаменатели общие простые делители называются сократимыми дробями.
Пример сократимой дроби: (frac{2}{4}, frac{6}{10}, frac{9}{15}, frac{10}{5}, …)
Так же есть и несократимые дроби.
Несократимая дробь – это дробь у которые нет в числители и знаменатели общих простых делителей.
Пример несократимой дроби: (frac{1}{2}, frac{3}{5}, frac{5}{7}, frac{13}{5}, …)
Любое число можно представить в виде дроби, потому что любое число делиться на единицу, например:
(7 = frac{7}{1})
Вопросы к теме:
Как вы думаете любую можно дробь сократить или нет?
Ответ: нет, бывают сократимые дроби и несократимые дроби.
Проверьте справедливо ли равенство: (frac{7}{11} = frac{14}{22})?
Ответ: распишем дробь (frac{14}{22} = frac{7 cdot 2}{11 cdot 2} = frac{7}{11}), да справедливо.
Пример №1:
а) Найдите дробь со знаменателем 15, равную дроби (frac{2}{3}).
б) Найдите дробь с числителем 8, равную дроби (frac{1}{5}).
Решение:
а) Нам нужно чтобы в знаменателе стояло число 15. Сейчас в знаменателе число 3. На какое число нужно умножить цифру 3, чтобы получить 15? Вспомним таблицу умножения 3⋅5. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби (frac{2}{3}) на 5.
(frac{2}{3} = frac{2 cdot 5}{3 cdot 5} = frac{10}{15})
б) Нам нужно чтобы в числителе стояло число 8. Сейчас в числители стоит число 1. На какое число нужно умножить цифру 1, чтобы получить 8? Конечно, 1⋅8. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби (frac{1}{5}) на 8. Получим:
(frac{1}{5} = frac{1 cdot 8}{5 cdot 8} = frac{8}{40})
Пример №2:
Найдите несократимую дробь, равную дроби: а)(frac{16}{36}), б) (frac{10}{25}).
Решение:
а) (frac{16}{36} = frac{4 cdot 4}{9 cdot 4} = frac{4}{9})
б) (frac{10}{25} = frac{2 cdot 5}{5 cdot 5} = frac{2}{5})
Пример №3:
Запишите число в виде дроби: а) 13 б)123
Решение:
а) (13 = frac{13} {1})
б) (123 = frac{123} {1})
Как узнать равенства дробей?
Рустам Клызбаев
17 октября 2018 · 2,3 K
Если две дроби a/b и c/d равны, то равны произведения a*d и b*c.
Данное правило следует из основного свойства дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
Доказательство: Пусть с = m*a, d = n*b. Применяя наше правило, получаем a*n*b = b*m*a. Обе стороны равны только тогда, когда m=n=k. А это, согласно основному свойству дроби, означает, что a/b = k*a/k*b=c/d. Что и требовалось доказать.
1,8 K
Комментировать ответ…Комментировать…
Действия с дробями регулируются основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
2/5 = 4/10, т.к. 2 ∙ 2/5 ∙ 2
Равные дроби по сути являются записью одного и того же числа.
Сравним, 2/5 = 0,4 и 4/10 = 0,4.
Числа, которые мы можем записать в виде дробей, называются рациональными числами, множество которых обозначается латинской буквой Q. Вспомним, что любое целое число мы можем записать в виде дроби: 4 = 4/1, следовательно, любое целое число рационально. Иными словами, множество целых чисел Z – это подмножество Q, или Z принадлежит Q.
Итак, умножим дробь на 5: 1/5 ∙ 5 = 1 ∙ 5/5 ∙ 5 = 5/25.
Разделим дробь на 3: 33/21 : 3 = 33 : 3/21 : 3 = 11/7 = 14/7.
Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же число называется приведение дроби к знаменателю.
Например: если дробь 3/4 мы умножим на 2 и получим 6/8, то мы скажем, что мы привели дробь 3/4 к знаменателю 8, причем число 2 называется дополнительным множителем.
Приведем дробь 4/5 к знаменателю 30.
1. Найдем дополнительный множитель: 30 : 5 = 6. Итак, наш дополнительный множитель 6.
2. Умножим числитель и знаменатель дроби на 6: 4 ∙ 6/5 ∙ 6 = 24/30.
Итак, наша дробь 24/30.
Основываясь на главном свойстве дроби, мы приходим к понятию «сокращение дроби». Сокращением дроби называется деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель (отличный от единицы).
Рассмотрим дробь 15/20. Число 5 для чисел 15 и 20 является общим делителем. Значит, и числитель, и знаменатель дроби можно разделить на общий делитель дроби 5. Получим: 15 : 5/20 : 5 = 3/4.
Наибольшим общим делителем называется наибольшее число, на которое можно сократить дробь. Например, дробь 30/45 можно сократить на 3 и 5, но наибольшим числом, на которое можно сократить нашу дробь, является число 15: 30 : 15 / 45 : 15 = 2/3.
Бывает так, что числитель и знаменатель дроби не имеют общих делителей, кроме единицы; такую дробь мы называем несократимой, а числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы, называют взаимно простыми.
Приведение дробей к общему знаменателю позволяет сравнивать дроби с разными знаменателями. Иными словами, чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, необходимо:
1. привести дроби к общему знаменателю;
2. сравнить числители получившихся дробей.
Рассмотрим пример 3/5 ??? 4/7.
1. Приведем дроби к общему знаменателю 35. Для этого домножим первую дробь на 7 (и числитель, и знаменатель), а вторую (и числитель, и знаменатель) на 5. Получим: 21/35 ??? 20/35.
2. Сравним числители получившихся дробей: 21 больше 20, следовательно, 3/5 > 4/7.
Рассмотрим пример: 6/9 ??? 8/12.
Общим знаменателем наших дробей будет число 9 ∙ 12. Но, чтобы облегчить решение примера, нужно заметить, что наши дроби можно сократить (6/9 на 3, 8/12 на 4): 2/3 ??? 2/3, т.е. 2/3 = 2/3, следовательно, 6/9 = 8/12. Как видим, в таком случае нам понадобилось гораздо меньше времени на установление равенства дробей.
Закрепим материал и докажем неравенство: 123/800 > 1/8.
1. Приведем дроби к общему знаменателю 800. Домножим вторую дробь на 100 и получим 100/800.
2. Итак, наши дроби для сравнения 123/800 и 100/800.
3. Т.к. 123/800 > 100/800, то и 123/800 > 1/8. Следовательно, неравенство верно, что нам и требовалось доказать.
© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
– это обыкновенная дробь
Как называют эти числа?
a
– это числитель дроби
b
– это знаменатель дроби
Что показывает знаменатель дроби?
на сколько равных частей разделили
Что показывает числитель дроби?
сколько частей взяли
РЕШИТЕ ЗАДАЧУ :
Шустрый мышонок успел взять кусок сыра и вернулся ещё за сыром, но не тут-то было…
Какую часть сыра взял мышонок, и какая часть сыра досталась лисе?
1 . Сколько в сутках часов?
2 . Какая часть суток пройдёт, если
будильник будет показывать:
а) 1 час , б) 3 часа , в) 5 часов , г) 11часов ?
2 . а) 1 ч = суток; б ) 3 ч = суток ;
в) 5 ч = суток; г) 11 ч = суток.
Ответ:
1 . 24 часа
ЗАДАЧА
Гомер прячет своего тела.
Сколько сантиметров тела спрятано, если рост Гомера 160 см ?
Решение.
160 : 4 ∙ 3 = 120 (см)
160 см
12 и 18 – 6
Практическая работа
=
=
5
=
=
=
=
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
на листе с практической работой
выполни задание 3
ФИЗМИНУТКА
Закрашенная часть каждой фигуры обозначена дробью.
Я буду показывать на каждую фигуру (может, и не один раз), а вы внимательно смотрите, думайте и выполняйте упражнения:
- если дробь записана верно , то все хлопают руками над головой ;
- если дробь записана не верно , то все приседайте .
16
К бабушке на дачу приехали внуки Ваня, Петя и Коля, чтобы помочь прополоть грядки. Грядки все ровненькие, совершенно одинаковые. Бабушка дала внукам задание:
Ваня должен прополоть 4/6 грядки с морковью,
Петя должен прополоть 6/9 грядки с луком,
Коля должен прополоть 8/12 грядки с чесноком.
Кто из внуков выполнил большую часть работы?
– прополол Ваня
– прополол Петя
– прополол Коля
№ 762 ( в – з ), 764 (в – з).
1 2 3
Стр. 168-169 (до формулы 2),
№ 762 ( а,б ), 763 ( а,б ), 764 (а, б)
