Как составить весовую матрицу

Параметры

arcpy.stats.GenerateSpatialWeightsMatrix(Input_Feature_Class, Unique_ID_Field, Output_Spatial_Weights_Matrix_File, Conceptualization_of_Spatial_Relationships, {Distance_Method}, {Exponent}, {Threshold_Distance}, {Number_of_Neighbors}, {Row_Standardization}, {Input_Table}, {Date_Time_Field}, {Date_Time_Interval_Type}, {Date_Time_Interval_Value}, Use_Z_values)

import arcpy
arcpy.env.workspace = "C:/data"
arcpy.GenerateSpatialWeightsMatrix_stats("911Count.shp", "MYID", "euclidean6Neighs.swm", "K_NEAREST_NEIGHBORS", "#", "#", "#", 6, "NO_STANDARDIZATION")

# Analyze the spatial distribution of 911 calls in a metropolitan area
# using the Hot-Spot Analysis Tool (Local Gi*)
# Import system modules
import arcpy
# Set property to overwrite existing output, by default
arcpy.env.overwriteOutput = True
# Local variables...
workspace = "C:/Data"
try:
    # Set the current workspace (to avoid having to specify the full path to the feature classes each time)
    arcpy.env.workspace = workspace
    # Copy the input feature class and integrate the points to snap
    # together at 500 feet
    # Process: Copy Features and Integrate
    cf = arcpy.CopyFeatures_management("911Calls.shp", "911Copied.shp",
                         "#", 0, 0, 0)
    integrate = arcpy.Integrate_management("911Copied.shp #", "500 Feet")
    # Use Collect Events to count the number of calls at each location
    # Process: Collect Events
    ce = arcpy.CollectEvents_stats("911Copied.shp", "911Count.shp", "Count", "#")
    # Add a unique ID field to the count feature class
    # Process: Add Field and Calculate Field
    af = arcpy.AddField_management("911Count.shp", "MyID", "LONG", "#", "#", "#", "#",
                     "NON_NULLABLE", "NON_REQUIRED", "#",
                     "911Count.shp")
    
    cf = arcpy.CalculateField_management("911Count.shp", "MyID", "[FID]", "VB")
    # Create Spatial Weights Matrix for Calculations
    # Process: Generate Spatial Weights Matrix... 
    swm = arcpy.GenerateSpatialWeightsMatrix_stats("911Count.shp", "MYID",
                        "euclidean6Neighs.swm",
                        "K_NEAREST_NEIGHBORS",
                        "#", "#", "#", 6,
                        "NO_STANDARDIZATION") 
    # Hot Spot Analysis of 911 Calls
    # Process: Hot Spot Analysis (Getis-Ord Gi*)
    hs = arcpy.HotSpots_stats("911Count.shp", "ICOUNT", "911HotSpots.shp", 
                     "GET_SPATIAL_WEIGHTS_FROM_FILE",
                     "EUCLIDEAN_DISTANCE", "NONE",
                     "#", "#", "euclidean6Neighs.swm")
except:
    # If an error occurred when running the tool, print out the error message.
    print(arcpy.GetMessages())

В математике, весовая матрица порядка с весом — это -матрица, такая что , где — транспонирование матрицы , а — единичная матрица порядка . Весовую матрицу также называют весовой схемой.

Для удобства весовую матрицу порядка и веса часто обозначают .

эквивалентна конференс-матрице, а — матрице Адамара.

Свойства[править | править код]

Некоторые свойства следуют непосредственно из определения:

Две весовые матрицы считаются эквивалентными, если одна может быть получена из другой, посредством ряда перестановок и умножений строк и столбцов исходной матрицы на минус единицу. Весовые матрицы полностью классифицированы для случаев, когда , а также всех случаев, когда . ^[1]. За исключением этого, очень мало известно о классификации циркулянтных весовых матриц.

Примеры[править | править код]

Отметим, что при отображении весовых матрицы используется символ для −1.

Приведём два примера: является весовой матрицей (матрицей Адамара), а — весовой матрицей.

Открытые вопросы[править | править код]

Существует множество открытых вопросов о весовых матрицах. Главным из них является их существование: для каких чисел n и w существует W(n,w)? Многое в этом вопросе остаётся неизвестным. В равной степени важным, но часто неисследованным вопросом является их подсчёт: для заданных n и w, сколько существует матриц W(n,w)? Более глубоко, можно задаться вопросом классификации с точки зрения структуры, но на сегодняшний день это далеко выходит за рамки наших возможностей, даже для матриц Адамара или конференс-матриц.

Ссылки[править | править код]

• On Hotelling’s Weighing Problem, Alexander M. Mood, Ann. Math. Statist. Volume 17, Number 4 (1946), 432-446.

Примечания[править | править код]

17. 2. Части графа

Граф является частью графа , если и , т.е. граф содержит все вершины и рёбра любой его части.

Часть, которая наряду с некоторым подмножеством рёбер графа содержит и все инцидентные им вершины, называется подграфом.

Часть, которая наряду с некоторым подмножеством рёбер графа содержит все вершины графа ( , ), называется суграфом.

Исходный граф по отношению к его подграфу называют надграфом, а по отношению к суграфу – сверхграфом.

Совокупность всех рёбер графа, не принадлежащих его подграфу (вместе с инцидентными вершинами ), образует дополнение подграфа (рис. 17.12).

Связный неориентированный граф, не содержащий циклов, называют деревом.

Несвязный граф без циклов, отдельные компоненты связности которого являются деревьями, называют лесом.

Все приведённые деревья изоморфны друг другу, т.е. на трёх вершинах можно построить только одно неизоморфное дерево.

17. 3. Способы задания графов

Уже отмечалось, что произвольный граф можно задать совокупностью двух множеств: – множества вершин и – множества рёбер ( дуг ) графа или множества и отображения множества в .

Условные обозначения таких графов и , соответственно.

Другой удобной формой описания графов является представление их с помощью матриц, методика формальной разработки которых хорошо разработана.

Матрица смежности

Из ранее сказанного известно, что две вершины и графа называются смежными, если они являются граничными вершинами ребра .

Отношение смежности на множестве вершин графа можно определить, представив каждое ребро как пару смежных вершин, т.е.

Для неориентированных графов такие пары неупорядочены, так что

а для орграфов – упорядочены, причём, и означают, соответственно, начальную и конечную вершины дуги .
Петля при вершине в обоих случаях представляется неупорядоченной парой .

Множество вершин вместе с определённым на нём отношением смежности полностью определяет граф.

Граф можно представить матрицей смежности.

Строки и столбцы матрицы соответствуют вершинам графа, а её элемент равен числу кратных рёбер, связывающих вершины и (или направленных от вершины к вершине для орграфов).

Например, для графа рис. 17.2, а, матрица смежности имеет вид

Матрица смежности неориентированного графа всегда симметрична, а орграфа – в общем случае несимметрична. Неориентированным рёбрам соответствуют пары ненулевых элементов, симметричных относительно главной диагонали матрицы, а петлям – ненулевые элементы главной диагонали.

В столбцах и строках, соответствующих изолированным вершинам, все элементы равны нулю. Элементы матрицы простого графа равны 0 или 1, причём, элементы главной диагонали равны 0.

Правильность составления матрицы легко проверить: для неориентированного графа сумма элементов в каждом i -том столбце или строке соответствует степени вершины . Если элементы матрицы расположенные на главной диагонали, отличны от нуля, то это свидетельствует о наличии петель в вершине .

Для неориентированного графа матрица смежности симметрична относительно главной диагонали, так как .

При решении целого класса задач проектирования РЭС приходится оперировать матрицами, которые строятся аналогично матрицам смежности, но значения их элементов определяются мерой (весом), связанной с ребром ( дугой ) графа.

В САПР широко используют две разновидности таких матриц: матрицу весовых соотношений и матрицу длин.

Матрица весовых соотношений

Это квадратная матрица , общий элемент которой

где – вес связи .

Применение матриц весовых соотношений позволяет учитывать различные требования к сокращению длины тех или иных электрических соединений в конструкциях РЭС, условия тепловой и электромагнитной совместимости отдельных элементов схемы и другие.

Матрица длин

Это квадратная матрица общий элемент которой

где – длина ребра .

В евклидовой метрике расстояние между двумя точками на плоскости

где и – координаты вершин и , соответственно.

Это выражение неудобно для использования в машинных программах, так как извлечение квадратного корня на ЭВМ требует больших затрат времени. Поэтому часто пользуются линейной метрикой, тем более, что при решении многих конструкторских задач она вполне оправдана.

Пример. При проектировании многослойных печатных плат трассировка соединений ведётся в каждом из слоёв во взаимно перпендикулярных направлениях, в связи с чем длина электрических связей между элементами с координатами

Линейная метрика оказывается непригодной для решения задач, в которых имеет место вычисление производных по координатам (оптимизация нелинейных функций).

В этом случае расстояние между двумя точками представляется в виде степенной функции:

где – показатель степени (как правило, ).

Матрицу длин используют при решении задач оптимизации размещения конструктивных элементов на плате, когда одним из критериев качества является минимум суммарной длины соединений.

Матрица инцидентности

Если вершина является концом ребра то говорят, что они инцидентны: вершина инцидентна ребру и ребро инцидентно вершине. В то время как смежность представляет собой отношение между однородными объектами ( вершинами ), инцидентность – это отношение между разнородными объектами ( вершинами и рёбрами).

При рассмотрении орграфов различают положительную инцидентность ( дуга исходит из вершины ) и отрицательную инцидентность ( дуга заходит в вершину ).

Рассматривая инцидентность вершин и рёбер графа, можно представить его матрицей инцидентности размера , строки которой соответствуют вершинам, а столбцы – рёбрам.

Для неориентированного графа элементы этой матрица определяются по следующему правилу: ij – элемент равен 1, если вершина инцидентна ребру и равен нулю, если и не инцидентны.

В случае орграфа ненулевой – элемент равен , если – начальная вершина дуги , и равен , если – конечная вершина дуги .

Приведём пример: составим матрицу инцидентности для рис. 17.2,а.

Каждый столбец матрицы содержит обязательно два единичных элемента (для орграфа эти элементы всегда имеют различные знаки и равны, соответственно, и ).

Количество единиц в строке равно степени соответствующей вершины (для орграфа количество положительных единиц определяет положительную степень, а количество отрицательных единиц – отрицательную степень).

Нулевая строка соответствует изолированной вершине, а нулевой столбец – петле.

Следует иметь в виду, что нулевой столбец матрицы инцидентности лишь указывает на наличие петли, но не содержит сведений том, с какой вершиной эта петля связана (в практических приложениях это может быть несущественно).

Правильность составления матрицы легко проверить: число единиц в i-ой строке матрицы соответствует степени вершины графа, а число единиц в каждом столбце – двум, так как каждое ребро соединяет две вершины графа. Единственное исключение составляет петля, дважды инцидентная одной и той же вершине.

Столбец, соответствующий петле, состоит из нулей, в результате чего матрица не указывает на существование петель. Поэтому при изучении свойств графа с помощью этой матрицы необходимо исключить из него петли.

Граф однозначно задаётся матрицами смежности и инцидентности. В свою очередь, каждая из этих матриц полностью определяет граф.

Существуют простые приёмы перехода от одной матрицы к другой.

Кроме выше перечисленных разновидностей матриц используются также матрицы контуров, сечений и так далее. Эти матрицы используются, как правило, при анализе электронных схем, поэтому далее они не будут рассматриваться.

Контрольные вопросы

1. На какие понятия опираются понятия теории графов?
2. Для каких целей используются графы?
3. Сформулируйте понятие графа.
4. Как представляется граф геометрически?
5. Что представляют собой ориентированные и неориентированные графы?
6. В каких случаях и почему используются ориентированные и неориентированные графы?
7. Какие вершины называют смежными?
8. Какие вершины называют инцидентными?
9. Что называют локальной степенью вершины?
10. Что называют несвязным графом?
11. Что называют маршрутом?
12. Что входит в понятие ” цепь “?
13. Как составляется матрица смежности графа?
14. Как составляется матрица инцидентности?

Весовая матрица

Cтраница 2

Далее по формуле ( VI 56) находим весовую матрицу логарифмов скоростей, которая является общей для серии опытов при постоянных подачах и температуре.
 [16]

Матрица W ( К х А) называется весовой матрицей.
 [17]

В версиях ДАН, рассматриваемых до сих пор, весовая матрица вычисляется в виде суммы произведений пар векторов. Эти вычисления полезны, поскольку они демонстрируют функции, которые может выполнять ДАН. Однако это определенно не тот способ, посредством которого производится определение весов нейронов мозга.
 [18]

Так как ограничения (6.125) и (6.131) предполагаются независимыми, а весовая матрица W невырожденная, то матрицы коэффициентов ц, в уравнении (6.139) и v в уравнении (6.140) также невырожденны.
 [19]

Это выражение для Г выведено для общего случая, когда весовая матрица W и матрица, обратная корреляционной матрице измерений Г, не равны между собой. Однако на практике матрицы W и IV1 стараются сделать как можно более близкими между собой, выбирая при этом такую систему измерений, которая исключает автокорреляцию, в результате чего все недиагональные элементы матрицы Гг становятся равными нулю. В худшем случае матрица Г2 и, следовательно, матрица W содержат небольшие недиагональные блоки, определяющие взаимную корреляцию между различными типами измерений. Обычно все же в уравнении ( 6) принимают FZ W – l, имея в виду, что полученное выражение для Гх справедливо в той же степени, в которой удалось сформировать соответствующую весовую матрицу.
 [20]

Система задана своими характеристиками вход – выход, под которыми понимается весовая матрица G ( t) ( gij ( t)) nxm или передаточная матрица G ( p) gtj ( p)) nxm – При этом элементы последней являются рациональными функциями р и имеют вид правильных дробей.
 [21]

Выход каждого фотодетектора является сверткой между входным вектором и соответствующим столбцом весовой матрицы. Таким образом, набор выходов представляет собой вектор, равный произведению входного вектора на весовую матрицу.
 [23]

Непосредственно генетический алгоритм работает на 4 – м этапе для вычисления весовой матрицы сети. Предварительно на этапе 3 пользователь, обучив с помощью BrainMaker несколько сетей, выбирает две лучшие, которые составляют исходную популяцию алгоритма. Таким образом, размер популяции равен двум.
 [25]

Это показывает, что двухслойная линейная сеть эквивалентна одному слою с весовой матрицей, равной произведению двух весовых матриц. Следовательно, любая многослойная линейная сеть может быть заменена эквивалентной однослойной сетью. Таким образом, для расширения возможностей сетей по сравнению с однослойной сетью необходима нелинейная активационная функция.
 [26]

Допустим, что ковариационная матрица наблюдаемых величин, а следовательно, и весовая матрица выбраны плохо. Возникает вопрос, можно ли предугадать, как это скажется на результатах лшв-анализа и при последующей проверке гипотез.
 [27]

Таким образом, мы получили замечательный результат – оптимальная оценка не зависит от весовой матрицы.
 [28]

При этом хорошо реализована схема организации связей: можно задать одну векторную связь с заданной весовой матрицей, а не набор скалярных связей с весовыми коэффициентами.
 [29]

Для многомерных линейных операторов верны при соответствующем матричном обобщении приведенные выше формулы связи между передаточными и весовыми матрицами.
 [30]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4