Как составить выражение к задаче на движение

Как составить уравнение задачи на движение?

Это
и есть самое интересное. Лучше это показать на примере.

Итак,
задача.

«В
10:00 туристы на лодке поплыли из пункта А вниз по течению реки. Пройдя 12
километров, туристы остановились для отдыха  на 3 часа. Затем они вернулись в
пункт А в 18:00. Определить (в км/час) собственную скорость лодки, если
скорость течения реки 1 км/час».

Будем
разбирать (и решать!) задачу по шагам.

Шаг
первый.

Осмысливаем
задачу. Это, понятно, задача на движение. Выясняем, всё ли нам понятно в
тексте. Сомнения может вызвать выражение «собственная скорость лодки». Что это
такое? После десяти секунд глубоких размышлений соображаем, что по течению
лодка плывёт быстро, а против течения – медленно. Ну, если грести одинаково,
естественно… Значит, всё честно. Собственная скорость – это скорость лодки сама
по себе. Безо всяких течений. Иногда так и пишут: найти скорость лодки в
стоячей воде.

Всё
остальное, вроде, понятно и логично.

Шаг
второй.

Нужно
что-то взять за икс. Что брать за икс? В простых задачах за икс, чаще всего,
можно братьвопрос задачи. Вот чего надо узнать в задаче, вот это и будет
иксом!  Но это не обязаловка. Иногда вопрос задачи просто неудобно брать за
икс. Например, в этой задачке вопрос мог быть поставлен так: «На сколько
скорость лодки больше скорости течения реки?». Брать этот вопрос за икс
неудобно, куда проще найти скорость лодки, а потом отнять от неё скорость реки.
То есть, появится одно дополнительное действие, которое потом надо не забыть
сделать!

Но!
Если вы не знаете, что брать за икс, берите вопрос задачи! Работайте с этим
неизвестным, а если ничего не выходит,  уж тогда попробуйте взять что-нибудь
другое. С практикой придёт понимание. И вопрос, что брать за икс, будет вам
казаться смешным…

Итак,
аккуратно записываем:

 х
– собственная скорость лодки.

Шаг
третий.

Расписываем
текст задачи в математическом виде. Это гордо называется составлением
математической модели! Вот просто читаем задачу, и всё, что можем, всю
информацию из задачи записываем формулами с описанием. По порядку, вразброс,
как угодно! Начиная с информации, в которой уверены железно. Что-то может и не
пригодится для решения, ну и что? Не похудеем, поди… При этом икс считаем
вполне известной величиной.

Прочитайте
ещё раз текст задачи. Даже толком не разобравшись во всех этих временах и
расстояниях, можно железно выцарапать из условия бесспорную математическую
информацию:

Если

 
х – скорость лодки,

то

х+1
– скорость лодки по течению,

а

х-1
– скорость лодки против течения.

Ну
вот, начало положено! Возможно, это и не пригодится, но часть информации мы с
задачи скачали!

Опять
читаем задачу. Да-да! Читаем опять, причём очень внимательно. Из первого
предложения записать ничего нельзя. А вот во втором есть зацепка. Это слова:
«Пройдя 12 километров, туристы остановились …». Тут надо вспомнить про ключевую
формулу скорости! Путь у нас есть, – это 12 км, скорость лодки по течению есть,
–  это х+1 км, что можно найти? Правильно, время! Если мы знаем путь и
скорость, то мы знаем и время. Вспоминая, что t =  S/V, можно записать время
лодки по течению. Это будет

Так
и пишем:

12/(х+1)
– время лодки по течению.

Ну
и сразу, до кучи, пишем:

12/(х-1)
– время лодки против течения.

Ещё
кое-что скачали. Процесс идёт!

Ещё
раз обращаю ваше внимание на один интересный момент. Возможно, мы даже не
знаем, нужно нам это время по течению, против течения… Но мы упорно и въедливо
выкачиваем всю возможную информацию из текста задачи!

Снова
читаем задачу. Про лодку мы уже всё как бы знаем. С какой скоростью она плыла
туда, обратно, сколько времени затратила. Из условий задачи мы пока никак не
использовали информацию  по временам. Что ж, займёмся временами. Знаем время
выхода лодки и время возвращения. Что можно выяснить из этих данных? Верно!
Время всего путешествия!

18
– 10 = 8. Общее время 8 часов. Из чего складывается это время? Время на дорогу
туда, это у нас12/(х+1), стоянка, это у нас 3 часа, и время на дорогу обратно,
это у нас 12/(х-1). Вот и всё. Всё, потому что осталось просто записать
уравнение.

Шаг
четвёртый.

Записываем
уравнение:

 12/(х-1)-12/(х+1)+3=8

Вот
так составилось уравнение.

Практические
советы:

1.
Записываем формулу-ключ: S = Vt

2.
Определяемся с иксом, расписываем через икс все данные. Особое внимание на
величины, входящие в формулу-ключ: путь, скорость, время. Эти величины – основа
решения задач на движение. Стараемся снять всю возможную информацию с задачи.

3.
До составления уравнения, приводим (если надо) все величины задачи к единым
единицам измерения.

4.
Записываем уравнение. Если никак не записывается, читаем задачу. Скорее всего, 
вы использовали не все данные из задачи или не увидели в тексте подсказки. Она,
подсказка, всегда есть.

5.
Решаем уравнение. При получении двух корней – за ответ берём приличный корень,
несусветный и левый – отбрасываем

Пример №1

Допустим, из точки ( displaystyle A) и из точки ( displaystyle B) навстречу друг другу выехали две машины. Скорость одной машины – ( displaystyle 60) км/ч, а скорость ( displaystyle 2) машины – ( displaystyle 40) км/ч. Они встретились через ( displaystyle 1,2) часа.

Какое расстояние между пунктами ( displaystyle A) и ( displaystyle B)?

1 вариант решения

Можно рассуждать так: машины встретились, значит расстояние между городами – это сумма расстояния, которая прошла первая машина, и расстояния, которое прошла вторая.

( displaystyle 60cdot 1,2text{ }=text{ }72) (км) – путь, который проехала первая машина

( displaystyle 40cdot 1,2text{ }=text{ }48) (км) – путь, который проехала вторая машина

( displaystyle 72 + 48 = 120) (км) – расстояние, которое проехали обе машины, то есть, расстояние между пунктами ( displaystyle A) и ( displaystyle B).

2 вариант решения (более рациональный)

А можно просто воспользоваться очень логичной формулой о сложении скоростей.

Проверим, работает ли она:

( displaystyle 60 + 40 = 100) (км/ч) – скорость сближения машин

( displaystyle 100cdot 1,2text{ }=text{ }120) (км) – расстояние, которые проехали машины, то есть, расстояние между пунктами ( displaystyle A) и ( displaystyle B).

Оба решения являются верными. Второе просто более рациональное.

Пример №3

Итак, задача:

Из пункта ( displaystyle A) и пункта ( displaystyle B) машины движутся навстречу друг другу со скоростями ( displaystyle 50) км/ч и ( displaystyle 80) км/ч. Расстояние между пунктами – ( displaystyle 195) км.

Через сколько времени машины встретятся?

1 вариант решения

Пусть ( displaystyle x) – время, которое едут машины, тогда путь первой машины – ( displaystyle 50x), а путь второй машины – ( displaystyle 80x).

Их сумма и будет равна расстоянию между пунктами ( A) и ( B) – ( displaystyle 50x+80x=195).

2 вариант решения (более рациональный)

( displaystyle 50 + 80 = 130) (км/ч) – скорость сближения машин;

( displaystyle 195:130 = 1,5) (ч) – время, которое машины были в пути.

Задача решена.

Пример №4

Из пунктов A и B одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями ( displaystyle 60) км/ч и ( displaystyle 40) км/ч. Через сколько минут они встретятся. Если расстояние между пунктами ( displaystyle 100) км?

2 способа решения:

I способ

Относительная скорость автомобилей ( displaystyle 60+40=100) км/ч. Это значит, что если мы сидим в первом автомобиле, то он нам кажется неподвижным, но второй автомобиль приближается к нам со скоростью ( displaystyle 100) км/ч. Так как между автомобилями изначально расстояние ( displaystyle 100) км, время, через которое второй автомобиль проедет мимо первого:

( displaystyle t=frac{100}{100}=1 час=60 минут).

II способ

Время от начала движения до встречи у автомобилей, очевидно, одинаковое. Обозначим его ( displaystyle t). Тогда первый автомобиль проехал путь ( displaystyle 60t), а второй – ( displaystyle 40t).

В сумме они проехали все ( displaystyle 100) км. Значит,

( displaystyle 60t+40t=100Rightarrow t=1 час=60 минут).

Из пункта ( displaystyle A) в пункт ( displaystyle B), расстояние между которыми ( displaystyle 30) км, одновременно выехал велосипедист и мотоциклист. Известно, что в час мотоциклист проезжает на ( displaystyle 65) км больше, чем велосипедист.

Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт ( displaystyle B) на ( displaystyle 156) минут позже, чем мотоциклист.

Вот такая вот задача. Соберись, и прочитай ее несколько раз. Прочитал? Начинай рисовать – прямая, пункт ( displaystyle A), пункт ( displaystyle B), две стрелочки…

В общем рисуй, и сейчас сравним, что у тебя получилось.

Пустовато как-то, правда? Рисуем таблицу.

Как ты помнишь, все задачи на движения состоят из ( displaystyle 3) компонентов: скорость, время и путь. Именно из этих граф и будет состоять любая таблица в подобных задачах.

Правда, мы добавим еще один столбец – имя, про кого мы пишем информацию – мотоциклист и велосипедист.

Так же в шапке укажи размерность, в какой ты будешь вписывать туда величины. Ты же помнишь, как это важно, правда?

У тебя получилась вот такая таблица?

Теперь давай анализировать все, что у нас есть, и параллельно заносить данные в таблицу и на рисунок.

Первое, что мы имеем – это путь, который проделали велосипедист и мотоциклист. Он одинаков и равен ( displaystyle 30) км. Вносим!

Рассуждаем дальше. Мы знаем, что мотоциклист проезжает на ( displaystyle 65) км/ч больше, чем велосипедист, да и в задаче нужно найти скорость велосипедиста…

Возьмем скорость велосипедиста за ( displaystyle x), тогда скорость мотоциклиста будет ( displaystyle x+65)…

Если с такой переменной решение задачи не пойдет – ничего страшного, возьмем другую, пока не дойдем до победного. Такое бывает, главное не нервничать!

Таблица преобразилась. У нас осталась не заполнена только одна графа – время. Как найти время, когда есть путь и скорость?

Правильно, разделить путь на скорость. Вноси это в таблицу.

Вот и заполнилась наша таблица, теперь можно внести данные на рисунок.

Что мы можем на нем отразить?

Молодец. Скорость передвижения мотоциклиста и велосипедиста.

Еще раз перечитаем задачу, посмотрим на рисунок и заполненную таблицу.

Какие данные не отражены ни в таблице, ни на рисунке?

Верно. Время, на которое мотоциклист приехал раньше, чем велосипедист. Мы знаем, что разница во времени – ( displaystyle 156) минут.

Что мы должны сделать следующим шагом? Правильно, перевести данное нам время из минут в часы, ведь скорость дана нам в км/ч.

( displaystyle 156) минут / ( displaystyle 60) минут = ( displaystyle 2,6) часа.

И что дальше, спросишь ты? А дальше числовая магия!

Взгляни на свою таблицу, на последнее условие, которое в нее не вошло и подумай, зависимость между чем и чем мы можем вынести в уравнение?

Правильно. Мы можем составить уравнение, основываясь на разнице во времени!

( displaystyle frac{30}{x}-frac{30}{65+x}=2,6)

Логично? Велосипедист ехал больше, если мы из его времени вычтем время движения мотоциклиста, мы как раз получим данную нам разницу.

Это уравнение – рациональное. Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Рациональные уравнения».

Приводим слагаемые к общему знаменателю:

( displaystyle frac{30cdot left( 65+x right)}{xcdot left( 65+x right)}-frac{30x}{xcdot left( 65+x right)}=2,6)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: Уф! Усвоил? Попробуй свои силы на следующей задаче.

( displaystyle frac{1950}{xcdot left( 65+x right)}=2,6)

Из этого уравнения мы получаем следующее:

( displaystyle 2,6cdot xcdot left( 65+x right)=1950)

( displaystyle xcdot left( 65+x right)=frac{1950}{2,6})

( displaystyle xcdot left( 65+x right)=750)

Раскроем скобки и перенесем все в левую часть уравнения:

( displaystyle {{x}^{2}}+65{x}-750=0)

Вуаля! У нас простое квадратное уравнение. Решаем!

( displaystyle {{x}^{2}}+65{x}-750=0)

( displaystyle D={{b}^{2}}-4ac)

( displaystyle D={{65}^{2}}-4cdot 1cdot left( -750 right)=4225+3000=7225)

( displaystyle sqrt{D}=sqrt{7225}=85)

( displaystyle {{x}_{1,2}}=frac{-bpm sqrt{D}}{2a})

( displaystyle {{x}_{1}}=frac{-65+85}{2}=10)

( displaystyle {{x}_{2}}=frac{-65-85}{2}=-75)

Мы получили два варианта ответа. Смотрим, что мы взяли за ( displaystyle x)? Правильно, скорость велосипедиста.

Вспоминаем правило «3Р», конкретнее «разумность». Понимаешь, о чем я? Именно! Скорость не может быть отрицательной, следовательно, наш ответ – ( displaystyle 10) км/ч.

Пример №9

Два велосипедиста одновременно отправились в ( displaystyle 165)-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на ( displaystyle 5) км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на ( displaystyle 5,5) часов раньше второго.

Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.

Напоминаю:

• Прочитай задачу пару раз – усвой все-все детали. Усвоил?
• Начинай рисовать рисунок – в каком направлении они двигаются? какое расстояние они прошли? Нарисовал?
• Проверь, все ли величины у тебя одинаковой размерности, и начинай выписывать кратко условие задачи, составляя табличку (ты же помнишь, какие там графы?).
• Пока все это пишешь, думай, что взять за ( displaystyle x)? Выбрал? Записывай в таблицу!
• Ну а теперь просто: составляем уравнение и решаем. Да, и напоследок – помни о «3Р»!

Все сделал? Молодец! У меня получилось, что скорость велосипедиста – ( displaystyle 10) км/ч.

Пример №10

Из пункта ( displaystyle A) круговой трассы выехал велосипедист. Через ( displaystyle 40) минут он еще не вернулся в пункт ( displaystyle A) и из пункта ( displaystyle A) следом за ним отправился мотоциклист.

Через ( displaystyle 20) минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через ( displaystyle 40) минут после этого догнал его во второй раз.

Найдите скорость велосипедиста, если длина трассы равна ( displaystyle 50) км. Ответ дайте в км/ч.

Попробуй нарисовать рисунок к этой задаче и заполнить для нее таблицу. Вот что получилось у меня:

Пусть скорость велосипедиста будет ( displaystyle x), а мотоциклиста – ( displaystyle y). До момента первой встречи велосипедист был в пути ( displaystyle 60) минут, а мотоциклист – ( displaystyle 20).

При этом они проехали равные расстояния:

( displaystyle 60x=20y (1))

Между встречами велосипедист проехал расстояние ( displaystyle 40x), а мотоциклист – ( displaystyle 40y).

Но при этом мотоциклист проехал ровно на один круг больше, это видно из рисунка:

(Надеюсь, ты понимаешь, что по спирали они на самом деле не ездили – спираль просто схематически показывает, что они ездят по кругу, несколько раз проезжая одни и те же точки трассы.)

Значит,

( displaystyle 40x+50=40y (2))

Полученные уравнения решаем в системе:

( displaystyle left{ begin{array}{l}60x=20y\40x+50=40yend{array} right.Leftrightarrow left{ begin{array}{l}y=3x\4x+5=4yend{array} right.Rightarrow text{4}x+5=12xRightarrow )

( displaystyle Rightarrow x=frac{5}{8}=0,625frac{text{км}}{мин}=0,625cdot 60frac{text{км}}{text{ч}}=37,5frac{text{км}}{text{ч}})

Ответ: ( displaystyle 37,5).

Разобрался? Попробуй решить самостоятельно следующие задачи:

Представь, что у тебя есть плот, и ты спустил его в озеро. Что с ним происходит? Правильно. Он стоит, потому что озеро, пруд, лужа, в конце концов, – это стоячая вода.

Скорость течения в озере равна ( displaystyle 0).

Плот поедет, только если ты сам начнешь грести. Та скорость, которую он приобретет, будет собственной скоростью плота. Неважно куда ты поплывешь – налево, направо, плот будет двигаться с той скоростью, с которой ты будешь грести.

Это понятно? Логично же.

А сейчас представь, что ты спускаешь плот на реку, отворачиваешься, чтобы взять веревку…, поворачиваешься, а он … уплыл…

Это происходит потому что у реки есть скорость течения, которая относит твой плот по направлению течения.

Его скорость при этом равна нулю (ты же стоишь в шоке на берегу и не гребешь) – он движется со скоростью течения.

Разобрался? Тогда ответь вот на какой вопрос – «С какой скоростью будет плыть плот по реке, если ты сидишь и гребешь?» Задумался?

Здесь возможно два случая:

1 случай – ты плывешь по течению, и тогда ты плывешь с собственной скоростью + скорость течения. Течение как бы помогает тебе двигаться вперед.

2 случай – ты плывешь против течения. Тяжело? Правильно, потому что течение пытается «откинуть» тебя назад. Ты прилагаешь все больше усилий, чтобы проплыть хотя бы ( displaystyle 100) метров, соответственно скорость, с которой ты передвигаешься, равна собственная скорость – скорость течения.

Памятка

по решению задач на движение

составлена

 учеником 10 класса

 Солодовым Егором

2023 год

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ДВИЖЕНИЕ

При подготовке к итоговой аттестации по математике учащимся необходимо уметь решать задачи на движение. Научиться самостоятельно решать текстовые задачи мне помогает метод моделирования. Для этого у ребят должна быть модель построения и оформления условия задачи. Здесь поможет следующая памятка.

Памятка учащемуся при решении задач на движение

ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ  

1. Задачи на движение, обычно, содержат следующие величины:

а) расстояние, которое обозначается буквой S;

б) скорость движущихся тел, которое обозначается буквой υ;

в) время, которое обозначается буквой t

1. Основное отношение или зависимость между этими тремя величинами записываем в следующем виде; чисто для визуального удобства:

1. Пользоваться этой зависимостью будем по следующему принципу: искомую величину, т.е. ту, которую надо найти, в этом треугольнике закрываем, тогда оставшаяся часть покажет, как эту величину выразить через две другие.

S=υ*t                                                 

Например, предлагается известная всем задача на движение.

Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, отравляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Определите скорость каждого поезда, если первый вышел на 1 час позднее второго, и со скоростью на 5 км/ч больше, чем скорость второго поезда.  

I этап. Анализ текста задачи. 

Пониманию смысла текста задачи способствует правильная постановка вопросов и определенный способ чтения текста.

Любые приемы визуализации, такие как таблица, чертеж, разбивка текста задачи на небольшие части, каждая из которых должна быть как можно более коротка, облегчают для детей процесс осмысливания информации, заложенной в тексте задачи.

По данной задачи необходимо выполнить анализ и из текста задачи определить количество заданных элементов или ситуаций: сравнивают передвижение мотоциклиста и велосипедиста, двух поездов или сравниваются ситуации как планировал двигаться и как получилось на самом деле.

Заготовить таблицу, в которую будем заносить установленные ситуации.  

I этап. Анализ. 

– Какая ситуация описывается в задаче?

– Движение двух поездов.

Заготовим таблицу.

II этап. Составление математической модели (заполнение таблицы и запись уравнения) 

1) Выделить из условия задачи предложения, в которых задаётся конкретное значение одной из трёх величин, для обеих ситуаций. Прямое или косвенное. Это могут быть фразы, как “на середине пути”, “когда он прошёл 2/3 всего пути”. Их нужно выписать в таблицу.   

Мы уже знаем, что значение одной из трех величин должно быть конкретно указано. Поэтому ищем фрагменты, где бы мы могли увидеть эти значения.  

Из двух городов, расстояние между (ними) которыми 900 км, отравляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Определите скорость каждого поезда, если первый вышел на 1 час позднее второго, и со скоростью на 5 км/ч большей, чем скорость второго поезда.

Переводим это предложение на язык математики: каждый прошел 450 км. Установили путь, пройденный каждым поездом, и занесем в таблицу.

2) Одну из двух оставшихся величин (обычно ту, о которой стоит вопрос задачи) надо самим обозначить для одной ситуаций и составить выражение для другой ситуации по описанию в задаче.  

Теперь нужно обозначить одну из оставшихся величин. Читаем еще раз задачу и вспоминаем, что желательно обозначить ту величину, о которой идет речь в вопросе задачи

Из двух городов, расстояние между которыми 900 км, отравляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Определите скорость каждого поезда, если первый вышел на 1 час позднее второго, и со скоростью на 5 км/ч большей, чем скорость второго поезда.

Спрашивают про скорость – ясно, что будем обозначать скорость, но поездов то два. Поэтому вычитываем из условия фрагменты про скорости обеих поездов.

Скорость второго обозначим, как Х, тогда скорость первого «на 5 км/ч большей», будет выглядеть как (Х+5).  

Записали в таблицу:

3) А третью оставшуюся величину надо обязательно выразить

 по формуле: через первые две величины.  

Теперь мы знаем, что третья величина время t должно быть

обязательно выражена через S и υ. Дальше заполняем таблицу  

Памятка для самоконтроля  

Когда заполнена таблица, можно чисто визуально проверить, не допущена ли ошибка при заполнении таблицы. Надо, чтобы:

а) один столбец был заполнен конкретными числа;

б) в другом столбце обязательно должны присутствовать «чистый» Х и выражения с Х, типа Х-5, Х+17, 2*Х и т. д.

в) третий столбец должен быть выражен из первых двух:

• если это υ или t, то должны быть дробные выражения;
• если это столбец  S,  то должно быть произведение, составленное из υ и t

4) После заполнения таблицы в тексте задачи должно остаться одно число, которое используется для составления уравнения. Если в тексте задачи не осталось числа, то, внимательно прочитав условие надо найти сравнения (меньше, больше, равно) и использовать для составления уравнения.

Уравнение обычно составляется с помощью, той величины которую выражали.  

Итак, таблицу заполнили. Теперь надо составить уравнение. Для этого читаем снова задачу и ищем или число, которое не занесено в таблицу, а если нет числа, то какое-либо сравнение, с помощью которого составим уравнение:

Из двух городов, расстояние между (ними) которыми 900 км, отравляются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Определите скорость каждого поезда, если первый вышел на 1 час позднее второго, и со скоростью на 5 км/ч большей, чем скорость второго поезда.

Фраза «первый вышел на 1 час позднее второго» на язык математики переводится как, «первый затратил на 1 час меньше» или если говорить о втором поезде, то «второй затратил на 1 час больше», т.е. разница во времени у них 1 час, и этого одного часа нет в таблице.

Можно составить уравнение: t2-t1=1

–=1  

Итак, поиск привел к уравнению (математическая модель):

–=1  

III этап. Работа с составленной моделью  

Важны вычислительные навыки и умение решать уравнения и системы уравнений

Решаем это уравнение и получаем корни Х:

Х2=-50 – не подходит по условию задачи, т.к. по условию через Х обозначено скорость второго поезда.

Значит, остается ответ: Х=45.

Итак, скорость второго поезда 45 км/ч. А скорость первого поезда выражается как Х+5, следовательно, скорость первого 50 км/ч.

IV этап. Анализ найденного решения  

Ответ на вопрос задачи

Использование таблиц при решении задач помогает правильно проанализировать данные и верно составить уравнение. Универсальные таблицы формируют общий способ действия, учащиеся не испытывают страха и растерянности, решая задачу. Составление таблиц является эффективным приемом обучения решению текстовых задач.  

Вывод: Навыки, приобретенные при решении таких задач, помогут учащимся структурировать информацию, анализировать её и правильно применять при решение тех практических задач с которыми они встретятся в любых жизненных ситуациях.

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

1.Конвертер единиц измерения скорости
2.Конвертер единиц измерения времени
3.Конвертер единиц измерения расстояния (длины)

Примеры простых задач.

Задача 1. 

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2. 

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3. 

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4. 

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение: 
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5. 

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение: 
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6. 

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение: 
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7. 

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение: 
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8. 

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение: 
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9. 

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10. 

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение: 
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11. 

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение: 
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

1. Основная формула:S=ν*t;
2. Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
3. Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов.

Весь курс начальной школы (за 1-4 классы) в краткой форме на сайте edu.intmag24.ru. С помощью курса можно быстро повторить основные моменты и правила по предметам: русский язык, математика, окружающий мир.

Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.