Как составить задачи для математического кружка

РАЗРАБОТКА КРУЖКА
«МАТЕМАТИКА В ИГРЕ»

Математические
игры и головоломки очень популярны, как, впрочем, и все игры. И далеко не
всегда более сложная игра – более интересная. Часто миллионы людей с огромным
интересом играют в самые простые игры, и именно эти игры больше всего ценят,
именно они входят в историю математики и прославляют своих создателей.

Наиболее
приближенными к математике являются головоломки, но много головоломок
образовалось из, когда–то существовавших игр. Большинство таких
основополагающих игр было придумано древнегреческими математиками.

В
последнее время математическим играм внимание уделяется, в основном, для
нахождения выигрышных стратегий, на что сильно повлияло распространение
программирования: составить алгоритм, по которому в игру смог бы играть
компьютер, часто бывает сложнее и интереснее, нежели самому научиться играть в
неё, при этом глубже вникаешь в суть игры, после чего выиграть в неё можешь уже
практически любого.

Простейшие
математические игры часто используют как задачи, в которых нужно найти
выигрышную стратегию, либо одно положение перевести в другое. Иногда задачи
бывают весьма простыми, когда они решаются известными методами, такими как
инвариант и раскраска, но есть и весьма простые, но до сих пор неразрешённые
задачи, связанные с математическими играми.

§1
Программа кружка по математике для учащихся 7-х классов

«Математика в игре»

1.1.
Пояснительная записка

С
целью формирования устойчивого интереса к математике, а также активизации
мыслительной деятельности учащихся составлена программа кружка «Математика в
игре».

Программа
кружка по математике составлена для учащихся 7–х классов, проявляющих высокий
интерес к математике. В результате занятий учащиеся должны приобрести навыки и
умения решать разнообразные задачи, и научиться использовать математические задачи
для моделирования игр. Также ученики должны понять, что игры не только
развлечение и найти взаимосвязь между игрой и математикой.

Программа
кружка «Математика в игре», рассчитана на 1 час в неделю.  Она реализует
требования государственных стандартов по математике, значительно углубляет их,
дополняет разнообразием математических задач, непосредственно связанных с
игровой деятельностью.

Задачи
кружка:

ü  расширить
и углубить знания по предмету в соответствии с интересами и склонностями
учащихся;

ü  познакомить
учащихся с историей возникновения математики на примере игр;

ü  развить
познавательную и творческую активность учащихся;

ü  рассмотреть
с учащимися некоторые методы решения арифметических и логических задач;

ü  воспитать
настойчивость, инициативу;

ü  развить
коммуникативные навыки путем включения школьников в различные виды
деятельности.

Ведущие
принципы:

1.     
Содержание и структура программы
рассматривается как особая дидактическая конструкция, создаваемая с учетом
возрастных особенностей учащихся (психофизических интересов, склонностей);

2.     
В основу содержания и структуры программы
положен дидактический принцип личностно-ориентированного обучения, в качестве
главного объекта учебно-воспитательного процесса рассматривающий учащегося с
его индивидуальными особенностями восприятия и осмысления;

3.     
Принцип компетентностного подхода, т.е.
конечный результат обучения определяется не столько суммой приобретенных
знаний, сколько умением применять их на практике, в повседневной жизни,
использовать для развития чувственных, волевых, интеллектуальных и других
качеств личности учащегося.

1.2.
Рекомендации к организации кружка

Примерная
структура занятия:

1.     
Объяснение учителя и доклад «чтецов» по
теме занятия.

2.     
Разбор задач по теме занятия. После
решения первой задачи всеми или большинством учащихся один из учащихся
производит ее разбор. Учитель по ходу решения задач формулирует выводы, делает
обобщения.

3.     
Разбор игр и перевод их на язык математики
происходит с помощью учителя и самостоятельно.

4.     
Подведение итогов занятия (ответы на
вопросы учащихся, обсуждение следующей встречи, домашнее задание).

При
закреплении материала, совершенствовании знаний, умений и навыков целесообразно
практиковать самостоятельную работу школьников. На занятиях кружка можно
использовать различные современные образовательные технологии и сочетать все
режимы работы: индивидуальный, парный, групповой, коллективный.

На
первом занятии кружка надо наметить основное содержание работы, выбрать
старосту кружка, договориться с учащимися о правах и обязанностях членов
кружка, составить план работы и распределить поручения за те или иные
мероприятия (выпуск математической стенной газеты, ведение документации работы
кружка и т. п.).

Занятия
кружка целесообразно проводить один раз в неделю, выделяя на каждое занятие по
одному часу. К организации работы математического кружка целесообразно
привлекать самих учащихся, поэтому на каждом уроке учитель выбирает несколько
учеников (в дальнейшем «чтецы»), которым будет поручена подготовка небольших
сообщений об основных математиках, чьи игры и задачи будут разбираться на
занятии.

На
занятиях математического кружка учитель должен создать “атмосферу”
свободного обмена мнениями и активной дискуссии, поскольку разбор игр, даже со
стороны математики, содержит в себе игровые моменты.

Изложение
теоретического материала кружковых занятий должно осуществляться
преимущественно с использованием активных методов обучения. В зависимости от
цели и типа занятия используются различные формы работы, такие как групповые,
парные, командные, индивидуальные. Ведущее место при проведении занятий должно
быть уделено задачам, развивающим познавательную и творческую активность
учащихся.

Основной
тип занятий: комбинированный.

Система
занятий должна вести к формированию следующих характеристик творческих способностей:

·        
беглость мысли,

·        
гибкость ума,

·        
оригинальность,

·        
любознательность,

·        
умение выдвигать и разрабатывать гипотезы.

Для
эффективной организации курса используются различные формы проведения занятий:

·        
эвристическая беседа,

·        
практикум,

·        
интеллектуальная игра,

·        
дискуссия,

·        
творческая работа.

Таким
образом, программа кружка «Математика в игре», отвечая предметным,
метапредметным и личностным целям обучения, имея большую информационную
насыщенность, даёт возможность учащимся значительно расширить математический
кругозор, повысить глубину усвоения программы основного курса математики 7
класса, приобрести устойчивый интерес к изучению математики.

Кружок
имеет и пропедевтическую направленность, его изучение позволит учащимся
сформировать представления о своих возможностях в области математики.

Содержание
программы может изменяться, расширяться или углубляться в рамках тем, выбранных
для самостоятельного изучения. Программа может содержать разные уровни
сложности изучаемого материала и позволяет найти оптимальный вариант работы для
определенной группы учащихся, ее можно расширять, изменять с учетом конкретных
педагогических задач и запросов детей.

1.3.
Календарно – тематическое планирование кружка

 «Математика в
игре»

№ Занятия	Тема занятия	Кол-во часов
Раздел 1: «Взаимосвязь математики и игр». История математики.
1	Наша жизнь и математика. Наша жизнь и игры. История взаимосвязи игр и математики до XVIIв во времена Античности. Задачи: Папирус Ахмеса; Игра сенет; Игры урских царей.	1
2	Игры и математика в Средневековье и эпохе Возрождения. Задачи: Числа Фибоначчи и его задача о квадратах; Легенда об изобретении шахмат; Игра Алькерк Задачи Тарталья Задачи Шюке	1
3	Турнир Математиков	1
4	Игры и математика с XVII века до наших дней. Золотой век математики. Задачи: Задачи из книги Мезириака; Задачи Ньютона о корове, и кубиках; Задачи Эйлера о магическом квадрате; Задача о кёнигсбергских мостах; Задача о 8 ферзях; Парадокс Хупера.	1
5,6	Игры и занимательная математика XIX и XX веках. Задачи: Задачи Льюиса Кэрролла; Задачи Эдуарду Люка; Задачи Генри Эрнест Дьюдени; Задачи Сэма Лойда; Игра Роберта Эббота; Задача о костяшках домино Якова Перельмана.	1
Раздел 2: «Стратегические игры». Алгебраические задачи.
7,8	Классификация игр.  Определение выигрышной стратегии. Задачи: НИМ; Вращаем кубик; Разрезаем прямоугольник; Пересекаем круг; Цзяньшицзу; Маргаритка.	2
9	Псевдоигры. Задачи: Нечетные фишки; Ряд фигур; Замкнуть треугольник; Плитка шоколада.	1
10	Турнир математиков	1
Раздел 3: «Азартные игры». Теория вероятности.
11	Игры и азарт. Задачи: Разделение ставок; Победители забега; Бридж;	1
12	Турнир математиков.	1
Раздел 4: «Современные игры». Подводим итоги.
13,14	Разбор современных игр с точки зрения математики.	2
Итого		14 часов

§2
Принципы отбора содержания

При
разработке кружка, нельзя забывать о месте и роли его в процессе обучения
школьников. Мы не должны забывать, что кружок должен дополнять и опираться на
знания школьников, поэтому мы следовали некоторым принципам при отборе
содержания:

1.     
Принцип связи программы школьного курса
математики 7 класса с программой кружка.

2.     
Принцип взаимосвязи и пропедевтики
изучения новых вопросов программы школьного курса.

3.     
Принцип связи с историей и жизнью.

4.     
Принцип формирования познавательного
интереса.

5.     
Принцип доступности и наглядности.

Рассмотрим
применение этих принципов подробнее.

Принцип
связи программы школьного курса математики 7 класса с программой кружка.

Отбирая
материал из различных источников, мы руководствовались тем, может ли этот
вопрос стоять при изучении школьного курса математики в 7 классе [1,17,18]. 
Анализ программы по математике и учебников показал, что, не нарушая логики, мы
можем включить в программу кружка следующие вопросы:

·        
Математические модели реальных ситуаций;

·        
Решение задач с помощью уравнений;

·        
Числовые последовательности;

·        
Признаки делимости;

Принцип
взаимосвязи и пропедевтики изучения новых вопросов программы школьного курса.

В
разделе 3, при разборе азартных игр, ученики занимаются теорией вероятности. В
новой программе, начиная с 5 и 6 класса, рассматриваются начала комбинаторики,
перестановки [5]. Это позволило нам включить в программу задачи, основывающиеся
на понятии и свойствах вероятностей, и для решения которых, нужно знать о
перестановках, сочетаниях, размещения.

Одна
из линий учебников, в которых последовательно с 5 по 9 класс проводится
вероятностно-статистическая линия, органично и системно связанная с другими
темами курса – это новый учебный комплект «Математика 5-6» по ред. Г.В.
Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В. Дорофеева, а также в
сборнике И.Л Гусевой “Тестовые материалы для оценки качества
обучения”, предназначенном для оценки качества обучения учащихся по
математике в 6 классе, имеется раздел, посвящённый комбинаторике [1,7,13,19].

Принцип
связи с историей и жизнью.

Ученики,
изучая математику не должны забывать о её исторических началах, мы считаем
необходимым включение в программу задач, которые будут показывать ученикам
связь математики и их жизни, жизни наших предков. Именно этому посвящен Раздел
1 разработанного кружка. В нем ученики слушают историю взаимосвязи математики и
игр, делают мини-доклады о выдающихся математиках, ищут взаимосвязи в играх
современных и давних времен [10, 14, 25]

Принцип
формирования познавательного интереса.

При
отборе содержания мы учитывали, что кружок — это не только углубление
теоретических знаний, закрепление практических умений и навыков по предмету, но
и развитие творческих способностей учащихся, формирование познавательного
интереса, организация досуга учащихся. В связи с этим мы посчитали необходимым
включить в программу уроки – «турнир математиков». На данных уроках, ученики
смогут побороться за лидерство, что немаловажно в их возрасте, а также они
покажут умения, которые приобрели на занятиях.

Принцип
доступности и наглядности.

Сохранение
интереса к изучению математики при использовании новых комплектов учебников
обеспечивается не только через дополнительные темы, но и через достаточное
количество занимательных задач.

Занимательные
задачи — инструмент для развития мышления, ведущего к формированию творческой
деятельности школьника. К таким задачам относятся задачи «на соображение», «на
догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи, творческие
задачи.

При
работе над вопросом задачи главное и наиболее трудное для ученика – определить,
в какой связи эта искомая величина находится с данными, в задаче или игре,
величинами.

Сначала
учащийся анализируют конкретное содержание задачи, о чем говорится в ней, о
каких фактах или явлениях, в какой последовательности они происходят. Читая и
перечитывая условие, они выделяют из него данные, стараются уловить те связи,
которые существуют между данными в задаче. Чтобы облегчить анализ условия
задачи, их лучше наглядно представить в виде чертежа, рисунка или схемы. Это
облегчает решение задачи, делает его более убедительным и доказательным.

Учитывая
этот принцип, мы включили в программу игры и задачи, решая которые, ученику
придется наглядно представить ее, или даже сыграть самому.

§3
Содержание кружка «Математика в игре»

Раздел
1: «Взаимосвязь математики и игр»

Занятие
1. «Наша жизнь и математика. Наша жизнь и игры. История взаимосвязи игр и
математики во времена Античности»

Цель:
познакомить учащихся с историей математики на примере взаимосвязи математики и
игр, вспомнить составление математической модели реальных ситуаций и различные
формы работы с дробями.

Форма
проведения занятия: Комбинированное занятие: эвристическая беседа, практическая
работа

Ход
занятия:

1.
Сообщение темы и цели урока.

2.
Изучение нового материала.

Первое,
что необходимо сделать на занятии, это провести обсуждение на темы: «Где
математика встречается в вашей жизни? Где игра встречается в вашей жизни?
Какова взаимосвязь между играми и математикой? Игры – это всего лишь
развлечение, или же их можно использовать для моделирования реальных событий?
Что нужно знать для анализа игры? Можно ли использовать математику в реальной
жизни, чтобы анализировать поведение человека и при принятии решений?» 

Необходимо
обсудить роль математики в науке, жизни, обществе, выдвинуть гипотезу, что
развлекательный характер множества игр не означает, что они не требуют
математических вычислений, напротив, тот кто лучше проведет нужные расчеты, тот
и одержит победу.

Здесь,
необходимо убедиться с учениками, что процесс обдумывания ходов в играх очень
похож на решение математических задач, так как математика сама по себе может
быть занимательной и стимулировать интеллект.

Далее,
после установки взаимосвязи данных понятий, можно приступить к изучению
непосредственно истории математики и игр. В первом разделе группа совершит
краткий экскурс в историю математики с древнейших времен до наших дней, чтобы
убедиться, что развлечениям для ума находилось место и в древности.

С
древнейших времен история математики полна упоминаний об играх и занимательных
задачах. В действительности с момента появления игр, параллельно ей появилась и
развивалась математика. С этих времен серьезную и занимательную математику
нельзя было отделить друг от друга.

В
великих цивилизациях древности Вавилоне и Египте несмотря на то, что математика
носила практический характер, встречаются настольные игры и занимательные
задачи. В одной из древнейших рукописей мира о математике – папирусе Ахмеса
(1650 года) встречаются помимо математических задач, занимательные игры.

Еще
одна известная нам древнейшая игра «сенет». Задача этой игры, рассчитанной на
двух игроков, – первым довести до конца доски семь фишек. Эта игра считалась
игрой с судьбой, от которой зависела дальнейшая загробная жизнь.

3.
Задачи для решения:

1)
Египетская задача.

Египетский
фараон Тутмос был широко известен своими завоевательными походами. Однажды
среди трофеев у него оказалось 2000 золотых монет: больших, средних и
маленьких. Большие монеты составили 35% от общего числа монет, а средние монеты
– 17/20 от числа больших монет. Сколько было маленьких монет? Каких монет у
Тутмоса оказалось больше – маленьких или больших, и на сколько?

2)
Задача о быках.

Приходит
пастух с 70 быками. Его спрашивают: – Сколько приводишь ты своего
многочисленного стада? Пастух отвечает: – Я привожу две трети от трети скота.
Сочти!” Сколько быков было во всем стаде?

3)
«Ученики»

Спросил
некто учителя: “Сколько у тебя в классе учеников, так как я хочу отдать к тебе
в учении своего сына”. Учитель ответил: “Если придет еще учеников столько же,
сколько имею, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня учеников 100”.
Спрашивается, сколько было у учителя учеников?

4)
«Целое и седьмая его часть дают 19»

Поскольку
в 7 классе ученики уже умеют работать с математической моделью реальных
ситуаций, то они смогут перевести задачи Ахмеса на язык математики. Помимо
работы с математической моделью, ученики вспомнят правила работы с дробями и
сравнят современные методы с методами Древнего Египта.

Занятия
можно дополнить выступлениями из истории математики в Древнем Египте.

4.
Домашнее задание: Чтецам подготовить выступления на 2-3 минуты о:

Леонардо
Пизанском (Фибоначчи), Ибн-Халликана, Никколо Фонтана (Тарталья), Джероламо
Кардано.

 Занятие
2. «Игры и математика в Средневековье и
эпохе Возрождения»

Цель:
познакомить учащихся с историей математики в Средневековье и эпохе Возрождения,
и изучить древние задачи, повторить свойства степеней и правила работы с ними.

Форма
проведения занятия: Комбинированное занятие: Эвристическая беседа, мини-доклады
учащихся, практическая работа

Ход
занятия:

1.     
Сообщение темы.

2.     
Изучение новой темы.

Мы
познакомились с наиболее интересными фактами из древней истории взаимоотношений
игр и математики, а теперь перенесемся в XIII
век. Именно тогда жили Леонардо Пизанский (Фибоначчи), Ибн-Халликан (легенда об
изобретении шахмат). Математику эпохи Возрождения представляют главным образом
итальянские алгебраисты, которые занимались в основном решением уравнений.
Предоставим несколько минут нашим чтецам.

Фибоначчи
является автором «Книги квадратов», где описал математический турнир,
проводимый в подлинно средневековом стиле, где каждый участник, должен был
предложить сопернику определенное количество задач. Победителем турнира был
тот, кто решит больше задач, за меньшее время. При этом участник предложивший
задачу, должен был знать ее решение.

3.     
Задачи (из турнира):

1)     
Задача Фибоначчи:

Нужно
найти такое число, что если прибавить или вычесть из его квадрата 5, то в обоих
случаях результатами также будут квадраты.

2)     
Задача Ибн-Халликана:

Из
легенды об изобретении шахмат: Сколько зерен должен был бы положить

Ширхам
на шахматную доску, если просьбой Сисса бен Дахира было положить пшеничное
зернышко на первую клетку доски, 2-на вторую, 4-на третью, 8-на четвертую и так
далее до 64 клетки, каждый раз удваивая число зерен. Смог бы выполнить эту
просьбу индийский король Ширхам?

3)     
Задачи Тарталья:

У
некого человека 17 лошадей. Он оставляет их в наследство сыновьям, завещав
разделить коней между ними в пропорции ½, 1/3, 1/9. Как сыновьям поделить
наследство?

4)     
Задача Николя Шюке:

Даны
два сосуда. Один вмещает 3 пинты, второй –  5. Как отмерить ровно 4 пинты с
помощью переливаний? На сосудах нет отметок.

5)     
Игра Алькерк:

Алькерк
– игра двух игроков, описанная в «Книге игр» Альфонсо Х Мудрого. Доска имеет
размеры 5 на 5 клеток, у каждого игрока 12 фишек, они распологаются так, что
центральная клетка-свободная. Цель игры- убрать с доски все фишки соперника.

4.     
Домашнее задание:

Подумать
над задачей Тарталья: У некого человека три фазана. Он хочет разделить их между
двумя отцами и двумя сыновьями так, чтобы каждому из них достался фазан. Как
это сделать?

Подготовить
2 задачи, для математического турнира, на подобие тех, которые видели.

Занятие
3. Турнир математиков.

1.     
Форма проведения занятия: Интеллектуальная
игра

2.     
Цели игры:

·        
Развитие познавательного
интереса к предмету математика, применение математических знаний во внеурочной
обстановке.

·        
Развитие у учащихся
познавательного интереса и любознательности.

·        
Воспитание доброжелательности,
инициативности, активности.

3. Ход проведения занятия:

1) Представление команд. За представление командам засчитывается
до 4 баллов.

2) Разминка. Для
рассмотрения предлагается следующие задачи:

    1. Найдите закономерность: 2, 4, 8, 64, ….

За найденную закономерность команде засчитывается 1 балл.

   2. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи
мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев ячменя, из каждого колоса может
вырасти по семи мер зерна. Сколько мер зерна сохраняется благодаря этим кошкам?
(Египетский папирус – около 2000лет до н.э.)   (16 807 мер)

     3. Наполненный доверху водой сосуд имеет массу 5 кг, а
заполненный наполовину – 3 кг 500 г. Сколько воды вмещает сосуд? (3 кг
воды)

Правильное решение задач – 5 баллов.

3) Проверка домашнего задания. Оценивается в 5 баллов.

4) Турнир начинается:

Из каждой команды, выходят по 1 человеку, со своими задачами, и
загадывают по очереди их противнику. За выигрыш каждого команда получает 1
балл. Все задания выполняются своевременно,
затем происходит отчет.

Подсчитывается итоговый результат и определяется победитель,
награждаются обе команды грамотами: за победу и за участие.

Занятие
4. Игры и математика с XVII
века до наших дней. Золотой век математических игр.

Цель:
познакомить учащихся с золотым веком математических игр, решить известные
исторические задачи.

Форма
проведения занятия: Комбинированное занятие: Эвристическая беседа, мини-доклады
учащихся, практическая работа

Ход
занятия:

1.
Сообщение темы и цели урока.

2.
Изучение нового материала.

Серьезная
и занимательная математика существовали с древнейших времен вместе, и в ХVII
веке появляется особое ответвление, посвящённое играм. Книга де Мезириака –
своеобразный конспект по занимательной математике той эпохи.  (Выступления
чтецов.)

3.
Задачи:

1)
Задачи из книги Мезириака:

·        
Задача о козе, волке, и капусте.

Крестьянину
нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но
лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или один
волк, или одна коза, или одна капуста. Но если оставить волка с козой, то волк
съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевез
свой груз крестьянин?

·        
Задача о гирях.

Найти
минимальное число гирь и их массу, с помощью которых на простых весах с двумя
чашками можно измерить любой вес, выраженный целым числом от 1 до 40.  

2)
Задачи Ньютона:

Трава на лугу растёт
одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы всю траву за 24 дня,
а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съест всю траву на лугу за 96 дней?

·        
Вероятность какого из следующих событий наибольшая?

1.При броске 6 кубиков
выпадет хотя бы одна шестерка.

2.При броске 12 кубиков
выпадут хотя бы две шестерки.

3.При броске 18 кубиков
выпадут хотя бы три шестерки.

3) Задачи Эйлера:

·        
Прообраз
судоку

Расположить n символов в
квадрате n на n клеток
так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце находились все возможные символы.

·        
Задача о
кёнигсбергских мостах:

Можно ли обойти все семь мостов, стоявших тогда в
городе Кёнигсберге, побывав на каждом по одному разу?

4) Задача Гаусса:

Расставить на стандартной 64-клеточной
шахматной доске 8 ферзей так, чтобы ни один из них не находился под боем
другого.

1)     
Парадоксы
Хупера (рекомендовано показать наглядно)

·        
Задача о
треугольнике

Дан прямоугольный треугольник 13×5 клеток, составленный
из 4 частей. После перестановки частей при визуальном сохранении изначальных
пропорций появляется дополнительная, не занятая ни одной частью, клетка).

·        
Задача о
квадрате:

Большой квадрат составлен из четырёх одинаковых
четырёхугольников и маленького квадрата. Если четырёхугольники развернуть, то
они заполнят площадь, занимаемую маленьким квадратом, хотя площадь большого
квадрата визуально не изменится. При следующем развороте маленький квадрат
появится снова.

4.
Домашнее задание:

Чтецам
подготовить рассказы о Льюисе Кэрролл, Эдуарду Люка.

Занятие
5,6. Игры и занимательная
математика XIX и XX веках.

Цель:
познакомить учащихся с математикой XIX–XX
вв, решить известные исторические задачи.

Форма
проведения занятия: Комбинированное занятие: Эвристическая беседа, мини-доклады
учащихся, практическая работа

Ход
занятия:

1.
Сообщение темы и цели урока.

2.
Изучение нового материала.

Игры и занимательная математика в ХIX–XX веках начали бурно развиваться, и в эти века
было очень много достижений, о которых невозможно рассказать в рамках курса,
однако мы с вами остановимся на самых интересных персонажах этого времени.
(выступление чтецов)

3.Задачи:

1) Задачи Льюиса Кэролл:

·        
Часы.

Есть двое часов. Одни стоят, другие опаздывают
на одну минуту. Какие часы показывают время точнее?

·        
Лестница
слов.

 Как превратить козу в волка?

  (КОЗА-ПОЗА-ПОЛА-ПОЛК-ВОЛК)

2) Задачи Эдуарда Люка:

·        
Ханойские
башни.

Ханойская башня является одной из популярных
головоломок XIX века. Даны три стержня, на один из которых нанизаны восемь
колец, причем кольца отличаются размером и лежат меньшее на большем. Перенесите
пирамиду из восьми колец за наименьшее число ходов на другой стержень, при
условии, что за один раз разрешается переносить только одно кольцо, причём
нельзя класть большее кольцо на меньшее.

·        
«Французские
военные игры»

Игра рассчитана на двух игроков, у одного 3
белые фишки, у другого –одна черная. Первым ходит тот, у кого черная фишка.
Фишки располагаются на доске из 11 клеток. Задача белых фишек- окружить черную,
которая пытается сбежать. Черные фишки могут двигаться в любом направлении, а
белые не могут отступать назад.  Каково минимальное число ходов вам
потребуется, чтобы выиграть?

3) Задачи Генри Эрнест Дьюдени:

·        
Задача
галантерейщика

Необходимо разрезать равносторонний треугольник
на 4 части и составить из них квадрат.

·        
Криптарифмы:

РЕШИ+ЕСЛИ=СИЛЕН

Нужно заменить буквы цифрами так, чтобы
получилось верное равенство. Причем в числе СИЛЕН наибольшая цифра не превышает

         4) Задача Сэма Лойда:

Задача о соединении 9 точек, расположенных в
форме квадрата 3 на 3, четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от
бумаги.

Расположите числа от 1 до 8 в вершинах куба
так, чтобы сумма чисел на каждых четырех вершинах одной грани была одинаковой.

5) Задача Якова Перельмана:

Четыре костяшки домино расположены в виде
квадрата так, что суммы чисел на его сторонах равны. Задача – составить семь
таких квадратов из полного набора домино.

Некоторые задачи могут использоваться в
качестве домашнего задания.

4. Домашнее задание:

1) Задача о соединении 16 точек, расположенных
в форме квадрата 4 на 4, четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от
бумаги.

2) Придумать задачу, аналогичную задаче
галантерейщика Генри Эрнест Дьюдени

3) Чтецам:
рассказать о происхождении игры НИМ (2-3 минуты).

Раздел 2
«Стратегические игры».

Занятие
7.  Классификация игр.  Определение
выигрышной стратегии.

Цель:
познакомить учащихся с классификацией игр, ввести понятие выигрышной стратегии.

Форма
проведения занятия: Комбинированное занятие: Эвристическая беседа, мини-доклады
учащихся, практическая работа

Ход
занятия:

1.
Сообщение темы и цели урока.

2.
Изучение нового материала.

Игра
может обозначать как собственно игру, в которой участвует несколько игроков,
так и математические развлечения, и головоломки. Мы будем говорить об играх, в
которых имеется как минимум два игрока. Цель игры-одержать победу в партии.

Применительно
к математике игры можно разделить на две группы в зависимости от того,
присутствуют в них элемент неопределенности или нет. Стратегическими будем
называть игры с полной информацией, а азартными игры, где присутствует элемент
неопределенности.

После
изучения правил и сути игры, люди обычно задаются вопросом: какие ходы надо
совершать, чтобы одержать победу? В азартных играх, такой вопрос не будет
актуален, поскольку все зависит от случая, а не от игроков, поэтому путь
выигрыша определить невозможно, тогда как в стратегических играх, в любой
момент можно узнать все возможные ходы и их последствия.

Рассмотрим
для начала стратегические игры, поскольку в стратегических играх выигрыш
зависит от игроков, то введем понятие выигрышной стратегии. Выигрышная
стратегия-множество условий, позволяющих одному из игроков определить, как
следует действовать, чтобы одержать победу.

Рассмотрим
свойства стратегической игры:

1)     
Все игроки обладают информацией, которая
позволит определить следующий выигрышный ход;

2)     
Игроки совершают ходы поочередно;

3)     
Нет элемента неопределенности;

4)     
Любая игра оканчивается победой одного из
игроков, после числа конечного числа ходов.

(Стоит
обсудить с учениками ряд проблем, возникающих при решении задач и привести
примеры стратегических и азартных игр.)

Стратегические
игры можно разделить также на 2 группы. Первая группа включает в себя игры,
которые описываются простыми правилами и длятся достаточно короткое время,
поскольку количество информации их сравнительное не велико. Вторая группа
включает в себя игры, которые длятся большее количество времени, имеют сложные
правила и множество вариантов возможных ходов.

На
примере первой группы мы можем рассмотреть, как математика используется в
анализе игр. Процесс игры очень похож на решение задач, поэтому при определении
выигрышной стратегии используются эвристические методы: способ «от обратного»,
предположение, что игра «решена», применение симметрии, проведение аналогии.          Приступим
к рассмотрению различных игр.

3.     
Задачи:

Игра НИМ.

Рассмотрим игру НИМ. Суть игры, заключается в том, что
игроки выкладывают на стол одну или несколько групп фишек и определяют правила,
по которым нужно снимать фишки со стола. Цель игры – взять последнюю фишку
либо, наоборот, заставить противника взять последнюю фишку.

Проанализируем игры с одной группой фишек:

На стол выкладывается 20 фишек одного цвета. На
каждом ходу один из двух игроков может брать одну или две фишки. Тот, кто берет
последнюю фишку выигрывает. Какой из игроков имеет преимущество-тот, кто ходит
первым, или второй участник? Как нужно играть, чтобы всегда выигрывать? Что
произойдет, если изменится число фишек? Что произойдет, если мы изменим правила
игры и тот, кто берет последнюю фишку, проигрывает?

Чтобы составить решение общего вида, стоит
найти решение для задачи:

Пусть на столе k
фишек, и каждым ходом можно брать от 1 до m фишек. (m<k). Выигрывает тот, кто забирает последнюю
фишку. Для какого из игроков существует выигрышная стратегия? В чем она
заключается?

4. Домашнее задание:

А) Первый игрок пишет на бумаге число от 1 до
10. Второй игрок придумывает число от 1 до 10 и записывает результат сложения
этого числа с первым. На каждом ходу игрок прибавляет к общей сумме новое
придуманное им число от 1 до 10. Тот игрок, который запишет трехзначное число,
проигрывает. Как нужно играть чтобы выиграть? Какой из игроков имеет
преимущество: тот, кто ходит первым или вторым? Что произойдет, если изменится
цель или правила игры?

Б) Придумайте задачу типа НИМ.

Занятие
8.  Определение выигрышной стратегии.

Цель:
продолжить знакомить учащихся с стратегическим играми.

Форма
проведения занятия: Комбинированное занятие: Эвристическая беседа, мини-доклады
учащихся, практическая работа

Ход
занятия:

1.     
Сообщение темы и цели урока.

2.     
Проверка д/з.

Ученики
меняются придуманными играми, решают их и проверяют.

На прошлом занятии мы разобрали классификацию
игр и рассмотрели один из видов стратегических игр – игру НИМ и ее вариации.
Сегодня мы познакомимся с еще более интересными стратегическими играми.

3.     
Задачи:

(Разделимся на 2 группы, каждая из которых
выберет по 2 человека(игроков), задача состоит в нахождении выигрышной
стратегии, в итоге краткое обсуждение обеих задач)

·        
Вращаем
кубик (1 группа)

Игра рассчитана на двоих, сидящих за партой.
Первый игрок ставит кубик на стол выбранной стороной вверх. Второй игрок
поворачивает кубик на четверть оборота так, чтобы на верхней грани было другое
количество очков, и прибавляет это число к первому. Затем каждый игрок вращает
кубик на четверть оборота и прибавляет число очков на верхней грани к общей
сумме. Тот, кто первый набирает 31 очко, выигрывает.

Какой из игроков имеет преимущество? Как нужно
играть, чтобы всегда выигрывать?

·        
Разрезаем
прямоугольник (2 группа)

На листе бумаги в клетку нужно нарисовать
прямоугольник размерами 17 на 15 клеток. Затем нужно пометить квадратик в
нижнем правом углу. Каждый из игроков своим ходом делит прямоугольник на две
части с помощью вертикальной или горизонтальной линии и удаляет ту часть
прямоугольника, которая не содержит маленький отмеченный квадрат. Тот, кто не
сможет разделить прямоугольник, а для этого должен остаться только отмеченный
квадратик, проигрывает.

Кто из игроков имеет преимущество? Как нужно
играть, чтобы всегда выигрывать?

·        
Игра
цзяньшицзы.

(Цзяньшицзы — китайская национальная игра.
Буквальный перевод слова Цзяньшицзы — выбирание камней.)

Положив на землю две кучки камней, играющие
поочередно берут камни из этих кучек, соблюдая следующие правила:

а) из одной кучки можно брать любое количество
камней (даже сразу всю кучку),

б) можно брать камни одновременно из двух
кучек, непременно по одинаковому количеству из каждой кучки.

Выигрывает тот, кто, соблюдая эти правила,
сможет взять последний камень.

·        
Маргаритка

Нарисуем маргаритку с 11 лепестками и поставим
по одной фишке на каждом лепестке. На каждом ходу игрок может брать одну или
две фишки, причем две фишки можно брать только с соседних лепестков. Тот, кто
берет последнюю фишку, выигрывает.

4.     
Домашнее
задание:

Решить задачу: «Пересекаем круг». На листе
бумаги нужно нарисовать окружность и обозначить на ней восемь произвольных
точек. На каждом ходу игрок соединяет две точки отрезком. Он может соединить
любые две точки, кроме уже соединенных, но нарисованный им отрезок не должен
пересекать никакой другой отрезок. Игрок, которому не удастся провести такой
отрезок проигрывает. Какой из игроков имеет преимущество? Что изменится, если
изменить начальное число точек?

Занятие
9.  Псевдоигры.

Цель:
познакомить учащихся с псевдоиграми, научить определять разницу между
стратегическими играми и псевдоиграми.

Форма
проведения занятия: Комбинированное занятие: Эвристическая беседа, мини-доклады
учащихся, практическая работа

Ход
занятия:

1.     
Сообщение темы и цели урока.

2.     
Проверка д/з      

3.     
Изучение нового материала.

Мы с вами уже хорошо знаем, что представляют из
себя стратегические игры, и, как нам кажется, мы сразу же сможем их определить,
однако существуют такие игры, которые похожи на те, что мы с вами разбирали, но
их нельзя назвать стратегическими. Выигрышную стратегию определить для
псевдоигр невозможно, но можно доказать, что результаты зависят от игроков и
правил. Рассмотрим псевдоигры.

4.     
Задачи:

·        
Нечетные
фишки

На столе лежит 20 фишек. Каждый из двух игроков
своим ходом может взять 1,3,5 фишек. Выигрывает тот, кто берет последнюю фишку.
Какой из игроков имеет преимущество? Что произойдет если изменится число фишек?
Эта игра является стратегической?

(Решив первую задачу, ученики должны прийти к
выводу, что второй игрок всегда выигрывает. Выигрышную стратегию определить
нельзя, поскольку игра зависит только от количества фишек и победитель заранее
определен правилами игры)

·        
Ряд фигур

Нарисуем в ряд несколько кругов и квадратов.
Каждый игрок может:

– убрать две одинаковые фигуры и заменить их
одним кругом;

– забрать две разные фигуры и заменить их одним
квадратом;

В конце игры останется одна фигура, если
останется квадрат выигрывает первый игрок, если круг, то второй. Существует ли
выигрышная стратегия?

               
        

·        
Замкнуть
треугольник

На листе бумаги нужно нарисовать окружность и
обозначить на ней шесть произвольных точек. На каждом ходу игрок соединяет две
точки отрезком, кроме тех, которые уже соединены. Игроки используют разные
цвета ручки.  Тот, кто нарисует треугольник со сторонами одного цвета,
выигрывает.

Какой из игроков имеет преимущество? Как нужно
играть, чтобы всегда выигрывать? Что изменится, если изменить количество точек?
Что произойдет если изменить правила игры?

·        
Плитка
шоколада

Плитка шоколада состоит из 28 окошек,
расположенных в 4 ряда по 7 квадратиков. Первый игрок делит плитку на две
части, не ломая ни одно из окошек. Второй берет одну из получившихся частей и
снова делит ее. На каждом ходу игрок берет одну из двух частей и делит ее на
две части. Тот, кто не сможет разделить плитку, проигрывает.

Как нужно играть чтобы выиграть? Что изменится,
если плитка будет состоять из 27 окошек, расположенных в 3 ряда по 9?

5.     
Домашнее
задание:

1) Плитка шоколада состоит из 50 квадратных
окошек, расположенных в 5 рядах по 10. Каждый игрок делит плитку вдоль
вертикальной или горизонтальной линии, не ломая ни одно из окошечек. Ни одна из
частей не откладывается в сторону, все они продолжают участвовать в игре.
Первый игрок, который своим ходом получит одно отдельное окошко, проигрывает.
Как нужно играть, чтобы выигрывать?

2) Придумать 2-3 задачи для стратегических игр
для математического турнира.

Для чтецов на занятие 11: подготовить рассказ о
Блезе Паскале, Пьере Ферма (на2-3 минуты), об игре Бридж.

Занятие
10.  Стратегические игры. Турнир математиков.

 Аналогично
занятию 3. Турнир математиков.

Форма
проведения занятия: Интеллектуальная игра

Цели:

·        
Развитие познавательного интереса к
предмету математика, применение математических знаний во внеурочной обстановке.

·        
Развитие у учащихся познавательного
интереса и любознательности.

·        
Воспитание доброжелательности,
инициативности, активности

Раздел 3 «Азартные игры».

Занятие
11.  Игры и азарт

Цель:
познакомить учащихся с азартными играми, вспомнить элементы теории вероятности
и научиться применять их в разборе азартных игр.

Форма
проведения занятия: Комбинированное занятие: Эвристическая беседа, мини-доклады
учащихся, практическая работа

Ход
занятия:

1.     
Сообщение темы и цели урока.

2.     
Изучение нового материала.

Мы с вами уже говорили о классификации игр,
сегодня мы с вами познакомимся с азартными играми. В этом разделе пойдет речь о
взаимосвязи игр и теории вероятностей.

Во время изучения темы «Азартные игры»,
необходимо обсудить с учениками вред азартных игр.

В реальном мире сложные на ваш взгляд темы
теории вероятности применяются в самых различных областях. Однако начало теория
вероятности берет именно в азартных играх, а именно во Франции в середине XVII века. Антуан Гомбо, известный как Шевалье де Мере, посвятил большую
часть своей жизни азартным играм, это, можно сказать, было его работой. Он
играл в игры, где вероятность выигрыша и проигрыша одинакова, например, «нужно
выбросить минимум одну шестерку броском четырех игральных костей».  Однако,
Мере знал, что в этой игре один из игроков имеет преимущество, и тогда он
предложил свою игру «минимум один раз выбросить две шестерки за 24 броска двух
костей». Он считал, что преимущество одного из игроков будет таким же, но
спустя некоторое время убедился, что все происходит наоборот. Тогда он
обратился к Паскалю, чтобы тот помог ему найти ошибку в этой игре.

Вы уже знакомы с понятием вероятности, но,
чтобы вспомнить, давайте решим задачи, предложенные Шевалье де Мере.

3.     
Задачи:

·        
Какова
вероятность выбросить 6 очков минимум один раз, бросив игральные кости четыре
раза?

Вам поможет: свойство вероятности – вероятность
того, что произойдет некоторое событие либо обратное ему, равна 1. И
вероятность события рассчитывается по правилу: p(события)
= число благоприятных исходов/ общее число исходов.

·        
Какова
вероятность выпадения двух шестерок при броске пары кубиков 24 раза?

Рекомендуется повторить с учениками основы
комбинаторики и составить таблицу свойств на примере игры в кости, где будет
описываться событие и его вероятность.

·        
Задача о
разделении ставок.

Двое мужчин играют в игру, выигрывает тот, кто
первым наберет 10 очков. В каждом раунде оба имеют равные шансы на победу.
Победитель раунда получает 1 очко. После 17ой партии один из игроков выигрывает
со счетом 9:8, после чего игра прекращается. Так как никто не набрал 10 очков,
игроки решают разделить выигрыш. Как справедливо разделить выигрыш между
игроками?

·        
Забег.

В забеге участвуют 12 бегунов. Сколькими
способами можно сформировать тройку призеров?

·        
Игра в
бридж.

В игре бридж каждому игроку раздается по 13
карт из колоды карт (52). Сколькими различными способами можно выдать игроку 13
карт?

·        
Серия
пенальти.

Если финал футбольного чемпионата завершится
ничьей, пробивается серия пенальти. Как правило, серия пенальти состоит из 5
ударов, все они выполняются разными игроками. Сколько списков из 5 пенальтистов
можно составить из 11 игроков, которые находились на поле?

4. Домашнее задание:

 1) Игрок в бридж при раздаче карт получает 13
карт. Сколькими способами он может упорядочить карты?

2) Выбрать одну азартную игру и составить по
ней 2 задачи.

Занятие 12.  Азартные игры. Турнир математиков.

 Аналогично занятию 3,9.

Форма проведения занятия: Интеллектуальная игра

Цели:

·        
Развитие
познавательного интереса к предмету математика, применение математических
знаний во внеурочной обстановке.

·        
Развитие у
учащихся познавательного интереса и любознательности.

·        
Воспитание
доброжелательности, инициативности, активности.

Ход занятия:

1. Сообщение темы и цели урока.

2. Задачи, рекомендованные для рассмотрения:

1. Парадокс дней рождения

 (Если дана группа из 23 или более человек, то
вероятность того, что, хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц)
совпадут, превышает 50%.)

2. Проходит Телеконкурс.

 Одно из заданий телеконкурса состоит в том,
что нужно угадать, за какой дверью находится приз. Конкурсанта просят подойти к
одной из дверей. Затем, ведущий открывает одну из дверей, не выбранных
конкурсантом, за которой нет приза, и предлагает поменять изначально выбранную
дверь на другую закрытую. Стоит ли принимать предложение ведущего, чтобы
повысить свои шансы на победу?

Раздел 4: «Современные игры»

Занятие 13,14. Разбор современных игр с точки
зрения математики.

Форма проведения занятия: определяется
учителем.

Изучив предыдущие разделы, ученики понимают,
что чем сложнее анализируемые ситуации, и чем они ближе к реальности, тем менее
категоричны математические методы, используемые при решении.

Цель: применить полученные навыки перевода игр
на математический язык.

В процессе игры вырабатывается привычка
сосредоточиваться, мыслить самостоятельно, развивается внимание, стремление к
знаниям. Увлекшись, учащиеся не замечают, что учатся: познают, запоминают
новое, пополняют запас представлений, развивают фантазию. Данные игры помогают
развивать логику, учиться просчитывать ходы на перед, помогает запомнить
степени 2. Игры, рекомендованные для рассмотрения:

·        
Крестики
нолики. 

(ученики всегда знают выигрышную стратегию, но необходимо
обсудить с ними почему, те или иные последовательности ходов являются
выигрышными)

·        
2048.

Математическая игра, созданная итальянским
разработчиком Gabriele Cirulli. Игровое поле состоит из сетки 4х4. Когда игра
начинается на «сцене» две плитки с номиналом 2.Передвигая плитки нужно сложить
плитки одного «номинала». Движение возможно в 4 стороны. 

1) Существует ли выигрышная стратегия?

2) Являются ли перечисленные ниже действия
выигрышной стратегией?

1.     
Создаем
«систему» из 4-х плиток. Плитка, с крупным «номиналом» будет «центральной
ячейкой», а с меньшими значениями «малыми ячейками».

2.     
Расположить
ячейки линейно по горизонтали на нижней платформе, при этом исключить движение
вверх.

3.     
Сумму
продвигать справа налево, в «центральную ячейку», через сеть «малых».

·        
Drew line.

Draw Line Classi – классическая головоломка. Суть игры состоит в том,
чтобы соединить точки по цветам при этом заполнив всю площадь поля. К какому
типу игр эта игра относится? В чем ее суть? 

·        
Карточная
игра «Пьяница».

В игре используется колода из 36, 52 или 54
карт. В игре могут участвовать от двух до восьми игроков. Колода раздаётся
поровну всем игрокам. Игроки не смотрят в свои карты (как в игре «Дурак»), а
кладут их в стопку рядом с собой. Первый ходящий снимает верхнюю карту из своей
стопки и кладет её в центр стола в открытом виде. Другие игроки по кругу делают
то же самое. Тот игрок, чья карта оказалась старше всех остальных, снимает свою
и «битые» карты и кладёт их в другую стопку (вариант: в низ своей стопки);
порядок складывания карт в разных вариантах игры может подчиняться тем или иным
правилам или быть произвольным, что позволяет вести ту или иную стратегию с
целью захватить у соперника как можно более старшие карты. Игрок, потерявший
все свои карты, выбывает из игры. Победителем считается игрок, в стопке у
которого окажется вся колода. Возможна и игра в поддавки, в которой выигрывает
тот, кто раньше остальных избавляется от своих карт.

1)     
К какому
типу игр относится эта игра?

2)     
Существует
ли выигрышная стратегия?

В Занятии 14 ученикам дается творческое
задание, составить выступление с разбором своей любимой современной игры.

Выступление должно содержать:

–       
описание
игры;

–       
ее
математические аспекты;

–       
разбор
выигрышной стратегии (если такая имеется)

–       
составление
задач по игре.

Ученики могут предоставить результаты своей
работы в виде плаката, газеты, мультимедийного пособия и в других видах.

БИБЛИОГРАФИЯ

1.     
Алгебра 7-9 класс [Текст] : учебник для
общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, Е. А. Бунимович, С. Б. Суворова и
др. ; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина; Рос. акад. образования. – 5–е
изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 288 с.

2.     
Аникеева, Н. П. Воспитание игрой [Текст] :
книга для учителя / Н. П. Аникеева – М.: Просвещение, 1987. – 144 с.

3.     
Балк, М. Б. Организация и содержание
внеклассных занятий по математике [Текст] / М. Б. Балк – М.: ГУПИ МП РСФСР,
1956. – 248 с.

4.     
Болл, У.  Математические эссе и
развлечения [Текст] / У. Болл, Г. Коксетер – М.: Мир, 1986. – 470 с.

5.     
Болотов, В. А. Письмо Министерства
образования Российской Федерации  № 03-93 ин/13-03 о введении элементов
комбинаторики, статистики и теории вероятности в содержание математического
образования основной школы [Электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.math.ru/teacher/doc/9
, свободный.

6.     
Большой психологический словарь [Текст]
/Б. Г. Мещеряков, В. П. Зинченко. – СПб.: прайм – ЕВРОЗНАК, 2005. – 672 с.

7.     
Бунимович, Е. А. Вероятность и статистика
5-9 класс [Текст] / Е. А. Бунимович, В. А. Булычев – М.: Дрофа, 2002. – 160 с.

8.     
Выготский, Л. С. Педагогическая психология
[Текст] / Л. С. Выготский – М.: АСТ, 2008. – 671 с.

9.     
Газман, О. С. Каникулы. Игра, воспитание.
О педагогическом руководстве игровой деятельностью школьников [Текст] : книга
для учителя / О. С. Газман, З. В. Баянкина и др. – М.: Просвещение, 1988. – 159
с.

10. 
Гнеденко, Б. В. Математика в современном
мире [Текст] / Б. В. Гнеденко – М.: Просвещение, 1977. – 128 с.

11. 
Горев, П. М. Уроки развивающей математики.
Задачи математического кружка [Текст] : учеб. пособие для 5-6 кл. / П. М.
Горев, В. В. Утемов – Киров: МЦИТО, 2014. – 207 с.

12. 
Григорьев, В. М Теория и история игры
[Текст] / В. М. Григорьев, С. В. Григорьев. – М.: ОДИ-International,
1995. – 107 с.

13. 
Гусева, И. Л. Математика. 6 класс.
Тестовые материалы для оценки качества обучения [Текст] : учеб. пособие / И. Л.
Гусева – М.: Интеллект-Центр, 2015. – 96 с. 

14. 
Дубровский, В. Н. Математические
головоломки [Текст] : учеб. пособие / В. Н. Дубровский, А. Т. Калинин – М.:
Знание, 1990. – 144 с.

15. 
Крутецкий, В. А. Психология обучения и
воспитания [Текст] / В. А. Крутецкий – М.: Просвещение, 1976. – 317 с.

16. 
Леонтьев, А. Н. Психологические основы
дошкольной игры / А. Н. Леонтьев // Советская педагогика. – 1944. – № 8 – 9, с.
37—47.

17. 
Математика 6 класс [Текст] : учебник для
общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков. – 25–е
изд. – М. : Мнемозина, 2009. – 288 с.

18. 
Математика 6 класс [Текст] : учебник для
общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин, С. Б. Суворова и др.
; под ред. Г. В. Дорофеева, И. Ф. Шарыгина ; Рос. акад. образования. – 11–е
изд. – М.: Просвещение, 2010. – 303 с.

19. 
Матюхина, М. В. Возрастная и
педагогическая психология [Текст] : учеб. пособие для студентов пед. ин–тов. по
спец. № 2121 «Педагогика и методика нач. обучения» / М. В. Матюхина, Т. С.
Михальчик, Н. Ф. Прокина и др. ; под ред. М. В. Гамезо и др. – М.: Просвещение,
1984. – 256 с.

20. 
Мухина, В. С. Возрастная психология
[Текст] : учебник для студентов высших учеб. заведений / В. С. Мухина. – 14-е
изд. – М.: «Академия», 2012. – 655 с.

21. 
Нестерова, О. В. Педагогическая психология
в схемах, таблицах и опорных конспектах [Текст] / О. В. Нестерова – М.:
Айрис-пресс, 2006. – 112 с.

22. 
Перельман, Я. И. 101 головоломка [Текст] /
Я. И. Перельман – М.: АСТ, 2015. – 192 с.

23. 
Перельман, Я. И. Весёлые задачи [Текст] /
Я. И. Перельман – М.: АСТ, 2014. – 288 с.

24. 
Петраков, И. С. Математические кружки в
8-10 классах [Текст] / И. С. Петраков – М.: Просвещение, 1987. – 224 с.

25. 
Рыбников, К. А. История математики [Текст]
/ М.: Издательство Московского Университета, 1963. – 336 с.

26. 
Саранцев, Г. И. Методика обучения
математике в средней школе [Текст] : учеб. пособие для студентов мат.
специальностей пед. вузов и ун-тов, обучающихся по специальности 032100
Математика / Г. И. Саранцев. – М.: Просвещение, 2002. – 223 с.

27. 
Фарков, А. В. Внеклассная работа по
математике. 5-11 классы. [Текст] / А. В. Фарков – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288
с.

28. 
Федеральный государственный
образовательный стандарт основного общего образования [Текст] / ред. И. А.
Сафронова – М.: Просвещение, 2014. – 48 с.

29. 
Фридман, Л. М. Психолого-педагогические
основы обучения математики в школе [Текст] / Л. М. Фридман – М.: Просвещение,
1983. – 160 с.

30. 
Heims,
S. John Von Neumann and Norbert Wiener: from mathematics to the technologies of
life and death [Text] / MIT Press, 1980. — 568 p.

            Тема: «Математический кружок как один из видов                          

                          внеклассной работы по математике»

        Содержание.                                                                                    Стр.

1. Введение.                                                                                              3

2. Организационные формы внеклассной работы по математике.     4

3. Планирование кружковой работы по математике.                           6

4. Разработки занятий математического кружка.                                 7

5. Заключение.                                                                                        27

6. Список  литературы.                                                                          28

       1.Введение.

Дополнительные возможности для развития способностей учащихся и привития им интереса к математике и её приложениям предоставляют различные внеклассные формы занятий по математике. Они могут быть нацелены на развитие определенных сторон мышления и черт характера учащихся, иногда не преследуя в качестве основной цели расширение или углубление фактических знаний по математике. Такое расширение происходит как бы само собой, как результат возникшего интереса к предмету, воспитанной в ходе занятий настойчивости и как следствие обнаружившейся легкости математики.

Внеклассная работа по математике призвана решать две основные задачи:

1. Повысить уровень математического мышления, углубить теоретические знания и развить практические навыки учащихся, проявивших математические способности;

2. Способствовать возникновению интереса у большинства учеников.

Решение первой задачи преследует цель удовлетворить запросы и потребности учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, решение второй должно обеспечить создание дополнительных условий для возникновения и развития интереса к математике у оставшегося большинства.

    Правильно поставленная и систематически проводимая внеклассная работа укрепляет математические знания учащихся, приобретенные ими на уроках, расширяет математический кругозор детей, позволяет более глубоко ознакомить их с историческим развитием отдельных математических идей.  

       2. Организационные формы внеклассной работы по математике.          

       Внеклассная работа зарождается на уроках математики. Это решение задач повышенной трудности. Часть этих задач может быть решена в классе и при всех учащихся, хотя не надо требовать, чтобы их умел решать каждый. Другая часть таких задач связывает содержание и формы классных и внеклассных занятий. Формы проведения внеклассных занятий должны быть разнообразными, выбираться с учетом возрастных особенностей учащихся, должны бать рассчитаны на различные категории учащихся: на интересующихся математикой и одаренных учащихся и на учащихся, не проявивших ещё интереса к предмету. Они должны во многом отличаться от форм проведения уроков. При организации внеклассных занятий важно не только серьёзно задумываться над их содержанием, но обязательно – над методикой их проведения, формой. Её основные формы: кружковые занятия, конкурсы, решения задач, вечера, добровольные зачеты, турниры, олимпиады и т.п.

Проведение кружковых занятий в значительной степени близко к урокам. Сходство классных и внеклассных занятий определяется организационной формой коллективной учебной работы, когда учитель ведет занятие с группой учащихся, проводит необходимые пояснения, спрашивает учащихся. При этом целесообразно учащимся предоставлять собственные суждения по обсуждаемому вопросу.

Надо учесть, что иногда «неправильные» рассуждения и их опровержения, тренировка в «разговоре» на математические темы дает учащимся больше пользы, чем сообщение учителем готовых решений. Это необходимо для развития у учащихся собственной инициативы, личного подхода к решению данной задачи. Важно чаще практиковать различные способы решения задачи, не стремиться навязывать свое решение. Лучше решить одну задачу двумя-тремя способами, чем одним способом три задачи.

Вместе с тем учителю необходимо следить за тем, чтобы тематика кружковых занятий была разнообразной. Темп проведения кружковых занятий должен постепенно возрастать. Ценность содержания внеклассной работы определяется разнообразием тематики и методов решения задач, новизной по отношению к содержанию урока математики в классе. Школьников обязательно надо учить ориентироваться в незнакомых ситуациях и областях, решать задачу на незнакомую фабулу, с непривычным для них математическим содержанием.

 В работе математического кружка большое значение имеет занимательность материала и систематичность его изложения. Занимательность повышает интерес к предмету и способствует осмыслению важной идеи: математика окружает нас, она везде. Систематичность изложения материала может быть направлена на общее умственное развитие учащихся.

Нецелесообразно на кружковых занятиях по математике проводить систематическое повторение пройденных вопросов, так как сообщение учащимся математических фактов, подлежащих обязательному усвоению, не является основной задачей внеклассной работы.

Каждая из форм внеклассной работы обладает своими особенно ценными качествами.

         3. Планирование кружковой работы по математике.

         Основной формой внеклассной работы по математике являются математические кружки. В 5, 6 классах планируется проводить по два занятия в месяц на определённую тему.

        Ориентировочное тематическое планирование работы математического кружка для учащихся 5-6-ых классов.

Раздел 1. Логика и смекалка (12 часов)

Задачи на сравнение, взвешивания, переливания, перекладывания, дележи, комбинаторные задачи, сюжетно-логические задачи, принцип Дирихле, геометрические задачи (упражнения со спичками, задачи на “разрезание” вычерчивание одним росчерком.

Раздел 2. Цифры и числа (8 часов)

Десятичная запись числа, числовые игры (ребусы, логические квадраты)

Раздел 3. Делимость и остатки (8 часов)

Признаки делимости, остатки, НОД, НОК.

Раздел 4. Вычисления (8 часов)

Задачи “на движение”, задачи “на части”, решение “от конца к началу”, задачи на проценты, пересечение и объединение.

 4. Разработки занятий математического кружка.

Тема: Взвешивания, переливания. 

Цели: 

1. Научить творчески относится к решению каждой интересной задаче.
2. Обучение общим приёмам решения разнообразных задач на взвешивания и переливания.
3. Отработка умения логически рассуждать, правильно строить свои умозаключения.
4. Привитие вкуса к логическим рассуждениям.

Методические рекомендации: Учитель должен учесть, что чем больше учащихся заинтересуются математикой, достигнут конкретных успехов, тем легче будет продолжать занятия кружка. Поэтому, переходя к рассмотрению второй темы, учитель уже может сделать вывод, насколько владеют его учащиеся основными методами решения нестандартных задач. На данном занятии идёт отработка умений правильно строить свои умозаключения, логически рассуждать, объяснять каждый шаг в процессе решения. Мало кто из учащихся может предложить решение задачи устно. Большая часть из них уделяет серьёзное внимание оформлению решения. Поэтому, чтобы не возникла неуверенность, а решения задач приводили к желаемому результату, на первых занятиях следует учить оформлять решение задач.

Взвешивания.

1) В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только чашечные весы без гирь, отмерить 9 кг гвоздей?

2) Из девяти монет одна фальшивая, она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно монета фальшивая?

3) Есть 9кг. крупы и чашечные весы с гирями 50 г. и 200 г. Как в три приёма отвесить 2 кг крупы?

4) На складе имеются гвозди в ящиках по 24, 23, 17 и 16 кг. Можно ли отправить со склада 9 кг гвоздей, не распечатывая ящики?

5) В пакете 3 кг. 600 г. крупы. Как разделить крупы на три части: две по 800 г. и 2 кг, сделав три взвешивания на чашечных весах, имея одну гирю в 200 г.

6) Имеются двух чашечные весы и массой 1, 3, 9, 27 и 81 г. На одну чашку весов кладут груз, гири разрешается класть на обе чашки. Докажите, что весы можно уравновесить, если масса груза равна
а) 13 г.;
б) 19 г.;
в) 23 г.;
г) 31 г.

7) Из 75 одинаковых по виду колец, одно отличается от других по весу. Как за два взвешивания на чашечных весах определить, легче или тяжелее это кольцо, чем остальные?

8) Имеется одиннадцать мешков монет. В десяти мешках монеты настоящие (весят по 10 г.), а в одном фальшивые (весят по 11 г.). Одним взвешиванием определите, в каком мешке фальшивые монеты.

9) Имеются 4 арбуза различной массы. Как, используя чашечные весы без гирь, не более чем за 5 взвешиваний расположить их по возрастанию массы?

10) Из четырёх внешне одинаковых деталей одна отличается по массе от четырёх остальных, однако, не известно больше её масса или меньше. Как выяснить эту деталь двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь?

11) Дано 6 гирь: две зелёных, две красных, две синих. В каждой паре одна гиря тяжёлая, одна лёгкая, причём все тяжёлые весят одинаково. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах найти все тяжёлые гири?

Решения

1) Основная доступная операция – деление некоторого (вообще говоря, произвольного) количества гвоздей на две равные по весу кучи. Результаты взвешивания будем записывать в таблицу:

Вначале имеем 24 кг.

———-	1 куча	2 куча	3 куча	4 куча
1-й шаг	12 кг	12 кг
2-й шаг	12 кг	6 кг	6 кг
3-й шаг	12 кг	6 кг	3 кг	3 кг

2) Первое взвешивание: положим по три монеты на каждую чашку весов. Возможны два случая.

1 случай:  имеет место равновесие, тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая находится среди тех монет, которые не взвешивались.

2 случай: если одна из кучек легче, то в ней фальшивая монета. Теперь требуется найти фальшивую монету среди трёх имеющихся, действуя аналогично.

3) С помощью операции деления пополам за два взвешивания отвесим 2 кг. 250 г. С помощью гирь 50 и 200 г. уберём “лишние” 50 г.

Переливания.

1) Три сосуда вместимостью 20 л наполнили водой, причём в первом – 11 л, во втором – 7 л, а в третьем – 6 л. Как разлить имеющуюся воду поровну, если в сосуд разрешается наливать только такое количество воды, которое в нём уже имеется?

2) Как, имея пятилитровую банку и девятилитровое ведро, набрать из реки ровно три литра воды?

3) Как из восьмилитрового ведра, наполненного водой, отлить 1л с помощью трёхлитровой банки и пятилитрового бидона?

4) В шестилитровом ведре содержится 4л кваса, а в семилитровом – 6л. Как разделить весь имеющийся квас пополам, используя эти вёдра и пустую трёхлитровую банку?

Решения:

1) Решения удобно записать в виде таблицы:

	1 сосуд	2 сосуд	3 сосуд	4 сосуд
Первоначальное кол-во	11л	7л	6л
Переливание 1с	4л	14л	6л	Из 1 во 2
Переливание 2с	8л	14л	2л	Из 3 в 1
Переливание 3с	8л	12л	4л	Из 2 в 3
Переливание 4с	8л	8л	8л	Из 2 в 3

2) Ход решения удобно записать в виде таблицы:

Вместимость сосуда	Шаг 0	Шаг 1	Шаг 2	Шаг 3	Шаг 4
5л	0	0	5	0	4
9л	0	9	4	4	0
	Шаг 5	Шаг 6	Шаг 7	Шаг 8
5л	4	5	0	5
9л	9	8	8	3

          Тема: Интересные приёмы устных вычислений.

         Цель: познакомить с приёмами устных вычислений; развивать вычислительные навыки.

      Учитель: Человеку в повседневной жизни приходится сталкиваться со счётом. Нередко нам приходится тратить много времени на вычислительную и весьма утомительную работу там, где, зная, приёмы устных вычислений, можно затратить мало времени.

   Приёмы вычислительной техники помогут вам и на уроках математики, и в жизни. И вы можете приятно удивить ваших друзей , родителей знаниями этих приёмов.

1. Умножение числа на 11.

Случай 1.  36*11=396.

3+6=9 и эту сумму (9) ставим между десятками и единицами.

Случай 2.  39*11=429.

Сумма 3+9=12 больше десяти, тогда излишек на 10 (2) пишем между десятками и единицами, а число десятков увеличиваем на 1.

Случай 3.

1. 36235*11=398585

1. На первом месте слева пишем 3;
2. Складываем 3+6=9 и пишем рядом;
3. 6+2=8;
4. 2+3=5;
5. 3+5=8;
6. На последнем месте пишут число единиц 5.

1. 3876532*11=42641852

1. На первом месте справа пишем 2;
2. 3+2=5;
3. 3+5=8;
4. 6+5=11, 1 пишем и 1 запоминаем;
5. 7+6=13; 13+1=14;
6. 8+7=15; 15+1=16;
7. 8+3=11; 11+1=12;
8. 3+1=4 – это первое число слева.

1. Умножение на 111.

25*111=2775

1. Находим сумму цифр данного двузначного числа 2+5=7;
2. Между цифрами первого множителя дважды пишем  сумму цифр данного двузначного числа.

1. Умножение двузначных чисел, оканчивающихся 1.

1. 41*51=209

1. 4*5=20 – произведение десятков – это начало числа;
2. 4+5=9 – сумма десятков – это следующее число ответа;
3. Справа приписываем 1.

1. 61*51=3111

1. К произведению разрядных десятков прибавляем 1, получаем начало результата (6*5=30; 30+1=31);
2. Складываем число десятков 6+5=11, число единиц(1) и будет следующим знаком искомого произведения;
3. Приписываем справа единицу.

1. Умножение двузначных чисел, начинающихся единицей.

1. 19*12=228

1. 19+2=21 или 12+9=21, т.е. находим сумму одного из множителей(19) с числом единиц(2) второго множителя. Надо иметь в виду, что полученная сумма(21) означает число десятков;
2. Находим произведение единиц 2*9=18. Здесь 1 – число десятков.
3. 8 записываем на первое место справа, а  21+1=22 записываем слева от 8

1. Умножение двузначного числа на 101 и 1001.

1. 36*101=3636.

1. Надо рядом записать полное число два раза.

1. 36*1001=36036.

1. Умножение двузначного числа на 15.

Число 15 представляет 3/2 части от 10.

1. 42*15=630(когда первый множитель делится без остатка на ‹‹2››).

1. 42:2=21;
2. 42+21=63;
3. 63*10=630.

1. 63*15=945(когда первый множитель не делится без остатка на ‹‹2››, тогда приписывают 5)

1. 63:2=31(ост.1);
2. 63+31=94;
3. К 94 справа приписываем 5.

1. Умножение числа на 9.

1. 38*9=342

1. Отнимаем от первого множителя число, на единицу большее числа десятков (3+1=4 и 38-4=34);
2. Справа приписываем число единиц, которые являются дополнением к первому множителю до ближайших круглых десятков(38+2=40).

1. Умножение на 5.

1. 348*5=1740(первый множитель делится на 2 без остатка).

1. 348:2=174;
2. 174*10=1740.

1. 271*5=1355(первый множитель не делится на 2 без остатка).

1. 271:2=135(ост.1);
2. Справа к полученному частному приписываем 5.

1. Умножение на 25.

  Число 25 есть число, составляющее  ¼ часть от 100. Поэтому это число делится на 4.

1. 36*25=900

1. 36:4=9;
2. Справа приписываем два нуля.

1. 37*25=925(37:4=9 ост.2)
2. 38*25=950(38:4=9 ост.3)
3. 39*25=975(39:4=9 ост.3)

   Если при делении первого множителя на 4 получаются остатки 1,2,3, то справа приписывают 25,50,75 соответственно.

1. Умножение на 125.

  Т.к. 125 есть 1/8 часть 1000, то:

1. Если при делении на 8 нет остатка, то к частному приписываем три нуля;
2. При делении на 8 могут быть остатки 1,2,3,4,5,6,7, поэтому к частному надо приписать соответственно:

1. 125*1=125;
2. 125*2=250;
3. 125*3=375;
4. 125*4=500;
5. 125*5=625;
6. 125*6=750;
7. 125*7=875.

  Пример:  874*125=109250( 874:8=109 ост.2).

     Обобщающее занятие-путешествие по основным темам кружковых занятий в 6-м классе

Цель: Обобщить и систематизировать знания по 4 основным тема кружковых занятий:

1. Решение задач с помощью графов;
2. Задачи “на бассейны”;
3. Принцип Дирихле;
4. Задачи на взвешивание.

Оформление:

1. Кабинет оформлен под морское путешествие.

Вывески островов: 

1. остров Граф;
2. остров Старинных задач;
3. остров Дирихле;
4. архипелаг Вероятностей; королевство Взвешиваний

2. Плакаты: 

1. виды графов: таблица истинности; множество; схемы; чертежи к условиям задач;
2. старинные задачи весы

3. Приз: медаль “Супер – математик”

4. Портреты Магницкого, Толстого, Ньютона, Пифагора.

5. Костюмы.

  Ведущий 1: Начинаем очередное занятие математического кружка “За страницами учебника математики”. На нашем занятии мы систематизируем знания по 4 темам, которые вы наиболее часто будете применять в дальнейшей математике.

Сегодня у нас совместное заседание двух кружков. В гостях у нас учащиеся 10 класса. Это занятие мы проведём в игровой форме.

Учащиеся 10 класса:

1. Мы совершим с вами увлекательное путешествие в страну Математика. Обычно в путешествие берут компас, но в нашем путешествии нам помогут наши друзья: карандаш и бумага.

2. Слово “Математика” пришло к нам из древнегреческого языка. По древнегречески  “мантанейн” означает “учиться”, “приобретать знания”. Много тысяч лет люди накапливали математические знания, т. е. знания о числах, количествах и количественных отношениях. Без таких знаний древние египтяне, например, не могли бы построить знаменитые пирамиды.

3. Математика помогает нам познавать и совершенствовать тот мир, в котором мы живём. Запуск на орбиту спутников, строительство автострад, вождение поездов, даже оклейка стен обоями, – всё это и многое, многое другое было бы просто невозможно без математических расчётов. Математика может научиться мыслить яснее и последовательнее.

4. На пути в страну Математика, нам повстречаются острова и архипелаги, где мы будем делать остановки.

Ведущий 1: В морское путешествие мы отправимся на корабле “МиФ”, капитаном которого буду я. А вы будете членами команды и моими помощниками.

Ведущий 1: Плывём, но точного курса не знаем. Вначале нам нужно попасть на остров “Граф”, где мы найдем подсказку для дальнейшего путешествия. Итак, держим курс на остров “Граф”. Я слышала, что этот остров появился недавно, жители этого острова помогают тем, кто испытывает трудности при решении задач. Говорят, что самые трудные задачи они представляют в виде схем и чертежей так, что потом остаётся прочитать только ответ. Команда готова к высадке на берег?

Остров “Граф”

Встречают два смотрителя (учащиеся 10 класса)

1. Добро пожаловать на остров “Граф”. Мы смотрители этого острова и мы знаем, что привело вас к нам. Вы хотите получить подсказку для путешествия. Наш остров необычный. Вся жизнь на нём протекает по своим схемам, законам и зависимостям. Мы вам предложим одну ситуацию. Если вы решите её так, как решают жители нашего острова, то получите подсказку для дальнейшего путешествия.

Задача: Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревнованиях, причём никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь два места. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили:

1. Коля – ни первое, ни четвёртое

2. Боря – второе

3. Вова – не был четвёртым

Какое место занял каждый мальчик?

(Команда решает задачу. Решение на доске в виде таблицы истинности.)

Решение:

	1	2	3	4	ответ
Коля Боря Вова Юра	Нет да	да	да	Нет Нет да	3 2 1 4

1 смотритель: Ну что же! Я вижу, что вы владеете одним из видов графов – таблицей истинности. Но есть и другие способы задания графов:

1. схемы, диаграммы;
2. множества; (смотритель предлагает посмотреть таблицы с графами)
3. точки – линии.

Если взглянуть на географическую карту, то бросается в глаза сеть железных дорог. Это типичный граф; кружочки обозначают станции – вершины графа, а соединяющие их пути – рёбра.

Графы используют при нахождении наилучших вариантов развозки товаров по магазинам, часто используют для решения логических проблем, связанных с перебором вариантов. Можно составить граф любой позиционной игры: шахмат, шашек, “крестиков – ноликов” и т. д. Надеюсь моя информация пригодится вам в дальнейшем.

Желаю вам удачи в вашем путешествии. Вашей следующей остановкой будет остров Старинных задач. Координаты этого острова вы найдёте в конверте, который даст вам второй смотритель.

2 смотритель: 

Но для начала немного информации.

Из первых известных письменных источников мы узнаём о том, что математические знания на Руси были распространенны уже в Х – ХI веках. Они были связанны, естественно, с практическими нуждами людей, с летоисчислением, с вычислением поголовья и стоимости стада, с определением прибыли от сбора урожая и т.д.

В XVI–XVII веках в России начинает появляться и распространяться рукописная математическая литература. В основном она предназначалась для купцов, торговцев, чиновников и носила сугубо практический характер.

В 1703 г. выходит в свет знаменитая “Арифметика” Леонтия Филипповича Магницкого, которая являлась энциклопедией математических знаний того времени. Магницкий приводил очень много задач с остроумным содержанием, занятными формулировками, интересными способами решения. Задачи из учебника Магницкого весьма жизнеспособны.

Кроме знаменитых задач Магницкого до нашего времени дошли знаменитые задачи Пифагора, Ньютона, Толстого. ( Над вывеской острова Старинных задач представлены портреты Пифагора, Ньютона, Архимеда, Толстого)

Думаю, эта информация поможет вам, когда вы доберётесь до острова Старинных задач. Предупреждаю, что остров не обитаем. Там вы найдёте шифровку, расшифровав которую получите подсказку. (Смотритель отдаёт конверт.)

Ведущий 1: Держим курс на остров Старых задач. Откроем конверт: 1/а + 1/в = 1/с Что это? (Ответ команды: формула задач “на бассейны”.)

Эта формула показывает важную зависимость между величинами, которые часто встречаются в природе и в жизни. Здесь за один берётся: • объём бассейна; • расстояние; • выполненная работа; • кадь пития; • воз сена и т. д.

Задачи “на бассейны” – это классические задачи, известные с древнегреческих времён. К сожалению, в конце 60 – х годов эти задачи исчезли из учебников математики 4 – 5 классов. Вот и сейчас корабельный кок принёс мне сообщение:

“Имеющегося запаса воды хватит девочкам на 6 дней, а мальчикам на 3 дня. На сколько дней пути хватит воды всей команде?”.  ( Решение объявляется вслух. Команда решает задачу.)

Ведущий: Да, с такой командой и без воды можно путешествовать, но не будем терять времени. Впереди ещё много испытаний. Внимание, корабль подходит к острову. Команде высадится на берег. Остров “Старинные задачи”/

(Декорация: одинокое дерево, на котором прикреплены карточки с задачами, предлагаемые ученикам) Внимание, шифровка:

И 6

Д 611

Е 3целых 516

Р 12

Х 4целых 15

И 6

Л 1215

Условие. Ответы заменяем буквами: ответ первой карточки – первая буква шифровки, и т. д.

Карточки с задачами:

Задача № 1: Лев съел овцу за 1 час, волк съел овцу за 2 часа, а пёс съел овцу за 3 часа. Как скоро они втроём съели бы одну овцу?

Задача № 2: Одна труба заполняет бак водой за 10 минут, а другая этот же бак за15 мин. За сколько минут заполняет бак водой обе трубы, работая одновременно?

Задача № 3: Один автомат выполняет заказ за 20 минут, а другой этот же заказ – за 30 минут. За сколько минут выполнят заказ оба автомата, работая одновременно?

Задача № 4: Путешественник идёт из одного города в другой за 10 дней, а другой путешественник тот же путь проходит за 15 дней. Через сколько дней встретятся путешественники, если выйдут одновременно навстречу друг другу из этих городов?

Задача № 5: Один косец скашивает луг за 6 дней, а другой этот же луг скашивает за 14 дней. За сколько дней скосят луг оба косца, работая вместе?

Задача № 6: Четыре плотника хотят построить дом. Первый плотник может построить за год, второй – за 2 года, третий – за 3 года, а четвёртый за 4 года. За сколько лет они построят дом при совместной работе? (Из “Арифметики” Л. Ф. Магницкого)

Задача № 7: Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Задачи команда решает самостоятельно. Проверка ведётся ведущими.

Расшифровка: Д И Р И Х Л Е

Ведущий 1: Держим курс на остров “Дирихле”. Остров Дирихле! Посмотрим, что записано об этом острове в моём бортовом журнале. Ничего. А вам, ребята, это название ни о чём не говорит?

Информация учеников: Принцип Дирихле – распределение вещей по ящикам

Простая формулировка: если вещей больше, чем ящиков, по которым мы хотим их разложить, то, по крайней мере, в одном из ящиков должно быть 2 или более вещей.

Шутливая формулировка: нельзя посадить 7 зайцев в 3 клетки так, чтобы в каждой клетки находилось не более 2-х зайцев.

Ведущий 1: Команде высадится на берег.

Остров “Дирихле”

Встречает команду немецкий математик профессор Дирихле (учащийся 10 класса)

Дирихле: Стой! Назад! Я математик Дирихле. Вы ступили в мои владения. Но никто не сделает и шагу, не познакомившись со мной. Я внимательно наблюдал за вами во время вашего путешествия и убедился, что вы немного знаете и о моих достижениях. Вы знаете, что я разработал принцип распределения величин, а также вам известна простая и шутливая формулировка этого принципа. А так как вам известен мой принцип, то я уверен, что вы можете решать простые задачи на распределение вещей по ящикам. Но имейте ввиду, что существуют более и усложнённые варианты принципа, с которыми вы познакомитесь позже. А сейчас я вам сформулирую принцип с математической точки зрения и покажу его применение на примере задачи, которая предлагалась на математической районной олимпиаде. Итак:

Принцип Дирихле – принцип ящиков – предложение, утверждающее, что в случае m>n, при отнесении каждого из m предметов к одному из классов n, то хотя бы в один класс попадёт не менее двух предметов.

Задача. В розыгрыше кубка по футболу в один круг участвуют 30 команд. Доказать, что в любой момент найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество игр.

Дирихле: Надеюсь, что эта встреча оказалась для вас полезной. До меня дошли слухи, что вы следуете в страну Математика. Я желаю вам достигнуть этой земли без трудностей. По пути вам встретится архипелаг вероятностей, где живет королева Взвешиваний. Посетите это королевство, оно должно вам понравиться. Но имейте ввиду, что всем в этом королевстве заправляет министр Весов. Он очень коварен и любит задавать трудные вопросы и задачи. Королева Взвешиваний укажет вам, как попасть в страну Математика.

В добрый путь!

Ведущий: Без паники! Мы уже прошли такой трудный путь, что никакие другие приключения нам уже не страшны. По курсу – королевство Взвешиваний.

Королевство Взвешиваний.

Встречает министр Весов (учащийся 10-го класса).

Министр: С чем пожаловали?

Команда: Мы хотели бы познакомиться с королевством и самой королевой.

Министр: Королева любит умных людей и принимает только тех, кто может решить её задачи.

Министр предлагает на выбор одну из двух задач. (Карточки на чашах рычажных весов).

№ 1. Из восьми колец одно несколько легче остальных. Найди это кольцо, использую чашечные весы не более, чем двумя взвешиваниями.

№ 2. Из восьми внешне одинаковых монет 7 золотых и одна фальшивая, которая несколько легче остальных. Требуется при помощи не более чем двух сравнений массы данных монет на чашечных весах определить фальшивую монету. (Решение одинаково для обеих задач. Решение задачи выносится на доску и обсуждается всей командой.)

Министр: Молодцы! Я вижу, что вы умеете решать задачи на взвешивания. А сейчас я вам предложу решение задачи, которая была предложена учащимся на районной математической олимпиаде. Задача: Имеются 4 пакета и весы с двумя чашечками без гирь. С помощью 5 взвешиваний расположить пакеты по весу. Идет решение задачи и ее обсуждение.

Итог.

Ведущий 2: Вы ищете страну Математика? Ну, тогда я обрадую вас тем известием, что вы и находитесь в стране Математика. Всё наше путешествие от самого начала до самого конца было путешествием по стране Математика. Мы все внимательно наблюдали за тем, как вы доблестно преодолевали одно препятствие за другим. И, наконец, достигли своей цели. Вы показали свои умения и смекалку при решении задач и разрешении ситуации. Надеемся, что путешествие оказалось интересным, и вы получили от него удовольствие. Пусть наше занятие послужит для вас стартовой площадкой для увлекательных путешествий в страну Математика.

       Математическое путешествие – это поход в неизвестность, но мы постараемся в следующих классах разыскать тот самый путь, от которого вы будете испытывать удовольствие. В чём же ценность удовольствия? Это, может быть, самый трудный вопрос, потому что ответ на него зависит от ваших усилий. Если вы будете работать так же серьёзно, как и сегодня, то испытаете удовольствие неминуемо.

Пытаясь решить задачу разными способами, находя для себя новые пути, вы научитесь лучше решать задачи – не только математические, но и все, которые ставит жизнь.

А теперь давайте, определим среди вас супер-математика.

(По наибольшему количеству жетонов определяется супер-математик и ему вручается медаль).

     5. Заключение.

      В процессе учебной  и внеклассной деятельности школьника, большую роль, как отмечают психологи, играет уровень развития познавательных процессов. Развитие и совершенствование познавательных процессов будет более эффективным при целенаправленной работе в этом направлении, что повлечет за собой и расширение познавательных возможностей детей. Когда ребенок занимается из-под палки, он доставляет учителю массу хлопот и огорчений, когда же дети занимаются с охотой, то дело идет совсем по-другому. Активизация познавательной деятельности ученика без развития его познавательного интереса не только трудна, но практически и невозможна. Вот почему в процессе обучения необходимо систематически возбуждать, развивать и укреплять познавательный интерес учащихся и как важный мотив учения, и как стойкую черту личности, и как мощное средство воспитывающего обучения, повышения его качества. В этом учителю помогает  правильная организация внеклассной работы и математического кружка.

       Познавательный интерес направлен не только на процесс познания, но и на результат его, а это всегда связано со стремлением к цели, с реализацией ее, преодолением трудностей, с волевым напряжением и усилием.

      6. Литература: 

1. Задачи повышенной трудности в курсе 4-5-х классов. Кострикина Н.П.-   М., “Просвещение”, 1986
2. Математика после уроков.  Балк М.Б., Балк Г.Д.  – М.: «Просвещение», 1979.
3. Вопросы внеклассной работы по математике в школе. Подашов А.П.  – М.: Учпедгиз, 1962.
4. Занимательные задания в обучении математике. Шуба М.Ю. – М.: «Просвещение», 1995.
5. Час занимательной математики. Под ред. Л.Я. Фальке. – М.: Илекса, 2005.
6. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). Козлова Е. Г. – М.: МЦНМО, 2004.
7. Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5-6 кл. общеобразоват. учрежден. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. – М.: Просвещение, 2003.

Библиографическое описание:

Дубова, А. В. Логические задачи на математических кружках в основной школе / А. В. Дубова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2015. — № 14 (94). — С. 463-466. — URL: https://moluch.ru/archive/94/21246/ (дата обращения: 19.05.2023).

Данная статья посвящена обзору применения логических задач на математических кружках в основной школе. Использование логических задач на внеклассной работе позволяет совершенствовать логическое мышление, формировать интерес к предмету, расширить математический кругозор.

Ключевые слова:логические задачи, математический кружок, логическое мышление, метод таблиц, метод рассуждений.

This article is about the usage of logical exercises on mathematical additional lessons at basic school. The usage of logical exercises on mathematical additional lessons improves logical thinking, generates interest and broadens the mind in math.

Keywords: logic tasks, mathematical additional lessons, logical thinking, table method, method of reasoning.

В учебно-воспитательном процессе одной из важных составляющих является внеклассная работа по математике. Принимая участие во внеклассной работе, учащиеся раскрывают свои творческие способности, которые не всегда проявляются на уроках, углубляют знания по предмету, развивают логическое мышление, а также учатся жить в коллективе, сотрудничать друг с другом.

Одна из наиболее действенных и продуктивных форм внеклассной работы — это математический кружок. При его организации необходима мотивация школьников, показать им, что данный вид работы отличается от деятельности на уроках. В работе математического кружка большое значение имеет увлекательность материала и систематичность его изложения. Подбор занимательных заданий повышает у учащихся интерес к математике. Систематичность изложения материала формирует умственные способности школьников. Задания, которые предлагаются в учебниках, очень часто не могут заинтересовать учеников, а вот нестандартные, интересные задания могут вызвать интерес даже у отстающих школьников. Поэтому кружок может посещать любой заинтересованный ученик, вне зависимости от его успеваемости на уроках.

Основными целями математического кружка являются [3]:

1.                  Содействовать обогащению математического кругозора школьников;

2.                  Сформировать у учащихся приемы и навыки решения нестандартных, логических, комбинаторных задач;

3.                  Привить у учащихся интерес к математике;

4.                  Развить творческие способности и эрудицию;

5.                  Воспитать трудолюбие и самостоятельность при решении заданий.

Для эффективного достижения поставленных целей занятия целесообразно проводить один — два раза в неделю, выделяя на каждое по одному часу. Продолжительность кружка для учащихся 5–6 классов может составлять 30–45 минут. На занятиях кружка учитель должен создать благоприятные условия для работы учащихся. Ученик должен быть нацелен на конструктивный диалог с учителем и другими учениками, а также способен отстаивать свою точку зрения. Надо учесть, что иногда «ошибочные» рассуждения и их отрицания, упражнения в «диалоге» на математические темы дает школьникам больше пользы, чем рассказ учителем решенных заданий.

Существенная работа для развития логического мышления должна вестись с задачей, так как в любой задачи заложен значительный потенциал для развития логического мышления. Отличным инструментарием для такого развития являются логические задачи.

К логическим задачам традиционно относятся задачи на установление соответствия между множествами, использующие истинные и ложные высказывания. Их можно решать разными способами, но наиболее распространенными являются три способа [1, стр. 12]:

1)                 с помощью алгебры логики;

2)                 табличный способ;

3)                 с помощью рассуждений.

Чтобы правильно решать логические задачи, необходимо знать основные этапы их решения [1]:

1)                 анализ условия задачи;

2)                 схематическая запись задачи;

3)                 поиск способа решения задачи;

4)                 осуществление решения задачи;

5)                 запись ответа.

Покажем применение логических задач на математическом кружке в основной школе.

Задача 1. Оценки

Лиза, Настя, Катя спросили у учителя, какие оценки они получили за контрольную работу по математике. Учитель ответил:

«Плохих оценок нет. У вас троих оценки разные»:

1)                 У Лизы не «3»;

2)                 У Кати не «3» и не «5».

Кто какую оценку получил? [2]

Решение.

способ (с помощью рассуждений).

Исходя из условия (2) можно сделать вывод, что у Кати оценка «4». Так как по условию «1» у Лизы не «3», значит у девочки оценка «5», следовательно, у Насти оценка «3».

Ответ: у Лизы «5», у Кати «4», у Насти «3».

IIспособ (с помощью таблиц).

Из условия задачи можно выделить два множества: множество оценок и множество имен. Каждое множество состоит из трех элементов. Составим таблицу исходных данных. Из условия (1) следует, что у Лизы не «3», значит в пересечение столбца «Лиза» и строки «3» ставим знак «-».

По условию (2) у Кати не «3» и не «5», следовательно, поставим в пересечении столбца «Катя» и строк «3» и «5» знак «-».

Таблица 1

Из таблицы видно, что у Кати «4», следовательно, ставим в соответствующей ячейке знак «+». А также ставим знак «-» в пересечении строки «4» и столбцов «Лиза» и «Настя».

Таким образом получается, что у Лизы не «3», но и не «4», значит у Лизы оценка «5», ставим соответствующие знаки в соответствующие ячейки.

Тогда, очевидно, у Насти «3» (не «4» и не «5»).

Таблица 2

Ответ: у Лизы «5», у Кати «4», у Насти «3».

Задача 2. Игрушки

Купленные в подарок игрушки (пистолет, мишку, куклу и машинку) уложили в 4 коробки, по одной игрушке в каждую:

1)      Машинка и пистолет не в красной коробке;

2)      Коробка с мишкой находится между синей коробкой и коробкой с куклой;

3)      В зелёной коробке не мишка и не машинка;

4)      Жёлтая и зеленая коробки находятся около коробки с пистолетом.

Что положено в каждую коробку? [2]

Решение.

Iспособ (с помощью рассуждений).

Из условий (1) и (4) получается, что пистолет находится в синей коробке. Следовательно, учитывая условия (1) и (3) машинка находится в желтой коробке. Учитывая полученные данные и условие (3) получается, что мишка находится в красной коробке, а кукла в зеленой.

Ответ: пистолет — синяя коробка, мишка — красная коробка, кукла — зеленая коробка, машинка — желтая коробка.

IIспособ (с помощью таблиц).

Исходя из условий, в задаче можно выделить два множества: множество игрушек и множество цветов коробок. Каждое множество состоит из четырех элементов. Составим таблицу исходных данных.

Согласно условию (1), в пересечение столбца «пистолет» и строки «красная коробка» ставим знак «-». Также по условию (1) на пересечении столбца «машинка» и строки «красная коробка» ставим знак «-».

Согласно условию (2), мишка и кукла находятся не в синей коробке, следовательно, на пересечении столбцов с названием этих игрушек и строки «синяя коробка» ставим знак «-».

Согласно условию (3), в зеленой коробке не машинка и не мишка.

По условию (4), пистолет находится не в желтой и не в зеленой коробке.

Таблица 3

После составления таблицы с исходными данными становится очевидным, что пистолет находится в синей коробке. Следовательно, на пересечении столбца «пистолет» и строки «синяя коробка» ставим знак «+». Отсюда следует, что машинка находится в желтой коробке. Тогда получается, что кукла находится в зеленой коробке, а мишка в красной.

Таблица 4

Ответ: пистолет — синяя коробка, мишка — красная коробка, кукла — зеленая коробка, машинка — желтая коробка.

Задача 3. Учебные заведения.

Встретились четыре друга: Алексей, Борис, Виктор и Григорий. Оказалось, что они учатся в различных учебных заведениях (в школе, в гимназии, в лицее и в колледже). Известно, что:

1)      Григорий и Алексей учатся не в школе;

2)      Борис, Виктор и учащийся лицея были летом в одном лагере;

3)      В колледже учатся не Борис и не Григорий;

4)      Ученик гимназии вместе с Алексеем и учеником колледжа решили отправиться на рыбалку.

Кто из друзей в каком учебном заведении учится? [2]

Решение.

Iспособ (с помощью рассуждений).

Из условий (1) и (4) получается, что Алексей учится в лицее. Следовательно, учитывая условия (1) и (3) Григорий учится в гимназии. Учитывая полученные данные и условие (3) получается, что Борис ученик школы, а Виктор учащийся колледжа.

Ответ: Григорий — гимназия, Алексей — лицей, Борис — школа, Виктор — колледж.

IIспособ (с помощью таблиц).

Исходя из условий, в задаче можно выделить два множества: множество учебных заведений и множество имен. Каждое множество состоит из четырех элементов. Составим таблицу исходных данных.

Согласно условию (1), в пересечение столбца «школа» и строки «Григорий» ставим знак «-». Также по условию (1) на пересечении столбца «школа» и строки «Алексей» ставим знак «-».

Согласно условию (2), Борис и Виктор не учатся в лицее, следовательно, на пересечении столбцов с их именами и строки «лицей» ставим знак «-».

Согласно условию (3), Борис и Григорий учатся не в колледже.

По условию (4), Алексей не учится в гимназии и колледже.

Таблица 5

После составления таблицы с исходными данными становится очевидно, что Алексей учится в лицее. Следовательно, на пересечении столбца «Алексей» и строки «лицей» ставим знак «+». Отсюда следует, что Григорий не учится в лицее, следовательно, он учится в гимназии. Тогда получается, что Борис учащийся школы, а Виктор учащийся колледжа.

Таблица 6

Ответ: Григорий — гимназия, Алексей — лицей, Борис — школа, Виктор — колледж.

Таким образом, из вышесказанного можно сделать вывод, что применение логических задач на математических кружках позволяет:

–                   совершенствовать логическое мышление;

–                   формировать интерес к предмету;

–                   развить основательное и точное понимание решения задач;

–                   расширить математический кругозор;

–                   воспитать трудолюбие и самостоятельность при решении заданий.

Литература:

1.                  Сангалова М. Е. Курс лекций по математической логике. — Арзамас: Арзамас. гос. пед. ин-т, 2006. 98 с.

2.                  Решение логических задач. / Персональный сайт учителя математики Заесенок В. П. URL: http://www.zaesenok.ru/matematicheskij-kruzhok/5–6-klassy/56-zanyatiya-8–9-reshenie-logicheskikh-zadach (дата обращения 28.04.2015 г.).

3.                  Математический кружок. / Персональный сайт Раужиной Т. И. URL: http://raugina.ucoz.ru/index/kruzhok/0–10 (дата обращения 27.04.2015 г.).

В связи с новыми требованиями к результатам обучения в средней школе необходимо углубить формирование прочных и осознанных знаний, развить творческий потенциал ребёнка. В методике преподавания математики текстовая задача и работа над её решением оказывает заметное воздействие на интеллектуальное развитие ученика. По умению ученика решать задачи и проверяется его уровень знания предмета. Поэтому отдадим предпочтение не количеству автоматически решённых задач по шаблону, а более глубокому анализу решаемых задач. Каким же образом можно заинтересовать учащихся в работе с текстовыми задачами, повысив при этом его предметную грамотность? Существуют различные приёмы такой работы. 

Я предлагаю рассмотреть один из мало изученных приёмов, а именно: конструирование задач учениками. Исследовательская деятельность подростков находится на максимуме и необходимо использовать этот аспект для повышения качества обучения, привития интереса к математике, обучению в целом. В процессе решения и конструирования задач у учащихся происходит формирование навыка моделирования реальных объектов и взаимосвязанных явлений. В самостоятельном конструировании задач обучаемый имеет возможность на развитие творческого подхода к решению задач, более глубокого понимания данных задач, к тому же попутно он повышает грамотность и культуру речи. Такую работу уместно выполнять и группой учеников, что повышает уровень адаптации учащихся для работы в коллективе. «Основное математическое и дополнительное математическое образование не должны существовать друг без друга» [1]. Включив в программу дополнительного обучения работу над конструированием задач, учитель автоматически повысит уровень осознанности, прочности знаний и предметной заинтересованности учащихся. 

Что же понимать под словом «задача»? Задача в широком понимании данного понятия – это система, компонентами которой являются сам предмет задачи и необходимая модель состояния предмета задачи [2]. 

Возможны различные виды заданий на конструирование задач: 

• на установление аналогичных задач; 
• по математической модели; 
• на отыскание, составление подзадач; 
• на дополнение данных по неполной ситуации; 
• с другими численными данными; 
• по схеме условия в общем виде; 
• на отыскание, составление обратных задач; 
• на отбор данных по избыточной ситуации; 
• на постановку вопроса к условию; 
• по схеме-решения в общем виде;

Под составлением (конструированием) задачи я понимаю не простую репродукцию задачи из учебника с заменой данных, а самостоятельную постановку и решение проблемы учащимися. Но самостоятельное, творческое конструирование задач достигается постепенным овладением данным процессом. Необходимы знания о задачах, тренировка в их постановке, конструировании. Для этого необходима отработка специальных заданий.

Итак, если в процессе обучения математике учащиеся регулярно составляют задачи, то это способствует повышения их умения вести поиск решений задач, развитие интереса к математике 

Выделим для рассмотрения в данной статье из основных групп задач, изучаемых в школе в 5 классе, задачи на движение. 

Успех в решении задач данной группы зависит от знания основной формулы, а именно вычисления пути (S) через скорость (V) и время (t): 

S=V*t 

Используя данную формулу и знания, полученные ранее на уроках математики, учащиеся легко выведут формулы для нахождения времени (t) через путь (S) и скорость (V) или скорости (V) через путь (S) и время (t) 

t=S:V V=S:t 

Причём, при каждом решении задач на движение, Я предлагаю, чтобы ребята записывали основную формулу и выводили бы из неё необходимую формулу для данной задачи, тем самым, доводя знание формул до автоматизма. 

Разберём конкретный вид задач на движение, а именно задачи на движение на воде. Усложним условие тем, что движение происходит на движущейся воде, т. е. реке.

 Имеет смысл данную тему разбить на два занятия или на две части. Первая – посвящена движению одного объекта строго по течению или против него, т. е рассмотрим базовые подзадачи для второй части, а вторая –движению объекта и по течению и против него в одной задаче.

Первая часть.

1. По течению

Тогда возможны два (2) варианта:

1) когда скорость течения и есть скорость передвижения; 

2) когда скорость течения увеличивается тем или иным способом. 

1) Начнём конструирование задач для первого случая. Для иллюстрации такого движения Я использую произведение В. Бианки «Мышонок Пик». В нём замечательный мышонок Пик плыл по реке на кусочке коры и, естественно, передвигался со скоростью течения. Здесь полезно дать объяснение, что в математике часто используют понятие скорости плота, которое приравнивается скорости течения. Предлагая учащимся некоторые варианты передвижения муравей на листочке, бумажный кораблик и т. п. можно было бы перейти к составлению задач. Но, обычно, в этот момент возникает вопрос, а какова же скорость течения реки? Важно, что ребята уже встречались с такими задачами, но не обращали внимание на скорость рек!

Необходима некоторая заготовка по скоростям течения рек. Для расширения кругозора предлагаю «визитку» о некоторых известных реках России: 

Енисей – быстрая, порожистая река. Для него характерны большие скорости течения вследствие большого уклона русла реки. В верховьях реки они особенно значительны и в летнее время составляют 7 км/ч. 

Средняя скорость течения равнинной реки Волги невысокая – от 2 до 6 км/час. 

Скорость течения Оби 3 км/ч.

Основываясь на полученной информации, учащиеся легко составляют задачи на нахождение пути, времени и скорости. Заодно, обогащая свои познания и об окружающей их природе. 

2) Усложняем задачу, добавляя собственную скорость плывущего по течению объекта.В начале изучения таких задач выясняем, что, когда плывём по течению, течение нам помогает плыть, поэтому мы к скорости объекта прибавляем скорость течения.

Формула для вычисления усложняется: 

S=(V₁+V₂)*t 

Легко конструируются и решаются задачи на нахождение пути или времени. А вот с нахождением одной из скоростей возникают трудности. Как раз на уроках математического кружка и появляется возможность попробовать вывести эти формулы. Такой вывод ещё полезен и тем, что в дальнейшем, на уроках физики учащиеся будут решать данные задачи именно этим способом. 

V₁= S: t – V₂; V₂ = S: t – V₁ 

Интересно, чтобы учащиеся на этот раз сконструировали задачи по математической модели. 

Например, 

130:2 – 68; 404:4-3 

Данная математическая модель также заставит учащихся задуматься над физическим смыслом полученных результатов и с интересом обратить внимание, что данные передвижения, возможно, осуществлялись на Енисее и Оби (или Волге?). 

С другой стороны, интересен алгебраический подход в решении данного типа задач, если необходимо найти одну из скоростей. Умение решать задачу несколькими способами является одним из признаков хорошей подготовки школьников по математике. Обучение поискам нескольких способов решения задачи – это одна из форм учебной работы по развитию математического мышления школьников, их общего развития.

Вспоминаем, что задачи на составление уравнений можно решать по схеме:

1. Анализ и краткая запись условия задачи. Построение чертежа, если он необходим.

2. Выявление оснований для составления уравнения.

3. Составление уравнения.

4. Решение уравнения.

5. Исследования корней уравнения.

6. Запись ответа.

Тогда пробуем решить любую из составленных задач уравнением, вводя под переменной (х) неизвестную скорость. А, затем, опять тренируемся в составлении (конструировании) задач, но уже по данному уравнению. 

Например, 

(х+3)*3=156 

Можно рассмотреть с учащимися и равносильное уравнение, его физический смысл:

3*х+9=156

1. Переход к задачам против течения не составит труда, т. к. математически в данном случае меняется только знак перед скоростью течения (на отрицательный). Выясняем, что, когда плывём против течения, течение нам мешает плыть, поэтому мы из скорости объекта вычитаем скорость течения.

Тогда формула для нахождения пути будет выглядеть следующим образом: S=(V₁-V₂)*t  

Напомню, что краткая запись всех задач оформляется, как, обычно, в таблицу 1: 

Таблица 1

На этом этапе все «подводные камни» разобраны и учащиеся готовы к работе в группах. Группы составляют задачи, обмениваются ими и решают. После чего обсуждаются плюсы и минусы составленных задач, выбираются лучшие. 

Выводы, которые учащиеся делают при решении задач на движение по реке одного объекта:

Скорость объекта по течению равна сумме собственной скорости и скорости течения реки.

Скорость объекта против течения равна разности собственной скорости и скорости течения реки.

Собственная скорость плота равна скорости течения реки. 

Вторая часть.

Когда разобраны случаи движения по течению и против течения, как базовые, можно усложнять задачи. Теперь в задаче возможно несколько вариантов движения одного объекта как по течению, так и против него. Тогда используется следующий вид таблицы 2:

Таблица 2 

	Скорость	Время	Путь
По течению
Против течения

В 5 классе ученики только начинают овладевать алгебраическим способом решения задач. Поэтому для данного (комплексного) вида задач, когда присутствует и движение по течению и движение против него предлагаю сначала решить задачу на угадывание необходимого уравнения для задачи, заданной табличной формой. Дальнейшего решения данного уравнения и его разбор по частям, т. е. ученики должны хорошо видеть связь между формулами на движение и компонентами уравнения. И только затем переходить к конструированию (составлению) задач.

Задача. Катер за 2 ч прошёл 40 км по течению реки и 22 км обратно, затратив на обратный путь 1 ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в пути.

Таблица 3 

	Скорость	Время	Путь
По течению	х+2 км/ч	2ч	40 км
Против течения	х-2 км/ч	1ч	22 км

Пусть х км/ч – собственная скорость катера. Какое из уравнений соответствует условию задачи.

1) 2*(х+2)=40

2) 2*(х-2)+1*(х+2)=62

3) 1*(х-2)=22

4) 2*(х-2)+х+2=62

Решение:

Обращаю внимание, что в данной задаче дополнительно мы можем обратить внимание на равносильность 2) и 4) уравнений. Предпочтительнее 4). Его и решаем.

После данного разбора, ученики могут сначала составить аналогичную задачу и решить её с помощью уравнения, затем можно предложить конструирование задачи по уравнению. Например,

(5+х)*4+(5-х)*3=32

Для завершения работы по изучению задач на движение предлагается учащимся для решения «необычные» задачи на движение по воде: 

1*. Пароход шёл от Нижнего Новгорода до Астрахани 5 суток, а обратно 
7 суток. Сколько времени плывут плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани? [3] 

2*. Два пловца одновременно прыгнули с плота и поплыли в разные стороны: один – по течению, второй – против течения реки. Через 5 минут они одновременно повернули и поплыли обратно. Какой из пловцов доплывёт до плота быстрее? [4]

Итак, обе части занятия математического кружка по конструированию задач подходят к концу. Предлагаю, заканчивать данное занятие составлением учащимися собственной рабочей тетради с их собственными сконструированными задачами на движение по воде. Эту работу можно предложить выполнить в качестве домашнего задания, с использованием ПК, возможно, украсив буклет иллюстрациями.

От понимания физического смысла данных, которые учащиеся использовали для конструирования собственных текстовых задач на движение по воде, от понимания базовых моделей, на которых основаны более сложные задачи на движение зависит дальнейшее развитие умения учащихся решать задачи данного типа. И при чётком понимании физических основ задач на движение навык в решении приходит легко, а задачи воспринимаются с удовольствием. 

В статье определена роль решения задачи в обучении и воспитании учащихся в средней общеобразовательной школе. Методика конструирования задач оказывает весьма положительное влияние на умственное развитие школьников, поскольку она требует выполнения различных умственных операций [5]. Решение задач развивает мышление. Мало того, именно решение задач способствует воспитанию терпения, настойчивости, воли, способствует пробуждению интереса к самому процессу поиска решения, даёт возможность испытать глубокое удовлетворение, связанное с удачным решением.

В результате изученной темы было выяснено, что существует множество различных задач. Естественно, все их виды рассмотреть невозможно. Также мы научились правильно анализировать условия задачи и решать их разными методами (путём составления уравнений, путём составления таблиц и т. д.) и разными способами: алгебраическим и арифметическим. Арифметические способы решения текстовых задач имеют большой развивающий потенциал. Но в данной статье предпочтение отдаётся алгебраическому способу.

В книге “Занимательная логика” Э.Кольмана и
О.Зиха имеется много интересных логических
задач. Вот одна из них.

1. В кафе встретились три друга: скульптор Белов,
скрипач Чернов и художник Рыжов. “Замечательно,
что один из нас имеет белые, один черные и один
рыжие волосы, но ни у одного из нас нет волос того
цвета, на который указывает его фамилия”, –
заметил черноволосый. “Ты прав”, – сказал Белов. Какой
цвет волос у художника?

Решение. Для решения подобных логических задач
полезно составить таблицу.

Ответ.

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся
молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и
молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит
между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не
лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и
сосуда с молоком.

Куда налита каждая жидкость?

Ответ.

3. В течение последних четырех лет Алексеев,
Фомин, Дементьев и Иванов получали очередной
отпуск в мае, июне, июле или в августе. Причем,
если один из них отдыхал в мае, то другой – в июне,
третий – в июле, а четвертый – в августе. Каждый
их них получал отпуск в эти четыре года в разные
месяцы. Так в первый год Дементьев отдыхал в июле,
во второй год – в августе. Алексеев во второй год
отдыхал в мае, Иванов в третий год – в июне, а
Фомин в четвертый год – в июле.

Кто в каком месяце отдыхал в каждом из этих
четырех лет?

Ответ.

Три подруги вышли в белом, зеленом и синем
платьях. Их туфли тоже были белого, зеленого и
синего цветов. Известно, что только у Ани цвет
платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли
Вали не были белыми, Наташа была в зеленых туфлях.

Определить цвет платья и туфель каждой из
подруг.

Решение: можно решать, составляя две таблицы, а
можно таблицы объединить в одно целое.

5. Три друга – спортсмена – Алеша, Вася и
Сережа – учились в одном классе. Каждый из них
увлекался двумя видами спорта из следующих
шести: футбол, волейбол, баскетбол, теннис,
плавание и велоспорт. Известно, что:

• все трое – Сережа, теннисист и пловец ходят из
  школы домой вместе,
• пловец и футболист – соседи по дому,
• Алеша самый старший из троих, а теннисист старше
  велосипедиста,
• Наиболее интересные спортивные передачи по
  телевизору все трое – Алеша, велосипедист и
  волейболист – смотрят вместе.

Надо узнать, кто каким спортом увлекается.

Ответ.

• Алеша – баскетбол и плавание,
• Вася – волейбол и теннис,
• Сережа – футбол и велоспорт.

6. На школьном вечере четыре юноши: Валентин,
Николай, Владимир и Алексей все из разных
классов, и их одноклассницы танцевали танец, но
каждый юноша танцевал не своей одноклассницей.

Лена танцевала с Валентином, Аня – с
одноклассником Наташи, Николай – с
одноклассницей Владимира, а Владимир танцевал с
Олей.

Ответ.

Танцевали Лена с Валентином, Оля с Владимиром,
Аня с Николаем, Наташа с Алексеем.

Учатся в одних классах Аня и Владимир, Оля и
Валентин, Лена и Алексей, Наташа и Николай.

Кто с кем танцевал?

А вот эту задачу придумали дети после
очередного занятия математического кружка в 6
классе.

7. В одном поселке живут три товарища: Саша,
Коля и Петя, которые осваивают новую профессию.
Один из них готовится стать дизайнером, другой –
садоводом, третий – парикмахером. Кроме того, все
они имеют и другую профессию: один строитель,
другой – руководитель драмкружка, а третий ведет
дискотеки. В разное время они сказали разные
фразы:

• Петя, ты меня не жди, я должен доделать прическу,
• Эх, Коля, вести дискотеку – сложно, но мне очень
  нравится,
• Завтра, Коля, ко мне не приходи, я буду на
  конкурсе парикмахеров,
• На днях я получу новый диск “ Комнатные
  растения”.Для меня, как для будущего садовода, он
  будет интересным и полезным.
• Наблюдал я вчера за тобой во время репетиции и
  подумал, что тебе поставить пьесу не легче, чем
  мне вывести новый сорт роз.
• С применением новых технологий в строительстве
  я совершенно не знаком, хотя как дизайнеру надо
  сними познакомиться.

Попробуйте по этим фразам установить, кто из
друзей осваивает какую профессию и какую
профессию они уже имеют?

Ответ.

• Саша – парикмахер и строитель,
• Коля – дизайнер и руководитель драмкружка,
• Петя – садовод и ведущий дискотек.

8. Сокровиша.

Три пирата: Нытик, Стрелец и Барс зарыли свои
сокровища на одном острове. Один из них зарыл
возле дерева лимона, другой – банана, а третий –
абрикоса. Ёмкость для хранения тоже у каждого
была своя: один использовал сундучок, второй –
большую морскую ракушку, а третий – кожаный
мешочек.

Определите имя пирата, а также где и чем
хранил свои сокровища каждый из них, если
известно, что:

1. Ракушку использовал не Нытик.
2. Тот, кто закопал сокровища под абрикосом,
   использовал мешочек.
3. Барс закопал сундучок, но не под лимоном.

Ответ.

9. После традиционного вечера встречи с бывшими
выпускниками школы в стенгазете появилась
заметка о трех бывших учениках школы. В этой
заметке было написано, что Иван, Борис и Андрей
стали учителями. Теперь они преподают разные
дисциплины: один – математику, второй – физику,
третий – химию. Живут они тоже в разных городах:
Минске, Витебске и Харькове. В заметке было еще
написано, что первоначальные их планы
осуществились не полностью: Иван работает не в
Минске, Андрей – не в Витебске; житель Минска
преподает не математику, Андрей преподает не
физику. Повезло только жителю Витебска: он
преподает любимую им химию. Кто есть кто?

Ответ.

• Иван – химик – Витебск
• Борис – физик – Минск
• Андрей – математик – Харьков

10. Арташ, Отар, Гурам и Сурен занимаются в разных
спортивных секциях. Один из них играет в
баскетбол, другой – в волейбол, третий – в
футбол, четвертый – в теннис. У них различные
увлечения: один из них любит кино, другой – театр,
третий – эстраду, а четвертый – цирк. Арташ не
играет ни в волейбол, ни в баскетбол. Отар играет
в футбол и любит театр. Сурен не играет в
волейбол. Тот из ребят, кто играет в волейбол,
любит ходить в кино, а тот, кто играет в баскетбол,
не любит цирк. Какое у каждого из них
увлечение, и каким видом спорта занимается
каждый?

Ответ.

• Арташ – теннис – цирк, Отар – футбол – театр,
• Гурам – волейбол – кино, Сурен – баскетбол –
  эстрада.

11. Первоклашки.

Год назад с нашего двора первый раз в первый
класс пошли 5 мальчиков. Их имена: Петя, Коля,
Ваня, Гена и Миша. Получилось так, что все
пятеро попали в разные классы: один в класс “А”,
другой – в “Б”, третий – в “В”, четвертый – в “Г”,
пятый – в “Д”. Каждому из ребят досталась в
качестве классного руководителя добрая
учительница: Лидия Михайловна, Елена
Анатольевна. Екатерина Кирилловна. Татьяна
Григорьевна и Виктория Николаевна. Дети учились
прекрасно, напротив их фамилий ( Анисин,
Белов, Кукушкин, Степанов и Харитонов) всегда
были практически одни пятерки.

Определите имя, фамилию, класс и добрую
учительницу для каждого из первоклашек, если
известно, что

1. Ваня учится у Татьяны Григорьевны и его фамилия
   не Степанов.
2. В классе “Д” преподает не Екатерина
   Кирилловна.
3. Коля учится в классе “Б”. Он старше на 1месяц,
   чем Белов, и младше на 12 дней, чем тот, кто учится у
   Татьяны Григорьевны.
4. Елена Анатольевна преподает в классе “Г” и у
   нее нет ученика по фамилии Белов.
5. Харитонов Гена дружит с Петей и с тем, кто ходит
   в класс “А”.
6. Кукушкин учится в классе “А”. Его учительница
   не Лидия Михайловна и не Екатерина Кирилловна.
7. Анисин учится в классе “В” и его имя не Петя и
   не Миша.

Имя

Учительница

Класс

Петя

Коля

Ваня

Гена

Миша

Лидия Михайловна

Елена Анатольевна

Екатерина Кирилловна

Татьяна Григорьевна

Виктория Николаевна

А

Б

В

Г

Д

Фамилия

Анисин

Белов

Кукушкин

Степанов

Харитонов

Класс

А

Б

В

Г

Д

Учительница

Лидия Михайловна

Елена Анатольевна

Екатерина Кирилловна

Татьяна Григорьевна

Виктория Николаевна

Ответ.

На математическую олимпиаду в город Киров
поехало четыре девятиклассника: Лева, Коля, Миша
и Петя. В первый день они решили позавтракать в
разных местах: один пошел в кафе, другой – в
столовую, третий – в закусочную, четвертый – в
буфет. После завтрака они снова собрались вместе.
Разговор, естественно, зашел о том, кто как
позавтракал. Выяснилось, что все они пили разные
напитки, так как в каждом из этих мест, где они
завтракали, оказалось в наличии только по одному
напитку: в одном месте – только кофе, в другом –
только молоко, в третьем – только ряженка, в
четвертом – только чай. В буфете, например, было
только молоко, а в столовой не было ряженки. Петя
рассказал, что он был в столовой, но пил там не
чай. Лева рассказал, что он пил ряженку, а Миша
сказал, что он не был ни в закусочной, ни в буфете. Кто
из ребят где завтракал и что пил?

Ответ.

• Лева – закусочная – ряженка,
• Коля – буфет – молоко,
• Миша – кафе – чай,
• Петя – столовая – кофе.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В начале учебного года пятиклассники
избрали старосту, председателя совета отряда,
звеньевых первого, второго и третьего звеньев. Их
имена: Аня, Боря, Вася, Гриша и Дина. Звеньевая
первого звена решила подружиться со звеньевой
второго звена. Дина удивилась, узнав, что
председатель совета отряда и звеньевая второго
звена брат и сестра. Гриша дружит с председателем
совета отряда и со старостой. У Васи нет сестер.

Назовите имена каждого из избранных.

Ответ.

• Вася – староста, Боря – председатель отряда,
• Дина – звеньевая 1 –го звена, Аня – 2-го звена,
  Гриша – 3-го звена.

2. Петя, Гена, Дима и Вова занимаются в детской
спортивной школе в разных секциях:
гимнастической, баскетбольной, волейбольной и
легкой атлетики. Петя, Дима и волейболист
занимаются в одном классе. Петя и Гена на
тренировки ходят пешком вместе, а гимнаст ездит
на автобусе. Легкоатлет не знаком ни с
баскетболистом, ни с волейболистом.

Кто в какой секции занимается?

Ответ.

• Петя – баскетболист, Гена – волейболист,
• Дима – гимнаст. Вова – легкоатлет.

3. Пять человек живут в одном городе. Их имена:
Леонид, Владимир, Николай, Олег и Петр. Их Фамилии:
Степанов, Борисов, Козин, Дроздов и Истомин.
Известно, что

• Козин знаком только с двумя, а с Козиным знаком
  только один человек,
• Петр знаком со всеми, кроме одного, а Леонид
  знает только одного из всех,
• Николай и Истомин знают друг друга с детства.
• Владимир, Николай и Олег знакомы между собой,
• Дроздов и Владимир незнакомы,
• Олег, Николай и Борисов Часто вместе ходят на
  работу,

Назовите имена и фамилии каждого.

Ответ. Борисов Владимир, Степанов Николай,
Козин Леонид, Дроздов Петр. Истомин Олег.