Как составить задачи по сопротивлению материалов

На этой странице собраны ссылки на примеры решения задач по сопромату (сопротивлению материалов), которые размещены на сайте – ssopromat.ru. Я решил собрать все примеры в одном месте, со всех статей, для удобства навигации и поиска нужного решения задачи. Эта страница будет постоянно обновляться, по мере развития сайта и публикации новых примеров.

Навигация по примерам

Для поиска нужных примеров, можешь воспользоваться данными ссылками:

Примеры решения задач на растяжение (сжатие)

В этом разделе собраны ссылки на примеры решения задач на растяжение (сжатие). Здесь можно найти примеры построения эпюр при чистом растяжении или сжатии, а также различные прочностные расчёты при этом виде деформации.

Построение эпюр

Здесь можно найти примеры построения эпюр: продольных сил, нормальных напряжений и углов закручивания (углов поворотов) поперечных сечений для стержней, работающих на чистое растяжение (сжатие).

Задача №1

Для стального ступенчатого бруса (E=2·10⁵ МПа), загруженного силами F₁ = 5 кН, F₂ = 8 кН требуется построить эпюры: продольных сил, нормальных напряжений и осевых перемещений поперечных сечений. Площадь поперечного сечения первой ступени равна 2 см², второй — 4 см².

Задача №2

Для ступенчатого бруса требуется построить эпюры: продольных сил, нормальных напряжений и осевых перемещений поперечных сечений. Модуль упругости: E=2·10⁵ МПа, нагрузка: F₁ = 5 кН, F₂ = 8 кН, q = 2 кН/м, площади поперечных сечений: A₁ = 2 см², A₂ = A₃= 4 см².

Расчеты на прочность

В этом разделе можно найти ссылки на примеры расчётов на прочность при растяжении (сжатии): проверочные и проектировочные.

Задача №1

Для стального стержня, нагруженного сжимающей силой F = 100 кН, с размерами: d₁ = 50 мм, d₂ = 70 мм, необходимо проверить прочность, если σ_т = 260 МПа, n_т = 2.

Задача №2

Для бруса, загруженного силами: F₁ = 60 кН, F₂ = 80 кН необходимо подобрать размеры поперечных сечений (d₁, d₂), если [σ] = 160 МПа. Расчётные диаметры округлить по ГОСТ 6636-69 (Ra40) до ближайших больших значений.

Примеры решения задач на кручение

Здесь можно найти ссылки на примеры решения задач, связанные с чистым кручением, где рассчитываются и строятся эпюры и проводятся прочностные расчёты для валов.

Построение эпюр

В этих примерах рассчитываются и строятся эпюры при чистом кручении: крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов закручивания (углов поворотов) поперечных сечений.

Задача №1

Для ступенчатого стального стержня (G = 8 · 10¹⁰ Па) загруженного вращающими моментами: M₁ = 30 кН·м, M₂ = 70 кН·м, M₃ = 90 кН·м, требуется построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов закручивания.

Примеры решения задач на поперечный изгиб

Здесь будут публиковаться ссылки на примеры решения задач, связанных с поперечным (плоским) изгибом. В этом разделе можно найти примеры определения опорных реакций, расчёт и построение эпюр для статически определимых балок и рам, а также различные прочностные расчёты данных элементов конструкций.

Определение реакций опор

В этом разделе собраны ссылки на примеры определения реакций опор для плоских статически определимых систем.

Задача №1

Для двухопорной балки, загруженной посередине пролёта сосредоточенной силой (F = 2 кН), требуется определить реакции в опорах и выполнить проверку решения.

Задача №2

Для балки на двух опорах, загруженной распределённой нагрузкой (q) с интенсивностью – 10 кН/м, требуется найти опорные реакции и провести проверку найденных реакций.

Задача №3

Для консольной балки, загруженной распределённой нагрузкой (q = 5 кН/м) и силой (F = 2 кН) направленной под углом (α = 30°) к продольной оси балки, необходимо найти реакции в жёсткой заделке и провести проверку решения.

Задача №4

Для плоской статически определимой рамы, загруженной нагрузкой: F₁ = 2 кН, F₂ = 4 кН, M = 3 кН∙м, q = 2 кН/м, необходимо рассчитать реакции в опорах и проверить решение.

Построение эпюр

В этом разделе собраны ссылки на примеры построения эпюр при поперечном изгибе – поперечных сил и изгибающих моментов. В примерах строятся эпюры для статические определимых плоских систем – балок и рам.

Задача №1

Для консольной балки, к которой приложены нагрузки: M = 10 кН·м; F₁ = 5 кН; F₂ = 15 кН, необходимо рассчитать и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Задача №2

Для двухопорной балки, загруженной распределённой нагрузкой (q = 5 кН/м), моментом (M = 10 кН·м) и силой (F = 12 кН) требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Определение перемещений

В этом разделе собраны задачи на определение перемещений при поперечном (прямом) изгибе: углы поворотов и прогибов. А также расчеты на жесткость.

Задача №1

Для стальной балки (E = 2 · 10⁵ Па), загруженной распределенной нагрузкой (q = 9 кН/м) требуется подобрать двутавровое сечение по ГОСТ 8239-89 и выполнить проверку на жесткость. При необходимости подобрать другое сечение из условия жесткости.

Примеры расчёта геометрических характеристик

В этом разделе можно найти ссылки на примеры расчётов геометрических характеристик плоских сечений (фигур) – положение центра тяжести, моментов инерции, моментов сопротивления.

Сечения из простых фигур

Здесь собраны ссылки на расчёты плоских сечений, состоящих из простейших фигур.

Задача №1

Для плоского сечения, состоящего из простых фигур, необходимо определить положение центра тяжести.

Задача №2

Для симметричного сечения, имеющего две оси симметрии, необходимо определить положение центра тяжести, а также определить осевые моменты инерции.

Решение задач по сопромату



Примеры решения задач по сопротивлению материалов

Как и в предыдущей статье, на этой странице приведены основные принципы решения задач технической механики на примере простейших заданий, в которых необходимо определить какие-либо силовые факторы, возникающие в конструкциях и телах напряжения, построить эпюры и т. п. Сопротивление материалов является базовой основой для решения вопросов наиболее практического раздела технической механики – “Детали машин”.

Решение задачи на растяжение и сжатие

Построить эпюру напряжений в ступенчатом круглом брусе, нагруженном продольными силами и указать на наиболее напряженный участок.
Весом бруса пренебречь.

Решение:

При построении эпюры напряжений используем метод сечений, рассматривая отдельные участки бруса, как самостоятельные его элементы, находящиеся в состоянии равновесия под действием реальных и условных нагрузок. При этом исследование сечений начинаем со стороны свободного конца бруса, т. е. со стороны, где приложены известные нам силы.
Сначала разбиваем весь брус на однородные участки, границами которых служат точки приложения силовых факторов и (или) изменение размеров сечения. Для нашего бруса можно выделить три таких однородных участка – I, II, III (см. схему 2).

Для каждого из участков определяем нормальные напряжения в сечениях по формуле σ = F/A, где: F – величина продольной силы в сечении, А – площадь сечения. При этом следует учитывать знаки: если сила растягивающая, то ее условно считают положительной, если сжимающая – отрицательной. Соответственно, напряжения будут иметь такие же знаки, как и силы.

После подсчетов получим:
σ_I = F₁/A = –100×10³/0,1 = -1000000 Па (-1 МПа),
σ_II = F₁/2A = –100×10³/2×0,1 = -500000 Па (-0,5 МПа),
σ_III = (F₂ – F₁)/A = (400 – 100)×10³/0,1 = 3000000 Па (3 МПа).

Построение эпюры напряжений начинаем с проведения линии, параллельной оси бруса (эта линия условно изображает брус и является нулевой ординатой графика эпюры). Затем, начиная от свободного конца бруса, откладываем от линии, как от нулевой ординаты, величины напряжений по каждому участку с учетом их знаков.
На брусе, приведенном в задании, величина напряжений в каждом сечении отдельных участков будет одинакова, и лишь в граничных (расположенных между соседними участками) сечениях появится скачок напряжения в виде ступени (здесь используется принцип Сен-Венана, условно полагающий, что в месте приложения нагрузки напряжение изменяется скачкообразно).

Построение эпюры завершается указанием на ее площадках знаков напряжения в кружках, проведением тонких линий перпендикулярно оси (нулевой ординаты) эпюры (эти линии условно изображают сечения бруса) и расстановкой величины напряжений на внешних углах графика (на внутренних углах цифровые обозначения не наносятся). Слева от эпюры указывается, что на ней изображено (в нашем случае – Эпюра σ)

В результате построений мы получим график (эпюру) распределения напряжений по каждому сечению бруса, визуальное исследование которого позволяет определить наиболее напряженный участок. Для бруса, представленного в задаче, максимальные напряжения возникают в сечениях участка III (см. схему). Поскольку эти напряжения положительны, они являются растягивающими

Задача решена.

***

Решение задачи с использованием закона Гука

Определить величину растягивающей силы F, если известно, что под ее действием брус удлинился на величину ΔL.

Решение:

Решить задачу можно, используя известную зависимость между линейными удлинениями и нагрузками (закон Гука).
Согласно закону Гука, представленному в расширенном виде:

ΔL = FL/(EA),     откуда:     F = (ΔLEA)/L.

Поскольку сила F приложена не к крайнему сечению бруса, а к его середине, то удлинился лишь участок между жесткой заделкой и сечением, к которому приложена растягивающая сила, имеющий длину L₁ = 2 м.
Учитывая это, определяем силу, вызвавшую удлинение бруса (не забываем привести все величины к единицам системы СИ):

F = (ΔLEA)/L₁ = (0,005×10^-3×2×10¹¹×0,01)/2 = 5000 Н = 5,0 кН.

Задача решена.

***

Решение задачи на срез и смятие

Венец зубчатого колеса прикреплен к ступице болтовыми соединениями из шести болтов с гайками, размещенными равномерно по окружности диаметром D.

Определить касательные напряжения сдвига (среза), действующие в каждом из болтов при номинальной нагрузке.
При расчете не учитывать ослабление стержня болта впадинами резьбы.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся зависимостью между напряжением среза, внешней нагрузкой и площадью сечения по плоскости среза:

τ_ср = F_окр /A,

где: τ_ср – касательное напряжение среза, F_окр – окружная сила на расстоянии от оси вращения до центра болта, A – площадь сечения (в нашем случае – площадь поперечного сечения 6 болтов).

Окружную силу можно определить, зная крутящий (вращающий) момент на валу зубчатого колеса и расстояние от оси вращения зубчатого колеса до центра болта:
F_окр = 2Мкр/D.
Площадь сечения одного болта: А(1) = πd²/4, шести болтов: А = 3πd²/2 .
Подставив эти значения в исходную формулу, определим касательное напряжение сдвига (среза) болта:

τ_ср = F_окр /A = (2Мкр/D) / (3πd²/2) = (2×10/0,4) / (3×3,14 0,01²/2) ≈ 106 000 Па (или 0,106 МПа).

Задача решена.

***



Решение задачи на срез и смятие шпонки

Произвести проверочный расчет призматической шпонки на смятие.

Решение:

Решение задачи сводится к определению напряжения смятия, возникающего в продольном сечении шпонки, выступающем над канавкой вала (рабочая площадь шпонки). Это напряжение можно определить из формулы:

σ_см = F_окр /A_раб     (1)

где: σ_см – искомое напряжение смятия,
F_окр – окружная сила, действующая на рабочую поверхность шпонки: F_окр = Т/r.

Учитывая, что высота рабочей поверхности шпонки невелика, можно принять для расчета напряжения окружную силу, действующую на расстоянии r от оси вращения вала (радиус вала). Если необходимо выполнить более точный расчет, следует к радиусу вала прибавить половину высоты рабочей поверхности шпонки (в нашем случае – h/4).

A_раб – площадь шпонки, подвергаемая смятию: A_раб = hl_р /2 (здесь l_р – рабочая длина шпонки).

Подставив полученные значения окружной силы и площади шпонки, работающей на смятие, в формулу (1), получим:

σ_см = F_окр /A_раб = (Т/r) / (hl_р /2) = (120/0,03) / (0,003×0,03/2) = 88 900 000 Па (или 88,9 МПа).

Полученное напряжение сравниваем с допускаемым напряжением смятия [σ_см] = 200 МПа, и делаем вывод, что шпонка выдержит нагрузку.

Задача решена.

***

Решение задачи на кручение

Построить эпюру вращающих моментов для круглого однородного бруса, представленного на схеме. Указать наиболее нагруженный участок бруса и определить напряжение в его сечениях.

Решение:

Построение эпюр вращающих (крутящих моментов) начинаем со стороны свободного конца бруса, откладывая величины крутящих моментов от оси абсцисс (нулевой ординаты) бруса с соблюдением знаков моментов (см. схему).

Из эпюры очевидно, что максимальный крутящий момент возникает в сечениях участка I: Мкр = 500 Нм. Для определения напряжения (при кручении возникает касательное напряжение), воспользуемся зависимостью, полученной ранее:

τ_max = М_кр / W_r ,

где: W_r ≈ 0,2d³ – момент сопротивления круглого сечения кручению (или полярный момент сопротивления круглого сечения).

Подставив полученные зависимости и их числовые значения в формулу, получим максимальное напряжение τ_max, возникающее в сечениях участка I при кручении бруса:

τ_max ≈ М_кр / 0,2d³ ≈ 500/0,2×0,05³ ≈ 200 000 000 Па (или 200 МПа).

Задача решена.

С правилами и примерами построения эпюр при деформации кручения можно ознакомиться здесь.

***

Решение задачи на изгиб

Определить максимальное нормальное напряжение, возникающее в сечении круглого бруса, расположенном рядом с жесткой заделкой, если к свободному концу бруса приложена поперечная сила F.
Вес бруса не учитывать.

Исходные данные:

Поперечная сила F = 1000 Н;
Длина бруса L = 5 м;
Диаметр бруса d = 0,1 м.

Решение:

Изгибающий момент силы F и возникающие в сечениях бруса напряжения зависят от расстояния между линией приложения (вектором) силы и плоскостью рассматриваемого сечения (очевидно, что величина изгибающего момента находится в прямо пропорциональной зависимости от расстояния до вектора силы). Поэтому для данного бруса изгибающий момент достигает максимального значения в сечении рядом с жесткой заделкой:

Ми_max = FL = 1000×5 = 5000 Нм.

Максимальные нормальные напряжения в этом сечении можно определить по формуле:

σ_max = Ми_max / W,

где: W ≈ 0,1d³ – момент сопротивления круглого сечения изгибу (или осевой момент сопротивления круглого сечения). Подставив зависимости и их величины в формулу, получим:

σ_max ≈ Ми_max / 0,1d³ ≈ 5000/0,1х0,1³ ≈ 50 000 000 Па (или 50 МПа).

Задача решена.

***

Решение задачи на изгиб с построением эпюр

Построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов, действующих на защемленный одним концом брус (см. схему).

Решение:

Для построения эпюр определим границы участков бруса, в пределах которых внешние нагрузки и размеры сечений одинаковы. Для данного бруса можно выделить два таких участка (см. схему).

Далее, используя метод сечений, строим эпюру поперечных сил, учитывая знаки. Очевидно, что на первом участке поперечная сила будет постоянной во всех сечениях, и эпюра представляет собой горизонтальную линию, отстоящую от оси эпюры на величину -F (сила отрицательная).

В среднем сечении бруса начинает действовать распределенная нагрузка, которая линейно увеличивается и суммируется с поперечной силой F в каждом последующем сечении бруса по направлению к жесткой заделке. Поскольку эпюра поперечных сил на втором участке представляет собой отрезок наклонной прямой, то для ее построения достаточно определить величину поперечной силы в середине бруса (очевидно, что здесь F = 50 Н) и величину поперечной силы в сечении рядом с жесткой заделкой:
F₂ = -FL – 6q = -50 – 10×6 = -110 Н.
По полученным значениям строим эпюру поперечных сил F (см. схему).

Построение эпюры изгибающих моментов строится аналогично эпюре поперечных сил – при помощи метода сечений. При этом учитывается расстояние от сечения, в котором приложена поперечная сила, до рассматриваемого сечения (плечо силы).
Очевидно, что изгибающий момент от силы F будет увеличиваться прямо пропорционально по мере удаления от сечения, к которому она приложена, причем в крайнем сечении (где приложена сила) момент этой силы равен нулю (поскольку плечо силы равно нулю).
В среднем сечении бруса изгибающий момент достигает значения: Ми = FL/2 = -50×6 = -300 Нм .

Начиная с середины бруса начинает действовать изгибающий момент от распределенной нагрузки q, который в каждом сечении определяется, как произведение приведенной силы F_пр = ql на половину расстояния l (здесь l – расстояние от рассматриваемого сечения до начала действия распределенной нагрузки).
Очевидно, что по мере удаления от среднего сечения к жесткой заделке изгибающий момент от распределенной нагрузки q изменяется по квадратичной зависимости, и линия эпюры изгибающих моментов на втором участке представляет собой параболу.

Чтобы построить параболу недостаточно двух точек, необходимо определить величину изгибающего момента в нескольких сечениях бруса (на втором участке). При этом следует учитывать изгибающий момент от силы F, который суммируется с изгибающим моментом от распределенной нагрузки q на данном участке бруса.
Максимальной величины изгибающий момент достигает в сечении рядом с жесткой заделкой:

Ми_max = – FL + [-q×(L/2)×(L/4)] = -50×12 + [-10×(12/2)×(12/4)] = -780 Нм.

Выполнив необходимые подсчеты, строим эпюру изгибающих моментов, начиная со свободного конца бруса (см. схему).

Задача решена.

***

Пример расчета бруса (стержня)

Сопротивление материалов