Как составить задачу на биссектрису

Содержание:

Ранее мы выполняли построения на плоскости при помощи линейки с делениями, чертежного треугольника, транспортира и циркуля.

Математиков всегда интересовали построения геометрических фигур, которые можно выполнить только при помощи циркуля и линейки. В геометрии специально выделяют задачи на построение, которые могут быть решены с помощью этих двух инструментов.

Например, при помощи циркуля и линейки можно построить треугольник, стороны которого равны трем данным отрезкам. Или построить угол, равный данному углу.

Рассмотрим одну из таких задач на построение. На прямой

Найти точку — это значит построить ее при помощи циркуля и линейки. Если перемещать некоторую точку по прямой (положения К₁ К₂, К₃), то расстояния от этой точки до точек А и В будут меняться. Когда эти расстояния станут равными, точка на прямой будет равноудалена от концов отрезка АВ. Значит, она будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Это и есть идея построения: нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку АВ и найти точку его пересечения с прямой .

Чтобы построить серединный перпендикуляр, нужно построить две пересекающиеся окружности равных радиусов с центрами в точках А к В (рис. 293, б). Затем провести прямую MN через точки пересечения этих окружностей (ниже мы обоснуем это построение). В пересечении серединного перпендикуляра MN к отрезку АВ и прямой получим искомую точку К.

Рассмотренная задача может иметь и практический смысл. Допустим, есть два населенных пункта и шоссе рядом с ними. На шоссе нужно найти место для остановки, чтобы путь для жителей обоих населенных пунктов до остановки был одинаковым. Все построения будут сделаны на карте населенного пункта.

При решении задач на построение линейка считается односторонней и без делений. При помощи такой линейки нельзя построить две параллельные прямые, проведя линии по краям линейки, нельзя измерять и откладывать отрезки, нельзя строить перпендикуляры, используя прямоугольную форму линейки. Рассмотрим, какие операции можно выполнять линейкой, а какие циркулем.

Операции с линейкой

При помощи линейки можно провести (построить):

а)    произвольную прямую;

б)    прямую, проходящую через две точки (рис. 294).

Операции с циркулем

При помощи циркуля можно:

а)    построить произвольную окружность и окружность (дугу окружности) с данным центром и радиусом, равным данному отрезку (рис. 295);

б)    отложить отрезок, равный данному отрезку, на некоторой прямой.

Откладывание отрезка

Для откладывания отрезка, равного данному отрезку (рис. 296, а) на прямой (рис. 296, б), следует: 1) отметить на прямой точку М; 2) радиусом, равным а, провести дугу окружности с центром в точке М (сделать засечку на прямой ).

В пересечении дуги и прямой получим точку К и отрезок МК, равный .

Операция откладывания отрезка на прямой позволяет построить сумму и разность двух отрезков (рис. 297): в первом случае на произвольной прямой откладывают последовательно два отрезка, во втором — на большем отрезке от любого его конца откладывают меньший отрезок.

В дальнейшем при решении задач на построение мы не будем описывать процедуру откладывания отрезка на прямой, считая ее элементарной операцией.

Перечислим 5 основных задач на построение, к которым сводятся другие задачи. Решая сложные задачи, будем ссылаться на эти основные, не описывая ту часть решения, которая связана с одной из основных задач.

• Задача I. Построение треугольника по трем сторонам.
• Задача II. Построение угла, равного данному.
• Задача III. Построение биссектрисы угла.
• Задача IV. Построение середины отрезка.
• Задача V. Построение прямой, перпендикулярной данной.

В некотором смысле «линейка» и «циркуль» — это два идеальных робота, которые могут выполнять определенный набор операций. И наша задача — составить алгоритм из последовательности таких операций — команд для этих роботов, который приведет к построению необходимой фигуры. Фактически нужно написать программу для «циркуля» и «линейки».

Замечание. В треугольнике ABC стороны, противолежащие углам А, В и С, будем соответственно обозначать , и , а сами эти углы — , и (рис. 298). Медианы, проведенные к сторонам , и , — высоты — биссектрисы —

Построение треугольника по трем сторонам. Построение угла, равного данному 

Задача №1

Построить треугольник со сторонами , и .

Решение:

Пусть даны отрезки , и . На произвольной прямой откладываем отрезок АВ =  (рис.300).

Строим окружность с центром в точке А радиусом . Строим окружность с центром в точке В радиусом . Находим точку С пересечения этих окружностей. Проведем отрезки АС и ВС.

Треугольник ABC — искомый, так как у него ВС = , АС = , АВ = по построению.

Задача имеет решение, если для данных отрезков , и  выполняется неравенство треугольника: < + , < + , < + . Если решение существует, то оно единственное, так как все построенные треугольники будут равны по 3-му признаку равенства треугольников.

Следствие.

Если для чисел , и выполняется неравенство треугольника, то существует, и причем единственный, треугольник со сторонами, равными , и .

Замечание. При решении задач на построение под числом решений понимается число фигур разной формы, удовлетворяющих условию. В данном случае решение одно.

Задача №2

Построить угол, равный

Решение:

Пусть дан угол А (рис. 301, а).

Нужно построить угол А_1, равный углу А. Идея решения состоит в том, чтобы построить некоторый треугольник ABC с углом А и равный ему треугольник A₁B₁C₁.

Строим произвольный луч А₁К (рис. 301, б). Произвольным, но одним и тем же радиусом строим дуги с центрами в точках А и А₁. Получаем АВ =АС =А₁С₁. Строим дугу окружности с центром в точке C₁ радиусом, равным СВ, до пересечения ее с уже построенной дугой в точке В₁. Строим луч А₁В₁. Угол A₁ — искомый. Действительно, так как АВС и А₁В₁С₁ равны по трем сторонам (АВ = А₁В₁, АС=А₁С₁, ВС = В₁С₁ по построению), то A₁ =A как соответствующие в двух равных треугольниках.

Замечания. Построение угла, равного данному, дает возможность строить сумму и разность двух углов.

Задача №3

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

Решение:

Пусть даны отрезки и и угол (рис. 302).

Нужно построить треугольник со сторонами и и углом между ними. Вначале строим угол С, равный данному углу (основная задача). На сторонах угла С откладываем отрезки СВ = и СА = и проводим отрезок АВ. Треугольник ABC — искомый, так как удовлетворяет условию задачи: СВ = , CA = ,C = по построению.

Заметим, что решение существует, если < 180°, и оно единственное, так как все построенные треугольники будут равны по 1-му признаку равенства треугольников.

Задача №4

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Решение:

Пусть дана сторона и углы и (рис. 303).

Нужно построить треугольник со стороной и прилежащими к ней углами и .

На произвольной прямой откладываем отрезок ВС = .

От лучей ВС и СВ в одну полуплоскость откладываем углы, равные углу и углу (основная задача). Отмечаем точку А, в которой пересекаются стороны углов В и С. Треугольник ABC — искомый.

Решение существует, если + < 180°, и оно единственное, так как все построенные треугольники будут равны по 2-му признаку равенства треугольников.

Построение биссектрисы угла. Построение середины отрезка

Задача:

Построить биссектрису данного угла.

Решение:

Пусть дан угол А (рис. 305).

Нужно построить его биссектрису. Произвольным радиусом строим дугу окружности с центром в точке А, которая пересекает стороны угла А в точках В и С. Далее одинаковым радиусом строим две дуги с центрами в точках В и С до их пересечения в точке D. Строим луч AD, который является искомой биссектрисой. Доказательство следует из того, что ABD =ACD по трем сторонам (АВ = АС,    BD = CD как радиусы, сторона AD — общая), откуда BAD =CAD.

Задача №5

Построить середину отрезка (разделить данный отрезок пополам).

Решение:

Пусть АВ — данный отрезок. Произвольным, но одним и тем же радиусом (большим половины отрезка АВ) проводим две дуги с центрами в точках А и В до их пересечения в точках С и D (рис. 306).

Через точки С и D проводим прямую. В пересечении прямых CD и АВ получаем точку М — середину отрезка АВ. Докажем это. Так как точки С и D равноудалены от концов отрезка АВ (СА = СВ = DA = DB как радиусы), то они лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Поскольку две точки задают единственную прямую, то CD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Следовательно, AM = MB.

Замечание. Указанный способ построения середины отрезка также является и способом построения серединного перпендикуляра к отрезку.

Задача №6

Построить треугольник по стороне , прилежащему углу и биссектрисе

Решение:

Предположим, что задача решена, и сделаем чертеж искомого треугольника АВС (рис. 307).

Пусть AC = , A = , биссектриса АК = Так как АК — биссектриса, то KAC = . Треугольник АКС можно построить по двум сторонам и углу между ними:

AC = , AK =  KAC=. Далее треугольник АКС легко достроить до искомого треугольника ABC. Опишем построение (рис. 308).

1)    Строим EAF = (основная задача).

2)    Строим биссектрису AG угла EAF (основная задача). Получаем GAF =

3)    Строим треугольник АКС по двум сторонам и углу между ними: на луче AF откладываем отрезок AC = , на луче AG — отрезок АК =

4)    Находим точку В пересечения луча СК и луча АЕ. Треугольник ABC — искомый.

Задача №7

Построить центр данной окружности.

Решение:

Мы знаем, что серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. Серединные перпендикуляры к двум хордам окружности будут пересекаться в ее центре. Отсюда построение.

Строим хорду АВ (рис. 309) и к ней серединный перпендикуляр МК (основная задача).

Строим хорду CD (не параллельную АВ) и к ней серединный перпендикуляр EF. Точка О пересечения прямых МК и EF — центр окружности.

Замечание. Вторым способом решения будет построение одного серединного перпендикуляра МК к хорде АВ, нахождение точек Т и Р пересечения МК с окружностью и построение середины О диаметра ТР.

Построение прямой, перпендикулярной данной

Задача:

Построить прямую, перпендикулярную прямой и проходящую через данную точку А.

Решение:

Алгоритм построения одинаков для случая, когда точка А не принадлежит прямой  (рис. 310, а) и когда точка А принадлежит прямой (рис. 310, б).

Построение.

Проводим дугу с центром в точке А, которая пересекает прямую в точках В и С. Из точек В и С как из центров одним и тем же радиусом проводим дуги до пересечения их в точке D. Строим прямую AD. Получаем AD.

Доказательство:

Так как точки А и D равноудалены от концов отрезка ВС (АВ=АС, BD = CD как радиусы), то AD — серединный перпендикуляр к отрезку ВС.

Следовательно, AD.

Этапы решения задачи на построение

При решении задачи на построение выделяют 4 этапа.

1.    Анализ.

На этом этапе предполагают, что задача решена, делают чертеж с изображением искомой фигуры и указывают идею решения задачи.

2.    Построение.

На этом этапе дают описание последовательности шагов, приводящих к построению искомой фигуры, то есть алгоритм построения. Иногда на этом этапе проводят и сами операции построения на произвольно взятых отрезках, углах и других фигурах. В сложных задачах обычно указывают лишь шаги построения, ссылаясь на основные и ключевые задачи.

3.    Доказательство.

На этом этапе доказывают, что построенная фигура удовлетворяет требованию задачи. Иногда это следует непосредственно из построения.

4.    Исследование.

На данном этапе определяют, при какой величине заданных в условии отрезков и углов существует решение и число решений.

При записи решения задачи на построение этапы анализа и исследования в школе необязательны, если в условии задачи нет специальных указаний.

Задача №8

Построить прямоугольный треугольник по катету и прилежащему острому углу.

Решение:

Пусть дан катет и прилежащий к нему острый угол . Нужно построить прямоугольный треугольник с катетом и углом (рис. 311).

Построение.

1) Строим прямой угол. Для этого проводим произвольную прямую и строим перпендикулярную ей прямую, проходящую через произвольно взятую на прямой точку С (основная задача). Получаем прямой угол С.

2)    На одной стороне прямого угла С от его вершины откладываем отрезок СВ = .

3)    Строим B = (основная задача).

4)    В пересечении стороны угла В со стороной прямого угла получим точку А.

Доказательство:

Треугольник АВС — искомый, так как по построениюC=90°, ВС= — катет,B= — прилежащий острый угол.

Замечание. Мы не описываем построение прямой, перпендикулярной данной, и построение угла, равного данному, так как это основные задачи. На рисунке 311 построение прямого угла С показано для наглядности.

Задача №9

Построить прямую, параллельную данной прямой, если расстояние между этими прямыми равно заданному отрезку.

Решение:

Пусть дана прямая и отрезок , равный расстоянию между параллельными прямыми и (рис. 312).

Нужно построить прямую , параллельную прямой и находящуюся от прямой на расстоянии . Воспользуемся теоремой о том, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Построение.

1)    Отмечаем на прямой точку М и строим прямую с, перпендикулярную прямой и проходящую через точку М (основная задача).

2)    Откладываем на прямой перпендикуляр MK = .

3)    Строим прямую , перпендикулярную прямой и проходящую через точку К (основная задача). Получаем || .

Доказательство:

Так как ,   и на  плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то || . Расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую: KMa, KM=.

Задача №10

Построить треугольник по основанию , высоте и медиане , проведенным к этому основанию.

Решение:

Анализ. Пусть у треугольника ABC ВС = , высота АН = и медиана AM = (рис. 313).

Заметим, что треугольник АНМ может быть построен по катету и гипотенузе, а затем достроен до искомого треугольника ABC путем откладывания от точки М влево и вправо отрезков МС = MB = .

Построение.

1)    Строим прямой угол Н (рис. 314).

На одной его стороне откладываем отрезок АН = , из точки А как из центра делаем засечку на второй стороне угла радиусом — получаем точку М.

2)    Делим отрезок пополам (основная задача) и на прямой НМ откладываем по разные стороны от точки М отрезки МВ= и МС= . Проводим отрезки СА и ВА. 

Доказательство:

ABC — искомый, так как у него высота АН=, медиана АМ=, сторона ВС= по построению.

Исследование*. Так как катет меньше гипотенузы, то высота должна быть меньше или равна медиане . Поэтому решение существует, если < , и оно единственное. Если = , получим равнобедренный треугольник.

Геометрическое место точек

Определение. Геометрическим местом точек (ГМТ) называется множество всех точек, обладающих общим свойством.

Примеры геометрических мест точек на плоскости

1.    Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

2.    Серединный перпендикуляр — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка.

3.    Биссектриса — геометрическое место точек внутри угла, равноудаленных от сторон угла.

4.    Геометрическое место точек, находящихся на заданном расстоянии от данной прямой , — две прямые и , параллельные данной, находящиеся в разных полуплоскостях от этой прямой на заданном расстоянии от нее (рис. 316).

5.    Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых и , есть параллельная им прямая , проходящая через середину М их общего перпендикуляра АВ (рис. 317).

В пространстве геометрическим местом точек, равноудаленных от данной точки, является сфера.

Метод геометрических мест точек

Одним из методов решения задач на построение является метод пересечения двух геометрических мест точек. Суть его состоит в следующем. Пусть искомая точка удовлетворяет, например, некоторым двум условиям: геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, — это некоторая фигура F₁ (окружность, биссектриса угла, серединный перпендикуляр и т. д.), а геометрическое место точек, удовлетворяющих другому условию, — это фигура F₂. Искомая точка, принадлежащая и фигуре F₁, и фигуре F₂, является точкой их пересечения. В частности, методом пересечения двух геометрических мест точек решена основная задача о построении треугольника по трем сторонам.

Задача №11

Построить внутри данного угла точку, которая равноудалена от сторон угла на данное расстояние .

Решение:

Анализ. Пусть дан угол ВАС и отрезок длиной (рис. 318).

Все точки, равноудаленные от сторон угла, лежат на биссектрисе угла. Поэтому искомая точка лежит на биссектрисе угла. С другой стороны, все точки, удаленные от стороны угла на расстояние , лежат на двух прямых, параллельных стороне угла и находящихся от нее на расстоянии . Искомая точка будет находиться на пересечении указанных двух геометрических мест точек.

Построение.

1)    Строим прямую , параллельную прямой АС, с их общим перпендикуляром, равным (ключевая задача 2 § 30).

2)    Строим биссектрису угла ВАС (основная задача).

3)    В пересечении биссектрисы и прямой получаем искомую точку К.

Доказательство:

Расстояние между параллельными прямыми и АС равно . Значит, и расстояние от точки К до стороны АС угла ВАС равно . Все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, в том числе и точка К. Точка К удовлетворяет требованию задачи.

Задача №12

Построить треугольник по двум сторонам и и высоте , опущенной на сторону .

Решение:

Заметим, что в общем случае существует два треугольника со сторонами , и высотой , (рис. 319, а, б).

Построение (рис. 320).

1)    Строим две параллельные прямые  и  с расстоянием между ними (ключевая задача 2 § 30).

2)    Строим дугу с центром в точке С и радиусом , которая пересекает прямую в точках В и В₁.

3)    Строим дугу с центром в точке С радиусом , которая пересечет прямую в точке А. Треугольники ABC и АВ₁С — искомые.    

Доказательство:

Следует из построения и теоремы о расстоянии между параллельными прямыми.

Исследование. Так как перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой, то задача может иметь решение, только если и Если и то задача имеет два решения. Если то треугольник прямоугольный, и задача имеет одно решение. Если то задача имеет одно решение — равнобедренный треугольник. Если или задача не имеет решения.

Задачи на построение с решением

С помощью линейки с делениями, циркуля, угольника, транспортира, шаблонов (рис. 312) вам не раз приходилось проводить различные геометрические построения.

А можно ли обходиться меньшим количеством чертежных инструментов? Оказывается, что во многих случаях достаточно использовать только циркуль и линейку без делений. Например, чтобы провести биссектрису угла, совсем не обязательно иметь транспортир, а разделить отрезок пополам можно и тогда, когда на линейку не нанесена шкала.

А стоит ли в наше время, когда созданы точнейшие приборы и совершенные компьютерные программы, позволяющие выполнять сложнейшие измерения и построения, обходиться такими «скудными» средствами, как циркуль и линейка? На практике, конечно, нет. Поэтому, например, конструкторы, строители, архитекторы, дизайнеры не ограничивают себя в выборе инструментов.

Однако при изучении геометрии очень полезно принять участие в игре по таким правилам:

1. все построения выполняются только с помощью циркуля и линейки без делений;
2. с помощью линейки можно через заданную точку провести прямую, а также через заданные две точки и провести прямую ;
3. с помощью циркуля можно построить окружность с данным центром и радиусом, равным заданному отрезку .

Итак, договоримся, что если в задаче требуется построить какую-то фигуру, то построение выполняется по описанным выше правилам.

Решить задачу на построение — это значит составить план (алгоритм) построения фигуры; реализовать план, выполнив построение; доказать, что полученная фигура является искомой.

Рассмотрим основные задачи на построение.

Задача №13

Постройте угол, равный данному, одна из сторон которого является данным лучом.

Решение:

На рисунке 313 изображены угол и луч . Надо построить угол, равный углу , одной из сторон которого является луч . Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке . Точки пересечения этой окружности со сторонами угла обозначим и (рис. 314).

Пусть .

Проведем окружность радиуса с центром в точке (рис. 315). Она пересекает луч в точке . Затем с центром в точке проведем окружность, радиус которой равен . Пусть и — точки пересечения окружностей с центрами и .

Покажем, что каждый из углов и — искомый. Докажем, например, что . Рассмотрим треугольники и . Имеем: . Кроме того, по построению . Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников. Отсюда . Аналогично можно показать, что .

Задача №14

Постройте серединный перпендикуляр данного отрезка.

Решение:

Пусть — данный отрезок. Проведем две окружности с центрами и радиуса (рис. 316). Точки пересечения этих окружностей обозначим и . Из построения следует, что и . Следовательно, точки и принадлежат серединному перпендикуляру отрезка . Прямая и является серединным перпендикуляром отрезка .

Замечание. Поскольку прямая пересекает отрезок в его середине, точке , то тем самым решена

Задача №15

Даны прямая и не принадлежащая ей точка. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной.

Решение:

Пусть — данная прямая, — не принадлежащая ей точка. Проведем окружность с центром в точке так, чтобы она пересекла прямую в двух точках. Обозначим эти точки и (рис. 317).

Поскольку , то точка принадлежит серединному перпендикуляру отрезка . Построив этот серединный перпендикуляр (см. задачу 2), мы тем самым решим задачу.

Задача №16

Даны прямая и принадлежащая ей точка. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной.

Решение:

Пусть — данная прямая, — принадлежащая ей точка. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке . Она пересекает прямую в точках и (рис. 318).

Поскольку , то задача опять-таки свелась к построению серединного перпендикуляра отрезка .

Задача №17

Постройте биссектрису данного угла.

Решение:

Пусть — данный угол. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в точке . Эта окружность пересекает стороны угла в точках и (рис. 319). Тем же радиусом проведем окружности с центрами и .

Эти окружности пересекаются в точках и . Докажем, что луч — искомая биссектриса. Действительно, по трем сторонам. Следовательно, .

Задача №18

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.

Решение:

Проведем две перпендикулярные прямые и , — точка их пересечения (рис. 320). На прямой отложим отрезок , равный данному катету. С центром в точке проведем окружность радиусом, равным данной гипотенузе. Эта окружность пересечет прямую в двух точках и (рис. 321). Каждый из треугольников и — искомый.

Задача №19

Постройте треугольник по стороне и высотам, проведенным к двум другим сторонам.

Решение:

На рисунке 322 изображен треугольник , и — его высоты. Если известны отрезки , и то можно построить прямоугольные треугольники и по гипотенузе и катету. Проведенный анализ подсказывает план построения.

Построим прямоугольный треугольник , в котором гипотенуза равна данной стороне, а катет — одной из данных высот (рис. 323). В построенном треугольнике угол равен одному из углов, прилежащих к заданной стороне искомого треугольника. С помощью аналогичного построения можно получить другой прилежащий к данной стороне угол (рис. 324).

Теперь осталось построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. Выполните это построение самостоятельно.

Задача №20

Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.

Решение:

На рисунке 325 изображен треугольник , в котором отрезок — высота, отрезок — биссектриса.

Если известны длины отрезков и , то прямоугольный треугольник можно построить по гипотенузе и катету. Также отметим, что если известен угол , то можно построить углы и , каждый из которых равен . Отсюда получаем план построения.

Строим прямоугольный треугольник , в котором гипотенуза равна данной биссектрисе, а катет — данной высоте (рис. 326). Строим два угла, каждый из которых равен половине данного, так, чтобы луч был их общей стороной. На рисунке 326 это углы и . Треугольник — искомый.

Метод геометрических мест точек в задачах на построение

Известно, что если смешать синий и желтый цвета, то получим зеленый. Пусть на плоскости надо найти точки, обладающие какими-то двумя свойствами одновременно. Если синим цветом покрасить точки, обладающие первым свойством, а желтым — обладающие вторым свойством, то понятно, что «зеленые» точки будут обладать сразу двумя свойствами. В этом и состоит идея метода ГМТ, которую проиллюстрируем следующими задачами.

Задача №21

Постройте треугольник по трем данным его сторонам.

Решение:

Пусть даны три отрезка, длины которых равны (рис. 327). Надо построить треугольник , в котором , , . Проведем произвольную прямую. С помощью циркуля отложим на ней отрезок , равный (рис. 328). Понятно, что задача свелась к построению третьей вершины треугольника, точки .

Воспользуемся тем, что точка обладает сразу двумя свойствами:

1. принадлежит геометрическому месту точек, равноудаленных от точки на расстояние с, т. е. «синей» окружности (рис. 328);
2. принадлежит геометрическому месту точек, равноудаленных от точки на расстояние , т. е. «желтой» окружности (рис. 328).

В качестве точки можно выбрать любую из двух образовавшихся «зеленых» точек. Полученный треугольник является искомым, так как в нем .

Из описанного построения следует, что если каждый из трех данных отрезков меньше суммы двух других, то эти отрезки могут служить сторонами треугольника.

Задача №22

Постройте фигуру, все точки которой принадлежат данному углу, равноудалены от его сторон и находятся на заданном расстоянии а от его вершины.

Решение:

Искомые точки принадлежат сразу двум геометрическим местам точек: биссектрисе данного угла и окружности с центром в его вершине и радиусом, равным а. Построим биссектрису угла и указанную окружность (рис. 329). Их пересечением является искомая точка .

Задача №23

Постройте центр окружности радиуса , проходящей через данную точку и касающуюся данной прямой .

Решение:

Поскольку окружность касается прямой , то ее центр находится на расстоянии от нее. Геометрическим местом точек, удаленных от данной прямой на данное расстояние, являются две параллельные прямые (см. задачу 500). Следовательно, центр окружности надо искать на «желтых» прямых (рис. 330).

Геометрическое место точек, являющихся центрами окружностей радиуса , проходящих через точку , — это окружность данного радиуса с центром в точке . Поэтому в качестве центра искомой окружности можно выбрать любую из точек пересечения «синей» окружности с одной из «желтых» прямых (рис. 331).

Построение для случая, когда данная точка принадлежит данной прямой, рассмотрите самостоятельно.

Задача №24

Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

Решение:

Построим окружность данного радиуса и проведем хорду , равную стороне искомого треугольника. Тогда концы хорды являются двумя вершинами искомого треугольника. Понятно, что третья вершина принадлежит одновременно построенной окружности («желтая» окружность) и окружности Рис 332 с центром в точке , являющейся серединой хорды , и радиусом, равным данной медиане («синяя» окружность). Каждый из треугольников и (рис. 332) является искомым.

Свойства биссектрисы угла. Задачи

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы вспомним понятие биссектрисы угла, сформулируем и докажем прямую и обратную теоремы о свойствах биссектрисы, обобщим их. Решим задачу, в которой, кроме фактов о биссектрисе, применим другие геометрические факты.

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

• CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
• CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
• ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника

Можно вывести различные формулы, с помощью которых можно вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны:

· длины прилежащих сторон и угол между ними

· длины прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону

· длины трех сторон треугольника.

Докажем первую из формул.

Задача 1. Вычислить длину биссектрисы треугольника, если известны длинны двух прилежащих сторон треугольника и угол между ними.

Решение. Пусть в треугольнике АВС известно, что

.

Обозначим биссектрису AD через la .

.

Используя формулу синуса двойного угла, получаем:

.

Ответ: .

Выражение называется средним гармоническим чисел а и с. Поэтому формулу можно запомнить следующим образом:

биссектриса треугольника равна произведению среднего гармонического прилежащих сторон треугольника на косинус половинного угла между ними.

Доказательство остальных формул можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».

Задача 2. Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведённую из вершины А, если ВС = 18, АС = 15, АВ = 12.

Решение. Воспользуемся формулой для вычисления биссектрисы угла, если известны три стороны треугольника:

Задача 3. Определить площадь треугольника, если две его стороны равны 35 см и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.

Пусть в треугольнике АВС АС=35, АВ=14, AD – биссектриса, AD=12.

,

Вычислим , получаем:

, .

(по основному тригонометрическому тождеству).

Далее по формуле синуса двойного угла вычисляем

.

Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой .

Задача 4. . В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD

проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 20 и DE = 10. Найдите BE.

Используя свойство биссектрисы угла треугольника (урок 4), получаем

, то есть .

Таким образом, нам известны длины двух прилежащих сторон и отрезки, на которые биссектриса разбивает противолежащую сторону, поэтому

Ответ :.

Задачи для самостоятельного решения

1. Дан треугольник со сторонами 4, 8, 9. Найти длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.

2. В треугольнике ABC известно, что АВ = 10, АС = 15, BAC = 120°. Найдите биссектрису AD.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

4. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что СЕ = 18 и DE = 12. Найдите BE.

[spoiler title=”источники:”]

http://pandia.ru/text/78/654/11234.php

[/spoiler]

Биссектриса треугольника обладает
одним замечательным свойством: она делит противолежащую сторону на
отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам (рис. 177).

с/а = d/b или c/d = a/b.

Рис. 177.

Это свойство часто используется в задачах, в которых фигурирует биссектриса треугольника.

Примеры решения задач

107. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите периметр треугольника ABC, если АС = 4; DC = 2; BD = 3 (рис. 178).

Рис. 178.

Решение. По свойству биссектрисы BD/AB = DC/AC; 3/AB = 2/4; АВ = 6.

Периметр треугольника РАВС = 6 + 5 + 4 = 15.

Ответ: 15.

108. Дан
треугольник ABC, в котором ?В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В
пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь треугольника ABD
(рис. 179).

Рис. 179.

Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.

Пусть AD = 2х; DC = Зх.

Ответ: 12/5.

Задачи для самостоятельного решения

109. В треугольнике ABC, где АВ = 6, АС = 4, биссектриса AL и медиана ВМ пересекаются в точке О. Найдите BO/OM.

110. Определите стороны треугольника, если
медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол
на три равные части, а сама медиана равна 10 см.

Моя подборка задач на свойство биссектрисы. Здесь собраны достаточно легкие задачи (уровня А) для работы репетитора по математике со средним и слабым учеником. Преподавателям математики, работающим с более высоким уровнем учащихся я советую прорешать в начале темы хотя бы часть простых задач их этого списка, а затем уже перейти на страницу с задачами на биссектрису уровня В.

Задача №1 от репетитора по математике. В треугольнике ABC со сторонами см, см и см проведена биссектриса . Найдите длины отрезков и .

Задача №2 от репетитора по математике. В треугольнике известны длины сторон см, см, NP — биссектриса, а разность длин отрезков и равна см. Найдите и .

Задача №3 от репетитора по математике. В треугольнике проведена биссектриса. Найдите стороны и ,если см, см, а периметр треугольника равен см.

Задача №4 от репетитора по математике.В треугольнике см, биссектриса BD делит сторону AC на отрезки см и см. Найдите длины сторон и

Задача №5 от репетитора по математике. В треугольнике известно, что см, см и см. Проведена окружность, касающаяся двух меньших сторон с центром на большей стороне. Найти длины отрезков, на которые центр этой окружности делит большую сторону этого треугольника.

Задача №6 от репетитора по математике. Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб так, что вершины и лежат соответственно на сторонах и . Найдите стороны и , если см; см.

Задача №7 от репетитора по математике.В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла. Известно что эта биссектриса делит противолежащий катет на отрезки см и см. Найдите площадь прямоугольного треугольника.

Задача №8 от репетитора по математике. Точка O на гипотенузе равноудалена от двух катетов прямоугольного треугольника и делит гипотенузу на части длиной см и см. Найдите катеты треугольника и его площадь.

Задача №9 от репетитора по математике. Найдите угол между биссектрисами двух углов треугольника, если градусная мера одного из этих углов равна , а градусная мера третьего угла .

Задача №10 от репетитора по математике.В прямоугольном треугольнике с углом и гипотернузой, равной см проведена биссектриса к гипотенузе. Найдите отрезки, на которые она разбивает эту гипотенузу.

Задача №11 от репетитора по математике.
В прямоугольном треугольнике с углом и меньшим катетов, равным проведена биссектриса к гипотенузе. Найдите отрезки на гипоненузе, образованные от проведения этой биссектрисы.

Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике Москва, Строгино.

Метки:
Геометрия,
Задачник по геометрии

Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье рассмотрим простейшие задания по геометрии на применение свойств медианы и биссектрисы в треугольнике.

Что такое медиана треугольника?

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Другими словами, медиана треугольника делит противоположную сторону на два равных отрезка.

Задача №1

В этой задаче длина медианы ВМ является лишней и для решения не используются. Для решения нужно взять длину стороны АС. Чтобы найти АМ нужно, по свойству медианы треугольника, разделить сторону АС на 2 и получим отрезок АМ.

Задача №2

Что такое биссектриса ?

Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части.

Теперь решим задачу.

Задача №3

В условии задачи, точка М – середина стороны АВ, значит СМ – медиана. Вспомним свойство медианы в прямоугольном треугольнике проведенной из вершины прямого угла:

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы (значение гипотенузы делим на 2). Значит для решения задачи этой задачи нам нужно знать только значение отрезок АВ (гипотенузы), а значение отрезка ВС дано лишним.

Задача №4

Так как точка М является серединой АВ (АМ= МВ) и точка N является серединой ВС (BN=NC), то отрезки СМ и AN являются медианами в треугольнике АВС. Для решения этой задачи полезно знать свойство медиан треугольника:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решим задачу на части:

Весь отрезок AN = 15, но он поделен точкой О на два отрезка. Один отрезок равен две части, второй отрезок равен одной части.

Задача №5

Здесь представлены на вид 6 разных задач, но если внимательно прочитать, то можно заметить, что они одинаковые. Решить такие задачи можно как по теореме Пифагора, так и с помощью свойства медиан в треугольнике и вписанной окружности.

Для решения этих задач с помощью свойств медиан в треугольнике, вспомним свойство равностороннего треугольника и вписанной окружности в треугольник.

1) В равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают и пересекаются в одной точке.

2) Центром вписанной окружности в треугольник является точка пересечения биссектрис. Значит в разностороннем треугольнике центром вписанной окружности является пересечение биссектрис, медиан и высот.

3) Свойство медиан в треугольнике: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Рассмотрим решение такой задачи:

Для нахождения стороны или высоты равностороннего (правильного) треугольника, воспользуемся формулами, которые есть в справочном материале, выдаваемое на экзамене:

Так как в нашей задаче биссектриса равностороннего треугольника является медианой, найдем чему будет равна одна часть, т.е. радиус вписанной окружности:

Аналогично решаются задачи, где дана медиана или высота равностороннего (правильного) треугольника.

Решим второй тип подобной задачи:

Так как биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой, то мы можем найти высоты по формуле

Можно эту задачу решить через свойство медиан треугольника:

Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог