Как составить задачу на совместную работу для 5 класса

Математика

5 класс

Урок № 69

Задачи на совместную работу

Перечень рассматриваемых вопросов:

– введение понятий производительность, общая производительность, время работы;

– алгоритм решения задач на совместную работу арифметическим способом;

– отработка применения алгоритма при решении задач.

Тезаурус

Производительность (Р) – объём работы, выполняемый за единицу времени.

Время работы (Т) – время выполнения всей работы.

Общая производительность – объём работы, выполняемый совместно всеми работниками за единицу времени.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 классы. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы научились выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями. Сегодня мы рассмотрим, как с помощью обыкновенных дробей решать задачи на совместное выполнение некоторой работы.

Под совместной работой можно понимать абсолютно любое действие: и одновременный поток воды из двух труб при наполнении бассейна, и изготовление деталей двумя рабочими, и вспашку поля несколькими тракторами, и набор текста на компьютере.

Всю работу мы будем принимать за единицу. А объём выполненной работы выражать как часть этой единицы.

Если какая-то работа выполняется за шесть часов, то за час выполняется одна шестая часть этой работы.

Объём работы, выполненный за единицу времени, называется производительностью. Она обозначается как Р.

Рассмотрим задачу.

Первый столяр может выполнить заказ за 36 часов, а второй – за 18 часов. За сколько часов этот заказ выполнят оба столяра, работая вместе?

Вся работа – 1

1-й столяр – 36 ч

2-й столяр – 18 ч

1-й и 2-й столяр – ? ч

(первый столяр за один час, или производительность Р₁ первого столяра)

(второй столяр за один час, или производительность Р₂ второго столяра)

(оба столяра за один час, или общая производительность Р)

(время выполнения всей работы совместно)

Ответ: за 12 ч.

Рассмотрим следующую задачу.

Одна труба заполняет бассейн за 60 минут, а вторая – за 20 минут. За сколько минут заполнится бассейн при включении обеих труб?

Вся работа – 1

1-я труба – 60 минут

2-я труба – 20 минут

Обе трубы – ?

часть бассейна (наполняет первая труба за одну минуту, или производительность Р₁)

часть бассейна (наполняет вторая труба за одну минуту, или производительность Р₂)

часть бассейна (заполняют обе трубы, работая вместе, или общая производительность Р)

минут (время заполнения бассейна двумя трубами)

Ответ: за 15 минут.

Рассмотрим задачу, в которой, зная время выполнения работы совместно, надо найти время работы одного из участников.

Работая вместе, два мастера Гжели выполняют заказ за шесть дней. Первый мастер, работая один, может выполнить этот заказ за 10 дней. За сколько дней этот заказ может выполнить второй мастер?

Вся работа – 1

1-й и 2-й мастер – 6 дней

1-й мастер – 10 дней

2-й мастер – ? дней

часть заказа (первый и второй мастера за один день, или общая производительность Р)

часть заказа (первый мастер за один день, или производительность Р₁)

часть заказа (выполнит второй мастер за один день, или производительность Р₂)

дней – время выполнения заказа вторым мастером

Ответ: за 15 дней.

Алгоритм решения задач на совместную работу

Т₁ – время, за которое первый объект самостоятельно выполнит всю работу;

Т₂ – время, за которое второй объект самостоятельно выполнит всю работу.

1. Всю выполненную работа принимаем за единицу.
2. Находим часть работы, выполненную первым объектом за единицу времени (производительность Р₁ = 1 ꞉ Т₁).
3. Находим часть работы, выполненную вторым объектом за единицу времени (производительность Р₂ = 1 ꞉ Т₂).
4. Находим часть работы, выполненную двумя (или более) объектами за единицу времени (общая производительность Р = Р₁ + Р₂).
5. Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми объектами (Т = 1 ꞉ Р).

Тренировочные задания

№ 1. Путешественник планирует пройти маршрут за семь дней. Какую часть маршрута он пройдёт за один день? За три дня? За пять дней? Какая часть маршрута останется не пройденной за эти же промежутки времени? Используйте следующие значения ; ; ; ; .

За 1 день

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 3 дня

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 5 дней

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

Пройденная часть маршрута за день – это производительность путешественника. И находится она так же, как и другая производительность. Найдём часть маршрута, пройденную за один день:

Очевидно, что за три дня путешественник пройдет в три раза больше, чем за день. Рассчитаем эту часть пути:

Чтобы найти оставшуюся часть маршрута, надо из всего маршрута, то есть единицы, вычесть пройденную часть. Найдём, например, какую часть маршрута осталось пройти через три дня: .

Аналогично действуем и в остальных случаях.

Правильный ответ:

За 1 день

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 3 дня

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 5 дней

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

№ 2. Подберите к каждому действию правильное пояснение.

Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?

Пояснения к действиям:

• Время выполнения всей работы вторым трактористом;
• Общая производительность обоих трактористов;
• Часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за один час.

Действия:

Рассмотрим первое действие. Единица делится на шесть, где единица – это вся работа, а шесть – время совместной работы. Значит, этим действием мы находим общую производительность обоих тракторов.

Во втором действии из общей производительности вычитаем . Так как первый тракторист выполняет работу за 10 часов, то – это производительность первого тракториста. Значит, мы находим производительность второго тракториста, то есть объём работы, который он выполнил за один час.

В третьем действии единица (вся работа) делится на производительность второго тракториста: таким образом, мы находим время выполнения всей работы вторым трактористом.

Правильный ответ:

– это общая производительность обоих трактористов.

– это часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за 1 ч.

ч – это время выполнения всей работы вторым трактористом.

Задачи на совместную работу

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о совместном выполнении некоторой работы. При этом всё равно, какую работу выполняют и чем эту работу измеряют — числом деталей, количеством вспаханных гектаров и т. п. Если, например, некоторая работа выполняется за  10  часов, то за  1  час, очевидно, выполняется    всей работы, а вся работа составляет десять таких частей  .  Поэтому обычно в таких задачах всю работу принято считать равной единице, объём выполненной работы выражают как часть этой единицы.

Под совместной работой можно понимать и одновременную работу двух труб при наполнении бассейна, и прохождение некоторого пути при движении навстречу друг другу и т. п. Метод решения остаётся тем же.

Научить решать опорные задачи, которые помогут
“открыть” решение составных задач на
совместную работу.
Расширить представления учащихся о практике
решения задач различными способами
Дети учатся находить сначала указанную часть
величины, а потом, увеличивая или уменьшая эту
величину на найденную часть, построение
схематического рисунка к условию задачи его
использование при решении задачи,
устанавливается соответствие между задачами на
работу и аналогичными задачами на движение.
Особенно сложен переход от дроби к числу, которое
указывает на число часов работы, нахождения в
пути и т. д. Необходимо больше уделять внимания
опорным задачам, выстроить определенную цепочку
рассуждений, научить связывать порознь
усвоенные приемы решения, комбинировать их при
поиске решений новых задач.

Цели урока:

• Воспитательные:
  • вырабатывать умение преодолевать трудности,
  • стимулировать мотивацию и интерес к изучению
    математики,
  • приучать к эстетическому оформлению записи в
    тетради,
  • формировать умение выслушивать других.
• Развивающие:
  • развивать логическое мышление
    сообразительность, познавательный интерес;
  • развивать умение контролировать свои действия;
  • обучение действию по аналогии;
  • развивать культуру математической речи;
  • вырабатывать умение общения.
• Образовательные:
  • проверить, с помощью самостоятельной работы,
    навыки сложения и вычитания обыкновенных дробей
    с разными знаменателями;
  • познакомить с методом решения задач на
    совместную работу;
  • расширять кругозор учащихся;
  • научить использовать арифметический способ для
    решения задач на «совместную работу»;
  • стимулировать учащихся к овладению этим
    методом для решения других текстовых задач.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Постановка целей и задач урока

Сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать
навыки решения текстовых задач арифметическим
способом; решение исторических задач и старинных
способов их решения расширит представление о
практике решения задач в старые времена.

3. Устная работа

1. Бассейн наполняется за 3 ч. Какая часть
бассейна наполняется за 1 ч?

Решение:

1: 3 = 1/3 часть бассейна наполнится за 1 час.

Ответ: 1/3

2. Работу выполнили за 5 часов. Какую часть
работы выполняли в каждый час?

Решение:

1 : 5 = 1/5 часть работы выполняли каждый час.

Ответ: 1/5

3. В каждый час труба наполняет 1/12часть
бассейна. За сколько часов она наполнит бассейн?

Решение:

1: 1/12 = 12 часов – время для наполнения бассейна.

Ответ: 12 часов.

4. Путник проходит в час 1/6 часть пути. За сколько
часов он пройдет весь путь?

Решение:

1 : 1/6 = 6 часов затратит путник на весь путь.

Ответ: 6 ч.

5. В каждый час первая труба наполняет 1/4
бассейна, а вторая – 1/3 бассейна. Какую часть
бассейна наполняют обе трубы за 1 час совместной
работы.

Решение:

1/4 + 1/3 = (3 + 4)/12 = 7/12 (часть бассейна) – наполняют
обе трубы за 1 час

Ответ: 7/12

6. Два путника одновременно вышли навстречу
друг другу и встретились через 3 часа. На какую
часть первоначального расстояния они сближались
в каждый час?

Решение:

1 : 3 = 1/3 часть расстояния соответствует
сближению путников за час.

Ответ: 1/3.

4. Проверка домашнего задания

Учащиеся должны были придумать сами или
подобрать из различных источников
опорные задачи на совместную работу

5. «Открытие» детьми нового знания. Способы
действия в новой ситуации

Учитель: Хорошо. Все успешно
справились с предложенным заданием, а теперь
прошу все внимание на доску. Мы начинаем изучать
новую тему, которая называется «Задачи на
совместную работу».
Сегодня на уроке мы научимся решать новые задачи
на совместную работу, опираясь на усвоенные
методы решения опорных задач
Хочу напомнить, что всю работу принято
считать равной единице и при этом всё равно,
какую работу выполняют и в чём её измеряют.

Решение старинной задачи всем классом.
На экране вы видите текст одной из задач
«Арифметики Магницкого», попробуйте ее решить.
Какие будут варианты? (Дети высказывают свои
варианты решения).

Лошадь съедает воз сена за два месяца, овца – за
три месяца. За какое время лошадь, коза и овца
вместе съедят такой же воз сена?

Решение:

1) Известно, что лошадь съедает воз сена за
месяц.
2) 1 : 2 = 1/2 (воза) съедает за месяц коза.
3) 1 : 3 = 1/3 (воза) съедает за месяц овца.
4) 1 + 1/2 + 1/3 = (6 + 3 + 2)/6 = 11/6 (воза) съедает за месяц
лошадь, коза и овца.
5) 1 : 11/6 = 1 · 6/11 = 6/11 (месяца) съедят воз сена лошадь,
коза и овца.

Ответ: 6/11 (месяца).

А теперь посмотрите, как решалась эта задача в 17
веке.

Пусть лошадь, коза и овца едят сено 6 месяцев.
Тогда лошадь съедает 6 возов, коза – 3, а овца – 2.
Всего 11 возов, значит, в месяц они съедают 11/6 воза,
а один воз съедят за 1 : 11/6 = 6/11 (месяца)

Приведенный способ решения задачи указывает на
то, что авторы решения применяли такое
рассуждение, видимо, потому, что не умели
действовать с дробями.

Учитель: Продолжим изучение методов
решения задач на совместную работу.

Задача 1.

В городе есть искусственный водоем. Одна из
труб может заполнить его за 4 часа, вторая – за
8часов, а третья – за 24 часа. За сколько времени
наполнится водоем, если открыть сразу три трубы?

Решение:

1. 1 : 4 = 1/4 (водоема) – наполнится через первую трубу
   за час.
2. 1 : 8 = 1/8 (водоема) – наполнится через вторую трубу
   за час.
3. 1 : 24 = 1/24 (водоема) – наполнится через третью
   трубу за час.
4. 1/4 + 1/8 + 1/24 = (6 + 3 + 1)/24 = 10/24 (водоема) – наполнится
   через три трубы за час.
5. 1: 10/24 = 1· 24/10 = 12/5 = 2(ч)

Ответ: через три трубы, работающие
одновременно, водоем наполнится за 2ч.
Таким образом, при решении задач на совместную
работу складывается не время работы, а часть
работы, которую делают ее участники.

Итак, алгоритм.
При решении задач на совместную работу вся
выполненная работа принимается за единицу.
а) Находим часть работы выполненной одним
объектом за единицу времени (производительность
Р1). (Р = 1/Т)
б) Находим часть работы выполненной другим
объектом за единицу времени (производительность
Р2).
в) Находим часть работы выполненной двумя и более
объектами за единицу времени
(производительность Р = Р1 + Р2).
г) Находим время, затраченное на выполнение всей
работы всеми участвующими объектами (Т = 1 : Р).

6. Первичное закрепление изученного
материала

Устная работа

Задача. Маша принесла своим друзьям
медведям торт. Известно, что старший медведь
может съесть торт за два дня, средний медведь за
три дня, а младший за шесть дней. За сколько дней
три медведя вместе съедят торт?

Решение:

1 : 2 = 1/2 (часть торта) – съест старший медведь за 1
день
1 : 3 = 1/3 (часть торта) – съест средний медведь за 1
день
1 : 6 = 1/6 (часть торта) – съест младший медведь за 1
день
1/2 + 1/3 + 1/6 = (3 + 2 + 1)/6 = 1 (то есть один торт) – вместе
три медведя съедят торт за 1 день

Ответ: за 1 день.

Кто быстрее всех решит верно, следующую задачу:

За пять недель пират Ерёма способен выпить
бочку рома.
А у пирата у Емели ушло б на это две недели.
За сколько дней прикончат ром пираты, действуя
вдвоём?

Учитель: Давайте теперь решим задачу
следующего содержания

Задача 2.

Два пешехода вышли одновременно из двух
поселков навстречу друг другу. Один пешеход
может пройти весь путь за три часа, а другой – за 4ч.
Через сколько времени они встретятся?
Решение:
Это тоже задача на «совместную работу», хотя,
строго говоря, никто не работает. Но можно
считать, что «работа» пешеходов – это
прохождение пути. Поэтому весь путь принимаем за
«единицу» и вычисляем часть пути, пройденную
каждым пешеходом.

1. 1:3 = 1/3 (расстояния) – проходит первый пешеход за
   один час.
2. 1 :  4 = 1 : = 1 · = (расстояния) – проходит второй пешеход
   за один час.
3. + = =
   (расстояния) – сближаются оба пешехода за час.
4. 1 :  = 1 · = = 1(ч).

Ответ: пешеходы встретятся через 1ч.

5. Самостоятельное решение подобных задач
по рядам с самопроверкой

Задача 3. Один ученик может убрать
класс за 20 мин, а второй за 30 мин. За сколько минут
они могут убрать класс, работая вместе?

Решение:

Примем всю работу за единицу.
1 : 20 = 1/20 (часть всей работы) – выполнит первый
ученик за 1 мин
1 : 30 = 1/30 ( часть всей работы) – выполнит второй
ученик за 1 мин;
1/20 + 1/30 = 5/60 = 1/12 (часть всей работы) – выполнят при
совместной работе два ученика за 1 мин
1 : 1/12 = 12 (мин) – выполнят всю работу два ученика

Ответ: 12 мин

Задача 4. Через первую трубу водоем
можно наполнить за 5ч, а через вторую – за 6 ч. За
сколько часов наполнится водоем при совместной
работе этих труб?

Задача 5. Грузовая машина проезжает
расстояние между двумя городами за 3 ч, а легковая
– за 2 ч. Машины одновременно выехали из этих
городов навстречу друг другу. Через сколько
часов они встретятся?

6. Работа с учебником по дифференцированным
заданиям

№ 612, №613(1)
для сильных учащихся № 614(1) и № 615(2).

7. Рефлексия деятельности

С помощью беседы обсудить с учащимися вопросы:

– Задачи, какого типа научились решать?
– Что нового на уроке узнали?
– Что научились делать?
– Что находим первоначально при решении задач на
совместную работу?
– Где испытывали затруднения?

8. Домашнее задание.

№ 613(2),611Выучить алгоритм решения задач на
совместную работу, повторить правила сложения и
вычитания обыкновенных дробей
Учащиеся должны придумать сами или подобрать из
различных источников задачи на нахождение
времени при совместной работе.
Сообщить, что на следующем уроке будем решать
задачи с более сложной формулировкой.
Назвать оценки, которые получили учащиеся

Используемая литература

1. Учебник Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон и др.
   «Математика 5».
2. Методические рекомендации к учебнику
   «Математика5» Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон и др

Для решения задач на совместную работу используются уравнения и системы уравнений. Применение уравнений для решения задач в 4 классе является дискуссионым, однако часто без них никак.

Задачи на совместную работу многообразны. Это могут быть и бригады рабочих, выполняющие одну и ту же работу, и трубы, наполняющие бассейн и выводящие из него воду, землекопы, копающие траншеи и пр.

Принципы решения задач на совместную работу схожи с принципами решения задач на движение. В задачах на движение путь – это произведение скорости на время.

В задачах на совместную работу аналогом пройденного пути выступает объём сделанной работы, который вычисляется как скорость производства чего бы то ни было (скорость наполнения воды в бассейне, копания канавы и пр.), умноженная на время.

В задачах на движение скорости двух объектов, движущихся навстречу друг другу, складываются, а в случае, когда один объект догоняет другой, то скорость сближения определяется как разность скоростей двух объектов.

Аналогично в задачах на совместную работу скорости выполнения работ – если это работа в одно направлении, складываются, и вычитаются, если это работы в противоположном направлении. Например, если две трубы заполняют бассейн с определённой скоростью, то для вычисления времени, за который бассейн будет заполнен двумя трубами, надо сложить скорости заполнения каждой из труб – этот случай аналогичен движению объектов навстречу друг другу (у них одна цель, т.е. они делают одну и ту же работу).

Если же у нас из одной трубы в бассейн втекает объём воды с определённой скоростью, а из другой трубы вытекает с другой (меньшей) скоростью, то для нахождения времени заполнения бассейна нам надо из скорости первой трубы вычесть скорость второй трубы. Это аналогично случаю, когда более быстрый объект догоняет более медленный. У них разные цели – один хочет оторваться от преследования, второй хочет его догнать, и их скорости вычитаются. Точно так же у двух труб разные цели – одна хочет бассейн наполнить, а вторая опустошить.

Рассмотрим конкретные примеры.

Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС

Задача 1

2 трубы наполняют бассейн. Одна со скоростью 5 литров в минуту, вторая со скоростью 10 литров в минуту. Объём бассейна 300 литров. За какое время две трубы наполнят бассейн?

Решение

Две трубы делают одну и ту же работу, поэтому для нахождения суммарной скорость их работы надо сложить скорость наполнения бассейна первой трубой со скоростью наполнения второй трубой.

V = 5 + 10 = 15 л/мин.

Объём бассейна нам известен – 300 л. Следовательно, для того, чтобы найти, за какое время он будет наполнен, надо объём бассейна разделить на скорость наполнения, которую мы только что нашли.

t = 300 / 15 = 20 минут.

Ответ: бассейн наполнится за 20 минут

Задача 2

В изначально пустой бассейн объёмом 400 литров поступает вода из трубы со скоростью 30 литров в минуту. Из второй трубы меньшего диаметра вода вытекает из бассейна со скоростью 20 литров в минуту. За какое время наполнится бассейн?

Решение

В данном случае трубы выполняют противоположную работу, поэтому для нахождения итоговой скорости работы надо из большей скорости вычесть меньшую скорость.

V = 30 – 20 = 10 л/мин

10 л/мин – это итоговая скорость наполнения бассейна. Если у нас за одну минуту в бассейн вылилось 30 литров воды, и за эту же минуту 20 литров вытекло из него, то осталось всего 10 литров – это и есть скорость наполнения.

Время заполнения бассейна водой мы находим аналогично первой задаче:

t = 400/10 = 40 мин.

Ответ: бассейн заполнится за 40 минут

Задача 3

Первая бригада может выполнить задание за 36 ч, а вторая бригада может выполнить то же задание за 18 ч. За сколько часов это задание выполнят две бригады при совместной работе?

Решение. 1 способ – с помощью дробей

В старших классах такая задача решается просто с помощью дробей.

Примем всю работу за единицу, тогда за 1 ч первая бригада выполняет 1/36 работы, а вторая бригада за 1 час сделает 1/18 работы. При совместной работе за 1 ч две бригады выполняют всей работы, поэтому всю работу они выполнят

всей работы. Таким образом, если за 1 час выполняется 1/12 всей работы, то вся работа целиком будет сделана за 12 часов.

Ответ: 12 часов

Решение. 2 способ – по действиям без дробей

Если первая бригада всю работу делает за 36 часов, то мы можем представить, что работа состоит из 36 частей, каждая из которых равна 1 часу.

1. Определим, какую часть работы делает за 1 час первая бригада.

Для этого разделим общее количество частей, из которых состоит работа, на то время, за которое первая бригада делает всю работу

36:36 = 1 часть

2. Определим, какую часть работы делает за 1 час вторая бригада.

Делаем как в первом действии

36:18 = 2 части.

3. Найдём, сколько частей работы делают за один час две бригады в месте

2 + 1 = 3 части

4. Найдём, за какое время обе бригады сделают всю работу.

Для этого общее количество частей (36) разделим на суммарную скорость работы двух бригад, т.е. 3 части в час.

36:3 = 12 часов.

Как видим, при решении вторым способом мы получили тот же ответ, что и при решении с помощью дробей.

Ответ: 12 часов

Одна труба может наполнить бассейн водой за 12 часов, а другая – за 20 часов. За какое время бассейн будет наполнен водой, если две трубы будут работать одновременно?

Решение

В 4-м классе дети дробей ещё не знают, поэтому задачу надо решать через части.

Итак, нам надо всю работу обозначить каким-то количеством частей, и далее, исходя из этого, определить скорость работы труб в частях.

Наиболее простой способ определения количества частей – перемножить 12 на 20 и получить 240 частей. В этом случае скорость работы первой трубы – 20 частей в час (12 – это 1/20 от 240), а скорость второй трубы – 12 частей в час (20 – это 1/12 от 240).

Суммарная скорость работы двух труб: 20+12 = 32 части в час.

Чтобы найти время, за которое наполнится бассейн, надо 240 поделить на 32. Дробных чисел дети в 4-м классе ещё не знают, поэтому поделим нацело 240 на 32 и найдём частное и остаток:

240:32 = 7 остаток 16.

16 – это половина от 32

Суммарная скорость двух труб – 32 части в час, значит 16 частей бассейна заполняются за полчаса, то есть 30 минут.

Ответ – 7 часов 30 минут.

Общее количество частей можно определить не путём перемножения времени работы первой трубы на время работы второй, а путём нахождения наименьшего общего кратного (НОК) этих двух чисел.

Для 12 и 20 НОК равен 60. 60 – наименьшее число, которое без остатка делится и на 12 и на 20.

Таким образом, если вся работа – 60 частей, то

скорость первой трубы – 60:12 = 5 частей в час

скорость второй трубы – 60:2- = 3 части в час.

Суммарная скорость двух труб: 5+3 = 8 частей в час.

Теперь для нахождения времени заполнения бассейна нам надо 60 поделить на 8.

60:8 = 7 остаток 4.

Суммарная скорость двух труб – 8 частей в час, значит 4 части бассейна заполняются за полчаса, то есть 30 минут.

Таким образом, общее время наполнения бассейна – 7 часов 30 минут. Мы получили то же самое время, что и в первом способе, когда у нас вся работа состояла из 240 частей.

Ответ: 7 часов 30 минут

Задача 5

За пять недель пират Ерёма

Способен выпить бочку рома

А у пирата, у Емели

Ушло б на это две недели.

За сколько дней прикончат ром

Пираты, действуя вдвоём?

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Решение

Эту задачу можно решить через дроби. 5 недель – это 35 дней, 2 недели – 14 дней, далее нужно 1/35 (скорость выпивания бочки в день пирата Ерёмы) сложить с 1/14 (скорость Емели), привести дроби к общему знаменателю, получить суммарную скорость в 1/10, и, соответственно, ответ в 10 дней.

Но можно решить эту задачу и без использования дробей.

Аналогично предыдущей задачи про бассейн, выразим всю работу в частях, при этом так, чтобы это число делилось без остатка и на 35 и на 14.

Наименьшее число, которое делится без остатка и на 35 и на 14 – это 70. (Если мы испытываем сложности с нахождением минимального числа, то всегда можно перемножить 35 на 14 и получить 490).

Итак, всю бочку рома мы приняли равной в 70 частей. Акцентирую ваше внимание, что мы вместо 70 могли бы взять любое другое количество частей – это не повлияло бы на логику решения задачи, но, т.к. в 4-м классе дети не умеют работать с дробными числами, то мы берём то число частей, которое без остатка делится на скорость работы всех работников, которые есть в условии задачи. В нашем случае работники – это два пирата, работа которых заключается в выпивании рома.

Таким образом, если Ерёма выпивает всю бочку за 35 дней, то его скорость это

70:35 = 2 части в день

Скорость Емели, который ту же бочку выпивает за 14 дней:

70:14 = 5 частей в день.

Суммарная скорость выпивания рома Ерёмы и Емели – 5 + 2 = 7 частей в день.

Таким образом, если весть объём рома – это 70 частей, а оба пирата за день выпивают 10 частей, то весь ром они выпьют за

70:7 = 10 дней.

Ответ: 10 дней.

Задача 6

Два оператора могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 4 ч, а второй 12 ч, то они выполнят всю работу. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Решение

введём обозначения

x – объём текста, который в час печатает первый оператор

y – объём текста, который в час печатает второй оператор

С одной стороны, весь объём работы можно выразить как

8x + 8y (два оператора набирают текст за 8 часов).

С другой стороны, этот же объём работы:

4x + 12y

Т.к. это одинаковые объёмы работы, то составим уравнение:

8x + 8y = 4x + 12y

8x – 4x = 12y – 8y

4x = 4y

x = y

Отсюда делаем вывод, что операторы работают с одинаковой скоростью.

Рассмотрим случай, когда первый оператор будет работать 4 ч, а второй 12 ч.

Вот схема их работы:

Первые 4 часа оба оператора работают вместе, и за это время они сделают половину всей работы (т.к. работая вместе 8 часов, они сделают всю работу).

После 4 часов работы первый оператор прекращает работать и продолжает работать второй оператор. Всего он по условию задачи работает 12 часов – то есть ещё 8 часов после того, как прошли первые 4 часа.

И если за первые 4 часа сделана половина работы, то оставшиеся 8 часов работы второго оператора – это вторая половина работы.

То есть второй оператор половину работы делает за 8 часов, и, следовательно, всю работу он сделает за 16 часов. Как мы уже выяснили ранее, скорости работы операторов равны, поэтому первый оператор также всю работу выполнит за 16 часов.

Ответ: и первый и второй оператор всю работу по отдельности выполнят за 16 часов.

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Задача 7

Первая труба наполняет резервуар объемом 180 литров, а вторая труба наполняет резервуар объемом 120 литров. При этом известно, что одна из труб пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем другая. Необходимо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуары полностью заполняются за одинаковое время.

Решение

Как мы уже говорили в начале этого урока, принципы решения задач на совместную работу схожи с принципами решения задач на движение.

Рассматриваемая задача схожа с задачами на движение, в которых один объект догоняет другой. Напомню, что в таких задачах, если у нас известно первоначальное расстояние между двумя объектами, и скорости этих объектов, то время, за которое второй объект догонит первый, рассчитывается как первоначальное расстояние, поделённое на скорость сближения объектов, где скорость сближения – разница между скоростью догоняющего объекта и догоняемого.

В этой задаче про два резервуара известно, что они наполняются за одинаковое время, хотя их объёмы разные. То есть скорость наполнения первого, более большого резервуара, очевидно выше, чем скорость наполнения второго, меньшего по объему. Разница между скоростями наполнения известна – 1 литр в минуту.

Таким образом, если проводить аналогии с задачами на движение, где один объект догоняет второй, мы можем сказать, что скорость догона в нашем случае – это тот самый 1 литр в минуту, а первоначальное расстояние между объектами – это разница в объёмах двух резервуаров, то есть 180-120 = 60 л. И чтобы найти, за какое время один объект догонит другой – то есть в нашем случае, когда они полностью заполнятся, надо разницу в объёмах разделить на разницу в скоростях заполнения.

То есть 60/60 = 1 час.

1 час равен 60 минутам.

По условию задачи нам надо определить, сколько литров в минуту пропускает первая труба.

Для этого объём первого резервуара надо поделить на время, за которое он полностью заполняется.

То есть 180 литров /60 минут = 3 литра в минуту.

Ответ: скорость первой трубы – 3 литра в минуту.

Мы понимаем, что приведённые при решении этой задачи рассуждения могут показаться неочевидными. Для того, чтобы вы могли убедиться, что данная методика является верной, проиллюстрируем её на примере с меньшими цифрами.

Пусть у нас есть два бака, один объёмом 15 литров, второй объёмом 18 литров. Первый наполняется со скоростью 5 литров в минуту, а второй – со скоростью 6 литров в минуту.

Несложно подсчитать, что время заполнения у них будет одинаковое – 3 минуты (15:5 = 3, 18:6 = 3).

Эти же три минуты можно получить по другому:

Разница в объёмах баков – 3 литра (18- 15 = 3). Разница в скоростях наполнения – 1 литр в минуту (6 – 5 = 1).

Соответственно, время, за которое второй, более объёмный бак, “догонит” первый, меньший по объёму, составляет 3:1 = 3 минуты.

Проиллюстрируем это на рисунке.

На горизонтальной шкале отложим объём – от нуля до 18 литров.

Для первого бака, который объёмом 15 литров, отсчёт будем вести от отметки в 3 л и до 18 л. То есть как будто бы его объём тоже 18 литров, но на три литра он уже заполнен, и осталось заполнить 15 литров.

Таким образом отметка в 3 литра – это первоначальное “расстояние” между двумя баками.

После первой минуты первый бак заполнился на 5 литров, и мы рисуем синюю полоску от отметки 3 л до отметки 8 л. Второй бак заполнился на 6 литров, и мы рисуем синюю полоску от 0 до 6 л. Таким образом, за первую минуту разница в объёмах воды в двух баках (“расстояние” между ними) сократилось с первоначальных 3 литров до 2 литров.

После второй минуты первый бак заполнился ещё на 5 литров (итого за 2 минуты на 10 литров), и мы рисуем синюю полоску от отметки 3 литра до отметки 13 литров. Второй бак заполнился ещё на 6 литров (итого на 12 литров за 2 минуты), и мы рисуем синюю полоску от отметки 0 до 12 литров. Разница в объёмах воды в баках сократилась с 2 литров до 1 литра.

После третьей минуты первый бак заполнился ещё на 5 литров (итого за 3 минуты на 15 литров), и мы рисуем синюю полоску от отметки 3 литра до финальной отметки 18 литров. Второй бак заполнился ещё на 6 литров (итого на 18 литров за 3 минуты), и мы рисуем синюю полоску от отметки 0 до 18 литров. Разница в объёмах воды в баках сократилась с 1 литров до нуля. Оба бака заполнились полностью.

Таким образом, из данного рисунка следует, с каждой минутой разница в объёмах воды в баках сокращается ровно на величину, равную разнице скоростей наполнения баков.

Поэтому применённая нами формула для решения этой задачи, согласно которой время наполнения – это разница в объёмах резервуаров, делённая на разницу скоростей, является рабочей.

«Решение задач на совместную работу»

Цель урока: формирование умений решать текстовые задачи.

Задачи урока:

• научить находить способ решения задач на совместную работу с помощью графических схем;

• развивать умения анализировать текстовые задачи;

• совершенствовать навыки коллективной и самостоятельной работы.

Ход урока

1. Актуализация знаний

1. Как складывают дроби? Приведите пример.

2. Как вычитают дроби? Приведите пример.

3. Как умножить две дроби? Приведите пример.

4. Как умножить дробь на натуральное число? Приведите пример.

5. Как разделить одну дробь на другую? Приведите пример.

6. Как разделить дробь на натуральное число? Приведите пример.

1. Устная работа

1. Изучение нового материала

1. Задача.

Вини Пух съедает банку меда за 3 часа, а его друг Пятачок за 4 часа. За какое время они вдвоем съедят такую банку меда, если будут есть со своей обычной производительностью? 
(Дети предлагают решение задачи) 
Решение: Всю работу (съесть целую банку меда) примем за единицу (можно изобразить условие на рисунке). 
“Производительность” Вини Пуха – 1/3 банки в час. 
“Производительность” Пятачка – 1/4 банки в час. 
Общая “производительность” 1/3+1/4=7/12 банки в час. 
Если предположим, что всю работу, то есть съесть банку меда, они смогут за х часов. 
Вся работа будет равна производительности, умноженной на время ее выполнения. 
1=712•х. Отсюда время совместного выполнения работы. 
2.Задача.

Крокодил Гена, Чебурашка и старуха Шапокляк решили подготовить площадку, на которой они будут строить дом для друзей. Гена, работая один, может выполнить всю работу за 12 часов, Шапокляк – за 15 часов, а Чебурашка – за 20 часов. Какую часть работы каждый из них может выполнить за 1 час? Какую часть работы выполнят они вместе за 1 час. 
(После обсуждения оформляют решение задачи в виде таблицы) 

Вся работа

Время

Производительность

Крокодил Гена

1

12 ч

1/12

Чебурашка

1

20 ч

1/20

Шапокляк

1

15 ч

1/15

При решении задач на совместную работу «Целое» принимаем за 1; Часть работы за единицу времени – p=1:T, где p-искомая часть работы, T – время работы, а Время работы – T=1:p.

Тогда ответим на вопрос задачи:

1. 1 : 12 = (работы) – выполнит Крокодил Гена.

2. 1 : 20 = (работы) – выполнит Чебурашка.

3. 1 : 12 = (работы) – выполнит Шапокляк.

4. (работы) выполнят вместе.

5. (ч) справятся, работая вместе.

Ответ: 5 часов.

V. Физкультминутка

Раз – подняться, потянуться,
Два – нагнуться, разогнуться,
Три – в ладоши, три хлопка,
Головою три кивка.
На четыре – руки шире,
Пять – руками помахать,
Шесть – на место тихо сесть.

VI. Закрепление материала

Задача №3

Три плотника строят дом. Первый плотник один может построить дом  за 2 года,

второй  плотник построит дом за 3 года, а третий – за 4 года.

Однако строили дом три

плотника вместе.

За какое  время они построили дом?

Решение. При совместной работе складывается не время работы, а часть работы, которую делают ее участники.

1 плотник – всей работы;

2 плотник – всей работы;

3 плотник – всей работы.

года

Задача №4

В городе есть водоем. Одна из труб может заполнить его за 4 часа, вторая – за 8 ч, а

третья – за 24 ч. За сколько времени наполнится водоем, если открыть все три трубы?

(Учащиеся решают задачу на доске и в тетрадях)

VII. Самостоятельная работа

1) Первая бригада может отремонтировать дорогу за 90 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней могут отремонтировать дорогу обе бригады, работая вместе?

2) Фрезеровщик может обработать партию деталей за 3 часа, а его ученик –  за 6 часов. Успеют ли они обработать это количество деталей за 2 часа, если будут работать вместе?

3) Библиотеке нужно переплести книги. Одна мастерская может выполнить эту работу за 16 дней, вторая – за 24 дня, а третья  – за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно.

VII. Рефлексия

1. Как решать задачи на совместную работу?

2. По какой формуле можно найти время совместной работы?

3. Что было самым легким?

4. Что было самым трудным?

5. Продолжите фразу: “Сегодня на уроке я понял, что…”

VIII. Домашнее задание

На карточках

Приложение

Самостоятельная работа

1) Первая бригада может отремонтировать дорогу за 90 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней могут отремонтировать дорогу обе бригады, работая вместе?

2) Фрезеровщик может обработать партию деталей за 3 часа, а его ученик –  за 6 часов. Успеют ли они обработать это количество деталей за 2 часа, если будут работать вместе?

3) Библиотеке нужно переплести книги. Одна мастерская может выполнить эту работу за 16 дней, вторая – за 24 дня, а третья  – за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно.

Самостоятельная работа

1) Первая бригада может отремонтировать дорогу за 90 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней могут отремонтировать дорогу обе бригады, работая вместе?

2) Фрезеровщик может обработать партию деталей за 3 часа, а его ученик –  за 6 часов. Успеют ли они обработать это количество деталей за 2 часа, если будут работать вместе?

3) Библиотеке нужно переплести книги. Одна мастерская может выполнить эту работу за 16 дней, вторая – за 24 дня, а третья  – за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно.

Самостоятельная работа

1) Первая бригада может отремонтировать дорогу за 90 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней могут отремонтировать дорогу обе бригады, работая вместе?

2) Фрезеровщик может обработать партию деталей за 3 часа, а его ученик –  за 6 часов. Успеют ли они обработать это количество деталей за 2 часа, если будут работать вместе?

3) Библиотеке нужно переплести книги. Одна мастерская может выполнить эту работу за 16 дней, вторая – за 24 дня, а третья  – за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно.

Самостоятельная работа

1) Первая бригада может отремонтировать дорогу за 90 дней, а вторая – за 45 дней. За сколько дней могут отремонтировать дорогу обе бригады, работая вместе?

2) Фрезеровщик может обработать партию деталей за 3 часа, а его ученик –  за 6 часов. Успеют ли они обработать это количество деталей за 2 часа, если будут работать вместе?

3) Библиотеке нужно переплести книги. Одна мастерская может выполнить эту работу за 16 дней, вторая – за 24 дня, а третья  – за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно.

Домашнее задание

1. Старый трактор вспашет поле за 6 часов, а новый за 4 часа. За какое время вспашут поле оба трактора, работая вместе?

2. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша.

3. Библиотеке нужно переплести книги. Одна мастерская может выполнить эту работу за 16 дней, вторая – за 24 дня, а третья – за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно.

«3» – решить одну задачу на выбор и придумать одну задачу по теме урока;

«4» – решить две задачи на выбор и придумать одну задачу по теме урока;

«5» – решить три задачи, придумать одну задачу по теме урока.

Домашнее задание

1. Старый трактор вспашет поле за 6 часов, а новый за 4 часа. За какое время вспашут поле оба трактора, работая вместе?

2. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша.

3. Библиотеке нужно переплести книги. Одна мастерская может выполнить эту работу за 16 дней, вторая – за 24 дня, а третья – за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно.

«3» – решить одну задачу на выбор и придумать одну задачу по теме урока;

«4» – решить две задачи на выбор и придумать одну задачу по теме урока;

«5» – решить три задачи, придумать одну задачу по теме урока.

Домашнее задание

1. Старый трактор вспашет поле за 6 часов, а новый за 4 часа. За какое время вспашут поле оба трактора, работая вместе?

2. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша.

3. Библиотеке нужно переплести книги. Одна мастерская может выполнить эту работу за 16 дней, вторая – за 24 дня, а третья – за 48 дней. В какой срок могут выполнить эту работу три мастерские, работая одновременно.

«3» – решить одну задачу на выбор и придумать одну задачу по теме урока;

«4» – решить две задачи на выбор и придумать одну задачу по теме урока;

«5» – решить три задачи, придумать одну задачу по теме урока.