Как составить задачу по математической модели

п.1. Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Например:
Найдите два положительных числа, если известно, что сумма квадратов этих чисел равна 185, а разность квадратов равна 57.

п.2. Примеры

Пример 1. Диагональ прямоугольника равна 10 см. Если меньшую сторону прямоугольника увеличить на 2 см, а большую уменьшить на 2 см, то диагональ не изменится. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b – стороны прямоугольника, a > b. Диагональ через стороны выражается по теореме Пифагора. По условию получаем: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{a^2+b^2=10} & \ mathrm{(a-2)^2+(b+2)^2=10^2} & end{array}right. $$ Найдём линейную зависимость между a и b из уравнения: begin{gather*} mathrm{a^2+b^2=(a-2)^2+(b+2)^2}\ mathrm{a^2+b^2=a^2-4a+4+b^2+4b+4}\ mathrm{4a-4b=8Rightarrow a-b=2Rightarrow a=b+2} end{gather*} Подставим a в верхнее уравнение системы: ( mathrm{(b+2)^2+b^2=100} ) begin{gather*} mathrm{b^2+4b+4+b^2-100=0}\ mathrm{2b^2+4b-96=0Rightarrow b^2+2b-48=0Rightarrow (b+8)(b-6)=0}\ mathrm{b_1=-8, b_2=6} end{gather*} Выбираем положительный корень: b = 6
Тогда a = b + 2 = 8
Ответ: 8 см и 6 см.

Пример 2. (задача Диофанта, III в.) Отношение двух чисел равно 3, а отношение суммы квадратов этих чисел к их сумме равно 5. Найдите эти числа.

Пусть x и y – искомые числа. По условию: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{frac{x}{y}=3} & \ mathrm{frac{x^2+y^2}{x+y}=5} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{x=3y} & \ mathrm{x^2+y^2=5(x+y)} & end{array}right. $$ Подставляем верхнее уравнение в нижнее и решаем: begin{gather*} mathrm{(3y)^2+y^2=5(3y+y)Rightarrow 9y^2+y^2=20yRightarrow 10y^2-20y=0Rightarrow}\ mathrm{Rightarrow 10y(y-2)=0Rightarrow} left[begin{array}{ l } mathrm{y_1=0} & \ mathrm{y_2=2} & end{array}right. end{gather*} Т.к. y в первом уравнении системы стоит в знаменателе, он не может быть равен 0. Получаем: begin{gather*} left{begin{array}{ l } mathrm{x=3y=6} & \ mathrm{y=2} & end{array}right. end{gather*} Ответ: 6 и 2.

Пример 3. Двое рабочих могут выполнить работу за 12 дней. Если сначала один из них сделает половину всей работы, а потом остальное сделает другой, то им понадобится 25 дней. За сколько дней каждый рабочий может выполнить задание самостоятельно?

Пусть x и y – производительность каждого рабочего, A – работа.
По условию: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{frac{A}{x+y}=12} & \ mathrm{frac{A}{2x}+frac{A}{2y}=25} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{A=12(x+y)} & \ mathrm{frac{A}{2}left(frac{1}{x}+frac{1}{y}right)=25} & end{array}right.Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{A=12(x+y)} & \ mathrm{A=frac{50}{frac{1}{x}+frac{1}{y}}=frac{50xy}{x+y}} & end{array}right. $$ Получаем уравнение: begin{gather*} mathrm{12(x+y)=frac{50xy}{x+y}Rightarrow 12(x+y)^2=50xyRightarrow 6(x+y)^2=25xy}\ mathrm{6(x^2+2xy+y^2)-25xy=0}\ mathrm{6x^2-13xy+6y^2=0 |:y^2}\ mathrm{6left(frac{x}{y}right)^2-13frac{x}{y}+6=0}\ mathrm{D=13^2-4cdot 6cdot 6=25=5^2, frac{x}{y}=frac{13pm 5}{12}=} left[begin{array}{ l } mathrm{frac23} & \ mathrm{frac32} & end{array}right. end{gather*} Пусть для определенности x > y. Тогда ( mathrm{frac{x}{y}=frac{3}{2}Rightarrow x=1,5y}. )
Работа: ( mathrm{A=12(x+y)=12(1,5y+y)=12cdot 2,5y=30y}. )
Второй рабочий может выполнить работу самостоятельно за: ( mathrm{frac{A}{y}=frac{30y}{y}=30} дней. )
Первый рабочий работает в 1,5 раза быстрей, ему понадобится ( mathrm{frac{30}{1,5}=20} дней. )
Ответ: 30 дней и 20 дней.

Пример 4. Бригада выполнила работу за 20 дней. Если бы в бригаде было на 4 человека больше, а рабочий день – на 1 ч дольше, то работа была бы выполнена за 10 дней. Если бы в бригаде было на 1 человека меньше, а рабочий день – на 1 ч короче, то работа была бы выполнена за 30 дней. Сколько человек было в бригаде, и сколько часов в день они работали?

Пусть A – вся работа, n – количество человек в бригаде, t – продолжительность рабочего дня. По условию: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{20nt=A} & \ mathrm{10(n+4)(t+1)=A} & \ mathrm{30(n-1)(t-1)=A} & end{array}right. $$ Исключаем A и получаем систему из двух уравнений: begin{gather*} left{begin{array}{ l } mathrm{20nt=10(n+4)(t+1)} & \ mathrm{20nt=30(n-1)(t-1)} & end{array}right.Rightarrow left{begin{array}{ l } mathrm{2nt=nt+4t+n+4} & \ mathrm{2nt=3(nt-t-n+1)} & end{array}right.Rightarrow\ Rightarrow left{begin{array}{ l } mathrm{nt=4t+n+4} & \ mathrm{nt=3t+3n-3} & end{array}right. end{gather*} Найдём линейную зависимость между n и t из уравнения: $$ mathrm{4t+n+4=3t+3n-3Rightarrow t-2n=-7Rightarrow t=2n-7}. $$ Подставим t в верхнее уравнение системы: begin{gather*} mathrm{n(2n-7)=4(2n-7)+n+4}\ mathrm{2n^2-7n=8n-28+n+4Rightarrow 2n^2-16n+24=0Rightarrow n^2-8n+12=0}\ mathrm{ (n-2)(n-6)=0Rightarrow} left[begin{array}{ l } mathrm{n_1=2} & \ mathrm{n_2=6} & end{array}right. end{gather*} Находим время ( mathrm{t=2n-7: } left[begin{array}{ l } left{begin{array}{ l } mathrm{n_1=2} & \ mathrm{t_1=-3} & end{array}right. &\ left{begin{array}{ l } mathrm{n_2=6} & \ mathrm{t_2=5} & end{array}right. end{array}right. )
Выбираем решение с ( tgt 0: left{begin{array}{ l } mathrm{n=6} & \ mathrm{t=5} & end{array}right. )
Ответ: 6 человек, 5 часов.

На прошлом уроке нами была установлена взаимозависимость между математическим языком и математической моделью. Теоретический базис заложен, так что теперь самое время переходить к практике. Далее мы подробнее рассмотрим составление математической модели и простые задачи, решаемые с помощью математической модели.

Этапы составления математической модели

Ранее мы описывали, что этапы составления математической модели включают в себя:

1. Наблюдение	2. Моделирование	3. Предсказание
Анализ задачи; на основе анализа подготовка частей будущей математической модели.	Логическое объединение частей и составление математической модели.	Использование составленной математической модели для заключений по вопросу задачи.

С практической точки зрения наибольшую сложность представляют два первых этапа — наблюдение и моделирование. Чтобы их успешно завершать, необходимо умение правильно переводить текстовые утверждения на язык математики.

Задачи на наблюдение и моделирование

Рассмотрим далее некоторые задачи, решаемые с помощью математической модели, в которых опущен этап наблюдения — где нет вывода ответа. Это поможет освоиться в основных типах учебных задач и научит выражать важные части текста алгебраически.

Операции сложения и вычитания

Задача. Первый рабочий выполняет порученное задание за $x$ часов, второй то же задание — за $y$ часов, при этом первый работает на три часа больше, чем второй.

Операции умножения и деления

Задача. На двух стройках трудится одинаковое количество рабочих. На первой стройке работает 5 бригад по $x$ человек в каждой, на второй стройке — 3 бригады по $y$ человек в каждой.

Задачи, решаемые с помощью математической модели, со смешанной арифметикой

Задача. У Кати $x$ марок, а у Димы $y$ марок. Если Катя отдаст Диме 5 марок, то у Димы станет марок вдвое больше, чем останется у Кати.

Составление математической модели — полные задачи

Самое время усложнить содержание задач и ввести все этапы составления математической модели, включая этап планирования. Далее мы решим ряд показательных задач, где требуется дать ответ.

Задача. В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если в нем в 3 раза больше мест, чем в малом?

Составление математической модели — задачи на движение

Этап наблюдения

Этап моделирования

Этап предсказания

Решите сами!

Показать решение

Спрятать решение

11.08.2021

Составление математической модели при решении текстовых задач

Решение задач является наиболее трудной частью изучения математики для большинства детей. В этой статье приведу несколько примеров составления математических моделей. Данный способ для многих учащихся позволяет проще решать ряд текстовых задач.

Оценить

631

Текстовые задачи — это одни из самых нелюбимых заданий, особенно у учеников старших классов, потому что чем дальше, тем запутаннее становится условие, тем сложнее становится составить уравнение и верно решить задачу. Но, как и в любой теме в математике, чтобы уверенно решать сложные задачи, необходимо разобраться с самыми основными приемами.

Разберем эти задачи с самого начала. Текстовая задача состоит из условия, в котором описана некоторая ситуация, и вопроса, на который нужно дать ответ.

Пример:

Решение любой текстовой задачи можно разделить на несколько основных этапов:

• Работа с условием
• Составление математической модели
• Проверка ответа

Работа с условием

Для облегчения работы с условием полезно использовать иллюстрацию или моделирование. Это может быть краткая запись условия математически или словесно. Также это может быть дополнительный рисунок или таблица.

Пример: Петя выше Коли, Сережа ниже Коли. Кто выше?

Иллюстрация:

Из рисунка сразу понятен ответ: Петя выше всех.

Пример.

Два поезда идут навстречу друг другу. Скорость одного из них 45 км/ч, скорость другого — 55 км/ч. Сейчас между ними 200 км. Через сколько часов они встретятся?

Иллюстрация:

Пусть х часов — время движения обоих поездов, тогда по рисунку видно, что первый проедет 45х км, а второй — 55х км.

Составим математическую модель:

45х + 55х = 200

100х = 200

х = 2 ч

Ответ: 2 ч.

Для составления уравнения по условию задачи используются различные приемы, в зависимости от данной в условии зависимости величин.

Математическая модель

Математика, в частности, занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке. В таблице приведены различные ситуации и их математические модели.

x — число девочек

y — число мальчиков

Реальная ситуация	Математическая модель
В классе поровну мальчиков и девочек	$ { x=y} $
Девочек на 5 больше, чем мальчиков	$ { x=y+5, ; или; x-y=5,; или; x-5=y} $
Мальчиков в 2 раза больше, чем девочек	$ { y=2x, ; или; frac{y}{2}=x,; или; frac{y}{x}=2} $
Если в класс перейдут 3 мальчика, то девочек станет в два раза больше	$ { y=2(y+3)} $

Алгебраическая зависимость

Такая зависимость выражается в словах: выше/ниже, больше/меньше, дороже/дешевле, длиннее/короче и т. д.

При составлении уравнения особое значение играют используемые предлоги: «в» и «на».

Пример: Петя выше Коли на 20 см, Сережа ниже Коли на 10 см. На сколько см Петя выше Сережи?

Решение: Пусть П — рост Пети, К — рост Коли, С — рост Сережи.

Кстати, обратите внимание на этот приём — выбирать «говорящие» переменные, а не безликие иксы и игреки, чтобы не запутаться при работе с уравнением.

Выразим рост мальчиков.

Петя выше Коли на 20 см: П – 20 = К

Сережа ниже Коли на 10 см: К = С + 10

Подставим в первое уравнение рост Коли: П – 20 = С + 10

Нам нужно найти, на сколько см Петя выше Сережи: П – С

П – 20 = С + 10

П – С = 20 + 10

П – С = 30

Получаем, что Петя выше Сережи на 30 см.

Пример: На уроке труда ученики делали снежинки. Всего было сделано 12 снежинок. Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля. Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома. Сколько снежинок сделала Маша?

Решение:

Пусть М — количество снежинок, которое сделала Маша, К — снежинки Коли, Р — снежинки Ромы.

Маша сделала в два раза больше снежинок, чем Коля: К = М/2

Коля сделал на 4 снежинки меньше, чем Рома: Р = К + 4 = М/2 + 4

Вместе ребята сделали 12 снежинок: М + К + Р = 12

Подставим все выраженные через М значения: М + М/2 + М/2 + 4 = 12

М = 4.

Маша сделала 4 снежинки.

Процентная зависимость

С процентами нам постоянно приходиться сталкиваться в повседневной жизни. “Скидка 30%”, “Кредит без процентов за 5 минут”, “Арендная плата выросла на 12%” — со всех сторон на нас сыпятся рекламные слоганы и призывы. Но что же значит это таинственное слово “проценты”? И как ими оперировать?

Сегодня мы с вами дадим определение процентов, поймём, как находится процент от некоторого числа, как можно найти одно количество процентов, уже зная другое. И, конечно, рассмотрим каждый из этих случаев на конкретном примере.

Как кирка у каменщика, камертон у настройщика или световой меч у Джедая, в математике тоже существуют свои инструменты, нужные для выполнения тех или иных операций. И проценты как раз и являются таким удобным инструментом. Нужны они для нахождения части от чего-то. Вообще говоря, звучит похоже на определение дроби. И действительно, проценты очень тесно связаны с дробями, по сути, основываясь на них.

Так что же такое один процент?

Процент — это всегда доля какого-то числа.

100% — все число

50% — половина

25% — четверть

Чтобы найти 1%, необходимо поделить всё число на 100.

Пример:

Есть 100 яблок.

$ 1% ;от ;всех ;яблок; –frac{100}{100} = 1 ;яблоко. $

Есть 200 груш

$ 1% ;от ;всех ;груш; –frac{200}{100} = 2 ;груши. $

Для работы с процентами используется пропорция, в которой в одном столбце записываются реальные значения, в другом — соответствующие проценты.

Пример:

200 груш — 100 %

2 груши — 1 %

Пропорция отражает зависимость величин. По-другому это можно записать в виде двух дробей.

$ frac{200}{2}=frac{100}{1} $

Исходя из правил работы с дробями, получаем правила работы с пропорцией.

1. Внутри одной дроби можно сокращать значения.

2. Произведение накрест лежащих значений равно: 200 · 1 = 2 · 100

Эту тему мы еще подробно пройдем на курсе.

Рассмотрим несколько примеров работы с процентами в текстовых задачах.

Ситуация при работе с процентами усложняется, когда изначально нам известен не 1%, а несколько — например, 20. А требуют найти какое-нибудь неудобное число процентов

Пример: 38% населения деревни — это 76 человек. Сколько человек составляет 15% от общего населения?

Так как мы не можем сразу найти 15%, то нам вначале понадобится сделать промежуточный шаг — найти 1%. Если 38% — это 76 человек, то, разделив на 38, мы получим так нужный нам 1%. 38% = 76 человек ⇒1% = 2 человека. Тогда 15% = 30 человек

Но неугомонные математики не остановились и на этом. Что будет, если мы возьмём процент от какого-то числа, вычтем или прибавим к начальному числу, а затем снова возьмём то же количество процентов?

Пример: В 2010 дом стоял 2 тысячи рублей. В 2011 его цена увеличилась на 20%, а в 2012 — ещё на 20%. Сколько дом стоил к концу 2012 года?

На примере этой задаче мы посмотрим не только на то, как нужно брать проценты от разных величин, но и как переводить проценты в дроби. Решим её двумя способами:

Способ 1 Для начала давайте выясним, сколько стоил дом в 2011. Его стоимость увеличилась на 20%, т.е. на 400 рублей (1% = 2000:100 = 20, 20% = 400) и стала, соответственно, равна 2400. Теперь нам нужно узнать, сколько он стал стоить в 2012. Важно! Сейчас мы будем брать 20% от новой цены, т.е. той, которая была на дом в 2011 году. Если 1% = 2400:100 = 24, то 20% = 480, то есть новая цена в 2012 году — 2400 + 480 = 2880

Способ 2 Если 1% — это 0,01 от чего-то, то 20% — это 0,2. Тогда 20% от первоначальной цены это 2000⋅0,2 = 400, и цена на дом в 2011 году стала 2400. Теперь находим 20% от новой стоимости 2400⋅0,2 = 480 и итоговую стоимость в 2012 году: 2400 + 480 = 2880

Отлично! Итак, мы не только узнали, что такое проценты, как можно с ними обращаться, но и выяснили, как можно брать проценты от разных величин и как сопоставлять проценты с дробями. Больше интересных фактов и приёмов работы с процентами вы узнаете в процессе курса.

Также текстовые задачи могут быть посвящены прогрессиям, производительности, темпу — обо всем этом мы поговорим на нашем курсе. А сейчас приступайте к задачам для тренировки.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧАХ.

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

Введение.

Текстовые задачи – одни из самых сложных задач в школьном курсе математики. Алгебраический метод решения не всегда бывает удобным для решения задач подобного типа – нередко бывает сложным выбрать нужную неизвестную величину так, чтобы решение было максимально простым и понятным.

С каждым годом текстовые задачи в школьном курсе математики усложняются, причем времени на совершенствование решений этих задач практически не выделяется. И если раньше их решение не вызывало особых затруднений, то теперь с этим могут возникнуть некоторые трудности. Поэтому решить задачу стандартным способом вряд ли получится. Решая одну из текстовых задач, я решила обратиться к математическому моделированию.

Для того чтобы устранить эти трудности, я решила рассмотреть другие возможные методы решения этих задач, а в частности задач на движение по окружности. Предметом моего исследования является математическое моделирование, как процесс, без которого, на мой взгляд, решение подобных задач будет наиболее трудоемким или даже невозможным.

Цель моей работы – рассмотреть основные виды математических моделей, применяемых к решению математических задач, и выбрать наиболее оптимальные к конкретной из них. К постановке этой цели меня привела следующая проблема: в современном мире, насыщенном информацией, необходимо умение представлять информацию в доступном (упрощенном) виде с целью достижения результата (решения задачи).

Исходя из цели, были поставлены следующие задачи:

1. Проанализировать научно-учебную литературу по теме работы.

2. Рассмотреть процесс математического моделирования и этапы создания модели для конкретной задачи.

3. Рассмотреть этапы создания математической модели.

4. Научиться составлять математические модели различного типа.

5. Выявить оптимальный метод математического моделирования для решения конкретной задачи (подобрать оптимальные модели для решения определённого типа задач).

Гипотеза: Существует универсальная математическая модель, с помощью которой можно решить любую текстовую задачу.

Объект исследования: текстовые задачи различного типа.

Методы исследования: анализ, аналогия, обобщение, прогнозирование, эксперимент.

Основная часть.

Глава I. Что такое математическая модель?

1.1 Краткая теоретическая справка.

Заинтересовавшись математическим моделированием, я проанализировала литературу, подробно описывающую данный метод. Существуют различные трактовки и классификации этого понятия. Я остановилась на учебном пособии [1] И.А. Печерских и А.Г. Семенова, которые дают следующее определение математической модели:

Математическая модель представляет собой формализованное описание системы на некотором абстрактном языке, например, в виде совокупности математических соотношений, т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работы систем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальному поведению. Любая математическая модель описывает реальный объект, явление или процесс с некоторой степенью приближения к действительности. Целью математического моделирования является анализ реальных процессов математическими методами.

1.2 Этапы математического моделирования.

1. Постановка задачи.

На этом этапе требуется четкое понимание поставленной задачи.

1. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала.

На этом этапе подбирается или разрабатывается подходящая теория

1. Формализация.

Заключается в выборе системы условных обозначений.

1. Выбор метода решения.

На этом этапе устанавливаются окончательные параметры моделей с учетом условия функционирования объекта.

1. Реализация модели.

Выполнятся построение математической модели (строится график, таблица, рисунок или эскиз, граф) и решается задача исходя из новых условий.

1. Анализ полученной информации.

Сопоставляется полученное и предполагаемое решение.

7. Проверка адекватности реальному объекту.

Результаты, полученные по модели, сопоставляются с условиями исходной задачи.

Глава II. Применение моделирования к решению задачи.

Для достижения поставленной цели я составила несколько математических моделей, и постаралась к решению одной задачи (на движение по окружности) применить этот метод.

Задача.

Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 18 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 25 км/ч больше скорости другого?

Данную задачу решим с помощью математических моделей:

1. Таблица.

2. «Математический маятник».

3. Графическая модель.

2.1 Таблица – математическая модель, которая помогает упорядочить все данные в задаче для более удобного восприятия.

(Приложение 1. Таблица. Стр. 14.)

Решение.

Пусть x кмч – скорость первого мотоциклиста, тогда скорость 2-го мотоциклиста (x + 25) км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через t часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый (то есть второй ) должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины всей трассы ( т.к. мотоциклисты расположены в диаметрально противоположных точках )

( x + 25 )t – xt = 9

tx + 25t – tx = 9

25t = 9

t = 21,6 (минут)

Ответ: 21,6 минут.

2.2 «Математический маятник».

Математическим маятником [2] называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. Математический маятник имеет следующие характеристики: период, частота колебаний, количество колебаний и длина нити, но для решения этой задачи я остановилась на двух из них: период частота. Если связать эти величины со скоростью, временем и расстоянием, то задачу на движение по окружности можно будет решать с помощью формул, которые свойственны математическому маятнику.

T – период – это время, затраченное на один круг.

ʋ – частота колебаний – это величина обратная периоду.

Составим математическую модель.

(Приложение 2. «Математический маятник». Стр.14).

Пусть х км/ч – скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста (х+25) км/ч. Длина всей трассы 18 км.

Т₁ = время, затраченное 1-ым мотоциклистом на прохождение полного круга (период).

Т₂ = время, затраченное 2-ым мотоциклистом на прохождение полного круга (период).

Для того чтобы мотоциклисты поравнялись в первый раз их частоты должны совпасть, значит:

– частота первого мотоциклиста.

– частота второго мотоциклиста.

Тогда разность – частота с которой будут происходить встречи при старте из одной точки.

Так как мотоциклисты расположены в диаметрально противоположных точках, то частота увеличится в 2 раза:

Тогда (ч) = 21,6 (мин.)

Ответ: 21,6 мин.

2.3 Графическая модель.

Графики законов, которые описывают зависимость S от t, строятся в системе координат SOt. Поскольку t > 0 и S > О, то построения выполняются в первой координатной четверти.

График движения тела по окружности можно заменить графиком движения по прямой. Обход телом окружности и возвращение в исходную точку равносильны достижению телом на прямой точки, удаленной от начальной на расстояние S₀, равное длине окружности.

Изобразим схематически в системе SOt движение мотоциклистов.

Так как все величины положительны, то достаточно рассмотреть графики в первой четверти.

Пусть x ч – время, за которое первый мотоциклист догнал второго, y км – путь, пройденный вторым мотоциклистом до момента встречи с первым. Решение сводится к решению геометрической задачи.

(Приложение 3. Графическая модель. Стр. 15)

Ответ: 21, 6 минуты.

На примере решения данной задачи были выявлены следующие преимущества решения задач с помощью геометрической модели: наглядность, оперативность, простота решения.

Глава 3. Выявление оптимальных моделей для решения конкретных

задач.

3.1 Задачи на совместную работу.

Задачи подобного типа удобнее всего решать с помощью таблицы, потому что производительность, объем работы и время на выполнение всей работы можно легко связать со скоростью, временем и расстоянием. Роль скорости выполняет производительность труда, роль расстояния – вся работа, время выполняет свою роль.

Задача.

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 40 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному из них для этого надо на 18 дней больше, чем другому?

Решение:

Примем весь объем работы за единицу. Пусть 2-ой рабочий, работая самостоятельно, может выполнить все задание за x дней, тогда 1-ый — за (x+18) дней.

(Приложение 4. Таблица. Стр. 15)

Вместе за 1 день рабочие выполняют задания. За 40 дней рабочие выполнят всю работу. Составим уравнение:

40× ( ) = 1

→

→

Второй корень не подходит по смыслу задачи (так как время не может быть отрицательным числом). Значит, 2-ой рабочий, работая самостоятельно, может выполнить всю работу за 10 дней, а 1-ый — за 10+9=19 дней.

Ответ: 10 дней, 19 дней.

3.2 Задачи на движение.

Задачи на движение по прямой удобнее всего решать с помощью графической модели.

Задача: Два пешехода вышли одновременно из своих сел W и C навстречу друг другу. После встречи первый шел 25 минут до села C, а второй шел 16 минут до села W. Сколько минут они шли до встречи?

(Приложение 5. Графическая модель. Стр. 16)

Решение:

Пусть ОЕ расстояние между сёлами W и C. OD – график движения первого пешехода ( который шёл медленнее), а EF – график движения второго. М – место встречи.

1) ∆ MND~∆MPO,

_{2) ∆}MNE~∆MPF,

3)

4) => что t = 20 (мин.)

Ответ: 20 мин.

3.3 Задачи на движение по окружности.

Два велосипедиста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух диаметрально противоположных точек кру­го­вой трас­сы, длина ко­то­рой равна 14 км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на 21 км/ч боль­ше ско­ро­сти дру­го­го?

Решение:

Используя модель «математического маятника», описанного выше, задача решается практически устно.- частота с которой будут происходить встречи при старте из одной точки.

Так как мотоциклисты расположены в диаметрально противоположных точках, то частота увеличится в 2 раза:

Тогда (ч) = (ч) = 20 (мин.)

Ответ: через 20 минут.

С помощью этой модели можно также быстро решать задачи, в которых отставание составляет не половину трассы, а конкретное расстояние. Решим эту же задачу, изменив в ней условие.

Два велосипедиста стар­ту­ют од­но­вре­мен­но в одном на­прав­ле­нии из двух точек кру­го­вой трас­сы, расстояние между которыми равно 3 км. Длина трассы равна 14 км. Через сколь­ко минут мо­то­цик­ли­сты по­рав­ня­ют­ся в пер­вый раз, если ско­рость од­но­го из них на 21 км/ч боль­ше ско­ро­сти дру­го­го?

Решение: Задача будет иметь 2 решения в зависимости от направления

движения по круговой трассе.

Составим математическую модель (для данной задачи их будет две).

(Приложение 6. «Математический маятник». Стр. 16)

В первом случае решение будет таким:

– частота, с которой будут происходить встречи при старте из одной точки. – часть периода (отставание), тогда

∙ = 7; тогда Т = (ч).

Во втором случае

– частота, с которой будут происходить встречи при старте из одной точки. – часть периода (отставание), тогда

=∙ = ; тогда Т = (ч).

Ответ: через часа; или через часа.

Таким образом, модель «Математический маятник» подходит для решения задач на движение по окружности. Применение такого способа решения значительно сокращает время на решение задачи, что позволит при выполнении контрольных работ и на экзамене увеличить время на решение более трудных задач.

Заключение.

В результате исследования были получены следующие результаты:

1. Был изучен процесс математического моделирования и этапы создания модели для конкретной задачи.

2. В ходе исследования была опровергнута гипотеза, о существовании универсальной математической модели для решения всех типов задач.

3. Я научилась составлять математические модели различного типа.

4. Были выявлены оптимальные математические модели для решения конкретной задачи.

Я думаю, что за моделированием – будущее. Умение составлять математические модели сможет помочь в решении задач из различных отраслей науки, а также жизненных задач. Хочется отметить, что решение задач с применением моделирования активизирует мыс­лительную деятельность, помогает лучше по­нять задачу, самостоятельно найти рациональный путь ее решения, установить подходящий способ проверки, определить условия, при которых задача имеет (или не имеет) решения. Работа с моделью по­зволяет яснее увидеть зависимости между данными и искомыми величинами, оценить задачу в целом, продемонстрировать разные варианты решения.

Библиографический список.

1. Рецензенты Черкасов В.С., кандидат физ.-мат. наук, доцент;

Чуешев А.В., кандидат физ.-мат. наук, доцент; Печерских, И.А. П 31 Математические модели в экономике: учебное пособие / И.А. Печерских, А.Г. Семенов; Кемеровский технологический институт пищевой промышленности. – Кемерово, 2011. – 191 с.

2. Перышкин, А. В.

П27 Физика. 9 кл. : учебник для общеобразоват. учреждений / А. В.

Перышкин, Е. М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 2009, – 300,

с, : ил, ; 1 л, цв. Вкл.

3. http://www.pedsovet.info/info/pages/referats/inf_00002.htm

Приложения

Приложение 1. Таблица

	V (км/ч)	t (ч)	S (км)
1-ый мотоциклист	X	t	xt
2-ой мотоциклист	(х+25)	t	( x + 25 )t

Приложение 2. «Математический маятник».

Приложение 3. Графическая модель.

18

A

O

y

D

9

C

t

x

Приложение 4. Таблица.

	Производительность труда	Время работы	Работа
1-ый рабочий	ч/день	(x+18) дней	1часть
2-ой рабочий	ч/день		1часть

Приложение 5. Графическая модель.

25 минут

Приложение 6. «Математический маятник».

1) 2)

х

х

х+21

х+21

25

Просмотров работы: 9076