Математика
5 класс
Урок № 16
Задачи на части
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
– использование свойств арифметических действий при решении задач на части.
Тезаурус
Сложить числа a и b – значит, к числу а прибавить b раз единицу.
Разность чисел a и b – это такое число, которое при сложении с числом b даёт число а.
Умножить число а на натуральное число b – значит, найти сумму а одинаковых слагаемых, каждое из которых равно b.
Обязательная литература
- Никольский С. М. Математика: 5 класс. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
- Потапов М. К. Математика. Книга для учителя. 5-6 классы. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2010.- 256 с.
Дополнительная литература
- Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5-6 классы. // Составитель Т. А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2014.- 80 с.
- Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 класс. // М. К. Потапов, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2010.- 118 с.
- Чесноков А. С. Дидактические материалы по математике 5 класс. // А. С. Чесноков, К. И. Нешков. – М.: Академкнига, 2014.- 124 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Задачи на части – само это название указывает на то, что рассматриваемые в них величины состоят из частей. В некоторых из них части представлены явно, в других – нужно суметь их выделить, приняв подходящую величину за одну часть и определив, из скольких таких частей состоят другие величины.
Рассмотрим задачу, в которой явно упоминаются равные части некоторой величины. Такие задачи обычно решаются с помощью простых рассуждений.
Задача 1. Для варенья из клубники на две части ягод берут три части сахара. Сколько сахара следует взять на 8 кг клубники?
Решение: по условию задачи дано 8 кг ягод, и это количество составляет две части. Найдём, сколько килограммов приходится на одну часть.
1. 8 : 2 = 4 (кг) – одна часть.
Сахара надо взять три такие же части, значит:
2. 4 ∙ 3 = 12 (кг).
Ответ: 12 кг.
Теперь рассмотрим задачи, для решения которых некоторую величину надо принять за одну или несколько равных частей. При решении таких задач полезно рисовать схематические рисунки, облегчающие решение.
Задача 2. Вика заплатила за учебник на 220 рублей больше, чем за прописи. Известно, что учебник дороже прописей в пять раз. Сколько стоит учебник?
Решение: представим стоимость в виде частей. Если стоимость прописей составляет одну часть, то стоимость учебника составляет пять таких же частей. Сделаем схематический рисунок.
На рисунке видно, что 220 рублей приходится на четыре части.
1. 5 – 1 = 4 (части) – приходится на 220 рублей.
2. 220 : 4 = 55 (рублей) – приходится на одну часть, то есть на прописи.
3. 5 · 55 = 275 (рублей) – стоит книга.
Ответ: книга стоит 275 рублей.
Задача 3. На одном дереве сидит на 9 птиц больше, чем на втором, а на двух вместе 37 птиц. Сколько птиц сидит на каждом дереве?
Решение: сделаем схематический рисунок.
1. Если с первого дерева улетят 9 птиц, то на нём останется столько же птиц, сколько и на втором:
37 – 9 = 28 (птиц).
2. Найдём число птиц на каждом из деревьев:
28 : 2 = 14 (птиц).
3. Теперь вернём 9 птиц на первое дерево, получим:
14 + 9 = 23 (птиц).
Ответ: на первом дереве 23 птицы, на втором – 14.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Всего в плацкартном вагоне на 84 места больше, чем в мягком. Известно, что в плацкартном вагоне в три раза больше спальных мест, чем в мягком вагоне. Сколько спальных мест в плацкартном вагоне?
Решение:
1. 3 – 1 = 2 (части) – на столько частей плацкартный вагон больше.
2. 84 : 2 = 42 (мест) – одна часть.
3. 42 ∙ 3 = 126 (мест).
Ответ: 126 мест.
№ 2. Для компота берут 2600 г фруктов. Абрикосы составляют 8 частей, а сливы – 5 частей. Сколько грамм абрикосов нужно для приготовления компота?
Решение:
1. 8 + 5 = 13 (частей) – всего в компоте.
2. 2600 : 13 = 200 (г) – составляет одна часть.
3. 8 ∙ 200 = 1600 (г) – абрикосы.
Ответ: 1600 г.
Задачи на части
Рассмотрим задачи, для решения которых некоторую величину можно принять за одну или несколько частей. При решении таких задач бывает полезно делать рисунки, облегчающие решение.
Задача 1. В двух коробках лежит 120 дисков — в первой коробке в 3 раза больше дисков, чем во второй. Сколько дисков лежит в каждой коробке?
Решение: Представим содержимое коробок в виде частей. Если диски, находящиеся во второй коробке, составляют 1 часть, то в первой коробке — 3 такие части. Сделаем схематический рисунок:
1) Сколько частей составляют 120 дисков?
1 + 3 = 4 (части).
2) Сколько дисков приходится на 1 часть?
120 : 4 = 30 (дисков).
3) Сколько дисков находится в первой коробке?
30 · 3 = 90 (дисков).
Ответ: 90 — в первой коробке, 30 — во второй.
Задача 2. Некто заплатил за книгу на 120 рублей больше, чем за тетрадь. Известно, что книга дороже тетради в 4 раза. Сколько стоит книга?
Решение: Представим стоимость в виде частей. Если стоимость тетради составляет 1 часть, то стоимость книги составляет 4 такие же части. Сделаем схематический рисунок:
1) 4 – 1 = 3 (части) — приходится на 120 рублей.
2) 120 : 3 = 40 (рублей) — приходится на 1 часть.
3) 40 · 4 = 160 (рублей) — стоит книга.
Ответ: Книга стоит 160 рублей.
Задача 3. В первой коробке на 6 карандашей больше, чем во второй, а в двух вместе 30 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?
Решение: Сделаем схематический рисунок:
1) Если из первой коробки вынуть 6 карандашей, в ней станет столько же карандашей, сколько и во второй:
30 – 6 = 24 (кар.).
2) Найдём число карандашей в каждой из коробок:
24 : 2 = 12 (кар.).
3) Теперь вернём 6 карандашей в первую коробку:
12 + 6 = 18 (кар.).
Ответ: В первой коробке 18 карандашей, во второй — 12.
Умножение будем обозначать знаком * или х.
Любая дробь m/n представляет некоторую величину в натуральном выражении, в зависимости от того, какое количество N принято за одну единицу.
Имеется два типа задач:
Первый тип
1. Задачи на нахождение величины а дроби m/n от заданного числа N.
Величины N и а -размерные, m/n – дробь, безразмерная
Пример 1.
Пусть на полке 15 книг. С полки взяли 2/5 книг. Сколько книг взяли?Сколько осталось на полке? Какая часть книг осталась на полке?
Решение
Примем все книги на полке за 1 единицу.
Красным отмечено что дано N=15 и m/n = 2/5, а синим, что требуется найти величину a.
Сверху от черного отрезка изображают безразмерные числа, а внизу – размерные
В данной задаче дано число N= 15 книг и дробь m/n = 2/5. Требуется найти
а величину дроби (в книгах).
1)Если на полке 15, книг, то пятая часть (одна доля) от книг составит 15 : 5 = 3 книги в одной части ( доле).
2)Если в одной доле 3 книги, а взяли 2 доли, то всего взяли 2 * 3 = 6 книг.
3)Если на полке было 15 книг, а забрали 6, то на полке осталось 15 – 6=9 книг.
4)Если с полки забрали 2 доли, а всего было 5 долей, то на полке осталось 5 – 2 = 3 доли или 3/5 от всего количества.
Ответ: С полки забрали 6 книг, на полке осталось 9 книг, на полке осталось 3/5 от всего количества книг.
Все эти величины изображены на рисунке.
Дано число N которое выражает некоторое количество в ( м, м:2, м:3, кг, руб. и т.д) и дробь m/n. Нужно найти величину дроби в натуральном измерении (м, м:2, м:3, кг, руб. и т.д.).
Для этого число N делят на знаменатель N/n и находят величину одной доли. Затем находят величину m долей, для этого (N/n) умножают на m.
Результат можно записать в виде формулы a = (N/n)*m
Р е ш е н и е 1 задачи.
1)Если было 600 руб и истрачена 1/4 всей суммы, то истрачено 600 : 4 = 150 руб.
О т в е т: потрачено 150 руб.
Решение второй задачи.
1)Если было 1000 0 руб и истрачена 2/5 всей суммы, то всего пять долей в 1000 рублях и одна доля составляет 1000:5 = 200 руб.
2) Если одна доля составляет 200 руб., а потрачено 2 доли, то всего потрачено 200 руб *2 = 400 руб.
О т в е т: потрачено 400 руб.
Чтобы найти величину дроби, от заданного числа, надо это число разделить на знаменатель дроби, и то что получится умножить на числитель дроби.
a = (N/n)*m
Второй тип задач
2. Задачи на нахождение всего числа N по данной величине а её дроби m/n .
Пример 1. Пусть на полке стояли книги. С полки взяли 2/5 книг и это составляет (по величине) 6 книг. Сколько книг было на полке?
Сколько осталось на полке? Какая часть книг осталась на полке?
Р е ш е н и е.
Примем все книги на полке за 1 единицу.
Красным отмечено что дано m/n = 2/5 и её величина a = 6 книгам, синим что требуется айти величину N, принятую за единицу.
В данной задаче дано число дробь m/n = 2/5 (даны две доли, и каждая доля есть пятая часть от единицы, а вся единица состоит и 5 долей) и её величина a = 6 книг. Требуется найти количество книг которое было на полке.
1)Если на взято а = 6 книг и это составляет m= 2 доли , то одна доля будет равна 6 : 2 = 3 книгам.
2)Если в одной доле 3 книги, а на полке было 5 долей, то всего на полке было 3 * 5 = 15 книг
Дана величина a в ( м, м:2, м:3, кг, руб. и т.д), которая составляет m/n от неизвестного числа N. Требуется найти N в ( м, м:2, м:3, кг, руб. и т.д) .
Если a есть m/n от числа N? то имеем равенство
a = (N/n)*m в котором все числа известны, кроме N.
Если a разделить на m, то получим величину одной доли.
a/m = N/n
Так как в числе N имеется n долей, то для нахождения N, надо величину одной доли a/m умножить на количество долей в числе N.
N = (a/m)*n
Как видим эти два типа задач связаны одним и тем же соотношением но записанных в разных видах
a = (N/n)*m
N = (a/m)*n
Чтобы найти все чило, по данной величин её дроби, надо эту величину разделить на числитель дроби и то что получится умножить на знаменатель дроби.
N = (a/m)*n
Примеры
Задачи на части(подборка задач с решениями).
(арифметический способ решения) 5класс
учитель математики МОУ Кесовогорская СОШ Грешнова С.Н.
“Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи”.
(Д. Пойя)
При решении задач «на части» используется:рисунок (1часть-отрезок);
1часть – меньшая из неизвестных величин
Задача №1
Для варенья из малины на 2 части ягод берут 3 части сахара.
Сколько сахара следует взять на 6 кг ягод?
Всего ягод 6 кг
Ягоды ▬ ▬
Сахар ▬ ▬ ▬
Решение.
1) Сколько кг ягод приходится на 1 часть?
6 : 2 = 3 ( кг);
2) Сколько кг сахара надо взять на 3 таки же части?
3 ∙ 3 = 9 (кг) .
Ответ : 9 кг сахара надо взять на 6 кг ягод
Задача №2
На двух полках стоит 120 книг– на первой полке в 3 раза больше, чем на второй полке.
Сколько книг стоит на каждой полке?
Всего – 120 книг
1-ая полка ▬▬ ▬▬ ▬▬
2-ая полка ▬▬
Решение
1) Сколько частей составляют 120 книг?
1 + 3 = 4 ( части) ;
2) Сколько книг приходится на 1 часть? ( Сколько книг на второй полке?)
120 : 4 = 30 ( книг) ;
3) Сколько книг стоит на первой полке?
30 ∙ 3 = 90 ( книг).
Ответ: 90 книг – на первой полке и 30 книг – на второй
Задача №3
Ученик купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку, причем их
было на 18 больше, чем тетрадей в линейку.
Сколько всего тетрадей купил ученик?
Всего – ?
В линейку ▬
В клетку ▬ ▬ ▬ на 18 >, чем в линейку
Решение
1) Сколько частей приходится на 18 тетрадей?
3 – 1 = 2 (части) ;
2) Сколько тетрадей приходится на 1 часть?
18 : 2 = 9 ( тетрадей);
3) Сколько тетрадей купил ученик в клетку?
9 ∙ 3 = 27 ( тетрадей).
4) Сколько всего тетрадей купил ученик?
9 + 27 = 36 (тетрадей).
Ответ : 36 тетрадей купил ученик.
Задача № 4*
Для компота взяли 6 частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Оказалось,
что груш и слив вместе взяли 2кг400г.
Определите массу взятых яблок, массу всех фруктов.
Всего груш и слив – 2кг400г
Яблоки▬ ▬ ▬ ▬ ▬ ▬
Груши ▬ ▬ ▬ ▬ ▬
Слив__ __ __
Решение
1) Сколько всего частей составляют груши и сливы?
5 + 3 = 8 (частей);
2) Какова масса 1 части?
2400 : 8 = 300 (г);
3) Сколько весят яблоки?
300 ∙ 6 = 1800 (г);
4) Сколько весят все фрукты?
2400 + 1800 = 4200 (г).
Ответ: 1кг800г масса яблок; 4кг200г масса всех фруктов
Задача №5* ( С. А. Рачинского)
Я провел год в деревне, в Москве и в дороге, и притом в Москве в 8 раз более времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве.
Сколько дней провел я в дороге, в Москве и в деревне?
Всего 365 дней
Деревня ▬ ▬ ▬ ▬ ▬ ▬ ▬ ▬ – – – – – — ▬ 64 части
Москва ▬ ▬ ▬ ▬ ▬ ▬ ▬ ▬ 8 частей
Дорога ▬1 часть
1) Сколько всего частей?
64+8+1=73 (части);
2) Сколько дней приходится на одну часть? ( Сколько дней в дороге?)
365 : 73= 5 (дней);
3) Сколько дней проведено вдеревне?
5 ∙64=320(дней);
4) Сколько дней проведено в Москве?
5 ∙ 8 = 40( дней).
Ответ: 320 дней в деревне, 40 дней в Москве, 5 дней в дороге.
Решение задач на части 5
класс.
Задача 1. В кулинарной книге написано, что для варенья из малины нужно на 3 части
ягод взять две части сахара. Сколько сахара нужно взять на 9 кг ягод?
Решение: т.к. 9 кг ягод составляют 3 части, то
можно узнать: сколько
килограммов приходится на 1 часть?
9:3 = 3 кг
Сахар должен составлять 2 части, следовательно, сахара нужно взять
3 ∙ 2 = 6 кг
Задача 2. Для детских новогодних подарков были закуплены
шоколадные конфеты и карамель – всего 20 кг. Сколько было закуплено конфет того
т другого сорта, если карамели взяли в 3 раза больше, чем шоколадных конфет?
Решение: Это тоже задача на части, только их
нужно специально ввести. Будем
считать, что шоколадные
конфеты составили 1 часть, тогда карамель
составила 3 части.
Всего на 20 кг конфет
приходится 1 + 3 = 4 (части), следовательно:
20 : 4 = 5 кг
тогда
5 ∙ 1 = 5 кг – шоколадных
конфет
5 ∙ 3 = 15 кг – карамели
Задача 3. Длины сторон треугольника относятся как 3:4:5. Вычислить
длину каждой стороны, если периметр треугольника 48 см.
Решение: Соотношение сторон 3:4:5 означает,
что одна сторона – 3 части,
вторая – 4 части, третья
– 5 частей. т.о. Находим количество частей:
3 + 4 + 5 = 12
Далее считаем, сколько см
приходится на 1 часть (периметр – это
сумма длин всех сторон)
48 : 12 = 4 см
т.о. одна сторона
(3 части) – 3 ∙ 4 = 12 см,
вторая
сторона (4 части) – 4 ∙ 4 = 16 см,
третья
сторона (5 частей) – 5 ∙ 4 = 20 см
Задачи:
Уровень А
1.
Для
варенья из вишни на 2 части ягод берут 3 части сахара
а) Сколько сахара следует взять для 2600 г ягод?
б) Сколько кг вишни было у мамы, если для варки варенья она приготовила
4 кг 500 г сахара?
2.
Требуется
смешать 3 части песка и 2 части цемента. Сколько цемента и песка
нужно взять отдельно, чтобы получить 30 кг смеси?
3.
Для
компота купили 1800 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши
3 части, сливы 2 части общего веса всех фруктов. Сколько граммов яблок,
груш и слив было в отдельности?
4.
Яблоки
составляют 7 частей, груши 4 части, сливы 5 частей общего веса
сухофруктов. Найдите общий вес сухофруктов, если в них содержится 160 г
груши?
5.
При пайке
изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и
5 частей олова
а) Кусок сплава весит 350 г. Сколько в нем содержится свинца и сколько
олова?
б) Сколько свинца и олова содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г
больше, чем свинца?
6.
При
помоле на каждые 3 части муки получается 1 часть отходов. Сколько
смололи ржи, если муки получилось на 36 ц больше, чем отходов?
7.
Взяли 6
частей яблок, 5 частей груш и 3 части слив. Груш и слив вместе
2 кг 400 г. Сколько всего сухофруктов?
Уровень Б
1.
Купили 60
тетрадей, причем тетрадей в клетку было в 2 раза больше, чем
тетрадей в линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на
тетради в клетку; на все тетради. Сколько купили тетрадей в клетку,
сколько в линейку?
2.
На первой
полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках
вместе – 420 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?
3.
За
рубашку и галстук папа заплатил 140 руб. Рубашка дороже галстука
в 4 раза. Сколько стоит галстук?
4.
В
плацкартном вагоне в 3 раза больше спальных мест, чем в мягком вагоне.
Всего в этих вагонах 72 места. Сколько спальных мест в мягком вагоне?
5.
Мальчик и
девочка рвали в лесу орехи. Всего они сорвали 120 орехов.
Девочка сорвала в 2 раза меньше мальчика. Сколько орехов сорвала
девочка? Сколько мальчик?
6.
Девочка
прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось прочитать.
Всего в книге 176 страниц. Сколько страниц прочитала девочка?
7.
Надо
разложить в два пакета 56 орехов так, чтобы в одном было в 3 раза
больше, чем в другом. Сколько орехов надо положить в каждый пакет?
8.
В
отрывном календаре 366 листов. К сентябрю в календаре осталось листов в
2 раза меньше, чем оторвали. Сколько листов оторвали?
9.
Ученик
купил тетрадей в клетку в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку.
Причем их было на 18 больше, чем тетрадей в линейку. Сколько тетрадей
купил ученик?
10.
На первой
полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг
больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке?
11.
За три
дня Митя прочитал 84 страницы. В первый день он прочитал в 3 раза
больше чем во второй, а в третий – 16 страниц. Сколько страниц прочитал
Митя в первый день?
12.
Кусок
ткани длиной 76 м разрезали на 3 части. Первая из них имеет длину
25 м, а вторая в 2 раза короче третьей. Найдите длину второй и третьей
части.
13.
Дочка
младше мамы в 4 раза и младше бабушки в 9 раз. Сколько лет
каждой, если вместе им 98 лет?
14.
У Сережи
в коллекции в 3 раза меньше марок, чем у Васи, а у Андрея
в 2 раза больше, чем у Васи. Сколько марок у каждого, если у Андрея
на 80 марок больше, чем у Сережи?
15.
В двух
коробках 36 кусков мела. Когда из одной коробки израсходовали
12 кусков мела, то в ней стало в 3 раза меньше мела, чем в другой. Сколько
кусков мела было в каждой коробке первоначально?
16.
В двух
банках 5 л молока. Когда в одну банку добавили 1 л, то в ней стало в 2 раза
больше молока, чем в другой. Сколько литров молока было в каждой банке
первоначально?
17.
В трех
больших пакетах и четырех маленьких содержится 550 г печенья. Сколько граммов в
маленьком пакете, если в него входит в 2 раза меньше печенья, чем в большом?
18.
В шести
маленьких коробках на 12 карандашей больше, чем в двух больших. Сколько
карандашей во всех маленьких коробках и сколько во всех больших, если в одной
маленькой коробке в 2 раза меньше карандашей, чем в большой?
