Как составить закон распределение числа попадание в мишень

Вопросы »

Комбинаторика,вероятность » 41. Составить закон распределения числа попаданий в ми-шень при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найти его числовые характеристи-ки.

41. Составить закон распределения числа попаданий в ми-шень при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найти его числовые характеристи-ки.

создана: 03.02.2015 в 10:40
…………………………………………

vereikinasty :

1.                Составить закон распределения числа попаданий в мишень при трех выстрелах, если вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найти его числовые характеристики.

Теорема.Если
вероятность p
наступления события А в каждом испытании
стремится к нулю (p
→ 0) при неограниченном увеличении
числа n испытаний
(n→ ∞), причем
произведение np
стремится к постоянному числу λ (np
→ λ), то вероятность P_n(m)
того, что событие А появится m
раз в n независимых
испытаниях, удовлетворяет предельному
равенству

Строго говоря,
условие теоремы Пуассона (p
→ 0 приn → ∞,
так чтоnp → λ)
противоречит исходной предпосылке
схемы испытаний Бернулли, согласно
которой вероятность наступления события
в каждом испытанииp=const. Однако, если вероятностьp– постоянна и мала,
число испытанийn–
велико и числоλ=np
– незначительно (будем полагать, чтоλ=np≤ 10), то из
предельного равенства вытекает
приближенная формула Пуассона

Пример 3.8.На
факультете насчитывается 1825 студентов.
Какова вероятность того, что 1 сентября
является днем рождения одновременно
четырех студентов факультета?

Решение.Вероятность того, что день рождения
студента приходится на 1 сентября, равнар= 1/365. Так как вероятностьр=
1/365 – мала, а число испытанийn= 1825 – велико иλ=np= 1825·(1/365) = 5 ≤ 10, то условие применимости
формулы Пуассона выполняется. По формуле
(3.13) получаем:

=
0,1755. ◄

4. Случайные величины

4.1. Понятие случайной величины

Наряду со случайным
событием одним из основных понятий
теории вероятностей является понятие
случайной
величины.

Случайной
называют величину, которая в результате
испытания может принять одно и только
одно возможное значение, заранее
неизвестное и зависящее от случайных
причин, которые заранее учесть невозможно.
Примеры случайной величины:

1. Число появлений
герба при двукратном бросании монеты;

2. Время безотказной
работы некоторого устройства.

Нетрудно заметить,
что в первом случае все возможные
значения случайной величины могут быть
перечислены заранее. Такими значениями
являются 0, 1, 2. Отметим, что эти значения
отделены друг от друга промежутками, в
которых нет других возможных значений
этой случайной величины.

Во втором случае
перечислить все возможные значения
случайной величины не представляется
возможным, так как эти значения не
отделены друг от друга и заполняют собой
некоторый промежуток. Очевидно, что
число возможных значений непрерывной
случайной величины – бесконечно.

В связи с этим
принято различать дискретные
и непрерывные
случайные величины.

Случайная величина
называется дискретной
(прерывной),
если множество ее значений является
конечным, или бесконечным, но счетным.

Под непрерывной
случайной величиной будем понимать
величину, которая может принимать все
значения из некоторого конечного или
бесконечного промежутка.

Случайные величины
принято обозначать прописными буквами
латинского алфавита – X,
Y,
Z,
а их значения – соответствующими
строчными буквами x,
y,
z.
Например, случайная величина Х
– число появлений герба при двукратном
бросании монеты – может принять значения
х₁
= 0, х₂
= 1, х₃
= 2.

4.2. Закон распределения случайной величины

Наиболее полным,
исчерпывающим описанием случайной
величины является ее закон распределения.

Определение.
Законом
распределения
случайной величины называется всякое
соотношение, устанавливающее связь
между возможными значениями случайной
величины и соответствующими им
вероятностями.

Про случайную
величину говорят, что она «распределена»
по данному закону распределения или
«подчинена» этому закону.

Для дискретной
случайной величины закон распределения
может быть задан в виде таблицы,
аналитически или графически.

Простейшей формой
задания закона распределения дискретной
случайной величины X
является таблица, в которой перечислены
в порядке возрастания все возможные
значения случайной величины и
соответствующие им вероятности, т.е.

Такая таблица
называется рядом
распределения
дискретной случайной величины.

Отметим, что события
X
= x₁,
X
= x₂,
…, X
= x_n,
состоящие в том, что в результате
испытания случайная величина Х
примет соответственно значения x₁,
x₂,
…, x_n,
являются несовместными и единственно
возможными, т.е. образуют полную группу.
Следовательно, сумма их вероятностей
равна единице, т.е.

Ряд распределения
может быть изображен графически, если
по оси абсцисс откладывать значения
случайной величины, а оси ординат –
соответствующие им вероятности.
Соединение полученных точек образует
ломаную линию, которую называют
многоугольником
или полигоном
распределения вероятностей.

Пример 4.1.
Два стрелка делают по одному выстрелу
в мишень. Составить закон распределения
случайной величины Х
– общего числа попаданий в мишень, если
вероятность поражения мишени в одном
выстреле для первого стрелка равна 0,8,
а для второго – 0,6.

Решение.
Очевидно, что возможные значения Х
– 0, 1, 2. Пусть А₁
– событие состоящее в том, что первый
стрелок попадет в мишень, А₂
– второй стрелок попадет в мишень. Тогда

Р(Х
= 0) = Р()
=Р()·Р()
= (1 – 0,8)(1 – 0,6) = 0,2·0,4 = 0,08;

Р(Х
= 1) = Р(А₁+
А₂)
= Р(А₁)·Р()
+Р()·Р(А₂)
= 0,8·0,4 + 0,2·0,6 = 0,44;

Р(Х
= 2) = Р(А₁А₂)
= Р(А₁)·Р(А₂)
= 0,8·0,6 = 0,48.

Записываем ряд
распределения случайной величины Х.

На
рис. 4.1 полученный ряд распределения
представлен графически в виде
многоугольника (полигона) распределения
вероятностей случайной величиныХ.
◄

Две случайные
величины называются независимыми,
если закон распределения одной из них
не меняется от того, какие возможные
значения приняла другая величина. Так
если случайная величина Х
может принимать значения x_i
(i
= 1, 2, …, n),
а случайная величина Y
– значения y_j(j
= 1, 2, …, m),
то независимость случайных величин X
и Y
означает независимость событий X
= x_i
и Y
= y_j
при любых i
= 1, 2, …, n
и j
= 1, 2, …, m.
В противном случае случайные величины
называются зависимыми.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Данное задание можно выполнить следующим образом. Если выстрелов три, то можно воссоздать следующий ряд значений х: х1=0; х2=1; х3=2; х4=3

Вероятность попадания одного выстрела у нас равно р=0,6, значит, 1-р=0,4

Определяем вероятность попадания трех выстрелов Р с помощью формулы:

(0,4+0,6х)*(0,4+0,6х)*(0,4+0,6х)

Вычисляем коэффициенты х, получаем: 0,064+3*0,16*0,6х+3*0,4*0,36х2+0,216х3 (тут программа почему-то не проставила знак умножить между некоторыми числами, но, думаю, тут понятно и так, где они должны стоять)

Так как мы знаем, что коэффициент при х дает вероятность того, что случайная величина Х будет иметь значение, равное k, то мы можем записать следующее:

р1=0,064

р2=0,288

р3=0,432

р4=0,216

В итоге получаем следующий закон распределения, который и можно считать функцией (смотри таблицу):

Соответственно, можно построить такой график этой функции:

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

Задача 1

Прямоугольник
со сторонами l₁ и l₂ разделен на четыре равные
части, одна из которых заштрихована. На прямоугольник брошены три точки.
Попадание точки в любое место прямоугольника равновозможно.  Дискретная случайная величина – число точек,
попавших на заштрихованную часть. Найти: закон распределения, числовые
характеристики, функцию распределения F(x). Построить график F(x).

Задача 2

Для
случайной величины X найти: а) закон распределения; б) функцию
распределения; в) математическое ожидание и дисперсию. При установившемся
технологическом процессе   всей
производимой продукции станок-автомат выпускает 2/3 первым сортом и   1/3 – вторым. Случайным образом отбирается 5
изделий. X – число изделий первого сорта среди отобранных.

Задача 3

Игральную
кость подбросили 3 раза. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение числа невыпадения единицы.

Задача 4

Монету
подбросили 4 раза. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее
квадратическое отклонение дискретной случайной величины X –
числа появлений герба.

Задача 5

В городе
имеется N=3 оптовых баз. Вероятность того, что требуемого сорта товар
отсутствует, на этих базах одинакова и равна p=0,2. Составить закон
распределения числа баз, на которых товар отсутствует в данный момент. Найти
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Задача 6

Продавец
азартных игр объясняет, что в его лотерее 40% заклепок. Игрок покупает 5
билетов.

а) Какова
вероятность того, что он вытащит не более двух заклепок?

б)
Рассчитайте ожидаемое значение и интерпретируйте его

Задача 7

Случайные
величины ξ и η имеют биномиальные распределения с параметрами n=20 и p=0,2
для величины ξ и n=100 и p=0,1 для величины η.

Найти
математическое ожидание и дисперсию величины γ=10ξ-2η, если известен
коэффициент корреляции ρ(ξ,η)=-0,7.

Задача 8

Вероятность
изготовления бракованной детали на первом станке составляет 3%, на второй
станке – 5%. На первом станке изготовлено 20 деталей, на втором 40 деталей.
Найти математическое ожидание и дисперсию числа бракованных деталей.

Задача 9

Производится
9 бомбометаний с вероятностью попадания при каждом 0,89. Какова вероятность при
более чем 4 бомбометаниях? Найти характеристики распределения случайной
величины.

Задача 10

Вероятность
того, что саженец абрикоса приживется в Новосибирской области, равна 0,6.
Посадили 5 саженцев. Записать закон распределения случайной величины X –
число прижившихся саженцев. Найти математическое ожидание и дисперсию
полученного распределения.

Задача 11

Из
курьерской службы отправились на объекты 5 курьеров. Каждый курьер с
вероятностью 0,3 независимо от других опаздывает на объект. Указать вид
распределения случайной величины X – числа опоздавших
курьеров. Построить ряд распределения случайной величины X.
Найти ее математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что на
объекты опоздают не менее двух курьеров.

Задача 12

Проведено
5 независимых опытов. Вероятность взрыва в каждом опыте равна p=2/7.
Составить закон распределения числа взрывов, вычислить математическое ожидание,
дисперсию, среднеквадратическое отклонение и построить многоугольник
распределения.

Задача 13

На складе
производителя электрических гирлянд, которые планируется поставлять на продажу,
проводится выборочная проверка их работоспособности. Известно, что у примерно
5% производимых гирлянд бывают неисправности различного рода. Предположим, были
отобраны 3 гирлянды для проверки их работоспособности. Найдите закон
распределения случайной величины

 – число гирлянд без неисправностей среди
отобранных. Определите вероятность того, что более чем одна гирлянда будет
исправлена.

Задача 14

Торговый
агент в среднем контактирует с 4 потенциальными покупателями в день. Из опыта
ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит
покупку, равна 0,023. Составить закон распределения ежедневного числа продаж
для агента. Найти числовые характеристики этого распределения. Чему равна
вероятность того, что у агента будет хотя бы 2 продажи в течение дня?

Задача 15

Случайная
величина имеет биноминальное распределение с математическим ожиданием M(X)=3 и
дисперсией D(X)=1,2. Найти P(X≥2).

Задача 16

По мишени
производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания при каждом
выстреле p=0,9. Найти закон распределения дискретной
случайной величины X, равной числу попадания в мишень. Написать функцию
распределения.

Задача 17

Производится
4 независимых выстрела по некоторой цели. Вероятность попадания при одном
выстреле равна 0,25. Выписать ряд распределения для числа попаданий в цель.

Задача 18

Вероятность
попадания в цель одним выстрелом равна 0,5. Производят пять выстрелов. Найти:
а) Распределение вероятностей числа попаданий; б) Наивероятнейшее число
попаданий; в) Вероятность, что попаданий будет не более двух.

Задача 19

Клиенты
банка не возвращают полученный кредит в 12% случаев.

а)
составить ряд распределения числа не отдавших кредит клиентов из взятых наудачу
3-х.

б) найти
среднее число не отдавших кредит клиентов и отклонение от него.

Задача 20

При
установившемся технологическом процессе происходит в среднем 10 обрывов нити на
100 веретен в час. Найти закон распределения и математическое ожидание
случайного числа обрывов нити в течение часа среди трех веретен, работающих
независимо друг от друга.

Задача 21

Составить
закон распределения случайной величины Х и найти ее математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Х – число
выигравших билетов лотереи, если куплено 3 билета, а выигрышные билеты
составляют в тираже 8%;

Задача 22

Производится
3 независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью
0,4. Построить ряд распределения числа появлений события в 3-х опытах.

Найти F(X),M(X),D(X),σ(X),p(x≥1)

Задача 23

Построить
ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при 4 бросках, если
вероятность попадания равна 0,7.

Задача 24

Производится
три независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события A равна
0,4. Составить закон распределения дискретной случайной величины X –
числа появления события A в указанных испытаниях.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 25

Запишите
таблицу для данного закона распределения случайной величины X,
постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характеристики распределения
(M(X),D(X),σ(X)). Запишите функцию распределения и постройте ее график.
Ответьте на вопрос о вероятности описанного события.

Записи
страховой компании показали, что 30% держателей страховых полисов старше 50 лет
потребовали возмещения страховых сумм. Для проверки в случайном порядке было
отобрано 5 человек старше 50 лет, имеющих полисы. Случайная величина X –
количество требующих возмещения среди отобранных. Чему равна вероятность того,
что потребуют возмещения более трех человек?

Задача 26

На
некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность
остановки равна 0,2. За смену автобус проходит мимо этой остановки 5 раз.
Составить закон распределения числа остановки за смену, найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Задача 27

Устройство
состоит из пяти независимых элементов. Вероятность безотказной работы каждого
элемента в одном опыте равна 0,7. Для случайной величины X
элементов, безотказно работавших в одном опыте, построить закон распределения,
их графики, найти ее числовые характеристики.

Задача 28

В группе
студентов среднее число отличников составляет 20%.  Составить закон распределения количества
отличников среди четырех студентов, отобранных случайным образом для участия в
деловой игре.

Задача 29

В урне 6
белых и 14 черных шара. Из урны извлекается один шар 4 раз подряд, причем
каждый раз вынутый шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Приняв за
случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон
распределения этой случайной величины, найти ее математическое ожидание и
дисперсию.

Задача 30

Устройство состоит из трех
независимо работающих элементов. Вероятность отказа в одном опыте для каждого
элемента равна 0.1. Составить закон распределения случайного числа отказавших
элементов в одном опыте. Составить функцию распределения, построить ее график.

Задача 31

В
контрольной работе три задачи. Вероятность того, что задача будет решена, равна
0,9. Найти математическое ожидание случайной величины – числа решенных задач,
стандартное отклонение.

Задача 32

Известна
вероятность события A: p(A)=0,6. Дискретная случайная
величина ξ – число появлений A в трех опытах. Построить
ряд распределения случайной величины ξ. Найти математическое
ожидание m_ξ и дисперсию D_ξ.