Закон распределения дискретной случайной величины (ДСВ) представляет собой соответствие между значениями х1, х2,…,хn этой величины и их вероятностями p1, p2,…,pn
Может быть задан аналитически, графически или таблично.
Самый простой способ представления закона распределения дискретной случайной величины — в виде таблицы ряда распределения, то есть
| X | x1 | x2 | …… | xn |
| P | p1 | p2 | …… | pn |
х1, х2,…,хn — значения дискретной случайной величины;
p1, p2,…,pn — вероятности значений X дискретной случайной величина.
Также должно выполняться условия, что сумма вероятностей равна 1, то есть
∑p=p1+p2+ … +pn=1
Графически закон распределения ДСВ задается в виде многоугольника распределения см. здесь., а аналитически, например, с применением формулы Бернулли.Рассмотрим примеры
Пример 1
Монета подбрасывается 10 раз, герб выпал 6 раз, а орел — 4 раза. Составить закон распределения дискретной случайной величины.
Решение
Вероятности равны:
p1(6)=6/10=0,6;
p2(4)=4/10=0,4
Пример 2
Из корзины извлечено 4 белых шара, 6 черных, 8 синих и 2 красных шара. Найти закон распределения случайной величины X возможного выигрыша на один билет.
Решение
Объем выборки равен
n=4+6+8+2=20
X принимает следующие значения:
x1=4; x2=6; x3=8; x1=2
Найдем их вероятности:
p1(4)=4/20=0,2;
p2(6)=6/20=0,3;
p3(8)=8/20=0,4;
p4(2)=2/20=0,1
Получаем таблицу закона распределения дискретной случайной величины
| X | 4 | 6 | 8 | 2 |
| P | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
Пример 3
По контрольной работе по математике школьники получили оценки:
удовлетворительно — 5 человек;
хорошо — 13 человек;
отлично — 7 человек.
Составьте таблицу закона распределения ДСВ
Решение
n=5+13+7=26
Вычислим вероятности:
p1(5)=5/25=0,2;
p2(13)=13/25=0,52;
p3(7)=7/25=0,28
Таблица имеет вид:
| X | 5 | 13 | 8 | 2 |
| P | 0.2 | 0.52 | 0.28 | 0.1 |
Пример 4
Партия из 8 изделий содержит 5 стандартных. Наудачу отбираются 3 изделия. Составить таблицу закона распределения числа стандартных изделий среди отобранных.
Решение
Для составления закона распределения воспользуемся формулой комбинаторики сочетание без повторений, то есть всего 8 изделия, а отобрать необходимо 3 изделия получаем:
при P(X=0) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий не окажется ни одного стандартного;
при P(X=1) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется одно стандартное и два нестандартных изделия;
при P(X=2) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий окажется два стандартных и одно нестандартное изделие;
при P(X=3) — вероятность того, что среди трех отобранных изделий все три изделия стандартные.
Составим таблицу распределения
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0.018 | 0.268 | 0.536 | 0.178 |
Пример 5
В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X — числа стандартных деталей среди отобранных.
Решение
Возможные варианты значений СВ X: 1, 2, 3
$n=C_6^3$ — числу способов, которыми можно выбрать три детали из шести;
$C_4^x$ — число способов, которыми из четырех деталей выбирают х деталей.
$C_2^{3 — x}$ — общее число способов отбора нестандартных деталей
Тогда вероятности события A вычисляются по формуле
Закон распределения дискретной случайной величины X для составления ряда распределения:
Получаем таблицу ряда распределения ДСВ
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0 | 0.2 | 0.6 | 0.2 |
16987
1. Биномиальный закон распределения (биномиальное распределение) дискретных случайных величин.
Дискретная
случайная величина Х
распределена по
биномиальному закону,
если она принимает значения 0,1,2…,m…,n…
с вероятностями, которые находятся по
формуле Бернулли:
|
|
0 |
1 |
… |
m |
… |
n |
|
|
|
|
… |
|
… |
|
…………………………………………………
Теорема.
Математическое ожидание дискретной
случайной величины, распределенной по
биномиальному закону, равняется
произведению числа всех испытаний на
вероятность наступления события в
отдельном испытании, то есть
.
Дисперсия
равняется произведению числа всех
испытаний на вероятность наступления
и не наступления события в отдельном
испытании, то есть
.
Пример.
По
статистическим данным известно, что
вероятность рождения мальчика составляет:
p
= 0,515.
Составить
закон распределения числа мальчиков в
семье с пятью детьми. Найти математическое
ожидание
,
дисперсию
,
среднее квадратическое отклонение
и
моду
.
Решение:
X
‒ случайная величина ‒ число мальчиков
в семье с пятью детьми.
Составим
закон распределения числа мальчиков в
семье с пятью детьми:
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0,026835 |
0,142475 |
0,302579 |
0,321296 |
0,170585 |
0,036227 |
Проверка:
1.
Математическое
ожидание:
2.
Дисперсия:
3.
Среднее
квадратическое отклонение:
4.
так
как приm
= 3 вероятность максимальная. Она
составляет: p
= 0,321296.
2. Геометрический закон распределения (геометрическое распределение) дискретных случайных величин.
Дискретная
случайная величина распределена
геометрически,
если она принимает значения 1,2,…m
…(бесконечное,
но счетное количество раз) с вероятностями,
находящимися по формуле общего члена
геометрической прогрессии:
Случайная
величина X
=
m,
распределенная геометрически, представляет
собой число испытаний (m)
до первого положительного исхода.
Составим
ряд распределения:
|
|
1 |
2 |
… |
m |
… |
|
|
p |
|
… |
|
… |
и
т.д.
Теорема.
Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины, распределенной
геометрически, вычисляются по формулам:
Пример.
Охотник
стреляет по дичи до первого попадания,
но успевает сделать не более 4‒х
выстрелов.
Составить
закон распределения числа выстрелов,
если вероятность попадания при одном
выстреле равна p
= 0,7. Найти математическое ожидание,
дисперсию, среднее квадратическое
отклонение и моду числа выстрелов.
Решение:
По
условию
число
выстрелов
Составим
закон распределения числа выстрелов:
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
0,7 |
0,21 |
0,063 |
0,027 |
Проверка:
1.
Математическое
ожидание:
2.
Дисперсия:
3.
Среднее
квадратическое отклонение:
4.
так
как приm
= 1 вероятность максимальная, она
составляет: p
= 0,7.
Пример.
Вероятность
поражения цели равна 0,6. Производится
стрельба по мишени до первого попадания
(число патронов не ограничено). Требуется
составить ряд распределения числа
сделанных выстрелов, найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной
величины. Определить вероятность того,
что для поражения цели потребуется не
более трёх патронов.
Решение:
Случайная
величина X
– число сделанных выстрелов – имеет
геометрическое распределение с параметром
p=0,6.
Ряд распределения X
имеет вид:
|
|
1 |
2 |
3 |
… |
m |
… |
|
|
0,6 |
0,24 |
0,096 |
… |
0,6·0,4m |
… |
Вероятность
того, что для поражения цели потребуется
не более трёх патронов:
P(X
≤
3) = P(X
=
1) + P(X
=
2) + P(X
=
3) = 0,6+0,24+0,096 = 0,936.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно
возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин,
которые заранее не могут быть учтены.
Случайные
величины обозначаются прописными буквами
, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами
. Например, если случайная величина
имеет три возможных
значения, то они будут обозначены так:
.
Дискретной называют случайную
величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с
определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной
величины может быть конечным или бесконечным.
Законом распределения дискретной
случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их
вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и
графически.
При табличном задании закона
распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит
возможные значения, а вторая – их вероятности:
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
Приняв во внимание, что в одном
испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение,
заключаем, что события
образуют полную
группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, то есть сумма
вероятностей второй строки таблицы, равна единице:
Если множество возможных значений
бесконечно
(счетно), то ряд
сходится и его
сумма равна единице.
Для наглядности закон распределения
дискретной случайной величины можно изобразить и графически. Для этого в
прямоугольной системе координат строят точки
, а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную
фигуру называют многоугольником распределения.
Смежные темы решебника:
- Непрерывная случайная величина
- Функция распределения вероятностей
- Математическое ожидание
- Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Задача 1
В партии
из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый дефект. Покупают 3 куртки. Найти закон
распределения числа дефектных курток среди купленных. Построить многоугольник
распределения.
Задача 2
Устройство
состоит из пяти независимых элементов. Вероятность безотказной работы каждого
элемента в одном опыте равна p=0,7. Для случайной
величины X элементов, безотказно работавших в одном опыте,
построить закон распределения, их графики, найти ее числовые характеристики.
Задача 3
С
вероятностью попадания при явном выстреле p=0.88 охотник стреляет по
дичи до первого попадания, но успевает сделать не более n=6
выстрелов.
ДСВ X – число
промахов:
а) Найти
закон распределения X.
б)
Построить многоугольник распределения.
в) Найти
вероятность событий: X<2, X<3,
1<X<3.
Задача 4
Составьте
закон распределения дискретной случайной величины ξ, вычислите ее
математическое ожидание, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение,
коэффициенты асимметрии и эксцесса, все моменты, а также начертите ее
многоугольник распределения и график функции распределения. Сделайте выводы по
результатам расчетов.
Производятся
последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу
после того, как проверяемый прибор окажется надежным. Вероятность выдержать
испытание для каждого прибора равна 0,8.
ξ – число испытаний, после которых закончится проверка.
Задача 5
В первой урне
6 шаров – 3 белых и 3 черных. Во второй 5 шаров –3 белых и 2 черных. Из первой
урны наудачу переложили во вторую 2 шара, после чего, из второй в первую
переложили 1 шар. Найти закон распределения случайной величины Х – числа белых
шаров в первой урне, после всех перекладываний шаров. Какова вероятность того,
что число белых шаров не больше, чем первоначально. Построить многоугольник
распределения.
Задача 6
В коробке
N=9 карандашей, из которых M=6 красных. Из этой коробки
наудачу извлекается n=5 карандашей.
а) Найти
закон распределения случайной величины X равной числу красных
карандашей в выборке.
б)
Построить многоугольник распределения.
в) Найти
вероятность события: 0<X<4.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 7
Производятся
последовательные испытания 5 приборов, причем испытания прекращаются сразу
после того, как проверяемый прибор оказался надежным. Вероятность выдержать
испытание для каждого прибора равна 0,8. X – число испытаний, после
которых закончится проверка. Составьте закон распределения случайной величины X,
вычислите ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое
отклонение, а также начертите ее многоугольник распределения и график функции
распределения.
Задача 8
Проведено
n=5 независимых опытов. Вероятность взрыва в каждом опыте равна p=2/7.
Составить закон распределения числа взрывов, вычислить математическое ожидание,
дисперсию, среднеквадратическое отклонение и построить многоугольник
распределения.
Задача 9
Найти закон
распределения указанной дискретной СВ X и ее функции. распределения
F(x). Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и
среднее квадратичное отклонение σ(Х). Построить график
функции распределения F(x).
Вероятность отказа прибора за время испытания
на надежность равна 0,2; СВ Х – число приборов, отказавших в работе, среди 5
испытываемых.
Задача 10
В интернет-магазине
приобретается смартфон. Курьер приносит на дом покупателю 5 одинаковых
смартфонов, среди которых три (заранее неизвестно какие) бракованные.
Покупатель проверяет один за другим, пока не найдет хороший прибор, но делает
не более трех попыток.
Составить
закон распределения случайной величины – числа произведенных попыток.
Найти ее
математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Построить
функцию распределения.
Задача 11
В команде
9 спортсменов, из них 4 – первого разряда и 5 – второго. Наудачу отобраны 3
спортсмена. Найти ряд распределения дискретной случайной величины Х – числа
спортсменов второго разряда среди отобранных.
Задача 12
К контролеру с конвейера поступили 4 детали.
Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой,
пока не наберут 2 доброкачественные.
Найти закон распределения вероятностей для числа проверенных деталей.
Задача 13
Двое рабочих,
выпускающих однотипную продукцию, допускают производство изделий второго сорта
с вероятностями соответственно равными 0,4 и 0,3. У каждого рабочего взято по 2
изделия. Для случайной величины Х –
числа изделий второго сорта среди отобранных для проверки четырех найти закон
распределения, математическое ожидание и дисперсию.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 14
На викторине
задаются 3 вопроса. Вероятность правильно ответить на первый – p, на
второй – r, на третий – s. После неправильного
ответа игрок выбывает из игры. Найти распределение числа правильных ответов.
Вычислить математическое ожидание. Решить задачу, если:
а) p=0.7; r=0.6; s=0.3;
б)
p=0.8; r=0.4; s=0.1.
Задача 15
На
некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность
остановки равна 0,2. За смену автобус проходит мимо этой остановки 5 раз.
Составить закон распределения числа остановки за смену, найти математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Задача 16
Вероятность
того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3.
Аудитору на заключение представлено 3 баланса предприятия. Составить закон
распределения числа положительных заключений на проверяемые балансы.
Задача 17
Два товароведа
проверяют партию изделий. Производительность их труда соотносится как 5:4.
Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85%, вторым – 90%.
Из проверенных изделий отбирают четыре. Найти а) математическое ожидание и б)
дисперсию числа годных изделий среди отобранных.
Задача 18
Два
станка выпускают детали с вероятностями брака 0,01 и 0,05 соответственно. В
выборке одна деталь выпущена первым станком и две – вторым. Найти распределение числа бракованных деталей
в выборке.
Задача 19
Монета
подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет 2 раза, но при этом делается не
более 4 бросаний. Найти распределение числа подбрасываний.
Задача 20
Вероятность
сдачи данного экзамена для каждого из n=5 студентов равна p=0.6.
Случайная величина X (СВ X) – число студентов, сдавших экзамен. Найти закон
распределения указанной дискретной СВ X и ее функцию распределения F(x).
Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение σ(x). Построить график функции распределения F(x).
