Как составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами

• Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax 2 + 0x+c=0 и оно равносильно ax 2 + c = 0.
• Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax 2 + bx = 0.
• Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax 2 = 0.

Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax 2 + c = 0, при b = 0;
• ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
2. По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax 2 = – c,
• разделим обе части на a: x 2 = – c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = – c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = – c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = – c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = – c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

• не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

• вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
• если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
• если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
• если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

1. Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
2. Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
3. Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 – 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 – ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=”705″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png” width=”588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 – ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

• вычислить D₁= n 2 – ac;
• если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=”215″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE” width=”393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG” width=”125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=”52″ src=”https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo” width=”112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=”59″ src=”https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png” width=”117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 – 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 – 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 – 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Решение уравнений высших степеней

В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n – 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x :

a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n – 1 · a n n – 1 · x n – 1 + … + a 1 · ( a n ) n – 1 · x + a 0 · ( a n ) n – 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n – 1 y n – 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n – 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Схема решения уравнения

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x – x 1 · P n – 1 ( x ) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n – 1 ( x ) представляет собой частное от деления x n + a n x n – 1 + … + a 1 x + a 0 на x – x 1 .

Подставляем остальные выписанные делители в P n – 1 ( x ) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде ( x – x 1 ) ( x – x 2 ) · P n – 2 ( x ) = 0 .Здесь P n – 2 ( x ) будет частным от деления P n – 1 ( x ) на x – x 2 .

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x – x 1 x – x 2 · … · x – x m · P n – m ( x ) = 0 . Здесь P n – m ( x ) является многочленом n – m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение P n – m ( x ) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 – x – 3 = 0 .

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , – 1 , 3 и – 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 – 1 – 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 – x – 3 на ( х – 1 ) в столбик:

Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 – x – 3 = x – 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 :

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 ( – 1 ) 3 + 2 · ( – 1 ) 2 + 4 · – 1 + 3 = 0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный – 1 .

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на ( х + 1 ) в столбик:

x 4 + x 3 + 2 x 2 – x – 3 = ( x – 1 ) ( x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ) = = ( x – 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + x + 3 )

Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с – 1 :

– 1 2 + ( – 1 ) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 ( – 3 ) 2 + ( – 3 ) + 3 = 9 ≠ 0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

D = 1 2 – 4 · 1 · 3 = – 11 0

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = – 1 2 ± i 11 2 .

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

x i	коэффициенты многочлена
1	1	2	– 1	– 3
1	1	1 + 1 · 1 = 2	2 + 2 · 1 = 4	– 1 + 4 · 1 = 3	– 3 + 3 · 1 = 0

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 – x – 3 = x – 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

После нахождения следующего корня, равного – 1 , мы получаем следующее:

x i	коэффициенты многочлена
1	2	4	3
1	1	2 + 1 · ( – 1 ) = 1	4 + 1 · ( – 1 ) = 3	3 + 3 · ( – 1 ) = 0

Далее мы приходим к разложению x – 1 x + 1 x 2 + x + 3 = 0 . Потом, проверив оставшиеся делители равенства x 2 + x + 3 = 0 , вычисляем оставшиеся корни.

Ответ: х = – 1 , х = 1 , x = – 1 2 ± i 11 2 .

Условие: решите уравнение x 4 – x 3 – 5 x 2 + 12 = 0 .

Решение

У свободного члена есть делители 1 , – 1 , 2 , – 2 , 3 , – 3 , 4 , – 4 , 6 , – 6 , 12 , – 12 .

Проверяем их по порядку:

1 4 – 1 3 – 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 ( – 1 ) 4 – ( – 1 ) 3 – 5 · ( – 1 ) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 – 5 · 2 2 + 12 = 0

Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 – x 3 – 5 x 2 + 12 на х – 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

x i	коэффициенты многочлена
1	– 1	– 5	0	12
2	1	– 1 + 1 · 2 = 1	– 5 + 1 · 2 = – 3	0 – 3 · 2 = 3	12 – 6 · 2 = 0

В итоге мы получим x – 2 ( x 3 + x 2 – 3 x – 6 ) = 0 .

Проверяем делители дальше, но уже для равенства x 3 + x 2 – 3 x – 6 = 0 , начиная с двойки.

2 3 + 2 2 – 3 · 2 – 6 = 0

Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 – 3 x – 6 = 0 на x – 2 :

x i	коэффициенты многочлена
1	1	– 3	– 6
2	1	1 + 1 · 2 = 3	– 3 + 3 · 2 = 3	– 6 + 3 · 2 = 0

В итоге получим ( x – 2 ) 2 · ( x 2 + 3 x + 3 ) = 0 .

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 – 4 · 1 · 3 = – 3 0

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = – 3 2 ± i 3 2 .

Ответ: x = – 3 2 ± i 3 2 .

Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 – 5 2 x – 3 = 0 действительные корни.

Решение

x 4 + 1 2 x 3 – 5 2 x – 3 = 0 2 x 4 + x 3 – 5 x – 6 = 0

Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

2 x 4 + x 3 – 5 x – 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 – 20 · 2 · x – 48 = 0

Заменяем переменные y = 2 x :

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 – 20 · 2 · x – 48 = 0 y 4 + y 3 – 20 y – 48 = 0

В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = – 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = – 2 2 = – 1 и x = y 2 = 3 2 .

Ответ: x 1 = – 1 , x 2 = 3 2

Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.

Квадратное уравнение

Что такое квадратное уравнение и как его решать?

Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Например, следующие уравнения являются квадратными:

Решим первое из этих уравнений, а именно x 2 − 4 = 0 .

Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

Итак, в уравнении x 2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

Получили уравнение x 2 = 4 . Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a , где a — корень уравнения.

У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

Чтобы решить уравнение x 2 = 4 , нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4 . Очевидно, что при значениях 2 и −2 . Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

Число b называется квадратным корнем из числа a , если b 2 = a и обозначается как

У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x 2 = 4 ? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

Тогда можно записать, что . Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x . Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2 .

Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед следует поставить знак ±

Затем найти арифметическое значение квадратного корня

Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2 . То есть корнями уравнения x 2 − 4 = 0 являются числа 2 и −2 . Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2) 2 = 25

Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25 . Какое число в квадрате равно 25 ? Очевидно, что числа 5 и −5

То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5 . Запишем эти два уравнения:

Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

Значит корнями уравнения (x + 2) 2 = 25 являются числа 3 и −7 .

В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2) 2 = 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25 . Поэтому можно cначала записать, что .

Тогда правая часть станет равна ±5 . Полýчится два уравнения: x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7 .

Запишем полностью решение уравнения (x + 2) 2 = 25

Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x₁ , а корень −7 через x₂

В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x 2 − 4 = 0 имело корни 2 и −2 . Эти корни можно было обозначить как x₁ = 2 и x₂ = −2.

Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

Сделаем проверку для уравнения (x + 2) 2 = 25 . Подставим в него корни 3 и −7 . Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25 , то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна 25 . Значит уравнение решено верно.

Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0 ,
где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

Пусть дано уравнение 3x 2 + 2x = 16 . В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Для этого в уравнении 3x 2 + 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

Получили уравнение 3x 2 + 2x − 16 = 0 . В этом уравнении a = 3 , b = 2 , c = −16 .

В квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа a , b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

В нашем случае для уравнения 3x 2 + 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3 ; вторым коэффициентом является число 2 ; свободным членом является число −16 . Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

Так, в уравнении 3x 2 + 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3 , 2 и −16 .

В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

Например, если дано уравнение −5 + 4x 2 + x = 0 , то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax 2 + bx + c = 0.

В уравнении −5 + 4x 2 + x = 0 видно, что свободным членом является −5 , он должен располагаться в конце левой части. Член 4x 2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a , b и с .

Если коэффициенты a , b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 8 = 0 .

Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x 2 + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6 ), но отсутствует свободный член c.

Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

Пусть дано квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 8 = 0 . В этом уравнении a = 2 , b = 6 , c = −8 . Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

Получилось уравнение 2x 2 − 8 = 0 . Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x 2 = 4 , следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x 2 = 4 , то . Отсюда x = 2 и x = −2 .

Значит корнями уравнения 2x 2 − 8 = 0 являются числа 2 и −2 . Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax 2 + bx + c = 0 , то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 .

У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0 . В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x 2 − 4 = 0 .

В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x 2 − 4 = 0 . Оно тоже является уравнением вида ax 2 + c = 0 , то есть неполным. В нем a = 1 , b = 0 , с = −4 .

Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

Получили квадратное уравнение 2x 2 + 6x=0 , которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0 . Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0 . Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

Видим, что второй корень равен −3.

Значит корнями уравнения 2x 2 + 6x = 0 являются числа 0 и −3 . Запишем полностью решение данного уравнения:

Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x 2 + 6x − 4 = 0 . Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

Получили уравнение 2x 2 = 0 . Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0 . Действительно, 2 × 0 2 = 0 . Отсюда, 0 = 0 . При других значениях x равенства достигаться не будет.

Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax 2 + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

Отметим, что когда употребляются словосочетания « b равно нулю » или « с равно нулю «, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

Например, если дано уравнение 2x 2 − 32 = 0 , то мы говорим, что b = 0 . Потому что если сравнить с полным уравнением ax 2 + bx + c = 0 , то можно заметить, что в уравнении 2x 2 − 32 = 0 присутствует старший коэффициент a , равный 2; присутствует свободный член −32 ; но отсутствует коэффициент b .

Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . В качестве примера решим квадратное уравнение x 2 − 2x + 1 = 0 .

Итак, требуется найти x , при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1) 2 .

Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0 . Поэтому наша задача найти x , при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0 , можно узнать чему равно x

Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1) 2 = 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что . В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0 . Отсюда x = 1 .

Значит корнем уравнения x 2 − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x 2 + 2x − 3 = 0 .

В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1) 2 = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4 . Тогда можно записать, что . Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2 . Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2 , корнями которых являются числа 1 и −3

Значит корнями уравнения x 2 + 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3 .

Пример 3. Решить уравнение x 2 − 6x + 9 = 0 , выделив полный квадрат.

Выделим полный квадрат из левой части:

Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x 2 + 28x − 72 = 0 , выделив полный квадрат:

Выделим полный квадрат из левой части:

Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем:

Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

Пример 5. Решить уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0

Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x 2 . Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x , то есть (2x) 2 = 2 2 x 2 = 4x 2 . Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x 2 . Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

В уравнении 2x 2 + 3x − 27 = 0 первый член это 2x 2 . Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2 . Это позвóлит избавиться от двойки перед x 2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

Выделим полный квадрат.

При представлении члена в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

Свернём полученный полный квадрат:

Приведём подобные члены:

Перенесём дробь в правую часть, изменив знак:

Воспользуемся квадратным корнем. Выражение представляет собой квадратный корень из числа

Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

Тогда наше уравнение примет вид:

Полýчим два уравнения:

Значит корнями уравнения 2x 2 + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и .

Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0 решено верно.

Решая уравнение 2x 2 + 3x − 27 = 0 , в самом начале мы разделили обе его части на 2 . В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x 2 равен единице:

Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

Любое квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax 2 + bx + c = 0 нужно разделить на a

Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x 2 + x + 2 = 0

Сделаем данное уравнение приведённым:

Выделим полный квадрат:

Получили уравнение , в котором квадрат выражения равен отрицательному числу . Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

Следовательно, нет такого значения x , при котором левая часть стала бы равна . Значит уравнение не имеет корней.

А поскольку уравнение равносильно исходному уравнению 2x 2 + x + 2 = 0 , то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.

Формулы корней квадратного уравнения

Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

Взяв за основу буквенное уравнение ax 2 + bx + c = 0 , и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 . В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a , b , с и получать готовые решения.

Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax 2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

Перенесем члены и в правую часть, изменив знак:

Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

В числителе правой части вынесем за скобки a

Сократим правую часть на a

Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение ax 2 + bx + c = 0.

Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a , b и c .

Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b 2 − 4ac .

Выражение b 2 − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель . Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x 2 + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x 2 + x + 2 = 0 коэффициенты a , b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b 2 −4ac

D = b 2 − 4ac = 1 2 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

Видим, что D (оно же b 2 − 4ac ) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x 2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b 2 − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

Итак, D равно b 2 − 4ac . Подставим в уравнении вместо выражения b 2 − 4ac букву D

Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D , то уравнение примет вид:

В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0) , то уравнение примет вид:

В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

Получили уравнение . Из него полýчится два уравнения: и . Выразим x в каждом из уравнений:

Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения .

Чаще всего эти формулы обозначаются как x₁ и x₂ . То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

Очерёдность применения формул не важнá.

Решим например квадратное уравнение x 2 + 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1 , 2 и −8 . То есть, a = 1 , b = 2 , c = −8 .

Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b 2 − 4 ac . Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x 2 + 2x − 8 = 0

D = b 2 − 4ac = 2 2 − 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения x 2 + 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4 . Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

Далее выражаем x

Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x 2 − 6x + 9 = 0 , имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1 , b = −6 , c = 9 . Тогда по формуле дискриминанта имеем:

D = b 2 − 4ac = (−6) 2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

Дискриминант равен нулю (D = 0) . Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле

Значит корнем уравнения x 2 − 6x + 9 = 0 является число 3.

Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.

Пример 3. Решить уравнение 5x 2 − 6x + 1 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения 5x 2 − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и .

Ответ: 1; .

Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле

Значит корнем уравнения x 2 + 4x + 4 = 0 является число −2 .

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 + 2x + 4 = 0

Найдём дискриминант квадратного уравнения:

Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Пример 6. Решить уравнение (x + 4) 2 = 3x + 40

Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения (x + 4) 2 = 3x + 40 являются числа 3 и −8 .

Ответ: 3 ; −8.

Пример 7. Решить уравнение

Умнóжим обе части данного уравнения на 2 . Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения являются числа 23 и −1 .

Ответ: 23; −1.

Пример 8. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6 . Тогда получим:

В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

Приведём подобные члены в левой части:

В получившемся уравнении найдём дискриминант:

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

Значит корнями уравнения являются числа и 2.

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1. Решить уравнение x 2 = 81

Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

Ответ: 9, −9 .

Пример 2. Решить уравнение x 2 − 9 = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

Ответ: 3, −3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 − 9x = 0

Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

Ответ: 0, 9 .

Пример 4. Решить уравнение x 2 + 4x − 5 = 0

Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

D = b 2 − 4ac = 4 2 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

Ответ: 1, −5 .

Пример 5. Решить уравнение

Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

Приведём подобные члены:

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Ответ: 5 , .

Пример 6. Решить уравнение x 2 = 6

В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение (2x + 3) 2 + (x − 2) 2 = 13

Раскроем скобки в левой части уравнения:

В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

Ответ: 0 , −1,6 .

Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

Приведём подобные члены:

Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

Второй способ. Найти значения x , при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

Примеры решения задач

Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м 2 . При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

Обозначим ширину комнаты через x . А длину комнаты через 2x , потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

По условию задачи площадь должна быть 8 м 2 . Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x 2 = 4 , то . Отсюда x = 2 и x = −2 .

Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2 . Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

А длина была обозначена через 2x . Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

Значит длина равна 4 м , а ширина 2 м . Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м 2

Ответ: длина комнаты составляет 4 м , а ширина 2 м .

Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м 2

Решение

Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м 2 . Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200 , получим уравнение:

Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

Решим получившееся уравнение с помощью формул:

Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30 . Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10 . Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

x + 10 = 30 + 10 = 40 м

Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30 ) получится 1200 м 2

40 × 30 = 1200 м 2

Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-uravnenij-vysshih-stepenej/

[/spoiler]

Содержание:

Квадратные уравнения

В предыдущих классах вы уже научились составлять и решать уравнения, но лишь простейшие, к которым сводятся относительно несложные задачи. Для решения более сложных задач используют квадратные уравнения. Изучив эту тему, вы сможете решать прикладные задачи из разных отраслей знаний.

В этой главе вы узнаете, что такое:

• неполные квадратные уравнения;
• формула корней квадратного уравнения;
• теорема Виета;
• разложение квадратного трёхчлена на множители.

Неполные квадратные уравнения

Пример:

Одно из двух чисел больше другого на 6, а их произведение равно 112. Найдите эти числа.

Решение:

Обозначим меньшее искомое число буквой х. Тогда большее число равно х + 6. Их произведение — 112. Следовательно,

х(х + 6) = 112, или х² + 6х- 112 = 0.

Это уравнение второй степени с одной переменной. Такие уравнения называют также квадратными.

Квадратным называют уравнение вида ах² + bх + c = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём

Числа а, b, с — коэффициенты квадратного уравнения: а — первый коэффициент, b — второй, с — свободный член.

По определению, первый коэффициент квадратного уравнения не может быть равен нулю. Если хотя бы один коэффициент (b или с) равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах² = 0; 2) ах² + bх = 0; 3) ах² + с = 0.

1. Уравнение вида ах² = О равносильно уравнению х² = 0, и поэтому всегда имеет только один корень х = О.

2. Уравнение вида ах² + bх = 0 равносильно уравнению х(ах + b) = 0 и всегда имеет два корня: х₁ = 0, х₂ =

Пример:

Решите уравнение 5х² + 4х = 0.

Решение:

Вынесем переменную х за скобки: х(5х + 4) = 0. Следовательно, х = О, или 5х + 4 = 0,отсюда х = -0,8. О т в е т. х₁ = 0, х₂ = -0,8.

3. Квадратное уравнение вида ах² + с = О равносильно уравнению х² = . Если > 0 , то оно имеет два решения: если <0 — ни одного решения.

Пример:

Решите уравнение 4х² -3 = 0.

Решение:

Преобразуем данное уравнение: 4х^₂ = 3, , х — число, квадрат которого равен , то есть квадратный корень из числа . Таких корней два: и . Ответ. . Если знаки коэффициентов а и с разные, то число положительное, и уравнение имеет два корня. Если знаки коэффициентов а и с одинаковы, то число — отрицательное. Следовательно, уравнение ах² + с = 0 не имеет корней.

Хотите знать ещё больше?

Некоторые квадратные уравнения (полные) можно решать приведением их к неполным квадратным уравнениям. Например, по формуле квадрата двучлена, уравнение х² – 2х + 1 = 0 можно представить в виде (х – 1)² = 0 и решить так: (х-1)² равно нулю лишь в том случае, если х – 1 = 0, то есть х = 1.

Таким способом можно решить любое квадратное уравнение, выразив его левую часть в виде квадрата двучлена.

Например, .

Выполним вместе!

Пример:

Решите квадратное уравнение: а) Зх² – 6х = 0; б) 2у² -72 = 0.

Решение:

а) Зх² – 6х = 0; Зх(х – 2) = 0; х₁ = 0; х-2 = 0; х₂ = 2.

б) 2у² -72 = 0; 2(у² 36)-0; у²– 36 – 0; y₁ = 6; y₂ = -6. Ответ. a) x₁ = 0, х₂ = 2; б)у₁=6, у₂ =-6.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

, , , отсюда х₁ = -20, х₂ = 20.

При этих значениях х знаменатель не равен нулю. Следовательно, х₁ = – 20, х₂ = 20 — корни уравнения. О т в е т. х₁ = – 20, х₂ = 20 .

Формула корней квадратного уравнения

Решим уравнение х² + 6х-112=0, которое мы составили по условию задачи.

Решение:

Если к выражению х² + 6х прибавить 9, то получим квадрат двучлена х + 3. Поэтому данное уравнение равносильно уравнению х² + 6х + 9-9-112=0, или (х + 3)² = 121. Следовательно, х + 3 = 11, отсюда х = 8; или х + 3 = -11, отсюда х = -14. Ответ. х₁ = 8, х₂ = -14.

Такой способ решения квадратного уравнения называют способом выделения квадрата двучлена.

Решим этим способом уравнение 5х² – 2х – 3 = 0.

Чтобы первый его член стал квадратом одночлена с целым коэффициентом, умножим обе части данного уравнения на 5: 25х² -10х – 15=0, 25х²-2 ^. 5х + 1 – 1 – 15 = 0, (5х- 1)² = 16.

Следовательно, 5х – 1 = 4, отсюда 5х = 5, х = 1; или 5х – 1 = – 4, отсюда 5х = – 3, х = – 0,6. От в е т. х₁ = 1, х₂ = -0,6.

Решим таким способом уравнение ах² + bх + с = 0.

Умножим обе части уравнения на 4а (помним, что ):

4а²х² + 4ах^.b + 4ас = 0,

(2ах)² + 2 ^. 2ах ^. b + b² – b² + 4ас = 0,

(2ах + b)² = b² – 4ас.

Выражение b² — 4ас называют дискриминантом (от латинскогоdiscriminans — различающий) данного квадратного уравнения и обозначают буквой D.

Если D < 0, то данное уравнение не имеет корней: не существует такого значения х, при котором значение выражения (2ах + b)² было бы отрицательным.

Если D = 0, то 2ах + и = 0, отсюда х = – единственный корень. Если D > 0, то данное квадратное уравнение равносильно уравнению , отсюда

или

В этом случае уравнение имеет два корня, они отличаются только знаками перед . Кратко их записывают так: , где .

Это формула корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0. Пользуясь ею, можно решить любое квадратное уравнение.

Пример:

Решите уравнение: а) Зх² – 5х + 2 = 0; б) х² + 6х + 9 = 0; в) 5х² – х + 1 = 0.

Решение:

a) D = 25 – 24 = 1, D > 0,

;

б) D = 36-36 = 0,

;

в) D =1 – 20 = -19, D < 0. Уравнение корней не имеет.

Ответ. а)х₁ = 1, х₂= ; б) х = -3: в) уравнение корней не имеет. Формулу корней квадратного уравнения применяют при решении многих уравнений, которые-сводятся к квадратным.

Пример:

Решите уравнение: а) 4х⁴ – 9х² +5=0; б) (Зх² – x – 3)(3х² – х + 5) = 9.

Решение:

Такие уравнения удобно решать путём введения вспомогательной переменной.

a) 4x⁴ – 9x² + 5 = 0. Пусть x² — t, тогда x⁴ = t², получим уравнение относительно переменной t: 4x² – 9x²+ 5 = 0, D = (-9)² – 4 ^.4 ^.5 = 81 – 80 = 1, D > 0,

/

Вернёмся к переменной x: l) x² = l, x_l=-l, x₂=l;

2)

Уравнение вида ax⁴ + bx² + c=0 называют биквадратным. б) (Зх² – х – 3)(3х² – х + 5) = 9. Пусть 3х² – х = t, тогда относительно переменной t получим уравнение: (t – 3)(t + 5) = 9, t² + 2t – 15 = 9, t² + 2t – 24 = 0, D= 4^. 4 (-24) = 4 + 96 – 100, D > 0,

.

1)3х²-х=-6,Зх²-х + 6-0, D = (-1)²-4^. 3^. 6=-71, D<0, следовательно, это уравнение корней не имеет. 2 ) Зх² – х = 4, Зх² – х – 4 – О, х₁ = -1, х₂ = . Ответ. а) х₁ = -1, х₂ = 1, х_³ = , х₄ = ; б) x₁ = -1, x₂ = .

Хотите знать ещё больше?

Формулу корней уравнения ах² + bх + с = 0 можно записать и в таком виде:

.

Если второй коэффициент уравнения — чётное число, то есть уравнение имеет вид ах² + 2kx + с = 0, то

.

Если первый коэффициент квадратного уравнения равен 1, то такое уравнение называют приведённым. Приведённое квадрат ное уравнение имеет вид х² + рх + q = 0, Формула его корней:

.

Выведите эти формулы из основной формулы корней квадратного уравнения.

Выполним вместе!

Пример:

Приведите уравнение (х – 4)(2х + 1) = Зх(х – 1) к квадратному и найдите его корни.

Решение:

(х- 4)(2х 4-1) = Зх(х-1). Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: 2х² – 8х + х – 4 = 3х² – 3х,

Зх² – 2х² – 3х + 8х – х + 4 = 0, х² +4х +4 = 0.

Решим полученное уравнение, принимая во внимание, что в его левой части — квадрат двучлена: х² + 2 ^. х ^. 2 + 2² = (х +2)². Следовательно, (х +2)² — 0, отсюда х + 2 = 0, х = -2.

Ответ. х = -2.

Пример:

Решите дробное рациональное уравнение:

Решение:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, х² – 5х + 6 = 0:

D=25-4^.6=1, , х₁ =2, х₂ =3. Данное уравнение эти значения не удовлетворяют, поскольку при х = 2 знаменатель первой дроби равен 0, а при х = 3 знаменатель второй дроби равен 0. Ответ. Уравнение корней не имеет.

Теорема Виета

Квадратное уравнение называют приведённым, если первый его коэффициент равен единице. В таблице — примеры трёх приведённых квадратных уравнений, их корни, а также суммы и произведения корней:

Сравните сумму корней каждого приведённого квадратного уравнения с его вторым коэффициентом, а произведение корней — со свободным членом.

Теорема Виета: Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену.

Доказательство. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет корни х₁ и х₂, то их можно найти по формулам:

где D = р² – 4q — дискриминант уравнения.

Сложим и перемножим эти корни:

Итак, x₁ + х₂ =— р, x₁ ^. х₂ = q, что и требовалось доказать. Примечание. Если р² – 4q = 0, то уравнение х²+ рх + q = 0 имеет один корень .

Формулы (*) в этом случае дают и Поэтому часто считают, что данное уравнение имеет два равных корня. Теорема Виета верна и для этого случая, поскольку

Каждое квадратное уравнение вида равносильно приведённому квадратному уравнению Если такое уравнение имеет корни х₁ и х₂,то

Теорема (обратная теореме Виета). Если сумма m и n произведение чисел тип равны соответственно — р и q, то m и n тип — корни уравнения х² + рх + q =0.

Доказательство. Пусть m + n =-р и m ^. n =q. При данных условиях уравнение х² + рх 4 q = 0 равно сильно уравнению х² – (m + n)х + m n = 0.

Подставим в это уравнение вместо переменной х числа m и n:

m² – (m +n)m + mn = m² – m² – nm + mn= 0,

n² – (m +n)n+ mn = n² – mn – n² +mn = 0.

Итак, m и n — корни данного уравнения, что и требовалось доказать. Из теоремы Виета следует: если р и q – целые числа, то целые решения уравнения х² + рх + q= 0 — это делители числа q. Пользуясь обратной теоремой, можно проверить, является та или другая пара чисел корнями приведённого квадратного уравнения. Это даёт возможность устно решать такие уравнения.

Пример:

Решите уравнение х² + 12х + 11 = 0.

Решение:

Если уравнение имеет целые корни, то их произведение равно 11. Это могут быть числа 1 и 11 либо – 1 и -11. Второй коэффициент уравнения положительный, поэтому корни отрицательные. Ответ. х₁ = -1, х₂ = -11.

Хотите знать ещё?

Теорема Виета верна не толоко для приведённого квадратного уравнения, но и для уравнений высших степеней Например, если уравнение третьей степени х³+4ах² +bх + с = 0 имеет корни х₁, х₂ и х₃, то

x₁+x₂+x₃=-a

x₁x₂+x₁x₃₊x₂x₃=b

x₁x₂x₃ = – c.

Если такое уравнение с целыми коэффициентами имеет целые решения, то они являются делителями свободного члена.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения:

а) х² + х-6 = 0; б)х2 + 2х + 3 = 0.

Решение:

а) D=1 +24 >0. Корни существуют, поэтому x₁ + х₂ = -1; x₁ ^. х₂ = -6;

б) D= 4-12<0. Корней не существует. Ответ. а)х1 + х2 = -1,х1 -х2 = -6; б) корней не существует.

Пример:

При каких значениях m произведение корней уравнения х² + 8х + m – 7 = 0 равно 3?

Решение:

m-7 = 3, m = 10. Ответ. m = 10.

Пример:

Не решая уравнение х² – 4х + 1 = 0, найдите сумму квадратов его корней.

Решение:

D = 16 – 4 > 0. Корни существуют. x₁ + х₂ = 4; х₁ ^.х₂ = 1;

(x₁ + x₂)² = 16; x²₁+2x₁x₂+x²₂ =16;

х¹₂ +2^. 1+x²₂ =16; x²₁ +x²₂ =16-2, х²₁ +х²₂ =14.

Ответ. x²₁+x²₂=14.

Квадратный трёхчлен

Квадратным трёхчленом называют многочлен вида ах² + bх+ с, где х — не ременная, a, b, c — данные числа, причём .

Переменную квадратного трёхчлена можно обозначить любой буквой. Примеры квадратных трёхчленов:

Если квадратный трёхчлен приравнять к нулю, то получим квадратное уравнение. Его корни и дискриминант называют соответственно корнями и дискриминантом данного квадратного трёхчлена. Например, дискриминант и корни квадратного трёхчлена 5х² — 7х – 6 равны соответственно 169, 2 и , поскольку это дискриминант и корни уравне ния 5х² – 7х – 6 = 0.

Из теоремы Виета следует правило разложения квадратных трёхчленов на множители.

Если m и n — корни уравнения x²+ рх + q = 0, то х² + рх + q = (х-m)(х – n).

Поскольку х² + рх + q = х² – (m -n)х 4+mn = х² – mх – nх 4- mn = (y- m )(х – n).

Пример:

Разложите на множители трёхчлен: х²+4х- 21.

Решение:

а) Корни уравнения х²+4х- 21=0 равны 3 и -7. Поэтому

х²+ 4х – 21 =(х- 3)(х +7).

Ответ.(х- 3)(х +7).

Верна и такая теорема.

Если корни квадратного трёхчлена ах² + bх + с равны m и n, то его можно разложить на множители:

ах² +bх + с = а(х — m)(х — n).

Доказательство:

. Следовательно, корни m и n трёхчлена ах²+bx+c также являются корнями уравнения . По теореме Виета,

Поэтому

Например, если нужно разложить на множители трёхчлен Зх²+5х-2, то решаем уравнение Зх²+5х-2-0. Его дискриминант D = 25+24= 49, поэтому

Следовательно,

Ответ можно записать и так;

Зх²+ 5х 2 = (Зх 1 )(х+ 2).

Разложение квадратных трёхчленов на множители применяется при сокращении дробей, приведении их к общему знаменателю и т. д. Например, чтобы сократить дробь сначала следует разложить ее числитель и знаменатель на множители. Поскольку

Каждый квадратный трёхчлен ах² + bх + c можно представить в виде а(х-k)²+ р, где k и р некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена. Как выполнить подобное преобразование, покажем на примере. Чтобы выделить из квадратного трёхчлена 2х² – 12х + 25 квадрат двучлена, сначала вынесем за скобки множитель 2:

Одночлен 6х представим в виде произведения 2 ^. Зх, прибавим к нему 9 и отнимем 9:

В результате имеем: 2х² – 12х + 25 = 2 (х – 3)² + 7.

Выделение квадрата двучлена даёт возможность решать задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения квадратного трёхчлена. Например, чтобы найти, при каком значении х значение выражения 2х² -12х + 25 наименьшее, выделим из него квадрат двучлена:

2х²– 12x+25 =2(х-3)² + 7.

Второе слагаемое полученной суммы — число 7, а первое имеет наименьшее значение, если равно 0, то есть х=3. Следовательно, трёхчлен 2х²– 12x+25 имеет наименьшее значение 7. если х = 3.

Хотите знать ещё больше?

Если квадратный трёхчлен имеет дробные корни, го при разложении его на линейные множители желательно первый коэффициент этого трёхчлена “внести в скобки” Например:

Выполним вместе!

Пример:

Найдите значение функции при х = 2008.

Решение:

Числитель формулы разложим на множители:

Если х = 2008, то у = 2008 – 1 = 2007. О т в е т. у = 2007.

Решение задач составлением квадратных уравнений

С помощью квадратных уравнений можно упростить решение многих задач.

Пример:

Найдите два числа, произведение и среднее арифметическое которых равны соответственно 108 и 10,5.

Решение:

Если среднее арифметическое двух чисел равно 10,5, то их сумма в 2 раза больше, то есть 21. Пусть одно из искомых чисел х, тогда другое равно 21-х.

Имеем уравнение:

х(21 – х) = 108, или х² – 21х + 108 = 0.

Решим это уравнение: D = 21² – 4^. 108 = 9,

Если х = 9, то 21 – х = 12; если х = 12, то 21 – х = 9.

Ответ. 9 и 12.

Пример:

Собственная скорость моторной лодки — 18 км/ч. Расстояние 12 км по течению реки она проходит на 9 мин быстрее, чем против течения. Найдите скорость течения реки.

Решение:

9 мин = 0,15 ч. Если скорость течения реки равна х км/ч, то скорость лодки по течению составляет (18 + х) км/ч, а против течения — (18 – х) км/ч. Расстояние 12 км по течению она проходит за ч, а против течения — за ч. Имеем уравнение:

или

отсюда 4(18 + х) – 4(18 – х) – 0,05(18 – х)(18 + х) = 0,

х² + 160х – 324 = 0, D = 160² + 4^.324 = 26 896.

Задачу удовлетворяет только положительный корень. Ответ. 2 км/ч.

Пример:

На плоскости n точек расположены таким образом, что никакие три из них не лежат на одной прямей. Если любую из этих точек соединить отрезком со всеми другими, то получим 351 отрезок. Найдите число n.

Решение:

Из одной точки выходит n – 1 отрезков, из всех n данных точек — n(n – 1) отрезков. При этом каждый отрезок повторяется дважды, поскольку имеет два конца. Следовательно, всего отрезков

Имеем уравнение:

Решим это уравнение: D = 1 + 4 ^.702 = 2809, отсюда n₁= 27, n₂ = -26. Отрицательный корень задачу не удовлетворяет.

Ответ. n = 27

Хотите знать ещё больше?

В задачах кроме числовых данных иногда бывают и параметры. В этом случае решение желательно дополнить соответствующими исследованиями — указать, какие значения могут принимать параметры. Например, решим такую задачу.

Пример:

Найдите стороны равнобедренного треугольника, если известно, что две его неравные высоты равны а и b.

Решение:

Обозначим стороны треугольника буквами: АС = АВ = х, СВ = у (рис. 62).

Рис. 62

Воспользуемся теоремой Пифагора и формулой для вычисления площади треугольника и составим систему

Вычислим из второго уравнения с, подставим его в первое и получим:

Тогда .

Следовательно,

Исследование. В полученных значениях x и у под знаком корня имеем разность 4а² – b², которая должна быть положительной, что возможно только при b < 2а.

Следовательно, данное решение задачи верно не при любых положительных а и b, а лишь при b < 2а.

Далее. Мы рассмотрели случай, когда на основание y и опущена высота а. Но для этих же значений а и b возможен иной вариант (рис. 63). Имеем:

отсюда

В этом случае а < 2b. Ответ. Если a < 2b < 4а, то задача имеет два решения:

Если , тo задача имеет одно решение

Если , тo задача имеет также одно решение

Выполним вместе!

Пример:

Найдите три последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 509.

Решение:

Пусть искомые числа: х -1, х, х + 1. Тогда имеем уравнение: (х – 1)² + х² + (х + 1)² =509. Решим его.

Раскроем скобки и сведём подобные слагаемые: х² -2х + 1+ х²+ х²+2х+1- 509=0,.

3х²-507=0, отсюда х² =169, х₁= 13, х₂=- 13

= 0, отсюда х2 – 169, х, 13, х . = 13. Следовательно, два других числа: 12, 14 или -12, 14. Ответ. 12, 13, 14 или 12. -13, II.

Следовательно, два других числа: 12,14 или -12, -14.

Ответ. 12,13,14 или -12, 13, 14.

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Квадратные уравнения простейших видов вавилонские математики умели решать ещё 4 тыс. лет тому назад. Со временем их решали также в Китае и Греции. Особое внимание квадратным уравнениям уделил Мухаммед аль-Хо-резми (IX в.). Он показал, как решать (при положительных а и b) уравнения видов х² + ах = b, х² + а = bх, ах + b = х², не используя каких-либо выражений, даже числа записывал словами. Например, уравнение х² + 21 = 10х учил решать так: «Раздели пополам корни, получится пять, и умножь это на равное ему — будет двадцать пять, и отними от этого двадцать один, то останется четыре, добудь из этого корень, будет два, и отними это от половины корней, то есть от пяти, — останется три; это и будет корень, который ты ищешь». Отрицательных корней тогда не вычисляли. Индийские учёные в решении этого вопроса пошли дальше. Они находили также отрицательные корни квадратных уравнений. Например, Бхаскара (1114 -1178), решая уравнение х² – 45х = 250, находит два корня: 50 и 5. И только после этого делает замечание: «Второе значение в данном случае не следует брать, люди ведь не воспринимают отрицательных абстрактных чисел». Алгебраические задачи на составление уравнений индийские учёные записывали в стихотворной форме и рассматривали их как особый вид искусства. Они объясняли: «Как солнце затмевает звёзды своим светом, так и человек учёный способен затмить славу других на народных собраниях, предлагая алгебраические задачи и, тем более, решая их». Формулы корней квадратного уравнения вывел Франсуа Виет (1540—1603). Теорему, впоследствии названную его именем, учёный сформулировал так: «Если (В + В) А -А² равно BD, то А равно В и равно В». Отрицательных корней он не рассматривал. Современные способы решения квадратных уравнений появились благодаря научным трудам Рене Декарта (1596— 1650) и Исаака Ньютона (1643—1727).

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами. Числа, удовлетворяющие уравнению, — его решения (или корни). Решить уравнение означает найти все его решения либо показать, что их не существует. Два уравнения называют равносильными, если каждое из них имеет те же решения, что и другое. Уравнения, не имеющие решений, также считают равносильными друг другу. Квадратным называют уравнения вида ах² + bх + с = 0, где х — переменная, а, b, с — данные числа, причём . Выражение D = b² – 4ас — его дискриминант. Если , то данное уравнение имеет два корня: Если D — 0, то эти корни равны. Если D < 0, то такое квадратное уравнение не имеет действительных корней. Если необходимо, например, решить квадратное уравнение 2х² + 9х – 5 = 0, то находим его дискриминант: D = 9² – 4^.2 ^.(-5) =121. Поэтому корни уравнения:

Квадратное уравнение называют неполным, если хотя бы один его коэффициент, кроме первого, равен нулю. Уравнение: ах² = 0 имеет единственный корень: х = 0;

ax² = 0 имеет единственный корень: х = 0; ах² +bх = 0 имеет два корня: х₁ = 0, х₂=; ах² + с = 0 имеет два корня: , если с : а < 0, и ни одного, если с • а > 0.

Квадратное уравнение называют приведенным, если его первый коэффициент равен единице. Если уравнение х² + рх + q = 0 имеет два корня, то

Теорема Виета Если приведённое квадратное уравнение х² +рх + q = 0 имеет два корня, то их сумма равна р, а произведение — q.

Квадратные уравнения

• Изучив материал этого параграфа, вы научитесь решать уравнения вида
• Ознакомитесь с теоремой Виета для квадратного уравнения.
• Овладеете приемами решения уравнений, сводящихся к квадратным.

Вы умеете решать линейные уравнения, то есть уравнения вида , где — переменная, и — некоторые числа.

Если то уравнение называют уравнением первой степени.

Например, каждое из линейных уравнений

является уравнением первой степени. А вот линейные уравнения не являются уравнениями первой степени.

Числа и называют коэффициентами уравнения первой степени .

То, что множество уравнений первой степени является подмножеством множества линейных уравнений, иллюстрирует схема на рисунке 34.

Вы также умеете решать некоторые уравнения, содержащие переменную во второй степени. Например, готовясь к изучению новой темы, вы решили уравнения (упражнение 589). Каждое из этих уравнений имеет вид

Определение: Квадратным уравнением называют уравнение вида где — переменная, — некоторые числа, причем

Числа и называют коэффициентами квадратного уравнения. Число называют первым или старшим коэффициентом, число — вторым коэффициентом, число — свободным членом.

Например, квадратное уравнение имеет следующие коэффициенты:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Например, — это приведенные квадратные уравнения.

Поскольку в квадратном уравнении старший коэффициент не равен нулю, то неприведенное квадратное уравнение всегда можно преобразовать в приведенное, равносильное данному. Разделив обе части уравнения на число получим приведенное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Существует три вида неполных квадратных уравнений.

1. При имеем:
2. При и имеем:
3. При и имеем:

Решим неполные квадратные уравнения каждого вида.

1. Поскольку то уравнение имеет единственный корень
2. Уравнение представим в виде Это уравнение имеет два корня и один из которых равен нулю, а другой является корнем уравнения первой степени Отсюда и
3. Уравнение представим в виде Поскольку то возможны два случая: или Очевидно, что в первом случае уравнение корней не имеет. Во втором случае уравнение имеет два корня: и

Обобщим полученные результаты:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

При имеем: Отсюда

или Но корень не удовлетворяет условию

При имеем: Отсюда Последнее уравнение не имеет корней.

Ответ: 2.

Формула корней квадратного уравнения

Зная коэффициенты и уравнения первой степени можно найти его корень по формуле

Выведем формулу, позволяющую по коэффициентам и квадратного уравнения находить его корни.

Имеем:

(1)

Поскольку то, умножив обе части этого уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному:

Выделим в левой части этого уравнения квадрат двучлена:

(2)

Существование корней уравнения (2) и их количество зависят от знака значения выражения Это значение называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой то есть Термин «дискриминант» происходит от латинского слова discriminare, что означает «различать», «разделять».

Теперь уравнение (2) можно записать так:

(3)

Возможны три случая:

1. Если то уравнение (3), а следовательно, и уравнение (1) корней не имеет. Действительно, при любом значении выражение принимает только неотрицательные значения.

Вывод: если то квадратное уравнение корней не имеет.

2. Если то уравнение (3) принимает вид

Отсюда

Вывод: если то квадратное уравнение имеет один корень

3. Если то уравнение (3) можно записать в виде

Отсюда или Тогда или

Вывод: если то квадратное уравнение имеет два корня и

Применяют также краткую форму записи:

Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения

Полученную формулу можно применять и в случае, когда Имеем:

При решении квадратных уравнений удобно руководствоваться следующим алгоритмом:

• найти дискриминант квадратного уравнения;
• если то в ответе записать, что корней нет;
• если то воспользоваться формулой корней квадратного уравнения.

Если второй коэффициент квадратного уравнения представить в виде то можно пользоваться другой формулой, которая во многих случаях облегчает вычисления.

Рассмотрим квадратное уравнение Найдем его дискриминант: Обозначим выражение через

Если то по формуле корней квадратного уравнения получаем:

то есть

где

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Для данного уравнения

Дискриминант уравнения

Следовательно,

Ответ:

2) Имеем:

Следовательно, данное уравнение имеет один корень:

Заметим, что данное уравнение можно решить другим способом. Умножив обе части уравнения на —2, получаем:

Отсюда

Ответ: 2.

3)

Уравнение имеет два корня:

Ответ можно записать одним из двух способов:

или

4) Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

5) Представим данное уравнение в виде и применим формулу корней для уравнения вида

Ответ:

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Имеем:

При получаем уравнение которое имеет

корни —8 и 2, однако корень —8 не удовлетворяет условию

При получаем уравнение которое имеет корни —2 и 8, однако корень 8 не удовлетворяет условию

Ответ: —2; 2.

2) Поскольку при то искомые корни должны удовлетворять двум условиям одновременно: и В таком случае говорят, что данное уравнение равносильно системе

Уравнение имеет корни —2 и 12, но корень —2 не удовлетворяет условию

Ответ: 12.

3) Данное уравнение равносильно системе Отсюда

Ответ:

Пример:

При каком значении имеет единственный корень уравнение:

Решение:

1) Данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю. Имеем:

Ответ: или

2) При получаем линейное уравнение имеющее один корень.

При данное уравнение является квадратным. Оно имеет единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

Имеем: отсюда или

Ответ: или или

Несколько поколений учителей математики приобретали педагогический опыт, а их учащиеся углубляли свои знания, пользуясь чудесной книгой «Квадратные уравнения» блестящего украинского педагога и математика Николая Андреевича Чайковского. Н. А. Чайковский оставил значительное научное и педагогическое наследие. Его труды известны далеко за пределами Украины.

Теорема Виета

Готовясь к изучению этого пункта, вы выполнили упражнения 677, 678. Возможно, эти упражнения подсказали вам, каким образом сумма и произведение корней квадратного уравнения связаны с его коэффициентами.

Теорема: (теорема Виета). Если и — корни квадратного уравнения то

Доказательство: Условием теоремы предусмотрено, что данное квадратное уравнение имеет корни. Поэтому его дискриминант не может быть отрицательным.

Пусть Применив формулу корней квадратного уравнения, запишем:

Имеем:

Пусть В этом случае считают, что Имеем:

Следствие. Если и — корни приведенного квадратного уравнения то

Иными словами, сумма корней приведенного квадратного уривнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Теорема: (обратная теореме Виета). Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Доказательство: Рассмотрим квадратное уравнение Преобразуем его в приведенное:

Французский математик, по профессии юрист. В 1591 г. ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений, благодаря чему стало возможным выражать свойства уравнений и их корни общими формулами. Среди своих открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Согласно условию теоремы это уравнение можно записать так: (*)

Подставим в левую часть этого уравнения вместо сначала число а затем число Получим:

Таким образом, числа и являются корнями уравнения (*), а следовательно, и корнями квадратного уравнения

Следствие. Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения

Это следствие позволяет решать некоторые квадратные уравнения устно, не используя формулу корней квадратного уравнения.

Пример:

Найдите сумму и произведение корней уравнения

Решение:

Выясним, имеет ли данное уравнение корни. Имеем: Следовательно, уравнение имеет два корня и

Тогда по теореме Виета

Пример:

Найдите коэффициенты и уравнения если его корнями являются числа —7 и 4.

Решение:

По теореме Виета

Пример:

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого равны: 1) 4 и ; 2) и .

Решение:

1) Пусть и

Тогда По теореме, обратной теореме Виета, числа и являются корнями уравнения Умножив обе части этого уравнения на 7, получаем квадратное уравнение с целыми коэффициентами:

2) Пусть и

Тогда

Следовательно, и являются корнями уравнения Отсюда искомым является уравнение

Пример:

Известно, что и — корни уравнения

Не решая уравнения, найдите значение выражения

Решение:

По теореме Виета

Тогда имеем:

Ответ:

Пример:

Число 4 является корнем уравнения Найдите второй корень уравнения и значение

Решение:

Пусть и — корни данного уравнения, причем По теореме Виета Тогда Имеем:

Ответ:

Пример:

Составьте квадратное уравнение, корни которого на 4 больше соответствующих корней уравнения

Решение:

Пусть и — корни данного уравнения, и — корни искомого уравнения.

По условию

По теореме Виета

Тогда имеем:

Следовательно, по теореме, обратной теореме Виета, искомым является уравнение

Ответ:

Квадратный трехчлен

Определение: Квадратным трехчленом называют многочлен вида где — переменная, и — некоторые числа, причем

Приведем примеры многочленов, являющихся квадратными трехчленами:

Заметим, что левая часть квадратного уравнения является квадратным трехчленом.

Определение: Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю.

Например, число 2 является корнем квадратного трехчлена

Чтобы найти корни квадратного трехчлена надо решить соответствующее квадратное уравнение

Значение выражения называют дискриминантом квадратного трехчлена

Если то квадратный трехчлен корней не имеет. Если то квадратный трехчлен имеет один корень, если — то два корня.

Рассмотрим квадратный трехчлен Разложим его на множители методом группировки (подобное упражнение, 724, вы выполняли при подготовке к изучению этого пункта).

Имеем:

О таком тождественном преобразовании говорят, что квадратный трехчлен разложили на линейные множители и

Связь между корнями квадратного трехчлена и линейными множителями, на которые он раскладывается, устанавливает следующая теорема.

Теорема: Если дискриминант квадратного трехчлена положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители:

где и — корни квадратного трехчлена.

Доказательство: Поскольку числа и являются корнями квадратного уравнения то по теореме Виета

Тогда

Замечание. Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то считают, что квадратный трехчлен имеет два равных корня, то есть В этом случае разложение квадратного трехчлена на линейные множители имеет следующий вид:

Теорема:. Если дискриминант квадратного трехчлена отрицательный, то данный трехчлен нельзя разложить на линейные множители.

Доказательство: Предположим, что квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители. Тогда существуют такие числа и при которых выполняется равенство Отсюда получаем, что тип — корни данного квадратного трехчлена. Следовательно, его дискриминант неотрицательный, что противоречит условию.

Пример:

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Найдем корни данного трехчлена:

Следовательно,

2) Решим уравнение Имеем:

Следовательно,

3) Решим уравнение Имеем:

Тогда

Пример:

Сократите дробь

Решение:

Разложим на множители квадратный трехчлен, являющийся числителем данной дроби. Решив уравнение получаем:

Теперь можно записать:

Тогда получаем:

Ответ:

Пример:

При каком значении разложение на множители трехчлена содержит множитель

Решение:

Поскольку разложение данного трехчлена на множители должно содержать множитель то один из корней этого трехчлена равен —5. Тогда имеем:

Ответ:

Решение уравнений, приводимых к квадратным уравнениям

Пример:

Решите уравнение

Решение.

Пусть Тогда Подставив в исходное уравнение вместо и соответственно и , получим квадратное уравнение с переменной

Решая это уравнение, находим:

Поскольку то решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений:

Отсюда

Ответ можно записать двумя способами: или

Определение: Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют биквадратным уравнением.

Заменой биквадратное уравнение сводится к квадратному уравнению Такой способ решения уравнений называют методом замены переменной.

Метод замены переменной можно использовать не только при решении биквадратных уравнений.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену Тогда исходное уравнение сводится к квадратному уравнению

Отсюда

Теперь надо решить следующие два уравнения:

и Первое из них корней не имеет. Из второго уравнения получаем:

или

Отсюда

Ответ: 0; 1.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Получаем:

Отсюда

Получаем два уравнения:

Поскольку то эти уравнения корней не имеют, а следовательно, и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: —3.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Отсюда

Ответ: 7.

Решение уравнений методом замены переменной

В п. 22 вы ознакомились с решением уравнений методом замены переменной. Рассмотрим еще несколько примеров, иллюстрирующих эффективность этого метода.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда Получаем уравнение Это уравнение равносильно системе

Отсюда

Теперь решение исходного уравнения сводится к решению двух уравнений

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ: —3; —1; 2; 6.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Преобразуем это уравнение:

Пусть Тогда

Отсюда

Следовательно, или

Решив эти два квадратных уравнения, получаем ответ.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

С помощью проверки легко убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Тогда, разделив обе части данного уравнения на перейдем к равносильному уравнению:

Отсюда

Произведем замену: Тогда Получаем уравнение откуда

С учетом замены получаем два уравнения:

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Пусть Тогда

Отсюда

Такая замена позволяет переписать исходное уравнение следующим образом:

Отсюда

Следовательно, или

Решите эти уравнения самостоятельно.

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

С помощью проверки можно убедиться, что число 0 не является корнем данного уравнения. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на Получим уравнение, равносильное исходному:

Замена приводит к квадратному уравнению

Завершите решение самостоятельно.

Ответ:

Может возникнуть вопрос: почему при решении примеров 1—5 мы не пытались упростить уравнения с помощью тождественных преобразований?

Дело в том, что после тождественных преобразований нам пришлось бы решать уравнение вида (вы можете убедиться в этом самостоятельно). При такое уравнение называют уравнением четвертой степени, при и — уравнением третьей степени. Частным случаем этого уравнения, когда и является биквадратное уравнение. Его вы решать умеете.

В общем случае для решения уравнений третьей и четвертой степеней необходимо знать формулы нахождения их корней. С историей открытия этих формул вы можете ознакомиться в следующем рассказе.

Секретное оружие Сципиона дель Ферро

Вы легко решите каждое из следующих уравнений третьей степени:

Все они являются частными случаями уравнения вида

где — переменная, и — некоторые числа, причем Вывести формулу его корней — задача сложная. Недаром появление этой формулы считают выдающимся математическим открытием XVI века.

Первым изобрел способ решения уравнения вида где и — положительные числа, итальянский математик Сципион дель Ферро (1465-1526). Найденную формулу он хранил в секрете. Это было обусловлено тем, что карьера ученого того времени во многом зависела от его выступлений в публичных математических турнирах. Поэтому было выгодно хранить открытия в тайне, рассчитывая использовать их в математических соревнованиях как секретное оружие.

После смерти дель Ферро его ученик Фиоре, владея секретной формулой, вызвал на математический поединок талантливого математика-самоучку Никколо Тарталья. За несколько дней до турнира Тарталья сам вывел формулу корней уравнения третьей степени. Диспут, на котором Тарталья одержал убедительную победу, состоялся 20 февраля 1535 года.

Впервые секретная формула была опубликована в книге известного итальянского ученого Джероламо Кардан о «Великое искусство». В этой работе также описан метод решения уравнения четвертой степени, открытый Людовико Феррари (1522—1565).

В XVTI-XVIII вв. усилия многих ведущих математиков были сосредоточены на поиске формулы для решения уравнений пятой степени. Получению результата способствовали работы итальянского математика Паоло Руффини (1765-1822) и норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Сам результат оказался абсолютно неожиданным: было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения пятой и более высоких степеней через коэффициенты уравнения, используя лишь четыре арифметических действия и действие извлечения корня.

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

В п. 7 вы уже ознакомились с задачами, в которых рациональные уравнения служили математическими моделями реальных ситуаций. Теперь, когда вы научились решать квадратные уравнения, можно существенно расширить круг рассматриваемых задач.

Пример:

Из пункта выехал велосипедист, а через 45 мин после этого в том же направлении выехал грузовик, догнавший велосипедиста на расстоянии 15 км от пункта . Найдите скорость велосипедиста и скорость грузовика, если скорость грузовика на 18 км/ч больше скорости велосипедиста.

Решение:

Пусть скорость велосипедиста равна км/ч, тогда скорость грузовика составляет км/ч. Велосипедист проезжает 15 км за ч, а грузовик — за ч. Разность показывает, на сколько часов грузовик проезжает 15 км быстрее, чем велосипедист. Поскольку грузовик проехал 15 км на 45 мин,

то есть на ч, быстрее, чем велосипедист, то получаем уравнение

Решим это уравнение:

Решив квадратное уравнение системы, получим или

Корень —30 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость грузовика составляет: 12 + 18 = 30 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч, 30 км/ч.

Пример:

Одна бригада работала на ремонте дороги 7 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 2 ч их совместной работы ремонт был завершен. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно, если первой для этого требуется на 4 ч больше, чем второй?

Решение:

Пусть первая бригада может самостоятельно отремонтировать дорогу за ч, тогда второй для этого нужно ч. За 1 ч первая бригада ремонтирует часть дороги, а вторая часть дороги. Первая бригада работала 9 ч и отремонтировала дороги, а вторая бригада работала 2 ч и отремонтировала соответственно дороги. Поскольку в результате была отремонтирована вся дорога, то можно составить уравнение

Полученное уравнение имеет два корня: и (убедитесь в этом самостоятельно). Второй корень не удовлетворяет условию задачи, поскольку тогда вторая бригада могла бы отремонтировать дорогу за 3 — 4 = —1 (ч), что не имеет смысла.

Следовательно, первая бригада может отремонтировать дорогу за 12 ч, а вторая — за 8 ч.

Ответ: 12 ч, 8 ч.

Пример:

Водный раствор соли содержал 120 г воды. После того как в раствор добавили 10 г соли, его концентрация увеличилась на 5 %. Сколько граммов соли содержал раствор первоначально?

Решение:

Пусть исходный раствор содержал г соли. Тогда его масса была равна г, а концентрация соли составляла

После того как к раствору добавили 10 г соли, ее масса

в растворе составила г, а масса раствора г. Теперь концентрация соли составляет что на 5 %, то есть на больше, чем Отсюда можно записать:

Полученное уравнение имеет два корня: и (убедитесь в этом самостоятельно), из которых второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, раствор содержал первоначально 30 г соли.

Ответ: 30 г.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 3

Уравнение первой степени

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют уравнением первой степени.

Квадратное уравнение

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют квадратным уравнением.

Приведенное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным.

Неполное квадратное уравнение

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Решение неполного квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения

Для уравнения вида где его дискриминант — это значение выражения

Решение квадратного уравнения

Если то квадратное уравнение корней не имеет.

Если то квадратное уравнение имеет один корень

Если то квадратное уравнение имеет два корня и :

Теорема Виета:

Если и — корни квадратного уравнения

то

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа и таковы, что и то эти числа являются корнями квадратного уравнения

Квадратный трехчлен

Многочлен вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют квадратным трехчленом.

Разложение квадратного трехчлена на множители

Если дискриминант квадратного трехчлена положительный, то данный трехчлен можно разложить на линейные множители: — корни квадратного трехчлена.

Биквадратное уравнение

Уравнение вида где — переменная, и — некоторые числа, причем называют биквадратным уравнением.

—–

Квадратные уравнения

В этом разделе вы научитесь:

• решать квадратные уравнения различными способами;
• применять квадратные уравнения для решения задач;
• по каким формулам находят площади треугольников и четырёхугольников;
• применять формулы площадей при решении задач;
• находить площадь сложных фигур, разделяя их на простые геометрические фигуры.

Квадратные уравнения широко применяются в строительстве, финансах и дизайне.

На практике также, широко применяются формулы для вычисления площадей.

Это интересно!

Великий учёный Востока аль – Хорезми в своём труде «Китаб мухтасаб ал-джабр и ва-л-мукабала», что в переводе означает «Книга о восполнении и противопоставлении» показал различные способы решения квадратных уравнений. Одним из них является метод подбора. Хорезми выбирал число и подставлял его в уравнение вместо неизвестного. После чего, становилось понятно, является ли данное число корнем уравнения.

Например,

Квадратные уравнения

Уравнение вида при называется квадратным уравнением. Здесь – постоянные, – неизвестная. – первый коэффициент, – второй коэффициент, – свободный член.

Например, в уравнении

Если квадратное уравнение с обеих сторон разделить на , то получим уравнение Здесь, обозначив можно записать

Уравнение вида называется приведённым квадратным уравнением. Например, разделив уравнение на 2, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Уравнения, являются неполными квадратными уравнениями.

1) Решение уравнений вида Разделив обе части уравнения на число получим уравнение Его корнями является

Пример 1. Разделим обе части уравнения

2) Решение уравнений вида Для решения таких уравнений применяют вынесение общего множителя за скобку: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, т.е. или Отсюда следует, что уравнение имеет два корня, один из которых всегда равен

Пример 2. Для решения уравнении надо левую часть уравнения разложить на множители:

3) Решение уравнений вида

Запишем уравнение в виде

Если имеют одинаковые знаки, то действительных корней нет (почему?). Если имеют разные знаки, то уравнение имеет два корня

Пример 3. Решим уравнение

Решение квадратного уравнения методом разложения на множители

Решение уравнения методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения на множители надо найти два числа тип (если это возможно), чтобы их произведение было равно а сумма . Если являются целыми числами, то и – также целые числа. В этом случае, если то заданной уравнение можно записать в виде :

Пример 1. В уравнении Так как и положительные числа, то надо найти два положительных числа, чтобы их произведение было равно 8, а сумма – равна 6. Это числа 2 и 4. Зная, что то уравнение можно записать в виде Отсюда находим

Пример 2. Так как в уравнении отрицательное число, а положительное, то надо найти два отрицательных числа, чтобы их произведение было равно 18, а сумма была равна -9. Зная, что то уравнение можно записать так Отсюда находим

Пример 3.

Корни уравнения

Пример 4.

Корни уравнения

Решение уравнения вида методом разложения на множители

Для разложения левой части уравнения на множители, надо найти два числа, чтобы их произведение было равно а сумма Тогда за-данное уравнение можно решить записав его в виде

Пример 1. Запишем уравнение в виде

Числа и такие , что

Тогда

Пример 2. Решим уравнение В нём тогда а значит оба числа и отрицательные. Найдём два целых отрицательных, числа, произведение которых равно 40, а сумма равна -13. Это числа -5 и -8.

Пример 3. В трёхчлене Составим список целых отрицательных множителей числа 16. Как видно целых чисел, которые удовлетворяют условию не существует. Это говорит о том, что данный трёхчлен невозможно разложить на множители.

Метод выделения полного квадрата

Для выделения полного квадрата из двухчленах его надо дополнить членом

Это правило одинаково как для положительных, так и для отрицательных Пример 1. Запишем уравнение в виде С обеих сторон дополним данное уравнение

Пример 2. Для решения уравнения методом выделения полного квадрата, сначала запишем его в виде Для того, чтобы выражение слева соответствовало модели площади квадрата, не хватает всего одной единичной алгебраической карты. Значит, с каждой стороны следует добавить 1. Тогда выражение слева можно представить в виде квадрата двухчлена так

Решение квадратного уравнения графическим методом

Графический метод

Запишем уравнение в виде Тогда решением уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой При этом прямая может пересекаться с параболой (тогда уравнение имеет два различных корня), может касаться параболы (в этом случае уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного) или может вообще не иметь общих точек с параболой (тогда уравнение не имеет действительных-корней).

Пример:

Графики пересекаются в двух точках. Абсциссы точек пересечения равны — 3 и 1. При проверке убеждаемся, что обе точки являются корнями уравнения.

Пример:

Для построения прямой составим таблицу

Абсцисса точки касания прямой и параболы равна 1. Уравнение удовлетворяется при единственном значении неизвестного:

Пример:

Графики не имеют точек пересечения. Это говорит о том, что данное уравнение не имеет действительных корней.

Обе части квадратного уравнения можно преобразовать в приведённое квадратное уравнение, разделив его на которое затем удобно решить по способу, представленному выше. Обычно графическим способом находятся приближенные значения корней.

Калькулятор для построения графиков

Используя онлайн калькуляторы для построения графиков можно построить различные графики. На рисунке представлены графики функций построенные при помощи графического калькулятора www.meta-calculator.com/online.

Решить квадратное уравнение также можно при помощи графического калькулятора, построив в одной системе координат параболу и прямую

На рисунке корни уравнение записанного в виде найдены графически при помощи графического калькулятора www.my.hrw.com/malh06_07/nsmedia/tools/Graph_Calcula-tor/graphCa lc.html

Формула для нахождения корней квадратного уравнения

Мы уже научились находить корни квадратного уравнения методом разложения на множители и методом выделения полного квадрата. Для нахождения корней любого квадратного уравнения методом выделения полного квадрата можно записать обобщённую формулу.

При эта формула является формулой корней квадратного уравнения

Если в формуле для нахождения корней квадратного уравнения принять то ее можно записать как

Наличие корней квадратного уравнения зависит от знака называется дискриминантом (определителем) квадратного уравнения.

1) Если то уравнение не имеет действительных корней.

2) Если то уравнение имеет два равных корня.

3) Если то уравнение имеет два различных корня:

Пример:

В уравнении Тогда а это значит, что уравнение имеет два различных действительных корня.

В уравнении дискриминант находится по формуле для приведённого квадратного уравнения При для корней приведённого квадратного уравнения, верны следующие формулы

Если второй коэффициент квадратного уравнения является четным числом (т.е. ), то уравнение можно записать в виде Тогда Обозначим тогда

Пример:

Решим уравнение

Теорема Виета

Решим приведённое квадратное уравнение: По формуле нахождения корней приведённого квадратного уравнения имеем т.е.

Внимание! Если сложить найденные корни, то получим число противоположное коэффициенту при На самом деле, из уравнения с другой стороны Если умножить полученные корни, получим число равное свободному члену уравнения: 3 • 4 = 12. Это свойство верно для любого приведённого квадратного уравнения.

Теорема: В приведённом квадратном уравнении сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение, равно свободному члену

Доказательство: Известно, что корни приведённого квадратного уравнения Отсюда получим:

Таким образом, для уравнения Если обе части любого квадратного уравнения разделить на , то получим равносильное приведённое квадратное уравнение Тогда к нему можно будет применить теорему Виета. Сумма корней равна а произведение равно Теорема Виета остаётся в силе, если (когда квадратное уравнение имеет два равных корня).

Найдём корни квадратного уравнения методом подбора. По теореме Виета

Таким образом корнями уравнения являются числа 4 и 5.

Теорема, обратная теореме Виета

Обратная теорема. Если сумма чисел равна а произведение равно то эти числа являются корнями уравнения

Эту теорему можно записать так: любые числа являются корнями уравнения

Доказательство. На самом деле, если принять, что то получим: т.е. число действительно удовлетворяет уравнению. Таким же образом можно показать, что число также является корнем уравнения.

Пример:

Составим квадратное уравнение, если известно, что числа и являются его корнями. Так как то уравнение будет выглядеть как

Решение задач при помощи квадратных уравнений

Задача. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого и на 2 см меньше гипотенузы. Найдите периметр треугольника.

1 этап – составление уравнения

Обозначим длину одного из катетов через тогда длина другого катета будет а гипотенуза будет равна

2 этап – решение уравнения. Согласно теореме Пифагора получим уравнение

3 этап – решение уравнения. Преобразуем уравнение Отсюда

4 этап – анализ результата.

Решению задачи соответствует корень т.к. длины сторон выражаются положительными числами. Тогда длина другого катета будет а длина гипотенузы Периметр: Ответ: периметр треугольника равен 24 см.

• Заказать решение задач по высшей математике

Квадратные уравнения

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения

В математике, физике, экономике, практической деятельности человека встречаются задачи, математическими моделями которых являются уравнения, содержащие переменную во второй степени.

Пример №256

Длина земельного участка на 15 м больше ширины, а площадь равна Найдите ширину участка.

Решение:

Пусть м- ширина участка, тогда ее длина – м. По условию задачи площадь участка равна Тогда Получаем уравнение:

Такое уравнение называют квадратным.

Квадратным уравнением называют уравнение вида где —переменная, — некоторые числа, причем

Например, уравнения также являются квадратными.

Числа называют коэффициентами квадратного уравнения, число – первым коэффициентом, число – вторым коэффициентом, число – свободным членом.

В уравнении коэффициенты следующие: В уравнении следующие: а в уравнении следующие:

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называют приведенным. Уравнение – приведенное, а уравнение – не является приведенным.

Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Например, неполным квадратным уравнением, в котором является уравнение в котором -уравнение в котором – уравнение

Таким образом, неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

Рассмотрим решение каждого из них.

1.Уравнение вида

Так как имеем уравнение корнем которого является число 0.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень:

2.Уравнение вида

Имеем то есть Так как Если то уравнение имеет два корня:

Если то уравнение корней не имеет.

Пример №257

Решите уравнение:

Решение:

Ответ. 2) корней нет.

3. Уравнение вида

Разложим левую часть уравнения на множители и решим полученное уравнение где

Значит, уравнение имеет два корня:

Пример №258

Решите уравнение

Решение:

Имеем:

Таким образом,

Ответ.

Систематизируем данные о решениях неполного квадратного уравнения в виде схемы:

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим полное квадратное уравнение где и найдем его решения в общем виде.

Умножим левую и правую части уравнения на (так как

Далее прибавим к обеим частям уравнения

Так как получим:

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения

Слово дискриминант происходит от латинского различающий. Дискриминант обозначают буквой

Учитывая, что запишем уравнение в виде:

и продолжим его решать.

Рассмотрим все возможные случаи в зависимости от значения

(при делении на учли, что

Следовательно, если то уравнение имеет два различных корня:

Коротко это можно записать так:

Получили формулу корней квадратного уравнения.

2) Тогда имеем уравнение

откуда

Таким образом, если то уравнение имеет один корень: Этот корень можно было бы найти и по формуле корней квадратного уравнения, учитывая, что Поэтому можно считать, что уравнение при имеет два одинаковых корня, каждый из которых равен

3) В этом случае уравнение не имеет корней, так как не существует такого значения при котором значение выражения было бы отрицательным.

Систематизируем данные о решениях квадратного уравнения с помощью схемы:

Пример №259

Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

Пример №260

Решите уравнение

Решение:

Умножим левую и правую части уравнения на чтобы его коэффициенты стали целыми числами, получим уравнение:

тогда

Так как то

Ответ.

Неполные квадратные уравнения и некоторые виды полных квадратных уравнений (например, вида вавилонские математики умели решать еще 4 тыс. лет назад. В более поздние времена некоторые квадратные уравнения в Древней Греции и Индии математики решали геометрически. Приемы решения некоторых квадратных уравнений без применения геометрии изложил древнегреческий математик Диофант (III в.).

Много внимания квадратным уравнениям уделял арабский математик Мухаммед ал-Хорезми (IX в.). Он нашел, как решить уравнения вида (для положительных и получить их положительные корни.

Формулы, связывающие между собой корни квадратного уравнения и его коэффициенты, были найдены французским математиком Франсуа Виетом в 1591 году. Он пришел к следующему выводу (в современных обозначениях): «Корнями уравнения являются числа

После публикации трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также француза Р. Декарта (1596-1650) и англичанина И. Ньютона (1643-1727) формула корней квадратного уравнения приобрела современный вид.

Теорема Виета

Рассмотрим несколько приведенных квадратных уравнений, имеющих два различных корня. Внесем в таблицу следующие данные о них: само уравнение, его корни сумму его корней произведение его корней

Обратим внимание, что сумма корней каждого из уравнений таблицы равна второму коэффициенту уравнения, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Это свойство выполняется для любого приведенного квадратного уравнения, имеющего корни.

Приведенное квадратное уравнение в общем виде обычно записывают так:

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Доказательство: Пусть – корни приведенного квадратного уравнения дискриминант которого Если то уравнение имеет два корня:

Если то уравнение имеет два одинаковых корня:

Найдем сумму и произведение корней:

Следовательно, Теорема доказана.

Эту теорему называют теоремой Виета – в честь выдающегося французского математика Франсуа Виета, который открыл это свойство. Его можно сформулировать следующим образом:

Если и — корни приведенного квадратного уравнения

Два последних равенства, показывающих связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, называют формулами Виста.

Используя теорему Виета, можно записать соответствующие формулы и для корней любого неприведенного квадратного уравнения

Так как разделим обе части уравнения на Получим приведенное квадратное уравнение:

Тогда по теореме Виета:

Если — корни неприведенного квадратного уравнения то

Пример №261

Не решая уравнения найдите сумму и произведение его корней.

Решение:

Найдем дискриминант уравнения, чтобы убедиться, что корни существуют: Очевидно, что следовательно, уравнение имеет два корня

По теореме Виета:

Ответ.

Если в уравнении коэффициент является целым числом, то из равенства следует, что целыми корнями этого уравнения могут быть только делители числа

Пример №262

Найдите подбором корни уравнения

Решение:

Пусть – корни данного уравнения. Тогда Если – целые числа, то они являются делителями числа -4. Ищем среди этих делителей два таких, сумма которых равна -3. Нетрудно догадаться, что это числа 1 и -4. Таким образом,

Ответ. 1; -4.

Пример №263

Один из корней уравнения равен 3. Найдите коэффициент и второй корень уравнения.

Решение:

Пусть – один из корней уравнения – второй его корень. По теореме Виета: Учитывая, что имеем:

Ответ.

Пример №264

Пусть – корни уравнения Не решая уравнения, найдите значение выражения:

Решение:

По теореме Виета:

Тогда: 1)

Ответ.

Справедливо и утверждение, обратное теореме Виета.

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа и таковы, что то эти числа являются корнями уравнения

Доказательство: По условию Поэтому уравнение можно записать так:

Проверим, является ли число корнем этого уравнения, для чего подставим в левую часть уравнения вместо переменной число Получим:

Следовательно, – корень этого уравнения.

Аналогично подставим в левую часть уравнения вместо переменной число Получим:

то есть – также корень этого уравнения.

Таким образом, корни уравнения что и требовалось доказать.

Пример №265

Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа -5 и 2.

Решение:

Искомое квадратное уравнение имеет вид По теореме, обратной теореме Виета:

Таким образом, – искомое уравнение.

Ответ,

Квадратное уравнение как математическая модель текстовых и прикладных задач

В 7 классе мы уже знакомились с задачами, которые можно решить с помощью линейных уравнений или систем линейных уравнений. Для решения прикладной задачи сначала создают ее математическую модель, то есть записывают зависимость между известными и неизвестными величинами с помощью математических понятий, отношений, формул, уравнений и т. п. Математической моделью многих задач в математике, физике, технике, практической деятельности человека может быть не только линейное уравнение или система линейных уравнений, но и квадратное уравнение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №266

Разность кубов двух натуральных чисел равна 279. Найдите эти числа, если одно из них на 3 больше другого.

Решение:

Пусть меньшее из этих чисел равно тогда большее равно По условию задачи имеем уравнение:

Упростим левую часть уравнения.

Получим: откуда По условию задачи Поэтому условию удовлетворяет только число 4. Следовательно, первое искомое число 4, а второе

Ответ. 4; 7.

Пример №267

В кинотеатре количество мест в ряду на 6 больше количества рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если мест в нем 432?

Решение:

Пусть в кинотеатре рядов, тогда мест в каждом ряду Всего мест в зале

Имеем уравнение:

Перепишем уравнение в виде откуда

По смыслу задачи значение должно быть положительным. Этому условию удовлетворяет только Следовательно, в кинотеатре 18 рядов.

Ответ. 18 рядов.

Пример №268

У выпуклого многоугольника 54 диагонали. Найдите, сколько у него вершин.

Решение:

Пусть у многоугольника вершин. Из каждой его вершины выходит диагонали. Тогда из всех его вершин выходит диагонали. Но при этом каждую из его диагоналей посчитали дважды. Следовательно, всего диагоналей будет

Получим уравнение: то есть откуда Отрицательный корень уравнения не может быть решением задачи.

Ответ. 12.

Пример №269

Тело подбросили вертикально вверх со скоростью Высота (в м), на которой через с будет тело, вычисляется по формуле В какой момент времени тело окажется на высоте 15 м?

Решение:

По условию: , следовательно, после упрощения имеем уравнение: решив которое, найдем корни:

Оба корня являются решением задачи, так как на высоте 15 м тело окажется дважды: сначала при движении вверх (это произойдет через 1 с), а во второй раз – при падении (это произойдет через 3 с).

Ответ. 1 с, 3 с.

Пример №270

В 9 часов утра из базового лагеря в восточном направлении отправилась группа туристов со скоростью Через час из того же лагеря со скоростью отправилась другая группа туристов, но в северном направлении. В котором часу расстояние между группами туристов будет 17 км?

Решение:

За первый час первая группа туристов преодолеет 5 км: (рис. 19). Дальше будут двигаться обе группы.

Пусть расстояние в 17 км между группами будет через часов после начала движения второй группы. Тогда за это время первая группа преодолеет км, а вторая – км, Всего первая группа преодолеет расстояние

Из по теореме Пифагора тогда имеем уравнение: откуда

Учитывая, что получим

Следовательно, расстояние 17 км между группами туристов будет в 12 часов.

Ответ. В 12 часов.

В результате хозяйственной деятельности человека возникли прикладные задачи, решением которых люди занимаются уже на протяжении нескольких тысячелетий. Самые древние из известных нам письменных памятников, содержащих правила нахождения площадей и объемов, были составлены в Египте и Вавилоне приблизительно 4 тыс. лет назад. Около 2,5 тыс. лет назад греки переняли геометрические знания египтян и вавилонян и стали развивать теоретическую (чистую) математику.

Также в древние времена математики использовали математические модели, в частности и для геометрических построений (метод подобия фигур).

Современное понятие математической модели в качестве описания некоторого реального процесса языком математики стали использовать в середине XX в. в связи с развитием кибернетики – науки об общих законах получения, хранения, передачи и обработки информации. А раздел современной математики, изучающий математическое моделирование реальных процессов, даже выделили в отдельную науку – прикладную математику.

Существенный вклад в развитие прикладной математики был сделан нашими выдающимися земляками – математиками М.П. Кравчуком и М.В. Остроградским.

Развитие кибернетики связывают с именем академика Виктора Михайловича Глушкова – выдающегося математика, доктора физико-математических наук, профессора. В 1953 г. он возглавил лабораторию вычислительной техники Института математики, стал ее мозговым и энергетическим центром. На базе этой лаборатории в 1957 г. был создан Вычислительный центр, а в 1962 г. -Институт кибернетики который и возглавил В.М. Глушков. Лаборатория известна тем, что в 1951 г. в ней создали первую в Евразии Малую электронную счетную машину, а уже в Вычислительном центре завершили работу по созданию первой большой электронно-вычислительной машины. Сегодня Институт кибернетики носит имя В.М. Глушкова и является, в частности, разработчиком прикладных информационных технологий для решения неотложных практических задач, возникающих при моделировании экономических процессов, проектировании объектов теплоэнергетики, решении проблем экологии и защиты окружающей среды.

Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Выражения являются многочленами второй степени с одной переменной стандартного вида. Такие многочлены называют квадратными трехчленами.

Квадратным трехчленом называют многочлен вида переменная, – числа, причем

Например, выражение является квадратным трехчленом, у которого

Пример №271

Рассмотрим квадратный трехчлен Если то его значение равно нулю. Действительно, В таком случае число -1 называют корнем этого квадратного трехчлена.

Корнем квадратного трехчлена называют значение переменной, при котором значение трехчлена обращается в нуль.

Чтобы найти корни квадратного трехчлена нужно решить уравнение

Пример №272

Найдите корни квадратного трехчлена

Решение:

Решим уравнение Получим: Следовательно, корни квадратного трехчлена

Ответ.

Квадратный трехчлен, как и квадратное уравнение, может иметь два различных корня, один корень (то есть два равных корня) или не иметь корней. Это зависит от знака дискриминанта квадратного уравнения который также называют и дискриминантом квадратного трехчлена

Если то квадратный трехчлен имеет два различных корня, если то квадратный трехчлен имеет один корень (то есть два равных корня), если то квадратный трехчлен не имеет корней.

Если корни квадратного трехчлена известны, то его можно разложить на линейные множители, то есть на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители). Если корни квадратного трехчлена то справедливо равенство

Доказательство: Если – корни квадратного уравнения (по теореме Виета).

Для доказательства теоремы раскроем скобки в правой части равенства:

Таким образом, что и требовалость доказать.

Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то на линейные множители его разложить нельзя.

Пример №273

Разложите на множители квадратный трехчлен:

Решение:

1) Корни трехчлена – числа -1 и 2,5. Поэтому Это можно записать иначе, умножив первый в разложении множитель -2 на двучлен Получим:

2) Квадратное уравнение не имеет корней. Поэтому квадратный трехчлен на множители не разлагается.

3) Квадратное уравнение имеет два одинаковых корня Поэтому

Нетрудно заметить, что если квадратный трехчлен имеет два равных корня, то он представляет собой квадрат двучлена или произведение некоторого числа на квадрат двучлена.

Пример №274

Сократите дробь

Решение:

Числа 1 и -0,5 – корни квадратного трехчлена Поэтому Имеем:

Ответ.

При решении некоторых задач, связанных с квадратным трехчленом бывает удобно представить его в виде – некоторые числа. Такое преобразование называют выделением квадрата двучлена из квадратного трехчлена.

Пример №275

Выделите из трехчлена квадрат двучлена.

Решение:

Вынесем за скобки множитель 2:

Воспользовавшись формулой квадрата суммы двух чисел преобразуем выражение в скобках, считая, что Тогда откуда определяем, что число 4 является вторым слагаемым квадрата суммы, то есть поэтому добавим и вычтем

Ответ.

Пример №276

Дан квадратный трехчлен При каком значении он принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Решение:

Выделим из трехчлена квадрат двучлена:

Выражение при любом значении принимает не положительное значение, то есть причем это выражение равно нулю только при Поэтому при значение данного в условии трехчлена равно 16 и является для него наибольшим.

Таким образом, квадратный трехчлен принимает наибольшее значение, равное 16, при

Ответ. 16 при

Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Дробные рациональные уравнения

Решение дробных рациональных уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений. Вспомним один из методов решения дробного рационального уравнения

Пример №277

Решите уравнение

Решение:

Чтобы найти область допустимых значений переменной и общий знаменатель, разложим на множители знаменатели дробей в уравнении:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей – выражение учитывая ОДЗ: Получим:

откуда

Ответ. 3.

Метод разложения многочлена на множители

Некоторые уравнения, правая часть которых равна нулю, можно решить с помощью разложения левой части на множители.

Пример №278

Решите уравнение

Решение:

Вынесем в левой части уравнения общий множитель за скобки. Получим:

Таким образом, уравнение имеет три корня:

Ответ. 0; 3; -5.

Биквадратные уравнения

Уравнение вида где называют биквадратным уравнением. Его можно решить с помощью введения новой переменной, то есть обозначив Тогда а исходное уравнение принимает вид:

Такой метод решения называют методом введения новой переменной или методом замены переменной.

Пример №279

Решите уравнение

Решение:

Сделаем замену получим уравнение корнями которого являются числа

Вернемся к переменной

Таким образом, корни исходного уравнения – числа 2 и -2.

Ответ. 2; -2.

Метод замены переменной

Не только биквадратные, но и некоторые другие виды уравнений можно решить, используя замену переменной.

Пример №280

Решите уравнение

Решение:

Если мы раскроем скобки в левой части уравнения, получим уравнение четвертой степени, которое не всегда возможно решить методами школьной математики. Поэтому скобки раскрывать не будем. Заметим, что в обеих скобках выражения, содержащие одинаковы, поэтому можно воспользоваться заменой Получим уравнение которое является квадратным относительно переменной Перепишем его в виде откуда

Возвращаемся к переменной

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа

Ответ.

Пример №281

Решите уравнение

Решение:

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

Заметим, что выражения, содержащие переменную в обеих частях уравнения одинаковы, поэтому сделаем замену Получим уравнение с переменной

Найдем его корни:

Вернемся к переменной

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня:

Ответ.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Дробные рациональные уравнения также могут служить математическими моделями текстовых задач.

Пример №282

Из одного города в другой, расстояние между которыми 560 км, одновременно выехали легковой и грузовой автомобили. Скорость легкового была на больше скорости грузового, поэтому он прибыл в пункт назначения на 1 ч раньше грузового. Найдите скорость каждого автомобиля.

Решение:

Пусть скорость грузового автомобиля Систематизируем условие задачи в виде таблицы:

Так как значение величины на 1 ч меньше значения величины то можем составить уравнение:

У него два корня: Отрицательный корень не соответствует смыслу задачи, поэтому скорость грузового автомобиля 70 Тогда скорость легкового автомобиля:

Ответ.

Пример №283

Мастер и его ученик, работая вместе, могут выполнить задание за 8 ч. За сколько часов может выполнить это задание самостоятельно каждый из них, если мастеру на это нужно на 12 ч меньше, чем его ученику?

Решение:

Пусть мастеру для самостоятельного выполнения задания нужно ч, тогда ученику ч. Если вид и объем работ в задачах на работу не конкретизирован (как в данном случае), его принято обозначать единицей. Напомним, что производительность труда – это объем работы, выполняемый за единицу времени. Тогда за 1 ч мастер выполнит — часть задания, а ученик часть, это и есть их производительности труда. По условию задачи мастер и ученик проработали 8 ч, поэтому мастер выполнил часть задания, а ученик Учитывая, что они выполнили все задание, имеем уравнение:

откуда

Второй корень не соответствует смыслу задачи, так как является отрицательным.

Таким образом, мастер, работая отдельно, может выполнить задание за 12 ч, а его ученик – за

Условие этой задачи, как и предыдущей, можно также систематизировать в виде таблицы:

Ответ. 12 ч и 24 ч.

Обратите внимание, что условия большинства задач на движение или работу можно систематизировать в виде таблицы, что поможет избежать громоздких текстовых записей.

«Желаю тебе стать вторым Остроградским…»

Михаил Васильевич Остроградский родился 12 сентября 1801 года в д. Пашенная Полтавской губернии (в настоящее время деревня Пашеновка). Предки Михаила Васильевича служили в казацком войске, участвовали во многих боях, не раз проявляли военную доблесть и героизм. По-видимому, именно поэтому в детстве Михаил Васильевич так мечтал стать военным. Но ему суждено было стать всемирно известным ученым.

В детстве Михаил обладал исключительной наблюдательностью и увлекался измерениями. Учился он в пансионе при Полтавской гимназии, потом в этой гимназии. Закончив ее, стал свободным слушателем Харьковского университета, а в дальнейшем и его студентом. После окончания университета с отличием в августе 1820 года, менее чем через год (в апреле 1821 года) получил степень кандидата наук за исследования в прикладной математике. В 1822 году Остроградский уезжает в Париж, чтобы усовершенствовать М.В. Остроградский свое математическое образование, и становится слушателем университета в Сорбонне.

Именно там он публикует свои первые научные труды, становится известным ученым и заслуживает уважение французских математиков. За неимением средств Михаил Васильевич вынужден был покинуть Париж, преодолев пешком зимой 1828 года путь от Парижа до Петербурга.

Научные круги Петербурга встретили молодого ученого с радостью и надеждой. Его авторитет среди петербургских деятелей науки был высоким и незыблемым. В том же 1828 году Остроградский начинает преподавательскую деятельность в Морском кадетском корпусе Петербурга, его избирают адъюнктом Петербургской академии наук. А с 1830 года преподает еще в четырех высших учебных заведениях Петербурга. В 1834 году Остроградский был избран членом Американской академии наук, в 1841 году – членом Туринской академии, в 1853 – членом Римской академии Линчей и в 1856 году -членом-корреспондентом Парижской академии наук.

Лекции Остроградского посещали не только студенты, но и преподаватели, профессура, известные математики. Всем нравилась его система преподавания предмета – широта темы, но при этом выразительность и сжатость изложения, а также его остроумие. На лекциях он украшал свою речь словами, пословицами и поговорками. Поэтому студенты вспоминали его лекции с восторгом.

Любимым писателем Остроградского был Т.Г. Шевченко, с которым он был лично знаком и значительную часть произведений которого, зная наизусть, охотно декламировал. В 1858 году, когда Тарас Григорьевич возвращался из ссылки на родину через Петербург, Михаил Васильевич предложил Кобзарю остановится в его петербургской квартире.

Вернувшись из ссылки, Шевченко писал в «Дневнике»: «Великий математик принял меня с распростертыми объятиями, как земляка и как надолго выехавшего члена семьи».

Михаил Васильевич был выдающимся, оригинальным, всесторонне одаренным человеком. Его ценили не только за ум, но и за независимость, демократизм, скромность, искренность и простоту, за уважение к людям труда. Находясь на вершине славы, отмеченный за свои научные труды во всей Европе, Остроградский был прост в общении и не любил говорить о своих заслугах.

И какие бы проблемы не решал ученый (занимался он алгеброй, прикладной математикой, теорией чисел, теорией вероятностей, механикой и т. п.), все его научные труды отличаются глубиной мысли и оригинальностью, в них неизменно присутствует широта его взглядов, умение углубиться в суть проблемы, систематизировать и обобщить.

На всю жизнь Михаил Васильевич сохранил любовь к родной Земле и родному языку. Почти ежегодно летом он выезжал с целью погрузиться в полное спокойствие и полюбоваться замечательными пейзажами. Летом 1861 года Остроградский, пребывая на родине, заболел и 1 января 1862 года умер.

За свою почти 40-летнюю научную деятельность Михаил Васильевич написал свыше 50 трудов из разных отраслей математики: математического анализа, аналитической и небесной механики, математической физики, теории вероятностей. Свои педагогические взгляды М.В. Остроградский изложил в учебниках по элементарной и высшей математике.

Именем М.В. Остроградского назван Кременчугский национальный университет.

И хотя почти всю свою жизнь Михаил Остроградский занимался наукой, он был широко известен своим соотечественникам. Авторитет и популярность М.В. Остроградского были настолько значимыми, что родители, отдавая ребенка на учебу, желали ему «стать вторым Остроградским».

Сведения из курса математики 5-6 классов и алгебры 7 класса

Десятичные дроби

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно, записывая их одна под другой так, чтобы запятая размещалась под запятой.

Примеры:

Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, а потом в произведении отделить занятой справа налево столько цифр, сколько их после занятой в обоих множителях вместе.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо выполнить деление, не обращая внимания на запятую, но после окончания деления целой части делимого нужно в частном поставить занятую.

Примеры:

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно в делимом и делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.

Пример:

Обычные дроби

Частное от деления числа на число можно записать в виде обычной дроби где числитель дроби, – ее знаменатель.

Основное свойство дроби: значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.

Примеры:

(сократили дробь на 5);

(привели дробь к знаменателю 14).

Дроби с одинаковыми знаменателями складывают и вычитают по формулам:

Примеры:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют действие по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Примеры:

На следующих примерах показано, как выполнить сложение и вычитание смешанных чисел.

Примеры:

Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели и первый результат записать числителем произведения, а второй – знаменателем:

Примеры:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю:

Примеры:

Положительные и отрицательные числа

Модулем числа называют расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Модуль положительного числа и числа нуль – само это число, а модуль отрицательного – противоположное ему число:

Примеры:

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом записать знак

Пример:

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль и перед полученным результатом записать знак слагаемого с большим модулем.

Примеры:

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Примеры:

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками равно произведению их модулей. Произведение двух чисел с разными знаками равно произведению их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Частное двух чисел с одинаковыми знаками равно частному от деления их модулей. Частное двух чисел с разными знаками равно частному от деления их модулей, взятому со знаком «-».

Примеры:

Уравнение

Корнем, или решением, уравнения называют число, обращающее уравнение в правильное числовое равенство.

Примеры:

1) Число 3 является корнем уравнения так как

2) Число -2 не является корнем уравнения так как

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и уравнения, не имеющие корней.

Примеры:

1) Уравнения равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень, равный 2.

2) Уравнения не являются равносильными, так как корень первого – число 1, а второго – число 2.

Для решения уравнений используют следующие свойства:

1) если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения

Уравнение вида где числа, переменная, называют линейным уравнением с одной переменной.

Решение линейного уравнения представим в виде схемы:

Примеры:

В большинстве случаев уравнения последовательными преобразованиями приводят к линейному уравнению, равносильному данному.

Примеры:

Раскроем скобки: Перенесем слагаемые, содержащие переменную, в левую часть уравнения, остальные – в правую, изменив знаки переносимых слагаемых на противоположные: приведем подобные слагаемые: решим полученное линейное уравнение:

Ответ.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей – число 6:

Дальше решаем, как в предыдущем примере:

Ответ. Любое число.

Степень с натуральным показателем

Степенью числа с натуральным показателем называют произведение множителей, каждый из которых равен Степенью числа с показателем 1 называют само это число.

Примеры:

Свойства степени с натуральным показателем

Примеры:

Используя свойства степени с натуральным показателем, можем существенно упростить вычисления.

Одночлен

Целые выражения – числа, переменные, их степени и произведения называют одночленами.

Например – одночлены; выражения Не одночлены.

Если одночлен содержит только один числовой множитель, записанный первым, и содержит степени разных переменных, то такой одночлен называют одночленом стандартного вида.

Например, – одночлен стандартного вида, а одночлен не является одночленом стандартного вида.

Этот одночлен можно привести к одночлену стандартного вида:

Умножение одночленов

Примеры:

Возведение одночлена в степень

Примеры:

Многочлен

Многочленом называют сумму одночленов. Многочлен, являющийся суммой одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных слагаемых, называют многочленом стандартного вида.

Многочлен не является многочленом стандартного вида, но его можно привести к стандартному виду:

Сложение и вычитание многочленов

Умножение одночлена на многочлен

Умножение многочлена на многочлен

Формулы сокращенного умножения

Разложение многочленов на множители

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки

Использование формул сокращенного умножения

Примеры:

Функция

Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то такую зависимость называют функциональной зависимостью, или функцией.

Переменную в этом случае называют независимой переменной (или аргументом), а переменную – зависимой переменной (или функцией от заданного аргумента).

Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная (функция), образуют область значений функции.

Линейной называют функцию, которую можно задать формулой вида независимая переменная, -некоторые числа.

Графиком любой линейной функции является прямая. Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.

Пример:

Построим график функции

Составим таблицу для любых двух значений аргумента:

Отметим на координатной плоскости полученные точки и проведем через них прямую (рис. 20).

Пример:

Построим график функции Любому значению соответствует одно и то же значение равное числу -2. Графиком функции является прямая, состоящая из точек с координатами – любое число. Обозначим две любые такие точки, например и проведем через них прямую (рис. 21).

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Если нужно найти общее решение двух (или более) уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему уравнений.

Пример:

система уравнений с двумя неизвестными

Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, при которых каждое уравнение обращается в верное числовое равенство.

Пара чисел является решением данной выше системы, поскольку

Пара чисел не является решением системы. Для этих значений переменных первое уравнение обращается в верное равенство а второе – нет

Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки Решить систему уравнений

Решение системы двух линейных уравнении с двумя переменными способом сложения

Решить систему уравнений

Составьте квадратное уравение с целыми коэффициентами, корни которого равны:
1) 2 и 5;
2)
−

1
3

и 2;
3) −0,2 и −10;
4)
2
−

3

и
2
+

3

;
5) 0 и 6;
6)
−

7

и

7

.