Математики и Data Science-специалисты должны хорошо разбираться в функциях. Предлагаем попрактиковаться в решении задач на обнаружение максимальных и минимальных значений у заданных функций.
Максимум
Задумываясь над тем, как найти максимальное значение функции, нужно четко понимать, с чем предстоит иметь дело. Для этого нужно запомнить такое определение:
Наибольшее значение функции y = f(x) на промежутке x – это max y = f(x0). Оно будет при любом значении x€ X, x≠x0 делает справедливым неравенство: f(x)≤f(x0).
Максимальное значение (максимум) – это точка на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних «отметках».
Минимум
Наименьшее значение функции находить так же легко, как и наибольшее. Но сначала нужно понимать, что это такое.
Значение функции на отрезке будет считаться минимумом, если оно меньше, чем в соседних «отметках». Здесь действует такое определение:
Наименьшее значение функции y=f(x) на промежутке x – это miny=f(x0), которое при любом значении x€ X, x≠x0 делает справедливым неравенство f(x)≥f(x0).
Соответствующие определения являются достаточными и очевидными. Если говорить простыми словами, то максимум функции – это ее самое большое значение на заданном промежутке (участке) при абсциссе x0, а минимум – самое маленькое.
Стационарные точки
При решении вопроса о том, как найти наибольшее или наименьшее значение функции, стоит обратить внимание на так называемые «стационарные точки». Это – значения аргумента функции, при которых ее производная будет равняться нулю.
Стационарная точка – это «отметка», в которой расположен экстремум дифференцируемой функции. А именно – локальный минимум или максимум. В одной из таких «отметок» записанное выражение будет достигать своих предельных параметров.
Здесь рекомендуется запомнить следующее:
- Экстремум функции – это минимумы и максимумы.
- Если определить производную в точках экстремумов, она будет равно 0.
- Когда говорят «экстремумы», подразумевается значение функции. Если же речь идет об «отметках» экстремумов, рассматривать стоит x, в которых достигаются соответствующие пределы.
Этого достаточно для того, чтобы разобраться, как найти наибольшее на заданном отрезке у выражения. Для реализации поставленной задачи вовсе не обязательно составлять график. Поэтому сначала воспользуемся записями формул и вычислений.
План действий
Пример – дана функция f(x) на отрезке [a, b]. Наибольшее и наименьшее значение такой непрерывной функции достигаются в определенных местах. Это – критические точки. Там, где производная записанного выражения будет равно нулю.
Для того, чтобы найти наибольшие значения уравнения, потребуется придерживаться следующего алгоритма:
- Узнайте, какая перед вами функция. Для этого нужно проверить ее на непрерывность. В расчет обязательно берется заданный отрезок.
- Если запись непрерывная – ищем производную.
- После того, как найдем производную, приравниваем ее к нулю. Это поможет найти точки экстремумов. В результате получаются корни.
- Образовавшиеся корни – это критические точки. Нужно выбрать те «параметры», что относятся к промежутку [a, b].
- Вычислить значения функции на концах отрезка [a, b].
- Определить значения имеющегося выражения в критических «отметках».
Теперь понятно, как найти наибольшие функции на заданном отрезке. После произведенных подсчетов остается выбрать из результатов M (максимум) и m (минимум).
На отрезке
Разобравшись в тем, как найти наибольшие «параметры» выражения «на бумаге», стоит рассмотреть соответствующий процесс на графиках. Определять максимумы/минимумы в данном случае будет проще.
Первый график указывает на выражение, у которого точка минимума и максимума находятся в стационарных точках на промежутке [-6;6]. Соответствующие «пределы» обозначены жирным.
Второй график указывает на изменение отрезка. Теперь он будет [1;6]. Минимальное значение останется прежним. А вот максимальное – изменится. Оно образуется в правой части в точке с абсциссой. Поиск минимального «параметра» окажется в критической точке.
Задумываясь, как найти наименьшие или «самые крупные» параметры выражения на графике, можно также рассмотреть третий рисунок. Здесь функция принадлежала промежутку [-3;2]. Чтобы найти наибольшее и наименьшее в таком случае, предстоит учитывать абсциссы. В них достигаются соответствующие пределы.
Открытый интервал
Если промежуток задан конкретным числом, определить экстремумы будет не так сложно. Иначе происходит, если интервал открыт.
Здесь:
- Функция будет принимать максимум/минимум по значению в стационарных точках на открытом интервале от -6 до 6. Ответ – на 4 рисунке.
- Если взять отрезок [1;6), минимум будет достигнут в стационарной точке. А вот максимум – неизвестен. Связано это с тем, что 6 не принадлежит к заданному интервалу. Если бы «шестерка» относилась к соответствующему промежутку, ответ на вопрос относительно определения максимума оказался понятным. Максимальный параметр был бы в точке с абсциссой 6.
- На рисунке 6, задумываясь, как найти наименьшие «параметры», нужно обратить внимание на заданный интервал. Он равен (-3;2]. Минимум будет достигнут в правой границе. А вот максимум – не определен.
Найти значения на графиках обычно проще, чем «в чистых формулах». Соответствующие задания можно отыскать тут.
Бесконечность
Иногда значения функций нужно найти на бесконечном промежутке. Графически возможны такие ситуации:
На 7 рисунке функция достигает максимума в стационарной точке с абсциссой 1. Минимум окажется на границе интервала справа. На минус бесконечности значения приближаются к y=3 асимптотически.
Если взять интервал от 2-х до «плюс бесконечности», заданная функция не будет иметь ни максимумов, ни минимумов. Значения здесь стремятся к бесконечности. Связано это с тем, что x=2 является вертикальной асимптотой. Если абсцисса стремится к плюс бесконечности, значения будут асимптотически подходить к y=3. Соответствующий пример показан на рисунке 8.
Чтобы не приходилось долго разбираться с тем, как найти наименьшее у заданной функции, не путаться с тем, какие знаки производной использовать, а также легко строить графики, можно воспользоваться специальными онлайн калькуляторами. А еще – закончить тематические дистанционные онлайн курсы.
Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом 
, её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — ◇, локальный минимум — +, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.
Экстре́мум (лат. extremum — крайнее) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).
Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология, физика и т. д.[1]
Определения[править | править код]
Пусть дана функция 
и 
— внутренняя точка области определения 
Тогда
Если неравенства выше строгие, то 
называется точкой строгого локального или глобального максимума или минимума соответственно.
Значение функции 
называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.
Замечание[править | править код]
Функция 
определённая на множестве 
может не иметь на нём ни одного локального или глобального экстремума. Например, 
Необходимые условия существования локальных экстремумов[править | править код]
- Из леммы Ферма вытекает следующее[2]:
- Пусть точка
является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки . - Тогда либо производная не существует, либо .
Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции 
.
Достаточные условия существования локальных экстремумов[править | править код]
является точкой строгого локального максимума. А если
то является точкой строгого локального минимума.
Заметим, что при этом функция не обязательно дифференцируема в точке .
- и
является точкой локального максимума. А если
- и
то является точкой локального минимума.
Если 
чётно и 
, то — точка локального максимума.
Если чётно и 
, то — точка локального минимума.
Если нечётно, то экстремума нет.
См. также[править | править код]
- Критическая точка (математика)
- Методы оптимизации
- Условный экстремум
Примечания[править | править код]
- ↑ Пшеничный, 1969, с. 7.
- ↑ Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — Т. 1.
Литература[править | править код]
- Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.
Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.
Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:
- Найти производную функции $f'(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
- Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
- Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
- Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.
Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:
- Найти производную функции $f'(х)$
- Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
- Разложить производную функции на множители.
- Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
- Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.
Таблица производных некоторых элементарных функций:
| Функция | Производная |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^{n-1}, n∈N$ |
| ${1}/{x}$ | $-{1}/{x^2}$ |
| ${1}/x{^n}, n∈N$ | $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$ |
| $√^n{x}, n∈N$ | ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | ${1}/{cos^2x}$ |
| $ctgx$ | $-{1}/{sin^2x}$ |
| $cos^2x$ | $-sin2x$ |
| $sin^2x$ | $sin2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | ${1}/{x}$ |
| $log_{a}x$ | ${1}/{xlna}$ |
Основные правила дифференцирования
1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Пример:
Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$
Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})’=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$
2. Производная произведения.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Пример:
Найти производную $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Производная частного
$({f(x)}/{g(x)})’={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)’}/{g^2(x)}$
Пример:
Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$
$f'(x)={(5x^5)’∙e^x-5x^5∙(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$
4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
Пример:
$f(x)= cos(5x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= – sin(5x)∙5= -5sin(5x)$
Пример:
Найдите точку минимума функции $y=2x-ln(x+11)+4$
Решение:
1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$
2. Найдем производную функции $y’=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$
3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю
${2x+21}/{x+11}=0$
Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю
$2x+21=0; x≠-11$
$2х=-21$
$х=-10,5$
4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.
$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$
5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ – это точка минимума.
Ответ: $-10,5$
Пример:
Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$
Решение:
1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$
2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки
$30x^4-270x^2=0$
Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки
$30x^2(x^2-9)=0$
$30x^2(х-3)(х+3)=0$
Приравняем каждый множитель к нулю
$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$
$х=0;х=3;х=-3$
3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$
Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$
4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$
$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458+2430-5=967$
$y(0)= -5$
$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$
Наибольшее значение равно $967$
Ответ: $967$
Значения функции и точки максимума и минимума
Наибольшее значение функции
Наменьшее значение функции
Точки max
Точки min
Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!
Статью Как посчитать производные? надеюсь, ты изучил, без этого дальше будет проблематично.
12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.
12 задание бывает двух видов:
- Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
- Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).
Как же действовать в этих случаях?
Найти точку максимума / минимума
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
Задания с ЕГЭ:
Найдите точку максимума функции
- Берем производную:
- Приравняем ее к нулю:
- Получили одно значение икса, для нахождения знаков подставим −20 слева от корня и 0 справа от корня в преобразованную производную (последняя строчка с преобразованием):
Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума!
Ответ: −15
Найдите точку минимума функции
- Преобразуем и возьмем производную:
- Получается один корень «−2», однако не стоит забывать о «−3», она тоже будет влиять на изменение знака.
- Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает — это точка минимума!
Ответ: −2
Найти наибольшее / наименьшее значение функции
- Взять производную от предложенной функции.
- Приравнять ее к нулю.
- Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
- Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
- В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
- Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.
Задания с ЕГЭ:
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]
- Преобразуем и возьмем производную:
- «3» не вдходит в промежуток [−4; −1]. Значит, остается проверить «−3» — это точка максимума?
- Подходит, сначала функция возрастает, затем убывает — это точка максимума, и в ней будет наибольшее значение функции. Остается только подставить в первоначальную функцию:
Ответ: −6
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 1,5π]
- Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».
Ответ: 11
Выводы:
- 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y», а на точку максимума/минимума написать «х».
- Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
- Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
- В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку — можно смело писать в ответ.
- А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
Как найти точки минимума и максимума функции
Содержание:
-
Минимум и максимум функции
- Точка минимума, минимум функции
- Точка максимума, максимум функции
- Исследование функций на экстремумы
- Примеры задач
Минимум и максимум функции
Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом:
- (y_{min}, y_{max}) — минимум, максимум функции или экстремумы;
- (x_{min}, x_{max}) — точки минимума, максимума функции;
- (y_{наиб}, y_{наим}) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.
Точка минимума, минимум функции
Точка минимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)geq f(x_0))
Минимум функции — значение функции в точке минимума (x_0)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Простыми словами, точка минимума — это та, где убывание функции меняется на возрастание.
Точка максимума, максимум функции
Точка максимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)leq f(x_0))
Максимум функции — значение функции в точке максимума (x_0)
Простыми словами, точка максимума — это та, где возрастание функции меняется на убывание.
Точки максимума и минимума на графике:
Исследование функций на экстремумы
Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке (x=x_0,) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.
Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:
-
Найти область определения функции — D(y).
-
Определить производную — f ‘(x).
-
Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f ‘(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: (f^,(x)=frac1{2sqrt x}), производной не существует при x = 0).
-
Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f ‘(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).
-
Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).
-
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Примеры задач
Задача 1
Исследовать на экстремумы функцию (f(x)=x^3-3x^2.)
Решение задачи по алгоритму:
1) (D(y): xin(-infty;+infty)), т.е. x — любое число.
2) Производная: (f'(x)=3x^2-6x) .
3) Из пункта 1 следует, что критических точек нет. Найдем стационарные:
Приравниваем f ‘(x) к 0, решаем квадратное уравнение (3x^2-6x=0), получаем (x_1=0),(;x_2=2.)
4) Отметим на горизонтальной оси координат точки 0 и 2. Подставим любое x из интервала ((-infty;0)) в f'(x), например, пусть x = -1, тогда (f'(x)=3{(-1)}^2-6(-1)=3+6=9). Получаем f ‘(x)>0, значит на исследуемом интервале f(x) возрастает. Аналогично рассмотрим оставшиеся интервалы. Итого, на отрезке (0;2) производная отрицательна, функция убывает, а на интервале ((2;+infty)) производная положительна, возрастает. Из этого следует, что x=0 – точка максимума, а x=2 – минимума.
5) Найдем значение экстремумов функции.
(f(0)=0-3times0=0)
(f(2)=2^3-3times2^2=8-12=-4)
Ответ: (x_{min}=2,;y_{min}=-4;;x_{max}=0,;y_{max}=0) или (0;0) – минимум функции, (2;-4) – максимум.
Задача 2
Найти промежутки монотонности функции (f(x)=frac x{x^2-4}).
1) (D(y): xinmathbb{R},;)кроме(;pm2)
2) (f'(x)=frac{1(x^2-4)-xtimes2x}{{(x^2-4)}^2}=-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2})
3) Итак, как выяснилось в пункте 1, критические точки 2 и -2. Если мы приравняем f ‘(x) к 0, чтобы найти стационарные точки, то увидим, что уравнение не будет иметь корней. Значит, стационарных точек нет. Из этого следует, что функция монотонна на всей области определения. Проверим, возрастает она или убывает. Для этого решаем неравенство (-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2}leq0) и получим, что неравенство верно при любом x, значит функция убывает.
Не забываем, что в ответе, указывая промежуток, обязательно нужно исключить критические точки -2 и 2 т.к. в них функция не определена.
Ответ: f(x) убывает на промежутке ((-infty;-2)cup(-2;2)cup(2;+infty)).
Задача 3
Докажите, что функция (f(x)=x^5+2x^3-4) возрастает на всех числовой прямой.
1) (D(y): xinmathbb{R}), значит критических точек нет.
2) (f'(x)=5x^4+6x)
3) Приравняем f'(x) к 0 и найдем корень: x = 0. Отметим 0 на числовой прямой и определим знак производной на промежутках ((-infty;0)) и ((0;+infty)). Получим, что производная положительна на обоих промежутках, следовательно функция возрастает на всей числовой прямой.
Утверждение доказано
