Как в математике найти приближенные значения

Человеку постоянно приходится сталкиваться с решением различных практических и теоретических задач, которые чаще всего связаны с нахождением числовых значений величин.

Измерить какую-либо величину- это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу измерения.

В большинстве случаев полученные значения в результате вычислений и измерений получаются неточными, приближенными: немного больше или меньше истинного значения.

Точность- это степень приближения результата измерения (вычисления) к реальному значению.

Чем меньше точность, тем больше погрешность (расхождение истинного и полученного значения) и, соответственно, чем меньше погрешность, тем выше точность.

Точные измерения проблематичны в реальности по ряду причин:

1. Несовершенство органов чувств человека.
2. Неточность и несовершенство измерительных приборов.
3. Характеристики самого измеряемого объекта, не позволяющие выполнить точные измерения и вычисления.

Так, например, невозможно точно до метра определить протяженность рек, гор, расстояние от Земли до Луны, с точностью до грамма проблематично определить массу грузовика и т.д.

Сегодня на уроке мы научимся находить приближенные значения с избытком и недостатком.

Познакомимся с правилом округления чисел до заданного разряда.

Рассмотрим несколько примеров округления чисел.

В настоящее время в различные сферы жизни человека все больше внедряются современные высокоточные устройства, которые позволяют быстро и точно производить измерения и вычисления.

Однако, порой нам даже нет необходимости знать точное значение величины.

Не раз нам приходилось встречать такие фразы: «около одного часа», «примерно один килограмм» или «приблизительно двадцать тысяч рублей» и т.п.

В подобных фразах синонимы: «около», «примерно», «приблизительно» и т.д. указывают на приближенность значений величины, на чуть большее или меньшее значение относительно реального.

Например, говоря о своем возрасте, мы чаще всего называем количество лет и месяцев, не упоминая о прожитых днях и часах.

На вопрос «который час?» мы скорее всего назовем сколько часов и минут в данный промежуток времени, не указывая секунды.

Числа, с которыми нам приходится встречаться и использовать в действительности, бывают двух типов:

• Точные (в истинности которых мы не сомневаемся).

Например, говоря о том, что у треугольника 3 стороны, число 3 представляет собой точным числом.

• Приближенные (близкие к истинному значению).

На практике, измеряя расстояние, массу, температуру, объем, площадь и другие величины, мы не можем определить их точные значения, а порой эти точные значения вовсе не требуется находить.

Поэтому важно знать (заранее установить) с какой точностью необходимо выполнить измерения и вычисления, т.е. необходимо выяснить какие доли единицы измерения необходимо принять во внимание, а какими можно пренебречь.

Приближенные значения делят на:

1. Приближенные значения с недостатком.
2. Приближенные значения с избытком.

Рассмотрим поясняющий пример.

Обратите внимание на рисунок.

Улитка проползла некоторое расстояние и остановилась, данное расстояние обозначим как х (см).

Заметим, что улитка смогла преодолеть больше 7 см, но не смогла доползти до отметки 8 см.

Получается, что расстояние, которое проползла улитка больше 7 см, но меньше 8 см:

7 < x < 8

В данном случае число 7, 8– это приближенные значения числа х.

Путь, который проползла улитка, изображен в виде отрезка МN.

Конец отрезка MN заключен между отметками 7 см и 8 см.

Если А< x < В (число х больше числа А, но меньше числа В), то А называют приближенным значением числа х с недостатком, а число В– приближенным значением числа х с избытком.

Получаем в нашем случае 7 см- это приближенное значение длины отрезка MN с недостатком, а 8 см- это приближенное значение длины отрезка MN с избытком.

Так, если бы улитка проползла х = 6,3 см, то 6 см являлось бы приближенным значением пути улитки с недостатком, а значение 7 см было бы приближенным значением пути с избытком.

Рассмотрим пару заданий, в которых необходимо произвести оценку величины.

Задание №1.

Из предложенных чисел 2,1; 2,7; 4,1; 3,2; 2,4; 3,5 выберите те, для которых 2,3 является приближенным значением числа с недостатком, а число 3,7 является приближенным значением числа с избытком.

Для искомых чисел должно выполняться условие 2,3 < x < 3,7.

Такому условию удовлетворяют следующие десятичные дроби:

2,4 так как 2,3 < 2,4 < 3,7

2,7 так как 2,3 < 2,7 < 3,7

3,2 так как 2,3 < 3,2 < 3,7

3,5 так как 2,3 < 3,5 < 3,7

Задание №2.

Определите между какими двумя ближайшими натуральными числами расположена дробь 2,4.

К какому натуральному числу ближе заданная десятичная дробь 2,4?

С помощью координатного луча мы можем оценить расположение десятичной дроби.

Отметим на координатном луче число 2,4 (две целых четыре десятых).

Разложим заданное число по разрядам.

2,4 = 2 + 0,4

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.

Отложим два целых единичных отрезка от начала координат, получим две целых единицы.

Чтобы отметить дробь 0,4, третий единичный отрезок разделим на десять долей, каждая такая доля будет равна (mathbf{frac{1}{10} = 0,1}).

От точки с координатой 2 отложим вправо четыре доли единичного отрезка ОЕ, получим точку 2,4.

Если мы посмотрим на координатный луч, то заметим, что десятичная дробь 2,4 находится между натуральными числами 2 и 3, причем десятичная дробь 2,4 удалена от точки 2 всего на четыре доли единичного отрезка, а точка 3 удалена от точки 2,4 на шесть таких долей, следовательно, десятичная дробь 2,4 расположена ближе к натуральному числу 2.

2 < 2,4 < 3

Чтобы найти приближенное значение числа, используют математическое действие- округление чисел (замена числа его ближайшим «круглым» числом).

«Круглым» числом называют число, оканчивающееся одним или несколькими нулями.

Округление- это математическая операция, с помощью которой можно уменьшить количество знаков в числе за счет замены этого числа его близким значением с определенной точностью.

Суть операции округления заключается в нахождении числа ближайшего по своему значению к истинному.

Округлить можно любое число до любого разряда.

Важно знать и помнить правильное название и расположение разрядов в числе.

Вспомним разряды десятичных дробей.

Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.

Десятичные дроби возможно округлять так же как натуральные числа до единиц, десятков, сотен, тысяч и т.д.

При округлении числа до десятков число заменяют «круглым» числом, которое должно состоять из целых десятков, а вместо разряда единиц должен быть нуль.

Если необходимо округлить число, например, до сотен, это число заменяют «круглым» числом, в котором остается разряд сотен, а в разряде десятков и единиц должны стоять нули.

Пример.

Округлим 1,7 до целого.

Рассмотрим процесс округления десятичной дроби с помощью координатного луча.

Разложим заданное число по разрядам.

1,7 = 1 + 0,7

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.

Отметим на координатном луче точку с координатой 1,7.

Отложим один целый единичный отрезок от начала координат, получим одну целую единицу.

Чтобы отметить дробь 0,7, второй единичный отрезок разделим на десять долей, каждая такая доля будет равна (mathbf{frac{1}{10} = 0,1}).

От точки с координатой 1 отложим вправо семь долей единичного отрезка ОЕ, получим точку с координатой 1,7.

Обратим внимание, что точка 1,7 находится между натуральными числами 1 и 2.

Точка с координатой 1,7 удалена от точки Е(1) на семь долей единичного отрезка ОЕ, а от точки с координатой 2– всего на три доли единичного отрезка ОЕ.

Таким образом, можно утверждать, что точка с координатой 1,7 расположена ближе к точке с координатой 2.

Значит, при округлении числа 1,7 до целых получается число 2 (1,7 приближенно равно 2).

1,7 ≈ 2

Десятичные дроби так же можно округлять до определенного разряда, стоящего после десятичной запятой: до десятых, сотых, тысячных и т.д.

При округлении до какого-либо разряда все последующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их просто отбрасывают.

Округление чисел происходит по определенному правилу, рассмотрим его.

Чтобы округлить число до какого-либо разряда нужно:

Поясним на примерах.

Пример №1.

Округлим 83421 до сотен.

Решение:

Подчеркнем в числе цифру 4, так как она стоит в разряде сотен.

83421

За подчеркнутой цифрой стоит цифра 2, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №1: оставить цифру 4 без изменения.

Все цифры, стоящие после разряда сотен (цифры 2 и 1), заменим нулями.

В итоге получим округление числа 83421 до 83400.

Результат запишем следующим образом: 83421 ≈ 83400.

Пример №2.

Округлим до разряда единиц число 316,52.

Решение:

Число 316,52 будем округлять до целых.

Известно, что десятичная дробь состоит из целой части (находящейся до десятичной запятой) и дробной части (находящейся после десятичной запятой).

В заданной десятичной дроби 316,52 в разряде единиц стоит цифра 6.

Подчеркнем цифру 6.

316,52

Цифра, стоящая справа от подчеркнутой цифры- это цифра 5, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 6 прибавить единицу.

Получим в разряде единиц цифру 7, все цифры, стоящие следом за округляемым разрядом (стоящие после десятичной запятой), отбрасываем.

В итоге получим округление числа 316,52 до 317.

Результат запишем следующим образом: 316,52 ≈ 317.

Пример №2.

Округлим число 27,819 до разряда сотых.

Решение:

В заданной десятичной дроби 27,819 в разряде сотых стоит цифра 1, подчеркнем ее.

27,819

За подчеркнутым разрядом стоит цифра 9, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 1 прибавить единицу.

Получим в разряде сотых цифру 2, все цифры, следующие за разрядом сотых, просто отбрасываем.

В итоге получим округление числа 27,819 до 27,82.

Результат запишем следующим образом: 27,819 ≈ 27,82.

Рассмотрим несколько примеров округления чисел при решении задач.

Задача №1.

В первый день продали 20,35 м ткани, во второй день еще 17,8 м ткани.

Сколько метров ткани продали за два дня?

Ответ округлите до десятых.

Решение:

Кратко запишем условие задачи.

20,35 + 17,8 = 38,15 (м) ткани продали за два дня.

Округлим полученное число 38,15 до десятых.

В полученной десятичной дроби 38,15 в разряде десятых стоит цифра 1, подчеркнем ее.

38,15

За подчеркнутым разрядом стоит цифра 5, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 1 прибавить единицу.

Получим в разряде десятых цифру 2, все цифры, следующие за подчеркнутой цифрой, просто отбрасываем.

Результат запишем следующим образом: 38,15 ≈ 38,2.

Ответ: 38,2 (м).

Задача №2.

В первый день автомобиль проехал 124,4 км, а во второй день на 31,2 км меньше.

Какой путь проехал автомобиль за эти два дня?

Ответ округлите до целых.

Решение:

Кратко запишем условие задачи.

Проехал в первый день- 124,4 км

Проехал во второй день- 124,4 – 31,2 км

Чтобы найти путь, который проехал автомобиль, необходимо сложить пройденный путь в первый и во второй день.

Составим выражение.

124,4 + (124,4 – 31,2)

Найдем значение полученного выражения.

Выражение содержит несколько арифметических операций и скобки.

1. Выполним действия в скобках (найдем разность двух десятичных дробей).

124,4 + 93,2 = 217,6 (км) автомобиль проехал за два дня.

Округлим полученный результат до целых.

В полученной десятичной дроби 217,6 в разряде единиц (в самом младшем разряде целой части десятичной дроби) стоит цифра 7, подчеркнем ее.

217,6

После подчеркнутой цифры стоит цифра 6, следовательно, чтобы верно округлить число, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 7 нужно прибавить единицу.

Получим в разряде единиц цифру 8, все цифры, следующие за подчеркнутой цифрой, просто отбрасываем.

Результат запишем следующим образом: 217,6 ≈ 218.

Ответ: 218 (км).

Задача №3.

За два дня было продано 45,35 (кг) конфет. В первый день продали 31,20 (кг).

На сколько больше конфет продали в первый день, чем во второй?

Ответ округлите до десятых.

Решение:

Кратко запишем условие задачи.

1. 45,35 – 31,20 = 14,15 (кг) конфет продали во второй день.

Следующим действием найдем на сколько килограммов конфет было продано больше в первый день, чем во второй.

2. 31,20 – 14,15 = 17,05 (кг)

Округлим полученный результат (десятичную дробь 17,05) до десятых.

В полученной десятичной дроби 17,05 в разряде десятых стоит цифра 0, подчеркнем ее.

17,05

За подчеркнутым разрядом стоит цифра 5, следовательно, необходимо действовать согласно Правила №2: к подчеркнутой цифре 0 прибавить единицу.

Получим в разряде десятых цифру 1, все цифры, следующие за подчеркнутой цифрой, просто отбрасываем.

Результат запишем следующим образом: 17,05 ≈ 17,1.

Ответ: в первый день продали на 17,1 кг конфет больше, чем во второй день.

Абсолютная погрешность приближения показывает точность приближённого значения и находится по формуле (h=) x−a, где (x) — точное значение величины, (a) —  её приближённое значение.

(S=12,5663706144…) С точностью до (0,01) имеем  

S≈

(12,57); выбрали приближение с избытком, т. к. на третьем месте после запятой стоит цифра (6) — её и отбросим.

Пример:

Если (a) — приближённое значение числа (x) и x−a≤h, то говорят, что абсолютная погрешность приближения не превосходит (h) или что число (x) равно числу (a) с точностью до (h).

1. Произведение двух чисел, близких к единице
2. Квадрат и другие степени числа, близкого к единице
3. Число, обратное числу, близкому к единице
4. Квадратный корень из числа, близкого к единице
5. Обобщение приближённых формул
6. Примеры

Произведение двух чисел, близких к единице

При выведении формул для погрешностей произведения и частного (см. §45 данного справочника) мы использовали понятие «малых величин», влияние которых на результат настолько мало, что им можно пренебречь. Обычно они появляются в формулах как произведения небольших отклонений или степени отклонений. Их вклад в конечный результат «мал» в том смысле, что при округлении мы его всё равно отбрасываем.

Рассмотрим два числа x = 1+α, y = 1+β,

где |α|≪1,|β|≪1 – гораздо меньше единицы (сотые, тысячные и т.д.).

Найдём их произведение:

$$ xy = (1+α)(1+β) = 1+α+β+αβ $$

Произведение αβ $approx$ 0 пренебрежимо мало, и мы получаем:

$$ (1+α)(1+β) approx 1+α+β, quad |α|≪1, |β|≪1 $$

Например:

$1,012 cdot 1,004 approx 1+0,012+0,004 = 1,016$ – значение по приближенной формуле

$1,012 cdot 1,004 = 1,016048$ – точное значение

или

$0,997 cdot 1,003 approx 1-0,003+0,003 = 1,000$ – значение по приближенной формуле

$0,997 cdot 1,003 = 0,999991$ – точное значение

Квадрат и другие степени числа, близкого к единице

Используя формулу для произведения двух чисел, близких к единице, получаем приближенную формулу для квадрата, куба и других степеней таких чисел:

$$ (1+α)^2 approx 1+2α, quad |α|≪1 $$

$$ (1+α)^3 approx 1+3α, quad(1+α)^n approx 1+nα $$

Например:

При увеличении степени относительная погрешность возрастает, и точность вычислений падает.

Число, обратное числу, близкому к единице

Пусть $x = 1+α, quad |α|≪1$

Найдём $frac{1}{x}$:

$$ frac{1}{x} = frac{1}{1+α} = frac{1-α}{(1+α)(1-α)} = frac{1-α}{1- underbrace{α^2}_{approx text{0}}} approx 1-α $$

$$ frac{1}{1+α} approx 1-α, |α|≪1 $$

Например:

$ frac{1}{1,001} approx 1-0,001 = 0,999 $

Точное значение: $ frac{1}{1,001}$ = 0,(999000) – периодическая бесконечная дробь

Квадратный корень из числа, близкого к единице

Из формулы для квадрата числа, близкого у единице, получаем:

$$ 1+α approx Biggl( 1+ frac{a}{2} Biggr)^2 gt 0 $$

$$ sqrt{1+α} approx 1+ frac{a}{2}, quad |α|≪1 $$

Например:

$ sqrt{1,0014} approx 1+ frac{0,0014}{2} = 1,0007 $

Вычисление на калькуляторе даёт: $sqrt{1,0014}$ = 1,0006997551…

или

$ sqrt{0,981} approx 1- frac{0,019}{2} = 0,9905 $

Вычисление на калькуляторе даёт: $sqrt{0,981}$ = 0,990454441…

Обобщение приближённых формул

Формулы для чисел вида x = 1+α, |α|≪1, можно обобщить для чисел вида z = a+b, |b|≪|a|, т.к.

$$ |b|≪|a| Rightarrow frac{|b|}{|a|} ≪1 и frac{z}{a} = frac{a+b}{a} = 1+ frac{b}{a} $$

Заменой $frac{z}{a}$ = x, $frac{b}{a}$ = α одни числа приводятся к другим.

Примеры

Пример 1. Найдите приближенное значение выражения.

Сравните со значением, полученным с помощью калькулятора.

Пример 2. Найдите приближенное значение выражения, используя обобщенные приближенные формулы. Сравните со значением, полученным с помощью калькулятора.