Это умение очень пригодится на ЕГЭ и ОГЭ, потому как калькулятором пользоваться нельзя, подбором, умножая в столбик, получается долго и муторно, а в восьмой раз в туалет уже никто не выпустит.
Так что смотрим и запоминаем, чтобы потом научить своих детей, которым наверняка не рассказывали это в школе, но это сильно сэкономит время на экзаменах.
Этот способ подойдет для тех чисел, из которых корень извлекается целым числом. Именно поэтому этот способ очень удобен как раз для ОГЭ и ЕГЭ, потому как там не дают корни, из которых корень не извлекается (часть С не в счет).
Покажу на примерах. Кому удобнее смотреть видео, смотрите.
Допустим нам надо извлечь корень из числа 54756. Дальше листаем галерею, смотрим подписи к фотографиям и запоминаем алгоритм.
Второй пример. Извлечем корень из числа 259081. Попробуйте сами. На втором слайде будет решение.
На первый взгляд схема весьма непростая, но стоит один-два раза попробовать извлечь корни таким образом самостоятельно и вы будете щелкать такие задачи, как семечки. Попробуйте извлечь корень из 112225; 210681 и 998001.
С числами поменьше, всё ещё проще, даже писать ничего не придется. Можно в уме вычислять. Вот, например, как извлечь корень из 3136? Понятно, что грани две, поэтому в ответе двухзначное число. Первая цифра в ответе — это 5, потому что 5²=25, а 6²=36>31. Так как 3136 заканчивается на 6, а при возведении в квадрат шестерку могут давать только 4 или 6, ответом будет либо 54, либо 56. Как выбрать? Давайте вспомним чему равен 55². Если не помните, то это легко посчитать (подробно читайте тут), надо в конце записать 25, а в начале 5•6=30 Итого 55²=3025. 3025<3136, а так как корень должен извлекаться нацело, значит ответ 56.
Аналогично извлекаем корень из 4624. 6²=36, а 7²=49, поэтому первая цифра ответа — 6. При возведении в квадрат четверку на конце дают только 2 и 8, то есть ответ 62 или 68. Чтобы выбрать, мы должны сравнить подкоренное число с 65². 6•7=42, дописываем в конце 25 и получаем 65²=4225. 4225<4624 следовательно √4624=68.
Ну и последний корень попробуйте снова извлечь самостоятельно. Чему равен √2116? Проверьте себя по картинке ниже.
И не забываем о том, что у меня появился канал на Ютубе. Заходите в гости и подписывайтесь.
Ещё интересно: Два простых способа быстрого сложения и вычитания в уме
Простой и очень быстрый способ возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на 5. Будешь считать быстрее калькулятора
90% европейских выпускников не смогли решить задачу, которую решили российские восьмиклассники
|
Если нужно извлечь корень допустим-из шестизначного числа,то сначала смотрят между какими числами корень расположится:пусть извлечь V877969,сразу смотрим на число без 2 -х или 4-х разрядов.Это 87,V87>9 т.к.V81=9.Смотрим теперь к чему ближе наше число:900^2=810000…877969…10^2=1000000.Конечно корень ближе к 900,значит меньше 950.Сразу проверим 940*940=883600,то есть меньше 940.Проверим 930*930=864900,значит корень лежит между 930 и 940,осталось 3-ю цифру определить.877969-на конце цифра 9.Значит под корнем или 3,или7 в конце.Простым умножением проверяем 933*933=870489 и 937*937=877969.Не совсем устно,учитывая умножение 3-значных чисел в столбик на бумажке,но обойдетесь без калькулятора точно. система выбрала этот ответ лучшим
[пользователь заблокирован] 10 лет назад Порядок такой:
этот вариант не для счета в уме, конечно, но знания деления в столбик и умножения, с бумагой и карандашом, – хватит. Знаете ответ? |
Вычислить корень из 138384.
Решение. Разобьем число на грани (начиная справа): 13’83’84 — их три, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата 3, так как 3^2 < 13. Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим A = 483. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим a = 6. Подберем теперь такую наибольшую цифру x, чтобы произведение двузначного числа на x было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как 67 * 7 = 469 — это меньше 483, a 68 * 8 = 544 — это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7.
Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим b = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 37, получим B = 74. Подберем теперь такую наибольшую цифру y, чтобы произведение трехзначного числа на y не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как 742 * 2 = 1484. Цифра 2 — последняя цифра результата. В ответе получаем: 372.
Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается, когда достигается требуемая точность.
Попробуй извлечь корень из 6130576.
Есть еще один способ, известный из древности.
Суть его в том, что число А под корнем представляют в виде а^2+b, где квадрат а -ближайшее к А число.
Тогда корень из А приблизительно равно а+в/ 2а.
Например, корень из 41 =корень (6^2+5)= прибл (6+5/12)=прибл 6,4 Проверь на калькуляторе.
Красота чисел. Как быстро вычислять в уме
Время на прочтение
3 мин
Количество просмотров 51K
Старинная запись на квитанции в уплате подати («ясака»). Она означает сумму 1232 руб. 24 коп. Иллюстрация из книги: Яков Перельман «Занимательная арифметика»
Ещё Ричард Фейнман в книге «Вы конечно шутите, мистер Фейнман!» поведал несколько приёмов устного счёта. Хотя это очень простые трюки, они не всегда входят в школьную программу.
Например, чтобы быстро возвести в квадрат число X около 50 (502 = 2500), нужно вычитать/прибавлять по сотне на каждую единицы разницы между 50 и X, а потом добавить разницу в квадрате. Описание звучит гораздо сложнее, чем реальное вычисление.
522 = 2500 + 200 + 4
472 = 2500 – 300 + 9
582 = 2500 + 800 + 64
Молодого Фейнмана научил этому трюку коллега-физик Ханс Бете, тоже работавший в то время в Лос-Аламосе над Манхэттенским проектом.
Ханс показал ещё несколько приёмов, которые использовал для быстрых вычислений. Например, для вычисления кубических корней и возведения в степень удобно помнить таблицу логарифмов. Это знание очень упрощает сложные арифметические операции. Например, вычислить в уме примерное значение кубического корня из 2,5. Фактически, при таких вычислениях в голове у вас работает своеобразная логарифмическая линейка, в которой умножение и деление чисел заменяется сложением и вычитанием их логарифмов. Удобнейшая вещь.
Логарифмическая линейка
До появления компьютеров и калькуляторов логарифмическую линейку использовали повсеместно. Это своеобразный аналоговый «компьютер», позволяющий выполнить несколько математических операций, в том числе умножение и деление чисел, возведение в квадрат и куб, вычисление квадратных и кубических корней, вычисление логарифмов, потенцирование, вычисление тригонометрических и гиперболических функций и некоторые другие операции. Если разбить вычисление на три действия, то с помощью логарифмической линейки можно возводить числа в любую действительную степень и извлекать корень любой действительной степени. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.
Чтобы быстро проводить в уме сложные расчёты даже без логарифмической линейки, неплохо запомнить квадраты всех чисел, хотя бы до 25, просто потому что они часто используются в расчётах. И таблицу степеней — самых распространённых. Проще запомнить, чем вычислять каждый раз заново, что 54 = 625, 35 = 243, 220 = 1 048 576, а √3 ≈ 1,732.
Ричард Фейнман совершенствовал свои навыки и постепенно замечал всё новые интересные закономерности и связи между числами. Он приводит такой пример: «Если кто-то начинал делить 1 на 1,73, можно было незамедлительно ответить, что это будет 0,577, потому что 1,73 — это число, близкое к квадратному корню из трёх. Таким образом, 1/1,73 — это около одной трети квадратного корня из 3».
Настолько продвинутый устный счёт мог бы удивить коллег в те времена, когда не было компьютеров и калькуляторов. В те времена абсолютно все учёные умели хорошо считать в уме, поэтому для достижения мастерства требовалось достаточно глубоко погрузиться в мир цифр.
В наше время люди достают калькулятор, чтобы просто поделить 76 на 3. Удивить окружающих стало гораздо проще. Во времена Фейнмана вместо калькулятора были деревянные счёты, на которых тоже можно было производить сложные операции, в том числе брать кубические корни. Великий физик уже тогда заметил, что использование таких инструментов, людям вообще не нужно запоминать множество арифметический комбинаций, а достаточно просто научиться правильно катать шарики. То есть люди с «расширителями» мозга не знают чисел. Они хуже справляются с задачами в «автономном» режиме.
Вот пять очень простых советов устного счёта, которые рекомендует Яков Перельман в методичке «Быстрый счёт» 1941 года издательства.
1. Если одно из умножаемых чисел разлагается на множители, удобно бывает последовательно умножать на них.
225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, то есть трижды удвоить результат
2. При умножении на 4 достаточно дважды удвоить результат. Аналогично, при делении на 4 и 8, число делится пополам дважды или трижды.
3. При умножении на 5 или 25 число можно разделить на 2 или 4, а затем приписать к результату один или два нуля.
74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100
Здесь лучше сразу оценивать, как проще. Например, 31 × 25 удобнее умножать как 25 × 31 стандартным способом, то есть как 750+25, а не как 31 × 25, то есть 7,75 × 100.
При умножении на число, близкое к круглому (98, 103), удобно сразу умножить на круглое число (100), а затем вычесть/прибавить произведение разницы.
37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148
4. Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (9), и приписывают 25.
8 × 9 = 72, приписываем 25, так что 852 = 7225
Почему действует это правило, видно из формулы:
(10Х + 5)2 = 100Х2 + 100Х + 25 = 100Х (X+1) + 25
Приём применяется и к десятичным дробям, которые оканчиваются на 5:
8,52 = 72,25
14,52 = 210,25
0,352 = 0,1225
5. При возведении в квадрат не забываем об удобной формуле
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
442 = 1600 + 16 + 320
Конечно же, все способы можно сочетать между собой, создавая более удобные и эффективные приёмы для конкретных ситуаций.
Как быстро в уме извлечь квадратный корень из любого числа
Оцениваете ли вы периметр прямоугольного треугольника, находите ли корни квадратного уравнения, или просто развлекаетесь, извлекая квадратный корень из больших чисел, в любом случае полезно уметь вычислить квадратный корень без помощи калькулятора.
Шаги
-
1
Запомните целочисленные квадратные корни нескольких малых чисел, например первых пятнадцати. Вы можете умножить исходное число на 100, при этом квадратный корень из него возрастет в 10 раз. То есть, 64^(1/2) = 8, а 6400^(1/2) = 80. Если записать это в виде переменных, то получится x^(1/2) = y <==> (x*100)^(1/2) = y*10 -
2
Если вы хотите извлекать корень с десятичными знаками, запомните квадратные корни нескольких однозначных чисел с точностью до 3-4 знаков после запятой. -
3
В случае некоторых малых чисел вы можете оценить значение их квадратного корня, сравнивая эти числа с соседними. Например, если вы хотите извлечь квадратный корень из 8, вспомните о том, что числа 4 и 9 имеют целые квадратные корни, равные 2 и 3 соответственно. 8 ближе к 9, чем 4, поэтому квадратный корень из 8 будет ближе к 3. Поскольку 4 и 9 расположены близко друг к другу, квадратный корень из 8 близок, скорее всего, к 2,8 (в действительности он равен 2,828). Развитое чувство чисел поможет вам более точно оценить десятичный остаток. -
4
Запомните правила преобразования радикалов. Вы можете извлечь квадратный корень из числа, взяв квадратные корни его множителей. Если x = zy, тогда квадратный корень числа x = z^(1/2)*y^(1/2). Рассмотрим в качестве примера опять число 8: 8 = 4*2, поэтому квадратный корень из 8 равен квадратному корню из 4, умноженному на квадратный корень из 2. Зная, что квадратный корень из 4 равен 2, а квадратный корень из 2 составляет примерно 1,414, вы можете перемножить эти два числа, получив для квадратного корня из 8 значение 2,828. Сводя операции к меньшим числам, вы добьетесь большей точности в определении квадратного корня.
Советы
- Нецелые квадратные корни первых трех чисел равны (учтите, что это иррациональные числа, то есть их значения просто приведены с точностью до третьего либо пятого знака после запятой!): 2^(1/2) = 1,414; 3^(1/2) = 1,732; 5^(1/2) = 2,23606.
- Целочисленные квадратные корни из первых 15 чисел равны (по порядку): 1, 4, 9, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225.
- Калькулятор значительно упрощает дело, тем не менее, знание операций с радикалами полезно для предварительных расчетов и операций с тригонометрическими функциями.
- Постарайтесь почувствовать смысл чисел на уроках математики.
