Как задать производную что бы найти ответ

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная – одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того – это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило – если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Пример:

Решение:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Производная функции

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.

Как найти?

Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования:

1. Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)’ = C(u)’ $$
2. Производная суммы/разности функций: $$ (u pm v)’ = (u)’ pm (v)’ $$
3. Производная произведения двух функций: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$
4. Производная дроби: $$ bigg (frac{u}{v} bigg )’ = frac{u’v – uv’}{v^2} $$
5. Производная сложной функции: $$ ( f(g(x)) )’ = f'(g(x)) cdot g'(x) $$

Примеры решения

Пример 1

Найти производную функции $ y = x^3 – 2x^2 + 7x – 1 $

Решение

Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y’ = (x^3 – 2x^2 + 7x – 1)’ = (x^3)’ – (2x^2)’ + (7x)’ – (1)’ = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)’ = px^{p-1} $ имеем: $$ y’ = 3x^{3-1} – 2 cdot 2 x^{2-1} + 7 – 0 = 3x^2 – 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = 3x^2 – 4x + 7 $$

Пример 2

Найти производную функции $ y = sin x – ln 3x $

Решение

По правилу производной разности: $$ y’ = (sin x – ln 3x)’ = (sin x)’ – (ln 3x)’ = $$ По таблице интегрирования находим: $$ (sin x)’ = cos x $$ $$ (ln x)’ = frac{1}{x} $$ С учетом того, что аргумент натурального логарифма отличен от $ x $, то нужно домножить ещё на производную самого аргумента: $$ y’ = (sin x)’ – (ln 3x)’ = cos x – frac{1}{3x} cdot (3x)’ = $$ После упрощения получаем: $$ = cos x – frac{1}{3x} cdot 3 = cos x – frac{1}{x} $$

Ответ

$$ y’ = cos x – frac{1}{x} $$

Пример 3

Найти производную функции $ y = (3x-1) cdot 5^x $

Решение

В данном примере стоит произведение двух функций, а производная произведения находится по формуле номер 3: $$ (u cdot v)’ = u’v + uv’ $$ $$ y’ = ( (3x-1) cdot 5^x )’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = $$ Производная первой функции вычисляется как разность фунций: $$ (3x-1)’ = (3x)’ – (1)’ = 3(x)’ – (1)’ = 3 $$ Вторая функция является показательной, производная которой находится по формуле: $ (a^x)’ = a^x ln a $: $$ (5^x)’ = 5^x ln 5 $$ Продолжаем решение с учетом найденных производных: $$ y’ = (3x-1)’ 5^x + (3x-1) (5^x)’ = 3 cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Ответ

$$ y’ = 3cdot 5^x + (3x-1) 5^x ln 5 $$

Пример 4

Найти производную функции $ y = frac{ln x}{sqrt{x}} $

Решение

Производную дроби найдем по четвертой формуле. Положим $ u = ln x $ и $ v = sqrt{x} $. Тогда их производные по таблице основных элементарных функций равны: $$ u’ = (ln x)’ = frac{1}{x} $$ $$ v’ = (sqrt{x})’ = frac{1}{2sqrt{x}} $$ Используя формулу №4 получаем: $$ y’ = bigg ( frac{ln x}{sqrt{x}} bigg )’ = frac{ frac{1}{x} cdot sqrt{x} – ln x cdot frac{1}{2sqrt{x}} }{x} = $$ Выносим множитель $ frac{1}{2sqrt{x}} $ в числителе за скобку: $$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Ответ

$$ y’ = frac{2-ln x}{2xsqrt{x}} $$

Пример 5

Найти производную функции $ y = ln sin 3x $

Решение

Данная функция является сложной, потому производную будем брать по цепочке. Сначала от внешней функции, затем от внутренней. При этом выполняя их перемножение. $$ y’ = (ln sin 3x )’ = frac{1}{sin 3x} cdot (sin 3x)’ = $$ Заметим, что аргумент синуса отличен от $ x $, поэтому тоже является сложной функцией: $$ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot (3x)’ = frac{1}{sin 3x} cdot cos 3x cdot 3 $$ Учитывая определение котангенса $ ctg x = frac{cos 3x}{sin 3x} $ перепишем полученную производную в удобном компактном виде: $$ y’ = 3ctg 3x $$

Ответ

$$ y’ = 3ctg 3x $$

Если вы ничего не смыслите в том, что такое производная и какими методами можно её вычислить, то совершенно невозможно решать примеры по математике или задачи по физике. Ведь такое понятие, как производная, является одним из самых важных в математическом анализе.

В этой статье мы расскажем вам, что является производной, какой она имеет геометрический и физический смысл. В общем, мы с вами попытаемся понять производную.

Геометрический и физический смысл производной

Задаём функцию f(x) в интервале (a, b). А точки x и x0 этому интервалу принадлежат. Если изменится x, то и функция тоже изменится. Изменением аргумента является разность его значений x-x0. Записывается эта разность, как дельта икс и имеет название: приращение аргумента. Разность значений функций в двух точках называется приращением или изменением функции. Так каково определение производной?

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Можно записать ещё следующим образом:

Встаёт вопрос, для чего нужно находить такой предел? Вот и ответ:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Ещё в школе нас учили тому, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени (t). Вычисляем среднюю скорость за какой-то временной промежуток:

Для того чтобы нам узнать какова скорость движения в момент t0, необходимо вычислить предел:

Сейчас мы разберем один пример, который продемонстрирует вам применение производной на практике. Допустим, тело движется по закону:

Нам необходимо рассчитать скорость в момент времени t=2c. Вычисляем производную:

Правила нахождения производных

Дифференцирование – это процесс нахождения производной. А дифференцируемая функция – это функция, которая имеет производную в данной точке.

Каким образом нам найти саму производную? Нам необходимо составить отношения приращения функции и аргумента, а после вычислить предел при условии стремящегося к нулю приращения аргумента. Но практика показывает, что такой путь вычисления является очень долгим. Всё, что нам необходимо, уже посчитано. И специально для вас, мы подготовили таблицу с производными элементарных функций.

После таблицы мы рассмотрим правила по вычисления производных. Коснёмся мы и вычисления производных сложных функций. Подробно разберём всё на примерах.

Правило первое: выносим константу

Вынести константы можно за знак производной. Причём делать это необходимо! Когда вы решаете примеры по математике, то всегда помните правило – если есть возможность упростить выражение, то делайте это.

Для примера вычислил с вами производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равняется сумме производных этих функций. Это касается и производной разности функций.

Сейчас мы с вами на практике рассмотрим пример доказательства этой теоремы.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

По следующей формуле мы сможем вычислить производную произведения двух дифференцируемых функций:

К примеру: необходимо найти производную функции:

Решение:

Необходимо сказать о том, каким образом вычисляются производные сложных функций.

Производная сложной функции равняется произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В примере, который указан выше, мы можем встретить выражение:

В этом примере промежуточным аргументом является 8x в пятой степени. Чтобы нам вычислить производную данного выражения, то для начала необходимо высчитать производную внешней функции по промежуточному аргументу, а после необходимо умножить на производную непосредственно сам промежуточный аргумент по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Ниже приведена формула для того, чтобы определить производную от частного двух функций:

Пример:

Решение:

В данной статье мы попытались рассказать о производных для тех, кто совершенно не знаком с этой темой. Когда вы будете решать примеры, то будьте очень внимательны, ведь в них часто можно встретить ловушки. Эта тема не так уж и проста, какой кажется на первый взгляд.

Вы можете обратиться в наш студенческий сервис по любым вопросам. Мы с удовольствием поможем решить для вас задачи любой сложности. А занимались вы раньше вычислением производных или нет, не имеет никакого значения. Мы помогаем всем!

Производные значения функций

Как правило производная характеризует с какой скоростью изменяется функция в конкретной точке.  Производные используются в большинстве видов задач не только в математике, но и других технических науках.

Для решения задач с производными функциями существует стандартный перечень основных производных.

Подробное решение производных уравнений

Пример №1:

Нужно вычислить производную заданной функции [y=2^{x}-operatorname{arctg} x].

Согласно основным правилам производной, при которой производная суммы значений функции равняется сумме производной.

Используя формулу производной составим уравнение и решим его:

[y^{prime}=left(2^{x}-operatorname{arctg} xright)^{prime}=left(2^{x}right)^{prime}-(operatorname{arctg} x)^{prime}]

Применяя формулы производных и обратных тригонометрических функций решим уравнение:

[y^{prime}=2^{x} ln 2-frac{1}{1+x^{2}}]

Ответ: [y^{prime}=2^{x} ln 2-frac{1}{1+x^{2}}].

---

Пример №2:

Нужно вычислить приблизительное значение заданной функции arctg 1.02. При этом производя замену приращения функции ее дифференциалом. 

Рассмотрим подробно функцию y= arctg x.

Для данной функции нужно вычислить значение в точке равной 1,02.

Для этого выразим функцию в следующем выражении: [x=x_{0}+Delta x].

Значения двух точек [mathrm{x}_{0}] и [Delta x] подбираются таким образом, чтобы при вычислении значений функции и ее производных было легко проводить расчеты. При этом желательно числа выбирать так, чтобы значение [Delta x]. было достаточно минимальным по значению.

Учитывая все требования можно сделать следующий вывод:

[x=1.02=1+0.02] , а именно [ x_{0}=1 text { и } Delta x=0,02 .]

Определим значения для заданной функции y= arctg x в первой точке равной [mathrm{x}_{0} = 1]

[yleft(x_{0}right)=y(1)=operatorname{arctg} 1=frac{pi}{4}].

Следующим действием проведем дифференциацию заданного выражения и вычисли значение функции [y^{prime}=(operatorname{arctg} x)^{prime}=frac{1}{1+x^{2}}] из этого следует, что [y^{prime}(1)=frac{1}{2}].

Составим и решим окончательное уравнение и найдем его значение:

[y(1,02)=operatorname{arctg} 1,02=y(1+0,02) approx y(1)+y^{prime}(1) cdot Delta x=frac{pi}{4}+frac{1}{2} cdot 0,02 approx 0,7852+0,01=0,7952]

Ответ:  [operatorname{arctg} 1,02 approx 0,7952]

Пример №3:

Согласно заданию, необходимо определить производную для функции [y=x^{3}+sin x+ln x].

Так как производное значение равняется сумме производных составим выражение.

[y^{prime}=left(x^{3}+sin x+ln xright)^{prime}=left(x^{3}right)^{prime}+(sin x)^{prime}+(ln x)^{prime}]

Для дальнейшего решения необходимо воспользоваться таблицей производных и выбрать нужную функцию, которая будет подходить под данное решение.

[y^{prime}=3 x^{3-1}+cos x+frac{1}{x}], преобразуем уравнение и получим упрощенный вид уравнения и выполним его решение:

 [y^{prime}=3 x^{2}+cos x+frac{1}{x}].

Ответ: [y^{prime}=3 x^{2}+cos x+frac{1}{x}].

---

Пример №4:

Дана функция [y=frac{3 x-1}{2 x+5}].

Необходимо определить ее производную применяя таблицу функций.

Составим уравнение функции используя дифференцирование. И получим следующее выражение:

[y^{prime}=left(frac{3 x-1}{2 x+5}right)^{prime}=frac{(3 x-1)^{prime} cdot(2 x+5)-(3 x-1) cdot(2 x+5)^{prime}}{(2 x+5)^{2}}]

Принимая во внимание все основные правила при решении функций и производных делаем вывод, что постоянное значение константы можно перенести за знак самой производной:

[y^{prime}=frac{left[(3 x)^{prime}-(1)^{prime}right] cdot(2 x+5)-(3 x-1) cdotleft[(2 x)^{prime}+(5)^{prime}right]}{(2 x+5)^{2}}]

[y^{prime}=frac{(3-0) cdot(2 x+5)-(3 x-1) cdot(2+0)}{(2 x+5)^{2}}]

[y^{prime}=frac{3 cdot(2 x+5)-(3 x-1) cdot 2}{(2 x+5)^{2}}]

[y^{prime}=frac{6 x+15-6 x+2}{(2 x+5)^{2}}]

[y^{prime}=frac{17}{(2 x+5)^{2}}]

Ответ: [y^{prime}=frac{17}{(2 x+5)^{2}}]

---

Пример №5:

Для функции [y=frac{cos x}{x^{3}+1}] нужно определить производную.

Нужно применить правило дифференцирования частного значения и составить уравнение:

[y^{prime}=left(frac{cos x}{x^{3}+1}right)^{prime}=frac{(cos x)^{prime} cdotleft(x^{3}+1right)-cos x cdotleft(x^{3}+1right)^{prime}}{left(x^{3}+1right)^{2}}]

Последующее решение необходимо выполнять, руководствуясь ранее изученными правилами производной функции.

В ходе решения нужно выбрать правильную производную функцию и используя ее решить уравнение:

[y^{prime}=left(frac{cos x}{x^{3}+1}right)^{prime}=frac{(cos x)^{prime} cdotleft(x^{3}+1right)-cos x cdotleft(x^{3}+1right)^{prime}}{left(x^{3}+1right)^{2}}]

[y^{prime}=frac{(-sin x) cdotleft(x^{3}+1right)-cos x cdotleft[left(x^{3}right)^{prime}+(1)^{prime}right]}{left(x^{3}+1right)^{2}}]

[y^{prime}=frac{(-sin x) cdotleft(x^{3}+1right)-cos x cdotleft(3 x^{2}+0right)}{left(x^{3}+1right)^{2}}]

[y^{prime}=frac{-sin x cdotleft(x^{3}+1right)-3 x^{2} cdot cos x}{left(x^{3}+1right)^{2}}]

Ответ: [y^{prime}=frac{-sin x cdotleft(x^{3}+1right)-3 x^{2} cdot cos x}{left(x^{3}+1right)^{2}}]

---

Пример №6:

Нужно вычислить производную для функции [y=frac{x^{3}}{ln x}]

Начинаем порядок решения с правила дифференцирования частного значения:

[y^{prime}=left(frac{x^{3}}{ln x}right)^{prime}=frac{left(x^{3}right)^{prime} cdot ln x-x^{3} cdot(ln x)^{prime}}{(ln x)^{2}}]

Затем используем известные формулы производных, логарифмических значений и степеней. Составляем и решаем следующее уравнение:

[y^{prime}=frac{3 x^{2} cdot ln x-x^{3} cdot frac{1}{x}}{ln ^{2} x}]

[y^{prime}=frac{3 x^{2} cdot ln x-x^{2}}{ln ^{2} x}]

[y^{prime}=frac{x^{2}(3 ln x-1)}{ln ^{2} x}]

Ответ: [y^{prime}=frac{x^{2}(3 ln x-1)}{ln ^{2} x}]

---

Пример№ 7:

Вычислить производную для функции [y=3 x^{2}+5 sqrt[3]{x^{5}}-frac{4}{x^{3}}]

Для решения необходимо применять производную подходящую для данной функции и помнить правило суммы.

[y^{prime}=left(3 x^{2}+5 sqrt[3]{x^{5}}-frac{4}{x^{3}}right)^{prime}=left(3 x^{2}right)^{prime}+left(5 sqrt[3]{x^{5}}right)^{prime}-left(frac{4}{x^{3}}right)^{prime}]

Множитель, который является постоянным по значению можно перенести за знак производной и получим выражение:

[y^{prime}=3 cdotleft(x^{2}right)^{prime}+5 cdotleft(x^{frac{5}{3}}right)^{prime}-4 cdotleft(x^{-3}right)^{prime}]

Далее необходимо применить формулу и рассчитать значение производной для функции со степенью.

[y^{prime}=3 cdot 2 x^{2-1}+5 cdot frac{5}{3} x^{frac{5}{3}-1}-4 cdotleft(-3 cdot x^{-3-1}right)]

[y^{prime}=6 x+frac{25}{3} x^{frac{2}{3}}+12 x^{-4}]

[y^{prime}=6 x+frac{25}{3} sqrt[3]{x^{2}}+frac{12}{x^{4}}]

Ответ: [y^{prime}=6 x+frac{25}{3} sqrt[3]{x^{2}}+frac{12}{x^{4}}]

Простое объяснение принципов решения производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.