Как зная косинус угла найти его тангенс

Как найти тангенс угла, если известен косинус?

Как найти котангенс угла, если известен косинус?

Итак, читаем внимательно условие вопроса, и вспоминаем, чему нас учили в школе, у нас есть косинус угла, и этого окажется вполне достаточным для того, чтобы мы выполнили задание автора вопроса и нашли тангенс и котангенс данного угла. Вспоминаем, что мы можем найти, зная косинус, конечно-же, мы сразу можем найти синус, это очень легко, и в этом нам поможет вот это волшебное тождество и то, что из него следует, – формула для нахождения синуса:

Теперь, зная чему равен синус угла, через косинус, проще простого решать дальше по известным формулам для нахождения тангенса и котангенса, просто подставляя в них эти формулы для синуса, которые я разместила выше:

Для того, чтобы найти тангенс и котангенс через косинус, достаточно вспомнить тригонометрические формулы:

tgα = sinα / cosα.

ctgα = cosα / sinα.

Так как косинус известен, то синус можно найти из основного тригонометрического тождества:

sin²α + cos²α = 1.

sinα = √(1 – cos²α), если угол α находится в 1 и 2 четверти.

sinα = – √(1 – cos²α), если угол α находится в 3 и 4 четверти.

Таким образом:

tgα = ± √(1 – cos²α) / cosα.

ctgα = ± cosα / √(1 – cos²α).

Так как произведение тангенса и котангенса = 1, то ctgα также можно найти из формулы: ctgα = 1 / tgα.

Пример

Косинус угла α равен 0,94, при этом α находится в 1 четверти (0 < α < 90). Нужно найти тангенс и котангенс.

Воспользуемся формулой:

tgα = √(1 – cos²α) / cosα.

В первой четверти синус и косинус больше 0, поэтому тангенс и котангенс также будут положительными.

tgα ≈ 0,34 / 0,94 ≈ 0,36.

Соответственно ctgα ≈ 1 / 0,36 ≈ 2,78.

В школе изучают следующую тригонометрическую формулу:

Косинус в квадрате альфа равно единица разделить на сумму единицы и тангенса в квадрате альфа. Из этой формулы легко выразить тангенс в квадрате альфа.

Он очевидно равен 1 деленная на косинус в квадрате альфа и из этой дроби нужно вычесть один, а можно еще преобразовать как на картинке.

Ну, а для того чтобы выразить котангенс, нужно вспомнить , что произведение тангенса и котангенса равно единице, тогда просто меняем числитель и знаменатель местами и получается формула для нахождения котангенса через косинус. Ну, а знак тангенса и котангенса определяем по той четверти, в которой находится угол. Если это первая и третья четверти, то плюс, иначе минус.

Первым делом стоит вспомнить определение тангенса и котангенса, а именно:

То есть получаются следующие формулы:

tg(x) = sin(x) / cos(x)

ctg(x) = cos(x) / sin(x)

Из условия задачи нам известен косинус, значит нам нужно будет найти синус. Для этого есть такая формула:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Значит: sin^2(x) = 1 – cos^2(x)

sin(x) = √(1 – (Cos a)^2)

Теперь у нас есть значения синуса и косинуса, которые можно будет подставить в следующие формулы:

Наверное все помнят основное тождество тригонометрии: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Почему-то также чётко я запомнил следующие простые формулы: tg^2(x)+1=sec^2(x) и ctg^2(x)+1=cosec^2(x). Ну и три определения: sec(x)=1/cos(x), cosec(x)=1/sin(x) и ctg(x)=1/tg(x).

Теперь осталось выбрать нужные и применить.

Допустим, cos(x)=(√3)/2, тогда sec(x)=2/√3, sec^2(x)=4/3, tg^2(x)=1/3, tg(x)=1/√3, ctg(x)=√3.

Пусть cosa = 1/2, тогда tga^2 = 1/(cosa)^2-1, (tga)^2 =1/0,25 – 1 = 3, tga =корень квадратный из 3, (со знаком + или – в зависимости в какой четверти находится а).

ctga = 1/корень из 3.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла – это тригонометрические функции. Можно сказать, что все они связаны между собой. Часто для нахождения одной из этих функций при условии, что известна другая, приходится вспоминать основные тригонометрические равенства или тождества, а также определение самих этих понятий. Зная все перечисленное выше, несложно выразить одну функцию через другую.

Тангенс угла – это отношение синуса этого угла к его косинусу.

Котангенс угла – это отношение косинуса угла к его синусу.

Нам известен косинус, из основного тригонометрического тождества ( sin²α + cos²α = 1 ) выразим синус:

sinα = √(1 – cos²α) для α из 1 и 2 четвертей,

sinα = -√(1 – cos²α) для α из 3 и 4 четвертей.

Подставив формулу для синуса угла в формулу тангенса и котангенса, получим формулы для вычисления значений этих функций:

tgα = ± √(1 – cos²α) / cosα,

ctgα = ± cosα / √(1 – cos²α).

Котангенс, впрочем, можно вычислить путем попроще, вспомнив, что тангенс и котангенс – функции обратные, то есть ctgα = 1 / tgα. Подставляем в формулу значение тангенса и вычисляем котангенс.

Если вам требуется найти тангенс и котангенс при помощи косинуса, то вам предстоит воспользоваться определенной тригонометрической формулой:

при которой вы сможете отыскать синус из данной формулы, при том, что мы имеем известный косинус.

Получившаяся формула выглядит таким образом:

Теперь, нам следует подставить значение синуса в формулу вычисления тангенса, а именно речь идет о :

Теперь подставим аналогичную формулу через косинус для котангенса:

Для нахождения тангенса и котангенса через косинус необходимо воспользоваться приведенной ниже тригонометрической формулой:

Находим синус из формулы указанной выше (при условии, что косинус нам известен), получается:

Подставляем в формулу вычисления тангенса значение синуса:

tg? = sin? / cos? = ± ?(1 – cos??) / cos?.

Теперь аналогично для котангенса через косинус.

ctg? = cos? / sin? = ± cos? / ?(1 – cos??).

Все функции мы знаем из курса тригонометрии, и в это же время проходят и алгоритм нахождения тангенса/котангенса через косинус.

Ну как следует из вопроса косинус нам известен. Если нет, то находим по формулам –

Имея на руках значения двух вводных – синуса и косинуса, далее еще проще действовать по формулам нахождения тангенса и котангенса.