Калькулятор длин сторон треугольника онлайн умеет вычислять длину сторон 14 способами.
Калькулятор может:
- Найти все стороны треугольника.
- Найти все углы треугольника.
- Найти площадь (S) и периметр (P) треугольника.
- Найти радиус (r) вписанной окружности.
- Найти радиус (R) описанной окружности.
- Найти высоту (h) треугольника.
Просто введите любые имеюшиеся данные и, если их достаточно, то калькулятор сам подберет нужные формулы для вычислений и покажет подробный расчет с выводом формул.
Сторона треугольника (или длина сторон) может быть найдена различными методами.
В большинстве случаев достаточно воспользоваться одной из ниже приведенных формул. Однако не редки случаи когда для нахождения искомой стороны понадобиться обратиться к дополнительным материалам или решения в два действия.
Как найти длину стороны треугольника?
Найти длину сторон треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же длина может быть найдена самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.
Для прямоугольного треугольника:
1) Найти катет через гипотенузу и другой катет
где a и b – катеты, с – гипотенуза.
2) Найти гипотенузу по двум катетам
где a и b – катеты, с – гипотенуза.
3) Найти катет по гипотенузе и противолежащему углу
где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β° – углы напротив катетов.
4) Найти гипотенузу через катет и противолежащий угол
где a и b – катеты, с – гипотенуза,α° и β°- углы напротив катетов.
Для равнобедренного треугольника:
1) Найти основание через боковые стороны и угол между ними
где a – искомое основание, b – известная боковая сторона,α° – угол между боковыми сторонами.
2) Найти основание через боковые стороны и угол при основании
где a – искомое основание,b – известная боковая сторона,β° – угол при осноавнии.
3) Найти боковые стороны по углу между ними
где b – искомая боковая сторона, a – основание,α° – угол между боковыми сторонами.
4) Найти боковые стороны по углу при основании
где b – искомая боковая сторона, a – основание,β° – угол при осноавнии.
Для равностороннего треугольника:
1) Найти сторону через площадь
где a – искомая сторона, S – площадь треугольника.
2) Найти сторону через высоту
где a – искомая сторона,h – высота треугольника.
3) Найти сторону через радиус вписанной окружности
где a – искомая сторона,r – радиус вписанной окружности.
4) Найти сторону через радиус описанной окружности
где a – искомая сторона,R – радиус описанной окружности.
Для произвольного треугольника:
1) Найти сторону через две известные стороны и один угол (теорема косинусов)
где a – искомая сторона, b и с – известные стороны, α° – угол напротив неизвестной стороны.
2) Найти сторону через одну известную сторону и два угла (теорема синусов)
где a – искомая сторона, b – известная сторона, α° и β° известные углы.
Скачать все формулы в формате Word
Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.
a, b, c – стороны произвольного треугольника
α, β, γ – противоположные углы
Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), (a):
* Внимательно, при подстановке в формулу, для тупого угла (α>90), cosα принимает отрицательное значение
Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), (a):
Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы
a, b – катеты
c – гипотенуза
α, β – острые углы
Формулы для катета, (a):
Формулы для катета, (b):
Формулы для гипотенузы, (c):
Формулы сторон по теореме Пифагора, (a,b):
Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы
b – сторона (основание)
a – равные стороны
α – углы при основании
β – угол образованный равными сторонами
Формулы длины стороны (основания), (b):
Формулы длины равных сторон , (a):
Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.
H – высота треугольника
a – сторона, основание
b, c – стороны
β, γ – углы при основании
p – полупериметр, p=(a+b+c)/2
R – радиус описанной окружности
S – площадь треугольника
Формула длины высоты через стороны, (H):
Формула длины высоты через сторону и угол, (H):
Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):
Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):
В прямоугольном треугольнике катеты, являются высотами. Ортоцентр – точка пересечения высот, совпадает с вершиной прямого угла.
H – высота из прямого угла
a, b – катеты
с – гипотенуза
c1 , c2 – отрезки полученные от деления гипотенузы, высотой
α, β – углы при гипотенузе
Формула длины высоты через стороны, (H):
Формула длины высоты через гипотенузу и острые углы, (H):
Формула длины высоты через катет и угол, (H):
Формула длины высоты через составные отрезки гипотенузы , (H):
L– биссектриса, отрезок |OB|, который делит угол ABC пополам
a, b – стороны треугольника
с – сторона на которую опущена биссектриса
d, e – отрезки полученные делением биссектрисы
γ – угол ABC , разделенный биссектрисой пополам
p – полупериметр, p=(a+b+c)/2
Длина биссектрисы через две стороны и угол, (L):
Длина биссектрисы через полупериметр и стороны, (L):
Длина биссектрисы через три стороны, (L):
Длина биссектрисы через стороны и отрезки d, e, (L):
Точка пересечения всех трех биссектрис треугольника ABC, совпадает с центром О, вписанной окружности.
1. Найти по формулам длину биссектрисы из прямого угла на гипотенузу:
L – биссектриса, отрезок ME , исходящий из прямого угла (90 град)
a, b – катеты прямоугольного треугольника
с – гипотенуза
α – угол прилежащий к гипотенузе
Формула длины биссектрисы через катеты, ( L):
Формула длины биссектрисы через гипотенузу и угол, ( L):
2. Найти по формулам длину биссектрисы из острого угла на катет:
L – биссектриса, отрезок ME , исходящий из острого угла
a, b – катеты прямоугольного треугольника
с – гипотенуза
α, β – углы прилежащие к гипотенузе
Формулы длины биссектрисы через катет и угол, (L):
Формула длины биссектрисы через катет и гипотенузу, (L):
L – высота = биссектриса = медиана
a – одинаковые стороны треугольника
b – основание
α – равные углы при основании
β – угол образованный равными сторонами
Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):
Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):
Формула для вычисления высоты = биссектрисы = медианы.
В равностороннем треугольнике: все высоты, биссектрисы и медианы, равны. Точка их пересечения, является центром вписанной окружности.
L – высота=биссектриса=медиана
a – сторона треугольника
Формула длины высоты, биссектрисы и медианы равностороннего треугольника, (L):
Медиана – отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.
Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.
M – медиана, отрезок |AO|
c – сторона на которую ложится медиана
a, b – стороны треугольника
γ – угол CAB
Формула длины медианы через три стороны, (M):
Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):
Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.
Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).
M – медиана
R – радиус описанной окружности
O – центр описанной окружности
с – гипотенуза
a, b – катеты
α – острый угол CAB
Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):
Формула длины через катеты, (M):
Формула длины через катет и острый угол, (M):
Формул для нахождения стороны треугольника не так уж много, но главное не знать их – а успешно применять при решении задач, ведь далеко не каждую задачу можно решить в лоб.
Сейчас на примере я покажу, как нужно их применять.
Есть произвольный треугольник со стороной 18 см, один угол при нем равен 30 градусам, а площадь равна 36 см.кв. Нужно найти две другие стороны. Сделаем рисунок
Для решения задачи проведем к основанию (с=18см) высоту h и тем самым разделим наш треугольник на два прямоугольных.
Исходя из формулы площади, найдем высоту
S = 1/2h*c откуда h = 2S/c = 2*36/18 = 4 см
Теперь находим сторону b по синусу угла
sin = h/b (отношение противоположного катета к гипотенузе) откуда b = h/(sin 30) = 4/(1/2) = 8 см.
Мы уже знаем две стороны у угол между ними и третью сторону можно найти по формуле из теоремы косинусов, но к сожалению не всегда мы ее помним. В нашем случае ничего страшного – найдем сторону а по формуле Пифагора, но для начала нам нужно найти сторону х.
Можно по формуле Пифагора
откуда х = квадратный корень из (8*8 – 4*4), что равно 4*(кв.к3)
и находим последнюю сторону нашего треугольника
а = кв.к из (c-x)*(c-x) + h*h = кв.к из 18*18-2*18*4*(кв.к3)+4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4
здесь стоит обратить внимание, что
18*18 = с*с
4*(кв.к3)*4*(кв.к3)+4*4 = 4*4*3+4*4 = 4*4*4 = 4*2*2*2 = 8*8 = b*b
2*18*4*(кв.к3) = 2*18*4*2*(кв.к3/2) = 2*18*8*(кв.к3/2) = 2*с*b*cos30 и теперь можно записать
а = кв.к из с*с – 2*с*b*cos30 + b*b Что на самом деле есть формулой нахождения стороны треугольника по теореме косинусов (мы ее только что вывели)
Теперь посчитаем и найдем сторону а = 11,772 см.
Укажите размеры:
α
?
b
Сторона b
Угол в градусах
Округлить число Пи до 3,14
Результат:
Решение:
Ссылка на страницу с результатом:
# Теория
Треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.
Прямоугольный треугольник — это треугольник у которого один из углов прямой (равен 90°). Стороны треугольника образующие прямой угол называются катетами треугольника. Сторона противоположная прямому углу называется гиппотенузой.
Радиан — это угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Своё название данная едииница измерения получила от слова радиус. Имеет обозначение: рад, международное: rad.
Радианы являются основной единицей используемой в вичислениях.
Градус — общепринятая единица измерения плоского угла, которая равняется dfrac{1}{90} части прямого угла или dfrac{1}{360} часть окружности. В отличии от радиан, градусы являются чисто символическими единицами измерения, так сказать “взятые с потолка” и не имеют в своём значении ни какого математического основания.
Причина выбора градуса в качестве единицы измерения углов неизвестна. В быту измерение углов в градусах выглядит удобнее и понятнее, но что касается математических вычислений, то здесь основными единицами являются радианы.
Формула нахождения стороны через угол
Посчитать длину одного из катетов треугольника можно через второй катет и угол противолежащий искомой стороне:
Похожие калькуляторы:
Войдите чтобы писать комментарии
Зная две стороны в треугольнике и угол между ними, можно с помощью теоремы косинусов вычислить третью сторону треугольника. Для этого нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов известных сторон и разности с их удвоенным произведением на косинус угла между ними. (рис.76)
a^2=b^2+c^2-2bc cosα
a=√(b^2+c^2-2bc cosα )
Угол β или γ можно рассчитать через ту же теорему косинусов, зная две, образующие их стороны, при этом один из них – последний, проще найти, отняв два известных от 180 градусов.
cosβ=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(b^2+c^2-2bc cosα+c^2-b^2)/(2c√(b^2+c^2-2bc cosα ))=(2c^2-2bc cosα)/(2c√(b^2+c^2-2bc cosα ))=(c-b cosα)/√(b^2+c^2-2bc cosα )
cosγ=(a^2+b^2-c^2)/2ab=(b^2+c^2-2bc cosα+b^2-c^2)/(2b√(b^2+c^2-2bc cosα ))=(b-c cosα)/√(b^2+c^2-2bc cosα )
Медиана треугольника рассчитывается по вполне однозначной формуле, тогда как если нужно найти медианы через две стороны и угол между ними, то требуются преобразования.
m_a=√(2b^2+2c^2-a^2 )/2=√(2b^2+2c^2-b^2-c^2+2bc cosα )/2=√(b^2+c^2+2bc cosα )/2
m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2b^2+2c^2-4bc cosα+2c^2-b^2 )/2=√(b^2+4c^2-4bc cosα )/2
m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2=√(2b^2+2c^2-4bc cosα+2b^2-c^2 )/2=√(4b^2+c^2-4bc cosα )/2
Для расчета биссектрис в произвольном треугольнике также существуют стандартные формулы, из которых только одна может быть преобразована и упрощена для двух сторон и угла между ними.
l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)
l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)
l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b-c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-b^2-c^2+2bc cosα ) )/(b+c)=(bc√(2(1+cosα ) ))/(b+c)
Чтобы найти высоту, нужно знать все три стороны в треугольнике. Подставив их в формулу так, чтобы сторона, на которую опущена искомая высота была в знаменателе, рассчитываются их величины.
h_a=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/a
h_b=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/b
h_c=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/c
Вычислить среднюю линию треугольника можно, зная лишь ту сторону, которой она параллельна, так как сторона будет в два раза больше. В случае с неизвестной стороной, можно подставить в формулу радикал,выведенный по теореме косинусов.
M_a=a/2=√(b^2+c^2-2bc cosα )/2
M_b=b/2
M_c=c/2
На пересечении биссектрис в треугольнике расположен центр окружности, которую можно в него вписать. Радиус такой окружности рассчитывается по следующей формуле(рис.75.5)
r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p)
Центр описанной вокруг треугольника окружности в свою очередь расположен в точке пересечения медиатрисс, и его формула значительно видоизменена в сравнении с радиусом вписанной окружности. (рис.75.6)
R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))
