Картинку как найти площадь квадрата

Картинку как найти площадь квадрата

Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую,
что эти фигуры совпадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Площадь квадрата

Запомните!
!

Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.

S = a · a

Пример:

площадь квадрата
SEKFM = EK · EK

SEKFM = 3 · 3 = 9 см2

Формулу площади квадрата, зная
определение степени,
можно записать следующим образом:

S = a2

Площадь прямоугольника

Запомните!
!

Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.

S = a · b

Пример:

площадь прямоугольника
SABCD = AB · BC

SABCD = 3 · 7 = 21 см2

Запомните!
!

Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.

Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.

Площадь сложных фигур

Запомните!
!

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Задача: найти площадь огородного участка.

площадь фигуры

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя
правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

площадь сложной фигуры
SABCE = AB · BC
SEFKL = 10 · 3 = 30 м2
SCDEF = FC · CD
SCDEF = 7 · 5 = 35 м2

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = SABCE + SEFKL
S = 30 + 35 = 65 м2

Ответ: S = 65 м2 — площадь огородного участка.

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Запомните!
!

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.

Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник:

диагональ прямоугольника делит на равные треугольники

АС — диагональ прямоугольника
ABCD. Найдём площадь треугольников
знак треугольника
ABC и
знак треугольникаACD

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

SABCD = AB · BC
SABCD = 5 · 4 = 20 см2

Sзнак треугольника
ABC = SABCD : 2

Sзнак треугольника
ABC = 20 : 2 = 10 см2

Sзнак треугольника
ABC =
Sзнак треугольника
ACD = 10 см2

Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

3 декабря 2015 в 22:54

Ирина Петренко
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Ирина Петренко
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

как написать правильно площадь треугольника?undecided

0
Спасибоthanks
Ответить

9 декабря 2015 в 19:41
Ответ для Ирина Петренко

Тима Клюев
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 8

(^-^)
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 8


S(рисуешь мини треугольник) = ,,,,,

0
Спасибоthanks
Ответить

Источник

Квадрат — определение и свойства

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Можно дать и другое определение квадрата:
квадрат — это ромб, у которого все углы прямые.

Получается, что квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба.

Квадрат относится к правильным многоугольникам. У правильного многоугольника все стороны равны и все углы равны.

Перечислим свойства квадрата:

  1. Все углы квадрата — прямые, все стороны квадрата — равны.
    AB=BC=CD=AD;
    angle A= angle B=angle C=angle D=90^{circ }.
  2. Диагонали квадрата равны и пересекаются под прямым углом.
    AC=BD, AC perp BD.
  3. Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
    AO=OC, BO=OD.
  4. Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов (делят его углы пополам).
    angle BAC=angle DAC, angle ABD=angle CBD, angle BCA=angle DCA,
    angle CDB=angle ADB.
  5. Диагонали квадрата делят его на 4 равных прямоугольных равнобедренных треугольника:
    triangle AOB=triangle BOC=triangle COD=DOA.

Периметр квадрата P в 4 раза больше его стороны и равен: P=4a.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны: S=a^2.

Теорема 1. Диагональ квадрата равна произведению его стороны на sqrt{2}, то есть
d=sqrt{2} cdot a.

Доказательство:

Рассмотрим квадрат ABCD. Проведем диагональ квадрата AC.

Треугольник АВС – прямоугольный с гипотенузой АС. Запишем для треугольника АВС теорему Пифагора:

AC^{2}=AB^{2}+BC^{2};

AC^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}, AC=asqrt{2}, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:

displaystyle r=frac{1}{2}cdot a

Доказательство:

Пусть окружность с центром в точке О и радиусом r вписана в квадрат АВСD и касается его сторон в точках
P, M, N, K.

Тогда OP perp AB, ON perp CD, поскольку AB параллельно CD. Через точку О можно провести только одну прямую, перпендикулярную АВ, поэтому точки Р, О и N лежат на одной прямой. Значит, PN – диаметр окружности. Поскольку АРND – прямоугольник, то PN = AD, то есть

2r=a, r=a/2, что и требовалось доказать.

Теорема 3. Радиус описанной около квадрата окружности равен половине его диагонали:

R=frac{sqrt{2}}{2}cdot a.

Доказательство:

Диагонали квадрата АС и BD равны, пересекаются в точке О и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому OA=OB=OC=OD, т.е. точки A, B, C и D лежат на одной окружности, радиус которой R = d/2 (d=AC=BD). Это и есть описанная около квадрата АВСD окружность.

По теореме 1:d=asqrt{2}.

Тогда R=afrac{sqrt{2}}{2}, что и требовалось доказать.

Заметим, что периметр квадрата тоже можно связать с радиусами вписанной и описанной окружностей:

P=4a=4sqrt{2}R=8r.

Четырехугольник является квадратом, если выполняется хотя бы одно из условий:

  1. Все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
  2. Диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Разберем несколько простых задач на тему «Квадрат». Все они взяты из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна sqrt{8}.

Решение:

Мы знаем, что d=sqrt{2} cdot a. Тогда a=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle d}{displaystyle sqrt{2}}= 2.

Ответ: 2.

Задача 2. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.

Первый способ решения:

Зная связь между стороной и диагональю квадрата (теорема 1), выразим сторону квадрата через его диагональ:

displaystyle d=sqrt{2}cdot a Rightarrow a=frac{d}{sqrt{2}}Rightarrow a=frac{1}{sqrt{2}}.

Тогда по формуле площади квадрата:

displaystyle S=a^{2}=left (frac{1}{sqrt{2}} right )^{2}=frac{1}{2}=0,5.

Второй способ решения:

Воспользуемся формулой для площади ромба:

displaystyle S=frac{1}{2}d_{1}d_{2}=frac{1}{2}d^{2}=0,5.

Ответ: 0,5

Задача 3. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата со стороной, равной sqrt{8}.

Решение:

Рисунок к задаче 2

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому

displaystyle R=frac{d}{2}=afrac{sqrt{2}}{2}=sqrt{8}cdot frac{sqrt{2}}{2}=2.

Ответ: 2.

Задача 4. Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 4.

Решение:

Рисунок к задаче 3

Диаметр окружности равен стороне квадрата: a=2r=8.

Ответ: 8.

Задача 5. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 14sqrt{2}. Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной окружности:

a=2r=28sqrt{2}.

Диагональ найдем, зная сторону квадрата:

d=asqrt{2}=28sqrt{2}cdot sqrt{2}=56.

Ответ: 56.

Задача 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 11sqrt{2}. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата, а радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

displaystyle r=frac{a}{2}; R=frac{d}{2}; d=asqrt{2}.

Поэтому R=rsqrt{2}=11sqrt{2}cdot sqrt{2}=22.

Ответ: 22.

Задача 7. Найдите периметр квадрата, если его площадь равна 9.

Решение:

Найдем сторону квадрата: a=sqrt{S}=sqrt{9}=3.

Периметр квадрата со стороной 3 равен: P=4a=12.

Ответ: 12.

Задача 8. Найдите площадь квадрата, в который вписан круг площадью 4pi .

Решение:

Площадь круга S_{kp}=pi r^{2}=4pi , откуда радиус круга равен 2.

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанного круга и равна 4. Площадь квадрата равна 16.

Ответ: 16.

Задача 9. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, считая стороны квадратных клеток равными sqrt{2}.

 

Решение:

Сторону квадрата найдем как диагональ другого квадрата со стороной 2 клеточки. Поскольку длина одной клеточки равна sqrt{2}., то сторона малого квадрата равна 2sqrt{2}. А сторона квадрата ABCD равна 2sqrt{2}cdot sqrt{2}=4.

Радиус вписанной окружности в два раза меньше стороны квадрата и равен 2.

Ответ: 2.

Задача 10. Найдите радиус r окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. В ответе укажите r sqrt{10}.

Решение:

Считаем стороны клеток равными единице. Четырехугольник ABCD — квадрат. Все его стороны равны, все углы — прямые. Как и в предыдущей задаче, радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

Найдем на чертеже прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора найдем сторону, например, AB.

Она равна sqrt{10}. Тогда радиус вписанной окружности равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{10}}{displaystyle 2}. В ответ запишем r sqrt{10}.

Ответ: 5.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Квадратu0026nbsp;u0026mdash; определение иu0026nbsp;свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Квадрат – это геометрическая фигура; правильный четырехугольник, т.е. четырехугольник, имеющий равные стороны и углы (90°).

  • Формула вычисления площади

  • Примеры задач

Формула вычисления площади

1. По длине стороны: 

Площадь квадрата (S) равняется квадрату длины его стороны:

S = a2

Площадь квадрата

Данная формула следует из того, что квадрат является частным случаем прямоугольника, площадь которого находится путем умножения его смежных сторон:

S = a*b

Площадь прямоугольника

А т.к. все стороны квадрата равны, то вместо стороны b мы снова подставляем в формулу сторону a, т.е. S = a*a = a2.

2. По по длине диагонали

Площадь квадрата равняется половине квадрата длины его диагонали:

S = d2/2

Площадь квадрата по длине его диагонали

Соотношение стороны и диагонали квадрата: d=a√2.

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь квадрата, сторона которого равна 7 см.

Решение:
Используем формулу по длине стороны, т.е. S = 72 = 49 см2.

Задание 2
Найдите площадь квадрата, диагональ которого равняется 4 см.

Решение 1:
Воспользуемся второй формулой (по длине диагонали): S = 42/2 = 8 см2.

Решение 2:
Мы можем выразить длину стороны через диагональ: a = 4/√2. И тогда, используя первую формулу, S = (4/√2)2 = 8 см2.

Источник
  • Главная
  • Справочник
  • Как найти площадь квадрата

Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р
Узнать стоимость

Как найти площадь квадрата

Поможем сделать домашку Online

Первое занятие бесплатно

Перейти

Решение задачи по геометрии

Выполнение 1-3 дня

от 150 ₽

Заказать
Подробнее

Контрольные по геометрии

Выполнение 1–4 дня

от 310 ₽

Заказать
Подробнее

Контрольные по математике

Выполнение 1–4 дня

от 260 ₽

Заказать
Подробнее

Содержание:

  • Формула
  • Примеры вычисления площади квадрата

Формула

Чтобы найти площадь квадрата (рис. 1), надо длину его стороны возвести в квадрат, то есть

$$S=a^2$$

Напомним, что квадратом называется правильный четырехугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Примеры вычисления площади квадрата

Пример

Задание. Найти площадь квадрата со стороной 3 см.

Решение. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть

$S=3^2=9$(см2)

Ответ. $S=3^2=9$ (см2)

Все формулы площади
Калькулятор площади квадрата

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Узнать стоимость

Пример

Задание. Найти площадь квадрата, диагональ которого равна 2 м.

Решение. Известно, что сторона
$a$ квадрата связана с его диагональю $d$ соотношением:

$$d=a sqrt{2}$$

тогда отсюда находим, что

$a=frac{d}{sqrt{2}}=frac{2}{sqrt{2}}=sqrt{2}$(м)

А тогда искомая площадь

$S=(sqrt{2})^{2}=2$ (м2)

Ответ. $S=2$ (м2)

Читать дальше: как найти площадь прямоугольника.

Статьи по теме

  • Как найти площадь
  • Как найти площадь треугольника
  • Как найти площадь ромба
  • Как найти площадь эллипса
  • Как найти площадь прямоугольного треугольника
  • Все темы раздела “Как найти площадь”

Поможем выполнить
любую работу

  • Дипломные работы
  • Курсовые работы
  • Рефераты
  • Контрольные работы
  • Отчет по практике
  • Эссе

Контрольные, курсовые, дипломные
Узнать подробнее

Разделы

  • Формулы сокращенного умножения
  • Формулы по физике
  • Логарифмы
  • Векторы
  • Матрицы
  • Комплексные числа
  • Пределы
  • Производные
  • Интегралы
  • СЛАУ
  • Числа
  • Дроби

Краткая теория

  • Формулы
  • Теоремы
  • Свойства
  • Таблицы

Теоретический материал

  • Формулы и свойства логарифмов
  • Таблица интегралов
  • Тригонометрические формулы
  • Таблица степеней
  • Формулы и свойства степеней
  • Формулы площади
  • Таблица Лапласа
  • Формулы объема

Все еще сложно?

Наши эксперты помогут разобраться

Все услуги

Дипломные работы

Выполнение 2-3 недели

от 7000 ₽

Курсовые работы

Выполнение 5-7 дней

от 1500 ₽

Контрольные работы

Выполнение 1–4 дня

от 260 ₽

Написание рефератов

Выполнение 2-5 дней

от 650 ₽

Решение задач

Выполнение 1–3 дня

от 90 ₽

Написание диссертаций

Выполнение 2-3 месяца

от 19 000 ₽

Как найти площадь ромба

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Как найти площадь

Как найти площадь эллипса

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Я даю согласие на обработку своих персональных данных в соответствии с Политикой
конфиденциальности и принимаю условия Договора публичной оферты

Visa

Mastercard

Mir

Yandex

Qiwi

Euroset

Webmoney

Svyaznoy

Ищещь ответ на вопрос с которым нужна помощь?

80% ответов приходят в течение 10 минут

Прикрепить файл

250 ответов по вашей теме сегодня

2 специалиста свободны онлайн

Ответы приходят уже через 10 минут

90% ответов положительные

Источник

Кроме стандартного произведения сторон в геометрии есть еще как минимум пять методов, о которых я хочу сейчас рассказать. Итак, поехали!

Формула 1. Площади квадрата через его диагональ

А Вы знали, что есть целых 6 (!!!) формул, по которым можно посчитать площадь квадрата

Выводится элементарно через один из прямоугольных треугольников.

Формула 2. Через периметр

А Вы знали, что есть целых 6 (!!!) формул, по которым можно посчитать площадь квадрата

Получается подстановкой в стандартную формулу площади значения а = p/4.

Формула 3. Через отрезок из вершины квадрата к середине противоположной стороны

А Вы знали, что есть целых 6 (!!!) формул, по которым можно посчитать площадь квадрата

Аналогично всё выводится из прямоугольного треугольника ABE.

Формула 4. Через радиус вписанной окружности

А Вы знали, что есть целых 6 (!!!) формул, по которым можно посчитать площадь квадрата

Очевидно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, исходя из чего, и выводится формула.

Формула 5. Через радиус описанной окружности

А Вы знали, что есть целых 6 (!!!) формул, по которым можно посчитать площадь квадрата

Вот такая тривиальная геометрия в это солнечное субботнее утро. Спасибо за внимание, уважаемые Читатели!

Читайте также:

Источник

Добавить комментарий