Кинетическая энергия как найти без скорости

Была ли эта статья полезной?

Did this article help you?

Содержание:

Кинетическая энергия:

Иногда значение работы можно найти, не используя понятия силы и перемещения, на основании характеристики изменения энергии тела.

Рассмотрим тело массой m, на которое действует сила F. Направление действия силы совпадает с направлением перемещения. Работа, которую выполняет эта сила,

A = Fs.
Согласно второму закону механики Ньютона значение силы

Как известно, модуль перемещения равен:

Поэтому

Как известно, выражение  называется кинетической энергией. Следовательно, для расчета работы достаточно определить только массу тела и его начальную и конечную скорости, т. е. знать изменение кинетической энергии тела. Такой метод удобен, поскольку им можно пользоваться даже в случае переменной силы и произвольной траектории.

Физическая величина, описывающая состояние движущегося тела и изменение которой определяет работу, называется кинетической энергией.

Для измерения энергии, как и работы, используется единица джоуль (Дж), названная в честь английского ученого Д. Джоуля.

Кинетической энергией обладает тело, движущееся в данной системе отсчета с определенной скоростью:
Скорость тела, измеренная в разных системах отсчета, будет иметь разное значение, т. е. она является относительной величиной. Поэтому кинетическая энергия тела постоянной массы тоже величина относительная и в разных системах отсчета имеет разное значение.

Рассмотрим, например, два железнодорожных вагона, массы которых составляют по 2 • кг, движущиеся в одном направлении со скоростями 15 м/с и 10 м/с относительно железнодорожного полотна, причем первый догоняет второго. Их кинетическая энергия соответственно будет:

Если же систему отсчета связать со вторым вагоном, то первый будет двигаться со скоростью 5 м/с , а второй – со скоростью v = 0. В этом случае

Следовательно, при расчетах в разных инерциальных системах отсчета следует учитывать, что кинетическая энергия в случае перехода из одной системы в другую будет изменяться.

Что такое кинетическая энергия

Кинетическая энергия (от греческого слова кинетикос – тот, что приводит в движение) – это энергия, которой тело обладает вследствие собственного движения.

Кинетической энергией обладает ветер, её используют для сообщения движения ветряным двигателям. Движущиеся массы воздуха оказывают давление на наклонные плоскости крыльев ветряных двигателей и заставляют их вращаться. На рисунке 175, а изображена ветряная мельница, в которой за счёт энергии ветра мелют зерно. Современные довольно мощные ветряные двигатели (рис. 175, б) используют для того, чтобы вырабатывать электроэнергию, качать из скважин воду и подавать её в водонапорные башни.

Движущаяся вода или нагретый пар, вращая турбины электростанции, теряет часть своей кинетической энергии и выполняет работу. Самолёт, летящий высоко в небе, кроме потенциальной обладает и кинетическуй энергией. Если тело находится в состоянии покоя, т. е. его скорость относительно Земли равна нулю, то и его кинетическая энергия относительно Земли будет равна нулю.

Опытами установлено, что чем больше масса тела и скорость, с которой оно движется, тем больше его кинетическая энергия. Выявленная зависимость математически выражается такой формулой: 

где — кинетическая энергия тела; — масса тела; — скорость движения тела.

Определение кинетической энергии

Наблюдения явлений природы показывают, что работа может выполняться при движении тел. Так, движущийся тепловоз, стыкуясь с вагоном, перемещает его на некоторое расстояние. Выполняется работа и в том случае, когда брошенный камень разбивает лед. Выстреленная из ружья пуля пробивает доску и т. п. Если потенциальной энергией обладают тела, на которые действует сила, то в упомянутых выше случаях работа выполняется потому, что они осуществляли перемещение, двигались.

Какой энергией обладают движущиеся тела

Энергию движущегося тела называют кинетической энергией. 

Кинетическая энергия является физической величиной ее значение можно рассчитывать. Для этого необходимо знать, от каких физических величин она зависит.

Как рассчитывают кинетическую энергию

Поставим желоб под некоторым углом к поверхности стола. На некотором расстоянии от его нижнего конца поставим брусок. На средней части желоба разместим маленький стальной шарик и отпустим его. Скатившись по желобу, шарик ударится о брусок и переместит его на некоторое расстояние. Отметим расстояние, на которое сместился брусок.

Поместим шарик в верхней части желоба и отпустим его. В этом случае, скатившись желобом к основе, шарик приобрел большую скорость, чем раньше. Ударившись в брусок, он переместит его на большее расстояние, чем в предыдущем опыте, соответственно выполнив большую работу.

Таким образом, кинетическая энергия тела зависит от его скорости. Эта зависимость нелинейная, что заметно на графике зависимости кинетической энергии тела от его скорости. График имеет вид кривой линии (рис. 126).

Кинетическая энергия тела относительна

Как известно, скорость тела является относительной величиной и зависит от выбора тела отсчета. Поэтому и кинетическая энергия является величиной относительной. Если артиллерийский снаряд, попав в стену, причиняет значительные разрушения, то снаряд, посланный вдогонку сверхзвуковому самолету, не причинит ему существенных повреждений, поскольку скорость снаряда относительно самолета будет небольшой.

Последствия столкновения автомобилей в случае их движения навстречу друг другу будут всегда более ощутимы, чем тогда, когда один автомобиль догоняет другой.

Кинетическая энергия зависит и от массы тела. Если повторим предыдущие опыты с шариком большей массы, то увидим, что перемещения бруска в этом случае будет большим. Эта зависимость линейная, поэтому можно сказать, что кинетическая энергия тела пропорциональна его массе (рис. 127).

Как рассчитать кинетическую энергию

Чтобы рассчитать кинетическую энергию, используют формулу:

где — масса тела; — скорость тела.

Кинетическая энергия разных физических тел используется для выполнения механической работы. Так, опытные водители автомобилей время от времени отсоединяют двигатель от колес, выключая сцепление, и этим экономят топливо. Работа по преодолению сил трения выполняется за счет кинетической энергии автомобиля. Конструкторы работают над моделью городского автобуса, который начинает движение за счет энергии раскрученного во время стоянки большого маховика. Это дает возможность существенно уменьшить выбросы вредных газов в атмосферу и экономить топливо.

В южных областях Украины, в частности на Крымском полуострове, используют ветряные электростанции, которые работают за счет кинетической энергии потоков воздуха — ветра (рис. 128).

• Заказать решение задач по физике

Кинетическая энергия тела

Рассмотрим движение тела массой т под действием нескольких сил, например движение санок (см. рис. 124). Предположим также, что сила натяжения веревок постоянна, а следовательно, постоянной будет и результирующая сила . Она совпадает по направлению с перемещением тела или противоположна ему. Эта сила, естественно, вызывает ускорение санок, т. е. изменяет их скорость. Кроме того, она совершает работу. Следовательно, между работой результирующей силы и изменением скорости санок должна существовать связь.

Рассмотрим случай, когда проекция результирующей силы на направление движения положительна, т. е. санки движутся равноускоренно с ускорением а, которое находится из второго закона Ньютона:
    (1)

Работа результирующей силы:
A = F_p△r,    (2)
где △r— модуль перемещения тела за некоторый промежуток времени. Подставим выражение (1) в (2). В результате получим:
A = ma△r.    (3)

При равноускоренном одномерном движении модуль перемещения △r и изменение скорости связаны соотношением:
    (4)
где и — начальная и конечная скорости тела, которое совершило перемещение △r с ускорением а.

Соотношение (3) с учетом (4) примет вид:
    (5) 

Полученная формула связывает работу результирующей силы, действующей на тело, с изменением величины . Эта величина называется кинетической энергией тела и обычно обозначается К.
Кинетическая энергия тела — это энергия движения. Она равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости:
      (6)

Тогда формула (5) примет вид:
      (7)

Итак, работа результирующей силы, действующей на тело, равна изменению кинетической энергии тела. Как вы уже знаете, изменение какой-то величины равно разности конечного значения и начального. Из формулы (7) очевидно следует, что кинетическая энергия выражается в тех же единицах, что и работа, т. е. в СИ в джоулях.

Когда результирующая сила действует по направлению движения тела и, следовательно, совершает положительную работу, то K₂>K₁. Это означает, что кинетическая энергия тела увеличивается. Понятно, что, если результирующая сила направлена в сторону, противоположную движению, она совершает отрицательную работу, и кинетическая энергия тела уменьшается. Следует отметить, что, хотя мы получили формулу (7) для частного случая равноускоренного и прямолинейного движения, она справедлива и в случае изменяющейся во времени результирующей силы. Поэтому формулу (7) часто называют теоремой о кинетической энергии.

Итак, любое движущееся тело (рис. 127, 128) обладает кинетической энергией. Поскольку скорость тела зависит от выбора инерциальной системы отсчета, то и кинетическая энергия также зависит от выбора системы отсчета. Очевидно, что, как и работа, кинетическая энергия является скалярной физической величиной. Она не зависит от направления движения тела, а определяется его массой и квадратом скорости.

Главные выводы:

1. Кинетическая энергия тела — это энергия движения. Она равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости и зависит от выбора системы отсчета.
2. Изменение кинетической энергии равно работе всех сил, действующих на тело.
3. Кинетическая энергия измеряется в тех же единицах, что и работа.

Виды энергии:
	Механическая	Потенциальная  Кинетическая
‹♦›	Внутренняя
	Электромагнитная	Электрическая  Магнитная
	Химическая
	Ядерная
	Гравитационная
	Вакуума
Гипотетические:
	Тёмная
См. также: Закон сохранения энергии

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точек^[1]. Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии^[2]. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

где индекс нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения^[3]. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением^[4]. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: , , и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж), в СГС — в эргах.

Упрощённо, кинетическая энергия — это работа, которую необходимо совершить, чтобы тело массой разогнать из состояния покоя до скорости . Либо, наоборот, это работа, которую может совершить, останавливаясь, тело массой , обладающее начальной скоростью .

История и этимология понятия[править | править код]

Прилагательное «кинетический» происходит от греческого слова κίνησις (kinesis, «движение»). Дихотомия между кинетической энергией и потенциальной энергией восходит к аристотелевским концепциям потенциальности и актуальности^[en][5] .

Принцип классической механики, согласно которому E ∝ mv²/2, был впервые разработан Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли, описавшими кинетическую энергию как живую силу (лат. vis viva)^[6]. Вильгельм Гравезанд из Нидерландов предоставил экспериментальные доказательства этой связи. Сбрасывая грузы с разной высоты на глиняный блок, он определил, что глубина их проникновения пропорциональна квадрату скорости удара. Эмили дю Шатле осознала значение данного эксперимента и опубликовала объяснение^[7].

Понятия «кинетическая энергия» и «работа» в их нынешнем научном значении восходят к середине XIX века. В 1829 году Гаспар-Гюстав Кориолис опубликовал статью Du Calcul de l’Effet des Machines, в которой излагалась математика того, что по сути является кинетической энергией. Создание и введение в оборот самого термина «кинетическая энергия» приписывают Уильяму Томсону (лорду Кельвину) c 1849—1851 гг.^[8][9]. Ренкин, который ввел термин «потенциальная энергия» в 1853 году^[10], позже цитировал У. Томсона и П. Тэйта с заменой слова «кинетическая» на «фактическая»^[11].

Кинетическая энергия в классической механике[править | править код]

Случай одной материальной точки[править | править код]

По определению, кинетической энергией материальной точки массой называется величина

,

при этом предполагается, что скорость точки всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса () данное выражение примет вид .

Если  — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как . Скалярно умножив его на перемещение материальной точки и учитывая, что , причём , получим .

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела[править | править код]

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

Здесь  — масса тела,  — скорость центра масс, и  — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс^[12].

Кинетическая энергия в гидродинамике[править | править код]

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа . Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью , то есть плотность кинетической энергии (Дж/м³), запишется:

где по повторяющемуся индексу , означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса^[13]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить , , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

где  — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа,  — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности»^[13], часто называемой просто «энергией турбулентности»), а  — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества ( — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

Кинетическая энергия в квантовой механике[править | править код]

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором (,  — мнимая единица):

где  — редуцированная постоянная Планка,  — оператор набла,  — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера^[14].

Кинетическая энергия в релятивистской механике[править | править код]

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как:

где  — масса материальной точки,

 — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,

 — скорость света в вакууме ( — энергия покоя).

Кинетическая энергия в этой формуле может быть разложена в ряд Маклорена по степеням :

При скоростях много меньших скорости света () пренебрегаем членами разложения с высшими степенями и выражение для переходит в классическую формулу .

Как и в классическом случае, имеет место соотношение , получаемое посредством умножения на выражения второго закона Ньютона (в виде ).

Релятивистское соотношение между кинетической энергией и импульсом p записывается в виде

Разложив это выражение по степеням получаем

первый член которого равен нерелятивистскому выражению кинетической энергии через импульс, а последующие члены — релятивистские поправки к этому выражению, которые малы при

Свойства кинетической энергии[править | править код]

• Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему^[1].
• Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки и направления её скорости, а зависит лишь от модуля скорости или от квадрата её скорости^[1].
• Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
• Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея^[1]. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии^[15][16].

Физический смысл кинетической энергии[править | править код]

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии^[2]:

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии[править | править код]

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также[править | править код]

• Теорема о кинетической энергии системы
• Потенциальная энергия
• Закон сохранения энергии
• Хаос
• Энтальпия
• Негэнтропия
• Термодинамика
• Парадокс кинетической энергии

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.
• Фриш С. Э. Курс общей физики. В 3-х тт. Т.1. Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны. 13-е изд. — СПб.: Лань, 2010. — 480 с. — ISBN 978-5-8114-0663-0.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. 5-е изд. — М.: Физматлит, 2006. — 560 с. — ISBN 5-9221-0715-1.