Конус усеченный как найти образующую конуса

Пространственные фигуры подробно рассматриваются в старших классах общеобразовательных школ в курсе стереометрии. Данная статья содержит ответ на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого и образующую соответствующей усеченной фигуры.

Фигура конус

Чтобы понять, как найти образующую конуса, следует дать представление об этой фигуре. Круглым прямым конусом называют фигуру вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Рисунок ниже демонстрирует процесс вращения.

Полученная пространственная фигура имеет следующие характеристики:

1. Сторона AB треугольника является высотой h конуса. Она лежит на оси вращения фигуры.
2. Сторона AC треугольника — это радиус r конуса. Круг, который описывает этот радиус, называется основанием фигуры.
3. Сторона CB треугольника для конуса является его образующей, или генератрисой. Это название она получила за то, что в процессе вращения она описывает коническую поверхность.
4. Вершина B треугольника — это вершина конуса.

Заметим, что высота фигуры пересекает круглое основание в его центре. Это является достаточным условием, чтобы считать конус прямым.

Образующая конуса

Теперь можно переходить к ответу на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого. Выше было сказано, что она представляет собой отрезок, который лежит на конической поверхности и соединяет вершину с точкой окружности основания. В прямоугольном треугольнике, из которого был конус получен, образующая является гипотенузой. Это наблюдение позволяет записать известную теорему Пифагора, связав образующую g с радиусом r и высотой h фигуры. Формула, как найти образующую конуса, имеет вид:

g = √(r² + h²)

Помимо этой формулы, на практике вместо высоты или радиуса фигуры может быть известен угол φ между образующей и основанием. В этом случае генератрису g можно рассчитать с помощью следующих выражений:

g = h/sin(φ);

g = r/cos(φ)

Эти формулы следуют из свойств тригонометрических функций синуса и косинуса.

Таким образом, вычисление образующей конуса возможно, если знать любые два параметра фигуры.

Фигура конус усеченный

Он также является фигурой вращения, только вместо прямоугольного треугольника следует вращать прямоугольную трапецию. На рисунке ниже показан усеченный конус.

Здесь синие стрелки показывают прямоугольную трапецию. Длина вертикальной стрелки является высотой h фигуры, длины двух других синих стрелок — это радиусы оснований конуса. В отличие от цилиндра, основания усеченного конуса имеют разную площадь. Обозначим их радиусы r₁ и r₂. Четвертая наклонная к основанию сторона трапеции является образующей или генератрисой. Как и для обычного конуса, для усеченного все генератрисы равны друг другу и образуют боковую поверхность фигуры.

Заметим, что усеченный конус получил такое название потому, что его можно получить не только вращением трапеции, но и с помощью отсечения плоскостью верхней части круглого прямого конуса.

Генератриса усеченной фигуры

Итак, мы познакомились с усеченным конусом, а также с понятием о его образующей. Как находить образующую конуса усеченного? Для того чтобы получить нужную формулу, заметим, если высоту h перенести параллельно самой себе к боковой поверхности конуса так, чтобы она касалась одним концом образующей фигуры, то получится прямоугольный треугольник. Его сторонами будут высота h (катет), генератриса g (гипотенуза) и r₁-r₂ (катет). Тогда можно записать формулу для определения g:

g = √((r₁ — r₂)² + h²)

Соответственно, если дан острый угол φ₁ между большим основанием и генератрисой, тогда последнюю можно определить так:

g = h/sin(φ₁);

g = (r₁ — r₂)/cos(φ₁)

Если же известен тупой угол φ₂ между малым основанием и генератрисой, тогда для ее вычисления необходимо применять такие выражения:

g = h/sin(φ₂);

g = (r₂ — r₁)/cos(φ₂)

Здесь первая формула является точно такой же, как для угла φ₁, а во второй формуле радиусы в числителе поменялись местами.

Таким образом, найти образующую конуса усеченного можно, если знать любые три его параметра.

Просмотры: 24

Зная радиусы окружностей, лежащих в основаниях конуса, можно найти диаметры, периметры и площади оснований конуса по формулам окружности.
d=2r
D=2R
p=2πr
P=2πR
S_r=πr^2
S_R=πR^2

Если построить внутри усеченного конуса трапецию, соединяющую высоту и образующую через радиусы оснований, то в ней можно найти высоту конуса, зная радиусы и образующую, а также углы между основаниями и образующей.
h=√(l^2-(R-r)^2 )
cos⁡β=(R-r)/l
α=180°-β

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению числа π на образующую и сумму радиусов оснований конуса. Чтобы найти площадь полной поверхности усеченного конуса, необходимо прибавить к площади боковой поверхности два основания.
S_(б.п.)=πl(R+r)
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_r+S_R=πl(R+r)+πr^2+πR^2

Чтобы найти объем усеченного конуса через радиусы оснований, нужно умножить треть числа π на высоту и сумму квадратов радиусов с произведением радиусов.
V=πh/3(R^2+rR+r^2)

Как найти образующую усеченного конуса

Усеченным конусом называется геометрическое тело, которое получилось в результате сечения полного конуса плоскостью, параллельной его основанию. Согласно другому определению, усеченный конус образован вращением прямоугольной трапеции вокруг той ее боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям. Вторая боковая сторона при этом является образующей. Вычислять ее необходимо так же, как и боковую сторону прямоугольной трапеции.

Вам понадобится

• – усеченный конус с заданными параметрами;
• – линейка;
• – карандаш;
• – калькулятор;
• – теорема Пифагора;
• – теоремы синусов и косинусов.

Инструкция

Сделайте чертеж. Обозначьте на нем заданные размеры усеченного конуса. Его можно построить по нескольким параметрам. Вам должны быть известны радиусы основания и высота. Могут быть и другие наборы данных — например, радиусы обоих оснований и угол наклона образующей к одному из них. Могут быть заданы высота, угол наклона и один из радиусов. Если вы пока еще не знаете нужных для построения точного чертежа параметров, начертите конус приблизительно и обозначьте имеющиеся условия.

Постройте осевое сечение. Оно представляет собой равнобедренную трапецию ABCD, параллельные стороны которой являются диаметрами основания, а боковые — образующими. Обозначьте точки пересечения оси с основаниями усеченного конуса как O’ и O”. Ось О’О” одновременно является и высотой прямого усеченного конуса. Обозначьте радиус нижнего основания как R, а верхнего — как r. Образующую CD обозначьте как L.

Выполните дополнительное построение. Начертите из точки C высоту к радиусу нижнего основания. Она будет параллельная и равна оси O’O”. Точку пересечения ее с плоскостью нижнего основания обозначьте как N, а саму высоту — h. У вас получился прямоугольный треугольник CND.

Посмотрите, какие данные для вычисления гипотенузы этого треугольника у вас имеются и найдите недостающие. При условии, что даны оба радиуса, найдите сторону DN. Она равна разности радиусов R и r. То есть, согласно теореме Пифагора, сторона L в данном случае равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и разности радиусов или L = √h2+(R-r)2.

Если даны высота h и угол наклона образующей к основанию, найдите образующую L по теореме синусов. Она равна дроби, в числителе которой будет известный катет h, а в знаменателе — синус противолежащего ей угла СDN.

При условии, что даны радиус верхней окружности, высота и угол BCD, вычислите сначала нужный вам угол наклона образующей к нижнему основанию. Вспомните, чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника. Она равна 360°. У прямоугольной трапеции O’O”CD вам известны три угла. Найдите по ним четвертый и по его синусу — образующую.

Видео по теме

Источники:

• образующая усеченного конуса

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Усеченный конус.

МБОУ «СШ № 43»г.Иваново,

учитель математики Шляпцева Н.Н.

Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.

?

Пусть в конусе, высота которого известна, проведено сечение, находящееся на расстоянии три от вершины. Чему равна образующая получившегося усеченного конуса, если известна образующая полного конуса?

8

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

8

?

Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны. Найдите образующую усеченного конуса.

Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым . Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

36

?

Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего основания, высота и образующая.

Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Доказательство:

Боковую поверхность усеченного конуса будем понимать как предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной усеченной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.

Доказательство:

Впишем в конус правильную пирамиду. Ее боковая поверхность состоит из трапеций.

Замечание:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно рассматривать как разность между площадями боковых поверхностей двух конусов. Поэтому развертка усеченного конуса – это часть круглого кольца.

?

Усеченный конус получен от вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если известны основания и боковая сторона трапеции.

Задача.

• Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 5, высота равна 6, а расстояние от центра меньшего основания до окружности большего основания равно 10. Найдите площадь боковых поверхностей усеченного и полного конусов.

Решение:

Достроим усеченный конус до полного и проведем осевое сечение.

Решение:

1) Вычислим радиус большего основания.

Решение:

2) Найдем боковую сторону трапеции –образующую усеченного конуса.

Решение:

3) Используя подобие треугольников, найдем образующую полного конуса.

~

Решение:

4) Подставим найденные значения в формулы для площадей боковой поверхности полного и усеченного конусов.

Формула объема усеченного конуса.

• Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех конусов, имеющих одинаковую высоту с усеченным конусом, а основаниями: один – нижнее основание этого конуса, другой – верхнее, а третий – круг, радиус которого есть среднее геометрическое между радиусами верхнего и нижнего оснований.

Доказательство:

Поместим на верхнем основании усеченного конуса малый конус, дополняющий его до полного и рассмотрим объем его как разность объемов двух конусов.

Доказательство:

Вычислим высоту полного конуса из подобия треугольников.

~

Доказательство:

~

Объемы полного и дополнительного конусов относятся как кубы радиусов оснований.

Доказательство:

Вычтем из объема большого конуса объем малого конуса.

?

Найдите объем усеченного конуса, если известны его высота и радиусы оснований.

149 π

Подобные цилиндры и конусы.

• Подобные цилиндры или конусы можно рассматривать как тела, полученные от вращения подобных прямоугольников или прямоугольных треугольников.

Сечение, параллельное основанию конуса, отсекает от него малый конус, подобный большому.

?

В цилиндре проведено сечение, параллельное основанию. Будет ли малый цилиндр, который отсекается этим сечением, подобен большому?

Площади боковых поверхностей подобных цилиндров и конусов относятся как квадраты радиусов или высот, а объемы – как кубы радиусов или высот.

?

2

В конусе, высота которого известна, проведено сечение, параллельное основанию. Известно также соотношение объемов малого и большого конусов. На каком расстоянии от основания находится сечение?

Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 2:3. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Найти, в каком отношении разделился объем усеченного конуса.

Задача.

Решение:

Зная, что радиусы оснований конуса относятся как два к трем, обозначим радиусы как 2а и 3а и рассмотрим осевое сечение конуса.

Решение:

1) Используя подобие, найдем радиусы проведенных сечений.

Решение:

2) Достроив усеченный конус до полного, найдем, какую часть от полного конуса составляют меньшие конусы.

V – объем наибольшего конуса

Решение:

3) Определим, какую часть от объема полного конуса составляют усеченные конусы, расположенные между соседними сечениями и найдем отношение объемов этих конусов.

Ответ:

V 1 :V 2 :V 3 = 127 : 168 : 217