Котангенс это как найти

Определение котангенса угла

Котангенс является обратно пропорциональной величиной к тангенсу. То есть, это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: котангенс угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к дальнему катету.

В случае с рисунком, описанным выше: ctg⁡α=bactgalpha=frac{b}{a}

ctg⁡α=cos⁡αsin⁡αctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}

Задача 1

Пусть в прямоугольном треугольнике синус угла равен 0.200.20, а косинус этого угла равен 0.980.98. Найдите котангенс данного по условию угла.

Решение

sin⁡α=0.20sinalpha=0.20
cos⁡α=0.98cosalpha=0.98

ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α=0.980.20=4.9ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}=frac{0.98}{0.20}=4.9

Ответ

4.94.9

После того, как мы изучили и тангенс, и котангенс, можно рассмотреть еще одно тождество:

Связь тангенса с котангенсом

tg⁡α⋅ctg⁡α=1tgalphacdotctgalpha=1

Вывод его прост:

tg⁡α⋅ctg⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡αsin⁡α=1tgalphacdotctgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}cdotfrac{cosalpha}{sinalpha}=1

Благодаря ему можно быстро и без каких-либо трудностей вычислять одну из этих величин.

Задача 2

Каков тангенс угла, если его котангенс равен 4.54.5?

Решение

ctg⁡α=4.5ctgalpha=4.5

tg⁡α⋅ctg⁡α=1tgalphacdotctgalpha=1

tg⁡α⋅4.5=1tgalphacdot4.5=1

tg⁡α=14.5tgalpha=frac{1}{4.5}

tg⁡α≈0.22tgalphaapprox0.22

Ответ

0.220.22

Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с котангенсом:

1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}

Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат синуса.

Задача 3

Найдите котангенс угла, если квадрат его синуса равен 0.490.49.

Решение

sin⁡2α=0.49sin^2alpha=0.49

1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}

1+ctg⁡2α=10.491+ctg^2alpha=frac{1}{0.49}

1+ctg⁡2α≈2.041+ctg^2alphaapprox2.04

ctg⁡2α≈1.04ctg^2alphaapprox1.04

ctg⁡α≈1.02ctgalphaapprox1.02

Ответ

1.021.02

Решение задач по математике недорого от экспертов биржи!

Тест по теме «Вычисление котангенса»

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс

18 мая 2022

Сегодня мы узнаем, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Это первый и самый важный урок по тригонометрии на всём сайте.

Содержание:

1. Ключевые определения: синус, косинус, тангенс, котангенс.
2. Почему эти значения зависят только от углов?
3. Стандартные углы: 30°, 45°, 60°.
4. Простейшие свойства синуса, косинуса, тангенса, котангенса.
5. Тригонометрия на координатной сетке.

Никаких сложных формул и длинных решений. Всё расписано максимально подробно. Изучите этот урок — и никаких проблем с тригонометрией не будет. Погнали!

1. Ключевые определения

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:

Мы видим, что острый угол $alpha $ образован гипотенузой $c$ и катетом $b$. Такой катет будем называть прилежащим. А катет $a$, который не участвует в формировании угла $alpha $, назовём противолежащим:

Это общепринятые названия: как только в прямоугольном треугольнике отмечен острый угол, для него немедленно можно указать прилежащий катет и противолежащий. И тут мы переходим к ключевым определениям.

1.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс

Итак, пусть дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $.

Тогда:

Определение 1. Синус угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

[sin alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{a}{c}]

Определение 2. Косинус угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:

[cos alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{гипотенуза}}=frac{b}{c}]

Определение 3. Тангенс угла $alpha $ — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

[operatorname{tg}alpha =frac{text{противолежащий катет}}{text{прилежащий катет}}=frac{a}{b}]

Определение 3. Котангенс угла $alpha $ — это отношение прилежащего катета к противолежащему:

[operatorname{ctg}alpha =frac{text{прилежащий катет}}{text{противолежащий катет}}=frac{b}{a}]

Вот так всё просто! Берём один катет, делим его на гипотенузы (или на другой катет) — и получаем выражение для синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти выражения называются тригонометрическими («тригонометрия» = «треугольники измеряю»).

Рассмотрим пару примеров.

Задача 1. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.

Решение. Это классический прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5. Угол $alpha $ (он же — угол $A$ или угол $BAC$) образован прилежащим катетом $AB=3$гипотенузой $AC=5$. Следовательно катет $BC=4$ — противолежащий.

Имеем:

[begin{align}sin alpha& =frac{BC}{AC}=frac{5}{4} \ cos alpha& =frac{AB}{AC}=frac{3}{5} \ operatorname{tg}alpha& =frac{BC}{AB}=frac{4}{3} end{align}]

Далеко не всегда будут получаться такие красивые ответы. Чаще они будут содержать корни — это следствие теоремы Пифагора. Но важно понимать: как только мы находим длины катетов и гипотенузу, мы сразу можем найти и синусы, косинусы, тангенсы.

Далее в примерах мы не будем считать котангенсы, потому что из формулы котангенса очевидно, что они легко выражаются через тангенсы:

[operatorname{ctg}alpha =frac{1}{operatorname{tg}alpha }]

Но об этом чуть позже.

Задача 2. Дан треугольник $ABC$. Найдите синус, косинус и тангенс угла $alpha $.

Это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AB=BC=1$. Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:

[begin{align}{{ AC}^{2}} & ={{AB}^{2}}+{{BC}^{2}}=1+1=2 \ AC & =sqrt{2} \ end{align}]

Теперь найдём синус, косинус и тангенс:

[begin{align}sin alpha &=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos alpha &=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]

Простое правило, чтобы не запутаться, где прилежащий катет, а где противолежащий. Просто помните: приставка «ко» означает «вместе», «сообща». Поэтому «косинус» — это «катет, лежащий рядом, к гипотенузе», «котангенс» — это «катет, лежащий рядом, к противолежащему». И никак иначе.:)

1.2. Задачи для тренировки

Перед тем как переходить к следующей части урока, предлагаю 4 примера для тренировки.

Задача 3. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Решение.

[begin{align}sin alpha &=frac{5}{13} \ cos alpha &=frac{12}{13} \ operatorname{tg}alpha &=frac{5}{12} \ end{align}]

Задача 4. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Решение.

[begin{align}sin alpha &=frac{8}{17} \ cos alpha &=frac{15}{17} \ operatorname{tg}alpha &=frac{8}{15} \ end{align}]

Задача 5. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

[begin{align}{{l}^{2}}&={{3}^{2}}-{{1}^{2}}=9-1=8 \ l&=sqrt{8}=2sqrt{2} \ end{align}]

Синус, косинус и тангенс:

[begin{align}sin alpha&=frac{1}{3} \ cos alpha&=frac{2sqrt{2}}{3} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{2sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}]

Задача 6. ►

Дан прямоугольный треугольник с острым углом $alpha $. Найдите $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.

Прилежащий катет по теореме Пифагора:

[begin{align}{{l}^{2}} &={{2}^{2}}-{{1}^{2}}=4-1=3 \ l &=sqrt{3} \ end{align}]

Синус, косинус и тангенс:

[begin{align}sin alpha&=frac{1}{2} \ cos alpha&=frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}alpha&=frac{1}{sqrt{3}}=frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]

Как видим, считать синусы, косинусы и тангенсы совсем несложно. Перейдём теперь к принципиально важному вопросу: а зачем вообще всё это нужно?

2. Теорема о единственности

Ключевая идея: синус, косинус, тангенс и котангенс зависят только от величины угла $alpha $ и никак не зависят от прямоугольного треугольника, в котором идут вычисления.

Такого не произойдёт. Потому что есть теорема о единственности.

2.1. Формулировка теоремы

Теорема. Значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике определяются только величиной этого угла и никак не зависят от самого треугольника.

2.2. Доказательство

Рассмотрим произвольный острый угол $alpha $. Для удобства обозначим его вершину буквой $A$:

А затем впишем в него два произвольных прямоугольных треугольника — $ABC$ и $AMN$. Любым удобным способом. Например, можно вписать эти треугольники вот так:

А можно и вот так — это не имеет никакого значения:

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $AMN$. Угол $A$ у них общий; углы [angle ABC=angle AMN=90{}^circ ] по условию. Следовательно, треугольники $ABC$ и $AMN$ подобны по двум углам:

[Delta ABCsim Delta AMN]

Из подобия треугольников следует двойное равенство

[frac{AB}{AM}=frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]

Выпишем второе равенство — получим пропорцию

[frac{BC}{MN}=frac{AC}{AN}]

Попробуем выразить $sin alpha $. Вспомним основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Поэтому

[BCcdot AN=MNcdot AC]

Разделим обе части равенства на длину каждой гипотенузы — $AN$ и $AC$:

[begin{align}frac{BCcdot AN}{ANcdot AC} &=frac{MNcdot AC}{ANcdot AC} \ frac{BC}{AC} &=frac{MN}{AN} end{align}]

Однако по определению синуса имеем:

[begin{align}sin BAC &=frac{BC}{AC} \ sin MAN &=frac{MN}{AN} \ end{align}]

Получается, что $sin BAC=sin MAN$. Другими словами, вне зависимости от выбора треугольника для данного угла $alpha $ мы всегда будем получать одно и то же значение $sin alpha $.

То же самое касается и $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ — они зависят лишь от градусной меры угла $alpha $ и никак не зависят от конкретного прямоугольного треугольника, в котором они находятся. Теорема доказана.

3. Стандартные углы

Итак, значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $ и $operatorname{ctg}alpha $ однозначно определяются величиной угла $alpha $. Нам не важен треугольник — важна только градусная мера угла. Можно один раз посчитать синусы, косинусы и т.д. для нужных углов, а затем просто подставлять их.

Но тут мы сталкиваемся с проблемой, из-за которой многие как раз и не понимают тригонометрию. Проблема состоит из двух пунктов:

1. Для большинства углов $alpha $ нельзя найти точные значения $sin alpha $, $cos alpha $, $operatorname{tg}alpha $.
2. Верно и обратное: для большинства «красивых» $sin alpha $, $cos alpha $ и т.д. нельзя подобрать подходящий угол $alpha $.

Звучит немного непонятно, поэтому разберём каждый пункт на конкретных примерах.

3.1. Три стандартных угла

Существует лишь три острых угла, для которых легко считаются синусы, косинусы и т.д. Это 30°, 45°, 60°. Вот их синусы, косинусы и тангенсы:

[begin{array}{c|ccc} alpha& 30{}^circ& 45{}^circ & 60{}^circ \ hlinesin alpha & frac{1}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{3}}{2} \ cos alpha & frac{sqrt{3}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} & frac{1}{2} \ operatorname{tg}alpha& frac{sqrt{3}}{3} & 1 & sqrt{3} \ end{array}]

Чтобы понять, чем эти углы такие особенные, просто посчитаем все эти синусы, косинусы и тангенсы. Начнём с $alpha =45{}^circ $. Для этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник. Мы уже встречались с ним:

Поскольку в равнобедренном треугольнике $angle A=angle B=45{}^circ $, получим:

[begin{align}sin 45{}^circ &=sin A=frac{BC}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ cos 45{}^circ &=sin A=frac{AB}{AC}=frac{1}{sqrt{2}}=frac{sqrt{2}}{2} \ operatorname{tg}45{}^circ&=sin A=frac{BC}{AB}=frac{1}{1}=1 end{align}]

Это именно те значения, которые указаны в таблице!

Теперь разберёмся с углами $alpha =30{}^circ $ и $alpha =60{}^circ $. Здесь рассуждения будут чуть сложнее. Сначала рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $AB=2$ (просто так удобнее) и проведём высоту $BH$:

Мы знаем, что высота $BH$ — ещё и медиана, и биссектриса. Поэтому $AH=CH=1$, $angle ABH=angle CBH=30{}^circ $.

Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный, да ещё и с острыми углами 30° и 60°. По теореме Пифагора легко найти $BH=sqrt{3}$. Нанесём все данные на чертёж:

Разберёмся с углом 60°:

[begin{align} sin{60}^circ &=sin A=frac{BH}{AB}=frac{sqrt{3}}{2} \ cos{60}^circ&=cos A=frac{AH}{AB}=frac{1}{2} \ operatorname{tg}{60}^circ&=operatorname{tg}A=frac{BH}{AH}=sqrt{3} \ end{align}]

И с углом 30°:

[begin{align} sin{30}^circ &=sin ABH=frac{AH}{AB} =frac{1}{2} \ cos{30}^circ &=cos ABH=frac{BH}{AB} =frac{sqrt{3}}{2} \ operatorname{tg}{30}^circ &=operatorname{tg} ABH=frac{AH}{BH} =frac{1}{sqrt{3}} =frac{sqrt{3}}{3} \ end{align}]

Попробуйте повторить все эти рассуждения самостоятельно. Это очень полезное упражнение!

Возникает вопрос: как быть с другими углами? Например, можно ли найти $sin {50}^circ $? Или, быть может, $cos {10}^circ $? Спойлер: можно, но это будут очень громоздкие выражения. И у нас пока не хватает технологий, чтобы их найти.

Поэтому идём дальше и посмотрим на ситуацию с другой стороны: как подобрать угол к заданному синусу, косинусу, тангенсу?

3.2. Что с другими углами?

Взгляните ещё раз на «классический» прямоугольный треугольник, с которого мы начинали наши рассуждения:

Катеты 4 и 3, гипотенуза 5 — вполне обычный треугольник. Для него можно посчитать, например, синус острого угла $alpha $:

[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=frac{3}{5}=0,6]

Итак, мы знаем синус. Внимание, вопрос: каким должен быть угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$? Сколько градусов должно быть в угле $alpha $? Ответ: неизвестно.:)

Точнее, правильнее сказать, что у нас пока нет технологий, позволяющих найти такой угол $alpha $, чтобы $sin alpha =0,6$. Хотя такой угол точно есть, ведь мы предъявили треугольник, в котором он присутствует.

Из всех этих рассуждений сделаем важный вывод. В тригонометрии мы:

• Либо берём угол и считаем для него синусы, косинусы и т.д. Но лишь для трёх острых углов — 30°, 45°, 60° — всё будет считаться быстро и красиво. Такие углы называются табличными.
• Либо берём синус, косинус или тангенс и для него пытаемся подобрать острый угол. Но лишь для табличных значений мы сможем подобрать такие углы. И да: это будут углы 30°, 45°, 60°.

Ещё раз:

Мы можем посчитать лишь синус, косинус и тангенс для трёх табличных углов.

Например, $sin 30{}^circ $, $cos 45{}^circ $, $operatorname{tg}60{}^circ $ и т.д. А всякие $sin 15{}^circ $, $cos 25{}^circ $ или $operatorname{tg}89,5{}^circ $ — не сможем. По крайней мере пока.:)

И наоборот:

Зная $sin alpha $, $cos alpha $ или $operatorname{tg}alpha $, мы сможем назвать точный угол $alpha $ только в том случае, если все эти синусы, косинусы и тангенсы — среди табличных значений.

Например, мы точно знаем, что если $sin alpha =frac{sqrt{2}}{2}$, то $alpha =45{}^circ $. Но когда $sin alpha =0,6$, мы уже не можем назвать угол $alpha $ (хотя всегда можем построить такой угол).

С этой мыслью мы и переходим к следующему пункту — свойства тригонометрических выражений.

4. Свойства синуса, косинуса, тангенса

Мы разберём три ключевых свойства:

1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом.
2. Связь между острыми углами прямоугольного треугольника.
3. Основное тригонометрическое тождество.

Свойствам 2 и 3 далее в курсе будут посвящены отдельные уроки. Но основные идеи полезно взять на вооружение уже сейчас.

4.1. Связь между синусом, косинусом и тангенсом

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:

Выразим синус, косинус:

[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]

А теперь выразим тангенс и заметим, что

[operatorname{tg}alpha =frac{a}{b}=frac{a}{c}cdot frac{c}{b}=frac{sin alpha }{cos alpha }]

Точно так же можно выразить и котангенс:

[operatorname{ctg}alpha =frac{b}{a}=frac{b}{c}cdot frac{c}{a}=frac{cos alpha }{sin alpha }]

Более того, сам тангенс и котангенс тоже связаны:

[operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =frac{a}{b}cdot frac{b}{a}=1]

Мы получили три важнейших тригонометрических формулы:

Основные формулы тригонометрии:

[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha };quad operatorname{ctg}alpha =frac{cos alpha }{sin alpha };quad operatorname{tg}alpha cdot operatorname{ctg}alpha =1]

Эти формулы нужно знать наизусть. И понимать, откуда они берутся.

4.2. Связь между острыми углами

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где $angle C=90{}^circ $. Пусть градусная мера $angle A=alpha $ градусов:

Мы помним, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому если $angle A=alpha $, то угол $angle B=90{}^circ -alpha $. Но тогда:

[sin alpha =sin A=frac{BC}{AB}=cos B=cos left( 90{}^circ -alpha right)]

То же самое и с косинусами:

[cos alpha =cos A=frac{AC}{AB}=sin B=sin left( 90{}^circ -alpha right)]

И даже с тангенсами и котангенсами:

[begin{align} operatorname{tg}alpha&=operatorname{tg}A=frac{BC}{AC} =operatorname{ctg}B=operatorname{ctg}left( {90}^circ -alpharight) \ operatorname{ctg}alpha&=operatorname{ctg}A=frac{AC}{BC} = operatorname{tg}B=tgleft( {90}^circ -alpha right) \ end{align}]

Другими словами, если вместо $alpha $ поставить ${90}^circ -alpha $, то исходная тригонометрическая функция поменяется на ко-функцию:

[begin{align}sin left( {90}^circ-alpharight) &=cos alpha \ cos left( {90}^circ-alpharight) &=sin alpha \ operatorname{tg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{ctg}alpha\ operatorname{ctg}left( {90}^circ-alpharight) &=operatorname{tg}alphaend{align}]

Но это ещё не всё. Есть гораздо более интересная формула.

4.3. Основное тригонометрическое тождество

Вновь рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, гипотенузой $c$ и острым углом $alpha $:

Запишем выражения для $sin alpha $ и $cos alpha $:

[sin alpha =frac{a}{c};quad cos alpha =frac{b}{c}]

Далее заметим, что

[begin{align} {{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha&={{left( frac{a}{c} right)}^{2}}+{{left( frac{b}{c} right)}^{2}}= \ & =frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}} +frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}= \ & =frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}} end{align}]

В числителе можем применить теорему Пифагора: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$, поэтому

[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}=1]

Правая часть этой формулы вообще не зависит от угла $alpha $.

Основное тригонометрическое тождество:

[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]

Это равенство связывает синус и косинус одного и того же угла и верно для всех $alpha $.

С помощью основного тригонометрического тождества можно вычислять косинус, зная синус, и наоборот.

Задача 7. Найдите $18cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{sqrt{65}}{9}$.

Решение. Запишем основное тригонометрическое тождество:

[{{sin }^{2}}alpha +{{cos }^{2}}alpha =1]

Подставим указанное значение $sin alpha $ и выразим $cos alpha $:

[begin{align}{{left( frac{sqrt{65}}{9} right)}^{2}}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ frac{65}{81}+{{cos }^{2}}alpha &=1 \ {{cos }^{2}}alpha &=frac{16}{81} \ cos alpha&=pm frac{4}{9} end{align}]

Поскольку косинус угла в прямоугольном треугольнике не может быть отрицательным, выбираем вариант $cos alpha ={4}/{9};$. Остаётся сделать финальный шаг:

[18cos alpha =18cdot frac{4}{9}=2cdot 4=8]

Вот и всё! Ответ: 8.

В следующем примере мы уже не будем подробно расписывать каждый шаг. Оформим всё так, как надо оформлять на контрольных и экзаменах.

Задача 8. Найдите $48operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{8}{sqrt{113}}$.

Решение. Найдём $sin alpha $:

[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-{{left( frac{8}{sqrt{113}} right)}^{2}}= \ & =1-frac{64}{113}=frac{49}{113} \ sin alpha&=pm frac{7}{sqrt{113}} end{align}]

Но ${0}^circ lt alpha lt {90}^circ $, поэтому $sin alpha gt 0$. Следовательно

[sin alpha =frac{7}{sqrt{113}}]

Найдём $operatorname{tg}alpha $:

[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{7}{sqrt{113}}cdot frac{sqrt{113}}{8}=frac{7}{8}]

Окончательный ответ:

[48operatorname{tg}alpha =48cdot frac{7}{8}=6cdot 7=42]

Ответ: 42.

Заметка на будущее: замечание о том, что угол $alpha $ острый, весьма существенно. То, как мы сейчас определяем синусы, косинусы и тангенсы (через прямоугольный треугольник), называется геометрической тригонометрией. Её проходят в 8—9 классе.

Но в 10—11 классах появится алгебраическая тригонометрия, где синусы, косинусы и т.д. вполне могут быть отрицательными. И уже не получится просто так избавиться от минуса.

Но всё это будет чуть позже. А сейчас потренируемся.

Задача 9. ►

Найдите $52cos alpha $ для острого угла $alpha $, если $sin alpha =frac{5}{13}$.

Решение. Найдём $cos alpha $:

[begin{align}{{cos }^{2}}alpha &=1-{{sin }^{2}}alpha = \ &=1-frac{25}{169}=frac{144}{169} \ cos alpha&=pm frac{12}{13} end{align}]

Поскольку $cos alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем $cos alpha ={12}/{13};$. Итого

[52cos alpha =52cdot frac{12}{13}=48]

Ответ: 48.

Задача 10. ►

Найдите $1+2operatorname{tg}alpha $ для острого угла $alpha $, если $cos alpha =frac{1}{sqrt{26}}$.

Решение. Найдём $sin alpha $:

[begin{align}{{sin }^{2}}alpha &=1-{{cos }^{2}}alpha = \ & =1-frac{1}{26}=frac{25}{26} \ sin alpha&=pm frac{5}{sqrt{26}} end{align}]

Поскольку $sin alpha gt 0$ для острых $alpha $, выбираем

[sin alpha =frac{5}{sqrt{26}}]

Считаем $operatorname{tg}alpha $:

[operatorname{tg}alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=frac{5}{sqrt{26}}cdot frac{sqrt{26}}{1}=5]

Откуда

[1+2operatorname{tg}alpha =1+2cdot 5=11]

Ответ: 11.

5. Тригонометрия на координатной сетке

Задачи, которые мы сейчас разберём, вполне могут встретиться в ОГЭ и даже ЕГЭ. Часто в них нет прямоугольного треугольника — есть лишь угол, в который этот треугольник предлагается вписать.

Для решения задач на координатной сетке достаточно посмотреть, через какие узлы сетки проходят интересующие нас лучи. И понять, какие из этих узлов имеет смысл соединить дополнительными построениями.

Звучит страшно, но на практике всё легко.:)

Задача 11. Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ на луч $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный, причём угол $ABC$ — один из его острых углов. Поэтому

[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{3}{4}=0,75]

Это и есть искомый тангенс.

Ответ: 0,75.

Ещё раз: важно, чтобы основание перпендикуляра попадало в узел сетки. Иначе нахождение длины катетов резко усложняется. Попробуйте сами:

Задача 12. ►

Найдите тангенс угла $ABC$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: $AHbot BC$ — перпендикуляр из точки $A$ к лучу $BC$.

Треугольник $BAH$ — прямоугольный с острым углом $ABC$. Поэтому

[operatorname{tg}ABC=frac{AH}{BH}=frac{2}{4}=frac{1}{2}]

Ответ: 0,5.

Разумеется, это были совсем простые задачи. Потому что один из лучей был параллелен линиям сетки.

Куда интереснее (и полезнее) рассмотреть ситуации, где лучи направлены под углом к сетке. Суть та же: ищем и соединяем узлы на лучах. Но тут уже нужна наблюдательность.

Задача 13. Найдите тангенс угла $MNK$, изображённого на координатной сетке:

Решение. Луч $KN$ содержит лишь две точки в узлах координатной сетки — собственно, $K$ и $N$. Понятно, что если продолжить луч за точку $K$, мы найдём ещё много таких точек, но будем решать задачу с тем, что есть.

Заметим, что прямая $MN$ наклонена к линиям сетки под углом 45° и образует диагонали квадратов. Это значит, что перпендикуляр к ней тоже будет наклонён под углом 45°.

Дополнительное построение: отрезок $KH$ — диагональ одного из квадратов сетки.

Очевидно, что угол $NHK$ прямой, поэтому треугольник $KHN$ прямоугольный и содержит искомый острый угол $MNK$. Находим тангенс:

[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{sqrt{2}}{2sqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]

Здесь мы предположили, что сторона квадрата сетки равна 1. Но с тем же успехом можно считать, что сторона квадрата $a$:

[operatorname{tg}MNK=frac{HK}{HN}=frac{asqrt{2}}{2asqrt{2}}=frac{1}{2}=0,5]

Ответ: 0,5.

Подобные задачи считаются довольно сложными. По статистике большинство выпускников 9 классов не способны их решать. Но вы-то теперь точно справитесь. Попробуйте:

Задача 14. ►

Найдите тангенс угла $DEF$, изображённого на координатной сетке:

Решение.

Дополнительное построение: отрезок $DH$.

Очевидно, $EH=DH$, угол $EHD$ прямой. Следовательно, треугольник $EDH$ — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому $operatorname{tg}DEF=1$.

Либо можно посчитать «напролом», полагая, что сторона квадрата сетки равна $a$:

[operatorname{tg}DEF=frac{asqrt{10}}{asqrt{10}}=1]

Ответ: 1.

Вообще, поиск «правильных» узлов на координатной сетке — это своего рода искусство. И если углубляться в эту тему, то можно быстро выйти на «полуолимпиадные» задачи.

К тому же не существует «самого правильного» дополнительного построения. Задачу на координатной сетке всегда можно решить множеством различных способов. Так, в последнем примере можно было провести перпендикуляр вот так:

И даже так (хотя вряд ли этот способ можно назвать рациональным):

Во всех случаях ответ будет один и тот же. Поэтому не бойтесь экспериментировать. И переходите к следующему уроку — к действительно важным и полезным свойствам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.:)

Смотрите также:

1. Радианная и градусная мера угла
2. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов
3. Сложные логарифмические неравенства
4. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
5. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
6. Обход точек в стереометрии — 2

• Определение

• График котангенса

• Свойства котангенса

• Обратная к котангенсу функция

• Таблица котангенсов

Определение

Котангенс острого угла α (ctg α или cotan α) – это отношение прилежащего катета (b) к противолежащему (a) в прямоугольном треугольнике.

ctg α = b / a

Например:
a = 3
b = 4
ctg α = b / a = 4 / 3 ≈ 1,334.

График котангенса

Функция котангенса пишется как y = ctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом (x ≠ nπ, –∞ < y < +∞):

Свойства котангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства котангенса с формулами.

Обратная к котангенсу функция

Арккотангенс x – это обратная функция к котангенсу x.

Если котангенс угла у равняется х (ctg y = x), значит арккотангенс x равен у:

arcctg x = ctg^-1 x = y

Таблица котангенсов

x (°)	x (рад)	ctg x
0	0	∞
30	π/6	√3
45	π/4	1
60	π/3	1/√3
90	π/2	0
120	2π/3	-1/√3
135	3π/4	-1
150	5π/6	-√3
180	π	∞
210	7π/6	√3
225	5π/4	1
240	4π/3	1/√3
270	3π/2	0
300	5π/3	-1/√3
315	7π/4	-1
330	11π/6	-√3
360	2π	∞

microexcel.ru

Примеры:

(ctg⁡:30^° =sqrt{3})
(ctg⁡:(frac{π}{3})=frac{1}{sqrt{3}})
(ctg:⁡2=-0,487…)

Содержание:

• Аргумент и значение
• 
  Котангенс острого угла
• 
  Котангенс числа или любого угла
• 
  Знаки по четвертям
• 
  Связь с другими функциями

Аргумент и значение

Аргументом может быть:
– как число или выражение с Пи: (1,3), (frac{π}{4}), (π), (-frac{π}{3}) и т.п.
– так и угол в градусах: (45^°), (360^°),(-800^°), (1^° ) и т.п.

Для обоих случаев значение котангенса вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).

Значение котангенса – всегда действительное число (возможно, иррациональное): (1), (sqrt{3}), (-frac{1}{sqrt{3}}), (-0,1543…)

Котангенс острого угла

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить (ctgA).

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить (ctg;A).

Вычисление котангенса числа или любого угла

Пример. Вычислите (ctg: frac{5π}{6}).
Решение: Найдем сначала (frac{5π}{6}) на круге. Затем найдем (cos:⁡frac{5π}{6}) и (sin:frac{5π}{6}), а потом поделим одно на другое.

(ctg:frac{5π}{6}=)(frac{cos⁡:frac{5π}{6}}{sin⁡:frac{5π}{6}})(=-frac{sqrt{3}}{2}:frac{1}{2}=-frac{sqrt{3}}{2} cdot frac{2}{1}=-sqrt{3})

Ответ: (-sqrt{3}).

Пример. Вычислите (ctg:frac{π}{2}).

Решение: Чтобы найти котангенс пи на (2) нужно найти сначала косинус и синус (frac{π}{2}). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга:

Точка (frac{π}{2}) на числовой окружности совпадает с (1) на оси синусов, значит (sin:frac{π}{2}=1). Если из точки (frac{π}{2}) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси косинусов, то мы попадем в точку (0), значит (cos:⁡frac{π}{2}=0). Получается: (ctg:frac{π}{2}=)(frac{cos:⁡frac{π}{2}}{sin:⁡frac{π}{2}})(=)(frac{0}{1})(=0).

Ответ: (0).

Пример. Вычислите (ctg:(-765^circ)).
Решение:   (ctg: (-765^circ)=)(frac{cos:(-⁡765^circ)}{sin:⁡(-765^circ)})
Что бы вычислить синус и косинус (-765^°). Отложим (-765^°) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на (720^°) , а потом еще на (45^°).

(sin⁡(-765^°)=-frac{sqrt{2}}{2});
(cos⁡(-765^°)=frac{sqrt{2}}{2}) ;
получается (ctg(-765^°)= frac{sqrt{2}}{2} ∶ -frac{sqrt{2}}{2}=-1).

Ответ: (-1).

Пример. Найдите (ctg:frac{π}{3}).
Решение:   (ctg: frac{π}{3}=)(frac{cos:⁡frac{π}{3}}{sin:⁡frac{π}{3}}). Опять находим синус пи на 3 и косинус пи на 3 (хоть с помощью тригонометрического круга, хоть по таблице):
(sin⁡(frac{π}{3})=frac{sqrt{3}}{2});
(cos⁡(frac{π}{3})=frac{1}{2}) ;
получается (ctg(frac{π}{3})=frac{1}{2} ∶ frac{sqrt{3}}{2}= frac{1}{2} cdot frac{2}{sqrt{3}}=frac{1}{sqrt{3}}).

Ответ: (frac{1}{sqrt{3}}).

Однако можно определять значение котангенса и напрямую через тригонометрический круг – для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Ось котангенсов – это фактически копия оси косинусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси косинусов.

Пример. Вычислите (ctg:frac{π}{4}).
Решение:   
1) Отмечаем (frac{π}{4}) на окружности.

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется (1).

Ответ: (1).

Пример. Найдите значение (ctg: 30°) и (ctg: (-60°)).
Решение:   
Для угла (30°) ((∠COA)) котангенс будет равен (sqrt{3}) (приблизительно (1,73)), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку (A), пересекает ось котангесов.
(ctg;(-60°)=frac{sqrt{3}}{{3}}) (примерно (-0,58)).

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.

При этом котангенс не определен для:
1) всех точек (C) (значение в Пи: …(0), (2π), (4π), (-2π), (-4π) …; и значение в градусах: …(0°),(360°), (720°),(-360°),(-720°)…)
2) всех точек (D) (значение в Пи: …(π), (3π), (5π), (-π), (-3π), (-5π) …; и значение в градусах: …(180°),(540°),(900°),(-180°),(-540°),(-900°)…) .

Так происходит потому, что в этих точках синус равен нулю. А значит, вычисляя значение котангенса мы придем к делению на ноль, что запрещено. И прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось котангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках котангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений он может быть найден).

Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с котангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ.

Знаки по четвертям

С помощью оси котангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак котангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.

Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение котангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

– синусом того же угла: формулой (1+ctg^2⁡x=)(frac{1}{sin^2⁡x}) 

– косинусом и синусом того же угла: (ctg⁡:x=)(frac{cos:⁡x}{sin⁡:x}) 

– тангенсом того же угла: формулой (tg⁡:x=)(frac{1}{ctg:x}) 
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.

Смотрите также:
Формулы приведения
Решение уравнений (tgx=a) и (ctgx=a)

Тригонометрия – раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой нужной науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии, которые придумали наиболее важные понятия, объяснили многие свойства, предложили варианты измерения и др.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии без таблиц и графиков.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Зачем разделять понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса?

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

Синус и косинус можно представить через экспоненту (экспоненциальная функция).

Приведем иллюстрацию. 

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Означения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять (находить) значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Что и почему важно и принято помнить в ходе такого нахождения?

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тг и ктг – вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Как найти синус? Для начала нужно определиться, какой перед нами треугольник: прямоугольный или произвольный. В первом случае можно использовать обычный тригонометрический метод, а во втором – теорему косинусов.

Как найти косинус? Соответственно, нам нужно знать значения прилежающего катета и гипотенузы. 

Как найти тангенс? Если треугольник прямоугольный, то тангенс вычисляется при помощи значений противоположного катета и прилежащего (в уравнении нужно поделить одно на другое). Если речь идет о числах, тупых, развернутых углов и углов, превышающих 360 градусов, то тангенс определяется при помощи синуса и косинуса (посредством их отношения и деления).

Теорема синусов и косинусов используется для того чтобы искать элементы в произвольном треугольнике. Такой поиск используется часто.

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от -∞ до +∞. 

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность (круг) с центром в начале декартовой системы координат.

                                                                 

Начальная точка A с координатами (1, 0) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A1. Определение дается через координаты точки A1(x , y). 

Синус угла поворота α – это ордината точки A1(x , y). sin α=y

Косинус угла поворота α – это абсцисса точки A1(x , y). cos α=икс

Тангенс угла поворота α – это отношение ординаты точки A1(x , y) к ее абсциссе. tg α=yx

Котанг угла поворота α – это отношение абсциссы точки A1(x , y) к ее ординате. ctg α=xy

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой (0, 1) и (0, -1). В таких случаях выражение для тангенса tg α=yx просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогична ситуация с котангенсом. Отличие состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

При решении практических примеров не говорят “синус угла поворота α”. Слова “угол поворота” просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь. 

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10π равен синусу угла поворота величиной 10π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности – точка A c координатами (1, 0).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус числа t – ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t=y

Косинус числа t – абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t=x

Тангенс числа t – отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. tg t=yx=sin tcos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α, отличным от α = 90 ° + 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π 2 + π · k ,   k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α, кроме α = 180 ° · k ,   k ∈ Z   ( α = π · k ,   k ∈ Z ). 

Можно сказать, что sin α, cos α, tg α, ctg α – это функции угла альфа, или функции углового аргумента. 

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k ,   k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k ,   k ∈ Z.

Синус, косинус, тангенс и котангенс – основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело. 

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью  соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

                                                                     

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A(1,0) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A1(x,y) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A1OH равен углу поворота α, длина катета OH равна абсциссе точки A1(x,y). Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A1(x,y), а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности. 

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 

sin α=A1HOA1=y1=y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α, при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы

​​​​​​​