Квадрат свойства как найти площадь - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Квадрат
Квадрат со стороной и диагональю
Рёбра	4
Символ Шлефли	{4}
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D₄)
Площадь	a²
Внутренний угол	90°
Свойства
Выпуклый многоугольник, Изогональная фигура, изотоксальная фигура
Медиафайлы на Викискладе

Квадра́т (от лат. quadratus, четырёхугольный^[1]) — правильный четырёхугольник, то есть плоский четырёхугольник, у которого все углы и все стороны равны. Каждый угол квадрата — прямой ${displaystyle (90^{circ })}$ ^[2].

Варианты определения[править | править код]

Квадрат может быть однозначно охарактеризован разными способами^[3]^[4].

Четырёхугольник, диагонали которого равны и взаимно перпендикулярны, причём точка пересечения делит их пополам.
Четырёхугольник, являющийся одновременно прямоугольником и ромбом.
Прямоугольник, у которого длины двух смежных сторон равны.
Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом.
Ромб, у которого диагонали равны.
Ромб, у которого два соседних угла равны.
Ромб, один из углов которого — прямой (прочие углы, как легко доказать, тогда также прямые).
Параллелограмм, у которого длины двух смежных сторон равны, а угол между ними — прямой.
Параллелограмм, у которого диагонали равны, а угол между ними — прямой.
Дельтоид, все углы которого прямые.

Свойства[править | править код]

Основной источник: ^[4]

Далее в этом разделе обозначает длину стороны квадрата, — длину диагонали, — радиус описанной окружности, — радиус вписанной окружности.

Стороны и диагонали[править | править код]

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам (другими словами, являются биссектрисами внутренних углов квадрата). Длина каждой диагонали

Периметр квадрата равен:

Вписанная и описанная окружности[править | править код]

Вписанная и описанная окружности для квадрата

Центр описанной и вписанной окружностей квадрата совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине стороны квадрата:

${displaystyle r={frac {a}{2}}.}$

Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата:

${displaystyle R={frac {sqrt {2}}{2}}a.}$

Из этих формул следует, что площадь описанной окружности вдвое больше площади вписанной.

Площадь[править | править код]

Соединив середины сторон квадрата, получаем квадрат вдвое меньшей площади

Площадь квадрата равна

${displaystyle S=a^{2}=2R^{2}=4r^{2}={1 over 2}d^{2}}$

Из формулы ${displaystyle S=a^{2},}$ связывающей сторону квадрата с его площадью, видно, почему возведение числа во вторую степень традиционно называется «возведением в квадрат», а результаты такого возведения называются «квадратными числами» или просто квадратами. Аналогично корень 2-й степени называется квадратным корнем.

Квадрат имеет два замечательных свойства^[5].

Из всех четырёхугольников с заданным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.
Из всех четырёхугольников с заданной площадью квадрат имеет наименьший периметр.

К уравнению квадрата; здесь ${displaystyle R=2,x_{0}=y_{0}=0}$

Уравнение квадрата[править | править код]

В прямоугольной системе координат уравнение квадрата с центром в точке ${displaystyle {x_{0},y_{0}}}$ и диагоналями, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть записано в виде^[6]:

${displaystyle |x-x_{0}|+|y-y_{0}|=R,}$

где — радиус описанной окружности, равный половине длины диагонали квадрата. Сторона квадрата тогда равна его диагональ равна а площадь квадрата равна ${displaystyle 2R^{2}.}$

Уравнение квадрата с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям координат (см. рисунок), может быть представлено в одной из следующих форм:

(легко получается применением поворота на 45° к предыдущему уравнению)
${displaystyle max(x^{2},y^{2})=r^{2}}$
(в полярных координатах^[7]) ${displaystyle quad r(varphi )=min left({frac {r}{|cos varphi |}},{frac {r}{|sin varphi |}}right)}$

Математические проблемы[править | править код]

С квадратами связаны ряд проблем, часть из которых до сих пор не имеет решения.

Квадратура круга — древняя проблема построения циркулем и линейкой квадрата, равновеликого по площади заданному кругу. В 1882 году Фердинанд Линдеман доказал, что это невозможно.

Пример квадрирования квадрата

Квадрирование квадрата — задача о разбиении квадрата на конечное число меньших квадратов, без «дырок», причём длины сторон квадратов должны отличаться друг от друга (в идеале должны быть все различны). Найден ряд решений этой задачи.
Долгое время математики пытались доказать, что непрерывное отображение отрезка прямой в квадрат невозможно, пока Джузеппе Пеано не построил свой контрпример.
Гипотеза Тёплица: на всякой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, образующие вершины квадрата. Не доказана и не опровергнута.
Разбиение квадрата сеткой одинаковых более мелких квадратов также приводит к множеству проблем, используемых, в частности, в теории латинских и греко-латинских квадратов, магических квадратов, в игре судоку.

Симметрия[править | править код]

Квадрат обладает наибольшей осевой симметрией среди всех четырёхугольников. Он имеет:

одну ось симметрии четвёртого порядка — ось, перпендикулярную плоскости квадрата и проходящую через его центр;
четыре оси симметрии второго порядка (то есть относительно них квадрат отражается сам в себя), из которых две проходят вдоль диагоналей квадрата, а другие две — параллельно сторонам.

Применение[править | править код]

В математике[править | править код]

Единичный квадрат используется как эталон единицы измерения площади, а также в определении площади произвольных плоских фигур. Фигуры, у которых можно определить площадь, называются квадрируемыми.

Теорема Пифагора первоначально формулировалась геометрически: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Квадратами являются грани куба — одного из пяти правильных многогранников.

В математической физике символ квадрата может означать «оператор Д’Аламбера» (даламбериан) — дифференциальный оператор второго порядка:

${displaystyle square u:={frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}u}{partial z^{2}}}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}u}{partial t^{2}}}}$

Из теоремы Бойяи — Гервина следует, что любой многоугольник равносоставлен квадрату, то есть его можно разрезать на конечное число частей, из которых составляется квадрат (и обратно)^[8].

Графы:
K₄ полный граф часто изображается как квадрат с шестью рёбрами.

Орнаменты и паркеты[править | править код]

Мозаики, включающие квадраты

Мозаики, орнаменты и паркеты, содержащие квадраты, широко распространены.

Другие применения[править | править код]

Шахматная доска имеет форму квадрата и поделена на 64 квадрата двух цветов. Квадратная доска для международных шашек поделена на 100 квадратов двух цветов. Квадратную форму имеет боксёрский ринг, площадка для игры в квадрат.

Квадратный флаг Лима поделён на два чёрных и два жёлтых квадрата, будучи поднятым на корабле в гавани, означает, что корабль находится на карантине.

Графика[править | править код]

Символы со сходным начертанием: ロ · ⼝ · ⼞

Ряд символов имеют форму квадрата.

Символы Юникода U+25A0 — U+25CF
U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE
ロ (Японский иероглиф «Ро» (катакана))
口 (Китайский иероглиф «рот»)
囗 (Китайский иероглиф «ограда»)

В Latex для вставки символа квадрата служат конструкции Box или square.

В HTML, чтобы заключить произвольный текст в квадрат или прямоугольник, можно использовать конструкцию:

<span style=”border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;”>text</span>; результат: text.

Вариации и обобщения[править | править код]

Многомерное пространство[править | править код]

Квадрат можно рассматривать как двумерный гиперкуб.

Неевклидова геометрия[править | править код]

В неевклидовой геометрии квадрат (в более широком смысле) — многоугольник с четырьмя равными сторонами и равными углами. По величине этих углов можно судить о кривизне плоскости — в евклидовой геометрии и только в ней углы прямые, в сферической геометрии углы сферического квадрата больше прямого, в геометрии Лобачевского — меньше.

Построение квадрата с использованием циркуля и линейки

Складывание квадрата из произвольного куска бумаги

См. также[править | править код]

Алгоритм «движущиеся квадраты»
Квадрат Полибия
Квадратная матрица
Квадратриса
Первая теорема Тебо
Площадь произвольного четырёхугольника

Примечания[править | править код]

↑ Квадрат // Советский энциклопедический словарь. — 2-е изд.. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — С. 561. — 1600 с.
↑ Квадрат // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 776. — 1184 с.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
↑ ¹ ² Каплун, 2014, с. 171—173.
↑ Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 117, 119. — 312 с. — ISBN 5-94057-171-9.
↑ Уравнение квадрата в декартовой системе координат. Дата обращения: 9 ноября 2021. Архивировано 9 ноября 2021 года.
↑ What is the polar equation for a square, if any?
↑ Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977. — 208 с. Архивировано 28 июня 2021 года.

Литература[править | править код]

Каплун А. И. Математика, Учебно-практический справочник. — Ростов н/Д.: ООО “Феникс”, 2014. — 240 с. — ISBN 978-5-222-20926-3.

Ссылки[править | править код]

Квадрат, геометрическая фигура // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Источник

Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр.

Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата

Свойства квадрата

Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата

Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата:

Квадрат – это правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Квадрат – это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.

Рис. 1. Квадрат

Все углы квадрата прямые. Каждый из них прямой и равен 90°.

Таким образом, все квадраты отличаются друг от друга только длиной стороны.

Рис. 2. Квадрат и диагонали квадрата

Диагональ квадрата – это отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата. AC и BD – это диагонали квадрата.

Квадрат является одновременно частным случаем других фигур: параллелограмма, ромба и прямоугольника. Поэтому квадрату присущи все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника.

Квадрат – это равносторонний прямоугольник.

Квадрат – это ромб с прямыми углами.

Свойства квадрата:

1. Длины всех сторон равны.

Рис. 3. Квадрат

AB = BC = CD = AD

2. Противоположные стороны квадрата параллельны.

Рис. 4. Квадрат

AB||CD, BC||AD

3. Все углы квадрата прямые. Каждый из них равен 90°.

Рис. 5. Квадрат

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусам.

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.

5. Диагонали квадрата равны между собой.

Рис. 6. Квадрат

AC = BD

6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Рис. 7. Квадрат

AC ┴ BD

7. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Рис. 8. Квадрат

BO = OD = AO = OC

8. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45 градусам.

Рис. 9. Квадрат

∠BCA = ∠ACD = ∠DAC = ∠CAB = 45°

9. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов и делят углы пополам.

Рис. 10. Квадрат

∠ABD = ∠DBC = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠BDA = ∠DAC = ∠CAB = 45°

10. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Обе диагонали делят квадрат на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Рис. 11. Квадрат

△ABD = △CBD = △ABC = △ACD,

△AOB = △BOC = △COD = △AOD

11. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности.

Рис. 12. Квадрат

Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата:

Пусть a – длина стороны квадрата, d – диагональ квадрата, R – радиус описанной окружности квадрата, r – радиус вписанной окружности квадрата, P – периметр квадрата, S – площадь квадрата.

Формула диагонали квадрата:

, , , , .

Формула радиуса вписанной окружности квадрата:

Радиус вписанной окружности квадрата равен половине его стороны.

Формула радиуса описанной окружности квадрата:

Формула периметра квадрата:

, , .

Формула площади квадрата:

, , , , .

Квадрат

Прямоугольник

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Шестиугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

Коэффициент востребованности
3 726

Источник

Квадрат. Формулы и свойства квадрата

Определение.

Квадрат – это четырехугольник у которого все четыре стороны и углы одинаковы.
Квадраты отличаются между собой только длиной стороны, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90°.

Основные свойства квадрата

Квадратом также могут быть параллелограмм, ромб или прямоугольник если они имеют одинаковые длины диагоналей, сторон и одинаковые углы.

1. Все четыре стороны квадрата имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = BC = CD = AD

2. Противоположные стороны квадрата параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Все четыре угла квадрата прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Диагонали квадрата имеют одинаковой длины:

AC = BD

6. Каждая диагональ квадрата делит квадрат на две одинаковые симметричные фигуры

7. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом, и разделяют друг друга пополам:

AC┴BD		AO = BO = CO = DO =	d
2

8. Точка пересечения диагоналей называется центром квадрата и также является центром вписанной и описанной окружности

9. Каждая диагональ делит угол квадрата пополам, то есть они являются биссектрисами углов квадрата:

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обе диагонали разделяют квадрат на четыре равные треугольника, причем эти треугольники одновременно и равнобедренные и прямоугольные:

ΔAOB = ΔBOC = ΔCOD = ΔDOA

Диагональ квадрата

Определение.

Диагональю квадрата называется любой отрезок, соединяющий две вершины противоположных углов квадрата.

Диагональ любого квадрата всегда больше его стороны в√2 раз.

Формулы определения длины диагонали квадрата

1. Формула диагонали квадрата через сторону квадрата:

d = a·√2

2. Формула диагонали квадрата через площадь квадрата:

d = √2S

3. Формула диагонали квадрата через периметр квадрата:

4. Формула диагонали квадрата через радиус описанной окружности:

d = 2R

5. Формула диагонали квадрата через диаметр описанной окружности:

d = D_о

6. Формула диагонали квадрата через радиус вписанной окружности:

d = 2r√2

7. Формула диагонали квадрата через диаметр вписанной окружности:

d = D_в√2

8. Формула диагонали квадрата через длину отрезка l:

Периметр квадрата

Определение.

Периметром квадрата называется сумма длин всех сторон квадрата.

Формулы определения длины периметра квадрата

1. Формула периметра квадрата через сторону квадрата:

P = 4a

2. Формула периметра квадрата через площадь квадрата:

P = 4√S

3. Формула периметра квадрата через диагональ квадрата:

P = 2d√2

4. Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности:

P = 4R√2

5. Формула периметра квадрата через диаметр описанной окружности:

P = 2D_о√2

6. Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности:

P = 8r

7. Формула периметра квадрата через диаметр вписанной окружности:

P = 4D_в

8. Формула периметра квадрата через длину отрезка l:

Площадь квадрата

Определение.

Площадью квадрата называется пространство, ограниченное сторонами квадрата, то есть в пределах периметра квадрата.

Площадь квадрата больше площади любого четырехугольника с таким же периметром.

Формулы определения площади квадрата

1. Формула площади квадрата через сторону квадрата:

S = a²

2. Формула площади квадрата через периметр квадрата:

3. Формула площади квадрата через диагональ квадрата:

4. Формула площади квадрата через радиус описанной окружности:

S = 2R²

5. Формула площади квадрата через диаметр описанной окружности:

6. Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности:

S = 4r²

7. Формула площади квадрата через диаметр вписанной окружности:

S = D_в²

8. Формула площади квадрата через длину отрезка l:

Окружность описанная вокруг квадрата

Определение.

Кругом описанным вокруг квадрата называется круг проходящий через четыре вершины квадрата и имеющий центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата всегда больше радиуса вписанной окружности в√2 раз.

Радиус окружности описанной вокруг квадрата равен половине диагонали.

Площадь круга описанного вокруг квадрата большая площадь того же квадрата в π/2 раз.

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата

1. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через сторону квадрата:

2. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через периметр квадрата:

3. Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата через площадь квадрата:

4. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диагональ квадрата:

5. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр описанной окружности:

6. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через радиус вписанной окружности:

R = r √2

7. Формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через диаметр вписанной окружности:

8. формула радиуса круга описанного вокруг квадрата через длину отрезка l:

Окружность вписанная в квадрата

Определение.

Кругом вписанным в квадрат называется круг, который примыкает к серединам сторон квадрата и имеет центр на пересечении диагоналей квадрата.

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата.

Площадь круга вписанного в квадрат меньше площади квадрата в 4/π раза.

Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат

1. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через сторону квадрата:

2. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диагональ квадрата:

3. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через периметр квадрата:

4. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через площадь квадрата:

5. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через радиус описанной окружности:

6. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр, описанной окружности:

7 Формула радиуса круга вписанного в квадрат через диаметр вписанной окружности:

8. Формула радиуса круга вписанного в квадрат через длину отрезка l:

Источник

Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр

Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата

Свойства квадрата

Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата

Видео

Площадь квадрата

Квадрат это тот же прямоугольник, но у которого все стороны равны. Например, на следующем рисунке представлен квадрат со стороной 3 см. Фраза «квадрат со стороной 3 см» означает, что все стороны равны 3 см

Площадь квадрата вычисляется таким же образом, как и площадь прямоугольника — длину умножают на ширину.

Вычислим площадь квадрата со стороной 3 см. Умножим длину 3 см на ширину 3 см

3 × 3 = 9

В данном случае требовалось узнать сколько квадратов со стороной 1 см содержится в исходном квадрате. В исходном квадрате содержится девять квадратов со стороной 1 см. Действительно, так оно и есть. Квадрат со стороной 1 см, входит в исходный квадрат девять раз:

Умножив длину на ширину, мы получили выражение 3 × 3, а это есть произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен 3. Иными словами выражение 3 × 3 представляет собой вторую степень числа 3. А значит процесс вычисления площади квадрата можно записать в виде степени 3².

Поэтому вторую степень числа называют квадратом числа. При вычислении второй степени числа a, человек тем самым находит площадь квадрата со стороной a. Операцию возведения числа во вторую степень по другому называют возведением в квадрат.

Как найти площадь квадрата?

[ad3]

Вычисление площади данной фигуры можно просто и легко объяснить на примере:

предположим, что сторона квадрата равна 8 метрам;
для подсчета площади любого прямоугольника нужно умножить значение одной его стороны на другую (8 х 8 = 64);
поскольку мы умножаем метры на метры, то в результате получаем квадратные метры (м2).

Площадь геометрической фигуры

Площадь геометрической фигуры — это число, которое характеризует размер данной фигуры.

Следует уточнить, что речь в данном случае идёт о площади на плоскости. Плоскостью в геометрии называют любую плоскую поверхность, например: лист бумаги, земельный участок, поверхность стола.

Площадь измеряется в квадратных единицах. Под квадратными единицами подразумевают квадраты, стороны которых равны единице. Например, 1 квадратный сантиметр, 1 квадратный метр или 1 квадратный километр.

Измерить площадь какой-нибудь фигуры означает выяснить сколько квадратных единиц содержится в данной фигуре.

Например, площадь следующего прямоугольника равна трём квадратным сантиметрам:

Это потому что в данном прямоугольнике содержится три квадрата, каждый из которых имеет сторону, равную одному сантиметру:

Справа представлен квадрат со стороной 1 см (он в данном случае является квадратной единицей). Если посмотреть сколько раз этот квадрат входит в прямоугольник, представленный слева, то обнаружим, что он входит в него три раза.

Следующий прямоугольник имеет площадь, равную шести квадратным сантиметрам:

Это потому что в данном прямоугольнике содержится шесть квадратов, каждый из которых имеет сторону, равную одному сантиметру:

Допустим, потребовалось измерить площадь следующей комнаты:

Определимся в каких квадратах будем измерять площадь. В данном случае площадь удобно измерить в квадратных метрах:

Итак, наша задача состоит в том, чтобы определить сколько таких квадратов со стороной 1 м содержится в исходной комнате. Заполним этим квадратом всю комнату:

Видим, что квадратный метр содержится в комнате 12 раз. Значит, площадь комнаты составляет 12 квадратных метров.

Свойства квадрата:

1. Длины всех сторон равны.

Рис. 3. Квадрат

AB = BC = CD = AD

2. Противоположные стороны квадрата параллельны.

Рис. 4. Квадрат

AB||CD, BC||AD

3. Все углы квадрата прямые. Каждый из них равен 90°.

Рис. 5. Квадрат

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

4. Сумма углов квадрата равна 360 градусам.

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.

5. Диагонали квадрата равны между собой.

Рис. 6. Квадрат

AC = BD

6. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Рис. 7. Квадрат

AC ┴ BD

7. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Рис. 8. Квадрат

BO = OD = AO = OC

8. Угол между диагональю и стороной квадрата равен 45 градусам.

Рис. 9. Квадрат

∠BCA = ∠ACD = ∠DAC = ∠CAB = 45°

9. Диагонали квадрата являются биссектрисами углов и делят углы пополам.

Рис. 10. Квадрат

∠ABD = ∠DBC = ∠BCA = ∠ACD = ∠CDB = ∠BDA = ∠DAC = ∠CAB = 45°

10. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Обе диагонали делят квадрат на 4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

Рис. 11. Квадрат

△ABD = △CBD = △ABC = △ACD,

△AOB = △BOC = △COD = △AOD

Рис. 12. Квадрат

Определение квадрата

Квадрат – это правильная геометрическая фигура на плоскости, у которой четыре равные стороны и прямые углы (т.е. 90°). Чаще всего квадрат обозначается названиями вершин (например, ABCD), а его сторона – маленькой латинской буквой (например, a).

AB = BC = CD = AD = a
∠ABC = ∠BCD = ∠ADC = ∠BAD = 90°

Свойства квадрата

Свойство 1

Диагонали квадрата равны, расположены под прямым углом друг к другу, в точке пересечения делятся пополам.

AC = BD = d (диагонали)
AE = EC = BE = ED
∠AEB = ∠AED = ∠BEC = ∠CED = 90°

Свойство 2

Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов. Для рисунке выше:

BD – биссектриса углов ABC и ADC, следовательно, ∠ABD = ∠DBC = ∠ADB = ∠BDC
AC – биссектриса углов BAD и BCD, следовательно, ∠BAC = ∠CAD = ∠BCA = ∠ACD

Свойство 3

Центром описанной вокруг и вписанной в квадрат окружностей является точка пересечения его диагоналей (в нашем случае – E).

При этом радиусы окружностей можно вычислить через длину стороны или диагонали квадрата:

Здесь:

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
a – длина стороны квадрата;
d – длина диагонали квадрата.

Также, один радиус можно выразить через другой:

Свойство 4

Зная длину стороны или диагонали квадрата, можно найти его площадь или периметр.

Периметр (P) квадрата через сторону:

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a

Периметр (P) квадрата через диагональ:

Площадь (S) квадрата через сторону:

P = a ⋅ a = a²

Площадь (S) квадрата через диагональ:

Источник

Варианты определения[править | править код]

Свойства[править | править код]

Стороны и диагонали[править | править код]

Вписанная и описанная окружности[править | править код]

Площадь[править | править код]

Уравнение квадрата[править | править код]

Математические проблемы[править | править код]

Симметрия[править | править код]

Применение[править | править код]

В математике[править | править код]

Орнаменты и паркеты[править | править код]

Другие применения[править | править код]

Графика[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Многомерное пространство[править | править код]

Неевклидова геометрия[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр.

Квадрат (понятие, определение), диагональ квадрата:

Свойства квадрата:

Формулы квадрата. Площадь квадрата. Периметр квадрата:

Квадрат. Формулы и свойства квадрата

Основные свойства квадрата

Диагональ квадрата

Формулы определения длины диагонали квадрата

Периметр квадрата

Формулы определения длины периметра квадрата

Площадь квадрата

Формулы определения площади квадрата

Окружность описанная вокруг квадрата

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Окружность вписанная в квадрата

Формулы определения радиуса круга вписанного в квадрат

Квадрат, свойства и формулы, площадь и периметр

Видео

Площадь квадрата

Как найти площадь квадрата?

Площадь геометрической фигуры

Свойства квадрата:

Теги

Определение квадрата

Свойства квадрата

Свойство 1

Свойство 2

Свойство 3

Свойство 4

Вам также может понравиться

Как составить исповедь оптиной пустыни

Как найти упоминания в историях

Как найти расстояние до короткого замыкания

Добавить комментарий Отменить ответ