Квадратный корень как найти значение корня - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Квадра́тный ко́рень из числа (корень 2-й степени) — число , дающее при возведении в квадрат^[1]: Равносильное определение: квадратный корень из числа — решение уравнения ${displaystyle x^{2}=a.}$ Операция вычисления значения квадратного корня из числа называется «извлечением квадратного корня» из этого числа.

Наиболее часто под и подразумеваются вещественные числа, но существуют и обобщения ^[⇨] для комплексных чисел и других математических объектов, например, матриц и операторов.

У каждого положительного вещественного числа существуют два противоположных по знаку квадратных корня. Например, квадратными корнями из числа 9 являются и у обоих этих чисел квадраты совпадают и равны 9. Это затрудняет работу с корнями. Чтобы обеспечить однозначность, вводится понятие арифметического корня, значение которого при всегда неотрицательно (а на положительных — положительно); арифметический корень из числа обозначается с помощью знака корня (радикала)^[2]^[3]: .

Пример для вещественных чисел: потому что ${displaystyle { 4}^{2}=16.}$

Если требуется учесть двузначность корня, перед радикалом ставится знак плюс-минус^[2]; например, так делается в формуле решения квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$ :

${displaystyle x_{1,2}={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

Например, √25 = 5, поскольку

25 = 5 ⋅ 5, или

5² (5 «в квадрате»)

История[править | править код]

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков. Среди таких задач^[4]:

Применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам.
Нахождение стороны квадрата, площадь которого задана.
Решение квадратных уравнений.

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с пометками. Диагональ отображает приближение четырьмя 60-ричными цифрами, 1 24 51 10

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 из вавилонской коллекции Йельского университета была создана между 1800 и 1600 годами до н. э. и демонстрирует √2 и √2/2 соответственно в шестидесятиричной системе счисления: 1;24,51,10 и 0;42,25,35 на квадрате, пересечённом двумя диагоналями^[5]. (1;24,51,10) по основанию 60 соответствует 1,41421296, что является правильным значением с точностью до 5 десятичных знаков: ${displaystyle 1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}=1{,}41421296.}$ Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод^[6], изложенный ниже^[⇨]. Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах»^[7].

Древние греки сделали важное открытие: — иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально^[8].

Средневековые европейские математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень^[9] символом R_x, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году^[10]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт («Геометрии», 1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

После появления формулы Кардано (XVI век) началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел^[11]. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей). Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел^[12].

Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру^[13]. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корней^[14].

Квадратные корни из чисел[править | править код]

Рациональные числа[править | править код]

При рациональных уравнение x^2=a не всегда разрешимо в рациональных числах. Более того, такое уравнение, даже при положительном , разрешимо в рациональных числах тогда и только тогда, когда и числитель и знаменатель числа , представленного в виде несократимой дроби, являются квадратными числами.

Непрерывная дробь для корня из рационального числа всегда является периодической (возможно, с предпериодом), что позволяет, с одной стороны, легко вычислять хорошие рациональные приближения к рациональным числам с помощью линейных рекурсий, а с другой стороны ограничивает точность приближения: $|{sqrt {r}}-p/q|>{frac {1}{Cq^{2}}}$ , где зависит от ^[15]^[16]. Верно и то, что любая периодическая непрерывная дробь является квадратичной иррациональностью.

Примеры разложения корней из натуральных чисел от 2 до 10 в непрерывные дроби:

	= [1; 2, 2, …]
	= [1; 1, 2, 1, 2, …]
	= [2]
	= [2; 4, 4, …]
	= [2; 2, 4, 2, 4, …]
	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …]
	= [2; 1, 4, 1, 4, …]
	= [3]
	= [3; 6, 6, …]

Действительные (вещественные) числа[править | править код]

Для любого положительного числа существуют ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку^[17].

Неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала^[3]: .

Основные свойства вещественного квадратного корня (все подкоренные выражения считаются неотрицательными):

К комплексным числам, учитывая двузначность корня, все эти свойства неприменимы (см. ниже пример ошибки).

Комплексные числа[править | править код]

Квадратных корней из любого ненулевого комплексного числа всегда ровно два, они противоположны по знаку. Для корней в комплексной области понятие арифметического корня не вводится, знак радикала обычно либо не используется, либо обозначает не функцию корня, а множество всех корней. В последнем случае, во избежание ошибок, знак радикала не должен использоваться в арифметических операциях. Распространённая ошибка:

${displaystyle -1=({sqrt {-1}})^{2}={sqrt {(-1)^{2}}}={sqrt {1}}=1}$

(что, конечно, неверно)

Ошибка возникла из-за того, что комплексный квадратный корень является двузначной функцией, и его нельзя использовать в арифметических действиях.

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

${displaystyle a=|a|e^{iphi }}$

то (см. Формула Муавра)

${displaystyle {sqrt {a}}={sqrt {|a|}}cdot e^{i(phi +2pi k)/2}}$

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k = 0 и k = 1, таким образом, в итоге получаются два различных результата.

Существует и чисто алгебраическое представление для корня из a+bi ; оба значения корня имеют вид где:

${displaystyle c={sqrt {frac {a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

${displaystyle d=operatorname {sgn}(b){sqrt {frac {-a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$

Здесь sgn — функция «знак». Формула легко проверяется возведением в квадрат^[18].

Пример: для квадратного корня из формулы дают два значения:

Квадратный корень как элементарная функция[править | править код]

Квадратный корень является элементарной функцией и частным случаем степенной функции ${displaystyle x^{alpha }}$ с . Арифметический квадратный корень является гладким при в нуле же он непрерывен справа, но не дифференцируем^[19].

Производная функции квадратного корня вычисляется по формуле:

${displaystyle {frac {d({sqrt {x}})}{dx}}={frac {1}{2{sqrt {x}}}}}$

Как функция комплексного переменного корень — двузначная функция, два листа которой соединяются в нуле (см. подробнее Комплексный анализ).

В элементарной геометрии[править | править код]

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того^[20].

В информатике[править | править код]

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

Применение[править | править код]

Квадратные корни используются повсеместно в математике и естественных науках, например:

Алгоритмы нахождения квадратного корня[править | править код]

Разложение в ряд Тейлора[править | править код]

${displaystyle {sqrt {1+x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+textstyle {frac {1}{2}}x-{frac {1}{8}}x^{2}+{frac {1}{16}}x^{3}-{frac {5}{128}}x^{4}+dots ,}$

при

Грубая оценка[править | править код]

Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем ${sqrt {S}}approx 2cdot 10^{n}.$

Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем ${sqrt {S}}approx 6cdot 10^{n}.$

Два и шесть используются потому, что и

При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку $2^{{leftlfloor D/2rightrfloor }}$ (здесь D это число двоичных цифр).

Геометрическое извлечение квадратного корня[править | править код]

Построение для геометрического извлечения квадратного корня

Так как треугольники и подобны по признаку подобия треугольников по 2 равным углам, то ${displaystyle {frac {|AH|}{|BH|}}={frac {|BH|}{|HC|}},~}$ откуда ${displaystyle |BH|^{2}=|AH|cdot |HC|}$ и

В частности, если , а , то ^[21].

Итерационный аналитический алгоритм[править | править код]

Данный способ был известен уже в Древнем Вавилоне. Он позволяет найти приближённое значение квадратного корня с любой точностью,

Последовательные приближения рассчитываются по формуле:
${displaystyle {begin{cases}x_{0}=a\x_{n+1}={frac {1}{2}}left(x_{n}+{frac {a}{x_{n}}}right)end{cases}}}$
тогда $lim _{{nto infty }}x_{n}={sqrt {a}}$

Этот метод сходится очень быстро. Например, если для взять начальное приближение ${displaystyle x_{0}=2,}$ то получим:

${displaystyle x_{1}={frac {9}{4}}=2{,}25; x_{2}={frac {161}{72}}=2{,}23611dots ; x_{3}={frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779dots }$

В заключительном значении верны все приведённые цифры, кроме последней.

Столбиком[править | править код]

Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью. К недостаткам способа можно отнести увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных цифр.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из числа N с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной точки. При необходимости группы дополняются нулями — целая часть дополняется слева, дробная справа. Так, 31234,567 можно представить как 03 12 34, 56 70. В отличие от деления, снос производится такими группами по 2 цифры.

Записать число N (в примере — 69696) на листке.
Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа N (старшая группа — самая левая, не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера $a^{2}=2^{2}=2cdot 2=4<6$ , а $(a+1)^{2}=3^{2}=3cdot 3=9>6$ ).
Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов N выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и слева от черты записать число, равное уже найденным цифрам результата (мы их выписываем справа от N), умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа N справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа N, то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности, прекращаем процесс вычисления.
Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

Наглядное описание алгоритма:

Вариации и обобщения[править | править код]

Квадратный корень из определяется как решение уравнения ${displaystyle x^{2}=a,}$ и его в принципе можно определить не только для чисел, но и всюду, где такое уравнение имеет смысл. В общей алгебре применяется следующее формальное определение:

Чаще всего рассматривают такие обобщения в алгебраических кольцах.

Если кольцо есть область целостности, то квадратных корней из ненулевого элемента может быть либо два, либо ни одного. В самом деле, если имеются два корня a,b, то ${displaystyle a^{2}=b^{2},}$ откуда: , то есть, в силу отсутствия делителей нуля, . В более общем случае, когда в кольце имеются делители нуля или оно некоммутативно, число корней может быть любым.

В теории чисел рассматривается конечное кольцо вычетов по модулю : если сравнение ${displaystyle x^{2}equiv a{pmod {m}}}$ имеет решение, то целое число называется квадратичным вычетом (в противном случае — квадратичным невычетом). Решение указанного сравнения вполне аналогично извлечению квадратного корня в кольце вычетов^[22].

Корни для кватернионов имеют много общего с комплексными, но есть и существенные особенности. Квадратный кватернионный корень обычно имеет 2 значения, но если подкоренное выражение — отрицательное вещественное число, то значений бесконечно много. Например, квадратные корни из образуют трёхмерную сферу, определяемую формулой^[23]:

${ai+bj+ckmid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1},.$

Для кольца квадратных матриц доказано, что если матрица положительно определена, то положительно определённый квадратный корень из матрицы существует и единственен^[24]. Для матриц других типов корней может быть сколько угодно (в том числе ни одного).

Квадратные корни вводятся также для функций^[25], операторов^[26] и других математических объектов.

См. также[править | править код]

Быстрый инверсный квадратный корень
Вложенные радикалы
День квадратного корня
Кубический корень

Примечания[править | править код]

↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах), 1982.
↑ ¹ ² Элементарная математика, 1976, с. 49.
↑ ¹ ² Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1970, с. 33.
↑ История математики, 1970—1972, Том I, С. 42—46.
↑ Analysis of YBC 7289 (англ.). ubc.ca. Дата обращения: 19 января 2015. Архивировано 12 марта 2020 года.
↑ История математики, 1970—1972, Том I, С. 47.
↑ История математики, 1970—1972, Том I, С. 169—171.
↑ Башмакова И. Г. Становление алгебры (из истории математических идей). — М.: Знание, 1979. — С. 23. — (Новое в жизни, науке, технике. Математика, кибернетика, № 9).
↑ Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — С. 81. — 208 с. — (История науки и техники).
↑ Знаки математические // Математическая энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2. Архивировано 20 ноября 2012 года.
↑ История математики, 1970—1972, Том I, С. 296—298.
↑ История математики, 1970—1972, Том III, С. 56—59.
↑ История математики, 1970—1972, Том III, С. 62.
↑ Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — Т. I. — С. 58—66.
↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
↑ Хинчин, 1960.
↑ Фихтенгольц, 4.
↑ Cooke, 2008.
↑ Фихтенгольц, 2.
↑ Курант, Роббинс, 2000.
↑ Курант, Роббинс, 2000, с. 148.
↑ Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — С. 71. — 180 с. Архивировано 4 ноября 2011 года.
↑ Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, page 60.
↑ См., например: Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953, С. 212—219, или: Воеводин В., Воеводин В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. М.: Просвещение, 1984, или: * Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. — Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983, или: Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970.

Литература[править | править код]

Воеводин В. В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ. — Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2006.
Ершов Л. В., Райхмист Р. Б. Построение графиков функций. — Москва: Просвещение, 1984.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970—1972.
Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — Москва: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд.. — Москва: Наука, 1970. — 720 с.
Курант Р., Роббинс Г. ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей // Что такое математика?. — Москва: МЦНМО, 2000.
Понятов А. Откуда вырос арифметический корень? // Наука и жизнь. — 2022. — № 8. — С. 81—89.
Фихтенгольц Г. М. Введение, § 4 // [Мат. анализ на EqWorld Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 1.
Фихтенгольц Г. М. Глава 2, § 1 // [Мат. анализ на EqWorld Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 1.
Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. — Москва: Мир, 1970.
Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. — Москва: Мир, 1983.
Хинчин А. Я. §§ 4, 10 // Цепные дроби. — Москва: ГИФМЛ, 1960.
Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses (англ.). — John Wiley and Sons, 2008. — P. 59. — ISBN 0-470-25952-3.

Ссылки[править | править код]

Алгоритмы вычисления квадратного корня (англ.). Дата обращения: 12 октября 2006. Архивировано 19 ноября 2010 года.
Соловьев Ю. Старый алгоритм. Дата обращения: 6 ноября 2006. Архивировано 3 марта 2016 года.

Источник

Загрузить PDF

До появления калькуляторов студенты и преподаватели вычисляли квадратные корни вручную. Существует несколько способов вычисления квадратного корня числа вручную. Некоторые из них предлагают только приблизительное решение, другие дают точный ответ.

1
Разложите подкоренное число на множители, которые являются квадратными числами. В зависимости от подкоренного числа, вы получите приблизительный или точный ответ. Квадратные числа – числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число.^[1] Например, множителями числа 8 являются 2 и 4, так как 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 являются квадратными числами, так как √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратные множители – это множители, которые являются квадратными числами. Сначала попытайтесь разложить подкоренное число на квадратные множители.
- Например, вычислите квадратный корень из 400 (вручную). Сначала попытайтесь разложить 400 на квадратные множители. 400 кратно 100, то есть делится на 25 – это квадратное число. Разделив 400 на 25, вы получите 16. Число 16 также является квадратным числом. Таким образом, 400 можно разложить на квадратные множители 25 и 16, то есть 25 х 16 = 400.
- Записать это можно следующим образом: √400 = √(25 х 16).
2
Квадратные корень из произведения некоторых членов равен произведению квадратных корней из каждого члена, то есть √(а х b) = √a x √b.^[2] Воспользуйтесь этим правилом и извлеките квадратный корень из каждого квадратного множителя и перемножьте полученные результаты, чтобы найти ответ.
- В нашем примере извлеките корень из 25 и из 16.
  - √(25 х 16)
  - √25 х √16
  - 5 х 4 = 20
3
Если подкоренное число не раскладывается на два квадратных множителя (а так происходит в большинстве случаев), вы не сможете найти точный ответ в виде целого числа. Но вы можете упростить задачу, разложив подкоренное число на квадратный множитель и обыкновенный множитель (число, из которого целый квадратный корень извлечь нельзя). Затем вы извлечете квадратный корень из квадратного множителя и будете извлекать корень из обыкновенного множителя.
- Например, вычислите квадратный корень из числа 147. Число 147 нельзя разложить на два квадратных множителя, но его можно разложить на следующие множители: 49 и 3. Решите задачу следующим образом:
  - √147
  - = √(49 х 3)
  - = √49 х √3
  - = 7√3
4
Если нужно, оцените значение корня. Теперь можно оценить значение корня (найти приблизительное значение), сравнив его со значениями корней квадратных чисел, находящихся ближе всего (с обеих сторон на числовой прямой) к подкоренному числу. Вы получите значение корня в виде десятичной дроби, которую необходимо умножить на число, стоящее за знаком корня.
- Вернемся к нашему примеру. Подкоренное число 3. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 1 (√1 = 1) и 4 (√4 = 2). Таким образом, значение √3 расположено между 1 и 2. Та как значение √3, вероятно, ближе к 2, чем к 1, то наша оценка: √3 = 1,7. Умножаем это значение на число у знака корня: 7 х 1,7 = 11,9. Если вы сделаете расчеты на калькуляторе, то получите 12,13, что довольно близко к нашему ответу.
  - Этот метод также работает с большими числами. Например, рассмотрим √35. Подкоренное число 35. Ближайшими к нему квадратными числами будут числа 25 (√25 = 5) и 36 (√36 = 6). Таким образом, значение √35 расположено между 5 и 6. Так как значение √35 намного ближе к 6, чем к 5 (потому что 35 всего на 1 меньше 36), то можно заявить, что √35 немного меньше 6. Проверка на калькуляторе дает нам ответ 5,92 – мы были правы.
5
Еще один способ – разложите подкоренное число на простые множители. Простые множители – числа, которые делятся только на 1 и самих себя. Запишите простые множители в ряд и найдите пары одинаковых множителей. Такие множители можно вынести за знак корня.
- Например, вычислите квадратный корень из 45. Раскладываем подкоренное число на простые множители: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким образом, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можно вынести за знак корня: √45 = 3√5. Теперь можно оценить √5.
- Рассмотрим другой пример: √88.
  - √88
  - = √(2 х 44)
  - = √ (2 х 4 х 11)
  - = √ (2 х 2 х 2 х 11). Вы получили три множителя 2; возьмите пару из них и вынесите за знак корня.
  - = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Теперь можно оценить √2 и √11 и найти приблизительный ответ.
Реклама

При помощи деления в столбик

1
Этот метод включает процесс, аналогичный делению в столбик, и дает точный ответ. Сначала проведите вертикальную линию, делящую лист на две половины, а затем справа и немного ниже верхнего края листа к вертикальной линии пририсуйте горизонтальную линию. Теперь разделите подкоренное число на пары чисел, начиная с дробной части после запятой. Так, число 79520789182,47897 записывается как “7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.
- Для примера вычислим квадратный корень числа 780,14. Нарисуйте две линии (как показано на рисунке) и слева сверху напишите данное число в виде “7 80, 14”. Это нормально, что первая слева цифра является непарной цифрой. Ответ (корень из данного числа) будете записывать справа сверху.
2
Для первой слева пары чисел (или одного числа) найдите наибольшее целое число n, квадрат которого меньше или равен рассматриваемой паре чисел (или одного числа). Другими словами, найдите квадратное число, которое расположено ближе всего к первой слева паре чисел (или одному числу), но меньше ее, и извлеките квадратный корень из этого квадратного числа; вы получите число n. Напишите найденное n сверху справа, а квадрат n запишите снизу справа.
- В нашем случае, первым слева числом будет число 7. Далее, 4 < 7, то есть 2² < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа – это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3
Вычтите квадрат числа n, которое вы только что нашли, из первой слева пары чисел (или одного числа). Результат вычисления запишите под вычитаемым (квадратом числа n).
- В нашем примере вычтите 4 из 7 и получите 3.
4
Снесите вторую пару чисел и запишите ее около значения, полученного в предыдущем шаге. Затем удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением “_×_=”.
- В нашем примере второй парой чисел является “80”. Запишите “80” после 3. Затем, удвоенное число сверху справа дает 4. Запишите “4_×_=” снизу справа.
5
Заполните прочерки справа. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем случае, если вместо прочерков поставить число 8, то 48 х 8 = 384, что больше 380. Поэтому 8 – слишком большое число, а вот 7 подойдет. Напишите 7 вместо прочерков и получите: 47 х 7 = 329. Запишите 7 сверху справа – это вторая цифра в искомом квадратном корне числа 780,14.
6
Вычтите полученное число из текущего числа слева. Запишите результат из предыдущего шага под текущим числом слева, найдите разницу и запишите ее под вычитаемым.
- В нашем примере, вычтите 329 из 380, что равно 51.
7
Повторите шаг 4. Если сносимой парой чисел является дробная часть исходного числа, то поставьте разделитель (запятую) целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Слева снесите вниз следующую пару чисел. Удвойте число сверху справа и запишите полученный результат снизу справа с добавлением “_×_=”.
- В нашем примере следующей сносимой парой чисел будет дробная часть числа 780.14, поэтому поставьте разделитель целой и дробной частей в искомом квадратном корне сверху справа. Снесите 14 и запишите снизу слева. Удвоенным числом сверху справа (27) будет 54, поэтому напишите “54_×_=” снизу справа.
8
Повторите шаги 5 и 6. Найдите такое наибольшее число на место прочерков справа (вместо прочерков нужно подставить одно и тоже число), чтобы результат умножения был меньше или равен текущему числу слева.
- В нашем примере 549 х 9 = 4941, что меньше текущего числа слева (5114). Напишите 9 сверху справа и вычтите результат умножения из текущего числа слева: 5114 – 4941 = 173.
9

Если для квадратного корня вам необходимо найти больше знаков после запятой, напишите пару нулей у текущего числа слева и повторяйте шаги 4, 5 и 6. Повторяйте шаги, до тех пор пока не получите нужную вам точность ответа (число знаков после запятой).

Реклама

Понимание процесса

1

Для усвоения данного метода представьте число, квадратный корень которого необходимо найти, как площадь квадрата S. В этом случае вы будете искать длину стороны L такого квадрата. Вычисляем такое значение L, при котором L² = S.
2

Задайте букву для каждой цифры в ответе. Обозначим через A первую цифру в значении L (искомый квадратный корень). B будет второй цифрой, C – третьей и так далее.
3

Задайте букву для каждой пары первых цифр. Обозначим через S_a первую пару цифр в значении S, через S_b – вторую пару цифр и так далее.
4

Уясните связь данного метода с делением в столбик. Как и в операции деления, где каждый раз нас интересует только одна следующая цифра делимого числа, при вычислении квадратного корня мы последовательно работаем с парой цифр (для получения одной следующей цифры в значении квадратного корня).
5
Рассмотрим первую пару цифр Sa числа S (Sa = 7 в нашем примере) и найдем ее квадратный корень. В этом случае первой цифрой A искомого значения квадратного корня будет такая цифра, квадрат которой меньше или равен S_a (то есть ищем такое A, при котором выполняется неравенство A² ≤ Sa < (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
- Допустим, что нужно разделить 88962 на 7; здесь первый шаг будет аналогичным: рассматриваем первую цифру делимого числа 88962 (8) и подбираем такое наибольшее число, которое при умножении на 7 дает значение меньшее или равное 8. То есть ищем такое число d, при котором верно неравенство: 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
6
Мысленно представьте квадрат, площадь которого вам нужно вычислить. Вы ищите L, то есть длину стороны квадрата, площадь которого равна S. A, B, C – цифры в числе L. Записать можно иначе: 10А + B = L (для двузначного числа) или 100А + 10В + С = L (для трехзначного числа) и так далее.
- Пусть (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Запомните, что 10A+B – это такое число, у которого цифра B означает единицы, а цифра A – десятки. Например, если A=1 и B=2, то 10A+B равно числу 12.(10A+B)² – это площадь всего квадрата, 100A² – площадь большого внутреннего квадрата, B² – площадь малого внутреннего квадрата, 10A×B – площадь каждого из двух прямоугольников. Сложив площади описанных фигур, вы найдете площадь исходного квадрата.
7

Вычтите A² из S_a. Для учета множителя 100 снесите одну пару цифр (S_b) из S: вам нужно, чтобы “SaSb” было равным общей площади квадрата, и из нее вычтите 100A² (площадь большого квадрата). В результате получите число N1, стоящее слева в шаге 4 (N = 380 в нашем примере). N1 = 2×10A×B + B² (площадь двух прямоугольников плюс площадь малого квадрата).
8

Выражение N1 = 2×10A×B + B² можно записать как N1 = (2×10A + B) × B. В нашем примере вам известно значение N1 (=380) и A(=2) и необходимо вычислить B. Скорее всего, B не является целым числом, поэтому необходимо найти наибольшее целое B, удовлетворяющее условию: (2×10A + B) × B ≤ N1. При этом B+1 будет слишком большим, поэтому N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1).
9

Решите уравнение. Для решения умножьте A на 2, переведите результат в десятки (что эквивалентно умножению на 10), поместите B в положение единиц, и умножьте это число на B. Это число (2×10A + B) × B и это выражение абсолютно идентичны записи “N_×_=” (где N=2×A) сверху справа в шаге 4. А в шаге 5 вы находите наибольшее целое B, которое ставится на место прочерков и соответствует неравенству: (2×10A + B) × B ≤ N1.
10

Вычтите площадь (2×10A + B) × B из общей площади (слева в шаге 6). Так вы получите площадь S-(10A+B)², которая еще не учитывалась (и которая поможет вычислить следующие цифры).
11

Для вычисления следующей цифры C повторите процесс. Слева снесите следующую пару цифр (Sc) из S для получения N2 и найдите наибольшее C, удовлетворяющее условию (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (что эквивалентно двукратному написанию числа из пары цифр “A B” с соответствующим “_×_=”, и нахождению наибольшего числа, которое можно подставить вместо прочерков).

Реклама

Советы

Перемещение десятичного разделителя при увеличении числа на 2 цифры (множитель 100), перемещает десятичный разделить на одну цифру в значении квадратного корня этого числа (множитель 10).
В нашем примере, 1,73 может считаться остатком: 780,14 = 27,9² + 1,73.
Данный метод верен для любых чисел.
Записывайте процесс вычисления в том виде, который вам наиболее удобен. Например, некоторые записывают результат над исходным числом.
Альтернативный метод с использованием непрерывных дробей включает формулу: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Например, для вычисления квадратного корня из 780,14, целым числом, квадрат которого близок к 780,14 будет число 28, поэтому z=780,14, x=28, y=-3,86. Подставляя эти значения в уравнение и решая его в упрощении до х+у/(2x), уже в младших членах получаем результат 78207/2800 или около 27,931(1), а в следующих членах 4374188/156607 или около 27,930986(5). Решение каждого последующего члена добавляет около 3 цифр к дробной доли по сравнению с предыдущем членом.

Предупреждения

Не забудьте разделить число на пары, начиная с дробной части числа. Например, разделяя 79520789182,47897 как “79 52 07 89 18 2,4 78 97″, вы получите бессмысленное число.

Источники

Об этой статье

Эту страницу просматривали 925 121 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Содержание:

Квадратные корни

Уравнение х² = 9 имеет два решения: 3 и -3. Говорят, что 3 и -3 — квадратные корни из числа 9.

Квадратным корнем из числа а называют число, I квадрат которого равен а.

Примеры:

Квадратными корнями из числа:

а) 1600 являются 40 и – 40, поскольку 40² = 1600 и (-40)² = 1600;
б) 0,49 являются 0,7 и 0,7, поскольку 0,7² = 0,49 и (-0,7)² = 0,49.

Среди известных вам чисел нет такого, квадрат которого был бы равен отрицательному числу, поэтому квадратного корня из отрицательного числа не существует.

Квадратный корень из числа 0 равен нулю. Квадратный корень из положительного числа имеет два значения: одно из них положительное, другое — противоположное ему отрицательное число.

Неотрицательное значение квадратного корня называют арифметическим значением этого корня.

Арифметическое значение квадратного корня из числа a обозначают символом

Примечание. Символом обозначают только арифметическое значение квадратного корня из числа а, хотя читается оно короче: «квадратный корень из числа а».

Вычисление арифметического значения квадратного корня называют извлечением квадратного корня.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами чисел, извлекать квадратные корни желательно устно.

а	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Квадратные корни из больших натуральных чисел можно находить, пользуясь таблицей квадратов.

Например, , .

С помощью калькулятора можно извлекать квадратные корни с большей точностью. Например, чтобы извлечь квадратный корень из 1000, набираем это число, затем нажимаем клавишу . На экране высвечивается число 31,622776.

Следовательно, .

Если таким способом найти значение , то на некоторых калькуляторах высвечиваются два числа: 5,9160797 и -2. Число -2 здесь показывает порядок искомого значения, записанного в стандартном виде. Следовательно,

Хотите знать ещё больше?

Извлекать квадратные корни из натуральных чисел вавилонские учёные умели ещё 4 тыс. лет тому назад Они составили таблицу квадратов многих натуральных чисел и, пользуясь ею, находили квадратные корни. Если число m не было точным квадратом натурального числа, то они искали ближайшее приближённое значение а квадратного корня из m, представляли число m в виде m = а² + b и применяли правило, которое сейчас можно записать в виде формулы Например, если m = 108, то .

Проверка. 10,4² = 108,16.

Это правило извлечения квадратных корней было известно и учёным Древней Греции.

Известны и другие алгоритмы извлечения квадратных корней, но теперь это удобнее делать с помощью калькулятора.

Квадратный корень из произведения, дроби, степени

Арифметический корень из а — неотрицательное значение квадратного корня из неотрицательного числа а. Поэтому для любого неотрицательного числа а выполняется тождество .

Примеры:

Верны и такие тождества:

— для неотрицательных значений а и b;
— для неотрицательного а и положительного b;
– для неотрицательного а и натурального к.

Докажем эти тождества:

1. Если а и b — произвольные неотрицательные числа, то числа также неотрицательные. Кроме того,

Следовательно, — неотрицательное число, квадрат которого равен ab, то есть

2. Если , то числа неотрицательные, a — положительное. Кроме того,

Следовательно, неотрицательное число, квадрат которого равен , то есть

3. Если число а — неотрицательное, a k — натуральное, то числа — неотрицательные. Кроме того,. Следовательно, — неотрицательный квадратный корень из , то есть

Доказанные три теоремы кратко можно сформулировать так.

Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел (теорема о корне из произведения).
Корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя (теорема о корне из дроби).
Корень из степени a , в котором числа а — неотрицательное и k — натуральное, равен ст (теорема о корне из степени)

Примечание. Здесь под «корнем» понимают только квадратный арифметический корень.

Теорему о корне из произведения можно распространить на три множителя и более. Действительно, если числа а, b и с — неотрицательные, то Если в доказанных тождествах поменять местами их левые и правые части, то получим:

Эти тождества показывают, как можно умножать и делить корни. Например,

Из теоремы о корне из степени следует, что , если . Если а < 0, то равенство – а неверное, поскольку число неотрицательное и не может быть равным отрицательному числу а.

Равенство верное при каждом значении а, поскольку число — неотрицательное и его квадрат равен а².

Примеры:

Хотите знать ещё больше?

В сформулированных выше теоремах представлены только простейшие случаи преобразования арифметических значений квадратных корней: если все числа под корнями положительные или неотрицательные Но бывают и такие выражения, в которых под знаком корня — произведение либо частное двух отрицательных чисел. В этом случае можно использовать определения квадратного корня, арифметического значения квадратного корня и т. д.

Например, .

Из теоремы 3 несложно получить такое следствие.

Если натуральное число — чётное, то для любых значений а выполняется тождество

Ведь обе части этого равенства — числа неотрицательные, их квадраты – равны.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите значение выражения: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение:

О т в е т. а) 35; б) 1,2; в) 6; г)

Преобразование выражений с корнями

Выражения с квадратными корнями можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень и делить (на делитель, отличный от нуля).

Примеры:

Рассмотрим и другие преобразования выражений с корнями.

Подобное преобразование называют вынесением множителя за знак корня. В последнем примере за знак корня вынесен множитель 10.

Преобразование, обратное вынесению множителя за знак корня, называют внесением множителя под знак корня.

В атом примере под знак корня вносим множитель 0,3. Рассмотренные преобразования осуществляются на основании теоремы о корне из произведения.

Если знак корня находится в знаменателе дроби, то такую дробь можно заменить тождественной, знаменатель которой не имеет корней. Достаточно умножить члены дроби на соответствующее выражение. Например,

Такие преобразования называют освобождением дроби от иррациональности в знаменателе.

Эти преобразования можно выполнять также с выражениями, содержащими переменные. Например,

Примечание. При вынесении переменной за знак корня необходимо помнить, что равенство верно только при неотрицательных значениях а и с. Если , то . При любых действительных значениях а и неотрицательных с верно тождество: .

Пример:

Вынесите множитель за знак корня: a)

Решение:

а) б) Ответ. a) ; б) .

При внесении переменной под знак корня следует помнить, что под корень можно вносить лишь положительные числа.

Пример:

Внесите множитель под знак корня: а) ; б)

Решение:

а) ; б) О т в е т. a) ; б)

Используя словосочетание «выражения с корнями», в этой главе мы будем говорить только о «выражениях с арифметическими квадратными корнями». Но в математике выражения с корнями имеют более широкий смысл поскольку корни бывают не только квадратные, но и кубические четвёртой, пятой …. n-й степеней. Корни из числа а таких степеней обозначают символами:

Выражения, содержащие любые из таких корней, называют выражениями с корнями, или иррациональными выражениями. Выражения с арифметическими квадратными корнями – это только часть иррациональных выражений (рис 45) .

Рис. 45 Раньше знаки корней …, называли радикалами, поэтому в некоторых публикациях иррациональные выражения до сих пор называют выражениями с радикалами.

Выполним вместе!

Пример:

Упростите выражение: а) ; б) ; в).

Решение:

a) . б) ;

в) . О т в е т. a) ; б)16; в) 9.

Пример:

Разложите на множители выражение: a) ; б) ; в) .

Решение:

а) ; б) ; в) если а — число положительное, то . Поэтому

Ответ, a) ; б) ; в) .

Пример:

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) ; б) ;

Решение:

а) ; б)

Ответ. а) ; б) .

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Квадратные корни из чисел вавилонские математики умели вычислять ещё 4 тыс. лет тому назад. Находили даже приближённые значения квадратных корней, пользуясь правилом, которое теперь можно записать (при небольших значениях с) в виде приближённого равенства:

В XIII в. европейские математики предложили сокращённое обозначение корня. Вместо нынешнего писали R12 (от латинского Radix — корень). Позднее вместо R стали писать знак V, например V7, V(a + b). Затем над многочленом за корнем добавили черту: . Р. Декарт (1596 -1650) соединил знак корня с чертой, после чего запись приобрела современный вид: . Действительные числа входили в математику непросто. Учёные античного мира не предполагали, что кроме целых и дробных могут быть и другие числа. Хотя Пифагор (VI в. до и. э.) и его ученики доказали: если длина стороны квадрата равна 1, то длину его диагонали нельзя выразить ни одним рациональным числом. Таким образом, они выяснили, что существуют отрезки, длины которых не выражаются рациональными числами, но при этом иррациональных чисел не ввели. Математики Индии и Среднего Востока пользовались иррациональными числами, но считали их ненастоящими, неправильными, «глухими». И только когда Р. Декарт предложил каждой точке координатной прямой поставить в соответствие число, иррациональные числа объединили с рациональными во множество действительных чисел. Строгая теория действительных чисел появилась лишь в XIX в. В 8 классе изучают не все действительные числа. Кроме квадратных существуют корни третьей, четвёртой и высших степеней, например , , . С такими действительными числами вы ознакомитесь в старших классах.

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Например, число 16 имеет два квадратных корня: 4 и -4. Неотрицательное значение квадратного корня из числа а называют арифметическим значением корня я обозначают символом . Свойства квадратных корней. Если а > 0 и b > 0, то

Для любого действительного . Значения многих квадратных корней — числа не рациональные, а иррациональные. Числа целые и дробные, положительные, отрицательные и нуль вместе составляют множество рациональных чисел. Каждое рациональное число можно записать в виде дроби , где — число целое, а n— натуральное. Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. А любая бесконечная периодическая десятичная дробь изображает некоторое рациональное число. Примеры: = 0,6666…, =1,181818…. Числа, которые можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называют иррациональными. Примеры иррациональных чисел: = 1,4142136…, = 3,1415927… . Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных чисел. Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел обозначают соответственно буквами N, Z, Q, R (см. рис. 41). Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень и делить (на числа, отличные от нуля). Для сложения и умножения произвольных действительных чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы: а + b = b + а, ab=ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a ^.(bc) = (ab) ^.c, (a + b) с = ас +bс.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Рассмотрим квадрат, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Пусть длина его стороны составляет единиц. Тогда уравнение можно рассматривать как математическую модель задачи о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам.

Корнями этого уравнения являются числа 7 и —7. Говорят, что числа 7 и —7 являются квадратными корнями из числа 49.

Определение: Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен

Приведем несколько примеров.

Квадратными корнями из числа 9 являются числа 3 и —3. Действительно,

Квадратными корнями из числа являются числа и

Действительно,

Квадратным корнем из числа 0 является только число 0. Действительно, существует лишь одно число, квадрат которого равен нулю, — это число 0.

Поскольку не существует числа, квадрат которого равен отрицательному числу, то квадратного корня из отрицательного числа не существует.

Положительный корень уравнения число 7, является ответом в задаче о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Это число называют арифметическим квадратным корнем из числа 49.

Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа называют неотрицательное число, квадрат которого равен .

Арифметический квадратный корень из числа обозначают Знак называют знаком квадратного корня или радикалом (от лат. radix — корень).

Запись читают: «квадратный корень из », опуская при чтении слово «арифметический».

Выражение, стоящее под радикалом, называют подкоренным выражением. Например, в записи двучлен является подкоренным выражением. Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения.

Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.

Рассмотрим несколько примеров:

так как и

Вообще, равенство выполняется при условии, что и

Этот вывод можно представить в другой форме: для любого неотрицательного числа справедливо, что а

Например, и и и

Подчеркнем, что к понятию квадратного корня мы пришли, решая уравнение вида где Корни этого уравнения — числа, каждое из которых является квадратным корнем из числа

Поиск корней уравнения проиллюстрируем, решив графически уравнение

В одной системе координат построим графики функций и (рис. 17). Точки пересечения этих графиков имеют абсциссы 2 и —2, которые и являются корнями данного уравнения.

Уравнение при не имеет корней, что подтверждается графически: графики функций и при общих точек не имеют (рис. 18).

При уравнение имеет единственный корень что также подтверждается графически: графики функций и имеют только одну общую точку (рис. 18).

Графический метод также позволяет сделать следующий вывод: если то уравнение имеет два корня. Действительно, парабола и прямая где имеют две общие точки (рис. 18). При этом корнями уравнения являются числа и Действительно,

Например, уравнение имеет два корня: и

Пример:

Найдите значение выражения

Решение:

Применив правило возведения произведения в степень и тождество получим:

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Имеем: Тогда

Ответ: 36.

Ответ: 7.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

или или

Ответ: 1; 9. ▲

Пример:

Решите уравнение

Решение:

или

Ответ:

Пример:

При каких значениях имеет смысл выражение:

Решение:

1) Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение принимает неотрицательные значения. Подкоренное выражение является произведением двух множителей, один из которых — отрицательное число. Следовательно, это произведение будет принимать неотрицательные значения, если другой множитель будет принимать неположительные значения.

Ответ: при

2) Данное выражение имеет смысл, если выполняются два условия: имеет смысл выражение и знаменатель отличен от нуля. Следовательно, должны одновременно выполняться два условия: и Отсюда и

Ответ: при и

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Левая часть данного уравнения имеет смысл, если подкоренные выражения и одновременно принимают неотрицательные значения. Из того, что первое подкоренное выражение должно быть неотрицательным, получаем: тогда Однако если то второе подкоренное выражение, принимает только отрицательные значения. Следовательно, левая часть данного уравнения не имеет смысла.

Ответ: корней нет.

2) Левая часть данного уравнения является суммой двух слагаемых, каждое из которых может принимать только неотрицательные значения. Тогда их сумма будет равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, одновременно должны выполняться два условия: и Это означает, что надо найти общие корни полученных уравнений, то есть решить систему уравнений

Имеем,

Решением последней системы, а значит, и исходного уравнения, является число 2.

Ответ: 2.

3) Используя условие равенства произведения нулю, получаем:

или или

Однако при выражение не имеет смысла. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень — число 2.

Ответ: 2.

Свойства арифметического квадратного корня

Легко проверить, что Может показаться, что при любом значении а выполняется равенство Однако это не так. Например, равенство является ошибочным, поскольку На самом деле Также можно убедиться, что, например,

Вообще, справедлива следующая теорема.

Теорема: Для любого действительного числа а выполняется равенство

Доказательство: Для того чтобы доказать равенство надо показать, что и

Имеем: при любом

Также из определения модуля следует, что

Следующая теорема обобщает доказанный факт.

Теорема: (арифметический квадратный корень из степени). Для любого действительного числа и любого натурального числа выполняется равенство

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 15.1. Проведите это доказательство самостоятельно.

Теорема: (арифметический квадратный корень из произведения). Для любых действительных чисел и таких, что и выполняется равенство

Доказательство: Имеем: и Тогда Кроме того,

Следовательно, выражение принимает только неотрицательные значения, и его квадрат равен

Эту теорему можно обобщить для произведения трех и более множителей. Например, если и то

Теорема: (арифметический квадратный корень из дроби). Для любых действительных чисел и таких, что и выполняется равенство

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 15.3. Проведите это доказательство самостоятельно.

Понятно, что из двух квадратов с площадями и (рис. 27) большую сторону имеет тот, у которого площадь больше, то есть если то Это очевидное соображение иллюстрирует такое свойство арифметического квадратного корня: для любых неотрицательных чисел и таких, что выполняется неравенство

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

1) Заменив произведение корней корнем из произведения, получим:

2) Заменив частное корней корнем из частного (дроби), получим:

Пример:

Упростите выражение: если

если

Решение:

1) По теореме об арифметическом квадратном корне из степени имеем:

2) Имеем: Поскольку по условию то Тогда

3) Имеем: Поскольку по условию то Поскольку то Следовательно,

4) Имеем: Поскольку то

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

1) Преобразовав подкоренное выражение по формуле разности квадратов, получаем:

Пример:

Постройте график функции

Решение:

Поскольку то

Если то

Следовательно,

График функции изображен на рисунке 28.

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Пользуясь теоремой об арифметическом квадратном корне из произведения, преобразуем выражение Имеем: Выражение мы представили в виде произведения рационального числа 4 и иррационального числа Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. В данном случае был вынесен из-под знака корня множитель 4. Рассмотрим выполненное преобразование в обратном порядке:

Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. В данном случае был внесен под знак корня множитель 4.

Пример:

Вынесите множитель из-под знака корня:

если

Решение:

1) Представим число, стоящее под знаком корня, в виде произведения двух чисел, одно из которых является квадратом рационального числа:

3) Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то из условия следует, что Тогда

4) Из условия следует, что Тогда

5) Из условия следует, что Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то получаем, что Тогда

Пример:

Внесите множитель под знак корня:

Решение:

2) Если то если то

3) Из условия следует, что Тогда

4) Из условия следует, что Тогда

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

1) Имеем:

3) Применяя формулы сокращенного умножения (квадрат двучлена и произведение разности и суммы двух выражений), получим:

Пример:

Разложите на множители выражение:

если

Решение:

1) Представив данное выражение в виде разности квадратов, получим:

2) Поскольку по условию то

3) Применим формулу квадрата разности:

4) Имеем:

Пример:

Сократите дробь:

если

Решение:

1) Разложив числитель данной дроби на множители, получаем:

3) Поскольку по условию и то числитель и знаменатель данной дроби можно разложить на множители и полученную дробь сократить:

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби означает преобразовать дробь так, чтобы ее знаменатель не содержал квадратного корня.

Пример:

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:

1) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на получаем:

2) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на выражение получаем:

Пример:

Докажите тождество

Решение:

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Представив подкоренное выражение в виде квадрата суммы, получаем:

Растут ли в огороде радикалы?

В Древней Греции действие извлечения корня отождествляли с поиском стороны квадрата по его площади, а сам квадратный корень называли «стороной».

В Древней Индии слово «мула» означало «начало», «основание», «корень дерева». Это же слово стали употреблять и по отношению к стороне квадрата, возможно, исходя из такой ассоциации: из стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат. Вероятно, поэтому в латинском языке понятия «сторона» и «корень» выражаются одним и тем же словом — radix. От этого слова произошел термин «радикал».

Слово radix можно также перевести как «редис», то есть корнеплод — часть растения — видоизмененный корень, который может являться съедобным.

В XIII-XV вв. европейские математики, сокращая слово radix, обозначали квадратный корень знаками Например, запись имела следующий вид: .

В XVI в. стали использовать знак Происхождение этого символа, по-видимому, связано с рукописным начертанием латинской буквы

В XVII в. выдающийся французский математик Рене Декарт, соединив знак с горизонтальной черточкой, получил символ Рене Декарт который мы и используем сегодня. (1596-1650)

Множество и его элементы. Подмножество

Мы часто говорим: стадо баранов, букет цветов, коллекция марок, косяк рыб, стая птиц, рой пчел, собрание картин, набор ручек, компания друзей.

Если в этих парах перемешать первые слова, то может получиться смешно: букет баранов, косяк картин, стадо друзей. В то же время такие словосочетания, как коллекция рыб, коллекция птиц, коллекция картин, коллекция ручек и т. д., вполне приемлемы. Дело в том, что слово «коллекция» достаточно универсальное. Однако в математике есть термин, которым можно заменить любое из первых слов в данных парах. Это слово множество.

Приведем еще несколько примеров множеств:

Отдельным важнейшим множествам присвоены общепринятые названия и обозначения:

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: и т. д.

Объекты, составляющие данное множество, называют элементами этого множества. Обычно элементы обозначают строчными буквами латинского алфавита: и т. д.

Если — элемент множества то пишут: (читают: «принадлежит множеству »). Если не является элементом множества , то пишут: (читают: « не принадлежит множеству »).

Если множество состоит из трех элементов то пишут:

Если — множество натуральных делителей числа 6, то пишут: Множество делителей числа 6, являющихся составными числами, имеет следующий вид: {6}. Это пример одноэлементного множества.

Задавать множество с помощью фигурных скобок, в которых указан список его элементов, удобно в тех случаях, когда множество состоит из небольшого количества элементов.

Определение: Два множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества принадлежит множеству и, наоборот, каждый элемент множества В принадлежит множеству .

Если множества и равны, то пишут:

Из определения следует, что множество однозначно определяется своими элементами. Если множество записано с помощью фигурных скобок, то порядок, в котором выписаны его элементы, не имеет значения. Так, для множества, состоящего из трех элементов существует шесть вариантов его записи:

Поскольку из определения равных множеств следует, что, например, то в дальнейшем будем рассматривать множества, состоящие из разных элементов. Так, множество букв слова «космодром» имеет вид {к, о, с, м, д, р}.

Заметим, что Действительно, множество состоит из одного элемента и; множество состоит из одного элемента — множества .

Чаще всего множество задают одним из следующих двух способов.

Первый способ состоит в том, что множество задают указанием (перечислением) всех его элементов. Мы уже использовали этот способ, записывая множество с помощью фигурных скобок, в которых указывали список его элементов. Ясно, что не всякое множество можно задать таким способом. Например, множество четных чисел так задать невозможно.

Второй способ состоит в том, что указывают характеристическое свойство элементов множества, то есть свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Например, свойство «натуральное число при делении на 2 дает в остатке 1» задает множество нечетных чисел.

Если задавать множество характеристическим свойством его элементов, то может оказаться, что ни один объект этим свойством не обладает.

Обратимся к примерам.

Приведенные примеры указывают на то, что удобно к совокупности множеств отнести еще одно особенное множество, не содержащее ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом

Заметим, что множество не является пустым. Оно содержит один элемент — пустое множество.

Рассмотрим множество цифр десятичной системы счисления: Выделим из множества его элементы, являющиеся четными цифрами. Получим множество все элементы которого являются элементами множества

Определение: Множество называют подмножеством множества если каждый элемент множества является элементом множества

Это записывают так: или (читают: «множество является подмножеством множества » или «множество содержит множество »).

Рассмотрим примеры:

Для иллюстрации соотношений между множествами пользуются схемами, которые называют диаграммами Эйлера.

На рисунке 20 изображены множество (больший круг) и множество (меньший круг, содержащийся в большем). Эта схема означает, что (или ).

Из определений подмножества и равенства множеств следует, что если и то

Если в множестве нет элемента, не принадлежащего множеству А, то множество является подмножеством множества . В силу этих соображений пустое множество считают подмножеством любого множества. Действительно, пустое множество не содержит ни одного элемента, следовательно, в нем нет элемента, который не принадлежит данному множеству . Поэтому для любого множества справедливо утверждение:

Любое множество является подмножеством самого себя, то есть

Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Выпишите все подмножества множества

Решение:

Имеем:

Числовые множества

Натуральные числа — это первые числа, которыми начали пользоваться люди. С ними вы ознакомились в детстве, когда учились считать предметы. Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают буквой

Практические потребности людей привели к возникновению дробных чисел. Позже появилась необходимость рассматривать величины, для характеристики которых положительных чисел оказалось недостаточно. Так возникли отрицательные числа.

Все натуральные числа, противоположные им числа и число нуль образуют множество целых чисел, которое обозначают буквой

Например,

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, то есть

Целые и дробные (как положительные, так и отрицательные) числа образуют множество рациональных чисел, которое обозначают буквой Например,

Понятно, что Схема, изображенная на рисунке 21, показывает, как соотносятся множества и

Каждое рациональное число можно представить в виде отношения где — целое число, а — натуральное. Например,

С возможностью такого представления связано название «рациональное число»: одним из значений латинского слова ratio является «отношение».

В 6 классе вы узнали, что каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для дроби такое представление можно получить, выполнив деление числа на число уголком.

Например,

Число записано в виде конечной десятичной дроби, а число в виде бесконечной периодической десятичной дроби. В записи 0,454545… цифры 4 и 5 периодически повторяются. Повторяющуюся группу цифр называют периодом дроби и записывают в круглых скобках. В данном случае период дроби составляет 45, а дробь записывают так:

Заметим, что любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например,

Следовательно, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и такое утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

В 9 классе вы научитесь записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Сумма и произведение двух натуральных чисел являются натуральными числами. Однако разность натуральных чисел не всегда обладает таким свойством. Например,

Сумма, разность, произведение двух целых чисел являются целыми числами. Однако частное целых чисел не всегда обладает таким свойством. Например,

Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на нуль) двух рациональных чисел являются рациональными числами.

Итак, действие вычитания натуральных чисел может вывести результат за пределы множества действие деления целых чисел — за пределы множества однако выполнение любого из четырех арифметических действий с рациональными числами не выводит результат за пределы множества

Вы ознакомились с новым действием — извлечением квадратного корня. Возникает естественный вопрос: всегда ли квадратный корень из неотрицательного рационального числа является рациональным числом? Иными словами, может ли действие извлечения квадратного корня из рационального числа вывести результат за пределы множества

Рассмотрим уравнение Поскольку то это уравнение имеет два корня: и (рис. 22). Однако не существует рационального числа, квадрат которого равен 2 (доказательство этого факта вы можете найти в рубрике «Когда сделаны уроки» в рассказе «Открытие иррациональности»), то есть числа и не являются рациональными. Эти числа — примеры иррациональных чисел (приставка «ир» означает отрицание).

Следовательно, действие извлечения корня из рационального числа может вывести результат за пределы множества

Ни одно иррациональное число не может быть представлено в виде дроби где а следовательно, и в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.

Например, с помощью специальной компьютерной программы можно установить, что

Числа и — это не первые иррациональные числа, с которыми вы встречаетесь. Число равное отношению длины окружности к диаметру, также является иррациональным:

Иррациональные числа возникают не только в результате извлечения квадратных корней. Их можно конструировать, строя бесконечные непериодические десятичные дроби.

Например, число (после запятой записаны последовательно степени числа 10) является иррациональным. Действительно, если предположить, что у рассматриваемой десятичной дроби есть период, состоящий из цифр, то с некоторого места этот период будет полностью состоять из нулей. Иными словами, начиная с этого места в записи не должна встретиться ни одна единица, что противоречит конструкции числа.

Вместе множества иррациональных и рациональных чисел образуют множество действительных чисел. Его обозначают буквой (первой буквой латинского слова realis — «реальный», «существующий в действительности»).

Теперь «цепочку» можно продолжить:

Связь между числовыми множествами, рассмотренными в этом пункте, иллюстрирует схема, изображенная на рисунке 23.

Длину любого отрезка можно выразить действительным числом. Eh-от факт позволяет установить связь между множеством и множеством точек координатной прямой. Точке началу отсчета, поставим в соответствие число 0. Каждой точке координатной прямой, отличной от точки поставим в соответствие единственное число, равное длине отрезка если точка А расположена справа от точки и число, противоположное длине отрезка если точка расположена слева от точки . Также понятно, что каждое действительное число является соответствующим единственной точке координатной прямой.

Над действительными числами можно выполнять четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деления на ноль), в результате будем получать действительное число. Эти действия обладают известными вам свойствами:

Переместительное свойство сложения
Переместительное свойство умножения
Сочетательное свойство сложения
Сочетательное свойство умножения
Распределительное свойство умножения относительно сложения

Действительные числа можно сравнивать, используя правила сравнения десятичных дробей, то есть сравнивая цифры в соответствующих разрядах. Например,

Любое положительное действительное число больше нуля и любого отрицательного действительного числа. Любое отрицательное действительное число меньше нуля. Из двух отрицательных действительных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Если отметить на координатной прямой два действительных числа, то меньшее из них будет расположено слева от большего.

Находя длину окружности и площадь круга, вы пользовались приближенным значением числа (например, ). Аналогично при решении практических задач, где нужно выполнить действия с действительными числами, при необходимости эти числа заменяют их приближенными значениями. Например, для числа можно воспользоваться такими приближенными равенствами: или Первое из них называют приближенным значением числа по недостатку с точностью до 0,001, второе — приближенным значением числа по избытку с точностью до 0,001. Более подробно о приближенных значениях вы узнаете в 9 классе.

В заключение подчеркнем, что из любого неотрицательного действительного числа можно извлечь квадратный корень и в результате этого действия получить действительное число. Следовательно, действие извлечения квадратного корня из неотрицательного действительного числа не выводит результат за пределы множества

Открытие иррациональности

Решая графически уравнение мы установили, что длина каждого из отрезков и равна (рис. 24). Покажем, что число иррациональное. Предположим, что число рациональное. Тогда его можно

представить в виде несократимой дроби где и — натуральные числа. Имеем:

Тогда

Из последнего равенства следует, что число четное. А это значит, что четным является и число Тогда где — некоторое натуральное число. Имеем: Отсюда следует, что число а следовательно, и число четные.

Таким образом, числитель и знаменатель дроби — четные числа. Следовательно, эта дробь является сократимой. Получили противоречие.

Приведенный пример показывает, что существуют отрезки (в нашем случае это отрезки и на рисунке 24), длины которых нельзя выразить рациональными числами, то есть для измерения отрезков рациональных чисел недостаточно.

Этот факт был открыт в школе великого древнегреческого ученого Пифагора.

Сначала пифагорейцы считали, что для любых отрезков и всегда можно найти такой отрезок который в каждом из них укладывается целое число раз. Отсюда следовало, что отношение длин любых двух отрезков выражается отношением целых чисел, то есть рациональным числом.

Например, на рисунке 25 имеем:

и . Отрезок называют общей мерой отрезков и

Если для отрезков существует общая мера, то их называют соизмеримыми. Например, отрезки и (рис. 25) являются соизмеримыми.

Итак, древнегреческие ученые считали, что любые два отрезка соизмеримы. А из этого следовало, что длину любого отрезка можно выразить рациональным числом.

Действительно, пусть некоторый отрезок выбран в качестве единичного. Тогда для отрезка и любого другого отрезка существует отрезок длиной являющийся их общей мерой. Получаем: где и — некоторые натуральные числа. Отсюда Поскольку то

Однако сами же пифагорейцы сделали выдающееся открытие. Они доказали, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, то есть если сторону квадрата принять за единицу, то длину диагонали квадрата выразить рациональным числом нельзя.

Для доказательства рассмотрим произвольный квадрат и примем его сторону за единицу длины. Тогда его площадь равна На диагонали построим квадрат (рис. 26). Понятно, что площадь квадрата в 2 раза больше площади квадрата . Отсюда , то есть Следовательно, длина диагонали не может быть выражена рациональным числом.

Это открытие изменило один из фундаментальных постулатов древнегреческих ученых, заключавшийся в том, что отношение любых двух величин выражается отношением целых чисел.

Существует легенда о том, что пифагорейцы держали открытие иррациональных чисел в строжайшей тайне, а человека, разгласившего этот факт, покарали боги: он погиб при кораблекрушении.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 2

Свойства функции

Область определения:

Область значений: множество неотрицательных чисел.

График: парабола.

Нуль функции:

Свойство графика: если точка принадлежит графику функции, то точка также принадлежит графику.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен

Арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из числа называют неотрицательное число, квадрат которого равен

Равные множества

Два множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества принадлежит множеству и, наоборот, каждый элемент множества принадлежит множеству .

Подмножество

Множество называют подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества .

Обозначения числовых множеств

— множество натуральных чисел;

— множество целых чисел;

— множество рациональных чисел;

— множество действительных чисел.

Связь между числовыми множествами

Свойства арифметического квадратного корня

Для любого действительного числа выполняется равенство

Для любого действительного числа и любого натурального числа выполняется равенство

Для любых действительных чисел и таких, что и выполняется равенство

Для любых действительных чисел и таких, что и

выполняется равенство

Для любых неотрицательных чисел и таких, что выполняется неравенство

Свойства функции

Область определения: множество неотрицательных чисел.

Область значений: множество неотрицательных чисел.

График: ветвь параболы.

Нуль функции:

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

———

Квадратные корни

Функция y=x2 её график и свойства

Функция её график и свойства

Пример №223

Пусть сторона квадрата равна см. Тогда его площадь (в можно найти но формуле В этой формуле каждому положительному значению переменной соответствует единственное значение переменной

Если обозначить независимую переменную через а зависимую – через то получим функцию, которую задают формулой В этой формуле переменная может принимать любые значения (положительные, отрицательные, значение нуль).

Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента:

Отметим на координатной плоскости точки координаты которых записаны в таблице (рис. 8). Если на этой плоскости отметить больше точек, координаты которых удовлетворяют формуле а потом соединить их плавной линией, то получим график функции (рис. 9). График этой функции называют параболой, точку (0; 0) – вершиной параболы. Вершина делит параболу на две части, каждую из которых называют ветвью параболы.

Сформулируем некоторые свойства функции

1. Область определения функции состоит из всех чисел.

2. Область значений функции состоит из всех неотрицательных чисел, то есть

Действительно, так как для любого то

3. Графиком функции является парабола с вершиной в точке ветви которой направлены вверх. Все точки параболы, за исключением вершины, лежат выше оси абсцисс.

4. Противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции.

Действительно, это следует из того, что при любом значении

Пример №224

Решите графически уравнение

Решение:

График функции – парабола, а функции – прямая, проходящая через точки (0; 3) и (2; -1). Построим эти графики в одной системе координат ( рис.10). Они пересекутся в двух точках с абсциссами

Убедимся, что числа 1 и -3 являются корнями уравнения:

1) для

2) для

Следовательно, 3 и -1 – корни уравнения

Ответ. -3; 1.

Пример №225

Между какими последовательными целыми числами лежит корень уравнения

Решение:

Решим уравнение графически, построив графики функций в одной системе координат. Так как для любого то в данном уравнении и

Откуда Поэтому рассмотрим графики функций только для Это ветвь гиперболы и ветвь параболы, лежащие в первой координатной четверти (рис. 11).

Графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой является корнем уравнения и заключена между числами 1 и 2.

Таким образом, корень уравнения лежит между числами 1 и 2.

Ответ. Между числами 1 и 2.

Арифметический квадратный корень

Если известна сторона квадрата, можно легко найти его площадь. Но часто приходится решать и обратную задачу: по известной площади квадрата находить его сторону.

Пример №226

Площадь квадрата равна Чему равна длина его стороны?

Решение:

Пусть длина стороны квадрата равна см, тогда его площадь будет Имеем уравнение: корнями которого являются числа 4 и -4. Действительно, и Длина не может выражаться отрицательным числом, поэтому условию задачи удовлетворяет только один из корней уравнения – число 4. Следовательно, длина стороны квадрата равна 4 см.

Корни уравнения то есть числа, квадраты которых равны 16, называют квадратными корнями из числа 16.

Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен .

Например, квадратными корнями из числа 100 являются числа 10 и -10, потому что Квадратным корнем из числа 0 является число 0, потому что Квадратного корня из числа -16 мы не найдем, ведь среди известных нам чисел не существует числа, квадрат которого равнялся бы -16.

Число 4, являющееся неотрицательным корнем уравнения . называют арифметическим квадратным корнем из числа 16.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен

Арифметический квадратный корень из числа обозначают знак арифметического квадратного корня, или радикал). Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись читают следующим образом: квадратный корень из (слово арифметический при чтении принято опускать, поскольку в школе рассматривают только арифметические корни).

Пример №227

1) так как

2) так как

Вообще равенство является верным, если выполняются два условия:

Так как для всех значений переменной

Выражение не имеет смысла, если

Например, не имеют смысла выражения

Действие нахождения значения арифметического квадратного корня называют извлечением квадратного корня. Из небольших чисел квадратный корень желательно извлекать устно. Извлекать квадратный корень из больших чисел поможет таблица квадратов двузначных натуральных чисел на форзаце или калькулятор.

Пример №228

Найдите значение корня

Решение:

По таблице квадратов двузначных натуральных чисел имеем: Поэтому

Пример №229

Вычислите

Решение:

Сначала нужно найти значение выражения а потом извлечь из него корень:

Ответ. 35.

Рассмотрим уравнение где – некоторое число. Если то по определению квадратного корня следует, что Если же то уравнение не имеет решений, так как по определению число – неотрицательное.

Систематизируем данные о решениях уравнения в виде схемы:

Пример №230

Решите уравнение:

Ответ. 1) 49; 2) решений нет; 3) 13.

Множество. Подмножество. Числовые множества. Рациональные числа. Иррациональные числа. Действительные числа

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Под множеством будем понимать совокупность объектов, имеющих общую природу (или объединенных по общему признаку), сами объекты при этом будем называть элементами множества.

Как правило, множества обозначают большими латинскими буквами. Если, например, множество состоит из чисел 1, 2, 3, а множество – из знаков то это записывают так: Числа 1, 2, 3 – элементы множества а знаки – элементы множества Тот факт, что число 1 принадлежит множеству записывают с помощью уже известного нам символа а именно: Тот факт, что число 1 не принадлежит множеству записывают так:

Множества, количество элементов которых можно выразить натуральным числом, называют конечными.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают символом Так, например, пустым множеством является множество корней уравнения

Множества, количество элементов которых нельзя выразить натуральным числом и которые не являются пустыми, называют бесконечными.

Если каждый элемент множества является элементом множества то говорят, что множество является подмножеством множества

Записывают это следующим образом: Схематическая иллюстрация этого факта представлена на рисунке 12.

Пример №231

Пусть Тогда множество является подмножеством множества то есть Множество не является подмножеством множества так как множество содержит элемент – число 5, которое не является элементом множества

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, то есть

Целые числа и дробные числа образуют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обозначают буквой множество целых чисел – буквой множество рациональных чисел -буквой Они являются бесконечными множествами.

Можно утверждать, что

Любое рациональное число можно представить в виде где – целое число, – натуральное число.

Например

Рациональное число можно также представить и в виде десятичной дроби. Для этого достаточно числитель дроби разделить на ее знаменатель. Например,

В последнем случае мы получили бесконечную десятичную периодическую дробь. Дроби также можно представить в виде бесконечных десятичных периодических дробей, дописав справа в десятичной части бесконечное много нулей:

Таким образом, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Справедливо и обратное утверждение:

Каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

Например,

В правильности этих равенств легко убедиться, выполнив соответствующее деление.

Но в математике существуют числа, которые нельзя записать в виде где – целое число, а – натуральное.

Числа, которые нельзя записать в виде где – целое число, a — натуральное, называют иррациональными числами.

Префикс «иp» означает отрицание, иррациональные значит не рациональные.

Например, иррациональными являются числа Приближенные значения таких чисел можно находить с определенной точностью (то есть округленными до определенного разряда) с помощью микрокалькулятора или компьютера:

Каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Рациональные числа вместе с иррациональными числами образуют множество действительных чисел.

Множество действительных чисел обозначают буквой

Так как каждое натуральное число является целым числом, то множество является подмножеством множества Аналогично, множество является подмножеством множества а множество подмножеством множества (рис. 13).

Действительные числа, записанные в виде бесконечных десятичных непериодических дробей, можно сравнивать по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Например,

В задачах с практическим содержанием действительные числа (для выполнения арифметических действий) заменяют на их приближенные значения, округленные до определенного разряда.

Пример №232

Вычислите с точностью до тысячных.

Решение:

Заметим, что при сложении, вычитании, умножении, делении и возведении в степень действительных чисел справедливы те же свойства и ограничения, что и при действиях с рациональными числами.

Понятие числа появилось очень давно.

А еще раньше Оно является одним из самых общих понятий математики. Потребность в измерениях и подсчетах обусловила появление положительных рациональных чисел. Именно тогда возникли и использовались натуральные числа и дробные числа, которые рассматривались как отношение натуральных чисел.

Следующим этапом развития понятия числа является введение в практику отрицательных чисел. В Древнем Китае эти числа появились во II в. до н. э. Там умели складывать и вычитать отрицательные числа. Отрицательные числа толковали как долг, а положительные – как имущество. В Индии в VII в. эти числа воспринимали так же, но еще и умели их умножать и делить.

Уже древние вавилоняне около 4 тыс. лет назад знали ответ на вопрос: «Какова должна быть длина стороны квадрата, чтобы его площадь равнялась Ими были составлены таблицы квадратов чисел и квадратных корней. Вавилоняне использовали и метод нахождения приближенного значения квадратного корня из числа не являющегося квадратом натурального числа. Суть метода заключалась в том, что число записывали в виде было достаточно малым в сравнении с и применяли формулу

Например, с помощью этого метода:

Проверим точность результата:

Такой метод вычисления приближенного значения квадратного корня использовался и в Древней Греции. Его детально описал Герон Александрийский (I в. н. э.).

В эпоху Возрождения (XV – нач. XVII в.) европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень), потом – сокращенно – буквой Так появился термин «радикал», которым называют знак корня. Впоследствии для обозначения корня стали использовать точку, а потом ромбик. Спустя некоторое время – уже знак и горизонтальную черточку над подкоренным выражением. Затем знак и черточка были объединены, и современные математики стали использовать знак квадратного корня в привычном нам виде:

Тождество (√a)²=a, a⩾0 уравнение x²=a

Тождество уравнение

Напомним, что для любых значений равенство является верным, если выполняются два условия: Подставив в последнее равенство вместо его запись в виде получим тождество

Для любого справедливо тождество

Пример №233

Вычислите:

Решение:

Ответ:

Рассмотрим уравнение где – некоторое число.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то при уравнение не имеет решений, что можно записать следующим образом:

Если то единственным корнем уравнения является число 0.

Если то корни уравнения – числа Действительно, Для того чтобы убедиться, что уравнение при других корней не имеет, обратимся к графическому методу решения уравнения. Построим графики функций (рис. 14). Эти графики пересекутся дважды: в точках с абсциссами Систематизируем данные о решениях уравнения в виде схемы:

Пример №234

Решите уравнение:

Решение:

2) уравнение корней не имеет, то есть

Эти корни являются иррациональными числами;

4) Имеем:

Таким образом, получим два корня:

Ответ.

Свойства арифметического квадратного корня

Сравним значения выражений

Имеем: то есть корень из произведения двух чисел равен произведению их корней. Это свойство справедливо для произведения любых двух неотрицательных чисел.

Теорема (о корне из произведения). Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, то есть при и

Доказательство: Так как то выражения имеют смысл, причем Поэтому Кроме того,

Имеем: Тогда по определению арифметического квадратного корня:

Доказанная теорема распространяется и на случай, когда множителей под знаком корня три и больше.

Следствие. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Доказательство: Докажем это следствие, например, для трех чисел

Имеем:

Пример №235

Замечание 1. Очевидно, что выражение имеет смысл при условии то есть когда переменные – одного знака, а значит и тогда, когда переменные одновременно отрицательны. В таком случае тождество, рассмотренное выше, принимает вид где и Учитывая оба случая, можно записать, что

Если в равенстве поменять местами левую и правую части, получим тождество:

Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.

Пример №236

Рассмотрим квадратный корень из дроби.

Теорема (о корне из дроби). Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель -положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, то есть при

Доказательство: Так как то выражения имеют смысл и Поэтому

Кроме того,

Имеем: Тогда по определению квадратного корня:

Пример №237

Замечание 2. По аналогии с замечанием 1, тождество, только что рассмотренное нами, можно записать и так:

Если в равенстве поменять местами левую и правую части, получим тождество:

Частное, числитель которого является корнем из неотрицательного числа, а знаменатель — корнем из положительного числа, равно корню из частного этих чисел.

Пример №238

Рассмотрим, как извлечь квадратный корень из квадрата.

Теорема (о корне из квадрата). Для любого значения справедливо равенство

Доказательство: Так как для любого то по определению квадратного корня:

Пример №239

Рассмотрим квадратный корень из степени.

Теорема (о корне из степени). Для любого значения и натурального числа справедливо равенство

Доказательство: По теореме о корне из квадрата имеем Следовательно,

Пример №240

Вычислите:

Решение:

Пример №241

Упростите выражение:

Решение:

Так как для любого то Следовательно,

Так как поэтому Следовательно, если

Ответ.

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Рассмотрим тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Вынесение множителя из-под знака корня

Воспользуемся теоремой о корне из произведения для преобразования выражения

Говорят, что множитель вынесли из-под знака корня. В данном случае из-под знака корня вынесли множитель 2.

Пример №242

Вынесите множитель из-под знака корня в выражении

Решение:

Выражение имеет смысл при поскольку если Представим выражение в виде произведения в котором является степенью с четным показателем. Тогда

Так как Поэтому

Следовательно,

Ответ.

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим тождественное преобразование, обратное к предыдущему. Воспользуемся правилом умножения корней:

Говорят, что множитель внесли под знак корня. В данном случае под знак корня внесли множитель 2.

Отметим, что под знак корня можно вносить только положительный множитель.

Пример №243

Внести множитель под знак корня:

Решение:

2) Множитель может принимать любые значения (быть положительным, нулем или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:

– если

Ответ.

Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень выражений, содержащих квадратные корни

Используя свойства умножения и деления корней, можно выполнять арифметические действия с выражениями, содержащими квадратные корни.

Пример №244

Используя тождество можно возводить в степень выражения, содержащие квадратные корни.

Пример №245

Рассмотрим примеры, где квадратные корни можно складывать.

Пример №246

Упростите выражение

Решение:

Слагаемые содержат общий множитель Вынесем его за скобки и выполним действие в скобках:

Обычно решение записывают короче:

Заметим, что выражения в данном примере называют подобными радикалами (по аналогии с подобными слагаемыми), мы их сложили по правилу приведения подобных слагаемых.

Пример №247

Упростите выражение

Решение:

В каждом из слагаемых можно вынести множитель из-под знака корня, в результате получим подобные радикалы и приведем их:

Ответ.

Пример №248

Упростите выражение:

Решение:

Применим формулы сокращенного умножения.

Ответ.

Сокращение дробей

Пример №249

Сократите дробь:

Решение:

1) Учитывая, что числитель дроби представим в виде разности квадратов, получим:

2) Учитывая, что в числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель, получим:

Ответ.

Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Пример №250

Преобразуйте дробь так, чтобы она не содержала корня в знаменателе.

Решение:

Учитывая, что достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на

Ответ.

В таких случаях говорят, что избавились от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример №251

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби

Решение:

Умножим числитель и знаменатель дроби на чтобы в знаменателе получить формулу сокращенного умножения разности двух выражений на их сумму:

Ответ.

Заметим, что выражение называют сопряженным выражению Вообще-то, если в формулах сокращенного умножения в результате умножения скобок, содержащих радикалы, получается рациональное выражение, то выражения в скобках называют взаимно сопряженными. Так, и взаимно сопряженные выражения.

Взаимно сопряженными также являются выражения и им подобные.

Функция y= √x её график и свойства

Функция её график и свойства

Пример №252

Пусть – площадь квадрата, а см – длина его стороны. Так как то зависимость длины стороны квадрата от его площади можно задать формулой

Рассмотрим функцию Очевидно, что переменная принимает только неотрицательные значения, то есть

Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента:

Отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 15). Если бы мы отметили на этой плоскости больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению а потом соединили их плавной линией, то получили бы график функции (рис. 16).

Графиком этой функции является ветвь параболы.

Обобщим свойства функции

1. Областью определения функции является множество всех неотрицательных чисел:

2. Областью значений функции является множество всех неотрицательных чисел:

3. График функции – ветвь параболы, выходящая из точки все другие точки графика лежат в первой координатной четверти.

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции

Последнее свойство дает возможность сравнивать значения выражении, содержащих корни.

Пример №253

Сравните числа:

Решение:

1) Так как

поэтому значит,

3) Внесем множитель в обоих выражениях под знак корня:

Так как поэтому

Пример №254

Решите графически уравнение

Решение:

Поскольку мы пока не умеем строить график функции разделим обе части уравнения на число 5. Получим уравнение:

Построим графики функций в одной системе координат (рис. 17). Они пересекаются в точке с абсциссой 4. Проверкой убеждаемся, что число 4 – корень уравнения. Действительно,

Ответ. 4.

Пример №255

Постройте график функции

Ответ. График изображен на рисунке 18.

Квадратные уравнения
Неравенства
Числовые последовательности
Предел числовой последовательности
Формулы сокращенного умножения
Разложение многочленов на множители
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Рациональные выражения

Источник

В уроке «Степень числа»
мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя.
Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 3² = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат?
Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?

Запомните!

Нахождение исходного числа, которое в квадрате дало бы требуемое, называется
извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня — это действие, обратное возведению в квадрат.

У квадратного корня есть специальный знак.
Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9»,
это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:

√9 = 3

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический».
Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом.
Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

Запомните!

Извлекать квадратный корень можно только из положительного числа.

√−9
= … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
√64 = 8
√−1,44

= … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
√256 = 16

Квадратный корень из нуля

Запомните!

Квадратный корень из нуля равен нулю.

√0 = 0

Квадратный корень из единицы

Запомните!

Квадратный корень из единицы равен единице.

√1 = 1

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто.
Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от
1 до 20.

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

√81 = 9
√64 = 8
√100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Важно!

При нахождении квадратного корня из десятичной дроби нужно выполнить следующие действия:

забыть про запятую в исходной десятичной дроби и представить её в виде целого числа;
вычислить для целого числа квадратный корень;
полученное целое число заменить на десятичную дробь (поставить запятую исходя из
правила умножения десятичных дробей).

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби «0,16».

√0,16 =

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа «16».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает «16». Это число
«4».

√16 = 4

√0,16 = …

Вспомним правило умножения десятичных дробей.
Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой
дроби.

Т.е., например, при умножении «0,15» на
«0,3» в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

0,15 · 0,3 = 0,045

Значит, при вычислении квадратного корня
√0,16

нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой.

Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться
два знака после запятой, как у десятичной дроби «0,16».

Получается, что ответ — десятичная дробь «0,4».

√0,16 = 0,4

Убедимся, что квадрат десятичной дроби
«0,4²» дает
«0,16».

Умножим в столбик «0,4» на

«0,4».

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

√1,44 =

Представим вместо десятичной дроби «1,44» целое число
«144». Какое число в квадрате даст «144»?
Ответ — число «12».

12² = 144

√144 = 12

√1,44 = …

Так как в десятичной дроби «1,44» — два знака после запятой, значит в десятичной дроби,
которая дала в квадрате «1,44» должен быть один знак после запятой.

√1,44 = 1,2

Убедимся, что «1,2²» дает в квадрате «1,44».

1,2² = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел

√2,
√3,
√5,
√6,

и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен

√2

или

√3

и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»?
Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя
непериодическую десятичную дробь
и входит в
множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7».
Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно
оставить с корнем.

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора,
то после вычисления квадратного корня на калькуляторе
округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до
«0,001».

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7 ≈ 2,646

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

14 июля 2016 в 18:32

Temur Uldashev
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Temur Uldashev
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

Всем доброго времени суток! Прошу помочь с примером который я не могу решить, по теме «Квадратные корни. Задачи на вычесление» пример выглядит так:
??28-16?3 ( то есть выражение 28-16?3 еще под двумя корнями, не только 28, а все выражение!)

0
Спасибо thanks
Ответить

15 июля 2016 в 0:04
Ответ для Temur Uldashev

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

?(28 ? 16?3) = 4 ? 2?3.
Скобки не знешь?

0
Спасибо thanks
Ответить

15 июля 2016 в 6:53
Ответ для Temur Uldashev

Temur Uldashev
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

(^-^)
Temur Uldashev
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 2

Затупил. Но и вы не правильно подсказали. Я уже решил ответ ?3-1

0
Спасибо thanks
Ответить

16 июля 2016 в 22:58
Ответ для Temur Uldashev

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

Чушь не пори.
Спасибо скажи, что тебе подсказали.

0
Спасибо thanks
Ответить

21 июля 2016 в 13:24
Ответ для Temur Uldashev

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

Что не верно у меня, митрофанушка?

0
Спасибо thanks
Ответить

23 ноября 2015 в 15:15

Ксюша Новикова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Ксюша Новикова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

0
Спасибо thanks
Ответить

16 сентября 2016 в 14:23
Ответ для Ксюша Новикова

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

1,38 · ?361 = 1,38 · 19 = 26,22

0
Спасибо thanks
Ответить

16 сентября 2015 в 16:11

Макс Простов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

(^-^)
Макс Простов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 4

Расположите в порядке возрастания Корни:3V16, 7V19, 8V13 срочно)))))

0
Спасибо thanks
Ответить

9 сентября 2016 в 9:41
Ответ для Макс Простов

Евгений Колосов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

(^-^)
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12

Сообщений: 197

?16 = 4
?19 ? 4,35
?13 ? 3,61

3 · 4 = 12
7 · 4,35 = 30,45
8 · 3,61 = 28,88

Ответ: 3?16, 8?13, 7?19

0
Спасибо thanks
Ответить

Источник

Читается: квадратный корень из (a).

Число (a) называется подкоренным числом.

Обрати внимание!

Квадратный корень из отрицательных чисел не существует.

Например,

−16

не имеет смысла, т. к. нет такого действительного числа (a), которое в квадрате равно отрицательному числу:

a2≠−16

Чтобы найти квадратный корень из числа, необходимо хорошо знать квадраты чисел.

Часто используемые квадраты целых чисел:

(1)	(2 )	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	(9)	(10)	(11)	(12)	(13)	(14)	(15)	(16)	(17)	(18)	(19)	(20)	(25)
(1 )	(4)	(9)	(16)	(25)	(36)	(49)	(64)	(81)	(100)	(121)	(144)	(169)	(196)	(225)	(256)	(289)	(324)	(361)	(400)	(625)

Значит,

81=9;121=11;361=19и т. д.

Если подкоренное число — десятичная дробь, то необходимо обращать внимание на количество цифр после запятой:

0,09¯=0,3¯,т.к.0,32=0,3⋅0,3=0,09;0,0016¯=0,04¯;0,009=?

Устно вычислить невозможно, т. к. результатом является бесконечная десятичная дробь.

Если подкоренное число заканчивается нулями, то необходимо обращать внимание на их количество:

400¯=20¯;1210000¯=1100¯;9000¯=?

Устно вычислить невозможно, т. к. результатом является бесконечная десятичная дробь (проверь с помощью калькулятора).

Если выражение

имеет смысл, то

a≥0иa2=a

82=8;162=16

, нерационально сначала извлекать корень из (16), а затем результат возводить в квадрат.

Источник

История[править | править код]

Квадратные корни из чисел[править | править код]

Рациональные числа[править | править код]

Действительные (вещественные) числа[править | править код]

Комплексные числа[править | править код]

Квадратный корень как элементарная функция[править | править код]

В элементарной геометрии[править | править код]

В информатике[править | править код]

Применение[править | править код]

Алгоритмы нахождения квадратного корня[править | править код]

Разложение в ряд Тейлора[править | править код]

Грубая оценка[править | править код]

Геометрическое извлечение квадратного корня[править | править код]

Итерационный аналитический алгоритм[править | править код]

Столбиком[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]

При помощи деления в столбик

Понимание процесса

Советы

Предупреждения

Похожие статьи

Источники

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Квадратные корни

Квадратный корень из произведения, дроби, степени

Преобразование выражений с корнями

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Свойства арифметического квадратного корня

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Множество и его элементы. Подмножество

Числовые множества

Квадратные корни

Функция y=x2 её график и свойства

Пример №223

Пример №224

Пример №225

Арифметический квадратный корень

Пример №226

Пример №227

Пример №228

Пример №229

Пример №230

Множество. Подмножество. Числовые множества. Рациональные числа. Иррациональные числа. Действительные числа

Пример №231

Пример №232

Пример №233

Пример №234

Свойства арифметического квадратного корня

Пример №235

Пример №236

Пример №237

Пример №238

Пример №239

Пример №240

Пример №241

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Вынесение множителя из-под знака корня

Пример №242

Внесение множителя под знак корня

Пример №243

Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень выражений, содержащих квадратные корни

Пример №244

Пример №245

Пример №246

Пример №247

Пример №248

Сокращение дробей

Пример №249

Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Пример №250

Пример №251

Функция y= √x её график и свойства

Пример №252

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции

Пример №253

Квадратные корни из чисел

√2,
√3,
√5,
√6,

и т.п.