Квантиль уровня случайной величины как найти

Квантиль уровня случайной величины как найти

Мода и медиана случайной величины.
Квантиль уровня случайной величины

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач

Краткая теория

Кроме
математического ожидания и дисперсии, в теории вероятностей применяется еще ряд
числовых характеристик, отражающих те или иные особенности распределения.

Мода непрерывной и дискретной случайной величины

Модой
случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, для которого
вероятность

 или плотность вероятности

 достигает максимума.

В
частности, наивероятнейшее значение числа успехов в схеме Бернулли – это мода
биномиального распределения.

Если
вероятность или плотность вероятности достигает максимума не в одной, а в
нескольких точках, распределение называется полимодальным.

Полимодальное распределение

Медиана непрерывной и дискретной случайной величины

Медианой случайной величины

 называют число

, такое, что

.

То есть вероятность того, что
случайная величина

 примет
значение, меньшее медианы

 или больше ее,
одна и та же и равна

.

Для дискретной случайной величины

 это число может
не совпадать ни с одним из значений

. Поэтому медиану дискретной случайной величины
определяют как любое число

, лежащее между двумя соседними возможными значениями

 и

 такими, что

.

Для непрерывной случайной величины,
геометрически, вертикальная прямая

, проходящая через точку с абсциссой, равной

, делит площадь фигуры под кривой распределения на две
равные части.

Медиана на графике плотности вероятности непрерывной
случайной величины

Очевидно, что в точке

  функция распределения непрерывной случайной
величины равна

, то есть

.

Медиана на графике функции распределения непрерывной
случайной величины

Квантили и процентные точки случайной величины

Наряду с отмеченными выше числовыми
характеристиками для описания случайной величины используется понятие квантилей
и процентных точек.

Квантилем уровня

 (или

 – квантилем)
называется такое значение

 случайной
величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное

, то есть:

Некоторые квантили получили особое
называние. Очевидно, что введенная выше медиана случайной величины есть
квантиль уровня 0,5, то есть

. Квантили

 и

 получили
название соответственно верхнего и нижнего квантилей. Также в литературе
встречаются термины: децили (под которыми понимают квантили

) и процентили (квантили

).

С понятием квантиля тесно связано
понятие процентной точки. Под

 точкой
подразумевается квантиль

, то есть такое значение случайной величины

, при котором

.

Смежные темы решебника:

  • Структурные средние в статистике – мода, медиана, квантиль, дециль
  • Дискретная случайная величина
  • Непрерывная случайная величина

Примеры решения задач

Пример 1

Найти
моду, медиану, квантиль

 и 40%-ну точку случайной величины

 c плотностью распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Производная
не обращается в нуль.

Значения
на концах отрезка:

Следовательно,
мода:

Медиану

 найдем из условия:

В нашем
случае получаем:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая медиана:

Квантиль

 найдем из уравнения:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомый квантиль:

Найдем
40%-ную точку случайной величины

, или квантиль

 из уравнения:

Значение

 принадлежит отрезку

,
следовательно, искомая точка:

Ответ:

.

Пример 2

Найти
моду, медиану, квантиль

 случайной величины

, заданной функцией
распределения:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Найдем
плотность распределения:

Исследуем
функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Производная:

Значения
функции

 в стационарных точках и на концах отрезка:

Распределение
полимодальное:

Медиану

 найдем из уравнения:

Итак,
медиана:

Квантиль

 найдем из уравнения:

Итак:

Ответ:

.

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач
Источник

В примерах в данной статье данные генерятся при каждой загрузке страницы. Если Вы хотите посмотреть пример с другими значениями –
обновите страницу .

Параметры дискретного закона распределения

Параметры дискретного закона распределения

В статье описано как найти среднее значение и стандартное отклонение. Вы узнаете, что такое квантиль и каких он бывает видов, а также,
как построить доверительный интервал.

Математическое описание

Смотря на закон распределения, мы можем понять, какова вероятность того или иного события,
можем сказать, какова вероятность, что произойдёт группа событий, а в этой статье мы рассмотрим, как наши выводы “на глаз” перевести
в математически обоснованное утверждение.


Крайне важное определение: математическое ожидание – это площадь под графиком распределения. Если мы говорим о дискретном распределении –
это сумма событий умноженных на соответсвующие вероятности, также известно как момент:

(2)  E(X) = Σ(pi•Xi) E – от английского слова Expected (ожидание)
Для математического ожидания справедливы равенства:

(3)  E(X + Y) = E(X) + E(Y)
(4)  E(X•Y) = E(X) • E(Y)

Момент степени k:

(5)  νk = E(Xk)

Центральный момент степени k:

(6)  μk = E[X – E(X)]k

Среднее значение

Среднее значение (μ) закона распределения – это математическое ожидание случайной величины
(случайная величина – это событие), например, сколько в среднем посетителей заходит в магазин в час:

Кол-во посетителей 0 1 2 3 4 5 6
Количество наблюдений 134 27 106 19 47 22 45
Таблица 1. Количество посетителей в час

График 1. Количество посетителей в час

Чтобы найти среднее значение всех результатов необходимо сложить всё вместе и разделить на количество результатов:

μ = (134 • 0 + 27 • 1 + 106 • 2 + 19 • 3 + 47 • 4 + 22 • 5 + 45 • 6) / 400 = 864/400 = 2.16

То же самое мы можем проделать используя формулу 2:

μ = M(X) = Σ(Xi•pi) = 0 • 0.34 + 1 • 0.07 + 2 • 0.27 + 3 • 0.05 + 4 • 0.12 + 5 • 0.06 + 6 • 0.11 = 2.16 Момент первой степени, формула (5)

Собственно, формула 2 представляет собой среднее арифметическое всех значений
Итог: в среднем, 2.16 посетителя в час

Количество посетителей 0 1 2 3 4 5 6
Вероятность (%) 33.5 6.8 26.5 4.8 11.8 5.5 11.3
Таблица 2. Закон распределения количества посетителей

Отклонение от среднего

Посмотрите на это распределение, можно предположить, что в среднем случайная величина равна 100±5, поскольку
кажется, что таких значений несравнимо больше чем тех, что меньше 95 или больше 105:

График 2. График функции вероятности. Распределение ≈ 100±5

Среднее значение по формуле (2): μ = 99.95, но как посчитать, насколько далеко все значения находятся от среднего? Вам должна быть
знакома запись 100±5. Что бы получить это значение ±, нам необходимо определить диапазон значений вокруг среднего. И мы могли бы
использовать в качестве меры удалённости “разность” между средним и случайными величинами:

(7) xi – μ

но сумма таких расстояний, а следовательно и любое производное от этого числа, будет равно нулю, поэтому в качестве меры выбрали квадрат разниц
между величинами и средним значением:

(8) (xi – μ)2

Соответственно, среднее значение удалённости – это математическое ожидание квадратов удалённости:

(9) σ2 = E[(X – E(X))2]
Поскольку вероятности любой удалённости равносильны – вероятность каждого из них – 1/n, откуда:
(10) σ2 = E[(X – E(X))2] = ∑[(Xi – μ)2]/n
Она же формула центрального момента (6) второй степени

σ возведена в квадрат, поскольку вместо расстояний мы взяли квадрат расстояний. σ2 называется дисперсией. Корень из дисперсии
называется средним квадратическим отклонением, или среднеквадратическим отклоненим, и его используют в качестве меры разброса:

(11) μ±σ
(12) σ = √(σ2) = √[∑[(Xi – μ)2]/n]

Возвращаясь к примеру, посчитаем среднеквадратическое отклонение для графика 2:

σ = √(∑(x-μ)2/n) = √{[(90 – 99.95)2 + (91 – 99.95)2 + (92 – 99.95)2 + (93 – 99.95)2 + (94 – 99.95)2 + (95 – 99.95)2 + (96 – 99.95)2 + (97 – 99.95)2 + (98 – 99.95)2 + (99 – 99.95)2 + (100 – 99.95)2 + (101 – 99.95)2 + (102 – 99.95)2 + (103 – 99.95)2 + (104 – 99.95)2 + (105 – 99.95)2 + (106 – 99.95)2 + (107 – 99.95)2 + (108 – 99.95)2 + (109 – 99.95)2 + (110 – 99.95)2]/21} = 6.06

Итак, для графика 2 мы получили:

X = 99.95±6.06 ≈ 100±6 , что немного отличается от полученного “на глаз”

Квантиль

График 3. Функция распределения. Медиана

График 4. Функция распределения. 4-квантиль или квартиль

График 5. Функция распределения. 0.34-квантиль

Для анализа функции распределения ввели понятие квантиль. Квантиль – это случайная величина при заданном уровне вероятности, т.е.:
квантиль для уровня вероятности 50% – это случайная величина на графике плотности вероятности, которая имеет вероятность 50%.
На примере с графиком 3, квантиль уровня 0.5 = 99 (ближайшее значение, поскольку распределение дискретно и события со значением 99.3 просто не существует)

  • 2-квантиль – медиана
  • 4-квантиль – квартиль
  • 10-квантиль – дециль
  • 100-квантиль – перцентиль

То есть, если мы говорим о дециле (10-квантиле), то это означает, что мы разбили график на 10 частей, что соответствует девяти линяям,
и для каждого дециля нашли значение случайной величины.

Также, используется обозначение x-квантиль, где х – дробное число, например, 0.34-квантиль, такая запись означает значение случайной величины при
p = 0.34.

Для дискретного распределения квантиль необходимо выбирать следующим образом: квантиль гарантирует вероятность, поэтому, если рассчитанный
квантиль не совпадает с одним и значений, необходимо выбирать меньшее значение.

Построение интервалов

Квантили используют для построения доверительных интервалов, которые необходимы для исследования статистики не одного конкретного события (например,
интерес – случайное число = 98), а для группы событий (например, интерес – случайное число между 96 и 99). Доверительный интервал бывает двух видов:
односторонний и двусторонний. Параметр доверительного интервала – уровень доверия. Уровень доверия означает процент событий, которые можно считать успешными.

Двусторонний доверительный интервал

Двусторонний доверительный интервал строится следующим образом: мы задаёмся уровнем значимости, например, 10%, и выделяем область на графике так, что 90% всех
событий попадут в эту область. Поскольку интервал двусторонний, то мы отсекаем по 5% с каждой стороны, т.е. мы ищем 5й перцентиль, 95й перцентиль и значения
случайной величины между ними будут являться доверительной областью, значения за пределами доверительной области называются “критическая область”

График 6. Плотность вероятности

График 7. Функция распределения с 5 и 95 перцентилями. Цветом выделен доверительный интервал с уровнем доверия 0.9

График 8. Функция вероятности и двусторонний доверительный интервал с уровнем доверия 90%

Доверительный интервал

Левосторонний и правосторонний доверительные интервалы строятся аналогично двустороннему: для левостороннего интервала мы находим перцентиль уровня
[‘один’ минус ‘уровень значимости’]. Таким образом, для построения доверительного левостороннего интервала уровня значимости 4% нам необходимо найти четвёртый перцентиль
и всё, что справа – доверительный интервал, всё что слева – критическая область.

График 9. Левосторонний доверительный интервал с уровнем значимости 4%. Заливкой выделен доверительный интервал

График 10. Правосторонний доверительный интервал с уровнем значимости 4%. Заливкой выделен доверительный интервал

Итого

Среднее значение – математическое ожидание случайной величины, находится по формуле:

μ = E(X) = Σ(pi•Xi)

Среднеквадратичное отклонение – математическое ожидание удалённости значений от среднего, находится по формуле:

σ = √(σ2) = √[∑[(Xi – μ)2]/n]

n-квантиль – разделение функции распределения на n равных отрезков, основные типы квантилей:

  • 2-квантиль – медиана
  • 4-квантиль – квартили
  • 10-квантиль – децили
  • 100-квантиль – перцентили

Доверительный интервал уровня α – участок функции вероятности, содержащий α всех возможных значений. Двусторонний доверительный
интервал строится отсечением (1-α)/2 справа и слева. Левосторонний и правосторонний доверительные интервалы строятся отсечением
области (1-α) слева и справа соответственно.

Построить ряд распределения

Предположим, мы имеем 100 значений и все разные, например: масса тела Сомалийских пиратов.
Такой набор данных обрабатывать неудобно, мы даже не можем представить их на обычном графике.
Поэтому нам необходимо категоризировать имеющиеся данные и для этого мы делаем следующее:

Запишем наши данные в таблицу:

115 129 144 92 52 69 80 89 96 66
53 55 76 84 112 66 86 115 72 72
79 60 100 136 88 107 90 141 123 136
126 142 78 119 122 55 95 103 129 138
111 90 61 93 138 108 131 102 89 137
137 135 99 86 61 61 135 81 98 83
122 77 128 58 71 84 74 121 82 133
122 85 140 96 106 105 107 132 73 134
62 74 72 84 66 97 65 124 110 54
113 112 140 127 98 99 123 57 112 54
Таблица 3. Вес сомалийских пиратов

Данные разобьём на группы, для начала предлагаю разбить на шесть интервалов:


Узнаём максимальное и минимальное значения, вычитаем их друг из друга и делим на количество
интервалов – получили отрезки:
Максимальное значение: 144
Минимальное значение: 52
Разница: 144 – 52 = 92
Длина интервала: 92 / 6 = 15.34

Теперь посчитаем количество пиратов (весов, я имею ввиду) в каждом интервале:

# Интервал Количество элементов
1. 52 – 67.34 17
2. 67.34 – 82.68 15
3. 82.68 – 98.02 20
4. 98.02 – 113.36 16
5. 113.36 – 128.7 13
6. 128.7 – 144.04 19
Таблица 4. Количество элементов в интервалах

Вуа-ля, наше распределение на графике:

График 11. Ряд распределения массы тела сомалийских пиратов

Бонус

Интервалы лучше брать целыми числами, поэтому, если с выбранным количеством интервалов
размер выходит нецелым, то можно раздвинуть диапазон значений, пример:

Значение интервала равно 15.34, число не является целым, поэтому
отодвигаем верхнюю границу:
Остаток от деления: [(144 – 52) / 6] = 2
Подвинуть на: 4
Новый диапазон: [52;148]

Диапазон можно двигать как вверх, так и вниз, но лучше в обе стороны.

Совет

Принято делить распределение на 7-8 интервалов, но в каждой конкретной ситуации
Вы можете выбрать отличное количество интервалов, впрочем, как и сделать их
различной длины.

Список параметров

Итак, вот список основных параметров дискретного закона распределения:

Название Символ Формула
Математическое ожидание (среднее) E(X) Σ(pi•Xi)
Центральный момент
(среднеквадратичное отклонение)		 σx σ = √(σ2) = √[∑[(Xi – μ)2]/n]
Длина интервала R max(x) – min(x)
Мода mo max P(x = mo)
1й квантиль – F(x) = 0.25
Медиана me F(x) = 0.5
Дециль – F(x) = 0.1
Таблица 5. Основные параметры дискретного закона распределения

Шаблон гистограммы в OpenOffice Calc

Файл histogram_mock.ods содержит шаблон
построения гистограммы.

Вам понравилась статья?
/

Просмотров: 15 944

Источник

Квантиль – что это?

Определение 1. Кванти́ль в математической статистике – число  xp такое, что заданная случайная величина  X  превышает его лишь с фиксированной вероятностью p.

Классное определение, но годится такое определение разве что для википедии, оно не конструктивно, т.е не пригодно для практических целей. Немного терпения, и вам станет понятно данное определение. Более того, вы с легкостью сможете находить квантили любого уровня, а также сможете применять данное понятие для решения задач по статистике.

Как найти квантиль

Попытка №2 – конструктивное определение квантиля:

Определение 1*. Квантилью xp (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины X, имеющей функцию распределения F (x), называют решение xp уравнения F (x) = p.

 Следовательно, для того чтобы найти квантиль xp необходимо найти решение уравнения F (x) = p.

Для наглядности, найдем решение графически:

1. Построим функцию распределения F(x);

2. Построим горизонтальную линию уровня p;

3. Находим точку пересечения данных линий, опускаем перпендикуляр на ось X, получаем  квантиль xp (квантиль уровня p) смотри рисунок 1.

 Аналогично для дискретной случайной величины X смотри рисунок 2.

Замечание.  Для дискретной случайной величины X функция распределения F(x) имеет ступенчатый вид, функция не монотонна. Поэтому решение уравнения F(x) = p в общем случае не однозначно ( в решение попадают интервалы). В таких случаях, для определенности квантилем назначают средину интервала, как показано на рис.2.

Квантили удобны для сравнения различных законов распределения вероятностей. В некоторых случаях пользуются децилями: x0,1 , x0,2 , x0,3 , …, x0,9 . Однако наибольшее распространение получили квартили. Квартилями называют квантили порядков 0,25, 0,5 и 0,75. Будем их обозначать соответственно как k1 , k2 , k3 . Квартили k1 и k3 называют обычно нижней и верхней квартилями. Вторая квартиль k2 совпадает с  медианой распределения.

Определение 2. Децилями называют квантили уровня 0,1, 0,2, 0,3, …0,9, обозначают соответственно d1, d2, d3,…d9.

Определение 3. Квартилями называют квантили порядков 0,25, 0,5 и 0,75, обозначают соответственно k1 , k2 , k3 .

Определение 4. Медианой называют квантиль уровня 0,5,

обозначают Me = x0,5.

Ну вот, пришло время, на конкретном примере показать, как находить квантили.

Пример. Пусть имеется выборка дискретной случайной величины X:

3 0 1 5 1 2 4 5 3 4
2 4 2 0 2 3 1 3 2 1
4 3 0 2 1 0 4 2 3 2

Найти квантили уровня 0,2 и 0,3  ( x0,2 и x0,3 )

Решение.

1) Находим функцию распределения дискретной случайной величины:

Вариант Частота Частность F(X)
0 4 0,133333 0,133333
1 5 0,166667 0,3
2 8 0,266667 0,566667
3 6 0,2 0,766667
4 5 0,166667 0,933333
5 2 0,066667 1

2) Строим график функции распределения, проводим линии уровня p = 0,2 и p = 0,3,

3) получаем квантили: x0,2 = 1, x0,3 = 1,5, или, можно сказать так,  получаем децили d2=1, d3=1,5

Источник

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем (см. ниже).

Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг»[1] означает, что 90 % мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10 % мальчиков рождаются с весом, большим либо равным 4 кг.

Определение[править | править код]

Рассмотрим вероятностное пространство (Omega ,;{mathcal {F}},;mathbb {P} ) и mathbb {P} ^{X} — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины X. Пусть фиксировано alpha in (0,;1). Тогда alpha -квантилем (или квантилем уровня alpha ) распределения mathbb {P} ^{X} называется число x_{alpha }in mathbb{R} , такое что

{displaystyle mathbb {P} (Xleqslant x_{alpha })leqslant alpha } ,
{displaystyle mathbb {P} (Xgeqslant x_{alpha })geqslant 1-alpha .}

В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) k-м q-квантилем называется квантиль уровня k/q, то есть (k/q)-квантиль в предыдущих обозначениях.

Замечания[править | править код]

  • Если распределение непрерывно, то alpha -квантиль однозначно задаётся уравнением
F_{X}(x_{alpha })=alpha ,

где F_{X} — функция распределения mathbb {P} ^{X}.

  • Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:
{mathbb {P}}left(x_{{{frac {1-alpha }{2}}}}leqslant Xleqslant x_{{{frac {1+alpha }{2}}}}right)=alpha .
  • Для эмпирического распределения alpha -квантиль можно задать следующим способом:
  1. составляем вариационный ряд значений V_{0}leqslant V_{1}leqslant dots leqslant V_{{N-1}} (выборка имеет объём N), а также считаем, что V_{N}=V_{{N-1}} (это необходимо при вычислении 100 % квантили по приводимым ниже формулам);
  2. находим величину K=lfloor alpha cdot (N-1)rfloor ;
  3. сравниваем K и alpha cdot N:
a) если K+1<alpha N, то полагаем x_{alpha }=V_{{K+1}};
б) если K+1=alpha N, то полагаем x_{{alpha }}=(V_{K}+V_{{K+1}})/2;
в) если K+1>alpha N, то полагаем x_{{alpha }}=V_{K}.

Заданный таким образом alpha -квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства K+1=alpha N можно использовать приближённое сравнение |K+1-alpha N|<1/N (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

Медиана и квартили[править | править код]

Квантили нормального распределения

  • 0,25-квантиль называется первым (или нижним) кварти́лем (от лат. quarta — четверть);
  • 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым кварти́лем;
  • 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) кварти́лем.

Интеркварти́льным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть x_{{0{,}75}}-x_{{0{,}25}}. Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Дециль[править | править код]

Деци́ль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение[2].

Процентиль[править | править код]

p-м проценти́лем называют квантиль уровня {displaystyle alpha =p/100}. Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий квартиль — 25-м и 75-м процентилями соответственно.

В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Процентили также называются перцентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределения[править | править код]

Вероятность (уровень квантили), % 99,99 99,90 99,00 97,72 97,50 95,00 90,00 84,13 50,00
Квантиль (округлённый до тысячных) 3,719 3,090 2,326 1,999 1,960 1,645 1,282 1,000 0,500

См. также[править | править код]

  • Квантили нормального распределения
  • Квантили распределения Стьюдента
  • Квантили распределения хи-квадрат
  • Нормальное распределение
  • Доверительный интервал
  • Наукометрия

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Руководство участкового педиатра. — ГЭОТАР-Медиа, 2008. — С. 44. — 354 с.
  2. ↑ Шмойлова Р. А., Минашкин В. Г., Садовникова Н. А. Практикум по теории статистики. — 3-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2011. — С. 130—131. — 416 с. — ISBN 9785279032969..

Ссылки[править | править код]

Источник

Рассмотренные
выборочные параметры: среднее, дисперсия
и коэффициент корреляции выборки
являются приближенными оценками
соответствующих генеральных параметров.
Погрешность этих оценок будет тем
меньше, чем больше объем выборки. Есть
способы, с помощью которых можно оценить
саму погрешность. Для этого переходят
от точечных оценок параметров к оцениванию
доверительных интервалов параметров.
При получении интервальных оценок часто
используют так называемые квантили.

Квантилем,
отвечающий заданному уровню вероятностиР, называют такое значение, при котором функция распределенияпринимает значение, равноеР, т.е.гдеР– заданный уровень вероятности.

Другими словами
квантильесть такое значение
случайной величины,
при котором

Вероятность Р, задаваемая в процентах, дает название
соответствующему квантилю, например,
называется 40%-ым квантилем.

Квантили стандартного
нормального распределения (распределение
с параметрами
)
обозначаются буквой.
Они легко находятся в соответствующих
таблицах. Если,
то подбирая такое,
для которогои находим.
Если,
то подбираем такое,
для которогои тогда.
Например, 40 % квантиль будет равен85 %, квантильи т.д.

Квантиль общего
нормального распределения
с параметрамиивыражается через квантиль:

. (2.5)

Если известны два
квантиля случайной величины
и,
то

Понятие
квантиля используется не только для
нормального , но и для большинства
встречающихся распределений.

Квантиль
называетсямедианой распределения.
Если распределение случайной величины
симметрично, то.

Например,
распределение случайных ошибок
симметрично. Поэтому для этого
распределения можно использовать как
математическое ожидание, так и медиану.

2.5. Получение интервальных оценок

Все
выборочные параметры являются случайными
величинами, а следовательно и их
отклонения от генеральных параметров,
т.е. погрешности, также будут случайными.
Поэтому оценка этих погрешностей носит
вероятностный характер. Можно лишь
указать вероятность той или иной
погрешности. Чтобы решить подобную
задачу нужно найти вероятность того,
что отклонения выборочного параметра
от исследуемого генеральногоне превосходит по абсолютной величине
некоторого заданного числа,
т.е. находятся в пределах отдо.
Обозначим отклонение через.
Поставленную задачу можно легко решить
если известна функция распределенияили плотность распределениявеличины:

(2.6)

Распределение
иногда удается точно определить по
элементам выборки. В других случаях это
распределение зависит только от объема
выборкии его можно вывести теоретически. Если
бы при этом было известно математическое
ожидание выборочного параметра,
то разность

дает точное значение
генерального параметра. К сожалению
,
как правило, не известно.

Определим генеральный
параметр. Находят по выборке одно
значение
выборочного параметраи принимают его за приближенное значение
генерального параметра.
Затем, используя выражение (2.6) оценивают
это приближение. Действительно, задаваясь
некоторым положительным числом,
мы можем найти вероятность того, что.
Но так какесть одно из допустимых значений
выборочного параметра,
то вероятность неравенстватакже равна этой вероятности. Отсюда
получаем формулу

которая
позволяет сравнивать найденное значение
выборочного параметра с неизвестным
генеральным параметром.

Неизвестный
генеральный параметр можно представить
в виде
.

Это
неравенство отличается тем, что
неизвестная величина
,
которая является неслучайной величиной,
оценивается случайными границами, т.к.
выборочный параметр является случайным.

Таким
образом, любая статистическая оценка
есть оценка вида

где
некоторые
случайные величины.

Придавая
конкретные значения, мы сможем вычислять
вероятность соответствующей оценки.

В
качестве границ
наиболее удобно брать квантили случайной
величины.
При обработке наблюдений для оценок
генерального параметра берут симметричные
квантили. В этом случае вероятностиРсоответствует оценка

Рассмотрим
как пользоваться оценками на практике.
Для этого дадим следующие определения.

Событиеназываетсяабсолютно достоверным,
если оно появляется при любом осуществлении
комплекса основных факторов. Абсолютную
достоверность нельзя установить никакой
самой длительной проверкой. Ее можно
вывести лишь теоретически , путем
логических умозаключений. Сюда относят
обычно математические истины.

Большинство
же привычных достоверных событий при
рассмотрении не является абсолютно
достоверным. Например, нельзя считать
абсолютно достоверным тот факт, что
подброшенная монета упадет гербом или
числом, т.к. у монеты есть и другие
состояния равновесия – это ребро. Однако,
в данном случае мы можем утверждать,
что монета упадет либо гербом , либо
числом. Такая достоверность называется
практической достоверностью.

Использования
принципа практической достоверности
позволяет не доводить вероятность
оценки до единицы. Принимаемый при этом
уровень вероятности называется
доверительной вероятностью. В
зависимости от конкретных обстоятельств
в качестве доверительной вероятности
берут обычно значения: 0.950.99;
реже 0.90;0.999.

Соответствующие
доверительной вероятности квантильные
границы называются доверительными
границами, а образуемый ими интервал
–доверительным интерваломили
еще называютдоверительной оценкойилиинтервальной оценкой.

Величина
называетсяуровнем значимости.
Уровень значимости соответствует
практически невозможному событию.
Уровень значимости и уровень достоверности
в сумме дают единицу. Обычно значения
уровней значимости берутся в пределах:
0.050.01
и реже 0.1; 0.001.

Соседние файлы в папке model-00ae89b6

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Добавить комментарий