|
Как найти длину окружности?
Длину окружности можно найти одним из представленных способов:
Где П — 3,14. модератор выбрал этот ответ лучшим
дольфаника 8 лет назад Окружностью в геометрии называют фигуру на плоскости, все точки, лежащие на окружности круга, удалены на равном расстоянии от центра окружности
Радиусом окружности называют в геометрии величину расстояния, отрезок от центра окружности до ее любой точки на окружности.
Длину окружности с радиусом вычисляют по формуле Длина окружности L равно 2pi умножить на R. Или выглядит формула так. Чтобы не путаться, запомните, что длина окружности это есть периметр круга.
r – это радиус D – диаметр π – приблизительно 3,14 Но окружность – это не круг Смотрите картинку, на которой видна разница между кругом и окружностью
Афанасий44 8 лет назад Окружность это такая геометрическая фигура, которая является совокупностью всех своих точек на плоскости, равноудаленных от ее центра, на расстояние, называемое радиусом. Для того, чтобы вычислить длину окружности, обозначаемую обычно как L, надо радиус, обозначаемый как R, умножить на 2 и на число Пи. L=2ПиR. Пи – величина постоянная и равна 3,14. Или можно взять удвоенный радиус, то есть диаметр (D) и тогда формула будет выглядеть так: L=ПиD.
Selena-Ursus 8 лет назад Окружность это кривая, ограничивающая круг. Все ее точки находятся на равном от центра расстоянии. В формуле вычисления длины окружности используются значения радиуса или двойная величина радиуса — диаметр и число π, всегда имеющее значение 3,14. Формула, таким образом, выглядит так: L=πd или L=2πR, где L — значение длины окружности, получаемое умножением числа π (3,14) на величину радиуса окружности или двойного диаметра.
eLearner 10 лет назад Формула длины окружности
Если воспользоваться Яндексом, то длину окружности можно посчитать в самом поисковом интерфейсе. Введите в Яндексе формула длины окружности, он вам выдаст формулу расчета и окошко для ввода значения. Дальше нужно будет нажать кнопку “Посчитать”.
Edvard 9 лет назад Еще из средней школьной программы отчетливо помню формулу измерения длины окружности. Эта формула выглядит так- 2Пr, где r- это радиус окружности, которая равна половине диаметра, а число П неизменна и равна 3.14.
chela 10 лет назад Можно найти длину окружности не зная радиуса. Для этого нужно знать площадь круга. Формула для расчета длины окружности по известной площади круга выглядит так: L=2*корень квадратный пи*S где S площадь круга.
gematogen 9 лет назад Формула длины окружности равна Пи умноженное на Диаметр или Пи умноженное на Радиус умноженный на 2.
88SkyWalker88 8 лет назад Известно, что независимо от длины окружности, ее отношение к диаметру является постоянным числом. Если известен диаметр окружности, то нужно эту величину умножить на число Пи (3,14). Формула выглядит так: L=πd Если известен радиус, то чтобы найти диаметр, умножаем его на два, а для нахождения длины окружности опять же на число Пи. Формула: L=2πR
moreljuba 6 лет назад Итак, длина окружности может быть рассчитана, например, вот таким способом как L=πd (где d – это будет диаметр). А вот если известен радиус, то длину вы уже сможете найти так L=2πr (где r будет соответственно радиус вашей окружности). Ну а пи считаем равным 3,14.
Annet007 8 лет назад Длина окружности Можете скопировать себе на компьютер нижеприведенную табличку с основными формулами окружности и круга. Она вас, при решении геометрических задач, еще не раз выручит.
Здесь же присутствует формула длины окружности. Она имеет вид: L=2ПR Знаете ответ? |
Arc length is defined as the distance between the two points placed on the circumference of the circle and measured along the circumference. Arc length is the curved distance along the circumference of the circle. Length of the arc between two points is always greater than the chord between those two points.
What is Arc Length?
The arc length is defined as the circular distance between two points along the circumference of the circle. The length of the arc is directly dependent on the radius and central angle of the circle. The central angle is the angle subtended by the endpoints of the arc to the center of the circle. It is denoted by θ. It is measured both in degrees and radians. The figure given below shows the arc AB when the radius is r and the central angle is θ.
Arc Length Formula
Length of the arc is calculated using different formulas, the formula used is based on the central angle of the arc. Central angle is measured in degrees or radians, and accordingly, the length of an arc of the circle is calculated. For a circle, the formula for arc length formula is θ times the radius of the circle.
| Arc Length Formula (θ in degrees) | s = 2×π×r ×(θ/360°) |
| Arc Length Formula (θ in radians) | s = θ × r |
| Arc Length Formula (Integral Form) | s = ∫√(1 + (dy/dx)2dx |
There are different cases that are used accordingly to find the required Arc Length
Case 1: When Radius and Angle are given
Formula to calculate the length of an arc is given by:
L = 2πr × (θ / 360)… (1)
where
r is the radius of the circle
θ is the angle in degrees
L is the Arc lengthArc length when the angle is represented in radians
1 radian = π/180°
Substituting the value of radian in equation (1)
L = 2πr × (θ × / 360)
L = r θ…(2)
where,
r is the radius of the circle
θ is the angle in radians.
Case 2: When Area and Central Angle of the Arc are given
Formula to calculate the length of an arc is given by:
L = 2πr × (θ / 360)
where,
r is the radius of the circle
θ is the angle in degreesWe need to find the radius of the circle from the given area. After finding the radius, we will substitute the value of radius in the formula.
Area of the circle = πr2
Example: If area of the circle is 314 m2 and centeral angle of the arc is π radian find the length of the arc.
Sloution:
πr2 = 314 m2
r2 = 314/π (π = 3.14)
r2 = 314/3.14
r2 = 100
r = √100 = 10 m
Length of the arc with angle π radians will be:
L = r θ
L = 10 × π
L = 10 × 3.1415
L = 31.415 m
The value of r can be used in the same formula, as discussed above.
Case 3: Arc length In Integral Form
Arc length in integral form is given by:
L = ∫√(1 + (dy/dx)2)dx
where,
Y is the f(x) function
limit of integral is [a, b]
How to Find Arc Length?
Use the steps given below to find the Arc length of the given arc.
Step 1: Mark the central angle and length of the radius of the given arc.
Step 2: Use the formula as given above according to the value of the angle in degrees or radians accordingly.
Step 3: Simplify the above equation to get the required answer.
Also, Check
- Equation of a Circle
- Degrees To Radians
- Radians to Degrees
Solved Examples on Arc Length
Example 1: Find the length of the arc with a radius of 2m and angle π/2 radians.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = r θ
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 2m and θ = π/2 radians
Length of arc = 2 × π/2
Length of arc = π
(π = 3.1415)
Length of arc = 3.1415 m
Thus, the length of the arc is 3.1415 m.
Example 2: Find the length of the arc of function f(x) = 8 between x =2 and x = 4.
Solution:
The formula to calculate the arc length for the function is given by:
L = ∫√(1 + (dy/dx)2)dx
The limit of integral is [a, b]
Substituting the values a = 2, b = 4, and y = 6 or dy/dx = 0 in the above formula,
L = ∫√(1 + (0)2)dx
L = ∫√1 dx
L = ∫1 dx
L = x
(Integral of 1 is x)
The limit of integral is [2, 4]
L = (4 – 2)
L = 2
Thus, the length of the arc of function f(x) = 8 between x = 2 and x = 4 is 2.
Example 3: Find the length of the arc with a radius of 5cm and an angle of 60°.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = 2πr × (θ / 360)
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 5cm and θ = 60°
Length of arc = 2πr × (60 / 360)
Length of arc = 2πr × 1/6
Length of arc = 2 × 3.1415 × 5/6
(π = 3.1415)
Length of arc = 5.235cm
Thus, the length of the arc is 5.235cm
Example 4: Find the length of the arc with a radius of 0.5m and an angle of π/4 radians.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = r θ
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 0.5m and θ = π/4 radians
Length of arc = 0.5 × π/4
Length of arc = 0.392 m
(π = 3.1415)
Thus, the length of the arc is 0.392 m
Example 5: Find the length of the arc with a radius of 10cm and an angle of 135°.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = 2πr × (θ / 360)
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 10cm and θ = 135°
Length of arc = 2πr × (135/360)
Length of arc = (2 × 3.1415 × 10 × 135)/360°
(π = 3.1415)
Length of arc = 23.56cm
Thus, the length of the arc is 23.56cm.
Example 6: Find the length of the arc with a radius of 20mm and angle π/6 radians.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = r θ
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 20mm and θ = π/6 radians
Length of arc = 20 × π/6
Length of arc = 10.47 mm
(π = 3.1415)
Thus, the length of the arc is 10.47 mm
Example 7: Find the length of the arc with a radius of 2 cm and an angle of 90°.
Solution:
The formula to calculate the length of the arc is given by:
L = 2πr × (θ / 360)
Where,
L is the length of the arc
Given: r = 2cm and θ = 90°
Length of arc = 2πr × (90 / 360)
Length of arc = 2πr × 1/4
Length of arc = 2 ×3.1415 × 2 × 1/4
(π = 3.1415)
Length of arc = 3.1415 cm
Thus, the length of the arc is 3.1415 cm.
FAQs on Arc Length
Question 1: What is the Arc Length of a Circle?
Answer:
Arc length of a circle is the length made by the arc which is measured along its circimference.
Question 2: Length of the arc is measured in which unit?
Answer:
Length of arc is of a circle is either measured in m or in cm.
Question 3: Does arc length is measured in radians?
Answer:
Angles are measured in radians and arc length is a measurement of distance, thus it cannot be measured in radians.
Question 4: How do you find the circumference if the arc length (l) and central angle (θ) are given?
Answer:
When arc length (l) and central angle (θ) is given then the circumference by the formula
Arc Length (L) / Circumference = θ/360º
Last Updated :
20 Jan, 2023
Like Article
Save Article
Люди, подскажите, пожалуйста, формулу окружности!
Нина Емельянова
Знаток
(427),
закрыт
15 лет назад
Мне нужно узнать формулу длинны окружности, а мы просто ещё не изучали в школе. Подскажите, пожалуйста! :)))
Павел Митрофанов
Гуру
(3678)
15 лет назад
Отношение длины окружности к ее диаметру – величина постоянная. Это отношение, как уже указано, принято обозначать буквой греческого алфавита (п) “пи”. П =3, 14159265….и еще бесконечное количество цифр. Таким образом длину окружности (L) можно вычислить по формуле:
L = ПD где D -диаметр окружности.
Радиус — что это такое и как найти радиус окружности
Через длину стороны
Формула для нахождения длины окружности через радиус:
, где r — радиус окружности.
Найти радиус круга, зная окружность
Окружность круга P
Результат
Радиус и диаметр
Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.
А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:
Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.
Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.
Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.
Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.
Вычисление радиуса
Радиус можно посчитать разными способами.
Если известен диаметр
Этот способ самый простой. Диаметр равен двум радиусам. Поэтому радиус будет высчитываться по формуле r=d/2.
Если известна длина окружности круга
Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.
Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:
Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.
Если известна площадь круга
Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:
В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.
Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.
Способ расчета радиуса круга:
Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга: 
где P – длина окружности, pi – число π, равное примерно 3.14
Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга: 
где S – площадь круга, pi – число π, равное примерно 3.14
Через сторону описанного квадрата
Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.
- r — искомый радиус окружности.
- a — сторона описанного квадрата.
Как посчитать радиус зная длину окружности
Чему равен радиус (r) если длина окружности C?
Формула
r = C /2π , где π ≈ 3.14
Свойства радиуса
В отношении радиуса действуют несколько важных правил:
- Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
- У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.
Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.
Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.
По площади сектора и центральному углу
- Например, если площадь сектора равна 50 см 2 , а центральный угол равен 120 градусов, формула запишется следующим образом: .
Площадь сегмента
Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .
Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах , получаем
В случае, когда величина α выражена в в радианах , получаем
Формулы для площади круга и его частей
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
| Числовая характеристика | Рисунок | Формула |
| Площадь круга |  |
|
| Площадь сектора |  |
|
| Площадь сегмента | |
| Площадь круга |
| |
,
где R – радиус круга, D – диаметр круга
Площадь сектора
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Площадь сегмента
,
если величина угла α выражена в радианах
,
если величина угла α выражена в градусах
Центральный угол, вписанный угол и их свойства
Связанные определения
- Центральный угол в окружности — это угол , образованный двумя радиусами.
- Радиус кривизны кривой — это радиус окружности, имеющей с этой кривой касание второго порядка.
Примеры задач
Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.
Решение:
Используем первую формулу (через периметр):
Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .
Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:
Длина дуги
Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .
В случае, когда величина α выражена в градусах , справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
В случае, когда величина α выражена в радианах , справедлива пропорция
из которой вытекает равенство:
Уравнение окружности
r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2
3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:
| < | x = a + r cos t |
| y = b + r sin t |
Углы между двумя хордами
Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.
Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.
Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.
Через площадь и полупериметр описанного треугольника
Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.
- r — искомый радиус окружности.
- S — площадь треугольника.
- p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).
Основные свойства касательных к окружности
3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:
Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:
Обобщения
Радиусом множества , лежащего в метрическом пространстве с метрикой , называется величина . Например, радиус n-размерного гиперкуба со стороной s равен
Через диагональ вписанного прямоугольника
Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.
- R — искомый радиус окружности.
- d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
- a, b — стороны вписанного прямоугольника.
Площадь круга, онлайн расчет
Как найти площадь круга по формуле через радиус либо диаметр круга.
Площадь круга, онлайн расчет
Вместо заключения
Чтобы еще больше понять, насколько важно понятие РАДИУС, вспомните инструмент, с помощью которого можно начертить окружность. Это циркуль и выглядит он вот так.
Пользоваться им просто. Ножка с острым концом ставится в центр будущей окружности. А ножка с грифелем прочерчивает линию. А расстояние, на котором они будут друг от друга, и есть РАДИУС.
Как найти радиус окружности
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.
Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.
Возможно тебе интересно узнать – как найти длину окружности?
Формула радиуса окружности
Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.
Если известна площадь круга
R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.
Если известна длина
R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).
Если известен диаметр окружности
R = D : 2, где D — диаметр.
Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.
Если известна диагональ вписанного прямоугольника
R = d : 2, где d — диагональ.
Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:
d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.
Если известна сторона описанного квадрата
R = a : 2, где a — сторона.
Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.
Если известны стороны и площадь вписанного треугольника
R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.
Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника
R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.
Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.
Если известна площадь сектора и его центральный угол
R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.
Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.
Если известна сторона вписанного правильного многоугольника
R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.
В правильном многоугольнике все стороны равны.
Скачать онлайн таблицу
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.
Нахождение радиуса круга: формула и примеры
В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус круга (окружности) и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Формулы вычисления радиуса круга
1. Через длину окружности/периметр круга
Радиус круга/окружности рассчитывается по формуле:
C – это длина окружности/периметр круга; равняется удвоенному произведению числа π на его радиус:
C = 2 π R
π – число, приближенное значение которого равно 3,14.
2. Через площадь круга
Радиус круга/окружности вычисляется таким образом:
S – это площадь круга; равна числу π , умноженному на квадрат его радиуса:
S = π R 2
Примеры задач
Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.
Решение:
Используем первую формулу (через периметр):
Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .
Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/radius-okruzhnosti
[/spoiler]
|
(r) |
l(l 1) |
(r) 0 |
|
|
2 |
|||
|
l |
r |
l |
|
Линейно независимыми решениями этого уравнения являются функции
(это проверяется непосредственной подстановкой данных функций в уравнение). Выбираем
|
«хорошее» решение и заключаем, что при r 0 |
хорошее решение должно вести себя как |
rl 1 . |
|||||||||
|
При r |
из уравнения (3) имеем |
||||||||||
|
(r) 2 |
(r) 0 |
||||||||||
|
l |
l |
||||||||||
|
Отсюда заключаем, что «хорошее» решение при |
r |
ведет себя как exp( r) . |
|||||||||
|
Перейдем |
теперь |
в |
уравнении (3) |
к |
новой неизвестной |
функции |
u(r) : |
||||
|
l (r) r |
l 1 |
exp( r)u(r) . |
Идея |
такого перехода заключается в том, что |
функция |
u(r) |
|||||
оказывается «очищенной» от резких зависимостей и потому ее можно искать в виде достаточно
|
быстро сходящегося степенного |
ряда. Подставляя эту функцию в уравнение (3), получим |
|
уравнение для новой неизвестной |
функции u(r) : |
|
r 2u(r) (l 1) |
1 0 |
||
|
ru (r) 2u (r) (l 1) |
Ищем решение уравнения (4) в виде степенного ряда
(4)
где
Cn
— неизвестные коэффициенты. Подставляя ряд (5) в уравнение (4), получим
|
n(n 1)Cn r n 1 2(l 1) nCn r n 1 2 nCnr n (2l 1) Cnr n 0 |
|||
|
n 0 |
n 0 |
n 0 |
n 0 |
Меняя в первой и второй суммах индекс суммирования и собирая слагаемые с одинаковыми степенями r , получим рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда (5)
|
Cn 1 |
2 (l n 1) 2 |
Cn |
(7) |
||
|
2(l 1) |
n (n 1) |
||||
Чтобы ряд (5) был решением уравнения (3), рекуррентное соотношение (7) должно быть выполнено для всех номеров. Коэффициент C0 остается свободным.
В отличие уравнения для осциллятора и сферических функций, рекуррентное соотношение определят соседние коэффициенты, а значит, решение (5) не является общим. Это действительно так, поскольку одно из частных решений уравнения (3) при r 0 имеет вид
l (r) r l и, следовательно, не ищется в виде степенного ряда.
2
Для больших номеров n соотношение (7) сводится к
|
C |
2 |
C |
||
|
n 1 |
||||
|
n |
n |
|||
и, следовательно, для больших номеров ряд (5) имеет вид
(8)
|
2 |
|||||
|
n |
|||||
|
u(r) |
r |
n |
exp(2 r) |
||
|
n! |
|||||
|
n 0 |
|||||
(9)
|
Таким образом, решение уравнения (3) |
l (r) r |
l 1 |
exp( r)u(r) |
расходится при |
r . |
Следовательно, чтобы существовали ограниченные решения уравнения (3), ряд (5), (8) должен точно оборваться на каком-то шаге. В этом случае все слагаемые ряда, начиная с некоторого,
будут равны нулю, а функция u(r) является многочленом. Ряд (5), (8) точно обрывается, если
|
1 |
(10) |
|||||||||||
|
l n 1 |
||||||||||||
|
где n 0, 1, 2, … — целое неотрицательное число. |
||||||||||||
|
Таким образом, согласно формуле (10) собственные энергии электрона в атоме водорода |
||||||||||||
|
определяются соотношением |
||||||||||||
|
E |
e2 |
2 |
e2 |
, n 0, 1, 2, … , l 0, 1, 2, … |
||||||||
|
2a |
2a(n l 1)2 |
|||||||||||
|
и, следовательно, будут возрастать с ростом |
n . Поэтому число n имеет смысл радиального |
|||||||||||
|
квантового числа (здесь минимальное |
значение радиального квантового числа nr |
выбрано |
||||||||||
|
равным нулю). Следовательно, собственные |
значения оператора Гамильтона En l |
(которые |
||||||||||
|
r |
||||||||||||
|
можно отметить двумя индексами nr |
и l ) имеют вид |
|||||||||||
|
e |
2 |
|||||||||||
|
En ,l |
, |
nr |
0, 1, ,2, … , |
l 0, 1, 2, … |
(11) |
|||||||
|
2 |
||||||||||||
|
r |
2a(l n |
1) |
||||||||||
|
r |
||||||||||||
|
При этом функции u(r) являются многочленами степени nr |
(коэффициенты этих многочленов |
зависят от числа l , которое входит в рекуррентное соотношение (7)). В математике эти многочлены (с определенной нормировкой) называются обобщенными полиномами Лагерра.
Найдем несколько первых полиномов.
Сначала для уравнения с l 0 .
l 0 , nr 0 . Ряд обрывается на первом слагаемом, если 1. В этом случае unr 0,l 0 (r) C0 , где нулевой коэффициент ряда C0 может быть выбран любым.
3
|
l 0 , |
nr |
1. Ряд обрывается на втором слагаемом, если |
1/ 2 . В этом случае C1 |
C0 / 2, и, |
|||||||||
|
следовательно, un 1,l 0 (r) C0 (1 r / 2) . |
|||||||||||||
|
r |
|||||||||||||
|
l 0 , |
nr |
2 . Ряд обрывается на третьем слагаемом, если 1/ 3. В этом случае |
C1 2C0 |
/ 3, |
|||||||||
|
C 2C |
/ 7 |
, и, следовательно, u |
nr 2,l 0 |
(r) C (1 2r / 3 2r 2 / 7) . |
|||||||||
|
2 |
0 |
0 |
|||||||||||
|
Уравнение с l 1. |
|||||||||||||
|
l 1, n |
0 |
. Ряд обрывается на первом слагаемом, если 1/ 2 . В этом случае |
u |
(r) C . |
|||||||||
|
r |
nr 0,l 1 |
0 |
|||||||||||
|
l 1, nr |
1 |
. Ряд обрывается на втором слагаемом, если |
1/ 3. В этом случае C1 |
C0 / 6 |
, и, |
||||||||
|
следовательно, un 1,l 1 (r) C0 (1 r / 6) . |
|||||||||||||
|
r |
|||||||||||||
|
l 1, nr |
2 |
. Ряд обрывается на третьем слагаемом, если 1/ 4 . В этом случае |
C1 C0 / 4 |
, |
|||||||||
|
C2 C0 / 80 |
, и, следовательно, un 2,l 1 (r) C0 (1 r / 4 r |
2 |
/ 80) . |
||||||||||
|
r |
|||||||||||||
|
Аналогично можно найти решения, отвечающие любым квантовым числам nr и l . |
|||||||||||||
|
Как следует из формулы (11), уровни энергии частицы в кулоновском поле можно |
|||||||||||||
|
перечислить и с помощью одного целого положительного числа N l n 1 |
: |
E |
E |
N |
, при |
||||||||
|
r |
nr l |
этом, как следует из этого утверждения, имеет место вырождение состояний по моменту.
|
Состояния с разными |
l |
и |
nr |
вырождены, если сумма квантовых чисел |
l |
и |
nr |
для этих |
состояний одинакова. Кратность вырождения находится из следующих очевидных рассуждений.
|
Поскольку l, nr 0 , для уровня с данным |
N |
момент импульса l |
может принимать |
N значений |
||||
|
от l 0 до l N 1 . При |
этом для |
каждого |
значения l |
существуют |
2l 1 |
состояний, |
||
|
отличающихся проекций момента импульса на ось |
z . Поэтому данному уровню отвечают |
|||||||
|
N 1 |
N 1 |
N 1 |
||||||
|
G(N ) (2l 1) 2 l 1 (N 1)N N N 2 |
(12) |
|||||||
|
l 0 |
l 0 |
l 0 |
||||||
|
различных вырожденных собственных состояний. |
||||||||
|
Построим волновые функции нескольких первых собственных состояний. |
||||||||
|
N 1 (основное |
состояние). |
EN 1 e |
2 |
/ 2a . Значению N 1 отвечает единственная пара |
||||
|
квантовых чисел |
nr 0 и l 0 , поэтому основное состояние не вырождено. Волновая функция |
основного состояния не зависит от углов и имеет вид (напомним, что во всех нижеследующих
|
формулах (13)-(18) |
r r / a — безразмерный радиус-вектор). |
|||||
|
fnr 0,l 0,m 0 (r, , ) C exp( r)Y00 ( , ) |
1 |
exp( r) |
(13) |
|||
|
a3 |
||||||
4
|
N 2 (первый возбужденный уровень). EN 2 |
e |
2 |
/ 8a . |
Значению |
N 2 отвечает две пары |
|
квантовых чисел nr 0 , l 1 и nr 1, l 0 . |
Поэтому |
первый |
возбужденный уровень |
вырожден. Волновые функции состояний, отвечающих первому возбужденному уровню имеют вид
|
fnr 1,l 0,m 0 (r, , ) C 1 r / 2 exp( r / 2)Y00 ( , ) (одна функция) |
(14) |
|||||||||||
|
fn 0,l 1,m (r, , ) Cr exp( r / 2)Y1m ( , ) |
(три функции) |
(15) |
||||||||||
|
r |
||||||||||||
|
N 3 |
(второй возбужденный уровень). |
EN 2 e |
2 |
/18a . |
Значению N 3 отвечает три пары |
|||||||
|
квантовых чисел nr 0 и |
l 2 , nr 1 и |
l 1, |
nr |
2 и |
l 0 . |
Волновые функции состояний, |
||||||
|
отвечающих второму возбужденному уровню имеют вид |
||||||||||||
|
fn 2,l 0,m 0 (r, , ) C 1 2r / 3 2r |
2 |
/ 27 exp( r / 3)Y00 ( , ) |
(одна функция) |
(16) |
||||||||
|
r |
||||||||||||
|
fn 1,l 1,m (r, , ) Cr 1 r / 6 exp( r / 3)Y1m ( , ) |
(три функции) |
(17) |
||||||||||
|
r |
||||||||||||
|
fn 0,l 2,m (r, , ) Cr |
2 |
exp( r / 3)Y2m ( , ) |
(пять функций) |
(18) |
||||||||
|
r |
Обратим внимание на то, что все волновые функции каждого уровня содержат одинаковую экспоненту: exp( r) — для первого, exp( r / 2) — для второго, exp( r / 3) — для третьего и т. д. Это значит, что можно говорить об определенной локализации уровней энергии в
|
кулоновском поле в пространстве: r 1 — для первого уровня (напомним, что r |
здесь — |
|
безразмерная координата, в размерных единицах — r a , где a — боровский радиус), |
r 2 — |
для второго уровня, r 3 — для третьего уровня и т. д. Благодаря такой локализации функций в пространстве говорят о атомных оболочках — электрон в состояниях с меньшими энергиями находится в среднем ближе к центру поля, чем в состояниях с большими энергиями.
5
Модуль 4: Трехмерное движение Лекция 4-6. Атом водорода (продолжение). Случайное вырождение
Мы остановились на том, что собственные энергии и собственные функции электрона в атоме водорода определяются соотношением
Радиальная функция
|
e |
2 |
|||||||||||||
|
, |
n |
0, 1, ,2, … |
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||
|
2a(l n |
1) |
r |
||||||||||||
|
r |
||||||||||||||
|
f |
(r, , ) |
n |
,l |
(r) |
Y |
( , |
||||||||
|
r |
||||||||||||||
|
n |
,l ,m |
r |
lm |
|||||||||||
|
r |
||||||||||||||
определяется соотношением
,
где функция
nr
|
r)u |
,l |
(r) |
|
|
n |
|||
|
r |
|||
|
u(r) Cn r |
n |
||
, коэффициенты которого
определяются следующим рекуррентным соотношением1
|
C |
2 (l n 1) 2 |
C |
|
|
2(l 1) n (n |
|||
|
n 1 |
1) |
n |
|
|
( 1/(nr l 1) ). Давайте найдем несколько первых |
собственных |
||
|
функций и обсудим полученные результаты. |
1. Дискретное состояние с минимальной энергией отвечает моменту l
|
e |
2 |
||||
|
E |
|||||
|
n |
0,l 0 |
2a |
|||
|
r |
|||||
Это состояние является невырожденным.
2. Все остальные уровни энергии будут вырожденными. Во-первых, это вырождение по проекции, и, кроме того, как это следует из формулы (1), имеет место вырождение по моменту
(«случайное» вырождение). Действительно, состояния с разными nr и l , но такими, что у них одинаковая сумма nr l будут иметь одинаковую энергию, как это видно из формулы (1). В
|
частности, вырожденными являются состояния с |
n |
1, |
l 0 |
(второе s-состояние) и с n 0 , |
|||||
|
r |
r |
||||||||
|
l 1 — (первое p-состояние) |
|||||||||
|
e |
2 |
||||||||
|
E |
E |
||||||||
|
n |
1,l 0 |
0,l 1 |
|||||||
|
n |
8a |
||||||||
|
r |
r |
||||||||
1 Многочлены, определяющие радиальные волновые функции электрона называются полиномами Лагерра.
1
Вырождены также состояние) и с nr
|
состояния с nr 2 , l 0 (третье s-состояние), с |
nr 1, |
l 1 — (второе p- |
|
0 , l 2 (перовое d-состояние)^ |
|
e |
2 |
|||||||
|
E |
E |
E |
||||||
|
2,l 0 |
1,l 1 |
0,l 2 |
||||||
|
n |
n |
n |
18a |
|||||
|
r |
r |
r |
||||||
И вообще все уровни энергии электрона в атоме водорода перечисляются одним квантовым числом N l nr 1
|
e |
2 |
||||||
|
En ,l |
, |
(3) |
|||||
|
2aN |
2 |
||||||
|
r |
|||||||
|
которое принимает значения |
N 1, 2, 3,… (а для энергий состояний с определенным моментом |
||||||
|
главное квантовое число принимает значения |
N l 1, l 2, l 3,… ). Отмечу, что формулу (3) |
получил Нильс Бор еще до создания квантовой механики на основе своих постулатов, и
объяснил спектры излучения атомов. Структура собственных энергий электрона показана на рисунке, на котором я снова показал энергии состояний с разными моментами на разных осях
|
(слева от каждого уровня показана его энергия в единицах |
e |
2 |
/ a ). |
|
E |
||||
|
l 0 |
||||
|
E |
2,l 0 |
|||
|
n |
||||
|
r |
||||
|
E |
1,l 0 |
|||
|
n |
||||
|
r |
|
E |
|||
|
l 1 |
|||
|
E |
|||
|
1,l 1 |
|||
|
n |
|||
|
r |
|||
|
E |
|||
|
n |
0,l 1 |
||
|
r |
( (
1/ 32)1/18)
Enr
El0,l
33
E 0
( 1/ 32)
И т.д.
3. Найдем кратность вырождения уровней энергии электрона в атоме водорода. Сначала давайте посчитаем для нескольких первых уровней.
Основное состояние, N 1. Поскольку этому состоянию отвечает момент l 0 (кратность вырождения по проекции g 1) и оно невырождено ни с каким состоянием с другим моментом
имеем окончательно
gN 1 1
2
|
Первое возбужденное состояние, |
N 2 |
. Здесь имеет место вырождение второго s-состояния с |
первым p-состоянием. Поскольку кратности вырождения этих состояний по проекции момента равны 1 и 3 соответственно, получаем
gN 2 4
|
Второе возбужденное состояние, |
N 3 |
. Здесь имеет место вырождение третьего s-состояния |
со вторым p-состоянием и с первым d-состоянием. Поскольку кратности вырождения этих состояний по проекции момента равны 1, 3 и 5 соответственно, получаем
|
g |
N 3 |
9 |
||||||||
|
Видно, что зависимость должна быть такой |
gN N |
2 |
. Докажем это. |
|||||||
|
Поскольку N l nr 1, а радиальное квантовое число изменяется от nr 0 , |
то данному |
|||||||||
|
уровню энергии с главным квантовым |
числом |
N |
отвечают все состояния |
с |
моментами |
|||||
|
l 0, 1, …, N 1. Состояние с каждым l |
имеет кратность вырождения по проекции |
gl |
2l 1. |
|||||||
|
Поэтому кратность вырождения уровня |
с |
главным |
квантовым числом |
N |
равна |
сумме |
кратностей вырождения по проекции состояний со всеми моментами, входящими в состав этого уровня
|
gN |
(2l 1) 2l 1 2 (N 1)N |
N N 2 |
|||
|
N 1 |
N 1 |
N 1 |
|||
|
l 0 |
l 0 |
l 0 |
2 |
4. Дискретных состояний с каждым моментом существует бесконечно много. Действительно, из формулы (1) заключаем, что даже при nr мы будем получать состояние с отрицательной энергией, т. е. связанное дискретное состояние. Причем это справедливо для любых моментов,
что означает, что в атоме существуют дискретные состояния с любыми моментами. 5. Найдем волновые функции нескольких первых состояний.
Сначала состояния с моментом l 0 .
l 0 , nr 0 . 1 . Собственная энергия и собственная функция определяются формулами
l
0
,
|
E |
e2 |
, f |
(r, , ) |
e r |
||||
|
nr 0,l 0 |
2a |
nr 0,l 0,m |
||||||
|
nr |
1. 1/ 2 . Собственная энергия и собственная функция определяются формулами |
|
Enr 1,l 0 |
e2 |
r / 2 |
r |
||||
|
, fnr 1,l 0,m (r, , ) e |
1 |
. |
|||||
|
8a |
2 |
||||||
|
l 0 , nr |
2 . 1/ 3 . Собственная энергия и собственная функция определяются формулами |
3
2,l 0 l 1
,
(r, , )
.
l
1
,
nr
0
.
1/ 2
. Собственная энергия и собственная функция определяются формулами
l
1
,
|
E |
e2 |
, |
fn |
0,l 1,m (r, , ) |
re r / 2Y1m ( , ) (три состояния). |
||||
|
nr 0,l 0 |
8a |
||||||||
|
r |
|||||||||
|
nr |
1. 1/ 3 |
. Собственная энергия и собственная функция определяются формулами |
,
|
(r, , ) |
re |
r / 3 |
1 |
r |
Y |
( , ) |
|
|
6 |
1m |
||||||
(три состояния).
l 1,
nr 2 .
1/ 4
. Собственная энергия и собственная функция определяются формулами
|
e |
2 |
||||
|
E |
|||||
|
n |
2,l 0 |
32a |
|||
|
r |
|||||
Состояния с моментом
f
nr 2,l 1,m 2 .
(r, , )
r 4
. (три состояния)
l
2
,
nr
0
.
1/
3
. Собственная энергия и собственная функция определяются формулами
l 2 ,
|
e |
2 |
||||||||||
|
En 0,l 0 |
, |
fn 0,l 2,m (r, , ) |
2 |
r / 3 |
( , ) |
(пять состояний). |
|||||
|
18a |
r |
e |
Y2m |
||||||||
|
r |
r |
||||||||||
|
nr |
1. 1/ 4 . Собственная энергия и собственная функция определяются формулами |
,
|
(r, , ) |
2 |
e |
r / 4 |
1 |
r |
Y |
( , ) |
|
|
r |
||||||||
|
6 |
2m |
|||||||
(пять состояний).
И так далее.
6. Из формул (1), (2) следует, что все состояния с одной и той же энергией (независимо от
|
момента) затухают одинаково. Действительно затухание волновой функции при |
r |
определяется экспонентой exp( r) . Поэтому характерный радиус распределения вероятностей обнаружения электрона на том или ином расстоянии от ядра есть
|
aN a |
1/ 1 |
|||||
|
(в единицах боровского радиуса a |
2 |
2 |
) ). Но этот же самый параметр |
определяет и |
||
|
/(me |
||||||
|
энергию состояния. Для основного |
состояния 1 , следовательно, радиус |
атома равен |
|
боровскому радиусу. Для первого возбужденного уровня энергии |
1/ 2 |
(и для состояний с |
||
|
моментом l 0 |
и с моментом l 1). Поэтому характерный радиус атома в этом состоянии есть |
|||
|
aN 2 a |
1/ 2 |
4
т. е. два боровских радиуса. Для всех состояний второго возбужденного уровня следовательно, радиус атома есть
1/
3
, и,
т. е. три боровских радиуса. И т. д. Это значит, что все состояния, отвечающие одному уровню энергии, локализованы в пространстве более или менее на одном и том же расстоянии от ядра,
что дает возможность говорить об атомных оболочках.
5
Модуль 5: Спин Лекция 5-1. Матрицы операторов
На сегодняшней лекции мы совершенно забудем о физике и рассмотрим некий математический вопрос. Давайте докажем, что каждому линейному оператору можно поставить в соответствие некоторую матрицу из чисел, размерность которой совпадает с размерностью линейного пространства, в котором действует оператор, и с помощью которой можно найти как
действует этот оператор.
Пусть есть двумерное (для простоты) линейное пространство, в котором задан некоторый
|
ˆ |
|||
|
оператор A . Оператор задает закон, по которому каждому элементу x линейного пространства |
|||
|
(элементу, на который действует оператор) ставится в |
соответствие |
элемент y , |
который |
|
получается в результате действия: |
|||
|
ˆ |
(1) |
||
|
Ax y |
|||
|
Пусть в рассматриваемом линейном пространстве задан ортонормированный базис e |
и e , и |
||
|
1 |
2 |
||
|
пусть координаты элементов x и y в этом базисе есть |
x1 и x2 и y1 |
и y2 соответственно. |
Очевидно, задание закона (1) эквивалентно заданию соотношений между парами чисел, а такие соотношения для чисел суть функции. Это значит, что задание оператора эквивалентно заданию двух функций, дающих координаты получившегося в результате действия оператора элемента от координат того элемента, на который оператор действует:
|
y |
A (x |
, x |
) |
|||
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|||
|
y |
2 |
A (x |
, x |
) |
||
|
2 |
1 |
2 |
(2)
Каждому оператору, действующему в двумерном линейном пространстве, соответствуют какие две функции от двух переменных, в трехмерном — три функции от трех переменных.
Если оператор является линейным, то при действии его на сумму функций получится сумма результатов действия, числа можно выносить за знак оператора. Это значит, что функции (2), определяющие данный оператор, должны удовлетворять таким свойствам: их значения от суммы аргументов равны сумме значений от отдельных слагаемых, числа можно выносить за знак функции. А это значит, что функции A1 (x1, x2 ) и A2 (x1, x2 ) должны быть линейными функциями своих аргументов с нулевым свободным членом
|
y1 |
A1 (x1, x2 ) a11x1 |
a12 x2 |
(3) |
|
|
y2 A2 (x1, x2 ) a21x1 a22 x2 |
||||
1
