Логарифмы как решать найти корень уравнения

Как решать логарифмические уравнения – подробный разбор

Опубликовано 12.01.2018

Чтобы ответить на вопрос как решать логарифмические уравнения давайте вспомним, что такое логарифм. Логарифм – это показатель степени, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить число.

Например,

или число 3 (показатель степени) мы можем записать так  , таким образом 

Основание логарифма всегда положительное число, не равное 1. Число под знаком логарифма – строго больше нуля.

Теперь переходим непосредственно к вопросу – как решать логарифмические уравнения из профильного и из базового ЕГЭ.

Пример 1 Найдите корень уравнения.

согласно определению логарифма:

Все неизвестные переносим в левую часть уравнения (слева от =), а известные – переносим в правую сторону.

Получим:

Делаем проверку:

Ответ:

Пример 2. Найдите корень уравнения.

Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:

То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.

или

Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим

Делаем проверку:

Получаем:

Ответ:

Пример 3. Найдите корень уравнения

Используем следующее свойство логарифма:

Тогда получим:

Делаем проверку:

Ответ:

Пример 4. Найдите корень уравнения.

Используя определение логарифма, получим:

Проверим:

Ответ: .

Таким образом, теперь вы можете составить четкую инструкцию, как решать логарифмические уравнения. Она заключается в следующих шагах:

1. Сделать справа и слева от знака равенства (=) логарифмы по одному основанию, избавившись от коэффициентов перед логарифмами, используя свойства логарифмов.
2. Избавляемся от логарифмов, используя правило потенцирования. Остаются только числа, которые были под знаком логарифма.
3. Решаем получившееся обычное уравнение – как найти корень уравнения смотрите здесь.
4. Делаем проверку
5. Записываем ответ.

( 4 оценки, среднее 5 из 5 )

Как решать логарифмические уравнения

Уравнения, содержащие в том или ином виде логарифмы от некоторого выражения, зависящего от (х), называются логарифмическими.

Давайте сразу же рассмотрим пример, так будет легче всего разобраться.

Пример 1
$$ log_{2}(x)=log_{2}(5)$$

Мы видим слева и справа логарифмы с одинаковыми основаниями, равными (2). Вполне логично предположить, что логарифмы будут равны, если будут равны выражения, стоящие под логарифмом (их называют аргументами) – то есть (х=5). Мы только что решили логарифмическое уравнение!

На самом деле, абсолютно такая же логика применима при решении почти всех логарифмических уравнений – если у нас сравниваются два логарифма с одинаковыми основаниями, то мы можем избавиться от логарифмов, приравнять их аргументы и решить получившееся уравнение.

Пример 2
$$ log_{3}(2x+5)=log_{3}(11) $$

Опять имеем два логарифма с одинаковым основанием (3). Избавляемся от логарифмов, приравнивая аргументы:

$$ 2x+5=11,$$
$$ 2x=6,$$
$$ x=3.$$

Кажется, что все очень просто. Но есть несколько непростых нюансов, которые необходимо обсудить. Давайте посмотрим еще один пример:

Пример 3
$$ log_{2}(1+3x)=log_{2}(2x-3) $$

Смотрим на основания – они одинаковые, значит убираем логарифмы и решаем уравнение:

$$1+3x=2x-3,$$
$$3x-2x=-3-1,$$
$$x=-4.$$

Мы решили уравнение, но я хочу позанудствовать и проверить, действительно ли получившийся корень является корнем исходного уравнения. Для этого подставим его в логарифмическое уравнение:

$$ log_{2}(1+3*(-4))=log_{2}(2*(-4)-3),$$
$$log_{2}(-11)=log_{2}(-11).$$

Мы получили слева и справа два одинаковых логарифма, вот только эти логарифмы НЕ СУЩЕСТВУЮТ, потому что нельзя взять логарифм от отрицательного числа.

Действительно, давайте вспомним определение логарифма (log_{a}b) – это в какую степень нужно возвести (a), чтобы получить (b). При этом определение справедливо не для всех (a) и (b), а только для (a>0), (b>0), (a neq 1). Подробнее про логарифм и его свойства можно почитать здесь.

Значит, с нашим решением что-то не так – мы нашли корень, подставили его в уравнение, но получили логарифм от отрицательного числа, который не существует!

Тут самое время вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ). В логарифмах нужно всегда внимательно следить за тем, чтобы не нарушались ограничения, которые вытекают из определения логарифма. Рассмотрим логарифм от некоторой функции:

$$log_{a}f(x)$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для него будет задаваться системой неравенств:

$$ begin{cases}
f(x)>0, \
a>0, \
a neq 1.
end{cases}$$

И при решении любых логарифмических уравнений или неравенств всегда первым делом записываем ОДЗ для каждого логарифма в уравнении.
В нашем примере 3, ОДЗ будет выглядеть вот так:

$$ begin{cases}
1+3x>0, \
2x-3>0. \
end{cases}$$

Решаем получившуюся систему

$$ begin{cases}
x>-frac{1}{3}, \
x>frac{3}{2}. \
end{cases}$$

Находим (х), удовлетворяющие одновременно обоим неравенствам, и получаем в итоге ОДЗ:
$$x>frac{3}{2}.$$

Вспоминаем, что решая это уравнение мы получили корень (x=-4), который нашему ОДЗ не удовлетворяет. Поэтому в примере 3 корней нет.

И так, всегда пишем ОДЗ!

Следующая трудность при решении логарифмических уравнений возникает, когда у нас сравниваются логарифмы с разными основаниями:

Пример 4
$$ log_{2}(x)=log_{4}(9).$$

Запишем ОДЗ: (x>0).

У логарифма слева основание (2), а у логарифма справа основание (4). Чтобы воспользоваться способом решения, аналогичным первым трем примерам, необходимо привести логарифмы к одинаковому основанию.

$$ log_{2}(x)=log_{2}(3).$$

Ого, как я такое получил?
Просто воспользовался формулой возведения в степень основания и аргумента логарифма – если возвести в одинаковую степень, то логарифм от этого не поменяется:

$$ log_{a}(b)=log_{a^n}(b^n).$$

В нашем примере возведем основание и аргумент в степень (frac{1}{2}):

$$ log_{4}(9)=log_{4^{frac{1}{2}}}(9^{frac{1}{2}})=log_{2}(3).$$

$$ log_{2}(x)=log_{2}(3).$$

Ну теперь основании у логарифмов одинаковые и можно с чистым сердцем приравнять аргументы, как мы делали до этого.
$$x=3.$$

Кстати, решить уравнение (log_{2}(x)=log_{4}(9))
можно было и по-другому – привести к основанию (4) логарифм, стоящий слева в уравнении:

Опять воспользуемся свойством логарифма:
$$ log_{a}(b)=log_{a^n}(b^n);$$
$$log_{2}(x)=log_{2^2}(x^2)=log_{4}(x^2);$$
Подставим в исходное уравнение наши преобразования:
$$ log_{4}(x^2)=log_{4}(9);$$
Ура, у нас слева и справа логарифмы с одинаковым основанием – вычеркиваем логарифмы:
$$x^2=9;$$
Решаем аккуратно простейшее квадратное уравнение. Не забываем, что у него будет 2 корня!
$$x=pm3;$$

Опа, у нас получилось два корня. А когда мы решали первым способом был один корень! Что за дела?

Вспоминаем, что в самом начале к уравнению мы записывали ОДЗ (х>0). Тогда корень (x=-3) не удовлетворяет ОДЗ. Обратите внимание, что без учета ОДЗ в этом случае, мы бы получили неправильный ответ.

Ответ: (x=3.)

Подробнее про свойства логарифмов можно посмотреть тут. Логарифмические уравнения с разными основаниями встречаются в ЕГЭ регулярно, поэтому важно уметь применять все свойства логарифмов.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 5
$$log_{5}(x)=2$$

Как видим, в примере есть только логарифм в левой части равенства, а справа стоит просто число 2. Давайте постараемся привести к такому же виду, как и в прошлых примерах. То есть сделаем так, чтобы справа появился логарифм с основанием 5.

Оказывается, любое число (a) можно представить в виде логарифма с нужным вам основанием (b) по формуле:
$$a=log_{b}(b^a);$$
Эту формулу можно просто запомнить. А въедливым читателям, я бы рекомендовал посидеть и подумать откуда берется данное выражение. Подсказка – оно напрямую вытекает из определения логарифма. Задайте себе вопрос – «В какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент?»

И так, воспользуемся формулой и распишем 2-ку:
$$2=log_{5}(5^2);$$
Подставим в уравнение:
$$log_{5}(x)=log_{5}(5^2);$$
Ура, у нас два логарифма с одинаковыми основаниями, теперь можно приравнять подлогарифмические выражения.
$$x=5^2;$$
$$x=25.$$

Пример 6
$$log_{3}(x+2)=0$$

Начинаем с ОДЗ:
$$x+2>0;$$
$$x>-2.$$

Приступаем к решению уравнения. Что делать в случае, когда справа стоит (0)? Ничего страшного в этом нет, действуем по прежнему плану – представим (0) в виде логарифма по нашей формуле:
$$a=log_{b}(b^a);$$
$$log_{3}(x+2)=log_{3}(3^0);$$
Вспоминаем, что любое число в нулевой степени это единица.
$$log_{3}(x+2)=log_{3}(1);$$
$$x+2=1;$$
$$x=-1.$$
Корень удовлетворяет ОДЗ – записываем ответ.
Ответ: (x=-1).

Подведем итоги. В большинстве случаев, для того, чтобы решить простейшее логарифмическое уравнение, необходимо привести логарифмы слева и справа к одинаковому основанию. Затем приравнять подлогарифмические выражения и решить получившееся уравнения. При этом ни в коем случае не забываем про ОДЗ. На ЕГЭ, если вы вдруг запишите в ответ хотя бы один корень, не удовлетворяющий ОДЗ, то вам поставят за это задание 0 баллов.

В общем виде формула для решения логарифмов выглядит так:
$$ log_{a}(f(x))=log_{a}(g(x)) qquad (*)$$
где (a>0) – основание логарифмов, а (f(x)) и (g(x)) – какие-то выражения, зависящие от (x).
$$ begin{cases}
f(x)>0, или \
g(x)>0. \
end{cases}$$
$$f(x)=g(x).$$

Обратите внимание на «или» в ОДЗ. Оказывается можно накладывать условие больше нуля только на одную функцию: либо на f(x), либо на g(x) – смотря какое неравенство вам кажется легче для решения. Дело в том, что если одна из функций будет больше нуля, то и другая автоматически тоже будет будет больше, ведь мы ищем корни, при которых (f(x)=g(x)).

Для того, чтобы закрепить материал, решим еще одно логарифмическое уравнение:

Пример 7
$$2*log_{4}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$

Здесь все несколько сложнее, чем в предыдущих примерах. Для того чтобы представить наше уравнение в виде (*), нужно избавиться от множителя (2) перед первым логарифмом, кроме этого, нам мешается отдельное слагаемое (4), и в придачу ко всем этим неприятностям у логарифмов разные основания!

Но перед тем как решать, запишем ОДЗ:
$$ begin{cases}
4+x>0, \
x-2>0. \
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x>-4, \
x>2. \
end{cases}$$

Находим пересечение и в итоге ОДЗ получается:
$$ x>2.$$

Приступаем непосредственно к решению уравнения. Самое главное, нам необходимо привести все логарифмы к одинаковому основанию, и, по возможности, привести к виду (log_{a}f(x)=log_{a}g(x)).
Здесь не обойтись без свойств логарифмов.
Воспользуемся формулой вынесения степени из основания логарифма:
$$log_{a^n}(b)=frac{1}{n}*log_{a}(b)$$
$$log_{4}(4+x)=log_{2^2}(4+x)=frac{1}{2}*log_{2}(4+x)$$

Подставим в уравнение
$$2*frac{1}{2}*log_{2}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$
$$log_{2}(4+x)=4-log_{2}(x-2);$$
Теперь у нас хотя бы логарифмы с одинаковым основанием. Далее преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись формулами:
$$ a=log_{b}(b^a);$$
$$log_{a}(b)-log_{a}(c)=log_{a}(frac{b}{c})$$
$$4-log_{2}(x-2)=log_{2}(2^4)-log_{2}(2-x)=log_{2}(16)-log_{2}(2-x)=log_{2}(frac{16}{2-x});$$
Подставим получившееся выражение в уравнение:
$$log_{2}(4+x)=log_{2}(frac{16}{2-x});$$

Ура, теперь у нас слева и справа в уравнении логарифмы с одинаковым основанием (2).
Избавляемся от логарифмов и решаем:
$$4+x=frac{16}{x-2};$$
Перекинем все налево и приведем к общему знаменателю
$$4+x-frac{16}{x-2}=0;$$
$$frac{(4+x)(x-2)}{x-2}—frac{16}{x-2}=0;$$
$$frac{4x-8+x^2-2x–16}{x-2}=0;$$
$$frac{x^2+2x-24}{x-2}=0;$$
Дробь равна 0, когда числитель равен 0
$$x^2+2x-24=0;$$
$$D=(2^2-4*(-24)=4+96=100;$$
$${x}_{1,2}=frac{-2pm 10}{2};$$
$${x}_{1}=4;$$
$${x}_{2}=-6;$$
Мы получили два корня. Но не забываем про ОДЗ. Выше мы его посчитали и получилось, что (x>2). Значит второй корень не подходит.
Ответ: (x=4).

Логарифмические уравнения с переменным основанием

Рассмотри теперь уравнение, в котором есть, так называемый, логарифм с переменным основанием. То есть логарифм, у которого в основании стоит какое-то выражение, зависящее от (х).

Пример 8
$$log_{1-x}(x^2+3x+1)=1;$$

В основании логарифма стоит ((1-х)), это переменное основание, потому что я могу подставлять различные значения (х) и каждый раз основание логарифма будет разным. Ничего страшного в этом нет, начинаем решать, руководствуясь тем же принципом, что и в предыдущих примерах – стараемся привести обе части уравнения к виду двух логарифмов с одинаковым основанием. Для этого нужно представить (1) справа в виде логарифма с основанием ((1-х)).

Но первым делом выпишем ОДЗ, не забывая накладывать условия и на основание логарифма, так как оно зависит от (х):
$$ begin{cases}
x^2+3x+1>0, \
1-x>0, \
1-xneq1.\
end{cases} qquad (**)$$

Теперь приступаем к решению самого уравнения. Выпишем еще раз формулу, по которой преобразуем правую часть:

$$a=log_{b}(b^a);$$
Где (а=1), а (b=1-x):
$$1=log_{1-x}(1-x)^1=log_{1-x}(1-x);$$
Подставим в уравнение
$$log_{1-x}(x^2+3x+1)=log_{1-x}(1-x);$$

Два логарифма с одинаковым основанием – можем приравнять аргументы:
$$x^2+3x+1=1-x;$$
$$x^2+4x=0;$$
$$x(x+4)=0;$$
$$x=0;$$
$$x=-4.$$
Получили два корня, проверим удовлетворяют ли они ОДЗ, подставив их в (**). Корень (0) не удовлетворяет последнему неравенству в ОДЗ, а ((-4)) удовлетворяет всем условиям.
Ответ: x=-4.

Замена переменной в уравнениях с логарифмами

Разберем еще один частый тип логарифмических уравнений – это уравнения с заменой переменной. Общий принцип заключается в том, чтобы привести все логарифмы в уравнении к одинаковому основанию и одинаковому аргументу, а потом сделать замену.

Проще разобрать на примерах:

Пример 9

$$log^2_{2}(x)+6=5*log_{2}(x)$$

Как и любой пример на логарифмы, начинаем с ОДЗ:

$$x>0.$$

В уравнении один из логарифмов в квадрате, поэтому представить в виде равенства двух логарифмов, как мы делали в предыдущих примерах, не получится. Кроме этого, замечаем, что у нас оба логарифма абсолютно одинаковые (у них одинаковые основания, и одинаковые аргументы).

Попробуем сделать замену:
$$t=log_{2}(x)$$
Тогда наше уравнение после замены примет вид:
$$t^2-5t+6=0;$$
$$D=25-24=1;$$
$$t_{1}=frac{5+1}{2}=3;$$
$$t_{2}=frac{5-1}{2}=1;$$
И сделаем обратную замену, получив два простых логарифмических уравнения:
$$t_{1}=log_{2}(x)=3;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^3);$$
$$x=8.$$
$$t_{2}=log_{2}(x)=1;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^1);$$
$$x=2.$$
Обязательно, не забываем проверить, удовлетворяют ли корни ОДЗ ((x>0)). Оба корня подходят, записываем ответ.
Ответ: (x=8; , x=2.)

Пример 10
$$ log_{2}left(frac{8}{x}right)-frac{10}{log_{2}(16x)} = 0;$$

Как обычно, начинаем с ОДЗ:
$$ begin{cases}
frac{8}{x}>0, \
log_{2}(16x)neq0,\
16x>0.\
end{cases}$$

Решаем каждое из получившихся неравенств в системе:
$$ begin{cases}
x>0, \
xneqfrac{1}{16},\
x>0.\
end{cases}$$
В итоге ОДЗ будет: (xin(0;frac{1}{16})cup(frac{1}{16};infty)).

Посмотрим теперь на сам пример. Видим два логарифма, у них одинаковые основания, что хорошо. Но функции, стоящие под логарифмами, разные. Постараемся при помощи свойств логарифма сделать одинаковые аргументы, чтобы потом сделать замену.

Воспользуемся формулами суммы и разности логарифмов с одинаковыми основаниями:
$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+log_{a}(c);$$
$$log_{a}(frac{b}{c})=log_{a}(b)-log_{a}(c);$$
$$log_{2}left(frac{8}{x}right)=log_{2}(8)-log_{2}(x)=3-log_{2}(x);$$
$$log_{2}(16x)=log_{2}(16)+log_{2}(x)=4+log_{2}(x);$$
Подставим наши преобразования в исходное уравнение
$$3-log_{2}(x)-frac{10}{4+log_{2}(x)}=0;$$
Теперь в уравнении все логарифмы одинаковые, модем сделать замену. Пусть (t=log_{2}(x)).
$$3-t-frac{10}{4+t}=0;$$
Приводим к общему знаменателю
$$frac{(3-t)(4+t)-10}{4+t}=0;$$
$$frac{-t^2-t+2}{4+t}=0;$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$-t^2-t+2=0;$$
$$t_{1}=1;$$
$$t_{2}=-2;$$
Делаем обратную замену:
$$t_{1}=log_{2}(x)=1;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}(2^1);$$
$$x=2.$$
$$t_{2}=log_{2}(x)=-2;$$
$$log_{2}(x)=log_{2}({2}^{-2});$$
$$x=frac{1}{4}.$$
Сверяем с ОДЗ, видим, что оба корня подходят, записываем ответ.
Ответ: (x=2; , x=frac{1}{4}.)

Пример 11
$$log_{2}(x^2+4x)+log_{0,5}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4)$$

Область допустимых значений:
$$ begin{cases}
x^2+4x>0, \
x^2+3x-4>0,\
x>0.\
end{cases}$$

$$ begin{cases}
x(x+4)>0, \
x>0,\
(x-1)(x+4)>0.\
end{cases}$$

Зеденым цветом показано решение первого неравенства в системе, синим – второго и фиолетовым третьего. Область, которая находится на пересечении сразу всех трех промежутков заштрихована бордовым.

Решаем методом интервалов, и находим пересечение решений всех неравенств в системе:

В итоге получаем ОДЗ: (x>1).

Приступаем к решению самого уравнения. Первым делом приведем все логарифмы к одинаковому основанию (2). Для этого нужно преобразовать только второе слагаемое в уравнении:
$$0,5=frac{1}{2}=2^{-1};$$
$$log_{2}(x^2+4x)+log_{2^{-1}}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4);$$
Вынесем степень из основания, воспользовавшись формулой (log_{a^n}(b)=frac{1}{n}log_{a}(b)).
$$log_{2}(x^2+4x)-log_{2}(frac{x}{4})+2=log_{2}(x^2+3x-4);$$
В первом слагаемом под логарифмом вынесем общий множитель (х). А квадратный многочлен под логарифмом справа разложим на множители при помощи дискриминанта:
$$log_{2}(x(x+4))-log_{2}(frac{x}{4})+2=log_{2}((x-1)(x+4));$$
И опять воспользуемся формулами суммыразности логарифмов:

$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+log_{a}(c);$$
$$log_{a}left(frac{b}{c}right)=log_{a}(b)-log_{a}(c);$$
$$log_{2}(x)+log_{2}(x+4)-log_{2}(x)+log_{2}(4)+2=log_{2}(x-1)+log_{2}(x+4);$$
Сократим подобные слагаемые и посчитаем (log_{2}(4)=2):
$$4=log_{2}(x-1);$$
$$log_{2}(x-1)=4;$$
$$log_{2}(x-1)=log_{2}(2^4);$$
$$x-1=16;$$
$$x=17.$$
Сверяем корень с ОДЗ – подходит. Записываем ответ.
Ответ: (x=17).

Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.

Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

.

При этом .

Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:

.

Основное логарифмическое тождество:

,

.

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

.

Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.

Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.

Простейшие логарифмические уравнения

1.Решите уравнение:

Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.

Получаем:

Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при .

Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.

2. Решите уравнение:

В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.

Ответ: -124

3. Решите уравнение:

Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.

;

;

;

4. Решите уравнение:

Область допустимых значений: Значит,

Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.

Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом .

.

Ответ: 21.

5. Решите уравнение:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:

Ответ: –4.

Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.

6.Решите уравнение: .

Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Ответ: 19.

7.Решите уравнение: .

Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.

ОДЗ:

Теперь можно «убрать» логарифмы.

— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие .

Ответ:

8. Решите уравнение .

ОДЗ уравнения:

Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.

Вернемся к переменной х:

9.Решите уравнение:

Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.

Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.

«Отбрасываем» логарифмы.

Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену

Вернемся к переменной х. Получим:

. Мы нашли все корни исходного уравнения.

Ответ: .

Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.

В продолжении темы.

Для начала сразу обозначим, что способов решения логарифмических уравнений есть несколько. Я опишу два. Если у вас есть свой способ, поделитесь в комментариях.

Уже несколько лет, мне перестали попадаться дети, которые понимают, что такое логарифм. Поэтому решение логарифмических уравнений даётся им с трудом. Приходится идти на всякие хитрости и ухищрения, чтобы ребенок при решении написал всё, что нужно, не понимая зачем. Впрочем, не будем слишком сильно растягивать вступление.

Итак, для начала обозначим два типа логарифмических уравнений, про которые будем говорить.

То есть, уравнение с которым мы работаем мы должны привести к одному из данных типов, используя свойства логарифма. Если не приводится, можно использовать метод замены переменной или еще что-нибудь нашаманить. Принципиальной разницы между этими двумя типами нет: из первого можно сделать второй, из второго первый. Но на практике удобней их разграничивать.

Теперь вспомним, что логарифмическая функция определена не на всём множестве значений переменной, а только на положительных значениях. Это значит, что при решении логарифмического уравнения, нам придется затрагивать тему отбора корней. Это может быть ОДЗ, может быть проверка или что-то еще.

Рассмотрим решение первого типа уравнений, которое часто называют простейшее логарифмическое уравнение. Если основание логарифма положительное и не равно единицы (в противном случае уравнение не решается), то данное уравнение имеет один корень.

Оговоримся, что нахождение ОДЗ или ограничение на выражение под логарифмом, в данном случае, излишне, потому что степень всегда положительна, при положительном основании. Но, когда вы работаете с детьми, вы должны оценить риски. Если вы скажете им, что нахождение ОДЗ в уравнениях подобного типа не нужно, они могут запомнить, что ОДЗ не нужно вообще и возникнут проблемы. Всё зависит от того с какими детьми мы разговариваем.

Теперь рассмотрим схему решений уравнения второго типа. Здесь без ОДЗ мы уже не обойдемся. Используя второй способ, мы тоже находим область допустимых значений, но в неявном виде.

В первом способе при нахождении ОДЗ достаточно только одного какого-то неравенства, потому что затем мы приравниваем функции и вторая также автоматически станет положительной. Но опять же нельзя отбросить второе условие сразу же, есть риск, что дети останутся без осознания почему мы это делаем. Возникнет много вопросов, а при решении неравенств эти вопросы опять вылезут.

И наконец, самое интересное, какой способ лучше. Буду повторять это стопятьсот тысяч раз. Учителю необходимо учитывать конкретную ситуацию и, исходя из нее, решать, что говорить детям. Я категорически против того, чтобы выбрать один способ и везде и всюду использовать только его. Это ужасная узость мышления, которая опасна в жизни и ужасно неуместна в математике. Детей необходимо учить оценивать трудоемкость каждого способа и давать им возможность выбирать.

Я хочу привести несколько примеров, иллюстрирующих необходимость ОДЗ, для всех кто сомневается, что это важное понятие.

По-моему, в уравнениях подобного типа ОДЗ стоит находить всегда в начале решения. Потому что, когда мы начнем его решать, можно забыть, что оно имело какие-то ограничения и, получив ответ с облегчением записать все полученные числа. В данном случае ОДЗ – множество положительных чисел.

Дальше преобразуем наше уравнение, чтобы свести его к одному из типов.

Теперь посмотрим, что будет, если мы не станем искать ОДЗ, а будем использовать переход к равносильной системе.

Надеюсь проблема видна всем. И подобное “расширение” ОДЗ будет происходить всегда, при решении уравнения с преобразованиями.

Думаю, на этом мы пока остановимся, спасибо всем кто дочитал до этого момента. Еще несколько примеров рассмотрим в следующей статье. Не переключайтесь!

План урока:

Простейшие логарифмические уравнения

Уравнения вида log_a f(x) = log_a g(x)

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Логарифмирование уравнений

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Неравенства вида log_a x < b

Неравенства вида log_a f(x) <log_a g(x)

Простейшие логарифмические уравнения

Рассмотрим уравнение

которое обычно называют простейшим логарифмическим уравнением, его единственным корнем будет число х = а^с.

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Ответ: – 3.

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x⁴ к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t<s), то этим двум значениям на оси Оу будет соответствовать числа log_at и log_as, причем окажется, что log_at лежит ниже, чем log_as. Это значит, что log_at<log_as:

Из картинки можно предположить, что неравенства log_at<log_as и t<s равносильны (если а > 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 <x< 17 выполняется на промежутке (0; 17)

Ответ: (0; 17).

Задание. Решите нерав-во

Очевидно, что первую часть этого двойного нерав-ва можно просто отбросить, ведь условие 0 < 29 справедливо в любом случае:

Ситуация несколько меняется, когда основание лог-фма оказывается меньше единицы, то есть 0 <а < 1. В таком случае функция у = log_a x уже является не возрастающей, а убывающей. Тогда, если мы отметим на оси Ох такие точки tи s, что t<s, то окажется, что величина log_at будет находиться на оси Оу выше, чем log_as, то есть log_at>log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0<а< 1 от логарифмического нерав-ва log_at>log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 <t<s.

Грубо говоря, при переходе от логарифмического нерав-ва к нелогарифмическому знак нерав-ва сохраняется, если основание лог-фма больше единицы. Но в противном случае знак нерав-ва меняется на противоположный.

Задание. Решите нерав-во

Задание. Решите нерав-во

Неравенства вида log_ax<b

В случае, когда в одной из частей неравенства стоит логарифм, а в другой – обычное число, следует просто заменить число логарифмом, чтобы свести его к уже знакомым неравенствам.

Задание. Решите нерав-во

Решение.

Представим число 0,5 как логарифм с основанием 4. Так как 0,5 = log₄ 2, мы можем переписать нерав-во в виде:

Задание. Решите нерав-во

От него можно перейти к нелогарифмическому нерав-ву. Так как основание логарифмов 1/3 меньше единицы, то знак нерав-ва должен измениться:

Неравенства вида log_af(x) <log_ag(x)

В более сложных случаях в обоих частях неравенства под знаком логарифма находятся выражения с переменными. Алгоритм решения в таком случае остается неизменным – надо перейти к нелогарифмическому нерав-ву и при этом не забыть учесть, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число.

Задание. Решите нерав-во

Решение. Основание логарифма, число 3, больше единицы, а потому мы можем перейти к такому двойному нерав-ву:

Для удобства дальше запишем его в виде системы неравенств:

Задание. Решите нерав-во

Так как выражения под знаком логарифма должны быть положительны, то мы можем записать сразу два нерав-ва:

Решим отдельно последнее нерав-во, которое является квадратным. Для этого найдем нули квадратичной функции, стоящей в правой части

Таким образом, нерав-во 0 <x²– 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Ответ: (0; 5)⋃(40; 45).