Магический квадрат 2 класс математика как составить

Формирование логического мышления младших школьников – важная составная часть образовательного процесса. Развивать логическое мышление – это значит учиться сравнивать, находить общие свойства и различия, составные части, соединить эти части в одно целое, выделять существенные свойства предметов, делать правильные выводы из наблюдений или фактов, обобщать, доказывать, излагать мысли последовательно, обоснованно.

В школе главным интеллектообразующим предметом является математика. Знания, умения и навыки, полученные школьниками на уроках математики, развиваются, расширяются, углубляются, находя практическое применение при хорошо организованной внеурочной работе. Для внеурочных занятий наиболее интересными формами работы будут различные дидактические математические игры, логические задачи, викторины, олимпиады разного уровня, материалы по истории математики. Также увлекательным видом является работа с магическими квадратами. В младших классах в учебниках математики встречаются дополнительные задания с магическими квадратами, но только на определение, является ли квадрат магическим (волшебным). А дети могут справиться с заданиями и более повышенного уровня. Например, самим создать магический квадрат. На это отводится 9-10 занятий.

1 занятие. Знакомство с магическими (волшебными) квадратами.

В первом занятии дети знакомятся с квадратом Ло ШУ, определяют, почему квадрат называют магическим (волшебным).

Надо обратить внимание детей не только на то, что сумма чисел по столбцам, строкам и диагоналям равна , но и на то, что данные числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9 имеют определенный порядок.

Если сложить все числа магического квадрата, затем разделить эту сумму на 3, то получится сумма квадрата.

На этом занятии можно дать несколько квадратов и попросить определить, являются ли они магическими

2 занятие. На этом занятии дети знакомятся с другим способом определения, является ли квадрат магическим.

А1	А2	А3
А4	А5	А6
А7	А8	А9

(А4 + А2) : 2 = А9	(3 + 1) : 2 = 2
(А2 +А6) : 2 = А7	(1+7) : 2 = 4
(А6 +А8) : 2 = А1	(7 + 9) : 2 = 8
(А4 + А8) : 2 = А3	(9 + 3) : 2 = 6

3 занятие. Нахождение недостающих чисел магического квадрата.

Дается всего 4 числа магического квадрата. По трем из них можно найти сумму. Если известна сумма, можно найти и остальные числа.

4 занятие. Среднее числа магического квадрата.

1. На этом занятии дети должны придти к выводу, что среднее число магического квадрата в 3 раза меньше суммы трех чисел.

2. Среднее число магического квадрата стоит в центре ряда данных чисел.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Сумма чисел каждого столбца, строки и диагонали (сумма квадрата) равна 15. Значит, среднее число квадрата должно быть в 3 раза меньше, т.е. равно 5.

5 занятие. Нахождение недостающих чисел магического квадрата по 3 данным числам.

Данные 3 числа должны быть расположены так, чтобы по ним можно было найти среднее число магического квадрата.

Сначала по данным числам находим сумму квадрата, затем по сумме – среднее число квадрата.

6 занятие. Нахождение недостающих чисел магического квадрата по 3 числам. В данном случае, дается среднее число. Сперва находят сумму квадрата, затем другие числа.

7 занятие. Дается только среднее число.

1. Знаем, что среднее число стоит в центре ряда чисел магического квадрата. . . . . 14 . . . .

2. Зная это и то, что числа в ряду имеют определенный порядок, находим остальные числа ряда. Например,

6 8 10 12 14 16 18 20 22

3. Находим сумму квадрата 14 ∙ 3 = 42

6 8 10 12 14 16 18 20 22

4. Создаем тройки связанных между собой чисел

6 . . . 14 . . . 22

8 . . . 14 . . . 20

10 . . .14 . . . 18

12 . . . 14 . . . 16

5. Число 22 не стоит в углу. Можно ставить его в середине первой строки.

6. 22 + 8 + 12 = 42 Из этого следует, что на первой строке вместе с 22 стоят 8 и 12.

6… 14…22

8…14…20

10 …14…18

12…14…16

8 занятие. Дается только сумма магического квадрата.

Дети по данной сумме сперва находят среднее число. Дальше работа ведется как на седьмом занятии.

9 занятие. Дети сами «строят» магический квадрат.

1. Берем ряд девяти чисел по определенному порядку. Например, 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. Находим сумму этих чисел 2+3+4+5+6+7+8+9+1+10= 54

54 : 3 = 18

18 – это сумма квадрата . Значит, среднее число это 6

18 : 3 = 6

Можно и по-другому найти среднее число, затем и сумму.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

в центре ряда чисел стоит 6. Это среднее число, умножаем его на 3

6 ∙ 3 = 18 получаем сумму.

3. Находим связанные между собой тройки чисел

2 … 6…10

3…6…9

4…6…8

5…6…7

4. Число 10 не стоит в углу. 10 может стоять в середине первой строки или первого столбца.

5. Рядом с 10 на первом столбце стоят 3 и 5 3+10+5 = 18

6.

18 – 5 – 6 = 7,

18 – 3 – 6 = 9

В младших классах работа ведется с магическими квадратами третьего порядка. Дети с удовольствием, азартом работают над заданиями с магическими квадратами. Они не только доказывают, что квадрат магический, но и сами создают свои магические квадраты.

Секреты магического квадрата:

1. Чтобы найти сумму магического квадрата, находим сумму всех его чисел и делим на 3.
2. Среднее число магического квадрата меньше суммы в 3 раза.
3. Среднее число магического квадрата стоит в центре данного ряда чисел.
4. Ряд чисел магического квадрата имеет определенный порядок.
5. Если увеличить или умножить числа магического квадрата на одно и то же число, квадрат остается магическим.
6. Сумма двух магических квадратов также является магической.

Работу над последними двумя утверждениями можно проводить, исходя из заинтересованности детей.

Среди поклонников логических игр большой популярностью пользуется магический квадрат. Он представляет собой таблицу, заполненную особым образом цифрами. Причём сумма чисел одинакова по всем направлениям. Эту величину принято называть константой. Существует множество вариантов таких головоломок разной степени сложности.

История и современное применение

Первые подобные таблицы использовались ещё в Древней Греции и Китае. Это подтверждено археологическими находками. Арабы называли квадраты магическими, так как верили, что они обладают волшебными свойствами и могут защитить от многих напастей.

В середине XVI в. вопросом о том, как работает магический квадрат, заинтересовались математики в Европе. Они начали активно исследовать загадочные сочетания цифр. Учёные стремились вывести общие принципы построения квадратов и найти всё множество возможных вариантов.

В современной общеобразовательной школе разные виды магических квадратов используются на уроках математики. Они способствуют развитию логического мышления и вызывают у детей живой интерес.

С их помощью школьники учатся планировать свою работу и контролировать её. В клетки можно вписывать не только отдельные цифры, но и математические выражения. Задачи на эту тему часто предлагаются на математических олимпиадах. Решать такие числовые задачи можно и онлайн.

Квадрат нечётного порядка

Среди несложных магических квадратов по математике выделяют разновидности чётного и нечётного порядка. Первая группа подразделяется на таблицы одинарной и двойной чётности.

Начальным шагом во всех случаях будет определение магической константы. Делается это с помощью специальной формулы [n * (n2 + 1)] / 2. Разобраться с принципом решения задачи этого класса можно на самом простом примере. Для этого выстраивается таблица из 9 ячеек. В неё нужно расставить цифры от 1 до 9. Дальнейший алгоритм:

Подсчитывается сумма, которая должна получиться в каждой строке. Для этого используется формула: 3 * (32 +1) / 2 = 3 * 10 / 2. Ответом будет число 15.

Числа в ячейках расставляются так, чтобы сумма их была равна 15 в каждой строчке. Это требует смекалки и воображения.

В средней клетке верхней строки вписывается 1.

Каждое следующее число ставится справа по диагонали вверх. Поставить цифру 2 нельзя, так как выше нет строк. Если мысленно добавить сверху ещё один квадрат, цифра 2 окажется в его нижнем правом углу. Значит, цифра 2 вписывается в нижнюю правую клетку.

По тому же принципу вписывается цифра 3. Она попадает в среднюю ячейку слева.

Если нужная клетка уже занята, очередной символ вписывается ниже предыдущего. Таким образом, 4 ставится под 3.

Записывается цифра 5 по диагонали вправо и вверх, а 6 в верхний угол справа.

Поскольку место цифры 7 уже занято, она вписывается ниже 6.

Восьмёрка занимает место в левом нижнем углу.

Оставшуюся клетку занимает девятка.

Общий алгоритм выполнения задания: каждый следующий знак пишется вверх и правее. Если там нет клетки — дорисовывается ещё один воображаемый квадрат. Если ячейка занята — число записывается ниже предыдущего. Таким способом можно составить любой квадрат нечётного порядка, включая самые сложные, с больши́м числом ячеек.

Одинарная чётность

Магические квадраты могут иметь порядок одинарной или двойной чётности. Для каждого случая предусмотрена отдельная методика вычисления. У таблиц одинарной чётности количество клеток в одной строке или столбце делится пополам, но не делится на четыре. Наименьшим квадратом, отвечающим этому требованию, будет прямоугольник 6х6. Фигуру 2х2 построить и заполнить невозможно.

Вычисление магической константы

Первый этап расчётов проводится по формуле [n * (n2 + 1)] / 2, где символом n обозначено число клеток в одном ряду. Если взять за пример квадрат 6х6, расчёт будет выглядеть следующим образом: [6 х (36 + 1)]: 2 = (6 х 37): 2 = 222:2.

Волшебная постоянная прямоугольника со стороной 6 клеток равна 111. Общая сумма чисел от 1 до 36 в каждой строке и в разных направлениях должна быть равна 111.

Рисунок делится на 4 одинаковые части. В каждой будет по 9 клеток (3х3). Каждую часть обозначают латинскими буквами: А — верхняя левая, С — верхняя правая, D — нижняя левая и В — нижняя правая часть. Если квадрат имеет другой размер, n делится на 2, чтобы узнать точную величину каждой из 4 частей.

Дальнейшие действия

Следующий шаг — вписывание в каждую часть ¼ всех чисел. В квадрант А вносятся числа от 1 до 9, в квадрант В — от 10 до 18, в части С — от 19 до 27, в D — от 28 до 36.

Последовательность вписывания такая же, как при заполнении простейшего нечётного квадрата:

Минимальное число, которым начинается заполнение ячеек, всегда ставится в верхнем ряду посередине. У каждой части эта ячейка находится отдельно.

Каждая часть заполняется как новый математический объект. Даже если есть пустое место в другом квадрате, его в этих случаях игнорируют.

В блоках А и D на этой стадии решения сумма в строках и столбиках будет отличаться от постоянной. Чтобы это исправить, некоторые числа меняют местами между собой.

Алгоритм действий:

Начинать нужно с крайней левой клетки в верхней строке. Если фигура имеет размеры 6х6, выделяется только первая верхняя строка части А. В ней должно быть вписано число 8. Если величина таблицы составляет 10х10, выделяют 2 первые клетки в верхнем ряду. В них стоят 17 и 24.

Из выделенных клеток формируется промежуточный квадрат. В таблице с количеством строк и столбцов 6х6 он будет состоять из 1 клетки. Его условно обозначают А1.

Если размер 10х10, в верхней строке выделяется 2 первые ячейки. Вместе с ними выделяется ещё 2 клетки, во второй строке получается поле из 4 прилежащих друг к другу ячеек.

В следующей строке первая ячейка пропускается, затем выделяется столько клеток, сколько было в промежуточной таблице А1. Полученную фигуру можно обозначить А2.

Таким же способом строят промежуточный квадрат А3.

Эти 3 промежуточных фигуры формируют выделенную область А.

Далее переходят в квадрант D и формируют обособленную область D.

Цифры, которые были вписаны в выделенных треугольниках А и D, нужно поменять между собой местами. После этого сумма в каждой строке должна быть одинаковой. Она равняется вычисленной магической константе.

Двойной порядок

Если головоломка имеет порядок двойной чётности, количество окон в каждой горизонтальной строчке или вертикальном столбце должно делиться на 4. Минимальной фигурой с такими свойствами будет таблица 4х4.

Решать магические квадраты двойной чётности следует по тому же алгоритму, что и остальные. Первый шаг при заполнении — вычисление магической константы. Формула применяется та же, что для расчёта других квадратов. Для фигуры со стороной 4 клетки значение константы будет равно 34.

В каждом углу основного поля выделяются промежуточные таблицы. Их размер должен быть равен n/4. Эти области обозначают буквами A, B, C, D, располагая их против хода часовой стрелки. Величина промежуточных фигур зависит от размера исходного квадрата:

Если длина стороны составляет 4 ячейки, промежуточные зоны будут иметь по 1 клетке.

В таблице 8х8 эти области включают 4 элемента (2х2).

В квадрате 12х12 выделяются промежуточные фигуры размером 3х3.

Следующий этап — создание центрального промежуточного квадрата. Величина его стороны должна составлять n/2. Эта фигура не должна накладываться на периферические, но при этом соприкасаться с ними углами.

Далее в квадрат вносят цифры слева направо. Их допускается ставить только в свободные ячейки, которые входят в состав промежуточных областей. Например, при заполнении таблицы 4х4 порядок действий будет таким:

В первой сверху строке и первом слева столбце пишется 1. В верхней клетке четвертого столбика — 4.

В центр второй горизонтальной строчки ставятся цифры 6 и 7.

В четвёртой строке слева пишется 13, а справа — 16.

По этому же принципу цифрами заполняются оставшиеся клетки. Числа проставляются слева в порядке уменьшения. Если всё сделано верно, сумма всех чисел в любой строчке будет одинаковой.

Предыдущая

МатематикаАлгоритм Евклида – формулы, правила и примеры решения задач

Следующая

МатематикаМинор матрицы – способы, порядок и примеры вычисления

Магические квадраты в курсе математики начальной школы

Введение

С незапамятных времён, научившись считать, наши далёкие предки заметили, что числа имеют различные загадочные свойства, которые они не могли объяснить. Одним из проявлений таких свойств являются, так называемые, магические квадраты. Эти особенные квадраты всегда привлекали внимание не столько своими математическими, сколько скрытыми в них, по мнению многих, мистическими свойствами. В современном мире от мистики уже давно отказались, но так и не отказались от теории магических квадратов, которая теперь нашла своё новое применение в науке и обучении.

Интерес сегодня вызывают не только сами магические квадраты, но и такой актуальный вопрос: «Почему данные математические объекты изучаются не только учеными, но и встречаются даже в курсе математики начальной школы?». Я решила выяснить, что же это за квадраты такие и почему их изучают и младшие школьники, и великие ученые.

Исходя из этого, цель работы заключается в том, чтобы изучить магические квадраты и дать теоретическое обоснование включения магических квадратов в курс математики начальной школы.

Для реализации поставленной цели нами были сформулированы следующие задачи:

Ø  дать определение понятию «магический квадрат»;

Ø  изучить историю развития магических квадратов;

Ø  рассмотреть различные виды магических квадратов

Ø  изучить примеры использования магических квадратов в различных областях деятельности человека;

Ø  проанализировать учебники математики и методические материалы для начальной школы;

Ø  найти и проанализировать задания по данной теме для начальной школы;

Ø  определить цели использования магических квадратов в курсе математики начальной школы;

Ø  наметить перспективы дальнейшего изучения данной темы.

Магические квадраты

Магический квадрат — это квадратная таблица n x n, заполненная n2 числами, таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой.

Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали, – его постоянной.

Самый известный магический квадрат:

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные… Как только их не называли. – ”Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими – магическими»” – писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн… Магические квадраты – удивительные представители воображаемого мира чисел.

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий.

Из истории возникновения и развития магических квадратов.

Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло Шу (ок. 2200 г. до н. э.). Она имеет размер 3×3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15. Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек, украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях.

Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)

В XIII в. китайский математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37):

27	29	2	4	13	36
9	11	20	22	31	18
32	25	7	3	21	23
14	16	34	30	12	5
28	6	15	17	26	19
1	24	33	35	8	10

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Два средних числа в нижнем ряду указывают дату создания гравюры (1514).

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Квадраты Дьюдени и Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4×4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:

3 61 19 37 43 31 5 41 7 11 73 29 67 17 23 13

Виды магических квадратов

Существует классификация магических квадратов, причем классификаций несколько по различным признакам.

Классификация по номеру порядка магического квадрата, то есть по числу клеток в строке и столбце в магическом квадрате:

Ø  нечетные магические квадраты, то есть их порядок – нечетное число;

Ø  четно-четные магические квадраты, то есть порядок делится и на 2 и на 4;

Ø  четно-нечетные магические квадраты, то есть порядок делится на 2, но не делится на 4.

Классификация магических квадратов по различным свойствам:

Ø  Нормальный магический квадрат – магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2;

Ø  Полумагический квадрат – квадрат, заполненный числами от 1 до n2., называется полумагическим, если сумма чисел по горизонталям и вертикалям равна магической постоянной, а по диагоналям это условие не выполняется;

Ø  Aссоциативный, или симметричный магический квадрат, такой магический квадрат, у которого сумма любых двух чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу: 1+n2;

Ø  Пандиагональный (дьявольский) магический квадрат – такой магический квадрат, в котором сумма чисел по разломанным диагоналям также равна константе квадрата;

Ø  Идеальный магический квадрат – магический квадрат, который одновременно пандиагональный и ассоциативный;

Ø  Совершенный магический квадрат – магический пандиагональный квадрат порядка 4k;

Ø  Бимагический квадрат – такой магический квадрат, который остаётся магическим при замене всех его элементов на их квадраты. Бимагических квадратов 3,4,5 порядка не существует;

Ø  Мультимагический квадарат – обобщение бимагических квадратов на произвольную степень n.

Применение магических квадратов

Сегодня очень актуальным становится вопрос о защите информации. С помощью магических квадратов можно закодировать информацию. Например, зашифровать текст. Расположив буквы согласно числам магического квадрата, получаем фразу «БУДУ В СЕМЬ». Такие задания часто встречаются в учебниках по математике начальных классов.

Так же очень популярна японская головоломка судоку, прародителем которой можно считать Магический квадрат. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Не меньшую популярность завоевали судоку и в сети Интернет.

Англичане используют площадку для игры в шаффлборд, размеченную в виде магического квадрата.

Магические квадраты используются в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе – дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат.

Магические квадраты – это элементы нанотехнологии: фирма «Toshiba», разрабатывая качественные телевизионные экраны, пришла к выводу, что цветовые ячейки выгодно располагать по принципу магических квадратов. В этом случае резко повышаются качество и четкость изображений, цветовые переходы.

Магические квадраты в курсе математики начальной школы

Задания с использованием магических квадратов есть в действующих учебниках математики для начальных классов, в частности, в учебниках авторского коллектива под руководством М.И. Моро и учебниках Л.Г. Петерсон.

Пример 1

Учебник М.И.Моро

Пример 2.

Учебник Л.Г.Петерсон

Пример 3

Учебник Дорофеева и Козловой

Выполнив и проанализировав, все эти задания мы пришли к выводу, что решение магических квадратов способствует:

Ø  формированию и закреплению вычислительных навыков;

Ø  развитию логического мышления;

Ø  развитию умения планировать и контролировать свою деятельность;

Ø  развитию любознательности;

Ø  развитие познавательного интереса к предмету математики и истории её развития.

Заключение

Трудно понять классическую музыку без подготовки. Нелегко воспринимать абстрактную живопись, не имея представления о её законах. То же можно сказать о числовых узорах.

Удивительная, поистине, магическая красота, содержащаяся в магических квадратах, влечёт к себе лучшие умы человечества в течение тысячелетий. Понять её не всякому дано, но один раз осознав стройность и безжалостную строгость чисел, связанных узами магии, можно получить огромное удовольствие. Умение видеть красоту и в математике необходимо прививать детям с раннего возраста, поэтому магические квадраты достаточно часто встречаются в курсе математики начальной школы.

В ходе работы было определено понятие «магический квадрат», рассмотрена история развития магических квадратов и различные виды магических квадратов. Мы выяснили, что магические квадраты применяются в различных областях деятельности человека. Проанализировали учебники математики и пришли к выводу, о том, что использование магических квадратов в курсе математики начальной школы неслучайно.

Таким образом, цели и задачи работы достигнуты.

Составление магических квадратов представляет собой отличную гимнастику для ума. Еще выдающийся математик Леонард Эйлер говорил: «Составление магических квадратов представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи размещения, сочетания и симметрии».

На этом этапе изучение данной темы не заканчивается, магические квадраты таят в себе еще много интересного, в дальнейших моих планах подробно изучить другие виды магических квадратов, разобрать способы их построения, и использовать эту тему на уроках в начальной школе.

“Магические квадраты”
Сложи числа в каждом квадрате по строкам, по столбцам, из угла в угол. Если суммы равны, то такой квадрат называется магическим.