Математическая сумма как найти - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 24 декабря 2021 года; проверки требуют 9 правок.

У этого термина существуют и другие значения, см. сумма.

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество) в математике — результат применения операции сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.), либо результат последовательного выполнения нескольких операций сложения (суммирования). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

{displaystyle (a+b)cdot c=acdot c+bcdot c,}

{displaystyle ccdot (a+b)=ccdot a+ccdot b,}

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы объединяемых множеств, взятые без повторений.

Также сложение (нахождение суммы) может быть определено для более сложных алгебраических структур (сумма групп, сумма линейных пространств, сумма идеалов, и другие примеры). В теории категорий определяется понятие суммы объектов.

Сумма натуральных чисел[править | править код]

Пусть в множестве находится элементов, образующих подмножество , и элементов, образующих подмножество (, a и b — натуральные числа). Тогда арифметической суммой a+b будет количество элементов , образующих подмножество , полученное при дизъюнктном объединении двух исходных подмножеств

Алгебраическая сумма[править | править код]

Сумму математически обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма).

${displaystyle sum _{imathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

где: i — индекс суммирования; a_i — переменная, обозначающая каждый член в серии; m — нижняя граница суммирования, n — верхняя граница суммирования. Обозначение «i = m» под символом суммирования означает, что начальное (стартовое) значение индекса i эквивалентно m. Из этой записи следует, что индекс i инкрементируется на 1 в каждом члене выражения и остановится, когда i = n.^[1]

В программировании данной процедуре соответствует цикл for.

Примеры записи

${displaystyle sum _{imathop {=} 1}^{100}i=1+2+3+4+{...}+99+100}$

${displaystyle sum _{imathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86}$

Границы могут опускаться из записи, если они ясны из контекста:

${displaystyle sum a_{i}^{2}=sum _{imathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.}$

Итератор может быть выражением — тогда переменная оформляется со скобками как функция « f() ». Например, сумма всех f(k) при натуральных числах в определённом диапазоне:

${displaystyle sum _{0leq k<100}f(k).}$

Сумма f(x) элементов множества :

${displaystyle sum _{xmathop {in } S}f(x).}$

Сумма всех положительных чисел , являющихся делителями числа :

${displaystyle sum _{d|n};mu (d).}$

Под знаком итеративного суммирования может использоваться несколько индексов, например:

${displaystyle sum _{i,j}=sum _{i}sum _{j},}$

причём набор из нескольких индексов можно сократить в виде так называемого мультииндекса.

Бесконечная сумма[править | править код]

В математическом анализе определяется понятие ряда — суммы бесконечного числа слагаемых.

Примеры последовательных сумм[править | править код]

1. Сумма арифметической прогрессии:

$sum _{{i=0}}^{n}(a_{0}+bcdot i)=(n+1){frac {a_{0}+a_{n}}{2}}$

2. Сумма геометрической прогрессии:

$sum _{{i=0}}^{n}a_{0}cdot b^{i}=a_{0}cdot {frac {1-b^{{n+1}}}{1-b}}$

3. $sum limits _{{k=1}}^{n}k^{3}=left[{frac {n(n+1)}{2}}right]^{2}=left(sum limits _{{k=1}}^{n}kright)^{2}$

4. $sum _{{i=0}}^{n}{left({frac {1}{p}}right)}^{i}={frac {p}{p-1}}left(1-{frac {1}{p^{{n+1}}}}right),quad pneq 1,ngeq 0$

Доказательство

$sum _{{i=0}}^{n}{left({frac {1}{p}}right)}^{i}=sum _{{i=0}}^{n}{1cdot {{frac {1}{p^{i}}}}}=1cdot {frac {1-{left({frac {1}{p}}right)}^{{n+1}}}{1-{frac {1}{p}}}}={frac {{frac {p^{{n+1}}-1}{p^{{n+1}}}}}{{frac {p-1}{p}}}}={frac {p^{{n+1}}-1}{p^{n}(p-1)}}={frac {p}{p-1}}left(1-{frac {1}{p^{{n+1}}}}right)$

5. $sum _{{i=0}}^{n}ip^{i}={frac {np^{{n+2}}-(n+1)p^{{n+1}}+p}{(p-1)^{2}}},quad pneq 1$

6. $sum _{{i=0}}^{n}p^{i}=(p-1)sum _{{i=0}}^{{n-1}}((n-i)p^{i})+n+1,quad pneq 1$

Например, при

получается ${textstyle sum _{i=0}^{n}10^{i}=9cdot sum _{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}$

, а это последовательность равенств следующего вида:

1=9cdot 0+1,quad 11=9cdot 1+2,quad 111=9cdot 12+3,quad 1111=9cdot 123+4,quad 11111=9cdot 1234+5

Неопределённая сумма[править | править код]

Неопределённой суммой $a_{i}$ по называется такая функция f(i) , обозначаемая
${textstyle sum _{i}^{}a_{i}}$ ,
что ${textstyle forall i:f(i+1)-f(i)=a_{i}}$ .

«Дискретная» формула Ньютона — Лейбница[править | править код]

Если найдена «производная» ${displaystyle a_{i}=f(i+1)-f(i)}$ , то ${textstyle sum _{i=a}^{b}a_{i}=f(b+1)-f(a)}$ .

Этимология[править | править код]

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, а также появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (Σ) первым ввёл Леонард Эйлер в 1755 году, его поддержал Лагранж, однако долгое время с этим символом конкурировал знак S. Окончательно обозначение Σ для суммы утвердили уже в XVIII веке Фурье и Якоби^[2].

Кодировка[править | править код]

В Юникоде есть символ суммы U+2211 ∑ n-ary summation (HTML ∑ • ∑).

См. также[править | править код]

Сложение
Произведение

Примечания[править | править код]

↑ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Chapter 2: Sums // Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition) (англ.). — Addison-Wesley Professional, 1994. — ISBN 978-0201558029. (недоступная ссылка)
↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. — 3-е изд. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 175. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

Литература[править | править код]

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.

Источник

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

$$ frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = frac{A}{2n+1} + frac{B}{2n+3} = frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)} $$

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ A(2n+3)+B(2n+1) = 1 $$

Раскрываем скобки:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

$$ begin{cases} n^0: &2A+2B=0 \ n^1: &3A+B=1 end{cases}Rightarrow begin{cases} A=frac{1}{2} \ B=-frac{1}{2} end{cases} $$

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

$$ a_n =frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=frac{1}{2} frac{1}{2n+1} – frac{1}{2} frac{1}{2n+3} $$

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + … + a_n $$

$$ a_1 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) $$

$$ a_2 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) $$

$$ a_3 = frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) $$

$$ …………………………………. $$

$$ a_{n-1}=frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) $$

$$ a_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Замечание

Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_{n-1} $.

Обратите внимание, чтобы составить $ a_{n-1} $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.

Итого, получаем:

$$ S_n = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{5}-frac{1}{7}bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{7}-frac{1}{9}bigg ) + … $$

$$ … + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1} bigg ) + frac{1}{2} bigg (frac{1}{2n+1}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

Выносим дробь одну вторую $ frac{1}{2} $ за скобки:

$$ = frac{1}{2} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{5}+frac{1}{5}-frac{1}{7}+frac{1}{7}-frac{1}{9} … + $$

$$ + … frac{1}{2n-1} – frac{1}{2n+1} + frac{1}{2n+1} – frac{1}{2n+3} bigg) = $$

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

$$ S_n = frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) $$

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

$$ S=lim_{ntoinfty} S_n = lim_{ntoinfty} frac{1}{2}bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = $$

$$ = frac{1}{2} lim_{ntoinfty} bigg (frac{1}{3}-frac{1}{2n+3} bigg ) = frac{1}{2} cdot frac{1}{3} = frac{1}{6} $$

Источник

Для того, чтобы
вычислить сумму ряда, нужно просто сложить элементы ряда заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда. Итак,
частичной суммой ряда
(обозначается S_n)
называется сумма первых n
слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно
вычислить как предел
частичной суммы:

S∞i013ilimn∞Snlimn∞130131132…13n

Таким образом, для
вычисления суммы ряда, необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда
(S_n).
В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую
геометрическую прогрессию
со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых
n
элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Snb1qn1q1

здесь
b₁ –
первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и
q –
это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма
S_n
для нашего ряда равна:

Sn111312332

Тогда сумма нашего ряда
(S)
согласно определению, данному выше, равна:

S∞i013ilimn∞Snlimn∞3232

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа “sum diverges”), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для
n-ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).

Источник

Download Article

An arithmetic sequence is a series of numbers in which each term increases by a constant amount. To sum the numbers in an arithmetic sequence, you can manually add up all of the numbers. This is impractical, however, when the sequence contains a large amount of numbers. Instead, you can quickly find the sum of any arithmetic sequence by multiplying the average of the first and last term by the number of terms in the sequence.

1
Make sure you have an arithmetic sequence. An arithmetic sequence is an ordered series of numbers, in which the change in numbers is constant.^[1] This method only works if your set of numbers is an arithmetic sequence.
- To determine whether you have an arithmetic sequence, find the difference between the first few and the last few numbers. Ensure that the difference is always the same.
- For example, the series 10, 15, 20, 25, 30 is an arithmetic sequence, because the difference between each term is constant (5).
2
Identify the number of terms in your sequence. Each number is a term. If there are only a few terms listed, you can count them. Otherwise, if you know the first term, last term, and common difference (the difference between each term) you can use a formula to find the number of terms. Let this number be represented by the variable .
- For example, if you are calculating the sum of the sequence 10, 15, 20, 25, 30, , since there are 5 terms in the sequence.
Advertisement
3

Identify the first and last terms in the sequence. You need to know both of these numbers in order to calculate the sum of the arithmetic sequence. Often the first numbers will be 1, but not always. Let the variable $a_{{1}}$ equal the first term in the sequence, and $a_{{n}}$ equal the last term in the sequence.

1
Set up the formula for finding the sum of an arithmetic sequence. The formula is $S_{{n}}=n({frac {a_{{1}}+a_{{n}}}{2}})$ , where $S_{{n}}$ equals the sum of the sequence.^[2]
- Note that this formula is indicating that the sum of the arithmetic sequence is equal to the average of the first and last term, multiplied by the number of terms.^[3]
2
3

Calculate the average of the first and second term. To do this, add the two numbers, and divide by 2.^[5]
4

Multiply the average by the number of terms in the series. This will give you the sum of the arithmetic sequence.^[6]

1

Find the sum of numbers between 1 and 500. Consider all consecutive integers.
2

Find the sum of the described arithmetic sequence. The first term in the sequence is 3. The last term in the sequence is 24. The common difference is 7.
3

Solve the following problem. Mara saves 5 dollars the first week of the year. For the rest of the year, she increases her weekly savings by 5 dollars every week. How much money does Mara save by the end of the year?

Add New Question

Question

How can I determine whether the sequence is arithmetic?

A sequence is arithmetic if there is a constant difference between any term and the terms immediately before and after it: for example, if each term is 7 more than the term before it.
Question

Why do I need to divide by 2?

You do this so that you can find the average of the two numbers. For example, if you were finding the average between 7, 12, and 8, you would add them up (27) and divide them by the number of values you have. In this case, you have three numbers, so you’d divide 27 by 3 to get an average of 9. In the case of the sum of an arithmetic sequence, you have two numbers that you are finding the average of, so you divide it by the amount of values you have, which is two.
Question

What is the sum of all integers from 1 to 50?

LyKaxandra Caimoy

Community Answer

You will find that 1 + 50 = 2 + 49 = 3 + 48 (and so on). Multiply the sum, which is 51, by half of the last term. You have the equation 51 × 25 = 1275. The sum is therefore 1275.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

Thanks for submitting a tip for review!

About This Article

Article SummaryX

To find the sum of an arithmetic sequence, start by identifying the first and last number in the sequence. Then, add those numbers together and divide the sum by 2. Finally, multiply that number by the total number of terms in the sequence to find the sum. To see example problems, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 604,662 times.

Did this article help you?

Источник

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Пуская задано числовую последовательность $a_1, a_2,dots {,a}_n,dots ,$ тогда выражение:

$a_1+ a_2+dots {+a}_n+dots =sumlimits^{infty }_{n=1}{a_n}$называется числовым рядом.

Введем понятия частичных сумм ряда: $S_1= a_1, S_2=a_1+a_2, S_3=a_1+a_2+a_3,dots ,S_n=a_1+a_2+a_3+dots + a_n, dots .$ Эти частичные суммы образуют некоторую числовую последовательность $left(S_nright).$

Определение 1

Если последовательность частичных сумм $S_n$ ряда при неограниченном возрастании $n$, стремится к некоторому числу $S$, то есть:

${mathop{lim}_{nto infty } S_n= }S,$то этот ряд называется сходящимся, а число $S$ — его суммой.

В этом случае записывают:

[S=a_1+ a_2+dots {+a}_n+dots =sumlimits^{infty }_{n=1}{a_n}.]

В противоположном случае ряд называют расходящимся. Если

${mathop{lim}_{nto infty } S_n= }infty ,$то говорят, что расходящийся ряд имеет бесконечную сумму.

Определение 2

Последовательность $left{a_{n} right}$ называется ограниченной сверху, если существует такое число М, $Min $R, что $a_n

Определение 3

Последовательность $left{a_{n} right}$ называется ограниченной, если она ограничена как снизу, так и сверху, т.е. существует такое число М $ > 0$.

($Min $R), что $forall n:, , , left|a_{n} right|le M$.

Определение 4

Число а называется пределом последовательности $left{a_{n} right}$,если для любого сколь угодно малого положительного числа $varepsilon $найдётся такой номер $n_{0} in $N, зависящий от $varepsilon $, что для всех натуральных чисел $nge n_{0} $ выполняется неравенство $left|a_{n} -aright|

«Сумма ряда» 👇

Тогда $a=mathop{lim }limits_{nto infty } a_{n} , $означает, что $forall {rm varepsilon }>0, , , exists n{}_{0} =n_{0} ({rm varepsilon })in $N такое, что для всех $nge n_{0} ,, , nin $N: $left|a_{n} -aright|

Приведём некоторые свойства сходящихся последовательностей.

Если последовательность имеет предел, то он единственен.
Если последовательность имеет конечный предел, то эта последовательность ограничена.
Если последовательность возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.
Если последовательность возрастает (убывает) и не ограничена сверху (снизу), то она имеет бесконечный предел + $infty$ (- $infty$).

Основные свойства сходящихся рядов

Рассмотрим ряд

$a_1+ a_2+dots {+a}_n+dots $ (1)

и откинем от него $n$ первых членов:

$a_{n+1}+ a_{n+2}+dots {+a}_{n+k}+dots .$ (2)

Ряд (2) называют $n$-м остатком ряда (1).

Ряды (1) и (2) одновременно сходятся или расходятся, причем если ряд (1) сходится до $S$, то ряд (2) сходится к

[R_n=S-left(a_1+ a_2+dots {+a}_nright).]

Следствие 1

Присоединение или откидывание конечного числа первых членов не влияет на сходимость или расходимость ряда.

Следствие 2

Остаток ряда $R_nto 0,$ если $nto infty $.

Действительно, если в равенстве $R_n= S-S_n$ перейти в пределу при $nto infty $, то

[{mathop{lim}_{nto infty } R_n }=mathop{lim}_{nto infty }left(S-S_nright)=S-S=0.]

Теорема 2

Если ряд (1) сходится и его сумма $S$, то ряд

$sumlimits^{infty }_{n=1}{{ca}_n},$где $c=const$, также сходится и его сумма равняется $cS.$

Теорема 3

Сходящиеся ряды можно пожно почленно суммировати и отнимать, тоесть если ряды:

$sumlimits^{infty }_{n=1}{a_n,} sumlimits^{infty }_{n=1}{b_n,}$сходятся и имеют соответствующие суммы A, B, то сходятся также и ряды

$sumlimits^{infty }_{n=1}{{(a}_npm b_n)} $и суммы суммы их равняются $A pm B$.

Пример 1

Найти сумму ряда $sum limits _{n=1}^{infty }frac{1}{left(3n-2right)left(3n+1right)} $.

Решение. Подсчитаем $S_{n} $:

[begin{array}{c} {S_{n} =frac{1}{1cdot 4} +frac{1}{4cdot 7} +…+frac{1}{left(3n-2right)left(3n+1right)} =frac{1}{3} left(left(1-frac{1}{4} right)+left(frac{1}{4} -frac{1}{7} right)+…+left(frac{1}{left(3n-2right)} -frac{1}{left(3n+1right)} right)right)=} \ {=frac{1}{3} left(1-frac{1}{left(3n+1right)} right).} end{array}]

По определению $S=mathop{lim }limits_{nto infty } S_{n} =mathop{lim }limits_{nto infty } frac{1}{3} left(1-frac{1}{left(3n+1right)} right)=frac{1}{3} $.

Пример 2

Найти сумму ряда $sum limits _{n=1}^{infty }left(sqrt{n+2} -2sqrt{n+1} +sqrt{n} right) $.

Решение.

[begin{array}{c} {S_{n} =left(sqrt{3} -2sqrt{2} +1right)+left(sqrt{4} -2sqrt{3} +sqrt{2} right)+left(sqrt{5} -2sqrt{4} +sqrt{3} right)=} \ {=left(sqrt{n+1} -2sqrt{n} +sqrt{n-1} right)+left(sqrt{n+2} -2sqrt{n+1} +sqrt{n} right)=1-sqrt{2} +sqrt{n+2} -sqrt{n+1} .} end{array}]

Пользуясь определением суммы ряда и раскрывая неопределённость вида $left(infty -infty right)$, при вычислении предела, получим:

[begin{array}{c} {mathop{lim }limits_{nto infty } left(1-sqrt{2} +sqrt{n+2} -sqrt{n+1} right)=1-sqrt{2} +mathop{lim }limits_{nto infty } frac{n+2-n-1}{sqrt{n+2} +sqrt{n+1} } =} \ {=1-sqrt{2} +mathop{lim }limits_{nto infty } frac{1}{sqrt{n+2} +sqrt{n+1} } =1-sqrt{2} .} end{array}]

Пример 3

Исследовать на сходимость ряд

[sum limits _{n=1}^{infty }, frac{1}{n(n+1)} =frac{1}{2} +frac{1}{6} +frac{1}{12} +frac{1}{20} +…]

и найти его сумму.

Решение. Обозначим $frac{1}{n(n+1)} =a_{n} $ общий член ряда. Тогда частичная сумма ряда $S_{n} =a_{1} +a_{2} +…+a_{n} =frac{1}{2} +frac{1}{6} +, …, +frac{1}{n(n+1)} $. Так как $frac{1}{n(n+1)} =frac{1}{n} -frac{1}{n+1} $, то $S_{n} =left(1-frac{1}{2} right)+left(frac{1}{2} -frac{1}{3} right)+ldots +left(frac{1}{n} -frac{1}{n+1} right)=1-frac{1}{n+1} $. Тогда $mathop{lim }limits_{nto infty } S_{n} =mathop{lim }limits_{nto infty } left(1-frac{1}{n+1} right)=1, ,

Пример 4

Исследовать на сходимость ряд

[sum limits _{n=1}^{infty }, frac{4}{4n^{2} +4n-3} =frac{4}{5} +frac{4}{21} +frac{4}{45} +…]

и найти его сумму.

Решение. Обозначим $frac{4}{4n^{2} +4n-3} =a_{n} $ общий член ряда. Тогда,частичная сумма ряда $S_{n} =frac{4}{5} +frac{4}{21} +, …, +frac{4}{4n^{2} +4n-3} $. Так как

$frac{4}{4n^{2} +4n-3} =frac{1}{2n-1} -frac{1}{2n+3} $, то

$S_{n} =left(1-frac{1}{5} right)+left(frac{1}{3} -frac{1}{7} right)+left(frac{1}{5} -frac{1}{9} right)ldots +left(frac{1}{2n-3} -frac{1}{2n+1} right), +left(frac{1}{2n-1} -frac{1}{2n+3} right)=$$=1+frac{1}{3} -frac{1}{2n+1} -frac{1}{2n+3} =frac{4}{3} -frac{4n+4}{(2n+1)(2n+3)} $, тогда $mathop{lim }limits_{nto infty } S_{n} =mathop{lim }limits_{nto infty } left(frac{4}{3} -frac{4n+4}{(2n+1)(2n+3)} right)=frac{4}{3} , $, т.е. ряд сходится и его сумма $S=frac{4}{3} , $.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Сумма натуральных чисел[править | править код]

Алгебраическая сумма[править | править код]

Бесконечная сумма[править | править код]

Примеры последовательных сумм[править | править код]

Неопределённая сумма[править | править код]

«Дискретная» формула Ньютона — Лейбница[править | править код]

Этимология[править | править код]

Кодировка[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Video

About This Article

Did this article help you?

Основные свойства сходящихся рядов

Вам также может понравиться

Как найти замерщика межкомнатных дверей

Как найти пульт к домашнему кинотеатру

Как найти колготки по фото

Добавить комментарий Отменить ответ