Математическая задача как найти площадь

Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую,
что эти фигуры совпадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Площадь квадрата

Пример:

S_EKFM = EK · EK

S_EKFM = 3 · 3 = 9 см²

Формулу площади квадрата, зная
определение степени,
можно записать следующим образом:

S = a²

Площадь прямоугольника

Пример:

S_ABCD = AB · BC

S_ABCD = 3 · 7 = 21 см²

Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.

Площадь сложных фигур

Задача: найти площадь огородного участка.

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя
правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

S_ABCE = AB · BC
S_EFKL = 10 · 3 = 30 м²
S_CDEF = FC · CD
S_CDEF = 7 · 5 = 35 м²

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = S_ABCE + S_EFKL
S = 30 + 35 = 65 м²

Ответ: S = 65 м² — площадь огородного участка.

---

Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Рассмотрим прямоугольник:

АС — диагональ прямоугольника
ABCD. Найдём площадь треугольников

ABC и
ACD

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

S_ABCD = AB · BC
S_ABCD = 5 · 4 = 20 см²

S
_ABC = S_ABCD : 2

S
_ABC = 20 : 2 = 10 см²

S
_ABC =
S
_ACD = 10 см²

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Обозначение площади

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Если параметры фигуры переданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем решить ни одну задачу. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм²);
• квадратный сантиметр (см²);
• квадратный дециметр (дм²);
• квадратный метр (м²);
• квадратный километр (км²);
• гектар (га).

Круг

Круг — это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью, удаленных от центра на равном радиусу расстоянии. Радиусом принято называть отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

1. S = π × r², где r — это радиус, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

   

2. S = &pi × d² : 4;, где d — это диаметр.

   

3. S = L²​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

   

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных тремя отрезками. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами. Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходными данным, давайте их рассмотрим.

1. Если известна сторона и высота.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

2. Если известны две стороны и синус угла.

S = 0,5 × a × b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

3. Если есть радиус описанной окружности.

S = (a × b × с) : (4 × R), где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

4. Если есть радиус вписанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

1. S = a × b, где a, b — длина и ширина прямоугольника.

   

2. S = a × √(d² – а²), где а — известная сторона, d — диагональ.

   Диагональ — это отрезок, который соединяет вершины противоположных углов. Она есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

3. S = 0,5 × d² × 𝑠𝑖𝑛(𝑎), где d — диагональ, α — угол между диагоналями.

   

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, но при условии, что все его стороны равны. Найти его площадь легко:

1. S = а², где a — сторона квадрата.

   

2. S = d² : 2, где d — диагональ.

   

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны и две не параллельны.

S = 0,5 × (a + b) × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны под прямым углом.

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Расскажем про общие формулы расчета площади этих фигур.

1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.

   

2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a² × sinα.

   

3. Для ромба: S = 0,5 × (d₁ × d₂), где d₁, d₂  — две диагонали. Для параллелограмма: S = 0,5 × (d₁ × d₂) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

   

---

Решение задач на вычисление площадей многоугольников чаще всего сводится к поиску величин отдельных элементов рассматриваемых фигур и дальнейшему применению соответствующих формул площадей.

Во многих задачах наряду с сугубо геометрическими приемами решения (дополнительные построения, применение равенства фигур и т. п.) используются и методы алгебры (составление уравнений или систем уравнений на основе метрических соотношений между элементами фигуры).

В ходе решения особое внимание следует уделить тому, однозначно ли данные задачи определяют взаимное расположение элементов фигуры.

Пример:

Найдите площадь трапеции, в которой одно из оснований равно 24 см, высота 12 см, а боковые стороны — 13 см и 20 см.

Решение:

Пусть

1) Для трапеции  (рис. 152, а): из треугольника  по теореме Пифагора имеем  аналогично из треугольника  имеем  тогда 

2) Для трапеции  (рис. 152, б): из треугольника  по теореме Пифагора имеем  аналогично из треугольника  имеем

3) Для трапеции  (рис. 152, в): из треугольника  по теореме Пифагора имеем  аналогично из треугольника  имеем 

4) Для трапеции  (рис. 152, г): из треугольника  по теореме Пифагора имеем  аналогично из треугольника  имеем  тогда  т.е. точки  расположены на прямой в указанном порядке.

Ответ: 

Рассмотренная задача наглядно демонстрирует одну из причин, по которым в процессе решения геометрической задачи может возникать многовариантность. Но даже если такая ситуация не возникает, взаимное расположение элементов фигур нуждается в обосновании.

Пример:

Основания трапеции равны 10 см и 35 см, а боковые стороны — 15 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Прежде всего заметим, что решение данной задачи фактически сводится к нахождению высоты трапеции. Итак, пусть дана трапеция 

Естественно было бы провести, как в предыдущей задаче, высоты  (рис. 153) и составить уравнение на основании теоремы Пифагора, примененной к треугольникам  и 

Такое решение позволит получить правильный ответ, но не будет полным, ведь принадлежность точек  отрезку  нужно обосновать. Попробуем избежать необходимости такого обоснования, применив для решения другое дополнительное построение.

Решение:

Проведем через вершину  прямую  параллельную  (рис. 154).

Поскольку по построению  — параллелограмм, то  следовательно, Стороны треугольника  пропорциональны числам 3, 4, 5, следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, он является прямоугольным с гипотенузой 

По формуле  находим высоту этого треугольника, которая одновременно является и высотой трапеции:  Следовательно, 

Ответ: 270 

Как видим, этот способ намного более рационален, в частности, с точки зрения вычислений. Рассмотрим еще одну задачу, для решения которой используется дополнительное построение.

Пример:

Диагонали трапеции равны 30 см и 40 см и пересекаются под прямым углом. Найдите площадь трапеции.

Попробуем решить эту задачу чисто геометрическими методами. Основная сложность заключается в том, что данные отрезки не являются сторонами одного треугольника. Попробуем «исправить» эту ситуацию.

Решение:

Пусть дана трапеция  в которой  Проведем через вершину  прямую параллельную диагонали  (рис. 155).

Очевидно, что по построению угол  будет прямым, т.е. треугольник  прямоугольный с гипотенузой  С другой стороны,  — параллелограмм, тогда 

Обратим внимание на то, что треугольники  равновеликие, поскольку  а высоты, проведенные к этим сторонам, являются высотами трапеции. Таким образом,  т.е. искомая площадь трапеции равна площади треугольника  которая, в свою очередь, равна полупроизведению его катетов: 

Ответ: 600 

Применение площадей

Теорема (об отношении площадей подобных треугольников)

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство:

 Пусть  с коэффициентом  т.е. Докажем, что

Проведем в данных треугольниках высоты  (рис. 161).

Прямоугольные треугольники  подобны, поскольку  Это означает, что  т.е.  Учитывая, что  имеем:

Пример:

Средняя линия отсекает от данного треугольника треугольник с площадью 8  Найдите площадь данного треугольника.

Решение:

Пусть  — средняя линия треугольника  параллельная стороне  (рис. 162),  

Треугольники  подобны по двум сторонам и углу между ними, причем  Тогда по доказанной теореме  откуда 
Ответ: 

Метод площадей

Понятия площади и формулы ее вычисления могут применяться даже в тех задачах, в условиях которых площадь не упоминается. Рассмотрим такой пример.

Пример:

Стороны параллелограмма равны 16 см и 12 см. Высота параллелограмма, проведенная к большей стороне, равна 3 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть дан параллелограмм со сторонами  к которым проведены высоты  длину которой необходимо найти (рис. 163).

По формуле площади параллелограмма  откуда 

Таким образом, 

Ответ: 4 см.

При решении этой задачи площадь параллелограмма вычислялась двумя разными способами. Поскольку площадь многоугольника независимо от способа ее вычисления определяется однозначно, то полученные выражения приравнивались, благодаря чему удалось связать известные величины с искомой. Такой метод, основанный на использовании площади как вспомогательной величины, называется методом вспомогательной площади или просто методом площадей.

Заметим, что из формул площади параллелограмма  и площади треугольника  следует важное утверждение: в параллелограмме (треугольнике) большей является высота, проведенная к меньшей стороне, меньшей — высота, проведенная к большей стороне.

Метод площадей используется как в задачах на вычисление, так и для доказательства утверждений.

Пример:

Сумма расстояний от точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от выбора точки и равна высоте треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть точка  лежит внутри равностороннего треугольника  со стороной  и  — расстояния от данной точки до сторон треугольника (рис. 164).

Соединим точку  с вершинами треугольника. Площадь треугольника   равна сумме площадей треугольников  и  в которых отрезки  являются высотами. Имеем:

Отсюда  т.е. сумма рассматриваемых расстояний равна высоте треугольника и не зависит от выбора точки 

Другие доказательства теоремы Пифагора

Исторически появление и доказательство теоремы Пифагора связаны с вычислением площадей. Поэтому в классической формулировке этой теоремы речь идет не о квадратах сторон прямоугольного треугольника, а о площадях соответствующих фигур:

• площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рисунок 165, который наглядно воплощает эту формулировку, стал своеобразным символом геометрии и среди гимназистов позапрошлого столетия получил название «пифагоровы штаны».

Шутливый стишок про «пифагоровы штаны» школьники запоминали на всю жизнь.

Докажем теорему Пифагора с помощью площадей.

Доказательство:

 Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами  и гипотенузой  (рис. 166, а). Достроим его до квадрата со стороной  так, как показано на рисунке 166, б. Площадь этого квадрата равна  Построенный квадрат состоит из четырех равных прямоугольных треугольников площадью  и четырехугольника со сторонами длиной  который является квадратом (докажите это самостоятельно). Итак, имеем:    ^

т.е. 

Теорема доказана. 

На рисунках 166, в, г показаны другие способы доказательства теоремы Пифагора с помощью площадей. В трактатах индийского математика XII ст. Бхаскари один из них сопровождался только одним словом: «Смотри!». В целом сегодня известно более 150 разных способов доказательства этой знаменитой теоремы. Но каждый из вас может изобрести и свой собственный способ.

Итоги главы 3.

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону

Сумма углов многоугольника
Сумма углов выпуклого -угольника равна 

Сумма внешних углов выпуклого -угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 

Описанный многоугольник

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат в этой окружности.

Описанный многоугольник.

Многоугольником называют описанным около окружностей, если все его стороны касаются этой окружности.

Аксиомы площадей

1. Равные многоугольники имеют равные площади.
2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади

  где  – стороны прямоугольника.

  где  — сторона квадрата

 где  — сторона параллелограмма,

 — проведенная к ней высота

  где – сторона треугольника, – проведенная к ней высота.

  – катеты прямоугольного треугольника.

  где – сторона треугольника.

  где  – диагонали ромба.

  где  основание трапеции, – высота трапеции.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

Историческая справка:

Вычисление площадей многоугольников — первая среди тех практических задач, благодаря которым появилась геометрия как наука. Но не всегда представление об измерении площадей было таким, как сегодня.

Например, древние египтяне при вычислении площади любого треугольника брали половину произведения двух его сторон. Так же пять столетий назад измеряли площадь треугольника и в Древней Руси. Чтобы найти площадь четырехугольника, который не является квадратом, в Вавилоне использовали формулу произведения полусумм его противолежащих сторон.

В Средние века для вычисления площади треугольника со стороной и проведенной к ней высотой, которые выражаются целым числом  брали сумму членов натурального ряда от 1 до  т.е. число 

Кстати, в то время знали и правильную формулу площади этого треугольника  Ее обосновал средневековый математик Герберт, который в X ст. даже занимал какое-то время престол Римского Папы под именем Сильвестра II.

Древние вавилоняне еще четыре тысячи лет назад умели правильно вычислять площадь квадрата, прямоугольника, трапеции. Немало формул площадей и объемов, с которыми вы познакомитесь в старших классах, открыл знаменитый греческий ученый Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э.). И это все при том, что в те древние времена не было даже алгебраической символики!

Сегодня, благодаря значительно более широкому применению алгебры в геометрии, мы имеем возможность дать куда более простые и понятные решения многих задач, чем это было возможно в те далекие времена.

Примеры решения задач разной сложности на нахождение периметра и площади

Условные обозначения и формулы

• a — длина
• b — ширина
• P — периметр
• S — площадь

Квадрат → определение

P = a + a + a + a; P = a · 4 — периметр квадрата

S = a · a; S = a² — площадь квадрата

Прямоугольник → определение

P = a + b + a + b; P = 2a + 2b; P = (a + b) · 2 – периметр прямоугольника

S = a ·  b — площадь прямоугольника

Задачи

Треугольник → определение

S = ½ · a · h – площадь треугольника

P = a + b + c – периметр треугольника

Задачи

Круг → определение

P = πD; P = 2πR — длина окружности

S = πR2; S = πD2 : 4 – площадь круга

Задачи

30 задач – от простого к сложному

Задача №1

Найди периметр квадрата со стороной 8 см.

Решение:

8 · 4 = 32 (см)

Ответ: периметр квадрата 32 см.

Задача №2

Найди периметр квадрата со стороной 16 см.

Решение:

16 · 4 = 64 (см)

Ответ: периметр квадрата 64 см.

Задача №3

Периметр квадрата 16 см. Найди его сторону.

Решение:

16 : 4 = 4 (см)

Ответ: сторона квадрата 4 см.

Задача №4

Найди периметр прямоугольника со сторонами 9 и 6 см.

Решение:

(9 + 6) · 2 = 30 (см)

Ответ: периметр прямоугольника 30 см.

Задача №5

Найди периметр прямоугольника со сторонами 7 и 8 см.

Решение:

(7 + 8) · 2 = 30 (см)

Ответ: периметр прямоугольника 30 см.

Задача №6

Найди длину прямоугольника, если его ширина 7 см, а периметр равен 40 см.

Решение:

Вариант Ⅰ

У прямоугольника противоположные стороны равны, то есть две равных ширины и две равных длины.

Если одна ширина (сторона) 7 см, то и другая (противоположная) тоже 7 см.

7 + 7 = 14 (см)

Периметр состоит из суммы длин четырёх сторон прямоугольника, сумму двух противоположных сторон мы уже узнали, тогда сумма двух других противоположных сторон (длин) будет равна:

40 – 14 = 26 (см)

Теперь узнаем длину одной стороны:

26 : 2 = 13 (см)

Ответ: длина прямоугольника 13 см.

или

Вариант Ⅱ

P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника

или

(a + b) · 2 = P, где a — длина = ?, b — ширина = 7 см, P — периметр = 40 см.

Составим уравнение:

(а + 7) · 2 = 40

2а + 14 = 40

2а = 40 – 14

2а = 26

а = 26 : 2

а = 13

Ответ: длина прямоугольника 13 см.

Задача №7

Найди ширину прямоугольника, если его длина 10 см, а периметр равен 30 см.

Решение:

Вариант Ⅰ

У прямоугольника противоположные стороны равны, то есть две равных ширины и две равных длины.

Если одна длина (сторона) 10 см, то и другая (противоположная) тоже 10 см.

10 + 10 = 20 (см)

Периметр состоит из суммы длин четырёх сторон прямоугольника, сумму двух противоположных сторон мы уже узнали, тогда сумма двух других противоположных сторон будет равна:

30 – 20 = 10 (см)

Теперь узнаем ширину одной стороны:

10 : 2 = 5 (см)

Ответ: ширина прямоугольника 5 см.

или

Вариант Ⅱ

P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника

или

(a + b) · 2 = P, где a — длина = 10 см, b — ширина = ?, P — периметр = 30 см.

Составим уравнение:

(10 + b) · 2 = 30

20 + 2b = 30

2b = 30 – 20

2b = 10

b = 10 : 2

b = 5

Ответ: ширина прямоугольника 5 см.

Задача №8

Ширина прямоугольника 14 см. Длина на 5 см больше. Найди его периметр и площадь.

Решение:

14 + 5 = 19 (см)

(19 + 14) · 2 = 66 (см)

19 · 14 = 266 (см²)

Ответ: периметр прямоугольника 66 см; площадь прямоугольника 266 см².

Задача №9

Длина прямоугольника 7 см. Ширина на 3 см меньше. Найди его периметр и площадь.

Решение:

7 – 3 = 4 (см)

(7 + 4) · 2 = 22 (см)

7 · 4 = 28 (см²)

Ответ: периметр прямоугольника 22 см; площадь прямоугольника 28 см².

Задача №10

Периметр квадрата 24 см. Найди его площадь.

Решение:

24 : 4 = 6 (см)

6 · 6 = 36 (см²)

Ответ: площадь квадрата 36 см².

Задача №11

Периметр квадрата 36 см. Найди его площадь.

Решение:

36 : 4 = 9 (см)

9 · 9 = 81 (см²)

Ответ: площадь квадрата 81 см².

Задача №12

Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 5 см и 9 см, а он начертил его со сторонами 6 и 8 см.

На сколько см² он ошибся?

Решение:

5 · 9 = 45 (см²)

6 · 8 = 48 (см²)

48 – 45 = 3 (см²)

Ответ: он ошибся на 3 см².

Задача №13

Ученику нужно было начертить прямоугольник со сторонами 10 см и 8 см, а он начертил его со сторонами 8 см и 6.

На сколько см² он ошибся?

Решение:

10 · 8 = 80 (см²)

8 · 6 = 48 (см²)

80 – 48 = 32 (см²)

Ответ: он ошибся на 32 см².

Задача №14

Периметр прямоугольника 36 см. Длина его 4 см. Найди площадь прямоугольника.

Решение:

4 + 4 = 8 (см)

36 – 8 = 28 (см)

28 : 2 = 14 (см)

14 · 4 = 56 (см²)

Ответ: площадь прямоугольника 56 см².

Задача №15

Сторона квадрата 6 см. Найди длину прямоугольника с таким же периметром и шириной 3 см.

Решение:

6 · 4 = 24 (см)

3 + 3 = 6 (см)

24 – 6 = 18 (см)

18 : 2 = 9 (см)

Ответ: длина прямоугольника 9 см.

Задача №16

Сторона квадрата 18 см. Найди длину прямоугольника с таким же периметром и шириной 14 см.

Решение:

18 · 4 = 72 (см)

14 + 14 = 28 (см)

72 – 28 = 44 (см)

44 : 2 = 22 (см)

Ответ: длина прямоугольника 22 см.

Задача №17

Площадь прямоугольника 40 см². Ширина его 4 см.

Чему равен периметр прямоугольника?

Решение:

40 : 4 = 10 (см)

(10 + 4) · 2 = 28 (см)

Ответ: периметр прямоугольника 28 см.

Задача №18

Площадь прямоугольника 40 см². Длина его 8 см.

Чему равен периметр прямоугольника?

Решение:

40 : 8 = 5 (см)

(8 + 5) · 2 = 26 (см)

Ответ: периметр прямоугольника 26 см.

Задача №19

Ширина прямоугольника 15 см, длина 20 см.

Найди длину другого прямоугольника с той же площадью, если его ширина в 3 раза меньше ширины первого прямоугольника.

Решение:

в первом действии узнаём площадь по формуле a · b = S

15 · 20 = 300 (см²) — S  одного и другого прямоугольника

теперь ширину второго

15 : 3 = 5 (см) — ширина другого прямоугольника

и отвечаем на вопрос задачи применив формулу S : a = b

300 : 5 = 60 (см)

Ответ: длина другого прямоугольника 60 см.

Задача №20

Длина прямоугольника b = 32 см. Ширина a = 4 см.

Найди длину другого прямоугольника с такой же площадью, если его ширина в 2 раза больше ширины первого прямоугольника.

Решение:

узнаем площадь прямоугольников по формуле a · b = S

32 · 4 = 128 (см²) — S  первого прямоугольника

теперь ширину второго прямоугольника

4 · 2 = 8 (см) — ширина другого прямоугольника

применив формулу S : a = b узнаем длину другого

128 : 8 = 16 (см)

Ответ: длина другого прямоугольника 16 см.

Задача №21

Какой участок земли потребует большую ограду: прямоугольный размерами 32 м и 2 м или квадратный, имеющий ту же площадь?

Решение:

Ⅰ. Прямоугольный участок

32 · 2 = 64 (м²) — S прямоугольного участка = 64 (м²)  

(32 + 2) · 2 = 68 (см) — P прямоугольного участка = 68 (см)

Ⅱ. Квадратный участок (имеющий площадь прямоугольного = 64 м²) 

Если  S квадрата = a · a,  тогда, из формулы, узнаем сторону квадратного участка S : a = a

(у квадрата все стороны равны, тогда a · a = S —  таблицу умножения мы знаем, подберём значения  a  и заменим их —  8 · 8 = S  или  8 · 8 = 64  или  64 = 8 · 8   или  64 : 8 = 8) 

64 : 8 = 8 (м) — любая сторона квадратного участка = 8 (м)

8 · 4 = 32 (м) — периметр квадратного участка = 32 (м) 

Ⅲ. P прям. – P квадр. = разница периметров

68 – 32 = 36 (м) — разница периметров

Ответ: потребует большую ограду прямоугольный на 36 м.

Задача №22

Какая комната потребует больше плинтуса: прямоугольная размерами 4 м и 9 м или квадратная, имеющая ту же площадь?

Решение:

(4 + 9) · 2 = 26 (м) — P периметр прямоугольной комнаты

4 · 9 = 36 (м²) — S площадь прямоугольной комнаты

(из условия задачи квадратная комната имеет ту же площадь 36 м², а из определения площади квадрата знаем, что все стороны равны a = a = a = a, смотрим таблицу умножения и видим 6 · 6 = 36, то есть любая из сторон a = 6

запишем (приведём) формулу площади квадрата S = a · a в форму нахождения её стороны S : a = a

36 : 6 = 6 (м) — любая из сторон квадратной комнаты

6 · 4 = 24 (м) — P периметр квадратной комнаты

26 – 24 = 2 (м)

Ответ: потребует больше плинтуса прямоугольная на 2 м.

Задача №23

Ребро куба равно 2 сантиметров. Найти площадь всех граней куба.

Решение:

Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести одинаковых по площади квадратов.

У куба 8 вершин, 12 рёбер, 6 граней (поверхностей).

Если S = a · a — площадь квадрата, тогда

S = (a · a) · 6 — площадь всех граней куба, из условия задачи a = 2, тогда S = 2 · 2 · 6

2 · 2 · 6 = 24 (см²)

Ответ: площадь всех граней куба равна 24 см².

Задача №24

Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Решение:

Для решения потребуются формулы:

S = a · a; S = a² — площадь квадрата (у квадрата все стороны равны)

S = a · b — площадь прямоугольника (у прямоугольника противоположные стороны равны)

Далее всё очень просто:

Квадрат A.

S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда

8 · 8 = 64 — площадь квадрата

S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда

4 · 1 = 4 — площадь вырезанного прямоугольника

из площади квадрата вычтем площадь вырезанного прямоугольника

64 – 4 = 60

Ответ: площадь получившейся фигуры равна 60.

Квадрат B.

S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда

7 · 7 = 49 — площадь квадрата

S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда

4 · 2 = 8 — площадь вырезанного прямоугольника

из площади квадрата вычтем площадь прямоугольника

49 – 8 = 41

Ответ: площадь получившейся фигуры равна 41.

Квадрат C.

S = a · a или a · a = S — формула площади квадрата, тогда

7 · 7 = 49 — площадь квадрата

S = a · a или a · b = S — формула площади прямоугольника, тогда

5 · 1 = 5 — площадь вырезанного прямоугольника

из площади квадрата вычтем площадь прямоугольника

49 – 5 = 44

Ответ: площадь получившейся фигуры равна 44.

Задача №25

1. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке A.
2. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке B.
3. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке C.
4. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке D.
5. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке E.

(!) Фигуры расположены на листе в клетку, где каждая клетка – квадрат со стороной равной 1см.

Определение:

Неправильный четырехугольник – фигура, у которой стороны не равны и не параллельны.

Решение:

разобьём неправильные четырехугольники A, B, D на два прямоугольных треугольника и прямоугольник, а неправильные четырехугольники C, E на два прямоугольных треугольника и квадрат.

Применив формулы площади треугольника , квадрата и прямоугольника легко решим поставленную задачу

Фигура A.

S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда

3 · 4 = 12 см² — площадь прямоугольника a

S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника b

S = ½ · a · h — формула площади треугольника

½ ·2 · 4 = 4 см² — площадь прямоугольного треугольника c

теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры A

12 + 2,5 + 4 = 18,5 см²

Ответ: площадь фигуры A 18,5 см²

Фигура B.

S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда 

5 · 1 = 5 см² — площадь прямоугольника a

S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 6 · 5 = 15 см² — площадь прямоугольного треугольника b

S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 1 · 1 = 0,5 см² — площадь прямоугольного треугольника c

теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры B 

5 + 15 + 0,5 = 18,5 см²

Ответ: площадь фигуры B 20,5 см²

Фигура C.

S = a · a; S = a² — формула площади квадрата, тогда

5 · 5 = 25 см² — площадь квадрата a

S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 1 · 6 = 3 см² — площадь прямоугольного треугольника b

S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника c

теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры C

25 + 3 + 2,5 = 30,5 см²

Ответ: площадь фигуры C 30,5 см²

Фигура D.

S = a · b — формула площади прямоугольника, тогда

3 · 4 = 12 см² — площадь прямоугольника a

S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 1 · 5 = 2,5 см² — площадь прямоугольного треугольника b

S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 2 · 4 = 4 см² — площадь прямоугольного треугольника c

теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры D

12 + 2,5 + 4 = 18,5 см²

Ответ: площадь фигуры A 18,5 см²

Фигура E.

S = a · a; S = a² — формула площади квадрата, тогда

2 · 2 = 4 см² — площадь квадрата a

S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 3 · 4 = 6 см² — площадь прямоугольного треугольника b

S = ½ · a · h — формула площади треугольника, тогда

½ · 2 · 2 = 2 см² — площадь прямоугольного треугольника c

теперь сложив полученные площади узнаем полную площадь фигуры E

4 + 6 + 2 = 12 см²

Ответ: площадь фигуры E 12 см².

Задача №26

Найдите площади и периметры фигурок. Сделайте вывод.

Определение:

Периметр – сумма длин всех сторон фигуры выраженый в милиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т.д.

Площадь фигуры – геометрическое понятие, размер плоской фигуры выраженый в мм², см², дм², м² и т.д.

Пусть каждая из сторон клетки равна 1 см, тогда

применив формулу площади квадрата S = a · a получим площадь одной клетки 1 · 1 = 1 см²

Фигура A — прямоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда

1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;

фигура A имеет четыре стороны, тогда

1 + 4 + 1 + 4 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура B — квадрат состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда

1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;

фигура B имеет четыре стороны, тогда

2 + 2 + 2 + 2 = 8 см — периметр фигуры.

Фигура C — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда

1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;

фигура C имеет шесть сторон, тогда

3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура D — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда

1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;

фигура D имеет восемь сторон, тогда

1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Фигура E — неправильный многоугольник состоящий из четырёх клеток по 1 см², тогда

1 · 4 = 4 см² — площадь фигуры;

фигура E имеет восемь сторон, тогда

1 + 1 + 1 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10 см — периметр фигуры.

Вывод:

Фигуры A, B, C, D, E имеют одинаковую площадь, но наименьший периметр имеет квадрат.

У разных по форме плоских фигур, с одинаковой площадью, наименьший периметр всегда имеет квадрат.

Задача №27

Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (катет) b = 8 см

Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по формуле: a² + b² = c²

Решение:

6² + 8² = c²

6 · 6 + 8 · 8 = c²

36 + 64 = с²

с² = 36+64

с² = 100

с = 10

Найдём периметр прямоугольного треугольника по формуле: p = a + b + c

p = 6 + 8 + 10 = 24

Ответ: периметр прямоугольника равен 24 см.

см. Площадь треугольника

Задача №28

Найти периметр прямоугольника, если сторона (катет) a = 6 см, а сторона (гипотенуза) с = 10 см

Найдём гипотенузу прямоугольного треугольника по формуле: a² + b² = c²

Решение:

6² + b² = 10²

6 · 6 + b² = 10 · 10

36 + b² = 100

b² = 100 – 36

с² = 64

с = 8

Найдём периметр прямоугольного треугольника по формуле: p = a + b + c

p = 6 + 8 + 10 = 24

Ответ: периметр прямоугольника равен 24 см.

см. Площадь треугольника

Задача №29

В треугольной пластине abc у которой один из углов 90°, сторона a равна 20 сантиметрам, а сторона b равна 10 сантиметрам просверлили отверстие диаметром 3 сантиметра. Какую оставшуюся площадь пластины нужно покрасить?

Решение:

Мы знаем что площадь – S треугольника равна половине – ½ произведения его основания – a умноженная на высоту – h,
то есть S = ½ · a · h, а Формула площади круга S = πd² : 4, число π ≈ 3,14.

1) По условию задачи пластина имеет форму прямоугольника со сторонами abc, в данном случае сторона b является высотой треугольника.

Тогда формула будет выглядеть так – S = ½ · a · b

подставим значения в эту формулу

½ · 10 · 20 = 100 (см²) — площадь треугольника

2) Подставим значения в формулу и узнаем площадь круга S = πd² : 4

3,14 · 3² : 4  =  3,14 · 9 : 4 = 7,065 (см²)

3) Теперь мы можем ответить на вопрос поставленный в задаче

100 – 7,065 = 92,935 см² — оставшуюся площадь пластины

Ответ: нужно покрасить 92,935 см².

Задача №30

На садовом участке Петя построил для цыплят круглый вольер радиусом 5 метров. Участок имеет прямоугольную форму с длинной 120 метров и шириной равной 8 диаметрам вольера. Сколько потребуется метров металлической сетки чтобы огородить участок и вольер?

Решение:

Для решения задачи нам потребуются вычислить периметры участка и вольера.

1) В первом действии узнаем диаметр вольера, нам известен радиус 5 метров, тогда по формуле диаметр равен двум радиусам D = 2R

5 · 2 = 10 (м) — диаметр вольера

2) Если ширина участка равна 8 диаметрам вольера, тогда

10 · 8 = 80 м — ширина участка

3) Далее по формуле P = (a + b) · 2 — периметр прямоугольника

120 + 80 · 2 = 400 (м)

4) Теперь по формуле P = 2πR — длина окружности (периметр) вольера

2 · 3,14 · 5  =  2 · 3,14 · 5 = 31,4 (м)

5) В последнем действии сложим периметры участка и вольера ответим на вопрос задачи

400 + 31,4 = 431,4 (м)

Ответ: потребуется 431,4 метров металлической сетки.

Рене Декарт

математик, философ

Дата рождения: 31 марта 1596 г.

Место рождения: Декарт, Турень, Абсолютная монархия во Франции

Дата смерти: 11 февраля 1650 г. (53 года), Стокгольм, Швеция

Биография

Родился 31 марта 1596 года в городе Ла-Э-ан-Турен (ныне Декарт), департамент Эндр и Луара, Франция. Декарт происходил из старинного, но обедневшего дворянского рода, был младшим (третьим) сыном в семье. Начальное образование Декарт получил в иезуитском колле́же Ла Флеш, где его учителем был Жан Франсуа.

В коллеже Декарт познакомился с Мареном Мерсенном (тогда — учеником, позже — священником), будущим координатором научной жизни Франции, и Жаком Валле де Барро. Религиозное образование только укрепило в молодом Декарте скептическое отношение к тогдашним философским авторитетам. Позже он сформулировал свой метод познания: дедуктивные (математические) рассуждения над результатами воспроизводимых опытов.

В 1612 году Декарт закончил коллеж, некоторое время изучал право в Пуатье, затем уехал в Париж, где несколько лет чередовал рассеянную жизнь с математическими исследованиями. Затем он поступил на военную службу (1617) — сначала в революционной Голландии (в те годы — союзнице Франции), затем в Германии, где участвовал в недолгой битве за Прагу (Тридцатилетняя война).

В Голландии в 1618 году Декарт познакомился с выдающимся физиком и натурфилософом Исааком Бекманом, оказавшим значительное влияние на его формирование как учёного. Несколько лет Декарт провёл в Париже, предаваясь научной работе, где, помимо прочего, открыл принцип виртуальных скоростей, который в то время никто ещё не был готов оценить по достоинству.

Затем — ещё несколько лет участия в войне (осада Ла-Рошели). По возвращении во Францию оказалось, что свободомыслие Декарта стало известно иезуитам, и те обвинили его в ереси. Поэтому Декарт переезжает в Голландию (1628), где проводит 20 лет в уединённых научных занятиях.

В 1634 году он заканчивает свою первую, программную книгу под названием «Мир» (Le Monde), состоящую из двух частей: «Трактат о свете» и «Трактат о человеке». Вскоре, однако, одна за другой, появляются другие книги Декарта.

Кардинал Ришельё благожелательно отнёсся к трудам Декарта и разрешил их издание во Франции. Протестантские же богословы Голландии наложили на них проклятие (1642)

В 1649 году Декарт, измученный многолетней травлей за вольнодумство, поддался уговорам шведской королевы Кристины (с которой много лет активно переписывался) и переехал в Стокгольм. Почти сразу после переезда он серьёзно простудился и вскоре умер.

Его труды:

• Сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры
• Методы решения алгебраических уравнений
• Классификация алгебраических кривых
• Сформулировал точное «правило знаков» для определения числа положительных корней уравнения
• Исследовал алгебраические функции (многочлены)
• Исследования Декарта в области к механики, оптики и общему строению Вселенной
• Математически вывел закон преломления света
• Понятие о рефлексе
• Классическое построение философии рационализма
• Теория близкодействия
• Метод радикального сомнения
• Картезианский дуализм

В память о Декарте:

• Великий физиолог И. П. Павлов поставил памятник-бюст Декарту возле своей лаборатории
• В честь учёного названы его родной город
• Назван кратер на Луне
• Назван астероид (3587) Descartes
• Декартова система координат
• Декартов лист
• Декартов овал
• Декартово дерево
• Декартово произведение

***

Цитата: У одного человека зачастую больше шансов сделать открытие, нежели у нескольких, занимающихся одной проблемой.

Давайте вспомним, как найти площадь прямоугольника. Чтобы найти
площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину.

Вот формула для нахождения площади прямоугольника:

S = a · b

В этой формуле латинской буквой S обозначается площадь, буквами a и b  – стороны прямоугольника.

Выполним задание, в котором надо найти площадь
прямоугольника со сторонами 5 см и 3 см.

Решение. Итак, чтобы найти площадь
прямоугольника, надо его длину умножить на ширину.

Произведение чисел 5 и 3 равно 15. Значит, площадь прямоугольника
равна 15 квадратным сантиметрам. Не забудьте, что площадь измеряется именно в
квадратных единицах. В данной задаче это квадратные сантиметры. Также важно
помнить, что длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах длины.

3 · 5 =
15 (см²)

Ответ: площадь прямоугольника равна 15 см².

Теперь давайте найдём площадь квадрата со стороной 4 см.

Решение. У этого квадрата каждая
сторона равна 4 см, поэтому умножим 4 на 4 и получится, что площадь квадрата
равна 16 квадратным сантиметрам.

4 · 4 =
16 (см²)

Ответ: площадь квадрата равна 16 см².

Ну а сейчас перейдём к решению задач, в которых нам надо будет
найти площадь сложных фигур.

Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.

Эта фигура не является ни прямоугольником, ни квадратом. Но мы
можем разделить эту фигуру на два прямоугольника, например, вот таким образом.

 А площади прямоугольников мы легко можем найти с помощью
известной формулы.

Напомним, что противоположные стороны прямоугольника равны.

Итак, стороны первого прямоугольника равны 5 см и 4 см.

5 · 4 =
20 (см²) – площадь первого прямоугольника

Найдём площадь второго прямоугольника.

Ширина этого прямоугольника равна 2 см.

7 – 4 = 3 (см) – длина второго прямоугольника

3 · 2 = 6
(см²) – площадь второго прямоугольника

Мы нашли площади прямоугольников, из которых состоит сложная
фигура. Чтобы найти площадь этой фигуры, надо сложить найденные площади.

20 + 6 = 26
(см²) – площадь сложной фигуры

Ответ: площадь фигуры, изображённой на рисунке, равна 26 см².

Площадь этой сложной фигуры найти другим способом. Можно разделить
её на два прямоугольника вот таким образом.

Найдём площадь первого прямоугольника.

Одна его сторона равна 4 см.

5 – 2 = 3 (см) – длина стороны первого прямоугольника

4 · 3 =
12 (см²) – площадь первого прямоугольника

Теперь найдём площадь второго прямоугольника.

7 · 2 =
14 (см²) – площадь второго прямоугольника

12 + 14 =
26 (см²) – площадь сложной фигуры

Ответ: площадь фигуры, изображённой на рисунке, равна 26 см².

Решим следующую задачу.

Найдём площадь ещё одной фигуры, изображённой на рисунке.

Чтобы найти площадь этой фигуры, тоже разделим её на простые
фигуры. Сделаем это вот таким образом.

Получилось 3 прямоугольника.

Найдём площадь первого прямоугольника.

7 · 2 =
14 (см²) – площадь первого прямоугольника

Найдём площадь второго прямоугольника.

7 – 4 = 3 (см) – длина одной стороны второго прямоугольника

8 – 2 – 3 = 3 (см) – длина другой стороны второго прямоугольника

Получается, что это квадрат, так как длина всех его сторон равна 3
см.

3 · 3 = 9
(см²) – площадь квадрата

И найдём площадь последнего прямоугольника.

Его ширина равна 3 см. Длина равна 7 см.

3 · 7 =
21 (см²) – площадь третьего прямоугольника

Таким образом, мы нашли площади всех трёх фигур, на которые
разделили данную сложную фигуру. Площадь этой сложной фигуры найдём как сумму
площадей трёх фигур.

14 + 9 + 21 =
44 (см²) – площадь сложной фигуры

Ответ: площадь фигуры, изображённой на рисунке, равна 44 см²

Отметим, что площадь этой фигуры можно было бы найти, разделив её
на простые фигуры и вот таким образом:

И решим ещё одну задачу.

Найдите площадь незаштрихованной фигуры.

На рисунке изображён прямоугольник со сторонами 9 см и 5 см.
Внутри этого прямоугольника расположен ещё один прямоугольник со сторонами 5 см
и 3 см. Давайте найдём площадь каждого из них.

9 · 5 =
45 (см²) – площадь большего прямоугольника

5 · 3 =
15 (см²) – площадь меньшего прямоугольника

А как найти площадь незаштрихованной фигуры? Площадь этой фигуры
найдём, если из площади большего прямоугольника вычтем площадь меньшего
прямоугольника.

45 – 15 =
30 (см²) – площадь незаштрихованной фигуры

Ответ: площадь незаштрихованной фигуры равна 30 см².