Математический порядок как найти

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 18 июня 2020 года; проверки требуют 7 правок.

Порядок величины — класс эквивалентности величин (или шкал) , выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение к соответствующим величинам предыдущего класса.

Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса при условии, что некоторый класс был задан или подразумевается).

Порядок числа[править | править код]

При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию , чаще всего принимают и , . При этом совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:

Аналогичным образом можно определить порядки чисел и для других оснований системы счисления. Чаще других рассматривают

• порядки чисел по основанию ,
• порядки чисел по основанию
• порядки чисел по основанию .

Порядок чисел в естественном языке[править | править код]

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в раз больше, где  — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше». Также последнее время стало распространённым ошибочное использование выражения «порядка N», где N — некоторое число. При этом исходя из контекста понятно, что подразумевается «примерно N», что, конечно, не соответствует определению термина «порядок числа».

Порядок чисел и логарифмическая функция[править | править код]

Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам могут быть записаны как , где — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.

В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то .

Разность порядков[править | править код]

Если два числа и принадлежат порядкам и в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение иногда называют разностью порядков этих чисел.

Для двух чисел и разность их порядков может быть найдена как при .

В случае разность порядков иногда берут с отрицательным знаком .

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков[править | править код]

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение .

В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа и различаются не более чем на полпорядка», то есть или .

См. также[править | править код]

• Экспоненциальная запись
• Порядок величины (площадь)

Ссылки[править | править код]

• Brians, Paus Orders of Magnitude. Дата обращения: 9 мая 2013. Архивировано 22 апреля 2017 года.
• Order of Magnitude. Wolfram MathWorld. Дата обращения: 3 января 2017. Архивировано 6 января 2017 года.

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: (2; 4; 6; 8; 10…) А правило «первое число равно (3), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: (3; 6; 12; 24; 48….)

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Например, в последовательности (3; 6; 12; 24; 48…) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

То есть, если последовательность (3; 6; 12; 24; 48…) обозначить как (a_n), то можно записать, что (a_1=3), (a_2=6), (a_3=12), (a_4=24) и так далее.

Иными словами, для последовательности (a_n={ 3;: 6; :12; : 24; : 48; : 96; : 192; : 384…}).

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: (1; : 1; : 1; : 1…) .

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

– I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

– II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Четвертый ((n=3)):     (c_{3+1}=c_3+3)
                                         (c_4=c_3+3=10+3=13).

Пятый ((n=4)):   (c_{4+1}=c_4+3)
                              (c_5=c_4+3=13+3=16).

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула (c_{n+1}=c_n+3) требовала именно этого. В ней (c_n) – это предыдущий элемент, а (c_{n+1}) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Пример: У последовательности известны первые два элемента (z_1=2;)   (z_2=5). Так же известна формула следующего элемента (z_{n+2}=3z_{n+1}-z_n). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Ответ: (c_3=13); (c_4=34); (c_5=89).

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности (a_n=n^2-n):

а) (1)               б) (3)               в) (6)              г) (10) ?

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

(a_1=1^2-1=0) – мимо.

(a_2=2^2-2=2) – тоже не то.

(a_3=3^2-3=6) – есть!

Нужный элемент найден.

Ответ: (6).

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

1. Подставляют заданное число в формулу (n) -го члена вместо (a_n); 

2. Решая полученное уравнение, находят неизвестное (n); 

3. Если (n) – натуральное, то данное число – член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число (3) членом последовательности (a_n=)(frac{51+2n}{n+4}) ?

Решение:

Ответ: Да, число (3) является элементом данной последовательности.

Смотри также:
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Казалось бы, порядок – это общеупотребимое понятие. Первый порядок, который часто обсуждается в начальной школе, – это стандартный порядок натуральных чисел, например, “2 меньше 3”, “10 больше 5” или “У Маши меньше печенья, чем у Саши?”.

Эта интуитивная концепция может быть распространена на порядки в других наборах чисел, таких как целые и действительные числа, и в дальнейшем не только на числа, но и на множества и другие алгебраические структуры.

В теории множеств отношение порядка соответствует отношению подмножества, например, “Педиатры – это врачи”, а “Круги – это просто эллипсы особого вида” и т.д.

Однако, это лишь конкретные утверждения, которые не могут лежать в основе такого фундаментального понятия. Оказывается, почти все порядки в математике – это системы, синтезированные из трех элементарных понятий, точно как все элементарные частицы состоят из “разноцветных” кварков и антикварков.

В математике же роль кварков играют бинарные соотношения:

• рефлексивность (антирефлексивность);
• симметричность (антисимметричность, асимметричность);
• транзитивность (антитранзитивность).

С этими понятиями мы уже сталкивались, когда я рассказывал Вам про отношение эквивалентности.

Рефлексивность

Рефлексивность – это такое отношение R, при котором всякий элемент находитcя в отношении R с самим собой.

Как не трудно догадаться отношениями антирефлексивности является отношение неравенства или строгие знаки “<” или “>”. Отношение «быть сыном» – антирефлексивно, так как никто не приходится сыном самому себе.

Симметричность

Симметричность – это такое соотношение R, что для любых двух элементов из aRb следует bRa.

Другой пример отношения симметричности в жизни – это отношение брака (тот который “семейные узы”).

А что же, например, со знаками “больше (меньше) или равно” и “меньше (больше)”? Эти отношения не являются симметричными, однако среди них есть своя классификация.

Так, отношение “меньше (больше) ” называется асимметричным, в том смысле, что одновременное выполнение aRb и bRa невозможно. Формально это выглядит так:

Отношение “больше (меньше) или равно” называется антисимметричным, в том смысле, что из aRb и bRa следует a=b, либо нет такой пары a и b, что они связаны отношением R друг с другом. Формально:

Реальный пример отношения, которое обычно является антисимметричным, – это “оплаченный счет в ресторане”. Обычно некоторые люди сами оплачивают свои счета, в то время как другие платят за своих супругов или друзей. Пока два человека не оплачивают счета друг друга, отношение является антисимметричным.

Антисимметрия отличается от асимметрии: отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и нерефлексивно.

Транзитивность

Транзитивность – это отношение, при котором из aRb и bRc следует aRc. Простейшим примером транзитивных отношений как раз являются отношения “больше (меньше)” и “больше (меньше) или равно”:

В реальной жизни можно привести пример отношение по возрасту, в некоторых случаях подчиненности, пищевые цепочки и т.д.

Стоит заметить, что в записи этого соотношения принимают участие три элемента некоторого множества, однако считается что для одноэлементного множества транзитивность всегда выполняется.

Попытка классификация приводит нас к “нетранзитивным” или более сильным антитранзитивным отношениям. Например, “является биологическим родителем” не является транзитивным отношением, потому что, если Анна является биологическим родителем Риты, а Рита является биологическим родителем Кати, то это не означает, что Анна является биологическим родителем Кати. Более того, они антитранзитивны: Анна никогда не сможет быть биологическим родителем Кати.

Другие примеры транзитивных отношений:

• “является подмножеством”;
• “делит”;
• “подразумевает”.

Примеры нетранзитивных отношений:

• “является членом множества”;
• “перпендикулярно”.

Итак, “математические кварки” у нас есть. Что дальше? А дальше мы начинаем синтезировать первую структуру, которая называется “предпорядок”, которая обладает лишь свойствами рефлексивности и транзитивности. Продолжим в следующем материале! Спасибо за внимание!

• Подписывайтесь на канал! Ориентировать стало легче с введением подборок. Например, вот что я писал по абстрактной математике.
• TELEGRAM и Вконтакте– там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше».
Строго говоря эти словосочетания соответственно означают «примерно в десять раз больше», «примерно в 10^n раз больше, где n — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше», так как обычно подразумеваются десятичные порядки.
В переводах с английского встречается буквальное словосочетание “он получал шестизначную сумму”, что соответствует “он получал порядка 10**5” или, иначе говоря, сумму от 100 000 до чуть менее миллиона, т. е. зарплату более 100 000 долл в год.
Однако все чаще в русском языке встречаются например выражения такие: “было жарко и температура воды была порядка 30 градусов”, в смысле “приблизительно 30 градусов”.
С точки зрения истинного смысла слова “порядок” такое выражение не имеет смысла.
Ведь цифра помноженная на 10 в первой степени может быть и 10 градусов, и 90 градусов, а это уже не теплая вода, а или очень холодная, или смертельно-горячая.

в данном случае порядок определяется степень числа 10, смотря какое число ты выберешь сам….
можешь 2.03*10^(-2) или 20.3*10^(-3) или 203*10^(-4)…