Математика как найти друзей

Даже самые суровые ученые-математики иногда развлекаются – например, собираются в математических клубах и в целом неплохо проводят время. И конечно же, после таких посиделок у математиков появляется множество новых идей! Однажды такое событие произошло и в жизни лондонского исследователя Фрэнка Пламптона Рамсея, а его результатом стала наша с вами сегодняшняя задача.

В тот дождливый вечер обсудить математику собрались сразу шестеро ученых. Оказалось, что не все они были ранее знакомы между собой, и Рамсей заинтересовался вопросом: можно ли найти среди них троих знакомых между собой людей? А троих совсем не знакомых друг с другом? В итоге вопрос нашей задачи звучит так: в любой ли компании из 6 человек можно выделить троих так, чтобы все они были или знакомы между собой, или незнакомы друг с другом?

Опытные читатели уже, наверное, догадались, что такого типа задачи решаются с помощью графов. Именно так мы и поступим в этот раз: для начала, обозначим шестерых математиков вершинами и соединим ребром каждые две из них. Получился так называемый полный граф К₆:

Теперь будем раскрашивать ребра. Обозначим красным ребро между двумя вершинами, если соответствующие математики знакомы друг с другом, и синим – если в этот раз они в клубе встретились впервые. Получается, вопрос задачи будет звучать для нас так: существует ли в графе К₆ с любой двухцветной раскраской ребер одноцветный треугольник? К сожалению, по условию задачи раскраска ребер графа нам с вами неизвестна, поэтому придется включить воображение. Давайте подумаем, как могут быть раскрашены ребра, выходящие, например, из вершины 1?

Согласно принципу Дирихле, среди пяти выходящих из вершины 1 ребер хотя бы три окажутся одного цвета. Так как по условию задачи нам неважно, какого именно цвета будет искомый треугольник, будем говорить, что совпадающий цвет трех ребер – красный, как на рисунке.

Наш второй шаг – присмотреться к трем вершинам, которые с вершиной 1 соединяют ребра красного цвета: 2, 3 и 5. Они, разумеется, тоже образуют треугольник. Если все его ребра синего цвета, то мы нашли искомый треугольник – как на рисунке слева. А если нет – значит, хотя бы одно его ребро красное, и вместе с двумя ребрами, соединяющими концы его с вершиной 1, это ребро как раз образует треугольник красного цвета, как на рисунке справа.

Мы с вами нашли одноцветный треугольник для любой двухцветной раскраски ребер графа, а это значит, что теорема Рамсея доказана: среди любых шести математиков можно выделить троих так, чтобы все они были или знакомы между собой, или незнакомы друг с другом. И, конечно же, в конце – задача специально для самых внимательных: почему это доказательство не сработает для любых пяти математиков? Попробуйте найти контрпример самостоятельно!

Как сетевая математика может помочь вам находить друзей

Изучение структуры существующих дружеских связей в вашем окружении может помочь вам наилучшим образом формировать новые связи при создании нового круга друзей

Переходя в новую школу, на новую работу, переезжая в новый город – как вы заводите новых друзей? Можно подойти к вопросу активно, сформировать стратегически полезные связи с популярными ребятами. Или можно оставить всё на волю случая, полагаясь на случайны группы и связи. В любом подходе понимание структуры существующих дружеских связей в новом окружении может помочь вам сформировать наилучшие новые связи, что в итоге определит ваш круг знакомств.

Представьте себе переезд в новый необычный город, Регулярск, в котором есть странное правило: у каждого человека может быть не более четырёх друзей, но при этом каждый хочет максимизировать количество своих связей. Как будет выглядеть структура связей Регулярска? Чтобы изучить этот вопрос, мы используем математический объект под названием сеть.

Проще говоря, сеть – это набор объектов под названием «узлы», и связей между ними. Сети – понятие математически гибкое. Они могут обозначать компьютеры и связывающие их кабели, авторов и их помощников, состояния кубика Рубика и трансформации, позволяющие переходить между ними – по сути, любой тип связей, реальных или абстрактных. Чтобы изучить дружеские связи в Регулярске, мы создадим сеть, в которой узлами будут люди, а связями – дружба между ними.

Обозначая сеть, полезно будет представить узлы в виде точек, а связи – в виде линий, которые мы также можем называть рёбрами. Такая диаграмма сети может помочь нам осознать её структуру. Так как же будет выглядеть сеть дружеских связей Регулярска? В какой-то момент времени она может выглядеть так:

Каждый человек будет пытаться найти четырёх друзей, и новые люди, приезжающие в город, будут искать тех, у кого пока меньше четырёх друзей. Эта сеть будет со временем расти, и постоянно расширяться с добавлением новых узлов. (Возможно формирование независимых групп, но в данном примере мы ими пренебрежём).

Диаграммы сетей могут помогать разбираться в них, отображая чёткую структуру. Но когда сети разрастаются, или не проявляют такой регулярной структуры, как сеть Регулярска, диаграммы могут стать менее полезными. В этом случае полезно выработать различные способы анализа структуры сети. Один из них – оценить распространение степеней вершин.

В сети количество связей определённого узла называется его степенью. Узел с высокой степенью связан со многими другими; узел с низкой степенью связан с меньшим количеством других узлов.

Слева – узел со степенью 8, справа – со степенью 3

Степень узлов – важная характеристика сети, но локальная: она описывает структуру сети только в рамках одного узла. Но если охватить степени всех узлов сразу, можно создать полезный инструмент для изучения глобальной структуры сети.

В нашей сети друзей степень каждого узла – это количество друзей одного человека. В Регулярске у большинства людей есть четыре друга, поэтому у большинства узлов степень равна 4. Ни у кого не будет больше друзей, однако у кого-то их будет меньше, поэтому будут существовать узлы со степенями 3, 2 или 1. Суммировать распределение степеней можно следующим образом:

Данная гистограмма передаёт важную информацию о структуре нашей сети. В этом простом примере она может и не донести до нас столько, сколько полная диаграмма сети, но мы увидим, как распределение степеней может очень пригодиться для изучения различных сетей.

Переедем в другой город. В Беспорядовке знакомства заводятся случайным образом. Поскольку случайность – штука хитрая, давайте чётко оговорим рамки: каждый житель города обозначается узлом сети, а каждое возможное ребро – это дружеская связь. Для создания случайной связи мы выберем одно из этих возможных рёбер случайным образом, и нарисуем его, создав таким образом связь между двумя узлами, и, следовательно, дружбу между двумя людьми.

Как будет выглядеть сеть Беспорядовки? Если предположить, что мы начали с нескольких узлов и случайным образом добавили несколько рёбер, картина может получиться такой:

В такой диаграмме сложно увидеть структуру. Однако нам многое сообщит распределение степеней в этой сети. Его сложно подсчитать напрямую, но можно представить при помощи нескольких важных свойств и на простом примере.

Допустим, вы – один из десяти жителей Беспорядовки. Сколько в ней может существовать вероятных дружеских связей? Каждый из десяти жителей может быть связан с девятью другими, поэтому, в принципе, возможно нарисовать 10 × 9 = 90 рёбер. Но такой подсчёт учитывает каждую связь дважды – по разу для каждого из двух друзей. Поэтому на самом деле общее количество связей должно быть 90 / 2 = 45.

Теперь, допустим, мы случайным образом выбираем дружескую связь – то есть, одно из 45 возможных рёбер. Какова вероятность того, что ребро соединится с вами? От вас могут отходить девять рёбер, к одному из оставшихся девяти узлов. Поскольку девять из 45 возможных рёбер ведут к вам, то вероятность того, что случайно выбранное ребро соединится с вами, равняется 9 / 45 = 1 / 5, или 20%.

Но тот же самый аргумент применим и к Беспорядовке, поэтому у каждого узла будет 20% вероятность соединиться со случайно выбранным ребром. С увеличением количества рёбер и узлов эти вероятности будут немного меняться, но в долгосрочной перспективе останутся примерно на одном уровне. То есть, дружеские связи будут примерно поровну распределены по Беспорядовке. Кое-где будут наблюдаться небольшие отклонения, но вероятность того, что у человека будет слишком много или слишком мало дружеских связей, будет мала. В Беспорядовке, скорее всего, у большинства жителей количество друзей будет близко к среднему.

Эти особенности относятся к “биномиальному распределению” степеней типичной случайной сети.

Имея доступ только к распределению степеней в сети, мы уже можем обнаружить в ней определённую равномерность: большая часть узлов по показателю связности относится к средним, и очень малая часть узлов находится в крайних положениях. Эта информация полезна для понимания структуры сети. С добавлением узлов, то есть, с прибытием в город новых людей, распределение будет немного изменяться, сохраняя при этом основные черты.

Но ни один из этих примеров – не более четырёх друзей в Регулярске или случайно появляющаяся дружба в Беспорядовке – не является реалистичной моделью дружеских связей. У людей может быть больше четырёх друзей, а наличие большого количества знакомых – вовсе не такая редкость, как в биномиальном распределении. Какова же будет более реалистичная модель дружбы?

При построении связей с друзьями и друзьями друзей структура ваших дружеских связей, скорее всего, будет напоминать другие сети реального мира – пищевые сети, белок-белковые взаимодействия или интернет. Их свойства характеризуют так называемые безмасштабные сети – такая модель связности доминирует в науке о сетях уже более 20 лет. Исследователи из математики, физики, экономики, биологии и социальных наук наблюдали характерные признаки наличия безмасштабных сетей в своих областях исследований.

Сложная безмасштабная сеть социальной сети

Структура безмасштабной сети зависит от простого принципа «предпочтительных связей». Предпочтительная связь – это правило «богатые богатеют», относящееся к росту сетей. У узла с большим количеством существующих связей гораздо больше вероятность заполучить новые связи, чем у узла с небольшим количеством. Новые связи демонстрируют тяготение к узлам с большим количеством связей.

Имеет ли это смысл в контексте формирования дружеских связей? В принципе, разумно предполагать, что человек с большим количеством друзей с большей вероятностью будет заводить новых. Поскольку он уже связан с большим количеством людей, вероятность встретить новых людей благодаря существующим связям, высока. Чем больше друзей, тем больше возможностей заводить новых друзей. А то, что у них и так уже есть много друзей, говорит, что у них имеется какая-то возможность или склонность к дружбе. Это с большей вероятностью будет привлекать к ним других, точно так же, как популярные сайты привлекают ссылки с других сайтов и блогов, а развитые города порождают создание новых железных дорог и воздушных маршрутов.

И хотя на рост безмасштабных сетей влияет несколько факторов, многие считают предпочтительные связи наиболее важным. А ещё он оказывает удивительное влияние на распределение степеней в сети.

Оно предсказывает появление распределения «с толстым хвостом». Большая часть узлов в в сети будет иметь небольшую степень, но будут существовать и узлы со всё большими степенями. Это сильно отличается от дружеских сетей Регулярска и Беспорядовки, в которых узлов с большими степенями очень мало или вовсе нет.

Эти узлы с большими степенями, работают, как хабы сетей и являются критически важной характеристикой безмасштабных сетей. Они представляют собой социальных бабочек в сетях друзей, банки в центре экономик, централизованные роутеры, пропускающие сквозь себя региональные интернет-соединения, Кевинов Бейконов актёрского мира. Хабы могут обеспечить ощущение тесного мира в огромной сети – к примеру, два любых случайным образом выбранных человека из 2 миллиардов пользователей Facebook в среднем находятся от друга не дальше, чем в четырёх дружеских связях. Количество и разнообразие хабов придаёт безмасштабным сетям устойчивость к определённого типа разрывам. К примеру, даже при отказе множества интернет-соединений, сообщения всё равно смогут доходить, в частности потому, что всё равно останется множество способов добраться до многих хабов до многих других хабов.

И хотя многие соглашаются с тем, что безмасштабные сети и их свойства полезны, в этой области исследований есть свои противоречия. Точные математические характеристики такого распределения степеней иногда сложно интерпретировать. В книге «Связанные: новая наука сетей» [Linked: The New Science of Networks] пионер исследования сетей и физик Альберт-Лазло Барабаси пишет, что в сетях, демонстрирующих предпочтительные связи, распределение степеней будет следовать степенному закону. Степенные распределения часто встречаются во многих физических ситуациях – например, в законе обратных квадратов для гравитации или электрических полей. Их можно представить, как функции, имеющие вид

Их графики обычно выглядят вот так:

У степенных распределений действительно есть «толстые хвосты». Но насколько толстые? Сколько хабов определённой степени должно найтись в такой сети? В исследовании, опубликованном в этом году, было изучено более 1000 реальных сетей, и выяснено, что только у трети из них распределение степеней можно описать степенным законом. У многих сетей распределение степеней более точно можно было бы описать, как экспоненциальное или логнормальное. У них, возможно, и есть высокоуровневые свойства безмасштабных сетей, но можно ли их считать таковыми, если степени в них распределяются не так, как ожидалось? И имеет ли это вообще значение?

Это имеет значение, если мы хотим связать наши теории с нашими данными. Является ли предпочтительная связь основным фактором формирования безмасштабных сетей? Есть ли другие факторы, играющие важную роль, и способные увести распределение степеней в другую сторону? Ответив на эти вопросы и поняв, какие вопросы следует задавать дальше, мы реально будем лучше понимать природу и структуру сетей, то, как они развиваются и эволюционируют.

Эти противоречия также напоминают нам о том, что математика, как и сети, тоже представляет собой набор развивающихся связей. Современные исследования бросают вызов 20-летним гипотезам в относительно новой области исследования сетей. Новые идеи, присоединяясь к сети, связывают всех нас с математикой как прошлого, так и будущего. Так что в математических вопросах, как и в области дружбы, полезно будет найти хабы и максимизировать свою степень.

Упражнения

• Как будет выглядеть сеть друзей, если у каждого человека будет ровно по два друга?
• В Регулярске каждый человек может заводить до четырёх друзей. Там возможно существование отдельных групп, в которых у каждого человека есть ровно по четыре друга. Сколько людей может входить в такую группу? (Подсказка: ответ связан с правильными многогранниками).
• Наши сети основаны на том, что дружба – понятие симметричное. Если A дружит с Б, то Б дружит с А. Как можно подправить нашу модель сети, чтобы в неё могли входить несимметричные связи, в которых А может дружить с Б, а Б не дружить с А?
• В Дружищах каждый житель дружит со всеми остальными. Если в Дружищах живёт n людей, сколько там сформировано дружеских связей?

НОД  по ФЭМП «Поможем колобку найти друзей»

 выполнила воспитатель I
кв.кат Токарчук И.С.

Цель:
Развитие познавательной активности.

Задачи:

Обучающие:
формировать умение определять и называть геометрические фигуры,
классифицировать геометрические фигуры по нескольким признакам (толщине и размеру, цвету и
форме, форме и размеру). Совершенствовать умение пользоваться планом
— схемой при создании образа. Закреплять навыки количественного счета.

Воспитательные:
способствовать формированию внимательного, заботливого отношения к окружающим.
Побуждать желание оказывать помощь.

Развивающие:
развивать умение различать геометрические фигуры по цвету, форме, размеру.
Способствовать развитию познавательной активности. Развивать коммуникативные навыки
и умение работать в коллективе.

Ожидаемые результаты:
Ребенок любопытен. Самостоятельно находит объект по указанным признакам,
различает форму, цвет, размер предметов. С удовольствием вступает в речевое
общение с взрослым и сверстниками для принятия способа решения проблемы.

Предварительная работа. Чтение и рассказывание сказки «Колобок»,
рассматривание иллюстраций. Знакомство и игра с блоками Дьенеша. Работа с
карточками свойств.

Проведение игр и
упражнений: «Кто самый внимательный?», «Признаки фигуры», «Чудесный мешочек», «Рассели жильцов в домики», «Сложи по образцу».

Материалы: Игрушки: колобок, заяц,
волк, лиса, медведь.
Куклы бибабо: дедушка и бабушка. Ширма – домик дедушки и бабушки.
Дорожка, речка, карточки свойств. Блоки Дьенеша натуральные и плоскостные.
Альбомные листы, на которых нарисован узор. Листы с изображением мишки. Схема
бус.

Ход НОД:

 1.Мотивация
к деятельности:

Воспитатель:
Доброе утро всем, кто проснулся, Доброе утро, кто улыбнулся. Доброе утро людям
и птицам, Доброе утро приветливым лицам!

Воспитатель:
Ребята, сегодня по дороге в детский сад я встретила одного сказочного героя.

Отгадайте кто это?

Из муки он был печен

На сметане был
мешен

На окошке он
студился,

По дорожке он
катился.

Был он весел, был
он смел

И в пути он песню
пел.

Открывают шторку
на ширме, а там колобок)

Дети: колобок

Воспитатель:
Правильно. Колобок
просит нас о помощи. Убежал он от дедушки и бабушки и заблудился и
ему грустно. А давайте поможем колобку друзей наити? И тогда он снова станет
веселым…. Так что поможем?

А как мы попадем в сказку?

Нужно вместе сказать волшебные слова: по дорожке мы пойдем прямо
в сказку попадем…

Перед нами 2 дорожки: ребята они одинаковой длины или нет
давайте рассмотрим внимательноэто какая – длинная, а это-короткая

Воспитатель:
Ребята, кто это сидит на нашей дорожке? Дети: зайчик

Давайте попросим зайку быть другом для колобка? Просим…, а зайка
будет другом если ему поможем. Поможем?

1.    
Игра «Волшебный мешочек», «отгадай на ощупь», «что на что
похоже»

Воспитатель:
зайке понравились ваши ответы, и он будет другом колобку. Берем его с собой,
пусть с нами гуляют по лесу.

Воспитатель: встречаем волка, Волк будь другом для колобка, не
могу у меня важное дело, я для любимой бабули узор на коврике сделать хочу, а поможете
буду.

2.    
Игра «узор на коврике»

Считаем
сколько …………….

Берем
Волка с собой друга для колобка.

Физминутка:

Мы топаем ногами

Мы хлопаем руками

Качаем головой (руки на поясе)

Мы ручки поднимаем

Мы ручки опускаем

И прыгаем с тобой.

Воспитатель:
Кто нас встречает на дорожке?

Дети:
Медведь, мишка будь другом для колобка.

Мишка говорит, что будет дружить если мы ему поможем.

Медведь хочет чтобы мы сложили из геометрических фигур его
портрет

(повторяем их каких геом. фигур состоит портрет мишки, образец
висит на мольберте, дети его повторяют)

3.Игра «Сделай мишке портрет».

Собирают
плоскостное изображение по заданному рисунку (цвет, форма).

Воспитатель:
фигуры должны подходить по форме, цвету, размеру.

Воспитатель:
Мишка очень рад и говорит вам спасибо, и будет другом для колобка.

Физминутка:

 по дорожке мы идем

 дружно песенку поем

 раз, два, три, четыре, пять

будем снова мы шагать.

Воспитатель:
идем дальше. Кого мы встретили?

Дети:
Лисичку

Воспитатель:
Лисичка будь другом для колобка,

Лиса: конечно, буду, только вот она очень любит носить бусы, а
они порвались, давайте сделаем ей бусы, и она будет другом колобку. Ребята,
лисичка одна, а нас с вами сколько?

Дети:
Много.

Перед вами схема, по которой мы будем собирать бусы. (повторить
из каких геом. фигур состоят бусы.

4.Игра «Собери бусы».

Воспитатель:
вот мы и нашли колобку много друзей, давайте их оставим в сказочном лесу, колобка появилась улыбка,
давайте споем песенку друзей.

«Дружба крепкая»

А нам пора вернуться в детский сад.

По дорожке мы пойдем прямо в группу попадем.

5. Рефлексия, анализ

Воспитатель:
Ребята, кому мы сегодня помогли?

Дети: Колобку найти друзей

Воспитатель:
А еще кому? Дети:
Зайцу,

Воспитатель: а чем мы помогли зайке? а волку? а медведю, а лисичке.

Воспитатель:
А какое дело мы сделали? Дети: Доброе.

Воспитатель:
Вам понравилось делать добрые дела?

Задачи на встречное движение

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о встречном движении. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся навстречу друг другу. Задачи на встречное движение можно решать двумя способами.

Внеклассное мероприятие во 2 классе

«КАК НАЙТИ ДРУГА»Дружба — это золотая нить,
                                                               связывающая всех живущих в мире людей.
                                                                                                 Джон Ивлин

Цели:

1. Расширение знаний детей о дружбе.

2. Развитие умения аргументировать свою точку зрения.

3. Формирование нравственных качеств обучающихся: умение дружить, беречь дружбу, общаться в коллективе.

4. Воспитание доброжелательности, уважения друг к другу.

I. Ритуал приветствия.
Сейчас мы поприветствуем друг друга при помощи клубка, протягивая друг к другу дорожки дружбы. (Дети передают клубок, приветствуя друг друга.)
Посмотрите, сколько дорожек дружбы от нас протянулось друг к другу. Давайте поднимем руки вверх и посмотрим, как эти дорожки превратились в волшебную крышу. Что мы видим на этой крыше?
А теперь положите паутинку на пол, а я осторожно сверну эти маленькие дорожки дружбы в клубок, чтобы они превратились в одну дорогу, которая никогда не разорвется.II. Творческое задание «Разговор о дружбе»
Показать детям картину К.Чюрлениса «Дружба» или прочитать ее описание, не называя автора картины и ее названия. Слайд 3.
«В ладонях человека — шар света. На земле, где так много проблем и суеты, легко сбиться с пути и забыть, зачем ты родился. Но если солнце опустится к тебе в ладони, ты и в самой кромешной мгле найдешь правильную дорогу. Бережно и осторожно человек несет в своих ладонях солнце. – Представьте на минуту, что и вы держите этот удивительный шар в своих ладонях».
Внимательно посмотрите на картину и ответьте на вопросы:
• Почему солнце не сжигает и не ослепляет человека, а дает ему силу и спокойствие?
• От кого получил он в подарок солнце?
Придумайте название картины.
Эта картина называется «Дружба». 
На что еще может быть похожа дружба (на свечу, зеркало, цветок, звезду, солнечный луч).III. Беседа. 
• Что вы посоветуете человеку, который хочет иметь друзей, но не может их найти?
• Что нужно сделать, чтобы ваш друг детства остался вашим другом на всю жизнь?

IV. Чтение сказки «Если хочешь иметь друзей» Я. Радичкова
Не так уж трудно приобрести друзей! Одно дерево одиноко стояло у дороги и грустило, потому что у него не было друзей. Равнина была пуста, по полю бродили ветры, но никто не останавливался рядом с деревом; в небе пролетали птицы, но ни одна не садилась на его ветки, потому что они были голые. Неподалеку текла речка, но и она ни разу не остановилась у дерева поболтать с ним. Она спешила слиться с другой рекой, чтобы веселее было бежать к морю.
Конечно, по дороге ходили люди, но у каждого были свои дела, и никто не останавливался у дерева. Порой оно думало, что лучше всего ему уйти куда глаза глядят. Но деревья не могут ходить, они не могут убежать даже тогда, когда видят, что к ним идут люди с топорами.
На доске появляется рисунок дерева без листьев.
– Кто хочет быть его другом?
– Что для этого надо сделать?
Написать на листочке свое имя, прикрепить к деревцу.
Так было до весны. Как только наступила весна, дерево покрылось листвой, надело красивую зеленую шапку. Но все равно осталось одиноким.

V. Сценка «Ни за то ни за это» 

Ученик: Костя сделал скворечник и позвал Вову
Костя: Посмотри, какой птичий домик я сделал
Ученик: Вова присел на корточки
Вова: Ой, какой. Совсем настоящий! С крылечком! Знаешь что, Костя, сделай и мне такой. А я тебе за это планер сделаю.
Костя: Ладно, только давай ни за то и ни за это, а просто так: ты сделаешь планер, а я скворечник.
Учитель. Что же такое бескорыстная дружба?
– К сожалению, грубые слова иногда приходится слышать и в нашем классе, а иногда бывает и так, как в стихотворении «Два козла». Может быть, прослушав это стихотворение, кто-то узнает себя, а узнав, постарается не быть похожим на этих персонажей.

Однажды на лужайке подрались два козла.
Подрались для забавы, не то, чтобы со зла
Один из них тихонько приятеля лягнул,
Другой из них легонько приятеля боднул.
Один лягнул приятеля немножко посильней
Один разгорячился, лягнул что было сил!
Другой его рогами под брюхо подцепил
Кто прав, а кто виновен – запутанный вопрос,
Но уж козлы дерутся не в шутку, а всерьез.
Я вспомнил эту драку, когда передо мной
На школьной переменке такой же вспыхнул бой

“Друг напомнил мне вчера”.

Друг напомнил мне вчера,
Сколько сделал мне добра:
Карандаш дал мне однажды
(Я в тот день забыл пенал),
В стенгазете чуть не в каждой
Обо мне упоминал.
Я упал и весь промок,
Он мне высохнуть помог.
Он для милого дружка
Не жалел и пирожка –
Откусить мне дал когда-то,
А теперь поставил в счет,
Не влечет меня, ребята,
Больше к другу, не влечёт!

-Да, такие отношения дружескими не назовёшь

Можно ли дружить с героями этих стихов
(Учащиеся читают стихи «Сонечка» и «Жадина»)

Тронь её нечаянно – сразу:
-Караул
Ольга Николаевна, он меня толкнул!
Ой, я укололась, – слышен Сонин голос
Мне попало что-то в глаз,
Я пожалуюсь на вас!
Дома снова жалобы: – Голова болит…
Я бы полежала бы – мама не велит,
Сговорились мальчики: – Мы откроем счет
Сосчитаем жалобы– сколько будет в год
Испугалась Сонечка и сидит тихонечко.

«Жадина» 
Кто держит конфету свою в кулаке,
Чтоб съесть её тайно от всех в уголке
Кто выйдя во двор, никому из соседей
Не даст покататься на велосипеде,
Кто мелом, резинкой, любою безделицей
В классе ни с кем никогда не поделится?
Имя тому подходящей дадено
Даже не имя, а прозвище Жадина!
Жадину я ни о чем не прошу
В гости я жадину не приглашу
Не выйдет из жадины друга хорошего,
Даже приятелем не назовёшь его
Поэтому – честно, ребята, скажу –
С жадными я никогда не дружу

Так каким же должен быть настоящий друг?

Продолжи фразу:  

«Хороший друг – это….» 
Однажды дерево увидело, что ястреб гонится за воробьем. Воробей кричал со страху.
Не зная, куда деться, он шмыгнул в зеленую листву дерева. Дерево было довольно. Всю ночь оно шепталось с воробьем, а наутро птичка свила на нем гнездо и села выводить птенцов.
Однажды возле дерева остановилась телега. Возница распряг коней, бросил им сена, а сам лег вздремнуть. Ехали мимо другие люди, увидели густую тень и тоже решили отдохнуть. Проезжие уселись в тени и стали рассказывать друг другу разные истории, а дерево слушало и радовалось, что оно уже не одиноко. Оно старалось погуще положить тень, не то люди решат, что тень плохая, и уйдут.
С тех пор каждый, кто шел по дороге, останавливался отдохнуть под деревом. Верно, дерево не может идти в ногу с человеком по дороге, но зато оно может укрывать его в пути своей тенью! Так у дерева появились друзья. Оно поняло, что, если хочешь иметь друзей, нужно укрывать их своей тенью.
– Кто же стал другом дерева?
– А кто еще может быть другом?

К каждой букве слова «дружба» подобрать друга.
ДРУЖБА: дед, река, учитель, журнал, бабушка, артист

VI. Упражнение «Ромашка». 
Друзей у нас может быть очень много. Давайте изобразим их на лепестках ромашки разных цветов. На желтом лепестке нарисуем друзей-ровесников, одноклассников; на розовом лепестке – друга-взрослого, на голубом нарисуем друга-животное, на белом — воображаемого друга, героев мультфильмов.

Семья – первый друг. Слайд 10.
Пословицы о дружбе. Слайд 11.

1. Дерево живет корнями, (а человек друзьями).
2. Друга ищи, (а найдёшь береги).
3. Друг за друга стой, (выиграешь бой).
4. Доброе братство, (лучше богатства).
5. Друг лучше старый, (а платье новое).
6. Старый друг – (лучше новых двух).
7. Дружба не гриб, (в лесу не найдёшь).

VII. Составление законов дружбы – ДРУЖНО. Слайд 12.

VII. Упражнение на расслабление.
«Верный друг» (играет спокойная музыка, журчание ручейка, пение птиц)
Сядьте поудобнее и закройте глаза. Сделайте глубокий вдох и медленный выдох…
Представь себе, что ты гуляешь по небольшой тропинке в лесу. Ты слышишь плеск воды, подходишь к мосту над мелкой спокойной речкой, останавливаешься посередине моста и смотришь вниз на воду. На ее поверхности ты видишь свое отражение…
И вдруг ты чувствуешь, что ты не один. Есть еще кто-то неподалеку, и ты чувствуешь, что его присутствие тебя успокаивает. На воде ты видишь, как рядом с твоим отражением появляется еще одно. Ты чувствуешь, что этот кто-то, кто очень хорошо к тебе относится и тебя понимает. Это может быть взрослый человек, а может быть, это какое-то животное или кто-то, живущий в твоем воображении. Это неважно, главное – ты чувствуешь, что это твой верный друг, который давно знает тебя и которому ты можешь доверять. (30 секунд.)
Через какое-то время он начинает говорить о тебе, о твоей жизни. Твой друг говорит тебе, что ты в любой момент можешь прийти к нему вновь, когда тебе будет нужна его помощь, совет или понимание.
Теперь поблагодари своего друга за поддержку и попрощайся с ним.
Медленно пройди к маленькому мосту. Еще раз посмотри на свое отражение в воде. Ты помнишь о том, как было приятно, когда ты оказался на этом мосту не один, как это хорошо, когда у тебя есть человек, которому можно полностью доверять.
А теперь потянись, напряги и расслабь свое тело. Медленно открой глаза.VIII. Рефлексия занятия.
Что вы узнали о дружбе людей?
Что тебе надо развивать в себе, чтобы стать настоящим другом?
Посмотрите на своих одноклассников, есть ли среди них кто-то, кого вы хотели бы видеть своим другом?
Какое у вас сегодня настроение?
Что вы узнали сегодня о разных видах дружбы?
Почему важно иметь разных друзей?
Какие чувства вы испытываете сейчас?IX. Ритуал прощания.

Ученик 1. Если есть друзья на свете –
Все прекрасно, все цветет.
Даже самый сильный ветер,
Даже буря не согнет.

Ученик 2. Мы и в дождь, и в снег, и в стужу
Будем весело шагать.
При любой погоде дружим –
Дружбы этой не порвать.

Ученик 3. И любой из нас ответит,
Скажут все, кто юн и смел:
Мы с тобой живем на свете
Для хороших, славных дел.

– Умению дружить, общаться с людьми  – надо учиться с детства. Человек человеку друг, товарищ и брат. Нельзя быть равнодушным к чужому горю, нужно всегда помнить, что человек живет один раз на Земле, поэтому каждый день нужно творить добро.

Материал для размышления:

. Умению дружить, общаться с людьми, надо учиться с детства. Говорят, что друг познается в беде. В этом случае особенно остро проявляются такие качества как бескорыстные, доброта, отзывчивость. Хотели бы вы иметь такую подругу, как в рассказе Н.Чабаевского “Одинаковые”.

(Дети разыгрывают по ролям).

Жили две неразлучные подружки. Обе они походили друг на друга Обеих мамы одевали в одинаковые платьица, обе учились только на пятерки.

Мы во всём, во всём одинаковые, – с гордостью говорили девочки.

Но однажды Соня (так звали одну из девочек) прибежала домой и похвасталась маме:

Я получила по математике пять, а Вера только тройку. Мы стояли уже не одинаковые…

Мама внимательно посмотрела на дочку, потом сказала грустно:

Да ты стала хуже…

Я? – удивилась Соня – но ведь тройку получила не я!

Тройку получила Вера, но она получила её, потому что на днях болела. А ты обрадовалась, а это значительно хуже!

ВОПРОСЫ: 

1. За что мама осудила Соню?
2. Что бы вы сказали Соне?
3. Как ей надо было поступить?

  А как бы вы поступили в таком случае. Послушайте рассказ В.Сухомлинского “Как на свете жить?”

У маленькой Кати большая радость – поправился её папа. Больше года он болел, лежал в больнице, перенес три операции. Мама и Катя горевали. Не раз, бывало, проснется ночью Катя и слышит: мама плачет. А сегодня отец уже на работе. Здоровы и бодрый.

Встретила девочка во дворе своих одноклассников Петю и Гришу и поделилась радостью:

Наш папа выздоровел!

Мальчишки посмотрели на Катю с удивлением, пожали плечами и, ничего не сказав, побежали гонять мяч.

Катя пошла к девочкам, игравшим в классики:

Наш папа выздоровел! – сказала она.

Одна девочка с удивлением спросила:

Ну и что же?

Катя почувствовала, как к горлу подкатился комок, дышать ей стало трудно. Она отошла к одинокому деревцу и заплакала.

ВОПРОС:

Почему заплакала Катя?

Учитель. Нельзя быть равнодушными к чужому горю, нужно всегда помнить, что человек живёт один раз на Земле, поэтому каждый день нужно творить добро.