Математика как найти общий знаменатель дробей - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

При нахождении наименьшего общего знаменателя при сложении (вычитании) обыкновенных дробей учащиеся часто поступают нерационально, принимая в качестве общего знаменателя произведение знаменателей исходных дробей.

Можно использовать следующий прием, использующий навык сокращения дробей

Удобный способ нахождения общего знаменателя

Пример 1. Найти сумму дробей с разными знаменателями

Составили дробь из знаменателей дробей слагаемых и после ее сокращения на 7 получили дополнительные множители к дробям слагаемым:
2 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 21,
3 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 14
Т.е. дополнительные множители соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”

Пример 2. Найти разность дробей с разными знаменателями

Составили дробь из знаменателей, сократили ее и получили дополнительные множители, которые соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”, как в пропорции

Способ можно применять для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел (это очевидно, т.к. наименьший общий знаменатель является наименьшим общим кратным исходных знаменателей)

Пример 3. Найти наименьшее общее кратное

Составили дробь из чисел, для которых надо найти наименьшее общее кратное, сократили ее последовательно (сначала на 2, потом на 7, потом на 3) – получили несократимую дробь.
Числитель составленной дроби умножаем на знаменатель дроби после сокращения (84 умножаем на 3).
Знаменатель составленной дроби умножаем на числитель дроби после сокращения (126 умножаем на 2).
В обоих случаях получаем наименьшее общее кратное при условии, что получена именно несократимая дробь.

Алгоритм усложняется, если надо найти общий знаменатель трех и более дробей. В этом случае надо найти общий знаменатель первых двух дробей, потом найти общий знаменатель результата и следующей дроби и т.д.
Алгоритм можно применять также при сложении (вычитании) алгебраических дробей.

Источник

Нахождение наименьшего общего знаменателя бывает нужно для сложения, вычитания и сравнения дробей.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее число, которое нацело делится и на первый, и на второй знаменатель двух дробей.

Правило нахождения наименьшего знаменателя следующее:

Наименьший знаменатель

Для того, чтобы найти наименьший общий знаменатель двух дробей, нужно найти методом подбора наименьшее общее число, которое бы делилось и на первый, и на второй знаменатель. После этого нужно умножить каждую дробь на такое число, чтобы в знаменателе этих дробей получилось найденное нами наименьшее общее число.

Пример 1

Найти наименьший общий знаменатель двух дробей: 56frac{5}{6} и 34frac{3}{4}.

Решение

Находим методом подбора такое наименьшее число, которое нацело делилось бы и на 6, и на 4. Это число 12. Далее умножаем каждую дробь на такие числа, чтобы в знаменателе получилось 12. Первую дробь умножаем на 2, а вторую на 3:

56=5⋅26⋅2=1012frac{5}{6}=frac{5cdot2}{6cdot2}=frac{10}{12}

34=3⋅34⋅3=912frac{3}{4}=frac{3cdot3}{4cdot3}=frac{9}{12}

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю: 12.

Ответ

Пример 2

Найти наименьший общий знаменатель двух дробей: 521frac{5}{21} и 27frac{2}{7}.

Решение

Находим методом подбора такое наименьшее число, которое нацело делилось бы и на 21, и на 7. В этом случае это – один из знаменателей, число 21. Далее нужно умножить вторую дробь на такое число, чтобы в знаменателе получилось 21. Умножаем вторую дробь на 3:

27=2⋅37⋅3=621frac{2}{7}=frac{2cdot3}{7cdot3}=frac{6}{21}

Дроби приведены к наименьшему общему знаменателю: 21.

Ответ

Решение задач по алгебре онлайн от экспертов Студворк!

Тест по теме “Наименьший общий знаменатель”

Источник

Загрузить PDF

Для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями (числа, стоящие под дробной чертой) сначала необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Таким числом будет наименьшее кратное, которое встречается в списке кратных каждого знаменателя, то есть число, делящееся нацело на каждый знаменатель.^[1] Также вы можете вычислить наименьшее общее кратное (НОК) двух или более знаменателей. В любом случае речь идет о целых числах, методы нахождения которых весьма схожи. Определив НОЗ, вы сможете привести дроби к общему знаменателю, что в свою очередь позволит вам складывать и вычитать их.

1
Перечислите кратные каждого знаменателя. Составьте список из нескольких кратных для каждого знаменателя в уравнении. Каждый список должен состоять из произведения знаменателя на 1, 2, 3, 4 и так далее.
- Пример: 1/2 + 1/3 + 1/5
- Кратные 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; и так далее.
- Кратные 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; и так далее.
- Кратные 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; и так далее.
2
Определите наименьшее общее кратное. Просмотрите каждый список и отметьте любые кратные числа, которые являются общими для всех знаменателей. После выявления общих кратных определите наименьший знаменатель.
- Обратите внимание, что если общий знаменатель не найден, возможно, потребуется продолжить выписывать кратные до тех пор, пока не появится общее кратное число.
- Лучше (и легче) пользоваться этим методом в том случае, когда в знаменателях стоят небольшие числа.
- В нашем примере общим кратным всех знаменателей является число 30: 2 * 15 = 30; 3 * 10 = 30; 5 * 6 = 30
- НОЗ = 30
3
Перепишите исходное уравнение. Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, при этом не изменив их значения, умножьте каждый числитель (число, стоящее над дробной чертой) на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.
- Пример: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
- Новое уравнение: 15/30 + 10/30 + 6/30
4
Решите полученное уравнение. После нахождения НОЗ и изменения соответствующих дробей, просто решите полученное уравнение. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30
Реклама

1
Перечислите делители каждого знаменателя. Делитель – это целое число, которое делит нацело данное число.^[4] Например, делителями числа 6 являются числа 6, 3, 2, 1. Делителем любого числа является 1, потому что любое число делится на единицу.
- Пример: 3/8 + 5/12
- Делители 8: 1, 2, 4, 8
- Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
2
Найдите наибольший общий делитель (НОД) обоих знаменателей. Перечислив делители каждого знаменателя, отметьте все общие делители. Самый большой общий делитель является наибольшим общим делителем, который понадобится вам для решения задачи.
- В нашем примере общими делителями для знаменателей 8 и 12 являются числа 1, 2, 4.
- НОД = 4.
3
Перемножьте знаменатели между собой. Если вы хотите использовать НОД для решения задачи, сначала перемножьте знаменатели между собой.
- Пример: 8 * 12 = 96
4
Разделите полученное значение на НОД. Получив результат перемножения знаменателей, разделите его на вычисленный вами НОД. Полученное число будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).
- Пример: 96 / 4 = 24
5
Разделите НОЗ на исходный знаменатель. Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.
- Пример: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
- (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
- 9/24 + 10/24
6
Решите полученное уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 9/24 + 10/24 = 19/24
Реклама

1
Разложите каждый знаменатель на простые множители. Разложите каждый знаменатель на простые множители, то есть простые числа, которые при перемножении дают исходный знаменатель. Напомним, что простые множители – это числа, которые делятся только на 1 или самих себя.^[6]
- Пример: 1/4 + 1/5 + 1/12
- Простые множители 4: 2 * 2
- Простые множители 5: 5
- Простые множители 12: 2 * 2 * 3
2
Подсчитайте число раз каждый простой множитель есть у каждого знаменателя. То есть определите, сколько раз каждый простой множитель появляется в списке множителей каждого знаменателя.
- Пример: Есть две 2 для знаменателя 4; нуль 2 для 5; две 2 для 12
- Есть нуль 3 для 4 и 5; одна 3 для 12
- Есть нуль 5 для 4 и 12; одна 5 для 5
3
Возьмите только наибольшее число раз для каждого простого множителя. Определите наибольшее число раз наличия каждого простого множителя в любом знаменателе.
- Например: наибольшее число раз для множителя 2 – 2 раза; для 3 – 1 раз; для 5 – 1 раз.
4
Запишите по порядку найденные в предыдущем шаге простые множители. Не записывайте число раз наличия каждого простого множителя во всех исходных знаменателях – делайте это с учетом наибольшего числа раз (как описано в предыдущем шаге).
- Пример: 2, 2, 3, 5
5
Перемножьте эти числа. Результат произведения этих чисел равен НОЗ.
- Пример: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
- НОЗ = 60
6
Разделите НОЗ на исходный знаменатель. Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.
- Пример: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
- 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
- 15/60 + 12/60 + 5/60
7
Решите полученное уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15
Реклама

1
Преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножьте целую часть смешанного числа на знаменатель и сложите с числителем – это будет числитель неправильной дроби. Целое число тоже превратите в дробь (просто поставьте 1 в знаменателе).
- Пример: 8 + 2 1/4 + 2/3
- 8 = 8/1
- 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
- Переписанное уравнение: 8/1 + 9/4 + 2/3
2
Найти наименьший общий знаменатель. Вычислите НОЗ любым способом, описанным в предыдущих разделах. Для этого примера мы будем использовать метод “перечисление кратных”, в котором выписываются кратные каждого знаменателя и на их основе вычисляется НОЗ.
- Обратите внимание, что вам не нужно перечислять кратные для 1, так как любое число, умноженное на 1, равно самому себе; иными словами, каждое число является кратным 1.
- Пример: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16; т.д.
- 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; т.д.
- НОЗ = 12
3
Перепишите исходное уравнение. Числители и знаменатели исходных дробей умножьте на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.
- Например: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
- 96/12 + 27/12 + 8/12
4
Решите уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12
Реклама

Что вам понадобится

Карандаш
Бумага
Калькулятор (по желанию)

Об этой статье

Эту страницу просматривали 223 198 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Так для чего нужен общий знаменатель, или когда нужен общий знаменатель?
Ответ довольно прост, мы имеем право дроби складывать и вычитать только когда у данных дробей есть общий знаменатель. Поэтому важно понять, как находить общий знаменатель.

Определение:
Общий знаменатель – это число всегда положительное на которое делятся знаменатели данных дробей.

Формула основного свойства рациональных чисел.

Основное свойство рациональных чисел гласит:

(frac{p}{q}=frac{p times n}{q times n})

Такое решение называется приведением к общему знаменателю. Мы имеем право умножать одновременно на одно и тоже число и числитель и знаменатель.

Рассмотрим пример:

(frac{1}{2}=frac{1 times 4}{2 times 4}=frac{4}{8})

Получаем,

(frac{1}{2}=frac{4}{8})

Наименьший общий знаменатель.

Что такое наименьший общий знаменатель?

Определение:
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.

Как привести к наименьшему общему знаменателю? Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим пример:

Приведите дроби с разными знаменателями к наименьшему общему знаменателю .

Решение:
Чтобы найти наименьший общий знаменатель нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.

У первой дроби знаменатель равен 20 разложим его на простые множители.
20=2⋅5⋅2

Так же разложим и второй знаменатель дроби 14 на простые множители.
14=7⋅2

НОК(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Ответ: наименьший общий знаменатель будет равен 140.

Как привести дробь к общему знаменателю?

Нужно первую дробь (frac{1}{20}) домножить на 7, чтобы получить знаменатель 140.

(frac{1}{20}=frac{1 times 7}{20 times 7}=frac{7}{140})
А вторую дробь умножить на 10.

(frac{3}{14}=frac{3 times 10}{14 times 10}=frac{30}{140})

Правила или алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.

Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:

Нужно разложить на простые множители знаменатели дробей.
Нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей данных дробей.
Привести дроби к общему знаменателю, то есть умножить и числитель и знаменатель дроби на множитель.

Общий знаменатель для нескольких дробей.

Как найти общий знаменатель для нескольких дробей?

Рассмотрим пример:
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей (frac{2}{11}, frac{1}{15}, frac{3}{22})

Решение:
Разложим знаменатели 11, 15 и 22 на простые множители.

Число 11 оно само по себе уже простое число, поэтому его расписывать не нужно.
Разложим число 15=5⋅3
Разложим число 22=11⋅2

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 11, 15, и 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь приведем данные дроби (frac{2}{11}, frac{1}{15}, frac{3}{22}) к общему знаменатели равному 330.

(begin{align}
frac{2}{11}=frac{2 times 30}{11 times 30}=frac{60}{330} \\
frac{1}{15}=frac{1 times 22}{15 times 22}=frac{22}{330} \\
frac{3}{22}=frac{3 times 15}{22 times 15}=frac{60}{330} \\
end{align})

Вопросы по теме:
Какой общий знаменатель у дробей (bf frac{2}{25}) и (bf frac{1}{14})?
Ответ:
Какой наименьший общий знаменатель у дробей 14 и 25? Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к общему знаменателю алгебраических дробей.

Сначала разложим на простые множители знаменатели 14 и 25.
14=2⋅7
25=5⋅5
Теперь найдем НОК(14,25)=2⋅7⋅5⋅5=350.

Это мы нашли наименьший общий знаменатель:

( begin{align}
frac{2}{25}=frac{2 times 14}{25 times 14}=frac{28}{350} \\
frac{1}{14}=frac{1 times 25}{14 times 25}=frac{25}{350} \\
end{align})

Но не всегда нужно находит наименьший общий знаменатель иногда, можно найти любой знаменатель, а потом можно конечную дробь сократить. Например, для дробей (frac{2}{25}) и (frac{1}{14}) знаменателем может быть число 700, 1400 и т.д.

Источник

Математика

5 класс

Урок № 51

Приведение дробей к общему знаменателю

Перечень рассматриваемых вопросов:

основное свойство дроби;
общий знаменатель дробей;
дополнительный множитель;
НОК двух чисел;
наименьший общий знаменатель.

Тезаурус

Общий знаменатель – это число всегда положительное, на которое делятся знаменатели данных дробей.

Наименьший общий знаменатель – это наименьшее положительное число, кратное знаменателям данных дробей.

Дополнительный множитель – это число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель.

Обязательная литература:

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература:

Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы уже знаете, что дробь в математике – это число, состоящее из одной или нескольких частей единиц, и умеете определять и называть часть целого.

Вопрос: какая часть яблока на картинке?

Ответ:

Вопрос: какая часть пиццы осталась на тарелке?

Ответ: .

Или, например, круг разделили на восемь частей. Четыре части закрасили в другой цвет: значит, закрашено части круга.

Но, если посмотреть внимательнее, четыре доли круга, разделённого на восемь частей, – это ровно половина. Значит, дробь равна дроби .

Вспомним основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Дроби и имеют разные знаменатели, но их можно привести к общему знаменателю.

Для этого найдём число, которое делится на 8 и 3, – например, число 24.

Дополнительный множитель обычно пишут слева над числителем:

Приведём дроби к знаменателю 24. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 3.

Теперь умножим числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель 8.

Дробииприведены к общему знаменателю.

Далее приведём дроби и к наименьшему общему знаменателю.

Так как наименьшее общее кратное (НОК) чисел 36 и 54 равно 108, то наименьший общий знаменатель этих дробей также равен 108.

Соответственно, чтобы привести дробь к знаменателю 108, необходимо и числитель, и знаменатель дроби умножить на 3:

Чтобы привести дробь к тому же знаменателю, умножаем и числитель, и знаменатель этой дроби на 2:

Таким образом, алгоритм приведения дробей к наименьшему

деление на простые множители знаменателей дробей;
поиск наименьшего общего кратного(НОК)для знаменателей этих дробей;
приведение дроби к общему знаменателю, то есть умножение и числителя, и знаменателя дроби на множитель.

Итак, сегодня мы научились находить наименьший общий знаменатель дробей двумя способами: