Матрицы метод крамера как найти определитель

Матрицы метод крамера как найти определитель

В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.

Определение 1

Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.

Метод Крамера — вывод формул

Пример 1

Найти решение системы линейных уравнений вида:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2⋮an1x1+an2x2+…+annxn=bn

В этой системе x1, x2, …, xn – неизвестные переменные,

aij, i=1, 2, …, n; j= 1, 2, …, n – числовые коэффициенты,

b1, b2, …, bn – свободные члены. 

Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений x1, x2, …, xn, при которых все уравнения системы становятся тождественными.

Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:

AX=B, где A=a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1an2⋯ann— основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;

B=b1b2⋮bn — матрица-столбец свободных членов;

X=x1x2⋮xn— матрица-столбец неизвестных переменных.

После того как мы найдем неизвестные переменные x1, x2, …, xn, матрица X=x1x2⋮xn становится решением системы уравнений, а равенство AX=B обращается в тождество.

Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:

  • Определитель квадратной матрицы A=aij, i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮an1an2⋯ann=ap1×Ap1+ ap2×Ap2+…+apn×Apn=a1q×A1q+ a2q×A2q+…+anq×Anq

  • Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:

ap1×Ap1+ ap2×Ap2+…+apn×Apn=0a1q×A1q+ a2q×A2q+…+anq×Anq=0

p=1, 2, …, n, q=1, 2, …, n p не равно q

Приступаем к нахождению неизвестной переменной x1:

  • Умножаем обе части первого уравнения системы на А11, обе части второго уравнения на А21и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А:

A11a11x1+A11a12x2+…+A11a1nxn=A11b1A21a21x1+A21a22x2+…+A21x2nxn=A21b2⋯An1an1x1+An1an2x2+…+An1annxn=An1bn

  • Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных  , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:

x1(A11a11+A21a21+…+An1an1)++x2(A11a12+A21a22+…+An1an2)++…++xn(A11a1n+A21a2n+…+An1ann)==A11b1+A21b2+…+An1bn

Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:

А11а11+А21а21+…+Аn1an1=АА11а12+А21а22+…+Аn1аn2=0⋮A11a1n+A21a2n+…+An1ann=0

A11b1+A21b2+…+An1bn=b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮bnan2⋯ann

Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:

x1A=b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮bnan2⋯ann.

Откуда

x1=b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮bnan2⋯annA

Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

∆=b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮bnan2⋯ann, ∆x1=b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮bnan2⋯ann,

∆x2=b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮bnan2⋯ann, … ∆xn=b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮bnan2⋯ann.

то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:

x1=∆x1∆, x2=∆x2∆, …, xn=∆xn∆.

Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

  • Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
  • Найти определители

∆x1=b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮bnan2⋯ann

∆x2=b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮bnan2⋯ann

⋮

∆xn=b1a12⋯a1nb2a22⋯a2n⋮⋮⋮⋮bnan2⋯ann

Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы А путем замены k-столбца на столбец свободных членов.

  • Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:

x1=∆x1∆, x2=∆x2∆, …, xn=∆xn∆.

  • Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.

Примеры решения СЛАУ методом Крамера

Пример 2

Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:

3×1-2×2=562×1+3×2=2

Как решать?

Основная матрица представлена в виде 3-223.

Мы можем вычислить ее определитель по формуле: 

a11a12a21a22=a11×a22-a12×a21: ∆=3-223=3×3-(-2)×2=9+4=13

Записываем определители ∆x1 и ∆x2. Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель ∆x1=56-223

По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:

∆x2=35622

Находим эти определители:

∆x1=56-223=56×3-2(-2)=52+4=132

∆x2=35622=3×2-56×2=6-53=133

Находим неизвестные переменные по следующим формулам 

x1=∆x1∆, x2=∆x2∆

x1=∆x1∆=13213=12

x2=∆x2∆=313=13

Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:

312-213=56212+313=2⇔56=562=2

Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.

Ответ: x1=12, x2=13

Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.

Пример 3

Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:

2y+x+z=-1-z-y+3x=-1-2x+3z+2y=5

За основную матрицу нельзя брать 211-1-1-3-232.

Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:

x+2y+z=-13x-y-z=-1-2x+2y+3z=5

С этого момента основную матрицу хорошо видно:

1213-1-1-223

Вычисляем ее определитель:

∆=1213-1-1-223=1×(-1)×3+2×(-1)(-2)+1×2×3-1(-1)(-2)-2×3×3–1(-1)×2=-11

Записываем определители и вычисляем их:

∆x=-121-1-1-1523=(-1)(-1)×3+2(-1)×5+1(-1)×2-1(-1)×5-2(-1)×3–1(-1)×2=0

∆y=1-113-1-1-253=1(-1)×3+(-1)(-1)(-2)+1×3×5-1(-1)(-2)-(-1)–1(-1)×2=22

∆z=12-13-1-1-225=1(-1)×5+2(-1)(-2)+(-1)×3×2-(-1)(-1)(-2)-2×3×5–1(-1)×2=-33

Находим неизвестные переменные по формулам:

x=∆x∆, y=∆y∆, z=∆z∆.

x=∆x∆=0-11=0

y=∆y∆=22-11=-2

z=∆z∆=-33-11=3

Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение 0-23:

1213-1-1-223×0-23=1×0+2(-2)+1×33×0+(-1)(-2)+(-1)×3(-2)×0+2(-2)+3×3=-1-15

Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.

Ответ: x=0, y=-2, z=3

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник
Автор статьи

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Метод Крамера или так называемое правило Крамера – это способ поиска неизвестных величин из систем уравнений. Его можно использовать только если число искомых значений эквивалентно количеству алгебраических уравнений в системе, то есть образуемая из системы основная матрица должна быть квадратной и не содержать нулевых строчек, а также если её детерминант не должен являться нулевым.

Теорема 1

Теорема Крамера
Если главный определитель $D$ основной матрицы, составленной на основе коэффициентов уравнений, не равен нулю, то система уравнений совместна, причём решение у неё существует единственное. Решение такой системы вычисляется через так называемые формулы Крамера для решения систем линейных уравнений:
$x_i = frac{D_i}{D}$

В чем заключается метод Крамера

Суть метода Крамера в следующем:

  1. Чтобы найти решение системы методом Крамера, первым делом вычисляем главный определитель матрицы $D$. Когда вычисленный детерминант основной матрицы при подсчёте методом Крамера оказался равен нулю, то система не имеет ни одного решения или имеет нескончаемое количество решений. В этом случае для нахождения общего или какого-либо базисного ответа для системы рекомендуется применить метод Гаусса.
  2. Затем нужно заменить крайний столбец главной матрицы на столбец свободных членов и высчитать определитель $D_1$.
  3. Повторить то же самое для всех столбцов, получив определители от $D_1$ до $D_n$, где $n$ – номер крайнего справа столбца.
  4. После того как найдены все детерминанты $D_1$…$D_n$, можно высчитать неизвестные переменные по формуле $x_i = frac{D_i}{D}$.

Приёмы для вычисления определителя матрицы

Для вычисления определителя матрицы с размерностью больше чем 2 на 2, можно использовать несколько способов:

  • Правило треугольников, или правило Саррюса, напоминающее это же правило. Суть метода треугольников в том, что при вычислении определителя произведения всех чисел, соединённых на рисунке красной линией справа, записываются со знаком плюс, а все числа, соединённые аналогичным образом на рисунке слева – со знаком минус. B то, и другое правило подходит для матриц размером 3 х 3. В случае же правила Саррюса сначала переписывается сама матрица, а рядом с ней рядом переписываются ещё раз её первый и второй столбец. Через матрицу и эти дополнительные столбцы проводятся диагонали, члены матрицы, лежащие на главной диагонали или на параллельной ей записываются со знаком плюс, а элементы, лежащие на побочной диагонали или параллельно ей – со знаком минус.

«Метод Крамера» 👇

Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

Рисунок 1. Правило треугольников для вычисления определителя для метода Крамера

  • С помощью метода, известного как метод Гаусса, также иногда этот метод называют понижением порядка определителя. В этом случае матрица преобразуется и приводится к треугольному виду, а затем перемножаются все числа, стоящие на главной диагонали. Следует помнить, что при таком поиске определителя нельзя домножать или делить строчки или столбцы на числа без вынесения их как множителя или делителя. В случае поиска определителя возможно только вычитать и складывать строки и столбы между собой, предварительно помножив вычитаемую строку на ненулевой множитель. Также при каждой перестановке строчек или столбцов матрицы местами следует помнить о необходимости смены конечного знака у матрицы.
  • При решении методом Крамера СЛАУ с 4 неизвестными, лучше всего будет применять именно метод Гаусса для поиска и нахождения определителей или опредлять детерминант через поиск миноров.

Решение систем уравнений методом Крамера

Применим метод Крамера для системы из 2 уравнений и двумя искомыми величинами:

$begin{cases} a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \ end{cases}$

Отобразим её в расширенной форме для удобства:

$A = begin{array}{cc|c} a_1 & a_2 & b_1 \ a_3 & a_4 & b_1 \ end{array}$

Найдём определитель основной матрицы, также называемый главным определителем системы:

$D = begin{array}{|cc|} a_1 & a_2 \ a_3 & a_4 \ end{array} = a_1 cdot a_4 – a_3 cdot a_2$

Если главный определитель не равен нулю, то для решения слау методом Крамера необходимо высчитать ещё парочку определителей от двух матриц с заменёнными столбцами основной матрицы на строчку свободных членов:

$D_1 = begin{array}{|cc|} b_1 & a_2 \ b_2 & a_4 \ end{array} = b_1 cdot a_4 – b_2 cdot a_4$

$D_2 = begin{array}{|cc|} a_1 & b_1 \ a_3 & b_2 \ end{array} = a_1 cdot b_2 – a_3 cdot b_1$

Теперь найдём неизвестные $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = frac {D_1}{D}$

$x_2 = frac {D_2}{D}$

Пример 1

Метод Крамера для решения СЛАУ с основной матрицей 3 порядка (3 x 3) и тремя искомыми.

Решите систему уравнений:

$begin{cases} 3x_1 – 2x_2 + 4x_3 = 21 \ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\ 2x_1 – x_2 – x_3 = 10 \ end{cases}$

Сосчитаем главный детерминант матрицы пользуясь вышеизложенным под пунктом номер 1 правилом:

$D = begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 4 \3 & 4 & -2 \ 2 & -1 & 1 \ end{array} = 3 cdot 4 cdot (-1) + 2 cdot (-2) cdot 2 + 4 cdot 3 cdot (-1) – 4 cdot 4 cdot 2 – 3 cdot (-2) cdot (-1) – (-1) cdot 2 cdot 3 = – 12 – 8 -12 -32 – 6 + 6 = – 64$

А теперь три других детерминанта:

$D_1 = begin{array}{|ccc|} 21 & 2 & 4 \ 9 & 4 & 2 \ 10 & 1 & 1 \ end{array} = 21 cdot 4 cdot 1 + (-2) cdot 2 cdot 10 + 9 cdot (-1) cdot 4 – 4 cdot 4 cdot 10 – 9 cdot (-2) cdot (-1) – (-1) cdot 2 cdot 21 = – 84 – 40 – 36 – 160 – 18 + 42 = – 296$

$D_2 = begin{array}{|ccc|} 3 & 21 & 4 \3 & 9 & 2 \ 2 & 10 & 1 \ end{array} = 3 cdot 9 cdot (- 1) + 3 cdot 10 cdot 4 + 21 cdot 2 cdot 2 – 4 cdot 9 cdot 2 – 21 cdot 3 cdot (-1) – 2 cdot 10 cdot 3 = – 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = 108$

$D_3 = begin{array}{|ccc|} 3 & -2 & 21 \ 3 & 4 & 9 \ 2 & 1 & 10 \ end{array} = 3 cdot 4 cdot 10 + 3 cdot (-1) cdot 21 + (-2) cdot 9 cdot 2 – 21 cdot 4 cdot 2 – (-2) cdot 3 cdot 10 – (-1) cdot 9 cdot 3 = 120 – 63 – 36 – 168 + 60 + 27 = – 60$

Найдём искомые величины:

$x_1 = frac{D_1} {D} = frac{- 296}{-64} = 4 frac{5}{8}$

$x_2 = frac{D_1} {D} = frac{108} {-64} = – 1 frac {11} {16}$

$x_3 = frac{D_1} {D} = frac{-60} {-64} = frac {15} {16}$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Метод Крамера часто применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этот способ решения один из самых простых. Как правило, данный метод применяется только для тех систем, где по количеству неизвестных столько же, сколько и уравнений. Чтобы получилось решить уравнение, главный определитель матрицы не должен равняться нулю.

Габриель Крамер - математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – известный математик, который родился 31 июля 1704 года. Ещё в детстве Габриель поражал своими интеллектуальными способностями, особенно в области математики. Когда Крамеру было 20 лет, он устроился в Женевский университет штатным преподавателем.

Во время путешествия по Европе Габриель познакомился с математиком Иоганном Бернулли, который и стал его наставником. Только благодаря Иоганну, Крамер написал много статей по геометрии, истории математики и философии. А в свободное от работы время изучал математику всё больше и больше.

Наконец-то наступил тот день, когда Крамер нашёл способ, при помощи которого можно было бы легко решать не только лёгкие, но и сложные системы линейных уравнений.

В 1740 году у Крамера были опубликованы несколько работ, где доступно изложено решение квадратных матриц и описан алгоритм, как находить обратную матрицу. Далее математик описывал нахождения линейных уравнений разной сложности, где можно применить его формулы. Поэтому тему так и назвали: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Учёный умер в возрасте 48 лет (в 1752 году). У него было ещё много планов, но, к сожалению, он так и не успел их осуществить.

Вывод формулы Крамера

Пусть дана система линейных уравнений такого вида:

 left{ begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 end{aligned} right

где x, y, z – неизвестные переменные, a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{21}, a_{22}, a_{23}, a_{31}, a_{32}, a_{33} – это числовые коэффициенты, в b_{1}, b_{2}, b_{3} – свободные члены.

Решением СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнение) называются такие неизвестные значения x, y, z при которых все уравнения данной системы преобразовываются в тождества.

Если записать систему в матричном виде, тогда получается A * X = B, где

A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{31}\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\ a_{13}&a_{23}&a_{33} end{pmatrix} right

В данной главной матрице находятся элементы, коэффициенты которых при неизвестных переменных,

B = begin{pmatrix} b_{1}\ b_{2}\ b_{3} end{pmatrix} right

Это матрица-столбец свободных членов, но есть ещё матрица-столбец неизвестных переменных:

X = begin{pmatrix} x\ y\ z end{pmatrix} right

После того, когда найдутся неизвестные переменные, матрица X и будет решением системы уравнений, а наше равенство A * X = B преобразовывается в тождество. A * Xeqiv{B}. Если умножить A^{-1}, тогда (A^{-1} * A) * X = A^{-1} * B. Получается: X = A^{-1} * B.

Если матрица A – невырожденная, то есть, её определитель не равняется нулю, тогда у СЛАУ есть только одно единственное решение, которое находится при помощи  метода Крамера.

Как правило, для решения систем линейных уравнений методом Крамера, нужно обращать внимания на два свойства, на которых и основан данный метод:

1. Определитель квадратной матрицы A равняется сумме произведений элементов любой из строк (столбца) на их алгебраические дополнения:

A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{n_1}\ a_{12}&a_{22}&...&a_{n_2}\ a_{13}&a_{23}&...&a_{n_3} end{pmatrix} = a_{q1} * A_{q1} + a_{q2} * A_{q2} + ... + a_{qn} * A_{qn} = a_{1k} * A_{1k} + a_{2k} * A_{2k} + ... + a_{nk} * A_{nk} right, здесь q – 1, 2, …, n; k – 1, 2, 3, …, n.

2. Сумма произведений элементов данной матрицы любой строки или любого столбца на алгебраические дополнения определённых элементов второй строки (столбца) равняется нулю:

a_{q1} * A_{q1} + a_{q2} * A_{q2} + ... + a_{qn} * A_{qn} = 0,

a_{1k} * A_{1k} + a_{2k} * A_{2k} + ... + a_{nk} * A_{nk} = 0,

где q – 1, 2, …, n; k – 1, 2, 3, …, n. qneq{k}.

Итак, теперь можно найти первое неизвестное x. Для этого необходимо умножить обе части первого уравнения системы на A_{11}, части со второго уравнения на A_{21}, обе части третьего уравнения на A_{31} и т. д. То есть, каждое уравнение одной системы нужно умножать на определённые алгебраические дополнения первого столбца матрицы A:

 left{ begin{aligned} A_{11}a_{11}x + A_{11}a_{12}y + A_{11}a_{13}z = A_{11}b_1\ A_{21}a_{21}x + A_{21}a_{22}y + A{21}a_{23}z = A_{21}b_2\ A_{31}a_{31}x + A_{31}a_{32}y + A_{31}a_{33}z = A_{31}b_3 end{aligned} right

Теперь прибавим все левые части уравнения, сгруппируем слагаемые, учитывая неизвестные переменные x, y, z и приравняем эту же сумму к сумме правых частей системы уравнения:

x * (A_{11}a_{11} + A_{21}a_{21} + ... + A_{n}a_{n}) + y* (A_{11}a_{12} + A_{21}a_{22} + ... + A_{n}a_{n}) + \ + z * (A_{11}a_{1n} + A_{21}a_{2n} + ... + A_{1n}a_{nn}) = A_{11}b_{1} + A_{21b_{2} + ... + A_{1n}b_{n}.

Можно обратиться к вышеописанным свойствам определителей и тогда получим:

A_{11}a_{11} + A_{21}a_{21} + ... + A_{1n}a_{1n} = |A|\ A_{11}a_{12} + A_{21}a_{22} + ... + A_{1n}a_{2n} = 0\ .......................................................\ A_{11}a_{1n} + A_{21}a_{2n} + ... + A_{1n}a_{nn} = 0\ A_{11}b_{1} + A_{21}b_{2} + ... + A_{1n}b_{n} = begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&...&a_{1n}\ b_{2}&a_{22}&...&a_{2n}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ b_{n}&a_{2n}&...&a_{nn} end{vmatrix} right

И предыдущее равенство уже выглядит так:

x * |A| = begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&...&a_{1n}\ b_{2}&a_{22}&...&a_{2n}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ b_{n}&a_{2n}&...&a_{nn}\ end{vmatrix} right

Откуда и получается x = |A|.

Аналогично находим y. Для этого надо умножить обе части уравнений на алгебраические дополнения, которые находятся во втором столбце матрицы A.

 left{ begin{aligned} A_{12}a_{11}x + A_{12}a_{12}y + dots + A_{12}a_{1n}z = A_{12}b_1\ A_{22}a_{22}x + A_{22}a_{22}y + dots + A{22}a_{2n}z = A_{22}b_2\ vdots&\ A_{2n}a_{1n}x + A_{2n}a_{2n}y + dots + A_{2n}a_{nn}z = A_{2n}b_n end{aligned} right

Теперь нужно сложить все уравнения системы и сгруппировать слагаемые при неизвестных переменных. Для этого вспомним свойства определителя:

x * (A_{12}a_{11} + A_{22}a_{21} + dots + A_{2n}a_{1n}) + y * (A_{12}a_{12} + A_{22}a_{22} + \ + dots + A_{2n}a_{2n}) + dots + to{z} * (A_{12}a_{1n} + A_{22}a_{2n} + dots + A_{2n}a_{nn}) = \ = A_{12}b_{1} + A_{22}b_{2} + dots + A_{2n}b_{n}to{x} * 0 + y * |A| + dots + z * 0 = \ = begin{vmatrix} a_{11}&b_{1}&dots&a_{1n}\ a_{21}&b_{2}&dots&a_{2n}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ a_{1n}&b_{n}&dots&a_{nn} end{vmatrix}to{y}* |A| = begin{vmatrix} a_{11}&b_{1}&dots&a_{1n}\ a_{21}&b_{2}&dots&a_{2n}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ a_{1n}&b_{n}&dots&a_{nn} end{vmatrix} right

Откуда получается y = |A|.

Аналогично находятся все остальные неизвестные переменные.

Если обозначить:

Delta = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\ a_{12}&a_{22}&...&a_{2n}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ a_{1n}&a_{2n}&...&a_{nn} end{vmatrix}, right

Delta_{x}= begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&...&a_{1n}\ b_{2}&a_{22}&...&a_{2n}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ b_{n}&a_{2n}&...&a_{nn} end{vmatrix}, right

Delta_{y}= begin{vmatrix} a_{11}&b_{1}&...&a_{1n}\ a_{21}&b_{2}&...&a_{2n}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ a_{1n}&b_{n}&...&a_{nn} end{vmatrix},

Delta_{z}= begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&...&b_{1}\ a_{21}&a_{22}&...&b_{2}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ a_{1n}&a_{2n}&...&b_{n} end{vmatrix} , right

тогда получаются формулы, благодаря которым находятся неизвестные переменные методом Крамера:

{x} = {Delta_{x}over{Delta}}, {y} = {Delta_{y}over{Delta}}, {z} = {Delta_{z}over{Delta}}.

Замечание.

Тривиальное решение (x = y = dots = z = 0 при Aneq{0}) может быть только в том случае, если система уравнений является однородной (b_1 = b_2 = dots = b_n = 0). И действительно, если все свободные члены нулевые, тогда и определители равняются нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Конечно же, тогда формулы {x} = {Delta_{x}over{Delta}}, {y} = {Delta_{y}over{Delta}}, {z} = {Delta_{z}over{Delta}} дадут x = y = dots = z = 0

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Метод Крамера – теоремы

Прежде чем решать уравнение , необходимо знать:

  1. теорему аннулирования;
  2. теорему замещения.

Теорема замещения

Сумма произведений алгебраических дополнений любого столбца (строки) на произвольные числа b_1, b_2, b_3 равняется новому определителю, в котором этими числами заменены соответствующие элементы изначального определителя, что отвечают данным алгебраическим дополнениям.

Например,

b_1A_{11} + b_2A_{21} + b_3A_{32} = begin{vmatrix} b_1&a_{12}&a_{13}\ b_2&a_{22}&a_{23}\ b_3&a_{32}&a_{33} end{vmatrix} right

где A_{11}, A_{21}, A_{31} – алгебраические дополнения элементов a_{11}, a_{21}, a_{31} первого столбца изначального определителя:

Delta = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33} end{vmatrix} right

Теорема аннулирования

Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равняется нулю.

Например:

a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21} + a_{32}A_{31} = 0.

Алгоритм решения уравнений методом Крамера

Метод Крамера – простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Такой вариант применяется исключительно к СЛАУ, у которых совпадает количество уравнений с количеством неизвестных, а определитель отличен от нуля.

Итак, когда выучили все этапы, можно переходить к самому алгоритму решения уравнений методом Крамера. Запишем его последовательно:

Шаг 1. Вычисляем главный определитель матрицы

Delta = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&dots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&dots&a_{2n}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ a_{1n}&a_{2n}&dots&a_{nn} end{vmatrix} right

и необходимо убедиться, что определитель отличен от нуля (не равен нулю).

Шаг 2. Находим определители

Delta_{x} = begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&dots&a_{1n}\ b_{2}&a_{22}&dots&a_{2n}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ b_{n}&a_{2n}&dots&a_{nn} end{vmatrix} right

Delta_{y} = begin{vmatrix} a_{11}&b_{1}&dots&a_{1n}\ a_{21}&b_{2}&dots&a_{2n}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ a_{1n}&b_{n}&dots&a_{nn} end{vmatrix} rightvdots

Delta_{z} = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&dots&b_{1}\ a_{21}&a_{22}&dots&b_{2}\ vdots&vdots&vdots&vdots\ a_{1n}&a_{2n}&dots&b_{n} end{vmatrix} right

Это и есть определители матриц, которые получались из матрицы A при замене столбцов на свободные члены.

Шаг 3. Вычисляем неизвестные переменные

Теперь вспоминаем формулы Крамера, по которым вычисляем корни (неизвестные переменные):

{x} = {Delta_{x}over{Delta}}, {y} = {Delta_{y}over{Delta}}, {z} = {Delta_{z}over{Delta}}.

Шаг 4. Выполняем проверку

Выполняем проверку решения при помощи подстановки x, y, z в исходную СЛАУ. Абсолютно все уравнения в системе должны быть превращены в тождества. Также можно высчитать произведение матриц A * X. Если в итоге получилась матрица, которая равняется B, тогда система решена правильно. Если же не равняется B, скорей всего в одном из уравнений есть ошибка.

Давайте для начала рассмотрим систему двух линейных уравнений, так как она более простая и поможет понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы поймёте простые и короткие уравнения, тогда сможете решить более сложные системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Кроме всего прочего, есть системы уравнений с двумя переменными, которые решаются исключительно благодаря правилу Крамеру.

Итак, дана система двух линейных уравнений:

left{ begin{aligned} a_{1}x + b_{1}y = S_1\ a_{2}x + b_{2}y = S_2\ end{aligned} right

Для начала вычисляем главный определитель (определитель системы):

Delta = begin{vmatrix} a_{1}&b_{1}\ a_{2}&b_{2}\ end{vmatrix} right

Значит, если Delta = 0, тогда у системы или много решений, или система не имеет решений. В этом случае пользоваться правилом Крамера нет смысла, так как решения не получится и нужно вспоминать метод Гаусса, при помощи которого данный пример решается быстро и легко.

В случае, если Deltaneq{0}, тогда у система есть всего одно решение, но для этого необходимо вычислить ещё два определителя и найти корни системы.

Delta_x = begin{vmatrix} S_{1}&b_{1}\ S_{2}&b_{2}\ end{vmatrix} right

и

Delta_y = begin{vmatrix} a_{1}&S_{1}\ a_{2}&S_{2}\ end{vmatrix} right

Часто на практике определители могут обозначаться не только Delta, но и латинской буквой D, что тоже будет правильно.

Корни уравнения найти просто, так как главное, знать формулы:

x = {Delta_{x}over{Delta}}, y = {Delta_{y}over{Delta}}

Так как мы смогли решить систему двух линейных уравнений, теперь без проблем решим и систему трёх линейных уравнений, а для этого рассмотрим систему:

left{ begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 end{aligned} right

(1)

Здесь алгебраические дополнения элементов – первый столбец {A_{11}, A_{21}, A_{31}. Во время решения не забывайте о дополнительных элементах. Итак, в системе линейных уравнений нужно найти три неизвестных – x, y, z при известных других элементах.

Создадим определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

Delta = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33} end{vmatrix} right

Умножим почленно каждое уравнение соответственно на A_{11}, A_{21}, A_{31} – алгебраические дополнения элементов первого столбца (коэффициентов при x) и прибавим все три уравнения. Получаем:

x(a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}) + y(a_{12}A_{11} + a_{22}A_{21} + a_{32}A_{31}) + z(a_{13}A_{11} + a_{23}A_{21} + a_{33}A_{31}) = b_1A_{11} + b_2A_2_1 + b_3A_{31}.

Согласно теореме про раскладывание, коэффициент при x равняется Delta. Коэффициенты при y и z будут равняться нулю по теореме аннулирования. Правая часть равенства по теореме замещения даёт новый определитель, который называется вспомогательным и обозначается

Delta_x = begin{vmatrix} b_1&a_{12}&a_{13}\ b_2&a_{22}&a_{23}\ b_3&a_{32}&a_{33} end{vmatrix} right

После этого можно записать равенство:

x * Delta + y * 0 + z * 0 = Delta_x

(2)

Для нахождения y и z перемножим каждое из уравнений изначальной системы в первом случае соответственно на A_{12}, A_{22}, A_{32},, во втором – на A_{13}, A_{23}, A_{33} и прибавим. Впоследствии преобразований получаем:

y * Delta = Delta_y, z * Delta = Delta_z

 где

Delta_y= begin{vmatrix} a_{11}&b_1&a_{13}\ a_{21}&b_2&a_{23}\ a_{31}&b_3&a_{33} end{vmatrix},

Delta_z = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&b_1\ a_{21}&a_{22}&b_2\ a_{31}&a_{32}&b_3 end{vmatrix}. right

Если  Deltaneq0, тогда в результате получаем формулы Крамера:

x= Delta_xover{Delta}, y = Delta_yover{Delta}, z = Delta_zover{Delta}

Порядок решения однородной системы уравнений

Отдельный случай – это однородные системы:

left{ begin{aligned} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = 0,\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = 0,\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = 0. end{aligned} right

(3)

Среди решений однородной системы могут быть, как нулевые решения (x = y = z = 0), так и решения отличны от нуля.

Если определительDelta однородной системы (3) отличен от нуля (Deltaneq0), тогда у такой системы может быть только одно решение.

Действительно, вспомогательные определители Delta_x = Delta_y = Delta_z = 0, как такие у которых есть нулевой столбец и поэтому, за формулами Крамера (x = y = z = 0).

Если у однородной системы есть отличное от нуля решение, тогда её определитель Delta равняется нулю (Delta = 0).

Действительно, пусть одно из неизвестных , например, x, отличное от нуля. Согласно с однородностью Delta_x = 0. Равенство (2) запишется: Delta * x = 0. Откуда выплывает, что Delta = 0 (xneq0).

Примеры решения методом Крамера

Рассмотрим на примере решение методом Крамера и вы увидите, что сложного ничего нет, но будьте предельно внимательно, так как частые ошибки в знаках приводят к неверному ответу.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

left{ begin{aligned} 5x_{1} + 2x_{2} = 7\ 2x_{1} + 2x_{2} = 9 end{aligned} right

Решение

Первое, что надо сделать – вычислить определитель матрицы:

Delta = begin{vmatrix} 5&2\ 2&2 end{vmatrix} = 5 * 2 - 2 * 2 = 6neq{0} right

Как видим, Deltaneq{0}, поэтому по теореме Крамера система имеет единственное решение (система совместна). Далее нужно вычислять вспомогательные определители. Для этого заменяем первый столбец из определителя Delta на столбец свободных коэффициентов. Получается:

Delta_{1} = begin{vmatrix} 7&2\ 9&2 end{vmatrix} = 14 - 18 = -4. right

Аналогично находим остальные определители:

Delta_{2} = begin{vmatrix} 5&7\ 2&9 end{vmatrix} = 45 - 14 = 31. right

И проверяем:

x_{1} = {Delta_{1}over{Delta}} = {- 4over{6}} = -0.7,

x_{2} = {Delta_{2}over{Delta}} = {31over{6}} = 5.1.

Ответ

x_{1} = -0.7, x_{2} = 5.1.

Задача

Решить систему уравнений методом Крамера:

left{ begin{aligned} 3x - 4y + 2z = 5\ 2x + y + 4z = 9\ 5x - 2y - z = 3 end{aligned} right

Решение

Находим определители:

Delta= begin{vmatrix} 3&-4&2\ 2&1&4\ 5&-2&-1 end{vmatrix}= 3 * 7 - (-4) * (-22) + 2 * (-9) = -85, right

Delta_x = begin{vmatrix} 5&-4&2\ 9&1&4\ 3&-2&-1 end{vmatrix}= 5 * 7 - 9 * 8 + 3 * (-18) = -91, right

Delta_y = begin{vmatrix} 3&5&2\ 2&9&4\ 5&3&-1 end{vmatrix}= 3 * (-21) - 5 * (-22) + 2 * (-39) = -31, right

Delta_z= begin{vmatrix} 3&-4&5\ 2&1&9\ 5&-2&3 end{vmatrix}= 9- 180 - 20 - 25 + 54 + 24 = - 138; right

Ответ

x = Delta_xover{Delta} = 91over{85},   y = Delta_yover{Delta} = 31over{85},   z= Delta_zover{Delta} = 138over{85}

Проверка

1over{85}*(3*91 - 4 * 31 + 2 * 138) = 1over{85} * (273 - 124 + 276) = 425over{85} = 5,

1over{85}*(2*91 + 31 + 4 * 138) = 1over{85} * (182 + 31 + 552) = 765over{85} = 9,

1over{85}*(5*91 - 2 * 31 - 138) = 1over{85} * (455 - 62 - 138) = 245over{85} = 3,

Уравнение имеет единственное решение.

Ответ

x = 91over{85},   y = 31over{85},   z = 138over{85}

Задача

Решить систему методом Крамера

left{ begin{aligned} 3x - y = 5\ - 2x + y + z = 0\ 2x - y + 4z = 15 end{aligned} right

Решение

Как вы понимаете, сначала находим главный определитель:

Delta = begin{vmatrix} 3&-1&0\ -2&1&1\ 2&-1&4 end{vmatrix}= 3 * 1 * 4 + (-2) * (-1) * 0 + (-1) * 1 * 2 - 0 * 1 * 2 - \ - 1 * (-1) * 3 - (-1) * (-2) * 4 = 12 - 2 + 3 - 8 = 5. right

Как мы видим, главный определитель не равняется нулю и поэтому система имеет единственное решение. Теперь можно вычислить остальные определители:

Delta_x = begin{vmatrix} 5&-1&0\ 0&1&1\ 15&-1&4 end{vmatrix}= 5 * 1 * 4 + (-1) * 1 * 15 + 0 * (-1) * 0 - 0 * 1 * 15 - \ - 1 * (-1) * 5 - (-1) * 0 * 4 = 20 - 15 + 5 = 10. right

Delta_y = begin{vmatrix} 3&5&0\ -2&0&1\ 2&15&4 end{vmatrix}= 3 * 0 * 4 + 5 * 1 * 2 + (-1) * 15 * 0 - 0 * 0 * 2 - 1 * \ * 15 * 3 - 5 * (-2) * 4 = 15 - 45 + 40 = 5. right

Delta_z = begin{vmatrix} 3&-1&5\ -2&1&0\ 2&-1&15 end{vmatrix}= 3 * 1 * 15 + (-1) * 0 * 2 + (-2) * (-1) * 5 - 5 * 1 * 2 - 0 * (-1) * 3 - (-1) * *(-2) * 15 = 45 + 10 - 10 - 30 = 15. right

При помощи формул Крамера находим корни уравнения:

x = {Delta_{x}over{Delta}} = {10over{5}} = 2, y = {Delta_{y}over{Delta}} = {5over{5}} = 1, z = {Delta_{z}over{Delta}} = {15over{5}} = 3.

Чтобы убедиться в правильности решения, необходимо сделать проверку:

left{ begin{aligned} 3 * 2 - 1 = 5\ - 2 * 2 + 1 + 3 = 0\ 2 * 2 - 1 + 4* 3 = 15 end{aligned} right

Как видим, подставив в уравнение решённые корни, у нас ответ получился тот же, что и в начале задачи, что говорит о правильном решении уравнений.

Ответ

Система уравнений имеет единственное решение: x = 2, y = 1, z = 3.

Есть примеры, когда уравнение решений не имеет. Это может быть в том случае, когда определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных неравны нулю. В таком случае говорят, что система несовместна, то есть не имеет решений. Посмотрим на следующем примере, как такое может быть.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

left{ begin{aligned} 2x - y + 3z = 9\ 3x - 5y + z = -4\ 4x - 7y + z = 5 end{aligned} right

Решение

Как и в предыдущих примерах находим главный определитель системы:

Delta = begin{vmatrix} 2&-1&3\ 3&-5&1\ 4&-7&1 end{vmatrix}= -10 - 4 - 63 + 60 + 14 + 3 = 0. right

В этой системе определитель равняется нулю, соответственно, система несовместна и определенна или же несовместна и не имеет решений. Чтобы уточнить, надо найти определители при неизвестных так, как мы делали ранее:

Delta_x = begin{vmatrix} 9&-1&3\ -4&-5&1\ 5&-7&1 end{vmatrix}= -45 - 5 + 84 + 75 - 4 63 = 168. right

Delta_y = begin{vmatrix} 2&9&3\ 3&-4&1\ 4&5&1 end{vmatrix}= -8 + 36 + 45 + 48 - 27 - 10 = 84. right

Delta_z = begin{vmatrix} 2&-1&9\ 3&-5&-4\ 4&-7&5 end{vmatrix}= -50 + 16 - 189 + 180 - 56 + 15 = - 84. right

Мы нашли определители при неизвестных и увидели, что все они не равны нулю. Поэтому система несовместна и не имеет решений.

Ответ

Система не имеет решений.

Часто в задачах на системы линейных уравнений встречаются такие уравнения, где есть не одинаковые буквы, то есть, кроме букв, которые обозначают переменные, есть ещё и другие буквы и они обозначают некоторое действительное число. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных – буквы. Давайте и рассмотрим такой пример.

Задача

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

left{ begin{aligned} ax - 3y = 1\ 2x + ay = 2 end{aligned} right

Решение

В этом примере a – некоторое вещественное число. Находим главный определитель:

Delta = begin{vmatrix} a&-3\ 2&a end{vmatrix}= a^2 + 6. right

Находим определители при неизвестных:

Delta_x = begin{vmatrix} 1&-3\ 2&a end{vmatrix}= a + 6. right

Delta_y = begin{vmatrix} a&1\ 2&2 end{vmatrix} = 2a - 2 = 2(a - 2). right

Используя формулы Крамера, находим:

{x} = {a + 6over{a^2 + 6}}, {y} = {2(a - 1)over{a^2 + 6}}.

Ответ

{x} = {a + 6over{a^2 + 6}},

{y} = {2(a - 1)over{a^2 + 6}}.

И наконец, мы перешли к самой сложной системе уравнений с четырьмя неизвестными. Принцип решения такой же, как и в предыдущих примерах, но в связи с большой системой можно запутаться. Поэтому рассмотрим такое уравнение на примере.

Задача

Найти систему линейных уравнений методом Крамера:

left{ begin{aligned} 2x_{1} + 2x_{2} - x_{3} + x_{4} = 4\ 4x_{1} + 3x_{2} - x_{3} + 2x_{4} = 6\ 8x_{1} + 5x_{2} - 3x_{3} + 4x_{4} = 12\ 3x_{1} + 3x_{2} - 2x_{3} + 2x_{4} = 6 end{aligned} right

Здесь действуют система определителей матрицы высших порядков, поэтому вычисления и формулы рассмотрены в этой теме, а мы сейчас просто посчитаем систему уравнений с четырьмя неизвестными.

Решение

Delta = begin{vmatrix} 2&2&-1&1\ 4&3&-1&2\ 8&5&-3&4\ 3&3&-2&2 end{vmatrix} = begin{vmatrix} 2&2&-1&1\ 1&0&1&0\ 2&-1&1&0\ -1&-1&0&0 end{vmatrix} = 1* begin{vmatrix} 1&0&1\ 2&-1&1\ -1&-1&0 end{vmatrix} = \ = 0 + 0 - 2 - 1 - 0 + 1 = - 2 right

В изначальном определители из элементов второй строки мы отнимали элементы четвёртой строки, а из элементов третьей строки отнимались элементы четвёртой строки, которые умножались на 2. Также отнимали из элементов четвёртой строки элементы первой строки, умноженной на два. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Теперь можно находить определители при неизвестных:

Delta {x}_{1} = begin{vmatrix} 4&2&-1&1\ 6&3&-1&2\ 12&5&-3&4\ 6&3&-2&2 end{vmatrix} = begin{vmatrix} 4&2&-1&1\ 0&0&1&0\ 0&-1&1&0\ -2&-1&0&0 end{vmatrix} = 1 * begin{vmatrix} 0&0&1\ 0&-1&1\ -2&-1&0 end{vmatrix} = 1 * 1 * \ * begin{vmatrix} 0&-1\ -2&-1 end{vmatrix} = 0 - 2 = -2 right

Delta {x}_{2} = begin{vmatrix} 2&4&-1&1\ 4&6&-1&2\ 8&12&-3&4\ 3&6&-2&2 end{vmatrix} = begin{vmatrix} 2&4&-1&1\ 1&0&1&0\ 2&0&1&0\ -1&-2&0&0 end{vmatrix} = 1 * \ * begin{vmatrix} 1&0&1\ 2&0&1\ -1&-2&0 end{vmatrix} = 1 * begin{vmatrix} 1&0&1\ 1&0&0\ -1&-2&0 end{vmatrix} = 1 * 1 * begin{vmatrix} 1&0\ -1&-2 end{vmatrix} = -2 right

Delta {x}_{3} = begin{vmatrix} 2&2&4&1\ 4&3&6&2\ 8&5&12&4\ 3&3&6&2 end{vmatrix} = begin{vmatrix} 2&2&4&1\ 1&0&0&0\ 2&-1&0&0\ -1&-1&-2&0 end{vmatrix} = 1 * begin{vmatrix} 2&2&4\ 2&0&1\ -1&-2&0 end{vmatrix} = 1 * \ * begin{vmatrix} 1&0&0\ 2&-1&0\ -1&-1&-2 end{vmatrix} = 1 * 1 * begin{vmatrix} -1&0\ -1&-2 end{vmatrix} = 2 right

Delta {x}_{4} = begin{vmatrix} 2&2&-1&4\ 4&3&-1&6\ 8&5&-3&12\ 3&3&-2&6 end{vmatrix} = begin{vmatrix} 2&2&-1&4\ 1&0&1&0\ 8&5&-3&12\ 3&3&-2&6 end{vmatrix} = 1 * begin{vmatrix} 2&-1&4\ 5&-3&12\ 3&-2&6 end{vmatrix} + 1 * begin{vmatrix} 2&2&4\ 8&5&12\ 3&3&6 end{vmatrix} = \ = 1 * (-36 - 36 - 40 + 36 + 30 + 48) + 1 * (60 + 72 + 96 - 60 - 96 - 72) = 78 - 76 = 2. right

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки мы вычитали элементы четвёртой строки.

Теперь по формулам Крамера нужно найти:

x_{1} = {-2over{-2}} = {1},

x_{2} = {-2over{-2}} = {1},

x_{3} = {2over{-2}} = {- 1},

x_{4} = {2over{-2}} = {- 1}.

Ответ

Итак, мы нашли корни системы линейного уравнения:

x_{1} = {-2over{-2}} = {1},

x_{2} = {-2over{-2}} = {1},

x_{3} = {2over{-2}} = {- 1},

x_{4} = {2over{-2}} = {- 1}.

Подведём итоги

При помощи метода Крамера можно решать системы линейных алгебраических уравнений в том случае, если определитель не равен нулю. Такой метод позволяет находить определители матриц такого порядка, как n на n благодаря формулам Крамера, когда нужно найти неизвестные переменные. Если все свободные члены нулевые, тогда их определители равны нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. И конечно же, если определители равняются нулю, лучше решать систему методом Гаусса, а не Крамера, только тогда ответ будет верный.

Рекомендуем почитать для общего развития

pdf Анкилов А. В. Высшая математика, ч. 1: учеб. Пособие/П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников – Ульяновск – 2011 – 252 с.

pdf Письменный Д. – Конспект лекций по высшей математике: учеб. для вузов/Письменный Д. – М. 2006 – 602 с.

Решение методом Крамера в Excel

pdf Метод Крамера в Excel 2003 (XLS)

pdf Метод Крамера в Excel от 2007 (XLSX)

Источник

Метод Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Решение системы уравнений методом Крамера проходит за три шага простого алгоритма:

  1. Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. $Deltaneq 0$.
  2. Для каждой переменной $x_i$($i=overline{1,n}$) необходимо составить определитель $Delta_{x_i}$, полученный из определителя $Delta$ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
  3. Найти значения неизвестных по формуле $x_i=frac{Delta_{x_{i}}}{Delta}$ ($i=overline{1,n}$).

Перед переходом к чтению примеров рекомендую ознакомиться с правилами вычисления определителей второго и третьего порядка, изложенными здесь.

Пример №1

Решить СЛАУ $left{begin{aligned}
& 3x_1+2x_2=-11;\
& -x_1+5x_2=15.
end{aligned}right.$ методом Крамера.

Решение

Матрица системы такова: $ A=left( begin{array} {cc} 3 & 2\ -1 & 5 end{array} right)$. Определитель этой матрицы:

$$Delta=left| begin{array} {cc} 3 & 2\ -1 & 5 end{array}right|=3cdot 5-2cdot(-1)=17.$$

Как вычисляется определитель второго порядка можете глянуть здесь.

Так как определитель системы не равен нулю, то продолжаем решение методом Крамера. Вычислим значения двух определителей: $Delta_{x_1}$ и $Delta_{x_2}$. Определитель $Delta_{x_1}$ получаем из определителя $Delta=left| begin{array} {cc} 3 & 2\ -1 & 5 end{array}right|$ заменой первого столбца (именно этот столбец содержит коэффициенты при $x_1$) столбцом свободных членов $left(begin{array} {c} -11\ 15end{array}right)$:

$$
Delta_{x_1}=left|begin{array}{cc}-11&2\15&5end{array}right|=-55-30=-85.
$$

Аналогично, заменяя второй столбец в $Delta=left|begin{array}{cc}3&2\-1&5end{array}right|$ столбцом свободных членов, получим:

$$
Delta_{x_2}=left|begin{array} {cc} 3 & -11\ -1 & 15end{array}right|=45-11=34.
$$

Теперь можно найти значения неизвестных $x_1$ и $x_2$.

$$x_1=frac{Delta_{x_1}}{Delta}=frac{-85}{17}=-5;;x_2=frac{Delta_{x_2}}{Delta}=frac{34}{17}=2.$$

В принципе, можно ещё проверить, правильно ли решена система методом Крамера. Подставим в заданную СЛАУ $x_1=-5$, $x_2=2$:

$$left{begin{aligned}
& 3x_1+2x_2=3cdot(-5)+2cdot{2}=-11;\
& -x_1+5x_2=-(-5)+5cdot{2}=15.
end{aligned}right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно. Осталось лишь записать ответ.

Ответ: $x_1=-5$, $x_2=2$.

Пример №2

Решить СЛАУ $
left{begin{aligned}
& 2x_1+x_2-x_3=3;\
& 3x_1+2x_2+2x_3=-7;\
& x_1+x_3=-2.
end{aligned} right.$, используя метод Крамера.

Решение

Определитель системы:

$$Delta=left| begin{array} {ccc} 2 & 1 & -1\ 3 & 2 & 2 \ 1 & 0 & 1 end{array}right|=4+2+2-3=5.$$

Как вычисляется определитель третьего порядка можете глянуть здесь.

Заменяя первый столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_{x_1}$:

$$
Delta_{x_1}=left| begin{array} {ccc} 3 & 1 & -1\ -7 & 2 & 2 \ -2 & 0 & 1 end{array}right|=6-4-4+7=5.
$$

Заменяя второй столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_{x_2}$:

$$
Delta_{x_2}=left| begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\ 3 & -7 & 2 \ 1 & -2 & 1 end{array}right|=-14+6+6-7-9+8=-10.
$$

Заменяя третий столбец в $Delta$ столбцом свободных членов, получим $Delta_{x_3}$:

$$
Delta_{x_3}=left| begin{array} {ccc} 2 & 1 & 3\ 3 & 2 & -7 \ 1 & 0 & -2 end{array}right|=-8-7-6+6=-15.
$$

Учитывая все вышеизложенное, имеем:

$$
x_1=frac{Delta_{x_1}}{Delta}=frac{5}{5}=1;; x_2=frac{Delta_{x_2}}{Delta}=frac{-10}{5}=-2; ; x_3=frac{Delta_{x_3}}{Delta}=frac{-15}{5}=-3.
$$

Метод Крамера завершён. Можно проверить, верно ли решена система уравнений методом Крамера, подставив значения $x_1=1$, $x_2=-2$ и $x_3=-3$ в заданную СЛАУ:

$$left{begin{aligned}
& 2x_1+x_2-x_3=2cdot{1}+(-2)-(-3)=3;\
& 3x_1+2x_2+2x_3=3cdot{1}+2cdot(-2)+2cdot(-3)=-7;\
& x_1+x_3=1+(-3)=-2.
end{aligned} right.$$

Проверка пройдена, решение системы уравнений методом Крамера найдено верно.

Ответ: $x_1=1$, $x_2=-2$, $x_3=-3$.

Пример №3

Решить СЛАУ $left{begin{aligned}
& 2x_1+3x_2-x_3=15;\
& -9x_1-2x_2+5x_3=-7.
end{aligned}right.$ используя метод Крамера.

Решение

Матрица системы $ left( begin{array} {ccc} 2 & 3 & -1\ -9 & -2 & 5 end{array} right) $ не является квадратной. Однако это вовсе не означает, что решение системы уравнений методом Крамера невозможно. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменную $x_3$ в правые части уравнений:

$$

left { begin{aligned}
& 2x_1+3x_2=x_3+15;\
& -9x_1-2x_2=-5x_3-7.

end{aligned} right.

$$

Теперь матрица системы $ left( begin{array} {cc} 2 & 3 \ -9 & -2 end{array} right) $ стала квадратной, и определитель её $Delta=left| begin{array} {cc} 2 & 3\ -9 & -2 end{array}right|=-4+27=23$ не равен нулю. Применим метод Крамера аналогично предыдущим примерам:

$$
begin{aligned}
& Delta_{x_1}
=left| begin{array} {cc} x_3+15 & 3\ -5x_3-7 & -2 end{array}right|
=-2x_3-30-left(-15x_3-21right)
=13x_3-9;\
\
& Delta_{x_2}
=left| begin{array} {cc} 2 & x_3+15\ -9 & -5x_3-7 end{array}right|
=-10x_3-14-left(-9x_3-135right)
=-x_3+121.
end{aligned}
$$

$$
x_1=frac{Delta_{x_1}}{Delta}=frac{13x_3-9}{23};;
x_2=frac{Delta_{x_2}}{Delta}=frac{-x_3+121}{23}.
$$

Ответ можно записать в таком виде: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{13x_3-9}{23};\
& x_2=frac{-x_3+121}{23};\
& x_3in R.
end{aligned}right.$ Переменные $x_1$, $x_2$ – базисные (в иной терминологии – основные), а переменная $x_3$ – свободная (в иной терминологии – неосновная). Проверка, при необходимости, проводится так же, как и в предыдущих примерах.

Примечание

В подобных примерах возможна ситуация, когда после переноса переменной (или переменных) в правые части уравнений, определитель системы равняется нулю. В этом случае можно перенести в правую часть иную переменную (или переменные). Например, рассмотрим СЛАУ
$left{begin{aligned}
& 2x_1-5x_2+10x_3=14;\
& -4x_1+10x_2-7x_3=5.
end{aligned}right.$. Если перенести в правые части уравнений $x_3$, получим: $
left{begin{aligned}
&2x_1-5x_2=-10x_3+14;\
&-4x_1+10x_2=7x_3+5.
end{aligned}right.$. Определитель данной системы $Delta=left| begin{array} {cc} 2 & -5\ -4 & 10 end{array}right|=20-20=0$. Однако если перенести в правые части уравнений переменную $x_2$, то получим систему $
left{begin{aligned}
&2x_1+10x_3=5x_2+14;\
&-4x_1-7x_3=-10x_2+5.
end{aligned}right.$, определитель которой $Delta=left| begin{array} {cc} 2 & 10\ -4 & -7 end{array}right|=-14+40=26$ не равен нулю. Дальнейшее решение аналогично рассмотренному в примере №3.

Пример №4

Решить СЛАУ

$$left{begin{aligned}
&x_1-5x_2-x_3-2x_4+3x_5=0;\
&2x_1-6x_2+x_3-4x_4-2x_5=0; \
&-x_1+4x_2+5x_3-3x_4=0.
end{aligned}right.$$

методом Крамера.

Решение

Матрица системы $left(begin{array} {ccccc} 1 & -5 & -1 & -2 & 3 \
2 & -6 & 1 & -4 & -2 \
-1 & 4 & 5 & -3 & 0
end{array}right)$ не является квадратной. Преобразуем заданную СЛАУ, перенеся переменные $x_4$, $x_5$ в правые части уравнений, и применим метод Крамера:

$$
left{begin{aligned}
& x_1-5x_2-x_3=2x_4-3x_5;\
& 2x_1-6x_2+x_3=4x_4+2x_5; \
& -x_1+4x_2+5x_3=3x_4.
end{aligned}right.$$

$$
begin{aligned}
& Delta
=left| begin{array} {ccc} 1 & -5 & -1\ 2 & -6 & 1\-1 & 4 & 5 end{array}right|
=19;\
\
& Delta_{x_1}
=left| begin{array} {ccc} 2x_4-3x_5 & -5 & -1\ 4x_4+2x_5 & -6 & 1\3x_4 & 4 & 5 end{array}right|
=-17x_4+144x_5;\
\
& Delta_{x_2}
=left| begin{array} {ccc} 1 & 2x_4-3x_5 & -1\ 2 & 4x_4+2x_5 & 1\-1 & 3x_4 & 5 end{array}right|
=-15x_4+41x_5;\
\
& Delta_{x_3}
=left| begin{array} {ccc} 1 & -5 & 2x_4-3x_5\ 2 & -6 & 4x_4+2x_5\-1 & 4 & 3x_4 end{array}right|
=20x_4-4x_5.
end{aligned}
$$

Ответ таков: $left{begin{aligned}
& x_1=frac{-17x_4+144x_5}{19};\
& x_2=frac{-15x_4+41x_5}{19};\
& x_3=frac{20x_4-4x_5}{19}; \
& x_4in R; ; x_5in R.
end{aligned}right.$ Переменные $x_1$, $x_2$, $x_3$ – базисные, переменные $x_4$, $x_5$ – свободные.

Естественно, что применение метода Крамера в случаях вроде того, что рассмотрен в примере №4, не всегда оправдано с точки зрения временных затрат. Мы ведь не можем гарантировать, что после переноса каких-либо переменных в правые части уравнений, определитель системы не будет равен нулю. А перебирать различные варианты – слишком долгий процесс. Гораздо удобнее в таком случае применить метод Гаусса. Я привёл пример №4 лишь с одной целью – показать, что метод Крамера применим вне зависимости от содержимого правых частей уравнений заданной СЛАУ (числа, переменные, функции – не имеет значения). Главное, чтобы определитель матрицы системы был отличен от нуля.

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 23 ноября 2022 года; проверки требуют 6 правок.

Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)[1].

Описание метода[править | править код]

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

{begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\cdots cdots cdots cdots cdots cdots cdots cdots cdots cdots \a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{cases}}

с определителем матрицы системы Delta , отличным от нуля, решение записывается в виде

x_{i}={frac {1}{Delta }}{begin{vmatrix}a_{11}&ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&ldots &a_{1n}\a_{21}&ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&ldots &a_{2n}\ldots &ldots &ldots &ldots &ldots &ldots &ldots \a_{n-1,1}&ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&ldots &a_{n-1,n}\a_{n1}&ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

(c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+dots +c_{n}x_{n})cdot Delta =-{begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&ldots &a_{1n}&b_{1}\a_{21}&a_{22}&ldots &a_{2n}&b_{2}\ldots &ldots &ldots &ldots &ldots \a_{n1}&a_{n2}&ldots &a_{nn}&b_{n}\c_{1}&c_{2}&ldots &c_{n}&0\end{vmatrix}}

В такой форме метод Крамера справедлив без предположения, что Delta отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b_{1},b_{2},...,b_{n} и x_{1},x_{2},...,x_{n}, либо набор c_{1},c_{2},...,c_{n} состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример[править | править код]

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

{displaystyle {begin{cases}a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_{1}\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_{2}\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_{3}\end{cases}}}

Определители:

{textstyle Delta ={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}, Delta _{x}={begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\b_{2}&a_{22}&a_{23}\b_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}, }
{displaystyle Delta _{y}={begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\a_{21}&b_{2}&a_{23}\a_{31}&b_{3}&a_{33}\end{vmatrix}}, Delta _{z}={begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\a_{21}&a_{22}&b_{2}\a_{31}&a_{32}&b_{3}\end{vmatrix}}}

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

{displaystyle x={frac {Delta _{x}}{Delta }}, y={frac {Delta _{y}}{Delta }}, z={frac {Delta _{z}}{Delta }}}

Пример:

{displaystyle {begin{cases}2x+5y+4z=30\x+3y+2z=150\2x+10y+9z=110\end{cases}}}

Определители:

{displaystyle Delta ={begin{vmatrix}2&5&4\1&3&2\2&10&9\end{vmatrix}}=5, Delta _{x}={begin{vmatrix}30&5&4\150&3&2\110&10&9\end{vmatrix}}=-760, }
{displaystyle Delta _{y}={begin{vmatrix}2&30&4\1&150&2\2&110&9\end{vmatrix}}=1350, Delta _{z}={begin{vmatrix}2&5&30\1&3&150\2&10&110\end{vmatrix}}=-1270.}

{displaystyle x=-{frac {760}{5}}=-152, y={frac {1350}{5}}=270, z=-{frac {1270}{5}}=-254}

Вычислительная сложность[править | править код]

Метод Крамера требует вычисления n+1 определителей порядка n. При использовании метода Гаусса для вычисления определителей метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка O(n^{4}), что сложнее, чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью O(n^{3}), сравнимой со сложностью метода Гаусса[2].

Литература[править | править код]

  • Мальцев И. А. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Cramer, Gabriel. Introduction à l’Analyse des lignes Courbes algébriques (фр.) 656–659. Geneva: Europeana (1750). Дата обращения: 18 мая 2012.
  2. ↑ Ken Habgood and Itamar Arel. 2010. Revisiting Cramer’s rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim ’10)

См. также[править | править код]

  • Метод Гаусса
Источник

Добавить комментарий