Медиана как найти планиметрии

Медиана равна половине гипотенузы прямоугольного треугольника!

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ ( displaystyle BD):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC).

Она называлась у нас ( displaystyle M).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Решение задач на свойства медианы в прямоугольном треугольнике

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).

Рисуем:

Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!

Ура! Можно применить теорему Пифагора!

Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})

( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)

Ответ: ( AB=13)

А в следующей задаче пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.

Запомни:

• ( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
• ( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
• ( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы, то есть доказать ее.

Доказательство теоремы о трех медианах треугольника

Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).

Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?

Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?

• ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
• ( displaystyle NK=frac{AC}{2}).

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) — поставим точку ( displaystyle G).

Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:

• ( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
• ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).

Что из этого следует?

• ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
• ( displaystyle NK=FG)

Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что?

А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

Получилось что:

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике по треугольникам

Лучше всего смотреть это видео с ручкой и тетрадкой в руках. То есть ставьте видео на паузу и решайте задачи самостоятельно.

Помните, понимать и уметь решать — это два, совершенно разных навыка. Очень часто вы понимаете как решить задачу, но не можете это сделать. Или допускаете ошибки, или просто теряетесь и не можете найти ход решения.

Как с этим справиться?

Нужно решать много задач. Другого способа нет. Вы должны совершить свои ошибки, чтобы научиться их не допускать.

ЕГЭ №6 Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Очень часто все «проблемы» с решением задач на равнобедренный треугольник решаются построением высоты. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники.

ЕГЭ №6 Прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, тригонометрия

ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи н доказательство

Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ. Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников!

Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства. Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Пусть дан треугольник , длины сторон которого соответсвенно равны :

Докажем, что длину медианы  , проведенной из вершины   можно выразить через длины сторон треугольника с помощью такой формулы:

1. Достроим данный треугольник до параллелограмма.

2. Из треугольника найдем косинус угла  с помощью теоремы косинусов.

Отсюда (1)

3. Так как (по свойству односторонних углов),

4. Из треугольника   выразим сторону :

(по свойству параллелограмма)

Подставим выражение (1) для

Утверждение доказано.

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Треугольник как основа стереометрии

Помимо этого, в 10 и 11 классах в учебную программу добавляется так называемая стереометрия. Данный раздел геометрии отвечает за различные предметы в трехмерном пространстве. Если в классической планиметрии основой для всего является точка, то в стереометрии на первый план выходит ребро. Именно с его помощью и происходит построение большинства геометрических объектов в стереометрии. Но есть 1 тема, которая объединяет 2 разные раздела геометрии – треугольник и все, что с ним связано. Большинство объектов в стереометрии состоят из множества небольших плоскостей с тремя или четырьмя углами, которые и являются основным объектом построения на ряду с ребром. Соответственно – для нахождения площади объемных шестиугольников, в первую очередь, необходимо знать все необходимые формулы и термины. Так, всего из одной вершины этой сложной геометрической фигуры можно прочертить сразу 4 различных прямых:

• Биссектрису;
• Перпендикуляр;
• Высоту;
• Медиану.

И если первая – просто делит угол пополам, а срединный перпендикуляр и высота зачастую являются одним понятием, медиана имеет множество своих индивидуальных и необычных признаков.

Медианой называют прямую, проведенную от угла до середины стороны, находящейся напротив выбранной вершины. Так, в зависимости от длины сторон, данный луч может соответствовать остальным отрезкам.

Важно! Также необходимо понимать, что, в отличие от перпендикуляра, прямая необязательно будет проведена к стороне под прямым углом. Благодаря этому, такой вид отрезков имеет несколько характерных только для него необычных свойств.

На плоскости медиана изображается как обычная линия, проведенная от вершины до противоположного угла. Причем на стороне, которую прямая делит пополам, обычно слева и справа ставятся 2 маленькие черточки. С их помощью как раз и показывается, что получившиеся отрезки являются равными (рис.1).

Рис. 1. Медиана

Свойства

Медиана, независимо от типа треугольника, имеет 5 характерных черт:

1. Если нарисовать из каждой вершины по одной прямой, то можно найти центр тяжести. Именно место пересечения всех 3 лучей и будет точкой равновесия.
2. Также, переплетаясь, они рассекают объект на 6 одинаковых по площади сегментов.
3. Исходя из этого, можно сделать вывод, что 1 луч рассекает треугольник на 2 куска с равной площадью. В случае равнобедренных треугольников и с равными сторонами получившиеся сегменты даже являются симметричными.
4. Самой большей стороне соответствует самая маленькая прямая. В случае равносторонней фигуры, соответственно, все 3 будут иметь одну и ту же длину.
5. Соединяясь, лучи делят друг друга в соотношении 1 к 2.

Специфические свойства

Как ни странно, благодаря наличию одинаковых по длине сторон, равнобедренные и равносторонние треугольники имеют некоторые необычные признаки:

• Во-первых, в равностороннем – медианы, пересекаясь, создают 6 не только равных по площади, но и идеально симметричных треугольника.
• Помимо этого, в случае объектов с равными сторонами, начерченная прямая является одновременно и высотой, и биссектрисой.
• В равнобедренных – линия, нарисованная к основанию, также одновременно является перпендикуляром, остальные же 2 – просто равны между собой.

Первоначально тема дается на изучение в 7 классе. Позже встретить ее можно как на ОГЭ, так и в ЕГЭ. Именно из-за присутствия в экзаменах сразу двух заданий, связанных с темой, так важно ее регулярное повторение. Смотрите также наглядный разбор всех свойств медианы в предложенном видео.

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек на плоскости, которые не лежат на одной прямой, и трех последовательно соединяющих их отрезков.

Точки называют вершинами треугольника, а отрезки – сторонами. Вершины треугольника обозначают заглавными латинскими буквами.

Виды треугольников по углам

Треугольники классифицируются по углам: остроугольные; тупоугольные; прямоугольные.

Виды треугольников по сторонам

Треугольники классифицируются по сторонам: разносторонний; равнобедренный; равносторонний.

Медиана, биссектриса, высота, средняя линия треугольника

Медиана

Определение

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

В любом треугольнике можно провести три медианы, так как сторон – три. На рисунке показаны медианы треугольника АВС: AF, EC, BD.

По данному рисунку также видно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке – точке О. Это справедливо для любого треугольника.

Биссектриса

Определение

Биссектрисой треугольника называется луч, исходящий из вершины угла треугольника и делящий его пополам.

В любом треугольнике можно провести три биссектрисы, так как углов – три. На рисунке показаны биссектрисы треугольника ЕDC: DD₁, EE₁ и CC₁.

По рисунку также видно, что биссектрисы имеют одну точку пересечения. Это справедливо для любого треугольника.

Высота

Определение

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне.

На рисунке показаны высоты треугольника АВС: АН₁, ВН₂ и СН₃.

По рисунку видно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Это также справедливо для любого треугольника.

Средняя линия

Определение

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке показаны три средние линии треугольника АВС: MN, KN и MK.

Средняя линия обладает следующими свойствами: она параллельна противоположной стороне; она равна половине противоположной стороны. Так, на данном рисунке MN параллельна АС, KN параллельна АВ, MK параллельна ВС. Также MN=0,5АС, KN=0,5АВ и MK=0,5ВС. Например, если известно, что сторона АС=20 см, то средняя линия МN равна половине АС, то есть МN=10 см. Или, например, если средняя линия МК=12 см, то сторона ВС будет в два раза больше, то есть ВС=24 см.

Даниил Романович | Просмотров: 7.7k