Мгновенный центр ускорений как найти

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 14 июля 2014 года; проверки требуют 4 правки.

Мгнове́нный центр ускоре́ний — при плоскопараллельном движении абсолютно твёрдого тела точка, связанная с этим телом и находящаяся в плоскости движения тела, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

Построение мгновенного центра ускорений Q

Положение мгновенного центра ускорений в общем случае не совпадает с положением мгновенного центра скоростей. Однако в некоторых случаях, например, при чисто вращательном движении, положение этих двух точек может совпадать.

Частные случаи положения мгновенного центра ускорений Q

Для того, чтобы определить положение мгновенного центра ускорений, необходимо к векторам ускорений двух различных точек тела провести прямые под равными углами gamma . Если угловое ускорение положительное, то угол откладывается от вектора ускорения против часовой стрелки, иначе — по часовой стрелке. В точке пересечения проведённых прямых и будет находиться мгновенный центр ускорений. Угол gamma должен удовлетворять равенству:

{displaystyle operatorname {tg} gamma ={frac {varepsilon }{omega ^{2}}},}

где

varepsilon  — угловое ускорение тела;
omega  — угловая скорость тела.

Величина ускорения точки пропорциональна её расстоянию до мгновенного центра ускорений

{displaystyle a_{A}=AQ{sqrt {omega ^{4}+varepsilon ^{2}}}, a_{B}=BQ{sqrt {omega ^{4}+varepsilon ^{2}}}.}

Литература[править | править код]

  • Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. Учеб. для втузов.— 10-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1986.— 416 с, ил.
  • Основной курс теоретической механики (часть первая) Н. Н. Бухгольц, изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, Москва, 1972, 468 стр.
  • Жуковский Н.Е. Теоретическая механика

Содержание:

Мгновенный центр ускорений:

В каждый момент движения плоской фигуры в своей плоскости, если Мгновенный центр ускорений в теоретической механике Эту точку называют мгновенным центром ускорений. Обозначим ее через Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Для доказательства этой теоремы предположим, что известны по модулю и направлению ускорение какой-либо точки плоской фигуры, угловая скорость и угловое ускорение этой фигуры. Пусть Мгновенный центр ускорений в теоретической механике (рис. 56). Мгновенный центр ускорений лежит на линии, проведенной под углом Мгновенный центр ускорений в теоретической механике к ускорению точки, тангенс которого вычисляем по формуле

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 56

При этом угол Мгновенный центр ускорений в теоретической механике надо отложить от ускорения Мгновенный центр ускорений в теоретической механике в направлении дуговой стрелки углового ускорения Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, т. е. в рассматриваемом случае по часовой стрелке. Только в точках этой прямой ускорение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и ускорение от вращения Мгновенный центр ускорений в теоретической механике могут иметь противоположные направления и одинаковые значения, т. е.

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

и тогда

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Но

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

следовательно,

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Из приведенного доказательства следует, что мгновенный центр ускорений является единственной точкой плоской фигуры, ускорение которой в рассматриваемый момент времени равно нулю. В другой момент времени мгновенный центр ускорений находится в общем случае в другой точке плоской фигуры.

Если мгновенный центр ускорений известен, то, выбрав его за полюс, для ускорения точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике плоской фигуры по формуле (10) получаем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

так как

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

и, следовательно,

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Ускорение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике направлено под углом Мгновенный центр ускорений в теоретической механике к отрезку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, соединяющему точку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике с мгновенным центром ускорений в сторону дуговой стрелки углового ускорения Мгновенный центр ускорений в теоретической механике (рис. 57).

Для точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, аналогично,

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

и ускорение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике также направлено под углом Мгновенный центр ускорений в теоретической механике к отрезку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 57

Из формул (16) и (17) имеем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

т. е. ускорения точек плоской фигуры при плоском движении пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений.

Итак, суммируя результаты, получаем, что ускорения точек плоской фигуры при плоском движении можно определить так же, как и при вращательном движении плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений с угловой скоростью Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и угловым ускорением Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

Для вычисления скоростей точек плоской фигуры при плоском движении принимают, что плоская фигура вращается вокруг мгновенного центра скоростей, а для вычисления ускорения следует считать, что она вращается вокруг мгновенного центра ускорений.

При качении без скольжения колеса по прямой (см. пример в § 7) получается, что ускорение мгновенного центра скоростей не равно нулю; следовательно, в общем случае мгновенные центры скоростей и ускорений являются различными точками плоской фигуры.

Ускорения точек плоской фигуры при плоском движении, подобно скоростям точек, можно определять двумя способами: по формуле (10), выражающей зависимость ускорений двух точек плоской фигуры, и по формуле (16), используя мгновенный центр ускорений. Обычно мгновенный центр ускорений, кроме частных случаев, когда угловая скорость или угловое ускорение равны нулю, располагается на плоской фигуре так, что трудно определить расстояние от него до рассматриваемых точек фигуры. Поэтому определение ускорения точек рекомендуется вычислять по формуле (10).

Рассмотрим способы нахождения мгновенного центра ускорений как в частных, так и в общем случаях.

1. Пусть известно, что угловое ускорение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, а угловая скорость Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Очевидно, это возможно в случае, когда плоская фигура вращается в своей плоскости с постоянной угловой скоростью или когда угловая скорость достигает относительно наибольшего или наименьшего значения. В этом случае для угла Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

и, следовательно, угол Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

Мгновенный центр ускорений лежит на прямой линии, по которой направлено ускорение какой-либо точки плоской фигуры (рис. 58). Так как это справедливо для любой точки фигуры, то, следовательно, мгновенный центр ускорений лежит в точке пересечения прямых линий, по которым направлены ускорения точек плоской фигуры. Ускорения точек плоской фигуры в этом случае направлены к мгновенному центру ускорений, так как они состоят только из одной относительной нормальной составляющей от вращения вокруг мгновенного центра ускорений.

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 58

Если известно ускорение, например точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, то мгновенный центр ускорений можно найти по расстоянию Мгновенный центр ускорений в теоретической механике:

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Эта формула получается из (16) в том случае, когда угловое ускорение равно нулю.

2.    Пусть угловая скорость Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, а угловое ускорение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Это возможно при мгновенном поступательном движении.

Тогда

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

и, следовательно, угол Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — прямой. Его надо откладывать от ускорения точки в направлении дуговой стрелки углового ускорения. Мгновенный центр ускорений лежит на пересечении перпендикуляров к ускорениям точек плоской фигуры, проведенных из этих точек (рис. 59). Если известно числовое значение ускорения какой-либо точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, то расстояние от Мгновенный центр ускорений в теоретической механике до мгновенного центра ускорений можно вычислить по формуле Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, которая получается из формулы (16) при Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

3.    В общем случае, когда угловая скорость Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и угловое ускорение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике известны и не равны нулю, для угла Мгновенный центр ускорений в теоретической механике имеем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Мгновенный центр ускорений лежит на пересечении прямых линий, проведенных к ускорениям точек фигуры под одним и тем же углом Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, причем угол а нужно откладывать от ускорений точек в направлении дуговой стрелки углового ускорения независимо от направления угловой скорости плоской фигуры (см. рис. 57). Если известно ускорение, например точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, то расстояние от точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике до мгновенного центра ускорений можно найти по формуле (16), т. е.

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 59

4. Пусть в данный момент времени  известны ускорения двух точек плоской фигуры: Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике (рис. 60). Укажем способ нахождения мгновенного центра ускорений в этом случае. По формулам (10)… (13), приняв за полюс точку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, имеем

 Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

где

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Проецируя левую и правую части векторной формулы (19) на две взаимно перпендикулярные оси Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, получаем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

где Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — известные углы соответственно между ускорениями Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и положительным направлением оси Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

При принятом направлении оси Мгновенный центр ускорений в теоретической механике проекцию Мгновенный центр ускорений в теоретической механике на эту ось надо взять со знаком плюс, так как Мгновенный центр ускорений в теоретической механике направлена всегда от точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике к полюсу Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Проекцию ускорения Мгновенный центр ускорений в теоретической механике на ось Мгновенный центр ускорений в теоретической механике предположительно возьмем с плюсом, считая дуговую стрелку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике в рассматриваемом случае направленной против часовой стрелки. Определяя Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, легко находим

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Естественно, что в реальных случаях величина Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, найденная из полученной формулы, должна оказаться положительной. Знак же углового ускорения Мгновенный центр ускорений в теоретической механике определяется знаком правой части формулы для Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

После того как найдены Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, задача нахождения мгновенного центра ускорений сводится к уже рассмотренному случаю 3.

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 60

Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении

При вычислении ускорений точек фигуры при плоском движении необходимо знать угловое ускорение. Рассмотрим некоторые приемы его определения.

1.    Если известен угол поворота или угловая скорость в зависимости от времени, то угловое ускорение е определяем путем дифференцирования их по времени, т. е.

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

2.    Обычно требуется определить угловое ускорение в какой-либо момент времени по другим величинам, известным в этот же момент времени. В этом случае угловое ускорение тоже можно получить путем дифференцирования угловой скорости по времени, считая ее для вывода формулы известной функцией времени. Угловую скорость можно найти по формуле (7):

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

где Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — точка плоской фигуры; Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — мгновенный центр скоростей.

Дифференцируя Мгновенный центр ускорений в теоретической механике по времени, получаем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

В тех случаях, когда Мгновенный центр ускорений в теоретической механике постоянно,

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

так как

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

где Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — касательное ускорение точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

Так, например, при качении колеса без скольжения по неподвижной прямой линии (см. рис. 55), если за точку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике взять центр колеса Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, то, учитывая, что он движется прямолинейно, получим

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

так как в этом случае

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

где Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — радиус колеса.

При качении без скольжения одного колеса по неподвижному другому колесу сначала установим зависимость между угловой скоростью Мгновенный центр ускорений в теоретической механике подвижного колеса и угловой скоростью со кривошипа Мгновенный центр ускорений в теоретической механике (рис. 61). Учитывая, что мгновенный центр скоростей подвижного колеса лежит в точке соприкосновения колес, получаем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

где Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — радиус неподвижного колеса; Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — радиус подвижного колеса.

Дифференцируя по времени (21), имеем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

так как

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 61

Из сравнения (21) и (22) видно, что связь между угловыми скоростями и угловыми ускорениями колес полностью аналогична. Это справедливо и для углов поворота колес, если нулевые их значения выбрать в один и тот же момент времени.

При внешнем зацеплении дуговые стрелки угловой скорости и углового ускорения подвижного колеса совпадают с дуговыми стрелками соответственно угловой скорости и углового ускорения кривошипа Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 62

При внутреннем зацеплении колес дуговые стрелки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике колеса и кривошипа имеют противоположные направления.

3. Иногда угловое ускорение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике можно найти путем проецирования на оси координат известного по направлению ускорения, например точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, если ускорение какой-либо другой точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и угловая скорость фигуры Мгновенный центр ускорений в теоретической механике известны или их можно вычислить предварительно.

Так, если ускорение точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

то, проецируя обе части (23) на ось Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, перпендикулярную ускорению Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, получаем соотношение, из которого можно определить угловое ускорение, если другие величины, входящие в это соотношение, известны.

Определим этим способом угловое ускорение линейки эллипсографа Мгновенный центр ускорений в теоретической механике (рис. 62). Эллипсографом называют механизм, в котором одна точка Мгновенный центр ускорений в теоретической механике его линейки движется только по оси Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, а другая Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — по оси Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Линейка эллипсографа обычно приводится в движение вращением кривошипа Мгновенный центр ускорений в теоретической механике вокруг оси Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, причем точка Мгновенный центр ускорений в теоретической механике лежит на середине линейки и описывает окружность с центром в точке Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, а точки части линейки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике описывают всевозможные эллипсы, заключенные между окружностью и прямой Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Точки части линейки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике соответственно могут описать набор эллипсов, заключенных между окружностью и прямой Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

В эллипсографе, когда ускорения точек Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике направлены соответственно по осям Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, проецируя (23) на Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, получаем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

так как

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Соотношение (24) и служит для определения углового ускорения линейки эллипсографа Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, если все другие величины в этом соотношении известны или их можно предварительно определить.

Описанным выше приемом удобно определять угловое ускорение шатунов в различных кривошипно-шатунных механизмах, когда у шатуна есть точка, движущаяся прямолинейно.

Если известны ускорения двух точек Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике плоской фигуры по модулю и направлению в какой-либо момент времени, то путем проецирования соотношения (23) на два взаимно перпендикулярных направления, одно из которых удобно направить по Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, получим два уравнения для определения угловой скорости и углового ускорения (см. п. 4 § 8).

Наоборот, по угловой скорости и угловому ускорению из этих уравнений можно найти числовые значения ускорений точек Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, если известны направления ускорений этих точек.

4. В задачах (см. § 6, рис. 53), где зависимость между угловыми скоростями различных тел можно установить путем дифференцирования по времени тождественных соотношений между углами поворота, зависимость между угловыми ускорениями часто можно получить путем двукратного дифференцирования по времени этих тождеств. Так, после первого дифференцирования в рассматриваемом случае

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Дифференцируя вторично, имеем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Так как Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — угловое ускорение шатуна Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — угловое ускорение кривошипа Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, то

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Если дополнительно известно, что угловая скорость Мгновенный центр ускорений в теоретической механике кривошипа Мгновенный центр ускорений в теоретической механике постоянна, т. е. Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, то

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Отсюда можно определить угловое ускорение шатуна в зависимости от углов Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и угловых скоростей Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

Пример:

Диск радиусом Мгновенный центр ускорений в теоретической механике приводится в движение от кривошипа Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и вертикальной рейки (рис. 63). От кривошипа движение диску передается при помощи шатуна Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Рейка движется поступательно по закону Мгновенный центр ускорений в теоретической механике; кривошип вращается согласно уравнению Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Угол Мгновенный центр ускорений в теоретической механике отсчитывается от горизонтального направления.

Определить угловые скорость и ускорение диска и шатуна, а также скорости и ускорения точек  Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, мгновенные центры скоростей и ускорений диска в момент времени Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, если Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике диска и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике кривошипа расположены на одной горизонтальной прямой.

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 63

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 64

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 65

Решение. Положение кривошипа в момент времени Мгновенный центр ускорений в теоретической механике определяется Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Кривошип в этот момент занимает вертикальное положение, параллельное рейке.

Для алгебраических угловой скорости и углового ускорения кривошипа имеем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

При Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Таким образом угловые скорость и ускорение кривошипа Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Дуговую стрелку для Мгновенный центр ускорений в теоретической механике следует направить против положительного направления угла Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, так как Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

Для скорости и ускорения точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике кривошипа, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеем:

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Ускорение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике изображено на рис.64 с учетом дуговой стрелки для Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

У точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике шатуна такие же скорость и ускорение, как и у точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике кривошипа. Приняв точку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике за полюс (рис. 65), определяем скорость точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике шатуна по формуле

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Но Мгновенный центр ускорений в теоретической механике; следовательно, Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, причем Мгновенный центр ускорений в теоретической механике перпендикулярна Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. В проекциях на выбранные оси координат из (а) получаем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Траекторией точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике является вертикальная прямая. Поэтому Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. С учетом этого из (а’) имеем, что Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и угловая скорость шатуна Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

Вычисляем скорость и ускорение точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике рейки по формулам Мгновенный центр ускорений в теоретической механикеМгновенный центр ускорений в теоретической механике. При  Мгновенный центр ускорений в теоретической механикеМгновенный центр ускорений в теоретической механике. Производные Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике положительны, поэтому Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике следует направить в сторону возрастания Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

При отсутствии скольжения у точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике диска будут такие же скорость и составляющая ускорения в вертикальном направлении Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, как и у точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике рейки (рис. 66).

Приняв за полюс точку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике диска, определяем скорость его точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике по формуле

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 66

Предположив, что диск вращается против часовой стрелки, строим треугольник скоростей для точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике в соответствии с (б). Он выродился в отрезок прямой (рис. 66).

В проекциях на оси координат из (б) имеем Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Но Мгновенный центр ускорений в теоретической механике; следовательно, Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Скорость Мгновенный центр ускорений в теоретической механике получилась положительной; следовательно, предположение о направлении вращения диска подтвердилось. Угловую скорость диска определяем по формуле

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Мгновенным центром скоростей диска является его точка Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, так как Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Используя эту точку как Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, для точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике имеем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Перейдем к определению ускорений точек и углового ускорения диска Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Приняв за полюс точку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике шатуна, ускорение его точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике определим по формуле

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

где Мгновенный центр ускорений в теоретической механикеМгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике перпендикулярно Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. На основании (в) строим многоугольник ускорений для точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике (рис. 67, а), предполагая, что Мгновенный центр ускорений в теоретической механике направлено против часовой стрелки.

В проекциях на оси координат из (в) (см. рис. 65 и 67, а) имеем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Ускорение точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике направлено параллельно оси Мгновенный центр ускорений в теоретической механике вследствие ее прямолинейного движения в этом направлении. Следовательно, Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, Мгновенный центр ускорений в теоретической механике так как

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Так как Мгновенный центр ускорений в теоретической механике получили со знаком минус, то направление для дуговой стрелки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике противоположно предположенному (см. рис. 65).

Угловое ускорение шатунаМгновенный центр ускорений в теоретической механике. Ускорение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике направлено вверх, т.е. Мгновенный центр ускорений в теоретической механике отрицательно, и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Для определения углового ускорения диска Мгновенный центр ускорений в теоретической механике вычислим ускорение точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, приняв за полюс точку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Имеем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

где

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

В соответствии с (г) строим многоугольник ускорений для точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, приняв Мгновенный центр ускорений в теоретической механике направленным против часовой стрелки (рис. 67, б).

В проекциях на выбранные оси координат из (г) с учетом рис. 67, б получаем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Но

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

С учетом полученных значений из (г’) имеем:

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

и

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Ускорение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике получилось положительным, что подтверждает правильность выбора направления для Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Угловое ускорение диска

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 68    

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 69

Приняв за полюс точку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, для ускорения точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике получим

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

где

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

На рис. 68 приведен многоугольник ускорений для точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. В проекциях на оси координат из (д) имеем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Определим ускорение точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике:

Для определения мгновенного центра ускорений Мгновенный центр ускорений в теоретической механике диска вычисляем

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Угол Мгновенный центр ускорений в теоретической механике откладываем от ускорения Мгновенный центр ускорений в теоретической механике в направлении дуговой стрелки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. На линии, проходящей через точку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике под углом Мгновенный центр ускорений в теоретической механике находится точка Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Расстояние до нее от точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике определяем по формуле

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Точка Мгновенный центр ускорений в теоретической механике находится вблизи точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. На рис. 69 указаны в примерном масштабе значения ускорений точек диска и положение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Ускорения Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике тоже образуют такие же углы Мгновенный центр ускорений в теоретической механике с отрезками прямых, соединяющих эти точки с точкой Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

Мгновенный центр ускорений шатуна Мгновенный центр ускорений в теоретической механике находится в точке Мгновенный центр ускорений в теоретической механике (см. рис. 65), так как для шатуна

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Теорема о конечном перемещении плоской фигуры

Понятие мгновенного центра скоростей плоской фигуры при плоском движении можно ввести используя теорему о конечном перемещении плоской фигуры. Фигуру в ее плоскости из заданного положения I в любое другое положение II (рис. 70) можно перевести одним поворотом в этой плоскости вокруг точки Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, называемой центром конечного вращения.

Пусть в положении I плоская фигура характеризуется отрезком Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, скрепленным с фигурой, а в положении II этот отрезок займет положение Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

Мгновенный центр ускорений в теоретической механике

Рис. 70

Рассмотрим случай, когда Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике не параллельны. Можно доказать, что центр конечного вращения Мгновенный центр ускорений в теоретической механике находится на пересечении перпендикуляров Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, восставленных из середин отрезков Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.  Для этого докажем, что заштрихованные треугольники Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике равны по трем сторонам; Мгновенный центр ускорений в теоретической механике как гипотенузы в равных прямоугольных треугольниках Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, так как по построению точка Мгновенный центр ускорений в теоретической механике есть середина отрезка Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, a Мгновенный центр ускорений в теоретической механике — общий катет треугольников. Аналогично, рассматривая равные треугольники Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, получаем Мгновенный центр ускорений в теоретической механике; Мгновенный центр ускорений в теоретической механике— по условию.

Для перевода плоской фигуры из положения I в положение II достаточно совместить между собой равные треугольники Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. Это можно осуществить одним поворотом треугольника Мгновенный центр ускорений в теоретической механике в его плоскости вокруг вершины Мгновенный центр ускорений в теоретической механике. При этом если сторону Мгновенный центр ускорений в теоретической механике до совмещения со стороной Мгновенный центр ускорений в теоретической механике повернуть на угол Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, то сторону Мгновенный центр ускорений в теоретической механике до совмещения со стороной Мгновенный центр ускорений в теоретической механике следует повернуть на угол Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, равный углу ф, так как углы Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и Мгновенный центр ускорений в теоретической механике состоят из общего для них угла Мгновенный центр ускорений в теоретической механике и одинаковых углов Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, лежащих в равных заштрихованных треугольниках против равных сторон.

Итак, если отрезок Мгновенный центр ускорений в теоретической механике повернуть вокруг Мгновенный центр ускорений в теоретической механике на угол Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, то отрезок  Мгновенный центр ускорений в теоретической механике при этом повернется на тот же угол и в том же направлении, что и отрезок Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, и, следовательно, точка Мгновенный центр ускорений в теоретической механике совпадает с точкой Мгновенный центр ускорений в теоретической механике,  а точка Мгновенный центр ускорений в теоретической механике —с точкой Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, т. е. отрезок Мгновенный центр ускорений в теоретической механике совпадет всеми своими точками с отрезком Мгновенный центр ускорений в теоретической механике.

В том случае, когда отрезок Мгновенный центр ускорений в теоретической механике параллелен отрезку Мгновенный центр ускорений в теоретической механике, перпендикуляры Мгновенный центр ускорений в теоретической механике к Мгновенный центр ускорений в теоретической механикеи  Мгновенный центр ускорений в теоретической механике к Мгновенный центр ускорений в теоретической механике параллельны и, следовательно, пересекаются в бесконечности. В этом случае Мгновенный центр ускорений в теоретической механике следует считать находящимся в бесконечности и плоскую фигуру из положения I в положение II можно перевести поступательным перемещением, что соответствует повороту фигуры вокруг бесконечно удаленной точки.

  • Мгновенный центр вращения
  • Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
  • Сложное движение точки
  • Сложение движение твердого тела
  • Центр тяжести
  • Кинематика точки
  • Плоское движение твердого тела
  • Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром ускорений (сокр. — МЦУ) при движении фигуры в плоскости называют точку плоской фигуры, ускорение которой в этот момент равно нулю.

Такая точка существует в каждый момент времени.

В наших рассуждениях будем обозначать ее буквой Q. Взяв эту точку за полюс, получим формулу для определения ускорения произвольной точки:

мгновенный центр ускорений

Рис. 1.12

Угол, который составляет вектор ускорения точки М с линией MQ определится из соотношения:

Т.е. у всех точек плоской фигуры этот угол одинаков. Из рис. 1.12 видно, что мгновенный центр ускорений лежит в точке пересечения линий, составляющих угол
γ с соответствующими ускорениями точек.

На рис. 1.13-1.15 приведены частные случаи определения положения мгновенного центра ускорений.


Рис. 1.13а


Рис. 1.13б


Рис. 1.14а


Рис. 1.14б


Рис. 1.15а


Рис. 1.15б

Примеры решения задач >
Сложное движение точки >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:

На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь

Подробнее

Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату

В
каждый момент движения плоской фигуры
в своей плоскости, если
ине равны нулю одновременно, имеется
единственная точка этой фигуры, ускорение
которой равно нулю. Эту точку называют
мгновенным центром ускорений
.
Обозначим ее через
.
Пусть(рис. 39). Мгновенный центр ускорений
лежит на линии, проведенной под угломк ускорению точки, тангенс которого
вычисляем по формуле:

.

П

Рис. 39

ри этом уголнадо отложить от ускоренияв направлении дуговой стрелки углового
ускорения,
т.е. в рассматриваемом случае по часовой
стрелке. Только в точках этой прямой
ускорениеи ускорение от вращениямогут иметь противоположные направления
и одинаковые значения, т.е.:

,
и тогда

.

Но

,
следовательно,

.

Мгновенный
центр ускорений является единственной
точкой плоской фигуры, ускорение которой
в рассматриваемый момент времени равно
нулю. В другой момент времени мгновенный
центр ускорений находится в общем случае
в другой точке плоской фигуры.

Если
мгновенный центр ускорений известен,
то, выбрав его за полюс, для ускорения
точки
плоской фигуры по формуле (93) получаем

,
т.к.
.

Следовательно:

.
(99)

Ускорениенаправлено под угломк отрезку,
соединяющему точкус мгновенным центром ускорений в сторону
дуговой стрелки углового ускорения(рис. 40).

Для
точки
аналогично

(100)

и
ускорение
также направлено под угломк отрезку

И

Рис. 40

з формул (99) и (100) имеем

, (101)

т.е. ускорения
точек плоской фигуры при плоском движении
пропорциональны расстояниям от этих
точек до мгновенного центра ускорений.

Итак,
суммируя результаты, получаем, что
ускорения
точек плоской фигуры при плоском движении
можно определить так же, как и при
вращательном движении плоской фигуры
вокруг мгновенного центра ускорений с
угловой скоростью
и угловым ускорением.

Для вычисления
скоростей точек плоской фигуры при
плоском движении принимают, что плоская
фигура вращается вокруг мгновенного
центра скоростей, а для вычисления
ускорения следует считать, что она
вращается вокруг мгновенного центра
ускорений.

2.5. Решение задач кинематики

Пример 3.

Даны
уравнения движения точки в плоскости

:

,

(,


– в сантиметрах,

– в секундах).

Определить:
уравнение траектории точки; для момента
времени

с найти скорость и ускорение точки, а
также ее касательное и нормальное
ускорения и радиус кривизны в
соответствующей точке траектории.

Решение:

1. Для
определения уравнения траектории точки
исключим из заданных уравнений движения
время
.
Поскольку

входит в аргументы тригонометрических
функций, где один аргумент вдвое больше
другого, используем формулу

:

. (102)

Из уравнений
движения находим выражения соответствующих
функций и подставляем в равенство (102).
Получим

,

,

следовательно,

.

О

Рис. 41

тсюда окончательно находим следующее
уравнение траектории точки (параболы,
рис. 41):

. (103)

2. Скорость точки
найдем по ее проекциям на координатные
оси:

,

,

.

Для
момента времени

с:
,,

. (104)

3. Аналогично найдем
ускорение точки:

,
,

.

Для
момента времени

с:
,
,

. (105)

4. Касательное
ускорение найдем, дифференцируя по
времени равенство:

Получим

,

откуда

. (106)

Числовые
значения всех величин, входящих в правую
часть (106), определены и даются в (104) и
(105). Подставив в (106) эти числа, найдем
сразу, что при

с:

.

5.
Нормальное ускорение точки
.
Подставляя сюда найденные при

с числовые значения

и
,
получим, что

.

6.
Радиус кривизны траектории
.

Подставляя
сюда числовые значения

и

при

с, найдем, что

см.

Ответ:


,

,


,


,


см.

П


Рис. 42

ример 4.Т
очка
движется по дуге окружности радиусам по закону,
(– в метрах,– в секундах), где(рис. 42).

Определить:
скорость и ускорение точки в момент
времени
с.

Решение:

Определяем скорость
точки:

.

При

с получим

.

Ускорение находим
по его касательной и нормальной
составляющим:

,

,

.

При

с получим

,


,


.

Изобразим
на рис. 42 векторы

и
,
учитывая знаки и считая положительным
направление от
к.

Ответ:


,


.

Пример
5.
Механизм
(рис. 43) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и
ползуна
,
соединенных друг с другом и с неподвижными
опорамиишарнирами.

Д

Рис. К2,а.

Рис. 43

ано:
,,,,,,м,м,м,с-1,
с-2
(направления
и– против хода часовой стрелки).

Определить:
,,,,.

Решение:

1. Строим положение
механизма в соответствии с заданными
углами и выбранным масштабом длин (рис.
44; на этом рисунке изображаем все векторы
скоростей).

2

Рис. 44

. Определяем.
Точкапринадлежит стержню.
Чтобы найти,
надо знать скорость какой-нибудь другой
точки этого стержня и направление.
По данным задачи, учитывая направление,
можем определить.
Численно:

м/с,

. (107)

Направление
найдем, учтя, что точкапринадлежит одновременно ползуну,
движущемуся вдоль направляющих
поступательно. Теперь, знаяи направление,
воспользуемся теоремой о проекциях
скоростей двух точек тела (стержня)
на прямую, соединяющую эти точки (прямая).
Сначала по этой теореме устанавливаем,
в какую сторону направлен вектор(проекции скоростей должны иметь
одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти
проекции, находим

,

м/с. (108)

3.
Определяем
.
Точка

принадлежит стержню
.
Следовательно, по аналогии с предыдущим,
чтобы определить
,
надо сначала найти скорость точки
,
принадлежащей одновременно стержню
.
Для этого, зная

и
,
строим мгновенный центр скоростей (МЦС)
стержня
.
Это точка
,
лежащая на пересечении перпендикуляров
к

и
,
восставленных из точек

и



перпендикулярен стержень 1). По направлению
вектора

определяем направление поворота стержня


вокруг МЦС
.
Вектор

перпендикулярен отрезку
,
соединяющему точки

и
,
и направлен в сторону поворота. Величину


найдем из пропорции:

. (109)

Чтобы
вычислить

и
,
заметим, что

– прямоугольный, так как острые углы в
нем равны 30° и 60°, и что
.
Тогда

является равносторонним и
.
В результате равенство (3) дает


м/с,
. (110)

Так
как точка

принадлежит одновременно стержню
,
вращающемуся вокруг
,
то
.
Тогда, восставляя из точек

и

перпендикуляры к скоростям

и
,
построим МЦС

стержня
.
По направлению вектора

определяем направление поворота стержня


вокруг центра
.
Вектор

направлен в сторону поворота этого
стержня. Из рис. 44 видно, что
,
откуда
.
Составив теперь пропорцию, найдем, что

,


м/с. (110)

4.
Определяем
.
Так как МЦС стержня 2 известен (точка
)
и
м, то


с–1. (111)

5

Рис. 45

.
Определяем(рис. 45, на котором изображаем все векторы
ускорений). Точкапринадлежит стержню.
Чтобы найти,
надо знать ускорение какой-нибудь другой
точки стержняи траекторию точки.
По данным задачи можем определить,
где численно

м/с2,

м/с2. (112)

Вектор
направлен вдоль,
а– перпендикулярно.
Изображаем эти векторы на чертеже (см.
рис. 45). Так как точкаодновременно принадлежит ползуну, то
векторпараллелен направляющим ползуна.
Изображаем векторна чертеже, полагая, что он направлен в
ту же сторону, что и
.

Для
определения
воспользуемся равенством

. (113)

Изображаем
на чертеже векторы
(вдольотк)
и(в любую сторону перпендикулярно).
ЧисленноНайдяс помощью построенного МЦСстержня 3, получим


с–1,

м/с2. (114)

Таким
образом, у величин, входящих в равенство
(113), неизвестны только числовые значения
и.
Их можно найти, спроектировав обе части
равенства (113) на какие-нибудь две оси.

Чтобы
определить
,
спроектируем обе части равенства (113)
на направление(ось).
Тогда получим

. (115)

Подставив в
равенство (10) числовые значения всех
величин из (112) и (114), найдем, что

м/с2. (116)

Так
как получилось
,
то, следовательно, векторнаправлен как показано на рис. 45.

6.
Определяем
.
Чтобы найти
,
сначала определим
.
Для этого обе части равенства (113)
спроектируем на направление,
перпендикулярное

(ось
).
Тогда получим:

. (117)

Подставив
в равенство (12) числовые значения всех
величин из (116) и (112), найдем, что

м/с2.
Знак минус указывает, что направление


противоположно показанному на рис. 45.

Теперь
из равенства

получим:


с–2.

Ответ:
м/с,

м/с,

с–1,
м/с2,


с–2.

П


Рис. 46

ример 6.Пластина


(,
рис. 46) вращается вокруг оси, проходящей
через точку

перпендикулярно плоскости пластины,
по закону

(положительное направление отсчета
угла

показано на рис. 46 дуговой стрелкой). По
дуге окружности радиуса

движется точка

по закону

(положительное направление отсчета
– отк).

Дано:


м,
,
(– в радианах,– в метрах,– в секундах).

Определить:
ив момент времени

с.

Решение:

Рассмотрим
движение точки

как сложное, считая ее движение по дуге
окружности относительным, а вращение
пластины – переносным движением. Тогда
абсолютная скорость
и абсолютное ускорениеточки найдутся по формулам:

,

, (118)

где, в свою очередь,

,

.

Определим все,
входящие в равенства (118) величины.

1. Относительное
движение. Это движение происходит по
закону

. (119)

Сначала
установим, где будет находиться точка


на дуге окружности в момент времени
.
Полагая в уравнении (119)

с, получим

.

Тогда

.

Знак
минус свидетельствует о том, что точка


в момент

с находится справа от точки
.
Изображаем ее на рис. 46 в этом положении
(точка)).

Теперь
находим числовые значения
,и:

,

,

,

где
– радиус кривизны относительной
траектории, равный радиусу окружности.
Для момента

с, учитывая, что

м, получим


м/с,


м/с2,

м/с2.

Знаки
показывают, что вектор
направлен в сторону положительного
отсчета расстояния,
а вектор— в противоположную сторону; вектор,
направлен к центруокружности. Изображаем все эти векторы
на рис. 46.

2.
Переносное движение. Это движение
(вращение) происходит по закону
.
Найдем сначала угловую скорость
и угловое ускорениепереносного вращения:

,

и при


с

с–1
,
с–2. (120)

Знаки
указывают, что в момент

с направления
ипротивоположны направлению положительного
отсчета угла;
отметим это на рис. 46.

Для
определения
инаходим сначала расстояниеточкиот оси вращения.
Из рисунка видно, чтом. Тогда в момент времени

с, учитывая равенства (4), получим

м/с,


м/с2,


м/с2. (121)

Изображаем
на рис. 46 векторы

и

с учетом направлений

и

и вектор

(направлен к оси вращения).

3. Кориолисово
ускорение. Модуль кориолисова ускорения
определяем по формуле

,

где
– угол между вектороми осью вращения (вектором).
В нашем случае этот угол равен 90°, так
как ось вращения перпендикулярна
плоскости пластины, в которой расположен
вектор.
Численно в момент времени

с, так как в этот момент

м/с,
с–1,
получим


м/с2. (122)

Направление
найдем по правилу Н.Е. Жуковского: так
как векторлежит в плоскости, перпендикулярной
оси вращения, то повернем его на 90° в
направлении,
т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаемна рис. 46. (Иначе направлениеможно найти, учтя, что.)

Таким
образом, значения всех входящих в правые
части равенств (118) векторов найдены и
для определения
иостается только сложить эти векторы.
Произведем это сложение аналитически.

4.
Абсолютная скорость. Проведем координатные
оси
(см. рис. 46) и спроектируем почленно обе
части равенствана эти оси. Получим для момента времени

с:

м/с,

м/с.

После этого находим

м/с.

Учитывая,
что в данном случае угол между
и

равен 45°, значение
можно еще определить по формуле

м/с.

5. Абсолютное
ускорение. По теореме о сложении ускорений

. (123)

Для
определения

спроектируем обе части равенства (7) на
проведенные оси
.
Получим для момента времени

с:


м/с2,


м/с2,

После этого находим


м/с2.

Ответ:
м/с,

м/с2.

Рис. 31

Мгновенный центр ускорений лежит на прямой, проведенной под углом α ( tgα=ε/ω2) к ускорению точки О.

При этом α надо отложить от ускоре­ния aO в направлении дуговой стрелки углового ускорения ε.

Только в точках этой прямой ускорение aO и ускорение от враще­ния aQO могут иметь противоположные направления и одинако­вые по модулю значения:

Но следовательно

Мгновенный центр ускорений является единственной точкой фи­гуры, ускорение которой в рассматриваемый момент времени равно нулю. В другой момент времени мгновенный центр ускорений находится в общем случае в другой точке плоской фигуры.

Если положение мгновенного центра ускорений известно, то вы­брав его за полюс, для ускорения произвольной точки А, имеем:

и ускорение aA направлено под углом α к отрезку AQ, соединяющего точки A и Q в сторону дуговой стрелки ε (рис. 32).

Ускорения двух точек A и B показаны на рисунке, их величины равны

Рис. 32

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры при плоском движении можно определить так же, как и при вращательном движе­нии плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε.

Для вычисления скоростей принимают, что фигура вращается во­круг мгновенного центра скоростей, для вычисления ускорений принимают, что фигура вращается вокруг мгновенного центра уско­рений. В общем случае эти центры являются разными точками пло­ской фигуры.

Ускорения точек плоской фигуры при плоском движении подобно скоростям точек можно вычислить двумя способами: по формуле , выражающей зависимость ускорений двух точек пло­ской фигуры (способ 1) и по формуле , используя мгновенный центр ускорений (способ 2). Часто мгновен­ный центр ускорений (кроме случаев, когда ω или ε равных нулю) располагается так, что трудно определить расстояние от него до рас­сматриваемых точек фигуры, поэтому рекомендуется использовать способ 1 через формулу, связывающую ускорения точек фигуры.

Способы нахождения мгновенного центра ус­корений.

1.

Ускорения всех точек направлены к мгновенному центру ускорений (Рис. 33), так как они состоят только из одной нормальной составляющей от вращения вокруг мгновенного центра ус

Рис. 33 корений.

Если известно aA, то AQ = aA/ω2.

2.

мгновенное поступательное движение (Рис. 34). Мгновенный центр ускорений лежит на пересече­нии перпендикуляров к ускорениям точек.

Рис. 34

Если из­вестно aA, то AQ = aA/ε.

3.

Имеем общий случай, ранее уже обсуждавшийся. Угол α откладываем по дуговой стрелке ε от век­тора ускорения (Рис. 35).

Если известно aA, то

Рис. 35

4. Пусть в данный момент времени известны ускорения двух точек плоской фигуры A и B (Рис. 36). Приняв за полюс точку A, имеем:

(*),

где

Проецируя левую и правую части вектор­ной формулы (*) на оси Bx и By получаем:

,

Рис. 36

где β и γ в принципе известные углы.

Проекцию anBA на ось Вх берем со знаком (+), так как она всегда на­правлена к оси вращения (к полюсу). Проекцию aτBA, берем со знаком (+) предполагая, что стрелка ε направлена против часовой стрелки.

Из уравнений проекций находим

знак ε определяется после подстановки данных в формулу.

После того, как найдены ε и ω, задача нахождения мгновенного центра ускорений сводится к случаю 3.

Вопросы для самопроверки:

1. Как задается скорость и ускорение в декартовой системе координат?

2. Какие системы координат Вы знаете?

3. Какое движение называется абсолютным, относительным, переносным?

4. Какое движение называется поступательным?

5. Какое движение называется вращательным?

6. Как определить мгновенный центр скоростей?

7. Как определить мгновенный центр ускорений?

3. ДИНАМИКА

3.1. Основные понятия

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.

В динамике, в отличие от кинетики, при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел.

Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое дви­жение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорость точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела. Ко­личественной мерой инертности материального тела является физи­ческая величина, называемая массой тела. В классической механике масса m рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

Кроме суммарной массы движение тела зависит еще в общем случае от формы тела, точнее от взаимного расположения образую­щих его частиц, т. е. от распределения масс в теле.

Чтобы при первоначальном изучении динамики отвлечься от учета тела (распределения масс), вводят абстрактное понятие о мате­риальной точке, как о точке, обладающей массой, и начинают изуче­ние динамики с динамики материальной точки.

3.2. Классификация сил. Динамика материальной точки

Сила тяжести – постоянная сила, действующая на тело, находя­щееся вблизи земной поверхности. P= mg,

где m – масса тела, g – ускорение свободного падения.

Сила упругости – P = cλ,

где c – коэффициент жесткости, λ – перемещение тела.

Сила трения – P = fN,

где f – коэффициент трения, N – нормальная реакция.

Сила тяготения – сила с которой притягиваются к друг к другу два материальных тела P = fm1m2/r2,

где f – гравитационная постоянная, m1 и m2 – массы двух тел, r – рас­стояние между центрами этих тел.

Сила вязкого сопротивления – P = μv ,

где μ – коэффициент сопротивления среды, v – скорость тела.

Движение материальных точек и тел следует рассматривать от­носительно определённой системы отсчёта. В классической механике в основу, которой положены законы И. Ньютона, такая система на­зывается инерционной системой отсчёта. Пространство считается трёхмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зави­сят от движущихся в нём материальных объектов.

Добавить комментарий