Найдите частные производные первого порядка функции как

Найдите частные производные первого порядка функции как

Чтобы понять частные производные, сначала нужно разобраться с обычными. И не нужно ничего искать: в нашей отдельной статье мы уже подготовили все для того, чтобы у вас это получилось. А сейчас речь пойдет о частных производных.

Добро пожаловать на наш телеграм-канал за полезной рассылкой и актуальными студенческими новостями.

Функция двух и более переменных

Прежде чем говорить о частных производных, нужно затронуть понятие функции нескольких переменных, без которого нет смысла в частной производной. В школе мы привыкли иметь дело с функциями одной переменной: 

Функция двух и более переменных

Производными таких функций мы и считали раньше. График функции одной переменной представляет собой линию на плоскости: прямую, параболу, гиперболу и т.д.

А что, если добавить еще одну переменную? Получится такая функция:

Функция двух и более переменных

Это – функция двух независимых переменных x и y. График такой функции представляет собой поверхность в трехмерном пространстве: шар, гиперболоид, параболоид или еще какой-нибудь сферический конь в вакууме. Частные производные функции z по иксу и игреку соответственно записываются так:

Функция двух и более переменных

Существуют также функции трех и более переменных. Правда, график такой функции нарисовать невозможно: для этого понадобилось бы как минимум четырехмерное пространство, которое невозможно изобразить.

Частная производная первого порядка

Запоминаем главное правило:

При вычислении частной производной по одной из переменных, вторая переменная принимается за константу. В остальном правила вычисления производной не меняются.

То есть, частная производная по сути ничем не отличается от обычной. Так что, держите перед глазами таблицу производных элементарных функций и правила вычисления обычных производных. Рассмотрим пример, чтобы стало совсем понятно. Допустим, нужно вычислить частные производные первого порядка следующей функции:

Частная производная первого порядка

Сначала возьмем частную производную по иксу, считая игрек обычным числом:

Частная производная первого порядка

Теперь считаем частную производную по игреку, принимая икс за константу:

Частная производная первого порядка

Как видите, ничего сложного в этом нет, а успех с более сложными примерами – лишь дело практики.

Частная производная второго порядка

Как находится частная производная второго порядка? Так же, как и первого. Чтобы найти частные производные второго порядка, нужно просто взять производную от производной первого порядка. Вернемся к примеру выше и посчитаем частные производные второго порядка.

По иксу:

Частная производная второго порядка

По игреку:

Частная производная второго порядка

Частные производные третьего и высших порядков не отличаются по принципу вычисления. Систематизируем правила:

  1. При дифференцировании по одной независимой переменной, вторая принимается за константу.
  2. Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка. Третьего порядка – производная от производной второго порядка и т.д.

Частные производные и полный дифференциал функции

Частый вопрос в практических заданиях – нахождение полного дифференциала функции. Для функции нескольких переменных полный дифференциал определяется, как главная линейная часть малого полного приращения функции относительно приращений аргументов.

Определение звучит громоздко, но с буквами все проще. Полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных выглядит так:

Частные производные и полный дифференциал функции

Зная, как считаются частные производные, нет никакой проблемы вычислить и полный дифференциал.

Частные производные – не такая уж и бесполезная тема. Например, дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка широко используются для математического описания реальных физических процессов.

Здесь мы дали лишь общее, поверхностное представление о частных производных первого и второго порядка. Вас интересует эта тема или остались конкретные вопросы? Задавайте их в комментариях и обращайтесь к экспертам профессионального студенческого сервиса за квалифицированной и скорой помощью в учебе. С нами вы не останетесь один на один с проблемой!

Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Частные производные

Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом).

Формула

Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z’_x, z’_y $ и находятся по формулам:

Частные производные первого порядка

$$ z’_x = frac{partial z}{partial x} $$

$$ z’_y = frac{partial z}{partial y} $$

Частные производные второго порядка

$$ z”_{xx} = frac{partial^2 z}{partial x partial x} $$

$$ z”_{yy} = frac{partial^2 z}{partial y partial y} $$

Смешанная производная

$$ z”_{xy} = frac{partial^2 z}{partial x partial y} $$

$$ z”_{yx} = frac{partial^2 z}{partial y partial x} $$

Частная производная сложной функции

а) Пусть $ z (t) = f( x(t), y(t) ) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле:

$$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$

б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле: 

$$ frac{partial z}{partial u} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial u} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial u} $$

$$ frac{partial z}{partial v} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{partial x}{partial v} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{partial y}{partial v} $$

Частные производные неявно заданной функции

а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ frac{dy}{dx} = -frac{f’_x}{f’_y} $$

б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z’_x = – frac{F’_x}{F’_z}; z’_y = – frac{F’_y}{F’_z} $$

Примеры решений

Пример 1
Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 – y^2 + 4xy + 10 $
Решение

Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом):

$$ z’_x = (x^2-y^2+4xy+10)’_x = 2x – 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$

Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой:

$$ z’_y = (x^2-y^2+4xy+10)’_y = -2y+4x $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ z’_x = 2x+4y; z’_y = -2y+4x $$
Пример 2
Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $
Решение

Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка.

Полагаем $ y $ константой:

$$ z’_x = (e^{xy})’_x = e^{xy} cdot (xy)’_x = ye^{xy} $$

Положим теперь $ x $ постоянной величиной:

$$ z’_y = (e^{xy})’_y = e^{xy} cdot (xy)’_y = xe^{xy} $$

Зная первые производные аналогично находим вторые.

Устанавливаем $ y $ постоянной:

$$ z”_{xx} = (z’_x)’_x = (ye^{xy})’_x = (y)’_x e^{xy} + y(e^{xy})’_x = 0 + ye^{xy}cdot (xy)’_x = y^2e^{xy} $$

Задаем $ x $ постоянной:

$$ z”_{yy} = (z’_y)’_y = (xe^{xy})’_y = (x)’_y e^{xy} + x(e^{xy})’_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$

Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z’_x $ по $ y $, а можно $ z’_y $ по $ x $, так как по теореме $ z”_{xy} = z”_{yx} $

$$ z”_{xy} = (z’_x)’_y = (ye^{xy})’_y = (y)’_y e^{xy} + y (e^{xy})’_y = ye^{xy}cdot (xy)’_y = yxe^{xy} $$
Ответ
$$ z’_x = ye^{xy}; z’_y = xe^{xy}; z”_{xy} = yxe^{xy} $$
Пример 3
Найти частную производную сложной функции $ z = x^2 + y^2, x = sin t, y = t^3 $
Решение

Находим $ frac{partial z}{partial x} $:

$$ frac{partial z}{partial x} = (x^2+y^2)’_x = 2x $$

Находим $ frac{partial z}{partial y} $:

$$ frac{partial z}{partial y} = (x^2+y^2)’_y = 2y $$

Теперь ищем $ frac{dx}{dt} $ и $ frac{dy}{dt} $:

$$ frac{dx}{dt} = frac{d(sin t)}{dt} = cos t $$

$$ frac{dy}{dt} = frac{d(t^3)}{dt} = 3t^2 $$

Подставляем всё это в формулу и записываем ответ:

$$ frac{dz}{dt} = frac{partial z}{partial x} cdot frac{dx}{dt} + frac{partial z}{partial y} cdot frac{dy}{dt} $$

$$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$
Ответ
$$ frac{dz}{dt} = 2x cdot cos t + 2y cdot 3t^2 $$
Пример 4
Пусть $ 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.
Решение

Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные:

$$ z’_x (y,z – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_x = 3 x^2 z – 4 $$

$$ z’_y (x,y – const) = (x^3 z – 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)’_y = 3z^2 $$
Ответ
$$ z’_x = 3x^2 z – 4; z’_y = 3z^2; $$
Источник

Простое объяснение принципов решения частных производных и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения частных производных

Вычисление частной производной функции из нескольких переменных осуществляется по тем же правилам, что и функций с одной переменной. Разница лишь той, что другие переменные не участвуют дифференцировании (вычислении производной).

Проще говоря, чтобы найти частную производную функции z = x^{8} + 32y^{4} по переменной x,переменную y будем считать константой (производная константы равна нулю), после чего находим производную функции по x с помощью таблицы производных элементарных функций – {z_{x}}' = 8x^{7}. Готово!

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решения частных производных

Задача

Найти частные производные функции u = x^{2} + 3xy + 4y^{2}.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной x:

Производная суммы равна сумме производных. Производная от x^{2} вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого 3xy вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент y считается константой. Производная от слагаемого 4y^{2} вычисляется как производная от константы.

frac{partial{u}}{partial{x}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 2x + 3y + 0 = 2x + 3y.

Частная производная функции по независимой переменной y:

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от x^{2} вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается y). Производная от слагаемого 3xy вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент x считается константой, а y – независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого 4y^{2} осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.

frac{partial{u}}{partial{y}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 0 + 3x + 8y = 3x + 8y.

Ответ

frac{partial{u}}{partial{x}} = 2x + 3y, frac{partial{u}}{partial{y}} = 3x + 8y.

Задача

Найти частные производные функции u = e^{frac{x}{y}}.

Решение

Найдём частную производную функции по независимой переменной x:

Функция e^{frac{x}{y}} является сложной. Производной показательной функции с основанием e является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что y является константой и равна u = frac{1}{y}. Производная функции u равна произведению e^{frac{x}{y}} и frac{1}{y}. В результате получаем:

{u_{x}}' = frac{1}{y}e^{frac{x}{y}}.

Найдём частную производную функции по независимой переменной y:

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции e^{frac{x}{y}} и показателя её степени frac{x}{y}:

Считая x постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу y:

(e^{frac{x}{y}})' = e^{frac{x}{y}}

(frac{x}{y})' = -frac{x}{y^{2}}

{u_{y}}' = -frac{x}{y^{2}}e^{frac{x}{y}}.

Ответ

{u_{x}}' = frac{1}{y}e^{frac{x}{y}}, {u_{y}}' = -frac{x}{y^{2}}e^{frac{x}{y}}.

Задача

Найти частные производные функции z = x^{n} + y^{n}, n - натуральное число.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной x будет равна производной от x^{n}. Производная от слагаемого y^{n} при этом будет равна нулю как производная от константы.

frac{partial{z}}{partial{x}} = nx^{n-1}

Частная производная функции по независимой переменной y находится аналогичным образом, при этом предполагается, что x является константой.

frac{partial{z}}{partial{y}} = ny^{n-1}

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = nx^{n-1}, frac{partial{z}}{partial{y}} = ny^{n-1}

Задача

Найти частные производные функции u = ysin{x} + sin{y}.

Решение

Частная производная функции u по независимой переменной x определяется слагаемым u = ysin{x}. Производная второго слагаемого – sin{y} равна нулю, как производная от константы.

frac{partial{u}}{partial{x}} = ycos{x}

В свою очередь, частная производная функции u по независимой переменной y будет определяться обоими слагаемым:

{(ysin{x})_y}' = sin{x}

{(sin{y})_y}' = cos{y}

Таким образом, окончательно получаем:

frac{partial{u}}{partial{y}} = sin{x} + cos{y}

Ответ

frac{partial{u}}{partial{x}} = ycos{x}, frac{partial{u}}{partial{y}} = sin{x} + cos{y}

Задача

Найти частные производные функции u = x^{sin{y}}, x > 0.

Решение

При нахождении производной по независимой переменной x, функцию u = x^{sin{y}} следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

frac{partial{u}}{partial{x}} = sin{y}cdot{x^{sin{y} - 1}}

Производная по независимой переменной y находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная y входит в показатель степени виде функции sin{x}.

Производная показательной функции равна:

{(x^{sin{y}})_{y}}' = x^{sin{y}}cdot{ln{x}}

Производная показателя степени равна:

{(sin{y})}' = cos{y}

В результате получаем:

frac{partial{u}}{partial{y}} = x^{sin{y}}cdot{ln{x}}cdot{cos{y}}

Ответ

frac{partial{u}}{partial{x}} = sin{y}cdot{x^{sin{y} - 1}}, frac{partial{u}}{partial{y}} = x^{sin{y}}cdot{ln{x}}cdot{cos{y}}

Задача

Найти частные производные функции z = e^{x}cos{y} - e^{y}sin{x}.

Решение

Частная производная по независимой переменной x находится как сумма слагаемых:

{(e^{x}cos{y})_{x}}' = e^{x}cos{y}

{(- e^{y}sin{x})_{x}}' = - e^{y}cos{x}

Частная производная по независимой переменной y находится как сумма слагаемых:

{(e^{x}cos{y})_{y}}' = -e^{x}sin{y}

{(- e^{y}sin{x})_{y}}' = - e^{y}sin{x}

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = e^{x}cos{y} - e^{y}cos{x}, frac{partial{z}}{partial{y}} = -e^{x}sin{y} - e^{y}sin{x}

Задача

Найти частные производные функции z = sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Решение

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая x как независимый аргумент:

{(sqrt{x^{2} + y^{2}})_{x}}' = frac{x}{sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – frac{1}{2sqrt{x^{2} + y^{2}}} следует домножить на производную подкоренного выражения: {({x^{2} + y^{2}})_{x}}' = 2x.

Рассматривая y в качестве независимого аргумента, получаем:

{(sqrt{x^{2} + y^{2}})_{y}}' = frac{y}{sqrt{x^{2} + y^{2}}}

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – frac{1}{2sqrt{x^{2} + y^{2}}} следует домножить на производную подкоренного выражения: {({x^{2} + y^{2}})_{y}}' = 2y.

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = frac{x}{sqrt{x^{2} + y^{2}}}, frac{partial{z}}{partial{y}} = frac{y}{sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Задача

Найти частные производные функции z = e^{arctg {frac{y}{x}}}.

Решение

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.

Производная показательной функции с основанием e равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени: arctg {frac{y}{x}}. В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: frac{y}{x}. Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций: e^{arctg {frac{y}{x}}}, arctg {frac{y}{x}} и frac{y}{x}.

Нахождение частной производной функции по аргументу x:

frac{partial{z}}{partial{x}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{(arctg {frac{y}{x}})_{x}}'cdot{({frac{y}{x}})_{x}}' = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{1}{1+({frac{y}{x}})^2}}cdot{frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{1}{frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}cdot{frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}cdot{frac{-y}{x^{2}}} = - e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{y}{x^{2} + y^{2}}}

Нахождение частной производной функции по аргументу y:

frac{partial{z}}{partial{y}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{(arctg {frac{y}{x}})_{y}}'cdot{({frac{y}{x}})_{y}}' = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{1}{1+({frac{y}{x}})^2}}cdot{frac{1}{x}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{1}{frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}cdot{frac{1}{x}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}cdot{frac{1}{x}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{x}{x^{2} + y^{2}}}

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = - e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{y}{x^{2} + y^{2}}}, frac{partial{z}}{partial{y}} = e^{arctg {frac{y}{x}}}cdot{frac{x}{x^{2} + y^{2}}}

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции z = xsin(x +y).

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу x:

frac{partial{z}}{partial{x}} = sin(x + y) + xcos(x + y)

Найдём частную производную второго порядка по аргументу x:

frac{partial^{2}{z}}{partial{x}^{2}} = cos(x + y) + cos(x + y) - xsin(x +y)

Найдём частную производную первого порядка по аргументу y:

frac{partial{z}}{partial{y}} = xcos(x + y)

Найдём частную производную второго порядка по аргументу y:

frac{partial^{2}{z}}{partial{y}^{2}} = -xsin(x +y)

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = sin(x + y) + xcos(x + y), frac{partial^{2}{z}}{partial{x}^{2}} = 2cos(x + y) - xsin(x +y), frac{partial{z}}{partial{y}} = xcos(x + y), frac{partial^{2}{z}}{partial{y}^{2}} = -xsin(x +y)

Задача

Найти частные производные первого и второго порядков функции z = (frac{x}{y})^{2}.

Решение

Найдём частную производную первого порядка по аргументу x:

frac{partial{z}}{partial{x}} = 2cdot{frac{x}{y}}cdot{frac{1}{y}}

Найдём частную производную второго порядка по аргументу x:

frac{partial^{2}{z}}{partial{x}^{2}} = frac{2}{y^{2}}

Найдём частную производную первого порядка по аргументу y:

frac{partial{z}}{partial{y}} = 2cdot{frac{x}{y}}cdot{frac{-x}{y^{2}}} = -frac{2x^{2}}{y^{3}}

Найдём частную производную второго порядка по аргументу y:

frac{partial^{2}{z}}{partial{y}^{2}} = frac{6x^{2}y^{2}}{y^{6}} = frac{6x^{2}}{y^{4}}

Ответ

frac{partial{z}}{partial{x}} = frac{2x}{y^{2}}, frac{partial^{2}{z}}{partial{x}^{2}} = frac{2}{y^{2}}, frac{partial{z}}{partial{y}} = -frac{2x^{2}}{y^{3}}, frac{partial^{2}{z}}{partial{y}^{2}} = frac{6x^{2}}{y^{4}}

Источник

Частные производные первого порядка

Содержание:

  1. Примеры с решением

1°. Пусть Частные производные первого порядка — некоторая произвольная фиксированная точка из области определения функцииЧастные производные первого порядка. Придавая переменной Частные производные первого порядкаприращение Частные производные первого порядка: находим приращение функции Частные производные первого порядка в точке Частные производные первого порядка по переменной Частные производные первого порядка:

Частные производные первого порядка.

Предел отношенияЧастные производные первого порядка называется частной производной 1-го порядка от функции Частные производные первого порядка по переменной Частные производные первого порядка в точке Частные производные первого порядка и обозначается Частные производные первого порядка или Частные производные первого порядка.

Аналогично определяется и обозначается частная производная от Частные производные первого порядка по Частные производные первого порядка. Производная от функции Частные производные первого порядка по Частные производные первого порядка находится, в предположении, чтоЧастные производные первого порядка остается постоянной, по обычным правилам и формулам дифференцирования. Если функция зависит от нескольких переменных Частные производные первого порядка, то частная производная Частные производные первого порядка находится в предположении, что все переменные (кроме Частные производные первого порядка) постоянные величины.

2°. Функция Частные производные первого порядка называется однородной функцией степени Частные производные первого порядка, если для некоторого действительного числа Частные производные первого порядка справедливо выражение Частные производные первого порядка

Значение называется частичным приращением функции в переменной. Также введены частичные приращения этой функции в переменных.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Теорема Эйлера.

Если однородная степени Частные производные первого порядка функция Частные производные первого порядка имеет частные производные по каждой из переменных Частные производные первого порядка, то справедливо равенство

Частные производные первого порядка

Частные производные первого порядка

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1.

Найти частные производные:

Частные производные первого порядка Решение:

а) Полагая Частные производные первого порядка постоянной величиной, находим производную по Частные производные первого порядка:

Частные производные первого порядка

Полагая Частные производные первого порядка постоянной величиной, находим производную по Частные производные первого порядка:

Частные производные первого порядка

Полагая Частные производные первого порядка постоянной величиной, находим

Частные производные первого порядка

Полагая Частные производные первого порядка постоянной величиной, находим Частные производные первого порядка

Частные производные первого порядка

Пример 2.

Найти частные производные: а) Частные производные первого порядка

6) Частные производные первого порядка

Решение:

а) Полагая Частные производные первого порядка постоянными величинами, находим производную по Частные производные первого порядка

Полагая Частные производные первого порядкапостоянными величинами, находим Частные производные первого порядка

Полагая Частные производные первого порядка постоянными, имеемЧастные производные первого порядка

Частные производные первого порядка

Пример 3.

Найти: a) Частные производные первого порядка, если Частные производные первого порядка;

б) Частные производные первого порядка, если Частные производные первого порядка

Решение:

а) Находим частные производные и вычисляем их значения в точке (1 ;2)

Частные производные первого порядка.

б) Находим частные производные и вычисляем их значения в точке (1;0;2)Частные производные первого порядка

Пример 4.

Показать, что: а) Частные производные первого порядка, если Частные производные первого порядка,

б) Частные производные первого порядка, если Частные производные первого порядка

Решение: а) Находим частные производные Частные производные первого порядка Подставляя их в уравнение, получим

Частные производные первого порядка б) Находим частные производные Частные производные первого порядка

Подставляя производные в уравнение, будем иметь

Частные производные первого порядка

Пример 5.

Проверить теорему Эйлера для функций:

a) Частные производные первого порядка ; б) Частные производные первого порядка.

Решение:

а) Для функции двух переменных теорема Эйлера имеет вид Частные производные первого порядка. Находим частные производные

Частные производные первого порядка. Таким образом, Частные производные первого порядка

б) Находим частные производные

Частные производные первого порядкаЧастные производные первого порядка

7. Таким образом, Частные производные первого порядка поскольку заданная функция однородная степени Частные производные первого порядка.

По определению, при нахождении частной производной определяется нормальная производная функции одной переменной с учетом постоянной y, а при нахождении постоянной производной эта переменная учитывается.

Частные производные первого порядка Частные производные первого порядка

Лекции:

  • Найти сходимость ряда
  • Площади фигур
  • Производные высших порядков. Формула Тейлора
  • Статистические показатели
  • Векторный анализ
  • Полное исследование графика функции
  • Дисперсия дискретной случайной величины
  • Системы дифференциальных уравнений. Методы интегрирования.
  • Дифференциальные уравнения высших порядков
  • Параллельность плоскостей

Источник

Пусть
задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у —
независимые переменные, то одна из них
может изменяться, а другая сохранять
свое значение. Дадим независимой
переменной х приращение Δх, сохраняя
значение у неизменным. Тогда z получит
приращение, которое называется частным
приращением z по х и обозначается ∆хz.
Итак,

Δхz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).

Аналогично
получаем частное приращение z по у:

Δуz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).

Полное
приращение Δz функции z определяется
равенством

Δz
= ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).

 Если
существует предел

то
он называется частной производной
функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по
переменной х и обозначается одним из
символов:

Частные
производные по х в точке М0(х0;у0)
обычно обозначают символами

Аналогичноопределяется
и обозначается частная производная от
z=ƒ(х;у) по переменной у:

Таким
образом, частная производная функции
нескольких (двух, трех и больше) переменных
определяется как производная функции
одной из этих переменных при условии
постоянства значений остальных
независимых переменных. Поэтому частные
производные функции ƒ(х;у) находят по
формулам и правилам вычисления производных
функции одной переменной (при этом
соответственно х или у считается
постоянной величиной).

Пример
44.1. Найти частные производные функции
z = 2у + ех2-у
+1.
Решение:

Г
еометрический
смысл частных производных функции двух
переменных

Графиком
функции z= ƒ (х; у) является некоторая
поверхность (см. п. 12.1). График функции
z = ƒ (х; у0)
есть линия пересечения этой поверхности
с плоскостью у = уо.
Исходя из геометрического смысла
производной для функции одной переменной
(см. п. 20.2), заключаем, что ƒ’x(хо;уо)
= tg а, где а — угол между осью Ох и
касательной, проведенной к кривой z = ƒ
(х; у0)
в точке Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (см. рис. 208).

Аналогично,
f’y (х0;у0)=tgβ. 

44.2. Частные производные высших порядков

Частные
производные
называют
частными производными первого порядка. Их
можно рассматривать как функции от
(х;у) є D. Эти функции могут иметь частные
производные, которые называются частными
производными второго порядка. Они
определяются и обозначаются следующим
образом:

Аналогично
определяются частные производные 3-го,
4-го и т. д. порядков.

Так,
и
т.д.

Частная
производная второго или более высокого
порядка, взятая по различным переменным,
называется смешанной
частной производной.Таковыми
являются, например,

Пример
44.2. Найти частные производные второго
порядка функции z = x4-2x2y3+y5+1.

Решение:
Так как
то

Оказалось,
что

Этот
результат не случаен. Имеет место
теорема, которую приведем без
доказательства.

Теорема
44.1 (Шварц). Если частные производные
высшего порядка непрерывны, то смешанные
производные одного порядка, отличающиеся
лишь порядком дифференцирования, равны
между собой.

В
настности, для z=ƒ(х; у) имеем:

44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть
функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой
окрестности точки М(х;у). Составим полное
приращение функции в точке М:

Функция
z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой
в точке М(х; у), если ее полное приращение
в этой точке можно представить в виде

где
а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0,
Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в
равенстве (44.1) представляет собой главную
часть приращения функции.

Главная
часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная
относительно Δх и Δу, называется полным
дифференциалом этой функции и обозначается
символом dz:

dz=A*Δx+B*Δy.    
(44.2)

Выражения
А•Δх и В•Δу называют частными
дифференциалами. Для независимых
переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy.
Поэтому равенство (44.2) можно переписать
в виде

dz=Adx+Bdy.    
(44.3)

Теорема
44.2 (необходимое условие дифференцируемости
функции). Если функция z = ƒ(х;у)
дифференцируема в точке М(х;у), то она
непрерывна в этой точке, имеет в ней
частные производные dz/dx и dz/dy, причем
dz/dx = А, dz/dy = В.

Так
как функция дифференцируема в точке М,
то имеет место равенство (44.1). Отсюда
вытекает, что
 Это
означает, что функция непрерывна в точке
М. Положив Δу = 0, Δх ≠ 0 в равенстве (44.1),
получим: Δz = А • Δх + а • Δх. Отсюда
находим
Переходя

к
пределу при Δх → 0, получим 

Таким
образом, в точке М существует частная
производная ƒ’x(х;у) = А. Аналогично
доказывается, что в точке М существует
частная производная

Равенство
(44.1) можно записать в виде

где g=аΔх+βΔу→0
при Δх → 0, Δу → 0.

Отметим,
что обратное утверждение не верно, т.
е. из непрерывности функции или
существования частных производных не
следует дифференцируемость функции.
Так, непрерывная функция
не
дифференцируема в точке (0;0).

Как
следствие теоремы получаем формулу для
вычисления полного дифференциала.
Формула (44.3) принимает вид:

или

где
—
частные дифференциалы функции z=ƒ(х;у).

Теорема
44.3 (достаточное условие дифференцируемости
функции). Если функция z = ƒ(х;у) имеет
непрерывные частные производные z’x и
z’y в
точке М(х;у), то она дифференцируема в
этой точке и ее полный дифференциал
выражается формулой (44.5).

Примем
теорему без доказательства.

Отметим,
что для функции у=ƒ(х) одной переменной
существование производной ƒ'(х) в точке
является необходимым и достаточным
условием ее дифференцируемости в этой
точке.

Чтобы
функция z=ƒ(х;у) была дифференцируема в
точке, необходимо, чтобы она имела в ней
частные производные, и достаточно, чтобы
она имела в точке непрерывные частные
производные.

Арифметические
свойства и правила исчисления
дифференциалов функции одной переменной
сохраняются и для дифференциалов функции
двух (и большего числа) переменных.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Добавить комментарий