Корнем уравнения называют число, подстановка которого в уравнение вместо переменной (обычно (x)), дает одинаковые значения выражений справа и слева от знака равно.
Решая, например, уравнение (2x+1=x+4) находим ответ: (x=3). Если подставить тройку вместо икса, получатся одинаковые значения слева и справа:
(2x+1=x+4)
(2cdot3+1=3+4)
(7=7)
И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст. Значит, число (3) – единственный корень уравнения.
Еще раз: корень – это НЕ ИКС! Икс – это переменная, а корень – это число, которое превращает уравнение в верное равенство (в примере выше – тройка). И при решении уравнений мы это неизвестное число (или числа) ищем.
Пример: Является ли (5) корнем уравнения (x^{2}-2x-15=0)?
Решение: Подставим (5) вместо икса:
(5^{2}-2cdot5-15=0)
(25-10-15=0)
(0=0)
По обе стороны от равно – одинаковые значения (ноль), значит 5 действительно корень.
Матхак: на контрольных таким способом можно проверить верно ли вы нашли корни.
Пример: Какое из чисел (0, pm1, pm2), является корнем для (2x^{2}+15x+22=0)?
Решение: Проверим подстановкой каждое из чисел:
|
проверяем (0): |
(2cdot0^{2}+15cdot0+22=0) |
|
(0+0+22=0) |
|
| (22=0) – не сошлось, значит (0) не подходит | |
|
проверяем (1): |
(2cdot1^{2}+15cdot1+22=0) |
| (2+15+22=0) | |
| (39=0) – опять не сошлось, то есть и (1) не корень | |
|
проверяем (-1): |
(2cdot(-1)^{2}+15cdot(-1)+22=0) |
| (2-15+22=0) | |
| (9=0) – снова равенство неверное, (-1) тоже мимо | |
|
проверяем (2): |
(2cdot2^{2}+15cdot2+22=0) |
|
(2cdot4+30+22=0) |
|
|
(60=0) – и вновь не то, (2) также не подходит |
|
|
проверяем (-2): |
(2cdot(-2)^{2}+15cdot(-2)+22=0) |
|
|
(2cdot4-30+22=0) |
| (0=0) – сошлось, значит (-2) – корень уравнения |
Очевидно, что решать уравнения перебором всех возможных значений – безумие, ведь чисел бесконечно много. Потому были разработаны специальные методы нахождения корней. Так, например, для линейных уравнений достаточно одних только равносильных преобразований, для квадратных – уже используются формулы дискриминанта и т.д. Каждому типу уравнений – свой метод.
Ответы на часто задаваемые вопросы
Вопрос: Может ли корень уравнения быть равен нулю?
Ответ: Да, конечно. Например, уравнение (3x=0) имеет единственный корень – ноль. Можете проверить подстановкой.
Вопрос: Когда в уравнении нет корней?
Ответ: В уравнении может не быть корней, если нет таких значений для икса, которые сделают уравнение верным равенством. Яркий примером тут может быть уравнение (0cdot x=5). Это уравнение не имеет корней, так как значение икса здесь не играет роли (из-за умножения на ноль) – все равно левая часть будет всегда равна нулю. А ноль не равен пятерке. Значит, корней нет.
Вопрос: Что значит «найдите меньший корень уравнения»?
Ответ: Это значит, что нужно решить уравнение, и в ответ указать его меньший корень. Например, уравнение (x^2-5x-6=0) имеет два корня: (x_1=-1) и (x_2=6). Меньший из корней: (-1). Вот его и надо будет записать в ответ. Если бы спрашивали про больший корень, то надо было бы записать (6).
Как найти наименьший корень
Для решения квадратного уравнения и нахождения его наименьшего корня вычисляется дискриминант. Дискриминант будет равен нулю лишь в том случае, если многочлен имеет кратные корни.
Вам понадобится
- – математический справочник;
- – калькулятор.
Инструкция
Приведите многочлен к квадратному уравнению вида ax2 + bx + c = 0, в котором a, b и c являются произвольными действительными числами, при этом a ни в коем случае не должно равняться 0.
Подставьте значения получившегося квадратного уравнения в формулу для вычисления дискриминанта. Эта формула выглядит следующим образом: D = b2 – 4ac. В том случае, если D больше нуля, квадратное уравнение будет иметь два корня. Если D равняется нулю, оба вычисленных корня будут не только вещественными, но и равными. И третий вариант: если D меньше нуля, корни будут представлять собой комплексные числа. Рассчитайте значение корней: х1 = (-b + sqrt (D)) / 2a и х2 = (-b – sqrt (D)) / 2a.
Для вычисления корней квадратного уравнения использовать можете также следующие формулы: х1 = (-b + sqrt (b2 – 4ac)) / 2a и х2 = (-b – sqrt (b2 – 4ac)) / 2a.
Сравните два вычисленных корня: корень с наименьшим значением и есть искомая вами величина.
Не зная корней квадратного трехчлена, вы с легкостью можете найти их сумму и произведение. Для этого воспользуйтесь теоремой Виета, в соответствии с которой сумма корней квадратного трехчлена, представленного в виде x2 + px + q = 0, равняется второму коэффициенту, то есть p, но с противоположным знаком. члена q. Другими словами, x1 + x2 = – p, а x1x2 = q. К примеру, дано следующее квадратное уравнение: x² – 5x + 6 = 0. Для начала разложите 6 на два множителя, причем таким образом, чтобы сумма этих множителей была равна 5. Если вы подобрали значения правильно, то x1 = 2, x2 = 3. Проверьте себя: 3х2=6, 3+2=5 (как и требуется, 5 с противоположным знаком, то есть «плюсом»).
Обратите внимание
Будьте внимательны: не допустите ошибку, расставляя знаки!
Полезный совет
Число со знаком «минус» всегда меньше положительного. Если же сравниваете два отрицательных значения, то меньшим из них будет то, модуль которого больше.
Источники:
- Решение квадратного уравнения
- как найти равно или меньше
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Квадратные и линейные уравнения
Линейное уравнение – уравнение, сводящееся к виду (large{ax+b=0}), где (ane
0, b) – числа.
Линейное уравнение всегда имеет единственное решение (x=-dfrac ba).
Квадратное уравнение – уравнение, сводящееся к виду (large{ax^2+bx+c=0}), где (ane
0,b,c) – числа.
Выражение (D=b^2-4ac) называется дискриминантом квадратного уравнения.
Квадратное уравнение может иметь не более двух корней:
(bullet) если (D>0), то оно имеет два различных корня
[x_1=dfrac{-b+sqrt{D}}{2a} quad text{и} quad x_2=dfrac{-b-sqrt{D}}{2a}]
(bullet) если (D=0), то оно имеет один корень (иногда говорят, что два совпадающих)
[x_1=x_2=-dfrac{b}{2a}]
(bullet) если (D<0), то оно не имеет корней.
(blacktriangleright) Теорема Виета для квадратного уравнения:
Если квадратное уравнение имеет неотрицательный дискриминант, то сумма корней уравнения
[{large{x_1+x_2=-dfrac{b}{a}}}]
а произведение
[{large{x_1cdot x_2=dfrac{c}{a}}}]
(blacktriangleright) Если квадратное уравнение:
(sim) имеет два корня (x_1) и (x_2), то (ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)).
(sim) имеет один корень (x_1) (иногда говорят, что два совпадающих), то (ax^2+bx+c=a(x-x_1)^2).
(sim) не имеет корней, то квадратный трехчлен (ax^2+bc+c) никогда не может быть равен нулю. Более того, он при всех (x) строго одного знака: либо положителен, либо отрицателен.
(blacktriangleright) Полезные формулы сокращенного умножения:
[begin{aligned}
&x^2-y^2=(x-y)(x+y)\
&(x+y)^2=x^2+2xy+y^2\
&(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
end{aligned}]
Задание
1
#305
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (dfrac{2}{9}x = 4dfrac{1}{9}).
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Умножим левую и правую часть уравнения на 9. После умножения: (2x = 37), что равносильно (x = 18,5) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 18,5
Задание
2
#306
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (-dfrac{4}{3}x = 5dfrac{2}{3}).
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Умножим левую и правую часть уравнения на (-3). После умножения: (4x = -17), что равносильно (x = -4,25) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -4,25
Задание
3
#310
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (x^2 – 11x + 28 = 0). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Дискриминант данного уравнения (D = 121 – 28 cdot 4 = 121 – 112 = 9 = 3^2). Корни [x_1 = dfrac{11 + 3}{2} = 7, x_2 = dfrac{11 – 3}{2} = 4] – подходят по ОДЗ. Ответ: (x = 7) – больший корень уравнения.
Ответ: 7
Задание
4
#311
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения (2x^2 – 7x + 3 = 0). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
Дискриминант данного уравнения (D = 49 – 24 = 25 = 5^2). Корни (x_1 = dfrac{7 + 5}{4} = 3, x_2 = dfrac{7 – 5}{4} = 0,5) – подходят по ОДЗ. Ответ: (x = 0,5) – меньший корень уравнения.
Ответ: 0,5
Задание
5
#312
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения ((4x + 5)^2 = (4x + 4)^2).
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем (16x^2 + 40x + 25 = 16x^2 + 32x + 16), что равносильно (8x = -9), откуда (x = -1,125) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -1,125
Задание
6
#314
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения ((5x + 8)^2 = 160x).
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем (25x^2 + 80x + 64 = 160x), что равносильно (25x^2 – 80x + 64 = 0), что равносильно ((5x – 8)^2 = 0), что равносильно ((5x – 8)(5x – 8) = 0).
Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что [x = dfrac{8}{5} = 1,6] – единственный корень – подходит по ОДЗ.
Ответ: 1,6
Задание
7
#315
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите корень уравнения ((2x + 11)^2 = 88x).
ОДЗ: (x) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем (4x^2 + 44x + 121 = 88x), что равносильно (4x^2 – 44x + 121 = 0), что равносильно ((2x – 11)^2 = 0), что равносильно ((2x – 11)(2x – 11) = 0).
Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что [x = dfrac{11}{2} = 5,5] – единственный корень – подходит по ОДЗ.
Ответ: 5,5
Знакомство школьника с квадратными уравнениями вида (ax²+bx+c=0), где (ane 0), (b), (c) — заданные числа, происходит еще задолго до сдачи ЕГЭ по математике в Москве или любом другом городе РФ, а именно в 8 классе. Несмотря на то, что на изучение материала по данной теме, как правило, отводится немало времени, далеко не все школьники с легкостью решают подобные задачи. Поэтому, готовясь к сдаче выпускного экзамена, школьникам как в Москве, так и в других населенных пунктах РФ необходимо повторить такой раздел алгебры, как квадратные уравнения: в ЕГЭ по математике они обязательно встретятся.
Для того чтобы освежить в памяти основные способы решения подобного задания и способы решения иррациональных уравнений, воспользуйтесь образовательным проектом «Школково». Наши специалисты подготовили для вас в максимально понятной и доступной форме теоретический материал по теме «Квадратные уравнения», подобрали интересные примеры, которые встречаются в ЕГЭ, а также их подробные решения.
Необходимо запомнить
Для решения квадратных уравнений в ЕГЭ по математике следует выучить формулу, по которой вычисляется дискриминант. Она довольная простая: (D=b2−4ac).
Квадратное уравнение, которое вам предстоит решить в ЕГЭ, может иметь не более двух корней. Если вычисленный дискриминант больше 0, то следует использовать следующие формулы:
(x_1=dfrac{-b+sqrt{D}}{2a})
(x_2=dfrac{-b-sqrt{D}}{2a})
Если D = 0, то уравнение имеет один корень (иногда говорят, что 2 равных):
(x_1=x2=dfrac{-b}{2a})
Если дискриминант меньше 0, то уравнение не имеет корней.
УСТАЛ? Просто отдохни
Вы отправили работу на проверку эксперту. Укажите номер телефона на него придет СМС
Отправить
Незнайка → ЕГЭ → Математика → Базовая → Вариант 9 → Задание 7
Задание № 21461
Найдите меньший корень уравнения [math]7^{x^2-2x}=1[/math]
Показать ответ
Комментарий:
[math]7^{x^2-2x}=1[/math]
[math]7^{x^2-2x}=7^0[/math]
x2—2x=0
x1=0 — меньший корень, x2=2
Ответ: 0
Нашли ошибку в задании? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl + Enter.
2 302 022
Уже готовятся к ЕГЭ, ОГЭ и ВПР.
Присоединяйся!
Мы ничего не публикуем от вашего имени
что такое наименьший корень
Мастер
(1346),
на голосовании
8 лет назад
Голосование за лучший ответ
Axl Rose
Мыслитель
(6471)
8 лет назад
Это такой корень, который берется из уравнения. Допустим ты решаешь квадратное уравнение через дискриминант. В итоге остается два корня, ты выбираешь наименьший. Если я правильно понял.
Эдик Дубинин
Ученик
(112)
6 лет назад
cПод корнем уравнения понимают значение неизвестной состовляющей. Корень уравнения – это такое число, которое при подстановке даёт верное числовое равенство. Определить все возможные значения переменной – значит найти корни уравнения. Для примера возьмём уравнение: 2х-4=8+х. Найдём корень данного уравнения. 2х-х=8+4 (переносим все неизвестные в левую часть, со сменой знаков, известные-в правую). х=12. Подставляем полученный корень в уравнение и получаем такое решение: 2*12-4=8+1220=20 уравнение решено верно, следовательно корень уравнения = 12Однако не всегда корни могут быть найдены. Уравнения, не имеющие корней, называются неразрешимыми. Так, например, не будет корней у уравнения х (в квадрате) =-9. – так как любое значение неизвестной х, возведённое в квадрат, должно дать положительное число. В общем, корень уравнения – это значение неизвестной, которое определяется путём решения данного уравнения.
