Найдите промежутки монотонности экстремумы функции как

1.Если производная функции y
= f(x)
положительна (отрицательна) во всех
точках промежутка, то функцияy
= f(x)
монотонно возрастает (убывает)на этом промежутке.

2.Точкаx₀называется точкоймаксимума (минимума)
функцииy = f(x),
если существует интервал, содержащий
точкуx₀, такой,
что для всехxиз этого
интервала имеет место неравенствоf(x₀)≥ f(x),(f(x₀)≤ f(x)).
Точки максимума и точки минимума
называются точкамиэкстремума.

3. Необходимое условие экстремума:
в точке экстремума функции ее производная
либо равна нулю(f
′(x)=0), либо
не существует.

4.Первое достаточное условие
экстремума: если в точке x₀функцияy = f(x)
непрерывна, а производная f
′(x)при
переходе через точкуx₀меняет знак, то точкаx₀– точка экстремума: максимума, если
знак меняется с «+» на «-», и минимума,
если с «–» на «+».

Если при переходе через точку x₀производная не меняет знак, то в точкеx₀экстремума нет.

5.Второе достаточное условие
экстремума: если в точкеx₀
,
а
,
тоx₀является точкой
максимума функции. Если
,
а
,
тоx₀является точкой
минимума функции.

6.Схема исследования функции

на экстремум:

1) найти производную
;

2) найти критические точки функции, в
которых производная равна нулю или не
существует;

3) исследовать знак производной слева
и справа от каждой критической точки и
сделать вывод о наличии экстремумов
функции;

4) найти экстремальные значения функции.

При исследовании функции на экстремум
с помощью 2-го достаточного условия п.
1), 2), 4) сохраняются, а в п. 3) необходимо
найти вторую производную
и определить ее знак в каждой критической
точке.

7.Чтобы найтинаибольшее и наименьшее
значение(глобальный максимум и
минимум) функции
на отрезке [a,b]
следует выбрать наибольшее (наименьшее)
из значений функции в критических
точках, находящихся в интервале (a,b)
и на концах отрезка (в точкахaиb).

8.Если дифференцируемая на интервале
(a,b) функция
имеетединственнуюточку экстремума,
то в этой точке достигается наибольшее
или наименьшее значение (глобальный
максимум или минимум) функции на интервале
(a,b).

8.35. Найти интервалы монотонности
и экстремумы функции.

Решение. В соответствии со схемой
исследования (п. 6) найдем
.Очевидно, производная существует при
всех значенияхx. Приравниваяy′ к нулю, получаем
уравнение

откудаи– критические точки. Знаки производной
имеют вид (рис. 8.1):

Рис. 8.1

На интервалах
ипроизводная
и функция возрастает, на интервалеи функция убывает;

Рис. 8.2

– точка максимума и– точка минимума и,
так как при переходе через эти точки
производная меняет свой знак соответственно
с «+» на «-» и с «-» на «+».

Замечание.Установить
существование экстремума в критических
точкахи,
в которых
можно было и с помощью второй производной
(см.
п. 5). Так как
,
а
,
то– точка максимума, а– точка минимума.

График данной функции схематично показан
на рисунке 8.2.

8.36. Найти экстремумы и интервалы
монотонности функции.

Решение..

Производная существует во всех точках,
в которых существует и сама функция,
т.е. при x> 0. Точки, в
которых производная обращается в нуль,
задаются равенствамиlnx=0,lnx-1
= 0, откудаx₁ =1,x₂
= е – критические точки. Знаки
производной указаны на рис. 8.3.

Рис.8.3

Таким образом, функция монотонно
возрастает на промежутках (0;1) и (е;+)
и монотонно убывает на промежутке (1;е).
Точкаx= 1 – точка максимума
и,
точка х = е – точка минимума и.

8.37. Найти экстремумы и интервалы
монотонности функции

Решение..
Производная не существует приcosx=1 т.е. прии равна нулю при.
Знак производной совпадает со знакомsin(x); таким
образом у’ >0 прииy'<0 при.
Это, соответственно, интервалы возрастания
и убывания функции.– точки максимума,– точки минимума.

8.38. Найти наибольшее значение
(глобальный максимум) функциина интервале (10;18).

Решение. Найдем.
На интервале (10;18) имеется всего одна
критическая точкаx= 6.
Производная при переходе через эту
точку меняет знак с «+» на «-», т.е.x= 6 – точка максимума. Следовательно,
функция достигает наибольшего значения
приx= 16, т.е..
(Заметим, что наименьшего значения
(глобального минимума) данной функции
на указанном интервале не существует.)

8.40. Забором длиной 24 метра требуется
огородить с трех сторон прямоугольный
палисадник наибольшей площади. Найти
размеры палисадника.

Решение.Пусть длины сторон палисадникаx,y. Тогда
2x+y= 24, т.е.y= 24-2x.
Площадь палисадникаS=xy=x(24-2x)
= 24x-2x²,
где 0<x<12 (ибо 24-2x>0).
Таким образом, задача свелась к отысканию
значенияx, при которомS(x) принимает
наибольшее значение на интервале (0;12).
НайдемS'(x)
= 24-4x= 0 приx= 6. Легко видеть, чтоx= 6
– единственная точка экстремума –
максимума функцииS(x).
Это означает, что на интервале (0;12)S(x)
принимает наибольшее значение приx= 6, т.е. искомые размеры палисадника 6 м
и 24- 2 – 6 = 12 м.

Найти интервалы
монотонности и экстремумы функции:

8.41..8.42..8.43..

8.44.
.8.45.
8.46.
.

8.47.
.8.48..8.49..

8.50..8.51..8.52.
.

8.53.
.8.54.
.8.55.
.

8.56..8.57.
.8.58.
.

8.59..8.60..

Найти наибольшее
и наименьшее значение (глобальный
максимум и минимум) функции
на отрезке [a,b]:

8.61.8.62.8.63.

8.64.8.65.8.66.

8.67.8.68.

Найти наибольшее
или наименьшее значение (глобальный
максимум или минимум) функции
на интервале(a,b):

8.69.8.70.8.71.

8.72.8.73.8.74.

8.75. Рассматриваются всевозможные
прямоугольные параллелепипеды, основания
которых являются квадратами, а каждая
из боковых сторон имеет периметр, равный
6 см. найти среди них параллелепипед с
наибольшим объемом и найти этот объем.

8.76. Определить размеры открытого
бассейна с квадратным дном, при которых
на облицовку стен и дна пойдет наименьшее
количество материала. Объем бассейнаVфиксирован.

8.77. Требуется огородить два участка:
один в форме правильного треугольника,
другой в форме полукруга. Длина изгороди
фиксирована и равна Р. Определить размеры
участков (сторону треугольника и радиус
полукруга) так, чтобы сумма площадей
этих участков была бы наименьшей.

8.78. В треугольнике с основаниемaи высотойh вписан
прямоугольник, основание которого лежит
на основании треугольника, а две вершины
– на боковых сторонах. Найти наибольшую
площадь вписанного прямоугольника.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Исследование функции на монотонность и экстремумы, выпуклость и точки перегиба

1. Производная функции и промежутки монотонности
2. Критические точки
3. Вторая производная, промежутки выпуклости и точки перегиба
4. Примеры

п.1. Производная функции и промежутки монотонности

Рассмотрим кусочно-непрерывную функцию: ( y= begin{cases} x+1, xleq 1\ 2, 1lt xleq 4\ 6-x, xgt 4 end{cases} )

Эта функция интересна тем, что имеет промежуток возрастания при (xleq 1), промежуток постоянства при (1lt xleq 4) и промежуток убывания при (xgt 4).
Посмотрим, как ведет себя производная на каждом из промежутков, используя определение производной (см. §42 данного справочника).
Заметим, что в точках излома x=1 и x=4 функция определена и непрерывна, но её производная не существует.

При (xlt 1): $$ triangle y=(f(x_0+triangle x)-f(x_0)=left((x_0+triangle x)+1right)-(x_0+1)=triangle x $$ Получается, что знаки (triangle y) и (triangle x) всегда совпадают, и их частное (frac{triangle y}{triangle x}=1gt 0) – всегда положительно. Поэтому и производная на промежутке возрастания функции положительна: $$ f'(x_0)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle x}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}1=1gt 0 $$ При (1lt xlt 4): $$ triangle y=f(x_0+triangle x)-f(x_0)=2-2=0 $$ Производная на промежутке постоянства равна нулю: $$ f'(x_0)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{0}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}0=0 $$ При (xgt 4): $$ triangle y=f(x_0+triangle x)-f(x_0)=left(6-(x_0+triangle x)right)-(6-x_0)=-triangle x $$ Знаки (triangle y) и (triangle x) всегда противоположны, и их частное (frac{triangle y}{triangle x}=-1lt 0) – всегда отрицательны. Поэтому и производная на промежутке убывания функции отрицательна: $$ f'(x_0)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{-triangle x}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}(-1)=-1lt 0 $$ Полученные результаты можно обобщить для любой функции, поскольку всегда:

• на промежутках возрастания (frac{triangle y}{triangle x}gt 0) и (f'(x)gt 0,)
• на промежутках постоянства (frac{triangle y}{triangle x}=0) и (f'(x)=0,)
• на промежутках убывания (frac{triangle y}{triangle x}lt 0) и (f'(x)lt 0,)

Верно и обратное утверждение:

Если в каждой точке некоторого промежутка производная функции (y=f(x)):

• положительна, то функция на этом промежутке возрастает;
• равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна;
• отрицательна, то функция на этом промежутке убывает.

begin{gather*} f'(x)gt 0Leftrightarrow y=f(x) uparrow\ f'(x)=0Leftrightarrow y=f(x)=const\ f'(x)lt 0Leftrightarrow y=f(x)downarrow end{gather*}

п.2. Критические точки

Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими точками.

Например:
Найдем критические точки функции (y=frac{x^2-10x+16}{x^2})
Точка (x=0notin D) не входит в ОДЗ функции, следовательно, производная в ней не существует и (x=0) – критическая точка.
Найдем точки, в которых производная равна 0.
Преобразуем выражение: (frac{x^2-10x+16}{x^2}=1-frac{10}{x}+frac{16}{x^2}) begin{gather*} y’=left(1-frac{10}{x}+frac{16}{x^2}right)=0+frac{10}{x^2}-frac{16cdot 2}{x^3}=frac{10x-32}{x^3}=frac{10(x-3,2)}{x^3}\ y’=0 text{при} x=3,2 end{gather*} Ответ: x=0 и x=3,2

Напомним, что:

Окрестностью точки (x_0) называется любой сколь угодно малый промежуток, для которого (x_0) является внутренней точкой.

Точка (x_0)является точкой минимума функции (y=f(x)), если для всех (x(xne x_0)) из некоторой окрестности точки (x_0) выполняется неравенство (f(x_0)lt f(x)).
Точка (x_0) является точкой максимума функции (y=f(x)), если для всех (x(xne x_0)) из некоторой окрестности точки (x_0) выполняется неравенство (f(x_0 )gt f(x)).
Все точки минимума и максимума функции (y=f(x)) образуют множество точек экстремума данной функции.

Необходимое условие существования экстремума
Точками экстремума функции могут быть только её критические точки.

Т.е. все критические точки объявляются подозрительными на экстремум.

Достаточное условие существования экстремума
Точка (x_0) принадлежит промежутку непрерывности функции (y=f(x)) и при подходе к точке (x_0) слева и справа производные имеют разные знаки.

Т.е., для всех точек, подозрительных на экстремум, которые лежат в промежутках непрерывности функции и для которых производные слева и справа имеют разные знаки, «подозрение подтверждается» – и такие точки признаются экстремумами.

Например:
Исследуем промежутки монотонности и найдем экстремумы функции (y=frac{x^2-10x+16}{x^2}).
Выше мы уже нашли критические точки: (x=0) и (x=3,2).
Производная: (y’=frac{10(x-3,2}{x^3})
Определить знак производной на промежутке просто: нужно взять любое значение x из промежутка и подставить в производную. При этом не нужно точно считать, сколько получается; главное – понять, какой знак у каждой скобки/множителя.
Составим таблицу:

(x)	((-infty;0))	0	(0;3,2)	3,2	((3,2;+infty))
(f'(x))	>0	не существует	<0	0	>0
(f(x))	(nearrow)	не существует	(searrow)	min	(nearrow)

Вывод:
Функция возрастает при (xin(-infty;0)cup(3,2;+infty))
Функция убывает при (xin(0;3,2))
Точка минимума (x=3,2; y_{min}=f(3,2)=-frac{9}{16})

п.3. Вторая производная, промежутки выпуклости и точки перегиба

Пусть функция (y=f(x)) является дифференцируемой на промежутке (xin(a;b)), и её производная (f'(x)) также является дифференцируемой на этом же промежутке.
Тогда существует производная от производной: (left(f'(x)right)’=f”(x)), которую называют второй производной или производной второго порядка от функции (y=f(x)).

Например:
1) Найдем вторую производную для (y=3x^4+2x^3+4x)
(f'(x)=3cdot 4x+2cdot 3x^2+4cdot 1=12x^3+6x^2+4)
(f”(x)=12cdot 3x^2+6cdot 2x+0=36x^2+12x)

2) Найдем вторую производную для (y=frac{x^2-10x+16}{x^2}).
Первую мы уже нашли выше: (f'(x)=frac{10(x-3,2)}{x^3}=frac{10}{x^2}-frac{32}{x^3})
Получаем: (f”(x)=left(frac{10}{32}-frac{32}{x^3}right)’=-frac{10cdot 2}{x^3}+frac{32cdot 3}{x^4}=frac{-20x+96}{x^4}=-frac{20(x-4,8)}{x^4})

Кривая (y=f(x)) называется выпуклой вверх на интервале ((a;b)), если все точки, кроме точки касания (x_0), лежат под касательной, проведенной через любую точку (x_0in(a;b)).
Кривая (y=f(x)) называется выпуклой вниз на интервале ((a;b)), если все точки, кроме точки касания (x_0), лежат над касательной, проведенной через любую точку (x_0in(a;b)).
Точка кривой (y=f(x)), в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба.

Например:

Точка A принадлежит промежутку, выпуклому вверх, т.к. все точки этого промежутка лежат под касательной, проведенной через A. Точка B принадлежит промежутку, выпуклому вниз, т.к. все точки этого промежутка лежат над касательной, проведенной через B. Точка C – точка перегиба.

Если в каждой точке некоторого промежутка (a;b) вторая производная функции (y=f(x)):

• положительна, то функция на этом промежутке выпуклая вниз;
• равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна;
• отрицательна, то функция на этом промежутке выпуклая вверх.

begin{gather*} f”(x)gt 0 forall xin(a;b)Leftrightarrow y=f(x)cup\ f”(x)=0 forall xin(a;b)Leftrightarrow y=f(x)=const\ f”(x)lt 0 forall xin(a;b)Leftrightarrow y=f(x)cap end{gather*}

Внутренние точки области определения функции, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называют критическими точками второго порядка.

Необходимое условие существования точки перегиба
Точками перегиба функции могут быть только её критические точки второго порядка.

Т.е. все критические точки второго порядка объявляются подозрительными на перегиб.

Достаточное условие существования точки перегиба
Точка (x_0) принадлежит промежутку непрерывности первой производной (f'(x)) и при подходе к точке (x_0) слева и справа вторые производные имеют разные знаки.

Т.е., для всех точек, подозрительных на перегиб, которые лежат в промежутках непрерывности первой производной и для которых вторые производные слева и справа имеют разные знаки, «подозрение подтверждается» – и такие точки признаются точками перегиба.

Например:
Продолжим исследование функции (y=frac{x^2-10x+16}{x^2}) и найдем промежутки выпуклости и точки перегиба.
Вторая производная: (f”(x)=frac{-20(x-4,8)}{x^4})
Критические точки второго порядка: (x=0) и (x=4,8).
Составим таблицу:

(x)	((-infty;0))	0	(0;4,8)	4,8	((4,8;+infty))
(f”(x))	>0	не существует	>0	0	<0
(f(x))	(cup)	не существует	(cup)	перегиб	(cap)

Вывод:
Функция выпуклая вниз при (xin(-infty;0)cup(0;4,8))
Функция выпуклая вверх при (xin(4,8;+infty))
Точка перегиба (x=4,8; f(4,8)=frac{7}{18})

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции:
a) ( y=2x^3-6x^2-18x+7 )
ОДЗ: (xinmathbb{R})
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=2cdot 3x^2-6cdot 2x-18cdot 1+0=6x^2-12x-18=6(x^2-2x-3)=\ =6(x-3)(x+1)\ f'(x)=0 text{при} left[ begin{array}{l} x=3\ x=-1 end{array} right. end{gather*} Критические точки: (x=-1) и (x=3)
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;-1))	-1	(-1;3)	3	((3;+infty))
(f'(x))	>0	0	<0	0	>0
(f(x))	(nearrow)	max	(searrow)	min	(nearrow)

Вывод:
Функция возрастает при (xin(-infty;-1)cup(3;+infty))
Функция убывает при (xin(-1;3))
Точка максимума (x=-1; y_{max}=f(-1)=-2-6+18+7=17)
Точка минимума (x=3; y_{min}=f(3)=54-54-54+7=-47)

б) ( y=frac{x^2}{x^2-9} )
ОДЗ: (x^2-9=ne 0Rightarrow xnepm 3)
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=frac{2x(x^2-9)-x^2cdot 2x}{(x^2-9)^2}=frac{2x(x^2-9-x^2)}{(x^2-9)^2}=-frac{18x}{(x^2-9)^2} end{gather*} Критические точки: (x=left{0;pm 3right})
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;-3))	-3	(-3;0)	0	((0;3))	3	((3+infty))
(f'(x))	>0	не существует	>0	0	<0	не существует	<0
(f(x))	(nearrow)	не существует	(nearrow)	max	(searrow)	не существует	(searrow)

Вывод:
Функция возрастает при (xin(-infty;-3)cup(-3;0))
Функция убывает при (xin(0;3)cup(3;+infty))
Точка максимума (x=0; y_{max}=f(0)=0)

в) ( y=frac3x+frac x3 )
ОДЗ: (xne 0)
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=-frac{3}{x^2}+frac13=frac{x^2-9}{3x^2}=frac{(x+3)(x-3)}{3x^2}\ f'(x)=0 text{при} x=pm 3 end{gather*} Критические точки: (x=left{0;pm 3right})
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;-3))	-3	(-3;0)	0	((0;3))	3	((3+infty))
(f'(x))	>0	0	<0	(varnothing)	<0	0	>0
(f(x))	(nearrow)	max	(searrow)	(varnothing)	(searrow)	min	(nearrow)

Вывод:
Функция возрастает при (xin(-infty;-3)cup(-3;+infty))
Функция убывает при (xin(-3;0)cup(0;3))
Точка максимума (x=-3; y_{max}=f(-3)=-1-1=-2)
Точка минимума (x=3; y_{min}=f(3)=1+1=2)

г*) ( y=frac{x^2}{8}-ln(x^2-8) )
ОДЗ: (x^2-8gt 0Rightarrow x^2gt 8Rightarrow |x|gt sqrt{8}Rightarrow xlt -2sqrt{2}cup xgt 2sqrt{2})
Критические точки на границе ОДЗ: (x=pm 2sqrt{2})
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=frac{2x}{8}-frac{2x}{x^2-8}=2xleft(frac18-frac{1}{x^2-8}right)=frac{2x(x^2-8-8)}{8(x^2-8)}=frac{x(x^2-16)}{4(x^2-8)}=\ =frac{x(x+4)(x-4)}{4(x+2sqrt{2})(x-2sqrt{2})}\ f'(x)=0 text{при} x=left{0;pm 4right} end{gather*} (x=0notin D) – не входит в ОДЗ.
Критические точки: (x=left{pm2sqrt{2};pm 4right})
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;-4))	-4	((-4;-2sqrt{2}))	(-2sqrt{2})	((-2sqrt{2};2sqrt{2}))	(2sqrt{2})	((2sqrt{2};4))	4	((4;+infty))
(f'(x))	<0	0	>0	(varnothing)	(varnothing)	(varnothing)	<0	0	>0
(f(x))	(searrow)	min	(nearrow)	(varnothing)	(varnothing)	(varnothing)	(searrow)	min	(nearrow)

Вывод:
Функция возрастает при (xin(-4;-2sqrt{2})cup(4;+infty))
Функция убывает при (xin(-infty;-4)cup(2sqrt{2};4))
Точка минимума $$ x=pm 4; y_{min}=f(pm 4)=frac{16}{8}-ln(16-8)=2-ln 8=2-ln 2^3=2-3ln 2 $$

Пример 2. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
a) ( y=2x^3-6x^2-18x+7 )
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=2cdot 3x^2-6cdot 2x-18cdot 1+0=6x^2-12x-18 end{gather*} Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=6cdot 2x-12cdot 1-0=12x-12=12(x-1)\ f”(x)=0 text{при} x=1 end{gather*} Критическая точка 2-го порядка: (x=1)
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;1))	1	((1;+infty))
(f”(x))	<0	0	>0
(f(x))	(cap)	перегиб	(cup)

Вывод:
Функция выпуклая вверх при (xin(-infty;1))
Функция выпуклая вниз при (xin(1;+infty))
Точка перегиба (x=1; f(1)=2-6-18+7=-15)

б) ( y=frac{x^2}{x^2-9} )
ОДЗ: (x^2-9ne 0Rightarrow xne pm 3)
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=frac{2x(x^2-9)-x^2cdot 2x}{(x^2-9)^2}=frac{2x(x^2-9-x^2)}{(x^2-9)^2}=-frac{18x}{(x^2-9)^2} end{gather*} Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=-18left(frac{1cdot (x^2-9)^2-xcdot 2(x^2-9)cdot 2x}{(x^2-9)^4}right)=-18left(frac{(x^2-9)-4x^2}{(x^2-9)^3}right)=\ =-28left(frac{-3x^2-9}{(x^2-9)^3}right)=frac{54(x^2+3)}{(x^2-9)^3} end{gather*} ( f”(x)=0 text{при} x=invarnothing) – таких x нет.
Критические точки 2-го порядка: (x=left{pm 3right})
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;-3))	-3	((-3;3))	3	((3;+infty))
(f”(x))	>0	не существует	<0	не существует	>0
(f(x))	(cup)	не существует	(cap)	не существует	(cup)

Вывод:
Функция выпуклая вверх при (xin(-3;3))
Функция выпуклая вниз при (xin(-infty;-3)cup(3;+infty))
Точек перегиба нет.

в) ( y=frac3x+frac x3 )
ОДЗ: (xne 0)
Первая производная: begin{gather*} f'(x)= -frac{3}{x^2}+frac13=frac{x^2-9}{3x^2} end{gather*} Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=frac13left(1-frac{9}{x^2}right)’=frac13left(0+frac{9cdot 2}{x^3}right)=frac{6}{x^3} end{gather*} Вторая производная нулей не имеет.
Критическая точка 2-го порядка: (x=0)
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;0))	0	((0;+infty))
(f”(x))	<0	(varnothing)	>0
(f(x))	(cap)	(varnothing)	(cup)

Вывод:
Функция выпуклая вверх при (xin(-infty;0))
Функция выпуклая вниз при (xin(0;+infty))
Точек перегиба нет.

г*) ( y=frac{x^2}{8}-ln(x^2-8) )
ОДЗ: (x^2-8gt 0Rightarrow x^2gt 8Rightarrow |x|gt sqrt{8}Rightarrow xlt -2sqrt{2}cup xgt 2sqrt{2})
Критические точки на границе ОДЗ: (x=pm 2sqrt{2})
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=frac{2x}{8}-frac{2x}{x^2-8}=2xleft(frac18-frac{1}{x^2-8}right)=frac{2x(x^2-8-8)}{8(x^2-8)}=frac{x(x^2-16)}{4(x^2-8)} end{gather*} Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=frac14left(frac{x^3-16x}{x^2-8}right)’=frac14cdotfrac{(3x^2-16)(x^2-8)-(x^3-16x)cdot 2x}{(x^2-8)^2}=\ =frac14cdotfrac{3x^4-40x^2+128-2x^4+32x^2}{(x^2-8)^2}=frac14cdotfrac{x^4-8x^2+128}{(x^2-8)^2} end{gather*} Для биквадратного уравнения (x^4-8x^2+128=0) дискриминант (D=64-4cdot 128lt 0)
Значит, (x^4-8x^2+128gt 0) на всей ОДЗ. Нулей у второй производной нет.
Критические точки 2-го порядка: (x=left{pm 2sqrt{2}right})
Составляем таблицу:

(x)	((-infty;-2sqrt{2}))	(-2sqrt{2} )	((-2sqrt{2};2sqrt{2}))	(2sqrt{2})	((2sqrt{2};+infty))
(f”(x))	>0	(varnothing)	(varnothing)	(varnothing)	>0
(f(x))	(cup)	(varnothing)	(varnothing)	(varnothing)	(cup)

Вывод:
Функция выпуклая вниз при (xin(-infty;-2sqrt{2})cup(2sqrt{2};+infty)) (на всей ОДЗ)
Точек перегиба нет.

Пример 3*. Найдите наименьшее значение функции:
begin{gather*} y=3^x+2cdot 3^{3-x}-xln 27-9 end{gather*} ОДЗ: (xinmathbb{R})
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=3^xln 3+2cdot 3^{3-x}cdot (3-x)’cdot ln 3-1cdotln 27-0=\ =3^xln 3-2cdot 3^{3-x}ln 3-ln 3^3=3^xln 3-2cdot 3^3cdot 3^{-x}ln 3-3ln 3=\ =ln 3cdot (3^x-54cdot 3^{-x}-3) end{gather*} Найдём нули первой производной: begin{gather*} ln 3cdot (3^x-54cdot 3^{-x}-3)=0 |:ln 3\ 3^x-54cdot 3^{-x}-3=0 end{gather*} Замена: (t=3^xgt 0) begin{gather*} t-frac{54}{t}-3=0Rightarrow frac{t^2-3t-54}{t}=0Rightarrow begin{cases} t^2-3t-54=0\ tne 0 end{cases} \ (t+6)(t-9)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} t=-6lt 0 – text{не подходит}\ t=9 end{array} right. end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной: (3^x=9Rightarrow x=2) $$ f'(x)=0 text{при} x=2 $$ Критическая точка (x=2)
Для определения знаков в промежутке ((-infty;2)) можно взять (x=1) и тогда:
$$ f'(1)=ln 3cdot (3^1-54cdot 3^{-1}-3)=ln 3cdot (3-18-3)lt 0 $$ В промежутке ((2;+infty)) можно взять 3 и тогда: $$ f'(3)=ln 3cdot (3^3-54cdot 3^{-3}-3)=ln 3cdot (27-2-3)gt 0 $$ Получаем:

(x)	((-infty;2))	2	((2;+infty))
(f'(x))	<0	0	>0
(f(x))	(searrow)	min	(nearrow)

(x=2) точка минимума.
Значение функции в этой точке: begin{gather*} y_{min}=f(2)=3^2+2cdot 3^{3-2}-2ln 27-9=9+6-2ln 3^3-9=\ =6-6ln 3=6(1-ln 3) end{gather*} Ответ: (y_{min}=6(1-ln 3)) при (x=2)

Пример 4*. Найдите наибольшее значение функции begin{gather*} f(x)=x^4-6bx^2+b^2 end{gather*} на отрезке [-2;1] в зависимости от параметра b.

Первая производная: begin{gather*} f'(x)=4x^3-12bx=4x(x^2-3b)\ f'(x)=0 text{при} x=0 text{и} x=pmsqrt{3b} end{gather*}

Критическая точка (x=0) будет при любом b. При (bgt 0, x=0) будет максимумом, при (bleq 0) – минимумом.
Пара критических точек (x=pmsqrt{3b}) появляется только при условии (bgt 0), и это две точки минимума. Т.к. по условию мы ищем точку максимума (наибольшее значение функции), эти точки нам не интересны.

Поэтому рассмотрим значения на концах отрезка и в нуле в общем случае: begin{gather*} f(-2)=(-2)^4-6bcdot(-2)^2+b^2=b^2-24b+16\ f(0)=b^2\ f(1)=1-6b+b^2 end{gather*} Сравниваем попарно значения функций: begin{gather*} f(1)-f(0)=1-6b+b^2-b^2=1-6b\ f(1)gt f(0) text{при} bltfrac16\ f(1)lt f(0) text{при} bgtfrac16\ \ f(-2)-f(0)=b^2-24b+16-b^2=16-24b=8(2-3b)\ f(-2)gt f(0) text{при} bltfrac23\ f(-2)lt f(0) text{при} bgtfrac23\ \ f(-2)-f(1)=b^2-24b+16-(1-6b+b^2)=-18b+15=3(5-6b)\ f(-2)gt f(1) text{при} bltfrac56\ f(-2)lt f(1) text{при} bgtfrac56\ end{gather*} Получаем таблицу:

b	Соотношение значений функции
(left(-infty;frac16right))	(f(-2)gt f(1)gt f(0))
(frac16)	(f(-2)gt f(1)=f(0))
(left(frac16;frac23right))	(f(-2)gt f(0)gt f(1))
(frac23)	(f(-2)=f(0)gt f(1))
(left(frac23;frac56right))	(f(0)gt f(-2)gt f(1))
(frac56)	(f(0)gt f(-2)=f(1))
(left(frac56;+inftyright))	(f(0)gt f(1)gt f(2))

Получаем, что при (bltfrac23) максимальное значение на отрезке имеет $$ f(-2)=b^2-24b+16 $$ При (bgeq frac23) максимальное значение будет для (f(0)=b^2)

Ответ:
При (bltfrac23, max_{[-2;1]}f(x)=f(-2)=b^2-24b+16)
При (bgeqfrac23, max_{[-2;1]}f(x)=f(0)=b^2)

Значит, производная меняет знак только в точках (x=0) и (x=2).

В точке (x=0) она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции (f(0)=0).

В точке (x=2) она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции (f(2)=4).

Тема курса    Применение
производной при исследовании и построении графиков функций

Тема
урока №22. Возрастание и убывание функций.
Экстремум функций  

Возрастание и убывание функции.

Экстремум функций  

Возрастание и убывание функции.

Приведем
формулировки теорем, используемых при исследовании функций.

Достаточное условие строгого
возрастания (убывания) функции.

Если  () в интервале , то  строго
возрастает (убывает) в этом интервале.

Промежутки, в которых функция возрастает (убывает),
называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки
монотонности функции необходимо:

1. найти область определения функции;

2. найти производную функции;

3. приравнять производную к нулю и определить ее корни
(стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не
существует, а функция определена;

4. определить знак производной в каждом из
промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения
функции.

Экстремумы функций.

Внутренняя точка  интервала  называется
точкой максимума (минимума) функции ,  если существует такое ,
что для всех  из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется
неравенство  (). Точки максимума и минимума называют точками экстремума
(локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в
ноль, называют стационарными точками.

Необходимое условие экстремума
функции

Если функция  дифференцируема в
точке  и достигает в этой точке максимума (минимума), то .

Точками экстремума могут быть
только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в
которых производная равна нулю или не существует, на­зывают точками,
подозрительными на экстремум, или критическими точками.

Достаточные условия экстремума
функции

Если при переходе через точку ,
подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка  является точкой
экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки   для  и  для , то  является
точкой максимума. Если же в этой окрестности  для  и  для , то  – точка
минимума.

Другим достаточным признаком существования экстремума в
стационарной точке  является условие  (тогда это точка максимума) и  (тогда это
точка минимума). При этом считается, что  имеет непрерывную вторую производную
в некоторой окрестности точки .

Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.

1. . Область определения
   функции D(y)=R.

Найдем производную заданной функции

Определим критические точки . Производная не существует при х₂=
0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и
определим знак производной на каждом из полученных промежутков.

Критическая точка функции x =3. Точка x= –1
не входит в область определения функции.

Преподаватель:             Г.Б.Слямова

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок № 16. Экстремумы функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение точек максимума и минимума функции

2) Определение точки экстремума функции

3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку  х₀ называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х₀ называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х₁ и х₂, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

2) Найти f’ (x).

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

промежутках.

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

экстремума.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

• Точку х = х₀ называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀).
• Точку х = х₀ называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀).

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

1. найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
2. найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
3. выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежуток монотонности функции у=х² -8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

2x-8=0

х=4

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

х=-2,5

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t² − 48t + 15, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени. 

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc

Ответ: V=12 мc

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Ответ: 3