Найдите значение выражения с корнями как решать

Умение работать с числовыми выражениями, содержащими квадратный корень, необходимо для успешного решения ряда задач из ОГЭ и ЕГЭ. Как правило, на этих экзаменах достаточно базового представления о том, что такое извлечение корня и как оно осуществляется на практике.

Определение

Корень степени n из числа X – это такое число x, для которого верно равенство: xⁿ = X.

Найти значение выражения с корнем – это значит найти x при известных X и n.

Квадратный корень или, что то же самое, корень второй степени из X – число x, для которого выполнено равенство: x² = X.

Обозначение: ∛Х. Здесь 3 – степень корня, Х – подкоренное выражение. Знак ‘√’ часто называют радикалом.

Если над корнем не стоит число, указывающее на степень, то по умолчанию подразумевается степень 2.

В школьном курсе для четных степеней обычно не рассматривают отрицательные корни и подкоренные выражения. Например, не существует √-2, а для выражения √4 верным ответом считается 2, несмотря на то, что (-2)² тоже равняется 4.

Рациональность и иррациональность корней

Наиболее простое из возможных заданий c корнем – найти значение выражения либо проверить его на рациональность.

Например, вычислить значения √25; ∛8; ∛-125:

• √25 = 5, так как 5² = 25;
• ∛8 = 2, так как 2³ = 8;
• ∛ – 125 = -5, так как (-5)³ = -125.

Ответы в приведенных примерах – это рациональные числа.

При работе с выражениями, не содержащими буквенных констант и переменных, рекомендуется всегда выполнять подобную проверку с помощью обратной операции возведения в натуральную степень. Нахождение числа x в n-й степени эквивалентно вычислению произведения n множителей x.

Существует множество выражений с корнем, значение которых иррационально, то есть записывается в виде бесконечной непериодической дроби.

По определению рациональные – это те, что можно выразить обыкновенной дробью, а иррациональные – все остальные действительные числа.

К таким относятся √24, √0,1, √101.

Если в задачнике сказано: найдите значение выражения с корнем из 2, 3, 5, 6, 7 и т. д., то есть из тех натуральных чисел, которые не содержатся в таблице квадратов, то в правильном ответе √2 может присутствовать (когда не оговорено обратное).

Проведение оценки

В задачах с открытым ответом, если найти значение выражения с корнем и записать его рациональным числом невозможно, результат следует оставить в виде радикала.

Некоторые задания могут потребовать проведения оценки. Например, сравнить 6 и √37. Для решения требуется возвести оба числа в квадрат и сравнить результаты. Из двух чисел больше то, чей квадрат больше. Данное правило работает для всех положительных чисел:

• 6² = 36;
• 37² = 37;
• 37 > 36;
• значит, √37 > 6.

Точно так же решаются задачи, в которых несколько чисел надо расставить в порядке возрастания или убывания.

Пример: расставить по возрастанию 5, √6, √48, √√64.

После возведения в квадрат имеем: 25, 6, 48, √64. Можно было бы еще раз возвести все числа в квадрат, для того чтобы сравнить их с √64, но он равен рациональному числу 8. 6 < 8 < 25 < 48, так что решение такое: √6 < √√64 < 5 < √48.

Упрощение выражения

Бывает так, что найти значение выражения с корнем нельзя, поэтому его надо упростить. В этом помогает следующая формула:

√ab = √a√b.

Корень из произведения двух чисел равен произведению их корней. Данная операция также потребует умения раскладывать число на множители.

На начальном этапе для ускорения работы рекомендуется иметь под рукой таблицу простых чисел и квадратов. Эти таблицы при частом использовании в дальнейшем запомнятся.

Например, √242 – иррациональное число, можно преобразовать так:

• 242 = 2 × 121;
• √242 = √(2 × 121);
• √2 × √121 = √2 × 11.

Обычно полученный результат записывают как 11√2 (читается: одиннадцать корней из двух).

Если трудно увидеть сразу, на какие два множителя нужно разложить число, чтобы из одного из них извлекался натуральный корень, можно пользоваться полным разложением на простые множители. Если одно и то же простое число в разложении встретилось два раза, оно выносится за знак корня. Когда множителей много, можно извлекать корень в несколько действий.

Пример: √2400 = √(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Число 2 встретилось в разложении 2 раза (на самом деле более двух раз, но нас пока интересуют два первых вхождения в разложение).

Выносим его из под знака корня:

√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5) = 2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).

Повторяем такое же действие:

2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5) = 2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).

В оставшемся подкоренном выражении 2 и 3 встречаются по одному разу, значит, осталось вынести множитель 5:

2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5) = 5 × 2 × 2√(2 × 3);

и выполнить арифметические действия:

5 × 2 × 2√(2 × 3) = 20√6.

Итак, получаем √2400 = 20√6.

Если в задании не прописано явно: “найдите значение выражения с квадратным корнем”, то выбор, в каком виде оставить ответ (извлекать ли корень из-под радикала), остается за учеником и может зависеть от решаемой задачи.

На первых порах высокие требования предъявляются к оформлению заданий, проведению вычислении, в том числе устному или письменному, без использования технических средств.

Только после хорошего усвоения правил работы с иррациональными числовыми выражениями имеет смысл переходить к более трудным буквенным выражениям и к решению иррациональных уравнений и вычислению промежутка возможных значений выражения под радикалом.

С таким типом задач ученики сталкиваются на ЕГЭ по математике, а также на первом курсе профильных вузов при изучении математического анализа и смежных дисциплин.

От том, что такое арифметический квадратный корень и как его извлекать было написано здесь.

В задании номер 8 ОГЭ можно встретить алгебраические и числовые выражения с квадратными корнями.

В этой статье посмотрим как находить значения числовых выражений, которые содержат знак корня.

Для начала обратимся к справочным материалам и более подробно посмотрим как пользоваться этим “богатством” на экзамене.

1-ое свойство: корень произведения равен произведению корней. Обратите внимание, что подкоренные числовые выражения должны быть неотрицательными.

2-ое свойство: корень частного равен частному корней. Здесь тоже подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а еще выражение в знаменателе не может быть равно нулю.

Еще можно для себя выделить свойство, которое не дано в справке:

Возведя корень в квадрат получаем подкоренное выражение. Конечно, при условии, что подкоренное выражение неотрицательное.

Разберемся на примерах как это работает.

Задание. Найдите значение числового выражения.

№1

Воспользуемся для начала распределительным законом умножения, а затем первым свойством корней, только в другом “направлении”: произведение корней равно корню из произведения. Решение найдете в карусели.

№2

Частное корней равно корню из частного. Остается только упростить.

№3

Для того, чтобы вычислить значение этого выражения подумайте, на какие множители можно разложить данные числа.

№4

Аналогично, раскладываем максимально на множители числа.

№5

Произведение и частное “отправляем” под один знак корня и сокращаем дробь.

№6

От перемены мест множителей произведение не меняется. Помните? Тогда смело переставляйте…

№7

№8

Самое простое задание 🙂

Продолжение следует…

Не забудь нажать на пальчик вверх после прочтения и подписаться. За это отдельная благодарность

(✿◠‿◠)

Что такое арифметический квадратный корень

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа (a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен (a). (  (sqrt{a}=x, {{x}^{2}}=a; x, age 0)).

А почему же число  ( a) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен ( sqrt{-9})?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: ( {{3}^{2}}=9), а не ( -9).

Может, ( left( -3 right))? 

Опять же, проверяем: ( {{left( -3 right)}^{2}}=9).

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

 Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа( a)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен( a)».

Но подождите!  В самом начале мы разбирали пример ( {{x}^{2}}=4) и один из ответов был отрицательным числом! 

 Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом ( displaystyle 4). Ответом были ( displaystyle 2) и ( displaystyle -2)

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, ( displaystyle {{x}^{2}}=4) (квадратное уравнение) не равносильно выражению ( x=sqrt{4}) (арифмитический квадратный корень).

Из ( {{x}^{2}}=4) следует, что

( left| x right|=sqrt{4}), то есть ( x=pm sqrt{4}=pm 2) или ( {{x}_{1}}=2); ( {{x}_{2}}=-2)

(не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

А из ( x=sqrt{4}) следует, что ( x=2).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки «плюс-минус» являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как ( 2), так и ( x=-2).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

А теперь попробуй решить такое уравнение ( {{x}^{2}}=3).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: ( {{0}^{2}}=0) – не подходит.

Двигаемся дальше ( displaystyle x=1); ( displaystyle {{1}^{2}}=1) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ( displaystyle x=2)? 

Проверим: ( displaystyle {{2}^{2}}=4) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между ( displaystyle 1) и ( displaystyle 2), а также между ( displaystyle -2) и ( displaystyle -1).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции ( displaystyle y={{x}^{2}}) и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

Извлечем корень из ( displaystyle 3), делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что ( sqrt{3}=1,732050807568ldots ) Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. ( sqrt{3}) и ( -sqrt{3}) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b>0).

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{sqrt{3}}=sqrt{frac{12}{3}}=sqrt{4}=2)

Вот и вся наука. А вот такой пример:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{3}=frac{sqrt{12}}{sqrt{9}}=sqrt{frac{12}{9}}=sqrt{frac{4}{3}}=frac{2}{sqrt{3}})

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=?)

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=frac{sqrt{144}}{sqrt{225}}=frac{12}{15}=frac{4}{5}=0,8)

А вот такой примерчик:

( displaystyle   sqrt{0,16}=sqrt{frac{16}{100}}=frac{4}{10}=0,4)

Еще ты можешь встретить такое выражение:

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=?)

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=sqrt{frac{144}{25}}=frac{12}{5}=2,4)

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа ( displaystyle a) – это число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a).

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a), в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, ( displaystyle a)!

Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{6}}={{left( {{left( sqrt{5} right)}^{2}} right)}^{3}}={{5}^{3}}=125)

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{7}}={{left( sqrt{5} right)}^{6}}cdot sqrt{5}=125sqrt{5})

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

( displaystyle   sqrt{{{3}^{2}}}=sqrt{9}=3)

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

• ( displaystyle   sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}})
• ( displaystyle   sqrt{{{6}^{6}}})
• ( displaystyle   {{left( sqrt{8} right)}^{7}})

А вот и ответы:

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{49cdot 2}=sqrt{49}cdot sqrt{2}=7sqrt{2})

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14})

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14}=sqrt{7cdot 7cdot 2}=sqrt{{{7}^{2}}cdot 2}=7sqrt{2})

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12})

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6})

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 12cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}=\=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}end{array})

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5cdot 2cdot 3cdot 2}=sqrt{5cdot 5cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2}=\=sqrt{25}cdot sqrt{81}cdot sqrt{16}=5cdot 9cdot 4=180end{array})

Вот и все, не так все и страшно, правда?

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{54}cdot sqrt{10}=?)

Получилось ( displaystyle   90)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

( displaystyle   sqrt{4225}=?)

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

Содержание:

Квадратные корни

Уравнение х² = 9 имеет два решения: 3 и -3. Говорят, что 3 и -3 — квадратные корни из числа 9.

Квадратным корнем из числа а называют число, I квадрат которого равен а.

Примеры:

Квадратными корнями из числа:

• а) 1600 являются 40 и – 40, поскольку 40² = 1600 и (-40)² = 1600;
• б) 0,49 являются 0,7 и 0,7, поскольку 0,7² = 0,49 и (-0,7)² = 0,49.

Среди известных вам чисел нет такого, квадрат которого был бы равен отрицательному числу, поэтому квадратного корня из отрицательного числа не существует.

Квадратный корень из числа 0 равен нулю. Квадратный корень из положительного числа имеет два значения: одно из них положительное, другое — противоположное ему отрицательное число.

Неотрицательное значение квадратного корня называют арифметическим значением этого корня.

Арифметическое значение квадратного корня из числа a обозначают символом

Примечание. Символом обозначают только арифметическое значение квадратного корня из числа а, хотя читается оно короче: «квадратный корень из числа а».

Вычисление арифметического значения квадратного корня называют извлечением квадратного корня.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами чисел, извлекать квадратные корни желательно устно.

а	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

Квадратные корни из больших натуральных чисел можно находить, пользуясь таблицей квадратов.

Например, , .

С помощью калькулятора можно извлекать квадратные корни с большей точностью. Например, чтобы извлечь квадратный корень из 1000, набираем это число, затем нажимаем клавишу . На экране высвечивается число 31,622776.

Следовательно, .

Если таким способом найти значение , то на некоторых калькуляторах высвечиваются два числа: 5,9160797 и -2. Число -2 здесь показывает порядок искомого значения, записанного в стандартном виде. Следовательно,

.

Хотите знать ещё больше?

Извлекать квадратные корни из натуральных чисел вавилонские учёные умели ещё 4 тыс. лет тому назад Они составили таблицу квадратов многих натуральных чисел и, пользуясь ею, находили квадратные корни. Если число m не было точным квадратом натурального числа, то они искали ближайшее приближённое значение а квадратного корня из m, представляли число m в виде m = а² + b и применяли правило, которое сейчас можно записать в виде формулы Например, если m = 108, то .

Проверка. 10,4² = 108,16.

Это правило извлечения квадратных корней было известно и учёным Древней Греции.

Известны и другие алгоритмы извлечения квадратных корней, но теперь это удобнее делать с помощью калькулятора.

Квадратный корень из произведения, дроби, степени

Арифметический корень из а — неотрицательное значение квадратного корня из неотрицательного числа а. Поэтому для любого неотрицательного числа а выполняется тождество .

Примеры:

Верны и такие тождества:

1. — для неотрицательных значений а и b;
2. — для неотрицательного а и положительного b;
3. – для неотрицательного а и натурального к.

Докажем эти тождества:

1. Если а и b — произвольные неотрицательные числа, то числа также неотрицательные. Кроме того,

Следовательно, — неотрицательное число, квадрат которого равен ab, то есть

2. Если , то числа неотрицательные, a — положительное. Кроме того,

Следовательно, неотрицательное число, квадрат которого равен , то есть

3. Если число а — неотрицательное, a k — натуральное, то числа — неотрицательные. Кроме того,. Следовательно, — неотрицательный квадратный корень из , то есть

Доказанные три теоремы кратко можно сформулировать так.

1. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел (теорема о корне из произведения).
2. Корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя (теорема о корне из дроби).
3. Корень из степени a , в котором числа а — неотрицательное и k — натуральное, равен ст (теорема о корне из степени)

Примечание. Здесь под «корнем» понимают только квадратный арифметический корень.

Теорему о корне из произведения можно распространить на три множителя и более. Действительно, если числа а, b и с — неотрицательные, то Если в доказанных тождествах поменять местами их левые и правые части, то получим:

Эти тождества показывают, как можно умножать и делить корни. Например,

Из теоремы о корне из степени следует, что , если . Если а < 0, то равенство – а неверное, поскольку число неотрицательное и не может быть равным отрицательному числу а.

Равенство верное при каждом значении а, поскольку число — неотрицательное и его квадрат равен а².

Примеры:

Хотите знать ещё больше?

В сформулированных выше теоремах представлены только простейшие случаи преобразования арифметических значений квадратных корней: если все числа под корнями положительные или неотрицательные Но бывают и такие выражения, в которых под знаком корня — произведение либо частное двух отрицательных чисел. В этом случае можно использовать определения квадратного корня, арифметического значения квадратного корня и т. д.

Например, .

Из теоремы 3 несложно получить такое следствие.

Если натуральное число — чётное, то для любых значений а выполняется тождество

Ведь обе части этого равенства — числа неотрицательные, их квадраты – равны.

Выполним вместе!

Пример:

Найдите значение выражения: а) ; б) ; в) ; г) .

Решение:

О т в е т. а) 35; б) 1,2; в) 6; г)

Преобразование выражений с корнями

Выражения с квадратными корнями можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень и делить (на делитель, отличный от нуля).

Примеры:

Рассмотрим и другие преобразования выражений с корнями.

Подобное преобразование называют вынесением множителя за знак корня. В последнем примере за знак корня вынесен множитель 10.

Преобразование, обратное вынесению множителя за знак корня, называют внесением множителя под знак корня.

В атом примере под знак корня вносим множитель 0,3. Рассмотренные преобразования осуществляются на основании теоремы о корне из произведения.

Если знак корня находится в знаменателе дроби, то такую дробь можно заменить тождественной, знаменатель которой не имеет корней. Достаточно умножить члены дроби на соответствующее выражение. Например,

Такие преобразования называют освобождением дроби от иррациональности в знаменателе.

Эти преобразования можно выполнять также с выражениями, содержащими переменные. Например,

Примечание. При вынесении переменной за знак корня необходимо помнить, что равенство верно только при неотрицательных значениях а и с. Если , то . При любых действительных значениях а и неотрицательных с верно тождество: .

Пример:

Вынесите множитель за знак корня: a)

Решение:

а) б) Ответ. a) ; б) .

При внесении переменной под знак корня следует помнить, что под корень можно вносить лишь положительные числа.

Пример:

Внесите множитель под знак корня: а) ; б)

Решение:

а) ; б) О т в е т. a) ; б)

Используя словосочетание «выражения с корнями», в этой главе мы будем говорить только о «выражениях с арифметическими квадратными корнями». Но в математике выражения с корнями имеют более широкий смысл поскольку корни бывают не только квадратные, но и кубические четвёртой, пятой …. n-й степеней. Корни из числа а таких степеней обозначают символами:

Выражения, содержащие любые из таких корней, называют выражениями с корнями, или иррациональными выражениями. Выражения с арифметическими квадратными корнями – это только часть иррациональных выражений (рис 45) .

Рис. 45 Раньше знаки корней …, называли радикалами, поэтому в некоторых публикациях иррациональные выражения до сих пор называют выражениями с радикалами.

Выполним вместе!

Пример:

Упростите выражение: а) ; б) ; в).

Решение:

a) . б) ;

в) . О т в е т. a) ; б)16; в) 9.

Пример:

Разложите на множители выражение: a) ; б) ; в) .

Решение:

а) ; б) ; в) если а — число положительное, то . Поэтому

Ответ, a) ; б) ; в) .

Пример:

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) ; б) ;

Решение:

а) ; б)

Ответ. а) ; б) .

ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Квадратные корни из чисел вавилонские математики умели вычислять ещё 4 тыс. лет тому назад. Находили даже приближённые значения квадратных корней, пользуясь правилом, которое теперь можно записать (при небольших значениях с) в виде приближённого равенства:

В XIII в. европейские математики предложили сокращённое обозначение корня. Вместо нынешнего писали R12 (от латинского Radix — корень). Позднее вместо R стали писать знак V, например V7, V(a + b). Затем над многочленом за корнем добавили черту: . Р. Декарт (1596 -1650) соединил знак корня с чертой, после чего запись приобрела современный вид: . Действительные числа входили в математику непросто. Учёные античного мира не предполагали, что кроме целых и дробных могут быть и другие числа. Хотя Пифагор (VI в. до и. э.) и его ученики доказали: если длина стороны квадрата равна 1, то длину его диагонали нельзя выразить ни одним рациональным числом. Таким образом, они выяснили, что существуют отрезки, длины которых не выражаются рациональными числами, но при этом иррациональных чисел не ввели. Математики Индии и Среднего Востока пользовались иррациональными числами, но считали их ненастоящими, неправильными, «глухими». И только когда Р. Декарт предложил каждой точке координатной прямой поставить в соответствие число, иррациональные числа объединили с рациональными во множество действительных чисел. Строгая теория действительных чисел появилась лишь в XIX в. В 8 классе изучают не все действительные числа. Кроме квадратных существуют корни третьей, четвёртой и высших степеней, например , , . С такими действительными числами вы ознакомитесь в старших классах.

ОСНОВНОЕ В ГЛАВЕ

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а. Например, число 16 имеет два квадратных корня: 4 и -4. Неотрицательное значение квадратного корня из числа а называют арифметическим значением корня я обозначают символом . Свойства квадратных корней. Если а > 0 и b > 0, то

Для любого действительного . Значения многих квадратных корней — числа не рациональные, а иррациональные. Числа целые и дробные, положительные, отрицательные и нуль вместе составляют множество рациональных чисел. Каждое рациональное число можно записать в виде дроби , где — число целое, а n— натуральное. Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. А любая бесконечная периодическая десятичная дробь изображает некоторое рациональное число. Примеры: = 0,6666…, =1,181818…. Числа, которые можно представить в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называют иррациональными. Примеры иррациональных чисел: = 1,4142136…, = 3,1415927… . Иррациональные числа вместе с рациональными образуют множество действительных чисел. Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел обозначают соответственно буквами N, Z, Q, R (см. рис. 41). Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, возводить в степень и делить (на числа, отличные от нуля). Для сложения и умножения произвольных действительных чисел верны переместительный, сочетательный и распределительный законы: а + b = b + а, ab=ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a ^. (bc) = (ab) ^. c, (a + b) с = ас +bс.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Рассмотрим квадрат, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Пусть длина его стороны составляет единиц. Тогда уравнение можно рассматривать как математическую модель задачи о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам.

Корнями этого уравнения являются числа 7 и —7. Говорят, что числа 7 и —7 являются квадратными корнями из числа 49.

Определение: Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен

Приведем несколько примеров.

Квадратными корнями из числа 9 являются числа 3 и —3. Действительно,

Квадратными корнями из числа являются числа и

Действительно,

Квадратным корнем из числа 0 является только число 0. Действительно, существует лишь одно число, квадрат которого равен нулю, — это число 0.

Поскольку не существует числа, квадрат которого равен отрицательному числу, то квадратного корня из отрицательного числа не существует.

Положительный корень уравнения число 7, является ответом в задаче о нахождении стороны квадрата, площадь которого равна 49 квадратным единицам. Это число называют арифметическим квадратным корнем из числа 49.

Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа называют неотрицательное число, квадрат которого равен .

Арифметический квадратный корень из числа обозначают Знак называют знаком квадратного корня или радикалом (от лат. radix — корень).

Запись читают: «квадратный корень из », опуская при чтении слово «арифметический».

Выражение, стоящее под радикалом, называют подкоренным выражением. Например, в записи двучлен является подкоренным выражением. Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения.

Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.

Рассмотрим несколько примеров:

так как и

так как и

так как и

Вообще, равенство выполняется при условии, что и

Этот вывод можно представить в другой форме: для любого неотрицательного числа справедливо, что а

Например, и и и

Подчеркнем, что к понятию квадратного корня мы пришли, решая уравнение вида где Корни этого уравнения — числа, каждое из которых является квадратным корнем из числа

Поиск корней уравнения проиллюстрируем, решив графически уравнение

В одной системе координат построим графики функций и (рис. 17). Точки пересечения этих графиков имеют абсциссы 2 и —2, которые и являются корнями данного уравнения.

Уравнение при не имеет корней, что подтверждается графически: графики функций и при общих точек не имеют (рис. 18).

При уравнение имеет единственный корень что также подтверждается графически: графики функций и имеют только одну общую точку (рис. 18).

Графический метод также позволяет сделать следующий вывод: если то уравнение имеет два корня. Действительно, парабола и прямая где имеют две общие точки (рис. 18). При этом корнями уравнения являются числа и Действительно,

Например, уравнение имеет два корня: и

Пример:

Найдите значение выражения

Решение:

Применив правило возведения произведения в степень и тождество получим:

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Имеем: Тогда

Ответ: 36.

2)

Ответ: 7.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

или или

Ответ: 1; 9. ▲

Пример:

Решите уравнение

Решение:

или

или

или

Ответ:

Пример:

При каких значениях имеет смысл выражение:

Решение:

1) Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение принимает неотрицательные значения. Подкоренное выражение является произведением двух множителей, один из которых — отрицательное число. Следовательно, это произведение будет принимать неотрицательные значения, если другой множитель будет принимать неположительные значения.

Ответ: при

2) Данное выражение имеет смысл, если выполняются два условия: имеет смысл выражение и знаменатель отличен от нуля. Следовательно, должны одновременно выполняться два условия: и Отсюда и

Ответ: при и

Пример:

Решите уравнение:

Решение:

1) Левая часть данного уравнения имеет смысл, если подкоренные выражения и одновременно принимают неотрицательные значения. Из того, что первое подкоренное выражение должно быть неотрицательным, получаем: тогда Однако если то второе подкоренное выражение, принимает только отрицательные значения. Следовательно, левая часть данного уравнения не имеет смысла.

Ответ: корней нет.

2) Левая часть данного уравнения является суммой двух слагаемых, каждое из которых может принимать только неотрицательные значения. Тогда их сумма будет равна нулю, если каждое из слагаемых равно нулю. Следовательно, одновременно должны выполняться два условия: и Это означает, что надо найти общие корни полученных уравнений, то есть решить систему уравнений

Имеем,

Решением последней системы, а значит, и исходного уравнения, является число 2.

Ответ: 2.

3) Используя условие равенства произведения нулю, получаем:

или или

Однако при выражение не имеет смысла. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень — число 2.

Ответ: 2.

Свойства арифметического квадратного корня

Легко проверить, что Может показаться, что при любом значении а выполняется равенство Однако это не так. Например, равенство является ошибочным, поскольку На самом деле Также можно убедиться, что, например,

Вообще, справедлива следующая теорема.

Теорема: Для любого действительного числа а выполняется равенство

Доказательство: Для того чтобы доказать равенство надо показать, что и

Имеем: при любом

Также из определения модуля следует, что

Следующая теорема обобщает доказанный факт.

Теорема: (арифметический квадратный корень из степени). Для любого действительного числа и любого натурального числа выполняется равенство

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 15.1. Проведите это доказательство самостоятельно.

Теорема: (арифметический квадратный корень из произведения). Для любых действительных чисел и таких, что и выполняется равенство

Доказательство: Имеем: и Тогда Кроме того,

Следовательно, выражение принимает только неотрицательные значения, и его квадрат равен

Эту теорему можно обобщить для произведения трех и более множителей. Например, если и то

Теорема: (арифметический квадратный корень из дроби). Для любых действительных чисел и таких, что и выполняется равенство

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 15.3. Проведите это доказательство самостоятельно.

Понятно, что из двух квадратов с площадями и (рис. 27) большую сторону имеет тот, у которого площадь больше, то есть если то Это очевидное соображение иллюстрирует такое свойство арифметического квадратного корня: для любых неотрицательных чисел и таких, что выполняется неравенство

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

1) Заменив произведение корней корнем из произведения, получим:

2) Заменив частное корней корнем из частного (дроби), получим:

Пример:

Упростите выражение: если

если

Решение:

1) По теореме об арифметическом квадратном корне из степени имеем:

2) Имеем: Поскольку по условию то Тогда

3) Имеем: Поскольку по условию то Поскольку то Следовательно,

4) Имеем: Поскольку то

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

1) Преобразовав подкоренное выражение по формуле разности квадратов, получаем:

Пример:

Постройте график функции

Решение:

Поскольку то

Если то

Если то

Следовательно,

График функции изображен на рисунке 28.

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Пользуясь теоремой об арифметическом квадратном корне из произведения, преобразуем выражение Имеем: Выражение мы представили в виде произведения рационального числа 4 и иррационального числа Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. В данном случае был вынесен из-под знака корня множитель 4. Рассмотрим выполненное преобразование в обратном порядке:

Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня. В данном случае был внесен под знак корня множитель 4.

Пример:

Вынесите множитель из-под знака корня:

если

Решение:

1) Представим число, стоящее под знаком корня, в виде произведения двух чисел, одно из которых является квадратом рационального числа:

2)

3) Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то из условия следует, что Тогда

4) Из условия следует, что Тогда

5) Из условия следует, что Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то получаем, что Тогда

Пример:

Внесите множитель под знак корня:

Решение:

2) Если то если то

3) Из условия следует, что Тогда

4) Из условия следует, что Тогда

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

1) Имеем:

2)

3) Применяя формулы сокращенного умножения (квадрат двучлена и произведение разности и суммы двух выражений), получим:

Пример:

Разложите на множители выражение:

если

Решение:

1) Представив данное выражение в виде разности квадратов, получим:

2) Поскольку по условию то

3) Применим формулу квадрата разности:

4) Имеем:

5)

6)

Пример:

Сократите дробь:

если

Решение:

1) Разложив числитель данной дроби на множители, получаем:

2)

3) Поскольку по условию и то числитель и знаменатель данной дроби можно разложить на множители и полученную дробь сократить:

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби означает преобразовать дробь так, чтобы ее знаменатель не содержал квадратного корня.

Пример:

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение:

1) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на получаем:

2) Умножив числитель и знаменатель данной дроби на выражение получаем:

Пример:

Докажите тождество

Решение:

Пример:

Упростите выражение

Решение:

Представив подкоренное выражение в виде квадрата суммы, получаем:

Растут ли в огороде радикалы?

В Древней Греции действие извлечения корня отождествляли с поиском стороны квадрата по его площади, а сам квадратный корень называли «стороной».

В Древней Индии слово «мула» означало «начало», «основание», «корень дерева». Это же слово стали употреблять и по отношению к стороне квадрата, возможно, исходя из такой ассоциации: из стороны квадрата, как из корня, вырастает сам квадрат. Вероятно, поэтому в латинском языке понятия «сторона» и «корень» выражаются одним и тем же словом — radix. От этого слова произошел термин «радикал».

Слово radix можно также перевести как «редис», то есть корнеплод — часть растения — видоизмененный корень, который может являться съедобным.

В XIII-XV вв. европейские математики, сокращая слово radix, обозначали квадратный корень знаками Например, запись имела следующий вид: .

В XVI в. стали использовать знак Происхождение этого символа, по-видимому, связано с рукописным начертанием латинской буквы

В XVII в. выдающийся французский математик Рене Декарт, соединив знак с горизонтальной черточкой, получил символ Рене Декарт который мы и используем сегодня. (1596-1650)

Множество и его элементы. Подмножество

Мы часто говорим: стадо баранов, букет цветов, коллекция марок, косяк рыб, стая птиц, рой пчел, собрание картин, набор ручек, компания друзей.

Если в этих парах перемешать первые слова, то может получиться смешно: букет баранов, косяк картин, стадо друзей. В то же время такие словосочетания, как коллекция рыб, коллекция птиц, коллекция картин, коллекция ручек и т. д., вполне приемлемы. Дело в том, что слово «коллекция» достаточно универсальное. Однако в математике есть термин, которым можно заменить любое из первых слов в данных парах. Это слово множество.

Приведем еще несколько примеров множеств:

Отдельным важнейшим множествам присвоены общепринятые названия и обозначения:

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита: и т. д.

Объекты, составляющие данное множество, называют элементами этого множества. Обычно элементы обозначают строчными буквами латинского алфавита: и т. д.

Если — элемент множества то пишут: (читают: «принадлежит множеству »). Если не является элементом множества , то пишут: (читают: « не принадлежит множеству »).

Если множество состоит из трех элементов то пишут:

Если — множество натуральных делителей числа 6, то пишут: Множество делителей числа 6, являющихся составными числами, имеет следующий вид: {6}. Это пример одноэлементного множества.

Задавать множество с помощью фигурных скобок, в которых указан список его элементов, удобно в тех случаях, когда множество состоит из небольшого количества элементов.

Определение: Два множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества принадлежит множеству и, наоборот, каждый элемент множества В принадлежит множеству .

Если множества и равны, то пишут:

Из определения следует, что множество однозначно определяется своими элементами. Если множество записано с помощью фигурных скобок, то порядок, в котором выписаны его элементы, не имеет значения. Так, для множества, состоящего из трех элементов существует шесть вариантов его записи:

Поскольку из определения равных множеств следует, что, например, то в дальнейшем будем рассматривать множества, состоящие из разных элементов. Так, множество букв слова «космодром» имеет вид {к, о, с, м, д, р}.

Заметим, что Действительно, множество состоит из одного элемента и; множество состоит из одного элемента — множества .

Чаще всего множество задают одним из следующих двух способов.

Первый способ состоит в том, что множество задают указанием (перечислением) всех его элементов. Мы уже использовали этот способ, записывая множество с помощью фигурных скобок, в которых указывали список его элементов. Ясно, что не всякое множество можно задать таким способом. Например, множество четных чисел так задать невозможно.

Второй способ состоит в том, что указывают характеристическое свойство элементов множества, то есть свойство, которым обладают все элементы данного множества и только они. Например, свойство «натуральное число при делении на 2 дает в остатке 1» задает множество нечетных чисел.

Если задавать множество характеристическим свойством его элементов, то может оказаться, что ни один объект этим свойством не обладает.

Обратимся к примерам.

Приведенные примеры указывают на то, что удобно к совокупности множеств отнести еще одно особенное множество, не содержащее ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают символом

Заметим, что множество не является пустым. Оно содержит один элемент — пустое множество.

Рассмотрим множество цифр десятичной системы счисления: Выделим из множества его элементы, являющиеся четными цифрами. Получим множество все элементы которого являются элементами множества

Определение: Множество называют подмножеством множества если каждый элемент множества является элементом множества

Это записывают так: или (читают: «множество является подмножеством множества » или «множество содержит множество »).

Рассмотрим примеры:

Для иллюстрации соотношений между множествами пользуются схемами, которые называют диаграммами Эйлера.

На рисунке 20 изображены множество (больший круг) и множество (меньший круг, содержащийся в большем). Эта схема означает, что (или ).

Из определений подмножества и равенства множеств следует, что если и то

Если в множестве нет элемента, не принадлежащего множеству А, то множество является подмножеством множества . В силу этих соображений пустое множество считают подмножеством любого множества. Действительно, пустое множество не содержит ни одного элемента, следовательно, в нем нет элемента, который не принадлежит данному множеству . Поэтому для любого множества справедливо утверждение:

Любое множество является подмножеством самого себя, то есть

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Выпишите все подмножества множества

Решение:

Имеем:

Числовые множества

Натуральные числа — это первые числа, которыми начали пользоваться люди. С ними вы ознакомились в детстве, когда учились считать предметы. Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают буквой

Практические потребности людей привели к возникновению дробных чисел. Позже появилась необходимость рассматривать величины, для характеристики которых положительных чисел оказалось недостаточно. Так возникли отрицательные числа.

Все натуральные числа, противоположные им числа и число нуль образуют множество целых чисел, которое обозначают буквой

Например,

Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, то есть

Целые и дробные (как положительные, так и отрицательные) числа образуют множество рациональных чисел, которое обозначают буквой Например,

Понятно, что Схема, изображенная на рисунке 21, показывает, как соотносятся множества и

Каждое рациональное число можно представить в виде отношения где — целое число, а — натуральное. Например,

С возможностью такого представления связано название «рациональное число»: одним из значений латинского слова ratio является «отношение».

В 6 классе вы узнали, что каждое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для дроби такое представление можно получить, выполнив деление числа на число уголком.

Например,

Число записано в виде конечной десятичной дроби, а число в виде бесконечной периодической десятичной дроби. В записи 0,454545… цифры 4 и 5 периодически повторяются. Повторяющуюся группу цифр называют периодом дроби и записывают в круглых скобках. В данном случае период дроби составляет 45, а дробь записывают так:

Заметим, что любую конечную десятичную дробь и любое целое число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Например,

Следовательно, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Справедливо и такое утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

В 9 классе вы научитесь записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Сумма и произведение двух натуральных чисел являются натуральными числами. Однако разность натуральных чисел не всегда обладает таким свойством. Например,

Сумма, разность, произведение двух целых чисел являются целыми числами. Однако частное целых чисел не всегда обладает таким свойством. Например,

Сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на нуль) двух рациональных чисел являются рациональными числами.

Итак, действие вычитания натуральных чисел может вывести результат за пределы множества действие деления целых чисел — за пределы множества однако выполнение любого из четырех арифметических действий с рациональными числами не выводит результат за пределы множества

Вы ознакомились с новым действием — извлечением квадратного корня. Возникает естественный вопрос: всегда ли квадратный корень из неотрицательного рационального числа является рациональным числом? Иными словами, может ли действие извлечения квадратного корня из рационального числа вывести результат за пределы множества

Рассмотрим уравнение Поскольку то это уравнение имеет два корня: и (рис. 22). Однако не существует рационального числа, квадрат которого равен 2 (доказательство этого факта вы можете найти в рубрике «Когда сделаны уроки» в рассказе «Открытие иррациональности»), то есть числа и не являются рациональными. Эти числа — примеры иррациональных чисел (приставка «ир» означает отрицание).

Следовательно, действие извлечения корня из рационального числа может вывести результат за пределы множества

Ни одно иррациональное число не может быть представлено в виде дроби где а следовательно, и в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.

Например, с помощью специальной компьютерной программы можно установить, что

Числа и — это не первые иррациональные числа, с которыми вы встречаетесь. Число равное отношению длины окружности к диаметру, также является иррациональным:

Иррациональные числа возникают не только в результате извлечения квадратных корней. Их можно конструировать, строя бесконечные непериодические десятичные дроби.

Например, число (после запятой записаны последовательно степени числа 10) является иррациональным. Действительно, если предположить, что у рассматриваемой десятичной дроби есть период, состоящий из цифр, то с некоторого места этот период будет полностью состоять из нулей. Иными словами, начиная с этого места в записи не должна встретиться ни одна единица, что противоречит конструкции числа.

Вместе множества иррациональных и рациональных чисел образуют множество действительных чисел. Его обозначают буквой (первой буквой латинского слова realis — «реальный», «существующий в действительности»).

Теперь «цепочку» можно продолжить:

Связь между числовыми множествами, рассмотренными в этом пункте, иллюстрирует схема, изображенная на рисунке 23.

Длину любого отрезка можно выразить действительным числом. Eh-от факт позволяет установить связь между множеством и множеством точек координатной прямой. Точке началу отсчета, поставим в соответствие число 0. Каждой точке координатной прямой, отличной от точки поставим в соответствие единственное число, равное длине отрезка если точка А расположена справа от точки и число, противоположное длине отрезка если точка расположена слева от точки . Также понятно, что каждое действительное число является соответствующим единственной точке координатной прямой.

Над действительными числами можно выполнять четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение, деление (кроме деления на ноль), в результате будем получать действительное число. Эти действия обладают известными вам свойствами:

• Переместительное свойство сложения
• Переместительное свойство умножения
• Сочетательное свойство сложения
• Сочетательное свойство умножения
• Распределительное свойство умножения относительно сложения

Действительные числа можно сравнивать, используя правила сравнения десятичных дробей, то есть сравнивая цифры в соответствующих разрядах. Например,

Любое положительное действительное число больше нуля и любого отрицательного действительного числа. Любое отрицательное действительное число меньше нуля. Из двух отрицательных действительных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Если отметить на координатной прямой два действительных числа, то меньшее из них будет расположено слева от большего.

Находя длину окружности и площадь круга, вы пользовались приближенным значением числа (например, ). Аналогично при решении практических задач, где нужно выполнить действия с действительными числами, при необходимости эти числа заменяют их приближенными значениями. Например, для числа можно воспользоваться такими приближенными равенствами: или Первое из них называют приближенным значением числа по недостатку с точностью до 0,001, второе — приближенным значением числа по избытку с точностью до 0,001. Более подробно о приближенных значениях вы узнаете в 9 классе.

В заключение подчеркнем, что из любого неотрицательного действительного числа можно извлечь квадратный корень и в результате этого действия получить действительное число. Следовательно, действие извлечения квадратного корня из неотрицательного действительного числа не выводит результат за пределы множества

Открытие иррациональности

Решая графически уравнение мы установили, что длина каждого из отрезков и равна (рис. 24). Покажем, что число иррациональное. Предположим, что число рациональное. Тогда его можно

представить в виде несократимой дроби где и — натуральные числа. Имеем:

Тогда

Из последнего равенства следует, что число четное. А это значит, что четным является и число Тогда где — некоторое натуральное число. Имеем: Отсюда следует, что число а следовательно, и число четные.

Таким образом, числитель и знаменатель дроби — четные числа. Следовательно, эта дробь является сократимой. Получили противоречие.

Приведенный пример показывает, что существуют отрезки (в нашем случае это отрезки и на рисунке 24), длины которых нельзя выразить рациональными числами, то есть для измерения отрезков рациональных чисел недостаточно.

Этот факт был открыт в школе великого древнегреческого ученого Пифагора.

Сначала пифагорейцы считали, что для любых отрезков и всегда можно найти такой отрезок который в каждом из них укладывается целое число раз. Отсюда следовало, что отношение длин любых двух отрезков выражается отношением целых чисел, то есть рациональным числом.

Например, на рисунке 25 имеем:

и . Отрезок называют общей мерой отрезков и

Если для отрезков существует общая мера, то их называют соизмеримыми. Например, отрезки и (рис. 25) являются соизмеримыми.

Итак, древнегреческие ученые считали, что любые два отрезка соизмеримы. А из этого следовало, что длину любого отрезка можно выразить рациональным числом.

Действительно, пусть некоторый отрезок выбран в качестве единичного. Тогда для отрезка и любого другого отрезка существует отрезок длиной являющийся их общей мерой. Получаем: где и — некоторые натуральные числа. Отсюда Поскольку то

Однако сами же пифагорейцы сделали выдающееся открытие. Они доказали, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы, то есть если сторону квадрата принять за единицу, то длину диагонали квадрата выразить рациональным числом нельзя.

Для доказательства рассмотрим произвольный квадрат и примем его сторону за единицу длины. Тогда его площадь равна На диагонали построим квадрат (рис. 26). Понятно, что площадь квадрата в 2 раза больше площади квадрата . Отсюда , то есть Следовательно, длина диагонали не может быть выражена рациональным числом.

Это открытие изменило один из фундаментальных постулатов древнегреческих ученых, заключавшийся в том, что отношение любых двух величин выражается отношением целых чисел.

Существует легенда о том, что пифагорейцы держали открытие иррациональных чисел в строжайшей тайне, а человека, разгласившего этот факт, покарали боги: он погиб при кораблекрушении.

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 2

Свойства функции

Область определения:

Область значений: множество неотрицательных чисел.

График: парабола.

Нуль функции:

Свойство графика: если точка принадлежит графику функции, то точка также принадлежит графику.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен

Арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из числа называют неотрицательное число, квадрат которого равен

Равные множества

Два множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества принадлежит множеству и, наоборот, каждый элемент множества принадлежит множеству .

Подмножество

Множество называют подмножеством множества , если каждый элемент множества является элементом множества .

Обозначения числовых множеств

— множество натуральных чисел;

— множество целых чисел;

— множество рациональных чисел;

— множество действительных чисел.

Связь между числовыми множествами

Свойства арифметического квадратного корня

Для любого действительного числа выполняется равенство

Для любого действительного числа и любого натурального числа выполняется равенство

Для любых действительных чисел и таких, что и выполняется равенство

Для любых действительных чисел и таких, что и

выполняется равенство

Для любых неотрицательных чисел и таких, что выполняется неравенство

Свойства функции

Область определения: множество неотрицательных чисел.

Область значений: множество неотрицательных чисел.

График: ветвь параболы.

Нуль функции:

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

———

Квадратные корни

Функция y=x2 её график и свойства

Функция её график и свойства

Пример №223

Пусть сторона квадрата равна см. Тогда его площадь (в можно найти но формуле В этой формуле каждому положительному значению переменной соответствует единственное значение переменной

Если обозначить независимую переменную через а зависимую – через то получим функцию, которую задают формулой В этой формуле переменная может принимать любые значения (положительные, отрицательные, значение нуль).

Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента:

Отметим на координатной плоскости точки координаты которых записаны в таблице (рис. 8). Если на этой плоскости отметить больше точек, координаты которых удовлетворяют формуле а потом соединить их плавной линией, то получим график функции (рис. 9). График этой функции называют параболой, точку (0; 0) – вершиной параболы. Вершина делит параболу на две части, каждую из которых называют ветвью параболы.

Сформулируем некоторые свойства функции

1. Область определения функции состоит из всех чисел.

2. Область значений функции состоит из всех неотрицательных чисел, то есть

Действительно, так как для любого то

3. Графиком функции является парабола с вершиной в точке ветви которой направлены вверх. Все точки параболы, за исключением вершины, лежат выше оси абсцисс.

4. Противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции.

Действительно, это следует из того, что при любом значении

Пример №224

Решите графически уравнение

Решение:

График функции – парабола, а функции – прямая, проходящая через точки (0; 3) и (2; -1). Построим эти графики в одной системе координат ( рис.10). Они пересекутся в двух точках с абсциссами

Убедимся, что числа 1 и -3 являются корнями уравнения:

1) для

2) для

Следовательно, 3 и -1 – корни уравнения

Ответ. -3; 1.

Пример №225

Между какими последовательными целыми числами лежит корень уравнения

Решение:

Решим уравнение графически, построив графики функций в одной системе координат. Так как для любого то в данном уравнении и

Откуда Поэтому рассмотрим графики функций только для Это ветвь гиперболы и ветвь параболы, лежащие в первой координатной четверти (рис. 11).

Графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой является корнем уравнения и заключена между числами 1 и 2.

Таким образом, корень уравнения лежит между числами 1 и 2.

Ответ. Между числами 1 и 2.

Арифметический квадратный корень

Если известна сторона квадрата, можно легко найти его площадь. Но часто приходится решать и обратную задачу: по известной площади квадрата находить его сторону.

Пример №226

Площадь квадрата равна Чему равна длина его стороны?

Решение:

Пусть длина стороны квадрата равна см, тогда его площадь будет Имеем уравнение: корнями которого являются числа 4 и -4. Действительно, и Длина не может выражаться отрицательным числом, поэтому условию задачи удовлетворяет только один из корней уравнения – число 4. Следовательно, длина стороны квадрата равна 4 см.

Корни уравнения то есть числа, квадраты которых равны 16, называют квадратными корнями из числа 16.

Квадратным корнем из числа называют число, квадрат которого равен .

Например, квадратными корнями из числа 100 являются числа 10 и -10, потому что Квадратным корнем из числа 0 является число 0, потому что Квадратного корня из числа -16 мы не найдем, ведь среди известных нам чисел не существует числа, квадрат которого равнялся бы -16.

Число 4, являющееся неотрицательным корнем уравнения . называют арифметическим квадратным корнем из числа 16.

Арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен

Арифметический квадратный корень из числа обозначают знак арифметического квадратного корня, или радикал). Выражение, стоящее под знаком корня, называют подкоренным выражением. Запись читают следующим образом: квадратный корень из (слово арифметический при чтении принято опускать, поскольку в школе рассматривают только арифметические корни).

Пример №227

1) так как

2) так как

Вообще равенство является верным, если выполняются два условия:

Так как для всех значений переменной

Выражение не имеет смысла, если

Например, не имеют смысла выражения

Действие нахождения значения арифметического квадратного корня называют извлечением квадратного корня. Из небольших чисел квадратный корень желательно извлекать устно. Извлекать квадратный корень из больших чисел поможет таблица квадратов двузначных натуральных чисел на форзаце или калькулятор.

Пример №228

Найдите значение корня

Решение:

По таблице квадратов двузначных натуральных чисел имеем: Поэтому

Пример №229

Вычислите

Решение:

Сначала нужно найти значение выражения а потом извлечь из него корень:

Ответ. 35.

Рассмотрим уравнение где – некоторое число. Если то по определению квадратного корня следует, что Если же то уравнение не имеет решений, так как по определению число – неотрицательное.

Систематизируем данные о решениях уравнения в виде схемы:

Пример №230

Решите уравнение:

Ответ. 1) 49; 2) решений нет; 3) 13.

Множество. Подмножество. Числовые множества. Рациональные числа. Иррациональные числа. Действительные числа

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Под множеством будем понимать совокупность объектов, имеющих общую природу (или объединенных по общему признаку), сами объекты при этом будем называть элементами множества.

Как правило, множества обозначают большими латинскими буквами. Если, например, множество состоит из чисел 1, 2, 3, а множество – из знаков то это записывают так: Числа 1, 2, 3 – элементы множества а знаки – элементы множества Тот факт, что число 1 принадлежит множеству записывают с помощью уже известного нам символа а именно: Тот факт, что число 1 не принадлежит множеству записывают так:

Множества, количество элементов которых можно выразить натуральным числом, называют конечными.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством. Его обозначают символом Так, например, пустым множеством является множество корней уравнения

Множества, количество элементов которых нельзя выразить натуральным числом и которые не являются пустыми, называют бесконечными.

Если каждый элемент множества является элементом множества то говорят, что множество является подмножеством множества

Записывают это следующим образом: Схематическая иллюстрация этого факта представлена на рисунке 12.

Пример №231

Пусть Тогда множество является подмножеством множества то есть Множество не является подмножеством множества так как множество содержит элемент – число 5, которое не является элементом множества

Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, то есть

Целые числа и дробные числа образуют множество рациональных чисел.

Множество натуральных чисел обозначают буквой множество целых чисел – буквой множество рациональных чисел -буквой Они являются бесконечными множествами.

Можно утверждать, что

Любое рациональное число можно представить в виде где – целое число, – натуральное число.

Например

Рациональное число можно также представить и в виде десятичной дроби. Для этого достаточно числитель дроби разделить на ее знаменатель. Например,

В последнем случае мы получили бесконечную десятичную периодическую дробь. Дроби также можно представить в виде бесконечных десятичных периодических дробей, дописав справа в десятичной части бесконечное много нулей:

Таким образом, каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Справедливо и обратное утверждение:

Каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью некоторого рационального числа.

Например,

В правильности этих равенств легко убедиться, выполнив соответствующее деление.

Но в математике существуют числа, которые нельзя записать в виде где – целое число, а – натуральное.

Числа, которые нельзя записать в виде где – целое число, a — натуральное, называют иррациональными числами.

Префикс «иp» означает отрицание, иррациональные значит не рациональные.

Например, иррациональными являются числа Приближенные значения таких чисел можно находить с определенной точностью (то есть округленными до определенного разряда) с помощью микрокалькулятора или компьютера:

Каждое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Рациональные числа вместе с иррациональными числами образуют множество действительных чисел.

Множество действительных чисел обозначают буквой

Так как каждое натуральное число является целым числом, то множество является подмножеством множества Аналогично, множество является подмножеством множества а множество подмножеством множества (рис. 13).

Действительные числа, записанные в виде бесконечных десятичных непериодических дробей, можно сравнивать по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби. Например,

В задачах с практическим содержанием действительные числа (для выполнения арифметических действий) заменяют на их приближенные значения, округленные до определенного разряда.

Пример №232

Вычислите с точностью до тысячных.

Решение:

Заметим, что при сложении, вычитании, умножении, делении и возведении в степень действительных чисел справедливы те же свойства и ограничения, что и при действиях с рациональными числами.

Понятие числа появилось очень давно.

А еще раньше Оно является одним из самых общих понятий математики. Потребность в измерениях и подсчетах обусловила появление положительных рациональных чисел. Именно тогда возникли и использовались натуральные числа и дробные числа, которые рассматривались как отношение натуральных чисел.

Следующим этапом развития понятия числа является введение в практику отрицательных чисел. В Древнем Китае эти числа появились во II в. до н. э. Там умели складывать и вычитать отрицательные числа. Отрицательные числа толковали как долг, а положительные – как имущество. В Индии в VII в. эти числа воспринимали так же, но еще и умели их умножать и делить.

Уже древние вавилоняне около 4 тыс. лет назад знали ответ на вопрос: «Какова должна быть длина стороны квадрата, чтобы его площадь равнялась Ими были составлены таблицы квадратов чисел и квадратных корней. Вавилоняне использовали и метод нахождения приближенного значения квадратного корня из числа не являющегося квадратом натурального числа. Суть метода заключалась в том, что число записывали в виде было достаточно малым в сравнении с и применяли формулу

Например, с помощью этого метода:

Проверим точность результата:

Такой метод вычисления приближенного значения квадратного корня использовался и в Древней Греции. Его детально описал Герон Александрийский (I в. н. э.).

В эпоху Возрождения (XV – нач. XVII в.) европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень), потом – сокращенно – буквой Так появился термин «радикал», которым называют знак корня. Впоследствии для обозначения корня стали использовать точку, а потом ромбик. Спустя некоторое время – уже знак и горизонтальную черточку над подкоренным выражением. Затем знак и черточка были объединены, и современные математики стали использовать знак квадратного корня в привычном нам виде:

Тождество (√a)²=a, a⩾0 уравнение x²=a

Тождество уравнение

Напомним, что для любых значений равенство является верным, если выполняются два условия: Подставив в последнее равенство вместо его запись в виде получим тождество

Для любого справедливо тождество

Пример №233

Вычислите:

Решение:

Ответ:

Рассмотрим уравнение где – некоторое число.

Так как квадрат числа не может быть отрицательным, то при уравнение не имеет решений, что можно записать следующим образом:

Если то единственным корнем уравнения является число 0.

Если то корни уравнения – числа Действительно, Для того чтобы убедиться, что уравнение при других корней не имеет, обратимся к графическому методу решения уравнения. Построим графики функций (рис. 14). Эти графики пересекутся дважды: в точках с абсциссами Систематизируем данные о решениях уравнения в виде схемы:

Пример №234

Решите уравнение:

Решение:

2) уравнение корней не имеет, то есть

Эти корни являются иррациональными числами;

4) Имеем:

Таким образом, получим два корня:

Ответ.

Свойства арифметического квадратного корня

Сравним значения выражений

Имеем: то есть корень из произведения двух чисел равен произведению их корней. Это свойство справедливо для произведения любых двух неотрицательных чисел.

Теорема (о корне из произведения). Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел, то есть при и

Доказательство: Так как то выражения имеют смысл, причем Поэтому Кроме того,

Имеем: Тогда по определению арифметического квадратного корня:

Доказанная теорема распространяется и на случай, когда множителей под знаком корня три и больше.

Следствие. Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Доказательство: Докажем это следствие, например, для трех чисел

Имеем:

Пример №235

Замечание 1. Очевидно, что выражение имеет смысл при условии то есть когда переменные – одного знака, а значит и тогда, когда переменные одновременно отрицательны. В таком случае тождество, рассмотренное выше, принимает вид где и Учитывая оба случая, можно записать, что

Если в равенстве поменять местами левую и правую части, получим тождество:

Произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.

Пример №236

Рассмотрим квадратный корень из дроби.

Теорема (о корне из дроби). Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель -положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, то есть при

Доказательство: Так как то выражения имеют смысл и Поэтому

Кроме того,

Имеем: Тогда по определению квадратного корня:

Пример №237

Замечание 2. По аналогии с замечанием 1, тождество, только что рассмотренное нами, можно записать и так:

Если в равенстве поменять местами левую и правую части, получим тождество:

Частное, числитель которого является корнем из неотрицательного числа, а знаменатель — корнем из положительного числа, равно корню из частного этих чисел.

Пример №238

Рассмотрим, как извлечь квадратный корень из квадрата.

Теорема (о корне из квадрата). Для любого значения справедливо равенство

Доказательство: Так как для любого то по определению квадратного корня:

Пример №239

Рассмотрим квадратный корень из степени.

Теорема (о корне из степени). Для любого значения и натурального числа справедливо равенство

Доказательство: По теореме о корне из квадрата имеем Следовательно,

Пример №240

Вычислите:

Решение:

Пример №241

Упростите выражение:

Решение:

Так как для любого то Следовательно,

Так как поэтому Следовательно, если

Ответ.

Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни

Рассмотрим тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Вынесение множителя из-под знака корня

Воспользуемся теоремой о корне из произведения для преобразования выражения

Говорят, что множитель вынесли из-под знака корня. В данном случае из-под знака корня вынесли множитель 2.

Пример №242

Вынесите множитель из-под знака корня в выражении

Решение:

Выражение имеет смысл при поскольку если Представим выражение в виде произведения в котором является степенью с четным показателем. Тогда

Так как Поэтому

Следовательно,

Ответ.

Внесение множителя под знак корня

Рассмотрим тождественное преобразование, обратное к предыдущему. Воспользуемся правилом умножения корней:

Говорят, что множитель внесли под знак корня. В данном случае под знак корня внесли множитель 2.

Отметим, что под знак корня можно вносить только положительный множитель.

Пример №243

Внести множитель под знак корня:

Решение:

2) Множитель может принимать любые значения (быть положительным, нулем или отрицательным). Поэтому рассмотрим два случая:

– если

– если

Ответ.

Сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень выражений, содержащих квадратные корни

Используя свойства умножения и деления корней, можно выполнять арифметические действия с выражениями, содержащими квадратные корни.

Пример №244

Используя тождество можно возводить в степень выражения, содержащие квадратные корни.

Пример №245

Рассмотрим примеры, где квадратные корни можно складывать.

Пример №246

Упростите выражение

Решение:

Слагаемые содержат общий множитель Вынесем его за скобки и выполним действие в скобках:

Обычно решение записывают короче:

Заметим, что выражения в данном примере называют подобными радикалами (по аналогии с подобными слагаемыми), мы их сложили по правилу приведения подобных слагаемых.

Пример №247

Упростите выражение

Решение:

В каждом из слагаемых можно вынести множитель из-под знака корня, в результате получим подобные радикалы и приведем их:

Ответ.

Пример №248

Упростите выражение:

Решение:

Применим формулы сокращенного умножения.

Ответ.

Сокращение дробей

Пример №249

Сократите дробь:

Решение:

1) Учитывая, что числитель дроби представим в виде разности квадратов, получим:

2) Учитывая, что в числителе и знаменателе вынесем за скобки общий множитель, получим:

Ответ.

Избавление от иррациональности в знаменателе дроби

Пример №250

Преобразуйте дробь так, чтобы она не содержала корня в знаменателе.

Решение:

Учитывая, что достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на

Ответ.

В таких случаях говорят, что избавились от иррациональности в знаменателе дроби.

Пример №251

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби

Решение:

Умножим числитель и знаменатель дроби на чтобы в знаменателе получить формулу сокращенного умножения разности двух выражений на их сумму:

Ответ.

Заметим, что выражение называют сопряженным выражению Вообще-то, если в формулах сокращенного умножения в результате умножения скобок, содержащих радикалы, получается рациональное выражение, то выражения в скобках называют взаимно сопряженными. Так, и взаимно сопряженные выражения.

Взаимно сопряженными также являются выражения и им подобные.

Функция y= √x её график и свойства

Функция её график и свойства

Пример №252

Пусть – площадь квадрата, а см – длина его стороны. Так как то зависимость длины стороны квадрата от его площади можно задать формулой

Рассмотрим функцию Очевидно, что переменная принимает только неотрицательные значения, то есть

Составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента:

Отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 15). Если бы мы отметили на этой плоскости больше точек, координаты которых удовлетворяют уравнению а потом соединили их плавной линией, то получили бы график функции (рис. 16).

Графиком этой функции является ветвь параболы.

Обобщим свойства функции

1. Областью определения функции является множество всех неотрицательных чисел:

2. Областью значений функции является множество всех неотрицательных чисел:

3. График функции – ветвь параболы, выходящая из точки все другие точки графика лежат в первой координатной четверти.

Большему значению аргумента соответствует большее значение функции

Последнее свойство дает возможность сравнивать значения выражении, содержащих корни.

Пример №253

Сравните числа:

Решение:

1) Так как

поэтому значит,

3) Внесем множитель в обоих выражениях под знак корня:

Так как поэтому

Пример №254

Решите графически уравнение

Решение:

Поскольку мы пока не умеем строить график функции разделим обе части уравнения на число 5. Получим уравнение:

Построим графики функций в одной системе координат (рис. 17). Они пересекаются в точке с абсциссой 4. Проверкой убеждаемся, что число 4 – корень уравнения. Действительно,

Ответ. 4.

Пример №255

Постройте график функции

Ответ. График изображен на рисунке 18.