Найти график функции как решать

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
«Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция
(возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «y = 2x − 1»

1. Вычислить «y» при «x = 15»
2. Найти значение «x», при котором
   значение «y» равно «−19».

---

Для того, чтобы вычислить «y» при
«x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x»
по известному «y», необходимо подставить вместо
«y» в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x»
мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
«y» число «−19» .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
которое решается по правилам решения линейных уравнений.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

−2x = 18       | · (−1)
2x = −18                

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

2x = −18     | (: 2)
x = −9                

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство
«f(−2) = −18»?

---

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили
«f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18»
для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x² −5x + 6»

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
(1; 2).

---

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x² − 5x + 6»
координаты точки (1; 2).

Вместо «x» подставим «1».
Вместо «y» подставим «2».

2 = 1² − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
(1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
Принадлежит ли она
функции «y = x² − 5x + 6»?

Вместо «x» подставим «0».
Вместо «y» подставим «1».

1 = 0² − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство.
Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
«y = x² − 5x + 6»

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
мы уже
строили
в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
при x = 2.

Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
«y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3.

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Содержание страницы:

Декартова система координат

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y. При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y.

Прямая

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y. Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Гипербола

Графиком функции y = k x является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k     <     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Квадратный корень

Функция y     =     x имеет следующий график:

Возрастающие/убывающие функции

Функция y   =   f ( x ) возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y   =   f ( x ) убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Задание №11 из ОГЭ 2020. Типовые задачи и принцип их решения.

Скачать домашнее задание к уроку 5.

Для многих учащихся, тема “Графики” и все что с ними связано, очень сложна и почти все как один говорит, что не понимает их. А на самом деле, все легко. Достаточно уметь выполнять простые арифметические действия. Если сравнивать задания из второй части ОГЭ по математике, то решить текстовую задачу, чаще бывает сложнее, чем построить график и ответить на вопрос. Сложность заключается в том, что задача требует размышления, правильного прочтения текста, и составление математической модели. При выполнения заданий на построение графиков, нужно всего лишь следовать алгоритму построения. Что можно описать конкретными шагами, то всегда легко.

Разберем построение следующего графика функции и определим шаги для выполнения таких заданий.

Напишем алгоритм построения:

1) Находим ОДЗ функции, т.е. находим такие значения, при которых знаменатель дроби может превратится в ноль.

Как видим, функция не может принимать значения при х=0, х=2/9 и х=-2/9.

2) Упрощаем дробное выражение:

В итоге мы получаем простую функцию, которая называется – обратная пропорциональная зависимость (гипербола).

3) Применяем свойство модуля.

Когда мы выполнили раскрытие модуля, содержащего в функции, и нашли координаты точек для построения графика, можем уже построить график на координатной плоскости.

4) Строим график функции

Если на графике не будут указаны выколотые точки (черные пустые точки на графике), то график будет считаться не верным

5) Отвечаем на вопрос задания, находим параметр по графику. В данном задании нужно было ответить на следующий вопрос:

Поскольку график функции y=kx, это график прямой пропорциональности, то он проходит через координату (0;0). Что бы прямая y=kx не имела с нашим графиком общих точек, то она должна проходить через выколотые точки, как это показано на рисунке красными линиями

Осталось найти значения параметра K. Для этого, в прямую y=kx подставим координаты выколотых точек (2/9; -9/2) и (-2/9; -9/2).

В ответе получаем три значения параметра К. Третье значение К=0 соответствует прямой которая совпадает с осью Ох.

Итак, в алгоритме у нас получилось 5 шагов:

1) Находим ОДЗ функции.

2) Упрощаем дробное выражение функции

3)Раскрываем модуль по его свойству и находи точки для построения графика.

4) Строим график по точкам, которые нашли в пункте 3.

5) Находим параметр.

Так же разбор этого задания, вы можете посмотреть ниже:

Спасибо, что прочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Для того, чтобы построить график функции необходимо провести полное исследование заданной функции. Затем поэтапно, используя полученные результаты, построить график. Как построить график функции? После краткого описания пунктов исследования, приведем ряд примеров по теме построения графиков функции с полным предварительным исследованием.

Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

1.Нахождение области определения функции

Определение интервалов, на которых функция существует.

!!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.

2.Нули функции

Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

3.Четность, нечетность функции

Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат. 

4.Промежутки знакопостоянства

Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале – график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна – график ниже оси абсцисс. 

5. Промежутки возрастания и убывания функции.

Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна – график функции возрастает, отрицательна – убывает.

6. Выпуклость, вогнутость.

Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна – график функции выпукл вверх. Отрицательна – график функции выпукл вниз. 

7. Наклонные асимптоты.

Пример исследования функции и построения графика №1

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №2

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №3

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №4

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №5

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №6

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №7

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

 

Пример исследования функции и построения графика №8

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №9

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №10

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №11

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №12

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №13

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №14

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

 

Пример исследования функции и построения графика №15

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №16

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №17

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №18

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №19

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №20

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №21

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

 

Пример исследования функции и построения графика №22

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №23

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №24

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №25

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

Пример исследования функции и построения графика №26

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

 

Пример исследования функции и построения графика №27

Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график. Скачать файл решения можно в конце данной статьи.

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

Пример:

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая – через точку ((1;0)).

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

– Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

– Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой – то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

– Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

– Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

– Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример: