Найти интеграл как элементарную функцию

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Точки а и b называются пределами интегрирования.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

• Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

• Константу можно выносить из-под знака интеграла:

• Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

Свойства определенного интеграла

• Линейность:

• Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

• При любых точках a, b и с:

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Как известно, всякая непрерывная
функция имеет первообразную. В том
случае, когда первообразная некоторой
элементарной функции

является также элементарной функцией,
говорят, что

«берется», т.е. интеграл выражается
через элементарные функции (или интеграл
вычисляется). Если же интеграл не
выражается через элементарные функции,
то говорят, что интеграл «не берется»
(или «его найти нельзя»).

Например, нельзя найти интеграл

,
так как не существует элементарной
функции, производная от которой была
бы равна

.
Приведем примеры «неберущихся»
интегралов, которые имеют большое
значение в приложениях:

 интеграл Пуассона (теория вероятностей);

 интегральный логарифм (теория чисел);

 интегралы Френеля (физика);

 интегральные синус и косинус.

Первообразные от функций

и других хорошо изучены, для них составлены
подробные таблицы значений для различных
значений аргумента

.

4. Определенный интеграл

4.1. Понятие определенного интеграла

Мощным средством решения класса
прикладных задач в математике, физике,
технике и в других дисциплинах является
определенный интеграл – одно из основных
понятий математического анализа.
Рассмотрим задачи, которые приводят к
этому понятию.

Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке

задана непрерывная функция

.
Фигура, ограниченная сверху графиком
функции

,
снизу – осью

,
сбоку – прямыми

и

,
называется криволинейной трапецией.
Найдем площадь этой трапеции.

Умножим значение функции

на длину

соответствующего частичного отрезка.
Произведение

равно площади прямоугольника с основанием

и высотой

.
Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры,
которая приближенно равна площади

криволинейной трапеции:

.

С уменьшением всех длин

точность приближения ступенчатой фигуры
к криволинейной трапеции и точность
полученной формулы увеличивается. За
точность значения площади криволинейной
трапеции принимается предел

,
к которому стремится площадь ступенчатой
фигуры

,
когда

неограниченно возрастает так, что

:

.

Задача о работе переменой силы

Пусть материальная точка

перемещается под действием силы

,
направленной вдоль оси

и имеющей переменную величину

,
где

 абсцисса движущейся
точки

.

Найдем работу

силы

по перемещению точки

вдоль оси

из точки

в точку

.
Для этого отрезок

точками

,
где

,
разобьем на

частичных отрезков

,

,
…,

.
Сила, действующая на отрезке

,
меняется от точки к точке. Но если длина
отрезка

достаточно мала, то сила

на этом отрезке изменяется незначительно.
Ее можно приближенно считать постоянной
и равной значению функции

в произвольно выбранной точке

.
Поэтому работа, совершенная этой силой
на отрезке

,
равна произведению

.

Приближенное значение работы

силы

на всем отрезке

есть

.

Это приближенное равенство тем точнее,
чем меньше длина

.
Поэтому за точное значение работы

принимается предел полученной суммы
при условии, что наибольшая длина 
частичных отрезков стремится к нулю:

.

Задача о пройденном пути:

,

где

 промежуток времени,

 значение мгновенной
скорости в момент времени

.

Задача о наполнении сосуда:

,

где

 промежуток времени,

 значение переменной
скорости наполнения в момент времени

.

Все полученные выражения при решении
различных задач, имеют одинаковую
структуру. Аналогичные выражения
получаются и во многих других задачах,
что дает основания для следующего общего
определения, в котором введем понятие
«определенный интеграл».

Пусть функция

определена на отрезке

,
причем

.
Разобьем отрезок

на

частичных отрезков

,

,
…,

.
В каждом частичном отрезке

выберем произвольную точку

и вычислим значение функции в ней, т.е.

.
Далее составляем сумму

:

,
(4.1)

где

 длина соответствующего
частичного отрезка.

Сумма вида (4.1) называется интегральной
суммой функции

на отрезке

.
Обозначим через 
длину наибольшего из частичных отрезков,
т.е.

,

.
Найдем предел интегральной суммы (4.1),
когда

так, что

.

Определение 4.1. Определенным
интегралом от функции

на отрезке

называется конечный предел ее интегральной
суммы, когда число частичных отрезков
неограниченно возрастает, а длина
наибольшего из них стремится к нулю.
Определенный интеграл обозначается
символом

.
Таким образом,

.
(4.2)

Числа

и

называются соответственно нижним
и верхним пределами интегрирования,

 подынтегральной
функцией,

 подынтегральное
выражение,

 переменной
интегрирования, отрезок

 областью
(отрезком) интегрирования.

Функция

,
для которой на отрезке

существует определенный интеграл

,
называется интегрируемой на
этом отрезке.

Сформулируем теорему существования
определенного интеграла (без
доказательства).

Теорема 4.1 (теорема Коши). Если
функция

непрерывна на отрезке

,
то определенный интеграл

существует.

Отметим, что непрерывность функции
является достаточным условием ее
интегрируемости. Однако определенный
интеграл может существовать и для
некоторых разрывных функций, в частности
для всякой ограниченной на отрезке
функции, имеющей на нем конечной число
точек разрыва.

Укажем некоторые свойства определенного
интеграла, непосредственно вытекающие
из его определения.

1) Определенный интеграл не зависит от
обозначения переменной интегрирования:

.

2) Определенный интеграл с одинаковыми
пределами интегрирования равен нулю:

.

1. Для любого действительного числа
   
   :

   
   .

Геометрический смысл определенного
интеграла: определенный интеграл
от неотрицательной функции

на отрезке

численно равен площади криволинейной
трапеции  фигуры,
ограниченной сверху графиком функции

,
снизу – осью

,
сбоку – прямыми

и

:

.

Физический смысл определенного
интеграла: работа переменной силы

,
которая есть непрерывная функция,
действующая не отрезке

,
равна определенному интегралу от
величины силы

,
взятому на отрезке

.

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

        И снова здравствуйте, друзья!

        Как я и обещал, с этого урока мы начнём бороздить бескрайние просторы поэтического мира интегралов и приступим к решению самых разнообразных (порой, очень красивых) примеров. 🙂

        Чтобы грамотно ориентироваться во всём интегральном многообразии и не заблудиться, нам потребуется всего четыре вещи:

        1) Таблица интегралов. Все подробности о ней — в предыдущем материале. Как именно с ней работать — в этом.

        2) Свойства линейности неопределённого интеграла (интеграл суммы/разности и произведения на константу).

        3) Таблица производных и правила дифференцирования.

        Да-да, не удивляйтесь! Без умения считать производные, в интегрировании ловить совершенно нечего. Согласитесь, бессмысленно, например, учиться делению, не умея умножать. 🙂 И очень скоро вы увидите, что без отточенных навыков дифференцирования не посчитать ни один сколь-нибудь серьёзный интеграл, выходящий за рамки элементарных табличных.

        4) Методы интегрирования.

        Их очень и очень много. Для конкретного класса функций — свой. Но среди всего их богатого разнообразия выделяется три базовых:

         – метод подведения функции под знак дифференциала,

         – метод замены переменной,

         – метод интегрирования по частям.

        О каждом из них — в отдельных уроках.

        А теперь, наконец, приступим к решению долгожданных примеров. Чтобы не скакать из раздела в раздел, я продублирую ещё разок весь джентльменский набор, который пригодится для нашей дальнейшей работы. Пусть весь инструментарий будет под рукой.)

        Прежде всего, это таблица интегралов:

        Кроме того, нам понадобятся базовые свойства неопределённого интеграла (свойства линейности):

       Что ж, необходимая снаряга подготовлена. Пора в путь! 🙂

Прямое применение таблицы

        В данном параграфе будут рассматриваться самые простые и безобидные примеры. Алгоритм здесь прост до ужаса:

        1) Смотрим в таблицу и ищем нужную формулу (формулы);

        2) Применяем свойства линейности (где требуется);

        3) Осуществляем превращение по табличным формулам и прибавляем в конце константу С (не забываем!);

        4) Записываем ответ.

Итак, поехали.)

Пример 1

        Такой функции в нашей таблице нет. Зато есть интеграл от степенной функции в общем виде (вторая группа). В нашем случае n = 5. Вот и подставляем пятёрку вместо n и аккуратно считаем результат:

        Готово. 🙂

        Разумеется, этот пример совсем примитивный. Чисто для знакомства.) Зато умение интегрировать степени позволяет легко считать интегралы от любых многочленов и прочих степенных конструкций.

        Пример 2

        Под интегралом сумма. Ну и ладно. У нас на этот случай есть свойства линейности. 🙂 Разбиваем наш интеграл на три отдельных, выносим все константы за знаки интегралов и считаем каждый по таблице (группа 1-2):

           

           

        Прошу обратить внимание: константа С появляется именно в тот момент, когда исчезают ВСЕ знаки интеграла! Конечно, после этого приходится её постоянно таскать за собой. А что делать…

        Разумеется, так подробно расписывать обычно не требуется. Это чисто для понимания сделано. Чтобы суть уловить.)  

        Например, очень скоро, особо не раздумывая, вы в уме будете давать ответ к монстрам типа:

        Многочлены — самые халявные функции в интегралах.) А уж в диффурах, в физике, в сопромате и прочих серьёзных дисциплинах интегрировать многочлены придётся постоянно. Привыкайте.)

        Следующий примерчик будет чуть покруче.

        Пример 3

        Надеюсь, всем понятно, что наше подынтегральное выражение можно расписать вот так:

           

        Подынтегральная функция отдельно, а множитель dx (значок дифференциала) — отдельно.

        Замечание: в этом уроке множитель dx в процессе интегрирования пока никак не участвует, и мы на него пока что мысленно “забиваем”. 🙂 Работаем только с подынтегральной функцией. Но забывать про него не будем. Совсем скоро, буквально на следующем уроке, посвящённом подведению функции под знак дифференциала, мы про него вспомним. И ощутим всю важность и мощь этого значка в полную силу!)

        А пока наш взор обращён на подынтегральную функцию 

           

        Не очень похоже на степенную функцию, но это она. 🙂 Если вспомнить школьные свойства корней и степеней, то вполне можно преобразовать нашу функцию:

           

        А икс в степени минус две трети — это уже табличная функция! Вторая группа, n=-2/3. А константа 1/2 нам не помеха. Выносим её наружу, за знак интеграла, и прямо по формуле считаем:

           

        В этом примере нам помогли элементарные свойства степеней. И так надо делать в большинстве случаев, когда под интегралом стоят одинокие корни или дроби. Посему пара практических советов при интегрировании степенных конструкций:

        Заменяем дроби степенями с отрицательными показателями;

        Заменяем корни степенями с дробными показателями.

        А вот в окончательном ответе переход от степеней обратно к дробям и корням — дело вкуса. Лично я перехожу обратно — так эстетичнее, что ли.

        И, пожалуйста, аккуратно считаем все дроби! Внимательно следим за знаками и за тем, что куда идёт — что в числитель, а что знаменатель.

        Что? Надоели уже скучные степенные функции? Ну ладно! Берём быка за рога!

        Пример 4

        Если сейчас привести всё под интегралом к общему знаменателю, то можно застрять на этом примере всерьёз и надолго.) Но, присмотревшись повнимательнее к подынтегральной функции, можно заметить, что наша разность состоит из двух табличных функций. Так что не будем извращаться, а вместо этого разложим наш интеграл на два:

           

        Первый интеграл — обычная степенная функция, (2-я группа, n = -1): 1/x = x^-1.

        Традиционная наша формула для первообразной степенной функции

           

        здесь не работает, но зато у нас для n = -1 есть достойная альтернатива — формула с натуральным логарифмом. Вот эта:

           

        Тогда, согласно этой формуле, первая дробь проинтегрируется так:

        

        А вторая дробь — тоже табличная функция! Узнали? Да! Это седьмая формула с “высоким” логарифмом:

       

        Константа “а” в этой формуле равна двойке: a=2.

           

        Важное замечание: Обратите внимание, константу С при промежуточном интегрировании я нигде не приписываю! Почему? Потому что она пойдёт в окончательный ответ всего примера. Этого вполне достаточно.) Строго говоря, константу надо писать после каждого отдельного интегрирования — хоть промежуточного, хоть окончательного: так уж неопределённый интеграл требует…) 

        Например, после первого интегрирования я должен был бы написать:

        

        После второго интегрирования:

        

        Но вся фишка в том, что сумма/разность произвольных констант — это тоже некоторая константа! В нашем случае для окончательного ответа нам надо из первого интеграла вычесть второй. Тогда у нас получится разность двух промежуточных констант:

        С₁-С₂ 

        И мы имеем полное право эту самую разность констант заменить одной константой! И просто переобозначить её привычной нам буквой “С”. Вот так:

        С₁-С₂ = С

        Вот и приписываем эту самую константу С к окончательному результату и получаем ответ:

        Да-да, дроби они такие! Многоэтажные логарифмы при их интегрировании — самое обычное дело. Тоже привыкаем.)

        Запоминаем:

        При промежуточном интегрировании нескольких слагаемых константу С после каждого из них можно не писать. Достаточно включить её в окончательный ответ всего примера. В самом конце.

        Следующий пример тоже с дробью. Для разминки.)

        Пример 5

        В таблице, понятное дело, такой функции нет. Но зато есть похожая функция: 

           

        Это самая последняя, восьмая формула. С арктангенсом. 🙂

        Вот эта:

        И нам сам бог велел подстроить наш интеграл под эту формулу! Но есть одна проблемка: в табличной формуле перед х² никакого коэффициента нету, а у нас – девятка. Не можем пока что напрямую воспользоваться формулой. Но в нашем случае проблема вполне решаема. Вынесем эту девятку сначала за скобки, а потом вообще уведём за пределы нашей дроби.)

           

        А новая дробь – уже нужная нам табличная функция под номером 8! Здесь а²=4/9. Или а=2/3.

        Всё. Выносим 1/9 за знак интеграла и пользуемся восьмой формулой:

           

        Вот такой ответ. Этот пример, с коэффициентом перед х², я специально так подобрал. Чтобы ясно было, что делать в таких случаях. 🙂 Если перед х² никакого коэффициента нет, то такие дроби тоже будут в уме интегрироваться.

        Например:

        Здесь а² = 5, поэтому само “а” будет “корень из пяти”. В общем, вы поняли.)

        А теперь немного видоизменим нашу функцию: напишем знаменатель под корнем.) Вот такой интеграл теперь будем брать:

        Пример 6

        В знаменателе появился корень. Естественно, изменилась и соответствующая формула для интегрирования, да.) Опять лезем в таблицу и ищем подходящую. Корни у нас есть в формулах 5-й и 6-й групп. Но в шестой группе под корнями только разность. А у нас — сумма. Значит, работаем по пятой формуле, с “длинным” логарифмом:

        Число А у нас — пятёрка. Подставляем в формулу и получаем:

        И все дела. Это ответ. Да-да, так просто!)

        Если закрадываются сомнения, то всегда можно (и нужно) проверить результат обратным дифференцированием. Проверим? А то вдруг, лажа какая-нибудь?

        Дифференцируем (на модуль внимания не обращаем и воспринимаем его как обычные скобки):

        Всё честно. 🙂

        Кстати, если в подынтегральной функции под корнем поменять знак с плюса на минус, то формула для интегрирования останется той же самой. Не случайно в таблице под корнем стоит плюс/минус. 🙂

        Например:

        Важно! В случае минуса, на первом месте под корнем должно стоять именно х², а на втором — число. Если же под корнем всё наоборот, то и соответствующая табличная формула будет уже другая!

        Пример 7

        Под корнем снова минус, но х² с пятёркой поменялись местами. Похоже, но не одно и то же… На этот случай в нашей таблице тоже есть формулка.) Формула номер шесть, с ней мы ещё не работали:

        А вот теперь — аккуратно. В предыдущем примере у нас пятёрка выступала в роли числа A. Здесь же пятёрка будет выступать уже в роли числа а²!

        Поэтому для правильного применения формулы не забываем извлечь корень из пятёрки:  

           

        И теперь пример решается в одно действие. 🙂

        Вот так вот! Всего лишь поменялись местами слагаемые под корнем, а результат интегрирования изменился существенно! Логарифм и арксинус… Так что, пожалуйста, не путайте эти две формулы! Хотя подынтегральные функции и очень похожи…

        Бонус:

        В табличных формулах 7-8 перед логарифмом и арктангенсом присутствуют коэффициенты 1/(2а) и 1/а соответственно. И в тревожной боевой обстановке при записи этих формул даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где просто 1/а, а где 1/(2а). Вот вам простой приёмчик для запоминания.

        В формуле №7       

           

        в знаменателе подынтегральной функции стоит разность квадратов х² — а². Которая, согласно боянной школьной формуле, раскладывается как (х-а)(х+а). На два множителя. Ключевое слово — два. И эти две скобки при интегрировании идут в логарифм: с минусом вверх, с плюсом — вниз.) И коэффициент перед логарифмом тоже 1/(2а).

        А вот в формуле №8   

           

        в знаменателе дроби стоит сумма квадратов. Но сумма квадратов x²+a² неразложима на более простые множители. Поэтому, как ни крути, в знаменателе так и останется один множитель. И коэффициент перед арктангенсом тоже будет 1/а.

        А теперь для разнообразия проинтегрируем что-нибудь из тригонометрии.)

        Пример 8

         Пример простой. Настолько простой, что народ, даже не глядя в таблицу, тут же радостно ответ пишет и… приехали. 🙂

        Следим за знаками! Это самая распространённая ошибка при интегрировании синусов/косинусов. Не путаем с производными!

        Да, (sin x)’ = cos x и (cos x)’ = –sin x.

        Но!

        

        Поскольку производные народ обычно худо-бедно помнит, то, чтобы не путаться в знаках, приём для запоминания интегралов тут очень простой:

        Интеграл от синуса/косинуса = минус производная от тех же синуса/косинуса.

        Например, мы ещё со школы знаем, что производная синуса равна косинусу:

        (sin x)’ = cos x.

        Тогда для интеграла от того же синуса будет справедливо:

           

        И всё.) С косинусом то же самое.

        Исправляем теперь наш пример:

Предварительные элементарные преобразования подынтегральной функции

        До этого момента были самые простенькие примеры. Чтобы прочувствовать, как работает таблица и не ошибаться в выборе формулы.)

        Конечно, мы делали кое-какие простенькие преобразования — множители выносили, на слагаемые разбивали. Но ответ всё равно так или иначе лежал на поверхности.) Однако… Если бы вычисление интегралов ограничивалось только прямым применением таблицы, то вокруг была бы сплошная халява и жить стало бы скучно.)

        А теперь разберём примеры посолиднее. Такие, где впрямую, вроде бы, ничего и не решается. Но стоит вспомнить буквально пару-тройку элементарных школьных формул или преобразований, как дорога к ответу становится простой и понятной. 🙂

        Применение формул тригонометрии

        Продолжим развлекаться с тригонометрией.

        Пример 9

        Такой функции в таблице и близко нет. Зато в школьной тригонометрии есть такое малоизвестное тождество:

           

        Выражаем теперь из него нужный нам квадрат тангенса и вставляем под интеграл:

           

        Зачем это сделано? А затем, что после такого преобразования наш интеграл сведётся к двум табличным и будет браться в уме!

        Смотрите:

        А теперь проанализируем наши действия. На первый взгляд, вроде бы, всё проще простого. Но давайте задумаемся вот над чем. Если бы перед нами стояла задача продифференцировать ту же самую функцию, то мы бы точно знали, что именно надо делать — применять формулу производной сложной функции:

        И всё. Простая и безотказная технология. Работает всегда и гарантированно приводит к успеху.

        А что же с интегралом? А вот тут нам пришлось порыться в тригонометрии, откопать какую-то малопонятную формулу в надежде, что она нам как-то поможет выкрутиться и свести интеграл к табличному. И не факт, что помогла бы она нам, совсем не факт… Именно поэтому интегрирование — более творческий процесс, нежели дифференцирование. Искусство, я бы даже сказал. 🙂 И это ещё не самый сложный пример. То ли ещё будет!

        Пример 10

        Что, внушает? Таблица интегралов пока бессильна, да. Но, если снова заглянуть в нашу сокровищницу тригонометрических формул, то можно откопать весьма и весьма полезную формулу косинуса двойного угла:

        Вот и применяем эту формулу к нашей подынтегральной функции. В роли “альфа” у нас х/2.

        Получаем:

        Эффект потрясающий, правда?

        Эти два примера наглядно показывают, что предварительное преобразование функции перед интегрированием вполне допускается и порой колоссально облегчает жизнь! И в интегрировании эта процедура (преобразование подынтегральной функции) на порядок более оправдана, чем при дифференцировании. В дальнейшем всё увидите.)

        Разберём ещё парочку типовых преобразований.

        Формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных и метод почленного деления.

        Обычные банальные школьные преобразования. Но порой только они и спасают, да.)

        Пример 11

        Если бы мы считали производную, то никаких проблем: формула производной произведения и — вперёд. Но стандартной формулы для интеграла от произведения не существует. И единственный выход здесь — раскрыть все скобки, чтобы под интегралом получился многочлен. А уж многочлен мы как-нибудь проинтегрируем.) Но скобки раскрывать тоже будем с умом: формулы сокращённого умножения — штука мощная!

        (x² — 1)²(x² + 1)² = ((x² — 1)(x² + 1))² = ((x²)² — 1²)² = (x⁴ — 1)² = x⁸ — 2x⁴ + 1

           А теперь считаем:

И все дела.)

        Пример 12

        Опять же, стандартной формулы для интеграла от дроби не существует. Однако в знаменателе подынтегральной дроби стоит одинокий икс. Это в корне меняет ситуацию.) Поделим почленно числитель на знаменатель, сведя нашу жуткую дробь к безобидной сумме табличных степенных функций:

        Особо комментировать процедуру интегрирования степеней не буду: не маленькие уже.)

        Интегрируем сумму степенных функций. По табличке.)

        Вот и все дела.) Кстати, если бы в знаменателе сидел не икс, а, скажем, х+1, вот так:

        то этот фокус с почленным делением уже так просто не прошёл бы. Именно из-за наличия корня в числителе и единицы в знаменателе. Пришлось бы замену вводить и избавляться от корня. Но такие интегралы гораздо сложнее. О них — в других уроках.

        Видите! Стоит только чуть-чуть видоизменить функцию — тут же меняется и подход к её интегрированию. Порой кардинально!) Нету чёткой стандартной схемы. К каждой функции — свой подход. Иногда даже уникальный.)

        В некоторых случаях преобразования в дробях ещё более хитрые.

        Пример 13

        А здесь как можно свести интеграл к набору табличных? Здесь можно ловко извернуться добавлением и вычитанием выражения x² в числителе дроби с последующим почленным делением. Очень искусный приём в интегралах! Смотрите мастер-класс! 🙂

        И теперь, если заменить исходную дробь на разность двух дробей, то наш интеграл распадается на два табличных — уже знакомую нам степенную функцию и арктангенс (формула 8):

        Ну, что тут можно сказать? Вау!

        Этот трюк с добавлением/вычитанием слагаемых в числителе — очень популярен в интегрировании рациональных дробей. Очень! Рекомендую взять на заметку.

        Пример 14

        Здесь тоже рулит эта же технология. Только добавлять/вычитать надо единичку, чтобы из числителя выделить выражение, стоящее в знаменателе:

        Вообще говоря, рациональные дроби (с многочленами в числителе и знаменателе) — отдельная очень обширная тема. Дело всё в том, что рациональные дроби – один из очень немногих классов функций, для которых универсальный способ интегрирования существует. Метод разложения на простейшие дроби вкупе с методом неопределённых коэффициентов. Но способ этот очень трудоёмкий и обычно применяется как тяжёлая артиллерия. Ему будет посвящён не один урок. А пока что тренируемся и набиваем руку на простых функциях.

        Подытожим сегодняшний урок.

        Сегодня мы подробно рассмотрели, как именно пользоваться таблицей, со всеми нюансами, разобрали множество примеров (и не самых тривиальных) и познакомились с простейшими приёмами сведения интегралов к табличным. И так мы теперь будем поступать всегда. Какая бы страшная функция ни стояла под интегралом, с помощью самых разнообразных преобразований мы будем добиваться того, чтобы, рано или поздно, наш интеграл, так или иначе, свёлся к набору табличных.

        Несколько практических советов.

        1) Если под интегралом дробь, в числителе которой сумма степеней (корней), а в знаменателе – одинокая степень икса, то используем почленное деление числителя на знаменатель. Заменяем корни степенями с дробными показателями и работаем по формулам 1-2.         

        2) В тригонометрических конструкциях в первую очередь пробуем базовые формулы тригонометрии — двойного/тройного угла, основные тригонометрические тождества: 

        

        Может очень крупно повезти. А может и нет…

        3) Где нужно (особенно в многочленах и дробях), применяем формулы сокращённого умножения:

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a-b)² = a²-2ab+b²

(a-b)(a+b) = a²-b² 

        и так далее…

        4) При интегрировании дробей с многочленами пробуем искусственно выделить в числителе выражение(я), стоящее(щие) в знаменателе. Очень часто дробь упрощается и интеграл сводится к комбинации табличных.

        Ну что, друзья? Я вижу, интегралы вам начинают нравиться. 🙂 Тогда набиваем руку и решаем примеры самостоятельно.) Сегодняшнего материала вполне достаточно, чтобы успешно с ними справиться.

           

        Что? Не знаете, как интегрировать арксинус/арккосинус? Да! Мы этого ещё не проходили.) Но здесь их напрямую интегрировать и не нужно. И да поможет вам школьный курс!)

        Ответы (в беспорядке):

        

        Для лучших результатов настоятельно рекомендую приобрести сборник задач по матану Г.Н. Бермана. Классная штука!

        А у меня на сегодня всё. Успехов!

Содержание:

1. Неопределённый интеграл
2. Свойства неопределённого интеграла
3. Основные формулы интегрирования (таблица интегралов)
4. Таблица основных интегралов
5. Непосредственное интегрирование
6. Интегрирование методом подстановки (замена переменной)
7. Интегрирование по частям
8. Интегралы от функций, которые содержат квадратный трёхчлен
9. Интегрирование рациональных функций
10. Неопределенный интеграл и его определение
11. Интеграл постоинной и степенной функции
12. Свойства неопределенного интеграла
13. Интегралы тригонометрических функций
14. Задания на нахождение постоянной интегрирования
15. Задания на реальную жизненную ситуацию
16. Пример задачи на прирост населения

Неопределённый интеграл

Неопределённый интеграл — это совокупность всех первообразных данной функции.

Понятие неопределённого интеграла:

Дифференцирование — это действие, с помощью которого по данной функции находят производную или дифференциал данной функции.

Нахождение производной имеет большое практическое значение. Так, по известному закону движения тела  мы дифференцированием находим скорость , а позже и ускорение ; если задано равенство прямой , то легко вычислить угловой коэффициент касательной, проведённой к данной кривой: .

Важными являются обратные задачи, например:

а) известна скорость движения тела, установить закон его движения.

б) дан угловой коэффициент касательной к кривой, найти уравнение этой кривой.

Иначе говоря, по данной производной надо найти функцию, от которой найдена эта производная, то есть выполнить действие обратное дифференцированию. Это действие называют интегрированием. С помощью интегрирования по данной производной или дифференциалом функции находят саму функцию, которую называют первоначальной.

Дифференцированная функция  называется первоначальной для функции  на промежутке , если  для каждого .

Так, для функции  первоначальной является функция , поскольку  Отметим, что данная функция имеет не единственную первоначальную. Например, функция  которые отличаются только на постоянную, тоже удовлетворяют условие  

Докажем теорему: если  — первоначальна для  на некотором промежутке, то и функция , где  любая постоянная, также является первоначальной для функции   на этом промежутке.

Доказательство:

Следовательно, достаточно найти для функции  только одну первоначальную функцию , чтобы найти все её первоначальные, так как она отличаются одна от другой только на постоянную величину С.

Совокупность  всех первоначальных функций  на интервале  называют неопределённым интегралом от функции  на этом интервале и обозначают .

Тут  подынтегральное выражение,   — подынтегральная функция, х— переменная интегрирования, С— произвольная постоянная.

Например:

Геометрически выражение  можно изобразить как семейство кривых, полученных параллельным переносом любой из них вдоль оси OY (рис. 1).

Если функция f(х) имеет на некотором промежутке хотя бы одну первоначальную, то её называют интегрированной на этом промежутке.

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равный подынтегральному выражению:

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равный этой функции:

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интервала:

4. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функции равный такой же самой алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

5. Если функция F(х) является первоначальной для f(х), где k и b произвольные числа (), то

Для доказательства свойств 1 – 5 достаточно найти производные обоих частей равенства.

Например, докажем свойство 4:

и производная левой части

Основные формулы интегрирования (таблица интегралов)

Из каждой формулы дифференцирования выходит соответствующая её формула интегрирования. Например, с того, что , следует равенство

Таблица основных интегралов

Справедливость этих формул легко проверить дифференцированием.

Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ нахождения интеграла, когда путём тождественных преобразований подынтегральных функций и использованием свойств неопределённого интеграла приходим к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти интеграл 

Решение: Используем свойство степени с отрицательным показателем  и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Ответ: 

Пример 2. Найти интеграл 

Решение: Используем свойство степени с дробным показателем  и найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Ответ:

Пример 3. Найти интеграл 

Решение: Используем свойство степени с дробным показателем и правилом умножения степени с одинаковыми основами 

Найдём неопределённый интеграл от степенной функции:

Ответ:

Пример 4. Найти интеграл 

Решение: Используем свойства степени с дробным показателем, правила действий над степенями с одинаковыми основами и найдём интеграл от каждого слагаемого отдельно:

Ответ:

Пример 5. Найти интеграл 

Решение: Откроем скобки по формуле  и неопределённый интеграл от полученной алгебраической суммы функций заменим такой же алгебраической суммой неопределённых интегралов от каждой функции:

Ответ:

Пример 6. Найти интеграл:  

Решение: Для нахождения интеграла воспользуемся формулой и свойствами неопределённого интеграла:

Ответ:

В практике интегрирования часто встречаются интегралы, для нахождения которых можно использовать формулы, которые вытекают из свойства 5:

Так, при нахождении  можно использовать формулу:

Интегрирование методом подстановки (замена переменной)

Если интеграл невозможно привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то одним из способов интегрирования является метод подстановки (замены переменной).

Суть метода подстановки заключается в следующем: заменяют новую переменную на такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получаем ту часть, что осталась (не учитывая постоянного множителя, на который всегда можно перемножить или разделить соответствующее выражение). В результате введения замены подынтегральное выражение должно принять вид:

что позволяет привести интеграл к табличному виду.

Пример 7. Найти интеграл: 

Решение: Сделаем подстановку 

Ответ:

Припер 8. Найти интеграл: 

Решение:

Ответ:

Припер 9. Найти интеграл: 

Решение: Пусть  тогда  Далее получим:

Ответ:

Пример 10. Найти интеграл: 

Решение: Пусть , тогда  отсюда  Получаем:

Ответ: 

Интегрирование по частям

Выведем формулу интегрирования по частям. Известно, что:

Как видим, нахождение сводится к нахождению , который должен выявиться больше простым или табличным интегралом.

При использовании метода интегрирования по частям подынтегральную функцию представляют в виде произведения двух множителей u и dv, и находят du и v. Если полученный интеграл окажется сложным, то можно попробовать поменять значения u и dv. Для удобства выражения u, dv, du, v оформляют в виде таблицы. 

Метод интегрирования по частям часто используют при интегрировании функций, которые содержат произведение, логарифмы и обратные тригонометрические функции.

Пример 11. Найти интеграл:

Решение:

Пример 12. Найти интеграл: 

Решение:

Пример 13. Найти интеграл: 

Решение:

Интегралы от функций, которые содержат квадратный трёхчлен

Для нахождения указанных интегралов квадратный трёхчлен преобразуют в квадратный двучлен, выделяя полный квадрат  

Такие представления подынтегрального выражения позволяет свести искомые интегралы к табличным или к интегралам вида 

Приведём примеры.

Пример 14. Найти интеграл: 

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

тогда интеграл приобретёт вид

Выведем замену: , получим

Ответ:

Пример 15. Найти интеграл: 

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

и введём замену  Тогда

Первый из полученных интегралов, , табличный

а второй, , находим замену 

Вернёмся к переменной х и запишем результат

Ответ: 

Пример 16. Найти интеграл 

Решение: Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена

и введём замену ; получим

Ответ:

Пример 17. Найти интеграл 

Решение: Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат

и введём замену . Тогда

Первый интеграл, , находим введя замену

Второй интеграл является табличным

Подставим найденные интегралы и вернёмся к переменной х, получим

Ответ:

Пример 18. Найти интеграл: 

Решение: Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении

теперь используя уже известные формулы интегрирования, и положив  вычисляем

Ответ: 

Пример 19. Найти интеграл: 

Решение: Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении

теперь используя уже известные формулы интегрирования, и положив  вычисляем

Ответ: 

Интегрирование рациональных функций

Целая рациональная функция — это многочлен, который интегрируется непосредственно:

Интеграл от дробной рациональной функции  многочлены, можно выразить через элементарные функции путём разложения на слагаемые, если степень числителя меньше степени знаменателя. Такую рациональную дробь называют правильной, в других случаях — неправильной дробью. Неправильная рациональная дробь всегда можно преобразовать в правильную, разделив числитель на знаменатель.

Правильную рациональную дробь можно разложить на слагаемые следующих двух видов:

где m, n — целые положительные числа.

Для разложения правильной рациональной дроби  на слагаемые необходимо:

1. Разложить знаменатель  на простейшие действительные множители, то есть записать в виде

2. Записать схему разложения дроби на элементарные слагаемые

где  неизвестные постоянные. Слагаемых с соответствующими знаменателями столько, какая степень каждого множителя в разложении 

3. Освободиться от знаменателей, умножив обе части на 

4. Составить систему уравнений относительно неизвестных

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обоих частях.

6. Полученные в разложении дроби приводятся к интегралам типа

Интеграл I₃ находят по правилам рассмотренным в параграфе.

Пример 20. Найти интеграл 

Решение: Выполним действия согласно приведённой схеме:

1) разложим знаменатель на простейшие действительные множители:

2) запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые

3) освободимся от знаменателей, умножив обе части на 

4) составим систему равенств для определения неизвестных А, В, В₁, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х:

5) решим полученную систему:

6) запишем разложение подынтегральной функции на элементарные слагаемые и проинтегрируем

Ответ: 

Пример 21. Найти интеграл 

Решение:

1) разложим знаменатель на простейшие действительные множители:

2) запишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые

3) освободимся от знаменателей, умножив обе части на 

4) составим систему равенств для определения неизвестных , приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х:

5) решим полученную систему: 

6) запишем разложение подынтегральной функции на элементарные слагаемые и проинтегрируем

Интеграл I запишем в виде

Неопределенный интеграл и его определение

Определение. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом, обозначается и читается как “интеграл эф от икс де икс”.

Если функция является одной из первообразных для , то по определению .

Здесь – знак интеграла, – подынтегральная функция, – переменная интегрирования, – постоянная интегрирования. За переменную интегрирования можно принять любую переменную. Нахождение функции по производной называется интегрированием.

Задача пример №124

По определению найдите неопределенные интегралы.

Решение:

Так как:

Задача пример №125

Найдите интеграл .

Решение:

подумаем, производной какой функции является функция . Например, известно, что производной функции является функция . Значит, множителем искомой функции является дробь , которая потом сократиться с коэффициентом 4 и получится . Такой функцией является функция . Значит,

Интеграл постоинной и степенной функции

Интеграл постоянной:

Интеграл степенной функции

Задача пример №126

Найдите неопределенный интеграл

Решение:

Задача пример №127

Найдите общий вид первообразных функции .

Решение:

Так как функция одна из первообразных функции , то одна из первообразных функции будет . Тогда общий вид первообразных имеет вид: . Значит, .

Свойства неопределенного интеграла

При интегрировании используют следующие свойства:

1.

2.

3.

4.

5.

Задача пример №128

Найдите интеграл .

Решение:

В отличии от произвордной, у интеграла нет формулы для интегрирования произведения и частного. Поэтому, если это возможно, функцию представляют в виде суммы или разности, а потом находят первообразную.

Задача пример №129

Найдите первообразную функции

Решение:

запишем заданную функцию в виде

Тогда получим,

Интегралы показательной функции и функции

Интеграл показательной функции

Интеграл функции :

При

При

При в любом промежутке

В общем случае:

Задача пример №130

Найдите неопределенные интегралы: a) ; b)

Решение: a) b)

Интегралы тригонометрических функций

Задача пример №131

Найдите интеграл

Решение:

При интегрировании тригонометрических функций удобно использовать тригонометрические тождества.

Задача пример №132

Найдите первообразную функции .

Решение:

Так как , то

Задача пример №133

Вычислите интеграл .

Решение:

Воспользуемся тождеством . Тогда,

Задача пример №134

Найдите интеграл .

Решение:

Воспользуемся формулой :

Задания на нахождение постоянной интегрирования

Задача пример №135

Найдите первообразную функции , график которой проходит через точку: а) М(2;2); Ь) Р(-1;3).

Решение:

Сначала запишем общий вид первообразных функции на промежутке .

a) По условию . Тогда , отсюда = -2. Значит, первообразная функции , график которой проходит через точку М(2;2), имеет вид .

b) По условию . Тогда 1 + = 3, отсюда = 2. Значит, первообразная функции , график которой проходит через точку Р(-1;3), имеет вид: .

Задания на реальную жизненную ситуацию

Задача пример №136

Движение. Скорость мяча, брошенного с высоты 1 м вверх, можно выразить как . Здесь показывает время в секундах. Запишите функцию, которая позволит найти на какой высоте находится мяч через секунд после начала движения и найдите на какой высоте окажется мяч на 2 секунде.

Решение:

так как , то для функции неопределенным интегралом является функция :

Как можно найти постоянную ?

Мяч брошен с высоты 1 м. Т.е. в момент мяч находился на высоте 1 м и = 1. Тогда 1 = -4,9 • 0 +12 • 0 + , отсюда = 1. Значит, в момент высоту на которой находится мяч, можно найти по формуле . При = 2 получим

. Т.е. в момент = 2 секундам мяч будет находится на высоте 5,4 м.

Пример задачи на прирост населения

Статистические исследования показывают, что при помощи отношения можно найти прирост городского населения за год. Здесь показывает количество лет после 1960 года, – численность населения в данный (-ый) год в тыс. человек. Если в 1990 году в городе было 820 тыс. человек, то сколько, приблизительно, тыс. человек будет в городе в 2020 году?

Решение:

найдем первообразную для функции , показывающую численность населения, соответствующую функции :

Теперь найдем постоянную .

Например, по условию при = 30 (1960 – 1990) численность населения достигла 820 тыс. человек. Подставим (30; 820) в формулу функции. . Тогда .

Численность населения в 2020 году соответствует значению функции в = 60:

Т.е. в 2020 году численность городского населения будет приблизительно равна 1979800 человек.

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Задачи на экстремумы. Оптимизации

Первообразная функция

Площадь, ограниченная кривой

Определенный интеграл

Ранее мы получили основные производные элементарных функций. Приводимые ниже неопределенные интегралы представляют собой вычислительный аппарат интегрального исчисления. Часть формул непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию. Справедливость всех формул легко проверить дифференцированием.

Приведенные выше интегралы принято называть Табличными. Как было установлено ранее, операция дифференцирования не выводит функцию из класса элементарных. С операцией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Например:

– интеграл Пуассона.

или – интеграл Френеля.

– интегральный синус.

– интегральный косинус.

Каждый из этих интегралов есть функция, которая не является элементарной. Они играют большую роль в прикладных науках. Например, интеграл Пуассона является одним из основных в теории вероятностей и статистике.

Отметим несколько Полезных правил для вычисления интегралов.

Если известна первообразная функции , т. е. , а числа и константы, то:

Пример

Вычислим интегралы.

,

,

,

.

< Предыдущая		Следующая >