Найти корень уравнения как делать - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

2+1=3

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

x+2-2=7-2
x+0=7-2
x=7-2

Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.

x=5

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

x-4+4=12+4
x=12+4

Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.

x=16

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.

4+3x=2x-5
4+3x-2x=-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4+3x-2x=-5
3x-2x=-5-4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Сделаем проверку, правильно ли решено уравнение? Для этого вместо переменной x в уравнение подставим -9.
4+3x=2x-5
4+3⋅(-9)=2⋅(-9)-5
4-27=-18-5
-23=-23

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x:5=20:5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅4=20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

1x=21 или x=21

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.

3x=45

Далее делим все уравнение на 3.

3x:3=45:3
(3:3)x=15

1x=15 или x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

5=5

Ответ: x=15

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Источник

Основные понятия уравнения

Определение

Уравнением называют равенство, в котором одна из переменных неизвестна, и её нужно найти. Значение этой неизвестной должно быть таким, чтобы равенство было верным.

К примеру: 3+4=7 это числовое равенство, при вычислении которого с левой стороны получается 7=7.

Уравнением же будет называться следующее равенство: 3+х=7, поскольку есть неизвестная переменная х, её значение можно найти.

Из этого уравнения следует, что переменная х=4, только при таком его значении равенство 3+х=7, будет верным.

Неизвестные переменные принято писать в виде маленьких латинских букв, можно любыми, но чаще используют x,y,z.

Получается, чтобы равенство сделать уравнением необходимо, чтобы в нем была буква, значение которой неизвестно.

Как мы понимаем существует множество примеров уравнений с разными арифметическими действиями.

Пример: х + 5 = 1= 9; z — 2 = 7; 9 * y = 18, 6 : f = 2

Помимо этого существуют уравнения со скобками. К таким уравнениям относится 8 : (х — 4) = 2 * (8 — х), неизвестных может быть несколько, они могут быть, как слева уравнения, так и справа или в обеих частях.

Помимо таких простых уравнений они могут быть с корнями, логарифмами, степенями и тд.

Уравнение может содержать несколько переменными, тогда их принято называть, соответственно уравнениями с двумя, тремя и более переменными.

Пример:

3 * а = 15 : х — уравнение с двумя переменными:

8 — а = 5 * х — z — уравнение с тремя переменными.

Корень уравнения

Мы часто слышим фразу на уроках математики, «найдите корень уравнения», давайте разберёмся, что же это значит.

Пример:

В примере 3+х=7, можно представить вместо буквы число, и уравнение тогда станет равенством, оно может быть либо верным, либо неверным, если поставить х=3, то первичное равенство примет вид 3+3 = 7 и станет неверным, а если х= 4 то равенство 3+4=7 будет верным, а значит х = 4 будет называться корнем или по другому решением уравнения 3+х=7.

Определение.

Отсюда можно выделить следующее определение: корень уравнения — это такое значение неизвестной переменной, при котором числовое равенство будет верным.

Стоит отметить, что корней может быть несколько или не быть вовсе.

Рассмотрим подробнее пример который не будет иметь корней. Таким примером станет 0 * х = 7, сколько бы чисел мы сюда не подставляли равенство не будет верным, так как умножая на ноль будет ноль, а не 7.

Но существуют и уравнения с множественным числом корней, к примеру, х — 3 = 6, в таком уравнении только один корень 9, а в уравнении квадратного вида х2 = 16, два корня 4 и -4, можно привести пример и с тремя корнями х * (х — 1) * (х — 2) = 0, в данном случае три решения ноль, два и один.

Для того чтобы верно записать результат уравнения мы пишем так:

Если корня нет, пишем уравнение корней не имеет;
Если есть и их несколько, они либо прописываются через запятые, либо в фигурных скобках, например, так: {-2, 3, 5};
Еще одним вариантом написания корней, считается запись в виде простого равенства, к примеру неизвестная х а корни 3,5 тогда результат прописывается так: х=3, х=5.
или прибавляя индекс снизух1 =3 , х2 = 5. данным способом указывается номер корня;
Если решений уравнения бесконечное множество, то запись будет либо в виде числового промежутка от и до, или общепринятыми обозначениями. множество натуральных чисел N, целых – Z, действительных — R.

Стоит отметить, что если уравнение имеет два и более корней, то чаще употребляется понятие решение уравнения. Рассмотрим определение уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя и более переменными, означает, что эти несколько значений превращают уравнение в верное равенство.

Примеры:

Представим, что мы имеем следующее уравнение х + а = 5, такое уравнение имеет две переменные. Если мы поставим вместо них числа 3 и 6 то равенство не будет верным, соответственно и данные числа не являются решением для данного примера. А если взять числа 2 и 3 то равенство превратится в верное, а числа 2 и 3 будут решением уравнения. Представленные уравнения с несколькими переменными, тоже могут или не иметь корня вообще или наоборот иметь множество решений.

Правила нахождения корней

Таких правил существует несколько рассмотрим их ниже.

Пример 1

Допустим мы имеем уравнение 4 + х = 10, чтобы найти корень уравнения или значение х в данном случае необходимо найти неизвестное слагаемое, для этого есть следующее правило или формула. Для нахождения неизвестного слагаемого, нужно из суммы вычесть известное значение.

Решение:

х = 10 — 4

х = 6

Чтобы проверить является ли 6 решением, мы ставим его на место неизвестной переменной х в исходное уравнение, получаем следующее равенство 4 + 6 = 10, такое равенство является верным, что означает число корня уравнения, равно 6.

Пример 2

Возьмём уравнение вида х — 5 = 3, в данном примере х это неизвестное уменьшаемое, для того чтобы его найти необходимо следовать следующему правилу:

Для нахождения уменьшаемого необходимо сложить разность и вычитаемое.

Решение:

х = 3 + 5

х = 8

Проверяем правильность нахождения корня уравнения, подставляем, вместо переменной неизвестной, найденное число 8, получаем равенство 8 — 5 = 3, так как оно верное, то и корень уравнения найден правильно.

Пример 3

Берём уравнение, в котором неизвестное х будет вычитаемое к примеру: 8 — х = 4. для того чтобы найти х необходимо воспользоваться правилом:

Для нахождения вычитаемого, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Решение:

х = 8 — 4

х = 4

Проверяем правильность нахождения корня уравнения, для этого полученное значение ставим вместо неизвестного вычитаемого в исходный пример, и получаем следующее равенство 8 — 4 = 4, равенство верно, значит и корень найден правильно.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Пример 4

Возьмём уравнение вида х * 3 = 9, в данном уравнении неизвестна переменная х, является множимым. Для того, чтобы найти корень такого уравнения необходимо использовать следующее правило.

Для нахождения неизвестного множимого, нужно произведение разделить на множитель.

Решение:

х = 9 : 3

х = 3

Для проверки подставим найденное значение х в исходное уравнение, получим равенство 3 * 3 =9, так как равенство является верным, то и решение уравнения верное.

Такое же правило действует и для множителя, чтобы его найти необходимо произведение разделить на множимое.

Пример 5

Возьмём уравнение следующего вида: х : 2 = 10 , в данном уравнении х- это неизвестное делимое, 2 — делитель, а 10 — частное. Для нахождения неизвестного значения х, воспользуемся правилом:

Чтобы найти делимое, необходимо частное умножить на делитель.

Решение:

х = 10 * 2

х = 20

Проверим, вместо неизвестного х, поставим его значение 20, получим следующее равенство 20: 2 = 10. Равенство верное, значит и решение было верным.

Пример 6

Теперь рассмотрим пример с делителем.

Возьмём уравнение 22: х = 11, где х неизвестный делитель. Для того чтобы его найти существует правило:

При нахождении неизвестного делителя нужно делимое разделить на частное.

Решение:

х = 22 : 11

х = 2

Проверяем, 2 ставим на место неизвестного х в исходное уравнение, получаем равенство 22 : 2 = 11. Так как равенство верно, то мы нашли верный корень уравнения.

Пример применения правил в более сложном уравнении: 2х — 5 =5

Решение:

2х = 5 + 5

2х = 10

х = 10 : 2

х = 5

Проверяем, для этого полученное значение х = 5, ставим в исходное уравнение, получаем равенство 2 * 5 — 5 = 5, так как равенство верно, корень найден правильно.

Квадратные уравнения

Существует также уравнения квадратного вида, например: 2х² = 32, для того, чтобы найти неизвестное или корень квадратного уравнения, в таком уравнении необходимо:

Решение:

х² = 32 : 2

х² = 16

х = √16

х = 4

Проверим, для этого полученное значение подставим в исходное уравнение, и получим равенство 24² = 32. так как равенство верное, то и решение уравнения верно.

Как мы видим нахождение корня уравнения не такой сложный процесс, главное запомнить правила. Стоит отметить, что помимо решения различного вида задач, уравнения применяются в других различных науках. Применение уравнений можно найти в экономике, в физике, химии, биологии и других. При их помощи можно вычислить и описать процессы, происходящие вокруг нас.

Калькулятор квадратных корней

Источник

В математике решение уравнения — это задача по нахождению всех значений аргументов (чисел, функций, наборов и т. д.), при которых выполняется равенство (выражения слева и справа от знака равенства становятся эквивалентными). Значения неизвестных переменных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет вовсе (либо нет тех, что удовлетворяют заданным условиям).

Например, уравнение решается для неизвестного с помощью замены так как замена переменной на выражение превращает уравнение в тождество: Кроме того, если положить неизвестной переменную тогда уравнение решается с помощью замены . Замена переменной на выражение превращает уравнение в тождество: Также и могут одновременно рассматриваться как неизвестные переменные. Существует много решений уравнения для подобного случая, например, — то есть x=1 и а в общем, для всех возможных значений.

В зависимости от задачи, может требоваться найти одно решение (любое подходящее решение) или все решения уравнения. Все решения уравнения называются множеством решений. Помимо простого нахождения решения, может ставиться задача по нахождению наилучшего решения уравнения по какому-либо параметру. Задачи такого рода называются задачами оптимизации. Решения задач оптимизации, как правило, не называются «решениями уравнения».

Аналитические методы решения уравнения[править | править код]

Под методом решения задачи (в т.ч. уравнения) понимается, прежде всего, пошаговый алгоритм.

Аналитический метод решения (иначе, просто аналитическое решение) — это выражение замкнутой формы, которое может быть вычислено за конечное число операций^[1]. Однако, существуют формулы (выражения), содержащие в себе невычислимые (или непредставимые) на данном этапе развития теории и технологий функции. Далее под аналитическим решением мы будем иметь в виду любое решение, записанное в формульном виде, содержащее в себе известные или определённые функции от параметров (в случае числовых уравнений) или переменных (в случае функциональных уравнений). Ниже приведены основные аналитические методы решений различного вида уравнений.

Метод подбора значения[править | править код]

Самый простой нелогичный (т.к. не требует никакого подчинения законам математической логики) метод решения уравнения, заключающийся в угадывании правильного значения корня. С этого метода начинается обучение решению более сложных уравнений, чем линейные (напр., квадратные и кубические), в 5—7-х классах средней образовательной школы в России.

Пример решения уравнения методом подбора: ${displaystyle x^{2}-2x+1=0}$

Легко догадаться, что одним из корней уравнения будет Чтобы проверить правильность подобранного значения, необходимо подставить его в исходное уравнение вместо переменной ${displaystyle x:{text{ }}1^{2}-2cdot 1+1=0Longleftrightarrow 0=0.}$ .

Как видно, требуемое тождественное равенство выполняется, а это значит, что найденное нами значение является правильным (то есть входит в множество решений уравнения).

Недостатки метода подбора:

Чаще всего, корнями уравнения являются иррациональные (алгебраически иррациональные или даже трансцендентные) числа, угадать которые практически невозможно;
Методом подбора нельзя указать на отсутствие решения при каких-либо ограничениях на значение решений;
В случае бесконечного множества решений (напр., в уравнениях с двумя и более переменными) данный метод совершенно не подходит, однако, бывает полезен, когда с помощью одного подобранного правильного значения каким-либо другим известным методом можно получить остальные допустимые решения^[2];
Далеко не все уравнения представлены в виде простых функций от переменной, так что решить такие уравнения метод подбора также неспособен;
Применимость данного метода ограничивается не только сложностью уравнений, их видом и областью допустимых решений, но также наличием хороших вычислительных способностей, знанием наиболее часто встречающихся значений и их соответствия конкретному виду уравнений^[3].

Преимущества метода подбора:

Простота использования (применение метода подбора не требует выполнения практически никаких логических действий, за исключением проверки);
Скорость получения решения (обычно, там, где на необходимость применения метода подбора указано в контексте, решения подбираются довольно-таки быстро);
Доступность в применении (ведь иногда бывает так, что аналитическое решение какого-либо вида уравнения отсутствует совсем, но значение всё ещё легко подобрать в каком-то конкретном случае, например, уравнение ${displaystyle 2^{x}-x^{2}-1=0}$ пока что^{[уточнить]} невозможно^[кому?] решить аналитическим путём^[4], но, тем не менее, получить хотя бы один корень методом подбора довольно-таки просто: ${displaystyle x=1longrightarrow 2^{1}-1^{2}-1=0Longleftrightarrow 0=0).}$

Полный перебор[править | править код]

Частным случаем метода подбора является метод полного перебора — то есть поиска решения исчерпыванием всевозможных вариантов. Используется в случае, если множество всех решений (либо всех решений, удовлетворяющих определённым условиям) конечно.

Метод обратной операции [инверсии][править | править код]

Данный метод решения уравнений, называемый иначе методом построения обратной функции, основывается на свойстве обратной функции нивелировать влияние функции на значение переменной^[5]:

${displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$ или, что по сути то же самое, ${displaystyle f(f^{-1}(x))=x.}$

Метод обычно используется в составе других методов решений и самостоятельно применяется лишь тогда, когда переменные и константы находятся по разные стороны от знака равенства: ${displaystyle f(x)=g(a_{0},a_{1},...a_{i}),a_{i}=const.}$

Самый простой пример — линейное уравнение: Здесь ${displaystyle f(x)=5x,{text{ }}g(a_{i})=10,}$ значит ${displaystyle f^{-1}(x)={frac {x}{5}},}$ и получаем: ${displaystyle f^{-1}(f(x))={frac {5x}{5}}=x,}$ теперь то же самое нужно проделать с другой частью уравнения: ${displaystyle f^{-1}(g(a_{i}))={frac {10}{5}}=2,}$ отсюда Проверка:

Ещё пример: ${displaystyle x^{2}=4Longleftrightarrow x=pm {sqrt {4}}Longleftrightarrow x_{1,2}=2;-2.}$

Рассмотрим следующую задачу со схемой решения: если дано уравнение вида , где — константа, то искомое неизвестное равно ${displaystyle f^{-1}left(Cright)}$ .

Решить уравнение .
Это равенство по определению квадратного корня означает, что ${displaystyle 2x+1=3^{2}}$ . Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению ${displaystyle 2x+1=3^{2}}$ . Освобождаемся последовательно от всего того, что «нанизано» на наше неизвестное и находим: . Если же теперь вспомнить схему решения выше, то по ней получаем: , а . Тогда к ответу приходим запросто: ${displaystyle f^{-1}left(Cright)={dfrac {C^{2}-1}{2}}Longrightarrow f^{-1}left(3right)={dfrac {3^{2}-1}{2}}=4.}$ Ответ: .

Решить уравнение

Это равенство по определению квадратного корня означает, что ${displaystyle 2x+1=3^{2}}$

. Фактически от заданного иррационального уравнения мы перешли к рациональному уравнению ${displaystyle 2x+1=3^{2}}$

. Освобождаемся последовательно от всего того, что «нанизано» на наше неизвестное и находим:

Если же теперь вспомнить схему решения выше, то по ней получаем: , а . Тогда к ответу приходим запросто:

${displaystyle f^{-1}left(Cright)={dfrac {C^{2}-1}{2}}Longrightarrow f^{-1}left(3right)={dfrac {3^{2}-1}{2}}=4.}$

Ответ: .

Иногда, для того чтобы решить уравнение , можно поступить через реверсию. Другими словами, решить уравнение ${displaystyle f^{-1}left(xright)=g^{-1}left(xright)}$ , которое может оказаться проще, чем исходное. Далее все решения приравнять либо к левой части исходного равенства, либо же приравнять к правой, то есть . И таким образом можно найти неизвестное.

Решить уравнение .
Ясно, поскольку , то . Исходное уравнение равносильно , а оно равносильно ${displaystyle x^{2}={dfrac {3-x}{2}}Longrightarrow {biggl [}{begin{array}{lcl}x=1\x=-3,5end{array}}Longrightarrow {sqrt {x}}=1Longrightarrow {color {Red}x=1}.}$ Ответ: .

Решить уравнение

Ясно, поскольку

, то

. Исходное уравнение равносильно

, а оно равносильно ${displaystyle x^{2}={dfrac {3-x}{2}}Longrightarrow {biggl [}{begin{array}{lcl}x=1\x=-3,5end{array}}Longrightarrow {sqrt {x}}=1Longrightarrow {color {Red}x=1}.}$

Ответ: x=1 .

Решить уравнение .
Уединим радикал , то есть . Обозначим: и . Найдём обратные функции к ним и приравняем их, получим: ${displaystyle {begin{cases}f^{-1}left(xright)={dfrac {x^{2}-7}{3}}\g^{-1}left(xright)=left(3-xright)^{2}-2\f^{-1}left(xright)=g^{-1}left(xright)end{cases}}Longleftrightarrow {dfrac {x^{2}-1}{3}}=left(x-3right)^{2}.}$ Последнее уравнение можно преобразить к виду ${displaystyle x^{2}-9x+14=0}$ . По теореме Виета легко найти корни данного уравнения: или . Теперь мы можем подставить их в одну из частей равенства ${displaystyle f^{-1}left(xright)=g^{-1}left(xright)}$ . Например, подставим в функцию ${displaystyle g^{-1})}$ и будем иметь: ${displaystyle g^{-1}left(2right)=left(3-2right)^{2}-2={color {Magenta}-1}}$ и ${displaystyle g^{-1}left(7right)=left(3-7right)^{2}-2={color {Magenta}14}}$ . Непосредственной проверкой убеждаемся, что . Ответ: . `Другой способ`. Этот способ основан на таком понятии, как подстановка. Оказывается, для левой части исходного уравнения [сумма двух радикалов] существует обратная функция, в которую при подстановке значения, стоящее в правой части, можно сразу получить ответ. В общем виде это выглядит так. Для функции , причём , «подстановочной» функцией является следующая: ${displaystyle f^{-1}left(xright)={dfrac {left(a+cright)x^{2}+left(a-cright)left(d-bright)pm 2x{sqrt {acleft(x^{2}-left(d+bright)right)+a^{2}d+bc^{2}}}}{left(a-cright)^{2}}}.}$ В соответствии с этой формулой при [то, что стоит справа в исходном уравнении] мы получим: ${displaystyle f^{-1}left(3right)={dfrac {left(3+1right)cdot 3^{2}+left(3-1right)left(2-7right)pm 2cdot 3cdot {sqrt {3cdot 1cdot left(3^{2}-left(2+7right)right)+3^{2}cdot 2+7cdot 1^{2}}}}{left(3-1right)^{2}}}={dfrac {4cdot 9-2cdot 5pm 6cdot {sqrt {18+7}}}{4}}={dfrac {18-5pm 3cdot {sqrt {25}}}{2}}={dfrac {13pm 15}{2}}.}$ Итак, как и раньше, у нас два претендента: и . Дальше отбор корней. Ответ: .

Решить уравнение

{displaystyle {sqrt {3x+7}}+{sqrt {x+2}}=3}

Уединим радикал

, то есть

{displaystyle {sqrt {3x+7}}=3-{sqrt {x+2}}}

. Обозначим:

{displaystyle fleft(xright)rightleftharpoons {sqrt {3x+7}}}

{displaystyle gleft(xright)rightleftharpoons 3-{sqrt {x+2}}}

. Найдём обратные функции к ним и приравняем их, получим: ${displaystyle {begin{cases}f^{-1}left(xright)={dfrac {x^{2}-7}{3}}\g^{-1}left(xright)=left(3-xright)^{2}-2\f^{-1}left(xright)=g^{-1}left(xright)end{cases}}Longleftrightarrow {dfrac {x^{2}-1}{3}}=left(x-3right)^{2}.}$

Последнее уравнение можно преобразить к виду ${displaystyle x^{2}-9x+14=0}$ . По теореме Виета легко найти корни данного уравнения: x=2 или x=7 . Теперь мы можем подставить их в одну из частей равенства ${displaystyle f^{-1}left(xright)=g^{-1}left(xright)}$ . Например, подставим в функцию ${displaystyle g^{-1})}$ и будем иметь: ${displaystyle g^{-1}left(2right)=left(3-2right)^{2}-2={color {Magenta}-1}}$ и ${displaystyle g^{-1}left(7right)=left(3-7right)^{2}-2={color {Magenta}14}}$ . Непосредственной проверкой убеждаемся, что .

Ответ: .

Другой способ. Этот способ основан на таком понятии, как подстановка. Оказывается, для левой части исходного уравнения [сумма двух радикалов] существует обратная функция, в которую при подстановке значения, стоящее в правой части, можно сразу получить ответ. В общем виде это выглядит так. Для функции , причём , «подстановочной» функцией является следующая: ${displaystyle f^{-1}left(xright)={dfrac {left(a+cright)x^{2}+left(a-cright)left(d-bright)pm 2x{sqrt {acleft(x^{2}-left(d+bright)right)+a^{2}d+bc^{2}}}}{left(a-cright)^{2}}}.}$
В соответствии с этой формулой при x=3 [то, что стоит справа в исходном уравнении] мы получим: ${displaystyle f^{-1}left(3right)={dfrac {left(3+1right)cdot 3^{2}+left(3-1right)left(2-7right)pm 2cdot 3cdot {sqrt {3cdot 1cdot left(3^{2}-left(2+7right)right)+3^{2}cdot 2+7cdot 1^{2}}}}{left(3-1right)^{2}}}={dfrac {4cdot 9-2cdot 5pm 6cdot {sqrt {18+7}}}{4}}={dfrac {18-5pm 3cdot {sqrt {25}}}{2}}={dfrac {13pm 15}{2}}.}$

Итак, как и раньше, у нас два претендента: и . Дальше отбор корней.

Ответ: .

Решить уравнение ${displaystyle {sqrt {dfrac {1+2x{sqrt {1-x^{2}}}}{2}}}+2x^{2}=1}$ .
Преобразуем уравнение к виду ${displaystyle {dfrac {1}{2}}+x{sqrt {1-x^{2}}}=left(1-2x^{2}right)^{2}}$ . Пусть ${displaystyle fleft(xright)rightleftharpoons {dfrac {1}{2}}+x{sqrt {1-x^{2}}}}$ и ${displaystyle gleft(xright)rightleftharpoons left(1-2x^{2}right)^{2}}$ . Найдём функции ${displaystyle f^{-1}left(xright)}$ и ${displaystyle g^{-1}left(xright)}$ . Ответ: .

Решить уравнение ${displaystyle {sqrt {dfrac {1+2x{sqrt {1-x^{2}}}}{2}}}+2x^{2}=1}$

Преобразуем уравнение к виду ${displaystyle {dfrac {1}{2}}+x{sqrt {1-x^{2}}}=left(1-2x^{2}right)^{2}}$

. Пусть ${displaystyle fleft(xright)rightleftharpoons {dfrac {1}{2}}+x{sqrt {1-x^{2}}}}$

и ${displaystyle gleft(xright)rightleftharpoons left(1-2x^{2}right)^{2}}$

Найдём функции ${displaystyle f^{-1}left(xright)}$ и ${displaystyle g^{-1}left(xright)}$ .

Ответ: .

Недостатки метода обратной операции:

Иногда обратная функция от переменной в составе других методов решений приводит к нескольким результатам, из-за чего в решении появляются посторонние корни, которые были получены логическим путём, но не подходят в уравнение (нарушают тождественное равенство)^[6]^[7], что выясняется только при проверке;
Обратные операции, чаще всего, кажутся гораздо более сложными, чем обычные (например, дети начальных классов воспринимают деление как более сложное действие, чем “привычное” им умножение; старшеклассники часто долго приспосабливаются к интегрированию, потому что дифференцирование для них, также весьма привычное, воспринимается более лёгким);
Редки случаи, но так же имеют место быть, когда та или иная операция обратна сама себе [инволюция] (допустим, как линейная функция или интеграл и производная от показательной функции $f(x)=e^{x}$ ^[8]);
Не все обратные функции представимы в виде композиций других известных функций (чаще всего, это интегралы — интегралы Френеля, функция Лапласа, интегральные синус и косинус, интегральная экспонента, или, например, неэлементарные, такие, как W-функция Ламберта, тетрация и суперкорень);
Не всякая обратная операция даёт допустимое или вообще хоть какое-нибудь решение (например, функция $f(x)=x^{2}$ даёт действительное число при любом значении переменной, однако, это значение всегда неотрицательно^[9], из-за чего нахождение обратной функции ограничивается неотрицательностью аргумента; также, например, существуют неинтегрируемые^[10] или недифференцируемые^[11] функции, наподобие функции Дирихле, функции Вейерштрасса и др.);
Для некоторых обратных операций до сих пор не существует алгоритма вычисления, так что значения этих функций, как решения каких-либо уравнений, так и остаются в виде формул (например, суперлогарифм, ζ-функция Римана и т. д.).

Преимущества метода обратных операций:

В отличие от метода подбора, применение обратных функций, чаще всего, позволяет не упустить дополнительные существующие допустимые решения, даже если их множество бесконечно;
Обратные операции являются одной из основных составляющих почти любых логичных методов решения уравнений, используются гораздо чаще и на своём примере помогают лучше разобраться в понятиях области допустимых значений, области определения и области изменения значения аргумента(-ов);
В большинстве случаев значения обратных функций можно вычислить с помощью различного рода калькуляторов или же, наоборот, оставить их в формульном выражении для удобства в дальнейшем применении.

Графический метод[править | править код]

Данный метод решения задач (в том числе, уравнений) основывается на базовом свойстве графиков функций — определённым и (в идеале) точным отображением значений аргументов и значений функций от этих аргументов в пространстве координат, вследствие чего каждая точка графика имеет не более одного набора этих значений для каждой конкретной функции (то есть два значения от одного и того же аргумента не могут быть присвоены одной и той же точке координат).

По определению, две функции имеют одну общую точку (точку пересечения графиков) тогда, когда их значения от одного(их) и того(тех) же значения(-й) аргумента(-ов) равны: ${displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{i})=g(x_{1},x_{2},...,x_{i}).}$

Например, решим графически уравнение ${displaystyle {frac {1}{2}}x^{2}-4x+10=x-2}$ (см. рисунок ниже):

Пример точек пересечения (A и B).

Здесь чёрным цветом показан график функции ${displaystyle f(x)={frac {1}{2}}x^{2}-4x+10,}$ синим цветом — график функции Абсциссы точек A и B образуют множество решений исходного уравнения: ${displaystyle x_{1}=4,x_{2}=6,}$ что легко находится проекцией точек на ось абсцисс (ось ). Проверка: ${displaystyle {frac {1}{2}}cdot 4^{2}-4cdot 4+10=4-2Longleftrightarrow 2=2}$ и ${displaystyle {frac {1}{2}}cdot 6^{2}-4cdot 6+10=6-2Longleftrightarrow 4=4.}$ Решение является исчерпывающим, поскольку прямая не может пересечь параболу более двух раз (согласно основной теореме алгебры).

Недостатки графического метода:

Графически, за исключением простых случаев, можно получить только приблизительное решение;
Не всякие значения и не всяких функций вычислимы, поэтому их графики самостоятельно построить нельзя;
Не зная свойств входящих в уравнение функций, невозможно точно утверждать, является ли полученное множество решений исчерпывающим;
Чаще всего, применимость данного метода ограничивается построением графиков функций в окрестностях центра координат;
Воспроизведение графиков функций, что называется, “в уме” бывает достаточно затруднительным, в таких случаях без каких-либо дополнительных приспособлений никак не обойтись.

Преимущества графического метода:

Простота использования (уровня знаний средней школы вполне достаточно);
Доступность в применении (например, когда решение уравнения ещё не изучалось или отсутствует вовсе);
Наглядность представления (помогает лучше понять, что представляет собой какое-либо решение и как его можно изобразить)^[12].

Кроме описанного метода существуют специальные модифицированные графические методы, такие, например, как метод Лиля.

Метод оценки ОДЗ[править | править код]

Основной источник: ^[13]

Метод оценки ОДЗ (области допустимых значений) заключается в отсечении некоторой части значений из области значений функции, в которых данная функция не существует (иначе, отсечение значений, которые она не может принимать).

Например, решим методом оценки ОДЗ следующую систему уравнений:

${displaystyle {begin{cases}{frac {1}{x+1}}+x+1=2\sin ^{2}(x)=xend{cases}}}$

Начнём с верхнего уравнения, основываясь на следующем свойстве суммы взаимно-обратных чисел: ${displaystyle {frac {1}{n}}+ngeqslant 2,n>0.}$ Оно непосредственно выводится из частного случая нестрогого неравенства о степенных средних^[14]. Причём равенство двум достигается только в том случае, если эти числа равны: ${displaystyle {frac {1}{x+1}}=x+1Longleftrightarrow (x+1)^{2}=1Longleftrightarrow x+1=pm 1.}$ В результате получаем множество решений: ${displaystyle x_{1}=0,{text{ }}x_{2}=-2.}$

В нижнем уравнении присутствует неотрицательная функция возведения в квадрат и функция значения которой лежат в диапазоне

Как видно, второе решение не подходит по обоим критериям, что избавляет нас от необходимости второй проверки. Осталось проверить первый корень: ${displaystyle sin(0)=0Longleftrightarrow sin ^{2}(0)=0Longleftrightarrow 0=0.}$ Значит, единственное решение исходной системы уравнений — это ${displaystyle x_{1}=0.}$

Недостатки метода оценки ОДЗ:

Преимущества метода оценки ОДЗ:

Данный метод бывает полезен, когда необходимо доказать отсутствие допустимого решения, но сделать это другими методами не представляется возможным;
Методом оценки ОДЗ, в отличие от графического метода и метода подбора, возможно получить и бесконечное множество допустимых решений;
Как было показано в примере, грамотное применение метода оценки позволяет избежать дополнительных проверок;
Некоторые уравнения гораздо проще решить именно таким методом (например, частные случаи иррациональных уравнений).

Метод разложения на множители[править | править код]

Метод разложения на множители уравнений (то есть их факторизация) применяется для представления их в виде произведения нескольких менее сложных, чаще, однотипных уравнений^[16]. Разложение основывается на свойстве произведения нескольких множителей равняться нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей также равен нулю^[17].

Этот метод решения именно полиномиальных уравнений являлся отдельным направлением алгебры на протяжении многих столетий^[18] и представляет собой совокупность сразу нескольких алгоритмов получения решения. Его актуальность и значимость есть следствие основной теоремы алгебры, согласно которой любой многочлен любой ненулевой конечной степени имеет хотя бы один комплексный корень.

Самым простым из всех способов разложения является, пожалуй, деление многочлена на многочлен.

Недостатки метода факторизации многочленов:

Преимущества метода факторизации многочленов:

Некоторые частные случаи уравнений, для которых общий алгоритм решения не найден или слишком сложен, возможно решить только разложением (например, уравнения шестой и выше степеней, алгоритмы будущего решения которых слишком громоздки, сложно и долго вычисляемы, вследствие чего их разработка становится нецелесообразной^[20]);
Все способы разложения выведены достаточно давно, доступны в открытых источниках, не выходят за рамки школьной программы и, кроме обыкновенного калькулятора, дополнительных знаний и приспособлений (в том числе специальных программных продуктов), как правило, не требуют.

Методы преобразований[править | править код]

К числу этих методов относятся наборы действий, выполняемых над обеими частями уравнения (перед знаком равенства и после), приводящие к уравнениям-следствиям или равносильным уравнениям, решить которые гораздо легче вследствие наличия известного алгоритма решения или представления их в более удобной форме, позволяющей быстро соотнести их с тем или иным известным алгоритмом решения. Ниже приведён список основных преобразований.

Перенос слагаемых[править | править код]

Любую часть уравнения можно “перенести в другую сторону, за знак равенства”, прибавив её к другой части уравнения и только поменяв знак(!) на противоположный^[21].

Например, решим в вещественных числах уравнение: ${displaystyle x^{2}-2x+4=2x.}$

Для этого перенесём правую часть уравнения в левую, поменяв знак правой части на противоположный: ${displaystyle x^{2}-2x+4-2x=0.}$

Далее, вследствие ассоциативности функции умножения на константу, сложим подобные слагаемые: ${displaystyle x^{2}-4x+4=0.}$

Теперь легко увидеть, что получившаяся левая часть напоминает формулу полного квадрата: ${displaystyle (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4.}$

Отсюда находим корни: ${displaystyle pm (x-2)=0longrightarrow x_{1}=x_{2}=2.}$ Проверка: ${displaystyle 2^{2}-2cdot 2+4=2cdot 2Longleftrightarrow 4=4.}$

Перенос слагаемых можно выполнять в любых случаях (не вынося аргумент из-под функции), при этом получившиеся уравнения являются равносильными.

Прибавление (вычитание) константы (выражения)[править | править код]

Этот приём преобразования уравнений основан на свойстве числового равенства — его инвариантности относительно сложения (числовое равенство останется таковым, даже если к обеим его частям прибавить какое-либо число, в том числе и отрицательное). В свою очередь, данное свойство числового равенства является всего лишь частным случаем аналогичного свойства числовых нестрогих неравенств^[22]. Так как большинство решаемых уравнений выполняются над полем каких-либо чисел (бывают нечисловые уравнения, например, — функциональные, где в качестве неизвестной переменной выступают функции), то такие же числовые свойства распространяются и на уравнения.

Суть преобразования состоит в том, что к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число или выражение с числовой функцией, ОДЗ которой не уже, чем ОДЗ функций в исходном уравнении. Перенос слагаемых является просто частным случаем прибавления (вычитания) выражений. В частности, “взаимоуничтожение” одинаковых слагаемых по разные стороны знака равенства есть следствие возможности переноса.

Прибавление числового выражения возможно всегда, однако, приводит к равносильному уравнению только тогда, когда область ОДЗ функции в выражении не уже, чем ОДЗ функций исходного уравнения. Например, прибавив к обеим частям выражение sqrt{x} мы придём к уравнению-следствию, в котором неотрицательность переменной может отсеять существующие отрицательные корни, из-за чего позднее нам придётся учитывать это ограничение.

Также бывает полезен несколько обратный приём — выделение слагаемого, например: ${displaystyle {frac {x^{2}+5x+6}{x+2}}=0Longleftrightarrow {frac {(x^{2}+4x+4)+(x+2)}{x+2}}=0Longleftrightarrow {frac {(x+2)^{2}}{x+2}}+{frac {x+2}{x+2}}=0Longleftrightarrow (x+2)+1=0longrightarrow x_{1}=-3.}$

Умножение (деление) на ненулевую(ое) константу (выражение)[править | править код]

Умножение числовых равенств (то есть, числовых уравнений) на одно и то же ненулевое числовое выражение есть следствие возможности прибавления этого выражения, а, значит, распространяет на себя его свойства, добавляя, разве что, ограничение на не равенство переменной нулю^[21].

Используя предыдущий пример: ${displaystyle x^{2}+5x+6=0Longleftrightarrow (x^{2}+4x+4)+(x+2)=0Longleftrightarrow (x+2)^{2}+(x+2)=0.}$

Теперь поделим оба слагаемых на ${displaystyle (x+2):{frac {(x+2)^{2}}{x+2}}+{frac {x+2}{x+2}}=0Longleftrightarrow x+2+1=0longrightarrow x_{1}=-3.}$

Однако, поделив на это выражение, мы установили ограничение — его неравенство нулю: Поэтому теперь необходимо проверить, не является ли данное значение корнем исходного уравнения, отсеянным этим самым ограничением: ${displaystyle (-2)^{2}+5cdot (-2)+6=4-10+6=0.}$

Как видно, сужение ОДЗ даже на одну точку (число) способно сильно исказить множество всех возможных допустимых решений.

Замена выражений[править | править код]

Самый распространенный из методов — метод замены переменной. Искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Суть метода замены переменной заключается в том, что путём замены некоторого входящего в уравнение выражения, содержащего переменную, в исходном уравнении либо понижается степень, либо от дробного переходят к целому уравнению, либо иррациональное уравнение сводят к рациональному, то есть исходное уравнение сводится к простейшему. Данный метод применяется в уравнениях, где замена переменной очевидна или становится очевидной после некоторых элементарных тождественных преобразований.

Тождественная замена переменной другим выражением, содержащим функции от переменной, ОДЗ которых не уже, чем ОДЗ функций исходного уравнения, также всегда приводит к равносильному уравнению. Сама его возможность и равносильность основываются на свойстве транзитивности чисел (если в тройке чисел какие-то два числа попарно равны третьему, следовательно, все три числа равны между собой^[23]).

Замена очень часто используется в решении уравнений любого рода и даже больше (например, для уравнения третьей степени существует тригонометрическая формула Виета, для нахождения первообразных — универсальная тригонометрическая подстановка Вейерштрасса, для интегралов от рациональных функций — специальные подстановки Эйлера и т.д.).

По сути, любая формула корней уравнения есть частный случай замены, когда в выражении, заменяющем переменную, не содержится переменных совсем (то есть функция в этом выражении содержит в качестве аргумента(ов) константу(ы)).

Замена выражения также помогает прийти к более лёгкому уравнению. Однако, многие часто путают корни уравнения-следствия с корнями исходного уравнения, ошибочно подставляя их не в то уравнение при проверке. Так, например, сделав замену ${displaystyle x=a^{y}}$ и получив конкретное значение y_0 в качестве корня уравнения-следствия с переменной , для проверки необходимо сначала подставить y_0 в формулу замены ${displaystyle x=a^{y},}$ чтобы рассчитать $x_{0}$ , которое и будет корнем исходного уравнения от переменной и которое необходимо подставить в него для проверки.

Однако, существуют типы уравнений, для которых определённые виды замены делать нельзя.

Например, уравнение вида: ${displaystyle a^{(n)}x=x,{text{ }}aneq 0,}$ где ${displaystyle a^{(n)}x}$ — это гипероператор порядка (для каждого из них есть дополнительные ограничения на )

Если сделать замену ${displaystyle x=a^{(n+1)}y,}$ то получим уравнение-следствие: ${displaystyle a^{(n)}{bigl (}a^{(n+1)}y{bigr )}=a^{(n+1)}yLongleftrightarrow a^{(n+1)}(y+1)=a^{(n+1)}y.}$

Отсюда следует, что, либо и решения нет (что противоречит “теоретической практике”), либо гипероператоры неоднозначны (что неверно для первых трёх операторов — сложения, умножения и возведения в степень).

Для наглядности, положим, что n=3 : ${displaystyle a^{(3)}x=xLongleftrightarrow a^{x}=x.}$ Сделаем замену ${displaystyle x=a^{(4)}y={}^{y}a:}$ ${displaystyle a^{{}^{y}a}={}^{y}aLongleftrightarrow {}^{y+1}a={}^{y}a,}$ откуда приходим к противоречию хотя решение данного исходного уравнения существует и выражается через суперкорень второй степени^[24].

Возведение в степень[править | править код]

Благодаря возможности умножения числового выражения на числовое выражение становится возможным возведение числового выражения в ненулевую степень^[21], которое является частным случаем умножения при идентичности множителей. Однако, возведение в степень строго определено лишь для неотрицательных чисел, поэтому, возводя в степень выражение с переменной, необходимо указать соответствующее ограничение и учитывать его в дальнейшем.

Если всё-таки без возведения в степень отрицательного выражения не обойтись, то показатель степени должен быть целым числом, иначе такое преобразование приведёт к решению уже двух уравнений вместо одного и увеличению количества посторонних корней, поскольку: ${displaystyle (-n)^{frac {1}{k}}=-{sqrt[{k}]{n}},{frac {k+1}{2}}in mathbb {Z} ,}$ но в то же время ${displaystyle {frac {1}{k}}={frac {2}{2k}}longrightarrow (-n)^{frac {2}{2k}}={sqrt[{2k}]{(-n)^{2}}}={sqrt[{2k}]{1cdot n^{2}}}={sqrt[{k}]{n}},kin mathbb {Z} .}$ С иррациональными показателями ситуация пока что не определена.

Возведение в нулевую степень нуля (или выражения, которое может принимать нулевое значение) также невозможно (см. Неопределённость).

Чётные показатели степени удваивают количество решаемых уравнений, поскольку показательные функции чётных степеней чётные. Количество посторонних корней также увеличивается^[21].

Логарифмирование[править | править код]

Согласно свойствам числовых нестрогих неравенств^[22], обе части уравнения можно логарифмировать. Однако, здесь тоже есть свои ограничения (для поля вещественных чисел):

Если логарифмирование осуществляется по положительному основанию-числу, то логарифмируемое выражение (число) также должно быть положительным;
Если логарифмирование осуществляется по отрицательному основанию-числу, то логарифмируемое выражение (число) также должно быть отрицательным (при этом доопределение логарифма нужно пояснить);
Логарифмирование выражений со значениями, противоположными по знаку значениям основания, невозможно.

Именно поэтому логарифмирование, как правило, приводит не к увеличению посторонних, а к потере истинных корней.

Потенцирование[править | править код]

В противоположность возведению в степень числовые равенства можно преобразовывать в показатели степени^[21]: ${displaystyle f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)Longleftrightarrow b^{f(x_{1},x_{2}...)}=b^{g(a_{1},a_{2},...)},b,a_{1},a_{2}...=const.}$

Тогда, как числовые выражения могут быть любыми, основание должно быть положительно (или отрицательно — с наложением на переменную соответствующих ограничений).

Более того, потенцировать можно даже показатели степени у выражений, однако, при этом между основанием и степенью есть своеобразная ограничивающая взаимозависимость, из-за чего основание не может быть любым: ${displaystyle f^{n}(x_{1},x_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},...)Longleftrightarrow f^{(k^{n})}(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{m})}(a_{1},a_{2},...),{text{if }}k={biggl (}{frac {m}{n}}{biggr )}^{frac {1}{m-n}}.}$

Это легко доказывается следующим образом:

${displaystyle f^{n}(x_{1},x_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},...)}$

${displaystyle f^{(k^{n})}(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{m})}(a_{1},a_{2},...)}$

${displaystyle f(x_{1},x_{2},...)=g^{frac {(k^{m})}{(k^{n})}}(a_{1},a_{2},...)Longleftrightarrow f(x_{1},x_{2},...)=g^{(k^{m-n})}(a_{1},a_{2},...)}$

Подставляем вместо ${displaystyle f(x_{1},x_{2},...)}$ получившееся выражение в исходное уравнение:

${displaystyle g^{n(k^{m-n})}(a_{1},a_{2},...)=g^{m}(a_{1},a_{2},...),}$ отсюда получаем: ${displaystyle n(k^{m-n})=m.}$ Далее:

${displaystyle k^{m-n}={frac {m}{n}}Longleftrightarrow k={biggl (}{frac {m}{n}}{biggr )}^{frac {1}{m-n}}.}$ В случае m=1 формула значительно упрощается:

${displaystyle k={biggl (}{frac {1}{n}}{biggr )}^{frac {1}{1-n}}Longleftrightarrow k={Biggl (}{frac {1}{n^{frac {1}{1-n}}}}{Biggr )}Longleftrightarrow k=n^{-{frac {1}{1-n}}}=n^{frac {1}{n-1}}.}$

Тетрация с показателем 2[править | править код]

Для числовых выражений можно вычислять тетрацию с показателем 2 (то есть возводить выражение в степень самого себя):

${displaystyle f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)Longleftrightarrow {}^{2}{f(x_{1},x_{2}...)}={}^{2}{g(a_{1},a_{2},...)}Longleftrightarrow {bigl (}f(x_{1},x_{2},...){bigr )}^{f(x_{1},x_{2},,,,)}={bigl (}g(a_{1},a_{2},...){bigr )}^{g(a_{1},a_{2},,,,)},b,a_{1},a_{2}...=const.}$

Разумеется, сюда же накладываются ограничения на положительность самих выражений или доопределения возведения в степень в случае их отрицательности.

Вычисление тетрации с более высокими показателями накладывает определённые ограничения в виде взаимозависимостей выражений (см. выше), поскольку тогда будут иметь место так называемые “степенные башни”. Так же можно извлекать суперкорень с соответствующим показателем, но также стоит учитывать, что данная операция определена только для положительных чисел.

Пример: ${displaystyle x^{2}=4Longleftrightarrow {}^{2}(x^{2})={}^{2}4Longleftrightarrow (x^{2})^{(x^{2})}=4^{4}Longleftrightarrow x^{2x^{2}}=256.}$

Сделаем замену ${displaystyle x=y^{frac {1}{2}}:}$ ${displaystyle (y^{frac {1}{2}})^{2(y^{frac {1}{2}})^{2}}=256Longleftrightarrow y^{y}=256longrightarrow y=4longrightarrow x_{1}=2.}$

Однако, вследствие неопределённости тетрации при неположительных числах, у нас исчез второй корень уравнения: ${displaystyle x_{2}=-2.}$

Суперпотенцирование[править | править код]

Также благодаря возможности применения предыдущей итерации (возведения в степень), числовые равенства возможно преобразовывать в показатели тетрации:

${displaystyle f(x_{1},x_{2}...)=g(a_{1},a_{2},...)Longleftrightarrow {}^{f(x_{1},x_{2}...)}b={}^{g(a_{1},a_{2},...)}b;b,a_{1},a_{2}...=const.}$

При этом стоит учитывать положительность основания (поскольку даже ноль не может быть возведён в степень самого себя) и различные неопределённости (недоговорённости) нецелых и/или отрицательных показателей тетрации.

Эту тенденцию можно продолжить итерировать и далее (см. Пентация, Гипероператор).

С точной уверенностью суперлогарифмировать числовые выражения пока нельзя по причине малоизученности свойств гипероператоров и обратных к ним функций, поскольку неясно, какие ограничения накладывает такое преобразование.

Специальные методы решения[править | править код]

Преобразования тригонометрических уравнений[править | править код]

Тригонометрическими называются уравнения, содержащие в качестве функций от переменных только тригонометрические функции (то есть уравнения, содержащие в себе композиции только тригонометрических функций).

При решении такого рода уравнений применяются различные тождества, основанные на свойствах самих тригонометрических функций (см. Тригонометрические тождества). В этих преобразованиях, однако, стоит учитывать составную природу тангенса и котангенса, синус и косинус в составе которых являются независимыми друг от друга функциями от одной и той же переменной.

Так, сделав очевидную замену ${displaystyle {text{tg}}(x)={frac {sin(x)}{sqrt {1-sin ^{2}(x)}}},}$ мы получим совершенно новую функцию, значения которой будут отличаться от исходного соотношения тангенса: ${displaystyle {text{tg}}(x)={frac {sin(x)}{cos(x)}}}$ (см. графики ниже).

График функции y=tg(x) без замены (слева) и с заменой косинуса на синус (справа)

Такое изменение происходит из-за того, что формуле с заменой подразумевается арифметический корень, значение которого всегда неотрицательно. Однако, если бы мы подписали “±”, функция тангенса потеряла бы присущую ей однозначность.

${displaystyle sin(x)=nlongrightarrow x=(-1)^{k}arcsin(n)+pi k,{text{ }}nin [-1;1],{text{ }}kin mathbb {Z} ;}$

Решим в качестве примера уравнение посложнее: ${displaystyle sin(x)cos(x)cos(2x)={frac {1}{8}}.}$

Т.к. ${displaystyle sin(x)cos(x)={frac {1}{2}}sin(2x),}$ то получаем: ${displaystyle {frac {1}{2}}sin(2x)cos(2x)={frac {1}{8}}.}$

Умножим на 4 и опять получим синус двойного угла: ${displaystyle 2sin(2x)cos(2x)={frac {1}{2}}Longleftrightarrow sin {4x}={frac {1}{2}}.}$

Окончательная формула корней: ${displaystyle x_{0,1,...}=(-1)^{k}{frac {arcsin {frac {1}{2}}+pi k}{4}}=(-1)^{k}{frac {pi }{24}}+{frac {pi k}{4}},{text{ }}kin mathbb {Z} .}$

Преобразования дифференциальных и интегральных уравнений[править | править код]

Дифференциальные уравнения — это, как правило, уравнения, содержащие в себе числовые функции и их производные. Таким образом, все преобразования, выполняемые над числовыми уравнениями, распространяются и на эти типы уравнений. Главное — помнить, что лучше проводить такие преобразования, в которых области допустимых значений входящих в уравнение функций не изменялись совсем. Отличительной особенностью дифференциальных уравнений от числовых является возможность их интегрирования (дифференцирования) по обе стороны от знака равенства.

Дифференциальные уравнения, так же как и числовые, решается аналитическим способом (символьное интегрирование) при поиске первообразной функции или численным — при вычислении определённого интеграла на каком-либо отрезке. Ниже приведены основные и наиболее часто используемые преобразования для нахождения аналитического решения.

Большинство типов дифференциальных уравнений можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными, общее решение которых уже известно^[25]. К числу таких преобразований можно отнести^[25]:

Линейные дифференциальные уравнения, как правило, решаются тремя методами^[25]:

Метод интегрирующего множителя;
Метод Лагранжа (вариационной постоянной);
Метод Бернулли.

Дифференциальные уравнения Бернулли также сводятся либо к линейным, либо к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен^[26].

Однородные дифференциальные уравнения второго и выше порядков решаются путём замены функции ${displaystyle y(x)=e^{kx}}$ и переходу таким способом к решению характеристического алгебраического уравнения от переменной степени, равной порядку исходного дифференциального уравнения.

Существуют типы дифференциальных уравнений высших порядков, порядок которых можно понизить заменой производной какого-либо порядка на другую функцию. Таким же образом они могут быть сведены к уравнениям с разделяющимися переменными.

Интегральные уравнения являются более сложными, чем дифференциальные, но в своих решениях, как и они, часто содержат интегральные преобразования:

Преобразование Фурье;
Преобразование Лапласа;
Преобразование Хартли;
Интегральное преобразование Абеля;
Идентичное преобразование;
и другие (см. Интегральные преобразования#Таблица преобразований).

Помимо дифференциальных и интегральных существует также смешанный тип — интегро-дифференциальные уравнения, основным направлением решения которых является их сведение к двум предыдущим типам уравнений различными методами.

Преобразования функциональных уравнений[править | править код]

Общего решения функциональных уравнений не существует, как и общих методов. Сами по себе функциональные уравнения являются свойствами своего решения — функции или типа функций. Например, решением функционального уравнения Абеля ${displaystyle alpha (f(x))=alpha (x)+1,{text{ }}f(x)=a^{x}}$ является функция ${displaystyle alpha (x)={text{slog}}_{a}x.}$ ^[27]

Численные методы решения уравнений[править | править код]

Данные методы представляют собой отдельную совокупность алгоритмов получения решения конкретного уравнения с заданной точностью. Основные отличия от аналитического решения:

Погрешность вычисления (при аналитическом способе иррациональные числа доступны в виде формул от рациональных, в связи с чем при желании могут быть вычислены с любой точностью для любых частных случаев);
Универсальность применения (одни и те же числовые методы могут быть применены к совсем разного типа уравнениям);
Возобновляемость процесса решения (для каждого конкретного случая одного вида уравнения метод необходимо применять заново и с самого начала, в отличие от аналитического решения, зная которое, для вычисления корней достаточно подставить нужные коэффициенты в уже известную, т.е. полученную раннее, формулу);
Необходимость использования дополнительного оборудования (таких, как калькуляторы и программные продукты; аналитические решения придумываются “из головы”, хотя существуют специальные сайты или устанавливаемое ПО, способные вывести формулы уже известных аналитических решений).

Метод бисекции (дихотомии)[править | править код]

Этот численный метод решения уравнения основан на противоположности знаков непрерывной функции около её нуля. Сам алгоритм довольно прост:

Берётся отрезок, на концах которого функция даёт противоположные по знаку значения;
Отрезок разбивается пополам, после чего значение функции в середине отрезка умножается на значения его концов: отрицательный результат приводит к сужению изначального отрезка от бывшей середины до того конца, в котором произведение было отрицательным;
Новый отрезок снова делим пополам и повторяем процедуру до тех пор, пока отрезок не достигнет заданной точности.

Пример: найдём положительный корень уравнения ${displaystyle 2^{x}=x^{2}+2.}$ Для этого перепишем уравнение в функцию: ${displaystyle f(x)=2^{x}-x^{2}-2.}$ Построив график этой функции легко убедиться, что искомое значение лежит в отрезке Найдём значения функции от концов этого отрезка и его середины: — как видно, произведение значений и даёт отрицательный результат, в отличие от Теперь отрезок, в котором лежит корень, сокращается: Повторим процедуру снова (при этом значения функции на концах уже известны из предыдущих расчётов): — теперь отрезок сокращается “в другую сторону”: Следующий цикл: — получаем новый отрезок: Цикл продолжается до требуемой точности, а затем, в качестве приближённого значения корня, выбирается тот конец отрезка, значения функции от которого наиболее близко к нулю. В нашем примере значение 4,44129 будет являться корнем исходного уравнения до пятого знака после запятой.

Метод хорд (секущих)[править | править код]

Итерационный численный метод нахождения корня уравнения с заданной точностью, в основе которого лежит постоянное приближение к корню через пересечения хорд с осью абсцисс. Здесь используется следующая формула:

${displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{dfrac {f(x_{i})cdot (x_{i}-x_{0})}{f(x_{i})-f(x_{0})}},}$ однако она имеет низкую скорость сходимости, поэтому вместо неё чаще используют алгоритм:

${displaystyle x_{i+1}=x_{i-1}-{dfrac {f(x_{i-1})cdot (x_{i}-x_{i-1})}{f(x_{i})-f(x_{i-1})}};}$ в различных источниках обе эти формулы называют по-разному — методом хорд и/или методом секущих.

Общий алгоритм использования метода в геометрическом смысле имеет вид:

Сперва необходимо удостовериться, что функция уравнения непрерывна, а на рассматриваемом интервале имеется лишь один корень и отсутствуют нули производной (иначе, вычисление может не сойтись совсем);
Затем выбрать две точки, принадлежащие графику функции (лежащие на нём), абсциссы которых входят в заданный интервал и значения функции в которых противоположны по знаку;
Обе эти точки соединяются, образуя хорду (секущую), вычисляется точка пересечения хорды с осью абсцисс;
Проводится перпендикуляр к оси абсцисс из точки пересечения к графику функции (проекция точки пересечения на график функции);
Полученная точка на графике функции с противоположным концом уже имеющейся хорды соединяются, образуя новую хорду, для которой также надо будет вычислить точку пересечения с осью абсцисс…и т.д.

Метод Ньютона[править | править код]

Основная идея метода Ньютона заключается в использовании итеративного приближения дифференцируемой функции по следующему алгоритму^[28]:

${displaystyle f'(x_{n})={text{tg}}alpha _{n}={frac {Delta y}{Delta x}}={frac {0-f(x_{n})}{x_{n+1}-x_{n}}}longrightarrow x_{n+1}=x_{n}-{frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$

Для начала нужно убедиться, что функция, приравненная к нулю в данном уравнении, удовлетворяет некоторым критериям, ограничениям и условиям применимости данного метода, затем — удостовериться, что рядом с обнаруженным неизвестным корнем нет других неизвестных корней (иначе, можно попросту “сбиться с толку”). Теперь следует выбрать значение переменной $x_{n}$ , близкое к корню (чем ближе, тем лучше), и подставить его в вышеописанную формулу. Дальше возможно два исхода:

Если полученное значение $x_{{n+1}}$ лежит в том же интервале, что и искомый корень, то его заново можно подставить в формулу: каждое следующее значение точнее предыдущего;
Если полученное значение $x_{{n+1}}$ не лежит в том же интервале, что и искомый корень, то необходимо заменять $x_{{n+1}}$ на ${displaystyle {frac {x_{n}+x_{n+1}}{2}}}$ до тех пор, пока новое значение не вернётся в интервал.

Итерационный процесс продолжается, пока полученное приближение искомого корня уравнения не достигнет требуемой точности.

Метод простой итерации[править | править код]

Обобщив метод хорд (секущих) и метод Ньютона можно прийти к выводу, что они оба являются разновидностью одного и того же алгоритма. Его можно описать следующим образом:

Уравнение приводится к виду: , — теперь можно записать итерационную формулу как ${displaystyle x_{i+1}=varphi (x_{i});}$
Функцию ${displaystyle varphi (x_{i})}$ необходимо выбирать в соответствии с условиями сходимости метода, обычно ${displaystyle varphi (x_{i})=x_{i}-lambda (x)f(x_{i}),}$ в качестве независимой можно выбрать константу ${displaystyle lambda _{0},}$ знак которой совпадает со знаком производной на отрезке, соединяющем истинный корень и первое значение $x_{0}.$

В частности, положив ${displaystyle lambda _{0}={frac {1}{f'(x_{0})}},}$ придём к алгоритму, называемому методом одной касательной; а при ${displaystyle lambda (x)={frac {1}{f'(x)}}}$ получится тот самый метод Ньютона.

Пример: найти приближение корня уравнения Для начала определим функцию и выразим через неё:

— теперь необходимо убедиться, соответствует ли полученная функция условию сходимости, —

но

Теперь остаётся выбрать значение для первой итерации, близкое к корню (чем ближе, тем быстрее сходимость метода). Пусть ${displaystyle x_{0}=-3,}$ тогда ${displaystyle varphi (-3)=x_{1}=0,25sin(-3)-pi approx -3,176872655604760.}$

Повторим процедуру уже для нового значения: ${displaystyle varphi (x_{1})=x_{2}approx 0,25sin(-3,176872655604760)-pi approx -3,132774482649750...}$

Пройдя таким образом 22 шага итерации, мы получим приближение ${displaystyle x_{22}approx -3,141592653589790,}$ для которого с точностью до пятнадцатого знака после запятой верно равенство: ${displaystyle x_{22}=-pi }$ . Проверка:

Обратим внимание, что скорость сходимости зависит также и от самой функции. Так, если вместо множителя мы поставим 0,5 , то при одинаковом изначальном значении $x_{0}$ и уровне погрешности количество шагов увеличится с 22 до 44.

Методы проверки решения[править | править код]

Проверка решения необходима для определения того или иного полученного решения истинным и/или посторонним. Уравнение является частным случаем задачи, поэтому на них распространяются аналогичные методы проверки, а именно^[29]:

Проверка алгоритма решения — это основной метод проверки хода решения, заключающийся в попутном обосновании логичности всех выполненных математических действий алгоритма (т.е. их непротиворечивости математическим теориям, в рамках которых решается уравнение).

Однако, выполнение проверки алгоритма возможно не всегда или не в полном объёме, к тому же при выполнении самой проверки также могут быть допущены ошибки, и полноту решения данный метод “не проверяет” почти никогда. В таких случаях используются иные методы, такие, например, как^[29]:

Подстановка корней в исходное уравнение заключается в проверке выполнения тождественного равенства уравнения при конкретном данном решении (однако, бесконечные множества решений таким способом проверить нельзя).
Проверка на соответствие ОДЗ не гарантирует правильность и полноту решения, но определяет их истинность и помогает избежать дополнительных решений (а значит, и проверок) при появлении посторонних корней.
Проверка решения на простые и/или предельные случаи выполняется над аналитическим решением, чтобы доказать его универсальность или наличие в нём ограничительных функций, т.е. найти область возможных решений данного конкретного вида уравнений.
Проверка на соответствие структуры решения структуре уравнения позволяет заранее определить дополнительные возможные решения уравнения исходя из свойств входящих в уравнение функций, таких как симметрия, чётность, возвратность и пр.
Решение альтернативным способом полезно, когда требуется проверить какой-либо алгоритм (аналитическое решение), благодаря этому методу открываются новые формулы, связи и взаимозависимости уже известных функций.

Методы отсеивания посторонних корней[править | править код]

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (2 января 2019)

Критерии наличия допустимых решений уравнений[править | править код]

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (2 января 2019)

Примечания[править | править код]

↑ Closed-form expression (англ.) // Wikipedia. — 2018-06-06.
↑ Кудряшова Т. Г. Методы решения математических задач. 5 класс. — М.: НФ «Вольное дело», 2008. — С. 132. — 208 с. — ISBN 978-5-90415-801-9, ББК 22.1я721, К-88.
↑ Бакланова Е. А. Решение текстовых задач различными способами // Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» : сайт. — 2012. Архивировано 27 октября 2020 года.
↑ Farrugia P. S., Mann R. B., Scott T. C. N-body Gravity and the Schrödinger Equation (англ.) // Class. Quantum Grav.. — 2007. — Vol. 24, no. 18. — P. 4647—4659. — doi:10.1088/0264-9381/24/18/006. Архивировано 6 апреля 2019 года.
↑ Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П., Ивлев Б. М., Шварцбурд С. И. Глава IV. Показательная и логарифмическая функции, пар. 10 — Показательная и логарифмическая функции, п. 40 — Понятие об обратной функции // Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / под ред. А. Н. Колмогорова. — 17-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — С. 246—247. — ISBN 978-5-09-019513-3.
↑ Мордкович А. Г., Семёнов П. В. Глава 4. Тригонометрические уравнения, пар. 23 — Методы решения тригонометрических уравнений, п. 2. — Метод разложения на множители // Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — 6-е изд. — М.: Мнемозина, 2009. — С. 191. — ISBN 978-5-346-01201-6. Архивная копия от 6 апреля 2019 на Wayback Machine
↑ Мордкович А. Г. Глава 4. Квадратные уравнения, п. 30 — Иррациональные уравнения // Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. — 12-е. — М.: Мнемозина, 2010. — С. 175. — ISBN 978-5-346-01427-0.
↑ Экспонента // Википедия. — 2017-12-21.
↑ Квадратичная функция // Большая школьная энциклопедия. — М.: «Русское энциклопедическое товарищество», 2004. — С. 118—119.
↑ Интеграл Римана // Википедия. — 2017-03-11.
↑ Дифференцируемая функция // Википедия. — 2018-05-20.
↑ Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Глава II. Функции, пар. 5 — Фукнции и их графики, п. 14 — График функции // Алгебра. 7 класс: учеб для общеобразоват. учреждений / под ред. С. А. Теляковского. — 18-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — С. 60. — ISBN 978-5-09-021255-7.
↑ ОДЗ – область допустимых значений, как найти ОДЗ. Дата обращения: 20 августа 2021. Архивировано 20 августа 2021 года.
↑ И. И. Жогин. О средних // Математическое просвещение : журнал / под ред. И. Н. Бронштейна, А. М. Лопшица, А. А. Ляпунова, А. И. Маркушевича, И. М. Яглома. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. — Вып. 6. — С. 217. Архивировано 22 ноября 2021 года.
↑ Joseph Gerver. The Differentiability of the Riemann Function at Certain Rational Multiples of π // American Journal of Mathematics. — 1970. — Т. 92, вып. 1. — С. 33—55. — doi:10.2307/2373496. Архивировано 23 июля 2018 года.
↑ Мордкович А. Г., Семёнов П. В. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств, пар. 27 — Общие методы решения уравнений // Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — М.: Мнемозина, 2007. — С. 211—218. — ISBN 5-346-729-6. Архивная копия от 12 апреля 2019 на Wayback Machine
↑ Савин А. П. Нуль // Энциклопедический словарь юного математика / сост. А. П. Савин. — М.: «Педагогика», 1989. — С. 219.
↑ Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II. ilib.mccme.ru. Дата обращения: 3 июня 2018. Архивировано из оригинала 18 сентября 2011 года.
↑ Суперкорень // Википедия. — 2018-05-31.
↑ R. Bruce King. Chapter 8. Beyond the Quintic Equation // Beyond the Quartic Equation Архивная копия от 22 июля 2014 на Wayback Machine. — Birkhäuser Boston, 2008. — С. 139—149. — 149 с. — (Modern Birkhäuser Classics). — ISBN 0817648364.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ Мордкович А. Г., Семёнов П. В. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств, пар. 26 — Равносильность уравнений // Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). — М.: Мнемозина, 2007. — С. 201—211. — ISBN 5-346-729-6. Архивная копия от 12 апреля 2019 на Wayback Machine
↑ ¹ ² Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999. Архивная копия от 16 октября 2013 на Wayback Machine
↑ Равенство третьему // Википедия. — 2017-02-21.
↑ Суперкорень // Википедия. — 2018-06-22.
↑ ¹ ² ³ Обыкновенное дифференциальное уравнение // Википедия. — 2018-05-27.
↑ Дифференциальное уравнение Бернулли // Википедия. — 2017-04-06.
↑ Суперлогарифм // Википедия. — 2018-07-06.
↑ Метод Ньютона // Википедия. — 2018-05-21.
↑ ¹ ² Худак Ю. И., Асланян А. Г. Проверка правильности задачи — важный этап обучения и воспитания школьника (ru, en) // Издательство ФГАОУ ВО «Российский университет дружбы народов» (РУДН) : сайт. — С. 25—30. Архивировано 28 июля 2018 года.

Литература[править | править код]

Маркушевич, Л. А. Уравнения и неравенства в заключительном повторении курса алгебры средней школы / Л. А. Маркушевич, Р. С. Черкасов. / Математика в школе. — 2004. — № 1.
Уравнение — статья из Большой советской энциклопедии.
Уравнения // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. — 2000. // Энциклопедия Кольера. — Открытое общество. 2000.
Уравнение // Энциклопедия Кругосвет
И. М. Виноградов. Уравнение // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

Источник

Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Натуральные числа и действия над ними
Уравнения

Уравнение – это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Например: + 5 = 10. Чтобы решить данное уравнение, требуется найти такое число, при подстановке которого в данное равенство вместо буквы (то есть найти значение переменной), числовое равенство будет верным. В нашем случае вместо необходимо подставить 5. Говорят, что число 5 – корень уравнения + 5 = 10.

Корень уравнения – это число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство.

Корень уравнения – это решение уравнения. Уравнение может иметь один и более корней или не иметь их вообще. Тогда говорят, что решить уравнение – значит найти все его корни или показать, что их нет вообще.

Для решения уравнений используют правило нахождения неизвестного:

1) слагаемого: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Решим уравнение + 125 = 200;

= 200 – 125;

= 75.

Ответ: = 75.
2) уменьшаемого: чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Решим уравнение – 24 = 36;

= 36 + 24;

= 60.

Ответ: = 60.
3) вычитаемого: чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Решим уравнение 135 – = 115;

= 135 – 115;

= 20.

Ответ: = 20.
4) множителя: чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Решим уравнение 6 = 42;

= 42 : 6;

= 7.

Ответ: = 7.
5) делимого: чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Решим уравнение : 12 = 5;

= 5 12;

= 60.

Ответ: = 60.
6) делителя: чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Решим уравнение 184 : = 46;

= 184 : 46;

= 4.

Ответ: = 4.

При решении уравнений проводится проверка решения, для этого найденный корень (или корни) подставляются в уравнение вместо переменной. Если числовое равенство получается верным, то решение найдено верно. При оформлении решения проверка записывается под чертой после решения, а затем пишется ответ, при этом каждое действие записывается на новой строке (т.е. одна строка один знак равенства).

Например, решим уравнение + 36 = 45 и проведем проверку:

+ 36 = 45;

= 45 – 36;

9 + 36 = 45;

45 = 45 – верно.

Ответ: = 9.

Советуем посмотреть:

Понятие о натуральном числе

Сложение натуральных чисел

Вычитание натуральных чисел

Умножение натуральных чисел

Деление натуральных чисел

Порядок выполнения действий

Степень числа. Квадрат и куб числа

Меньше или больше

Меньше или больше на сколько? во сколько раз?

Формулы

Натуральные числа и действия над ними

Правило встречается в следующих упражнениях:

5 класс

Задание 701,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 738,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 871,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1268,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1460,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1782,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Номер 595,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 628,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1001,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 98,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 791,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 812,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 873,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 964,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1159,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1310,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1493,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1513,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 8,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

7 класс

Номер 34,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 108,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 200,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 253,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 408,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 792,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 920,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1128,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1157,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 9,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 65,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 171,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 214,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 219,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 311,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 11,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 402,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 404,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 406,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 477,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Источник

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Определение 1

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t, r, m др., но чаще всего используются x, y, z. Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x=5, y=6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x+7=38, z−4=2, 8·t=4, 6:x=3.

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7·(x−1) =19, x+6·(x+6·(x−8))=3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x+2+4·x−2−x=10. Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x·(8+1)−7=8, 3−3=z+3 или 8·x−9=2·(x+17).

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Определение 2

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x+3=6·x+7 – это уравнение с переменной x, а 3·y−1+y=0 – уравнение с переменной y.

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Определение 3

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3,7·x+0,6=1 является уравнением с одной переменной x, а x−z=5 – уравнением с двумя переменными x и z. Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x2+(y−6)2+(z+0,6)2=26.

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Пример 1

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a+1=5 мы заменим букву числом 2, то равенство станет неверным, а если 4, то получится верное равенство 4+1=5.

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Определение 4

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Пример 2

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a+1=5. Согласно определению, корнем в данном случае будет 4, потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2+1=5.

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0·x=5. Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0.

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Пример 3

Так, в уравнении x−2=4 есть только один корень – шесть, в x2=9 два корня – три и минус три, в x·(x−1)·(x−2)=0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅. Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня -2, 1 и 5, то пишем -2, 1, 5 или {-2, 1, 5}.

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y, а корнями являются 2 и 7, то мы пишем y=2 и y=7. Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x1=3, x2=5. Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N, целых – Z, действительных – R. Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x∈Z, а если любое действительное от единицы до девяти, то y∈1, 9.

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Определение 5

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Пример 4

Допустим, у нас есть выражение x+y=7, которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4, то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как (3,4).

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Источник

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Основные понятия уравнения

Корень уравнения

Правила нахождения корней

Квадратные уравнения

Калькулятор квадратных корней

Аналитические методы решения уравнения[править | править код]

Метод подбора значения[править | править код]

Полный перебор[править | править код]

Метод обратной операции [инверсии][править | править код]

Графический метод[править | править код]

Метод оценки ОДЗ[править | править код]

Метод разложения на множители[править | править код]

Методы преобразований[править | править код]

Перенос слагаемых[править | править код]

Прибавление (вычитание) константы (выражения)[править | править код]

Умножение (деление) на ненулевую(ое) константу (выражение)[править | править код]

Замена выражений[править | править код]

Возведение в степень[править | править код]

Логарифмирование[править | править код]

Потенцирование[править | править код]

Тетрация с показателем 2[править | править код]

Суперпотенцирование[править | править код]

Специальные методы решения[править | править код]

Преобразования тригонометрических уравнений[править | править код]

Преобразования дифференциальных и интегральных уравнений[править | править код]

Преобразования функциональных уравнений[править | править код]

Численные методы решения уравнений[править | править код]

Метод бисекции (дихотомии)[править | править код]

Метод хорд (секущих)[править | править код]

Метод Ньютона[править | править код]

Метод простой итерации[править | править код]

Методы проверки решения[править | править код]

Методы отсеивания посторонних корней[править | править код]

Критерии наличия допустимых решений уравнений[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Советуем посмотреть:

Правило встречается в следующих упражнениях:

Понятие уравнения

Корень уравнения

Вам также может понравиться

Горловина не прилегает к шее как исправить

Террария как найти эссенцию тьмы в террарии

Как составить график проведения аттестации

Добавить комментарий Отменить ответ