Найти область определения логарифмической функции как решать

Содержание:

Логарифмической функцией называется функция, задаваемая формулой:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

где Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Теорема 7.

Областью определения логарифмической функции является множество Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всех положительных действительных чисел, а областью значений — множество Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всех действительных чисел.

Доказательство:

Пусть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Тогда выражение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, в соответствии с определением логарифма числа, имеет значение, если значение аргумента — положительное действительное число, т. е. областью определения логарифмической функции является множество Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всех положительных действительных чисел.

Любое действительное число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения может быть значением выражения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, так как уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеет корень при любом действительном Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Значит, областью значений логарифмической функции является множество Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всех действительных чисел.

Теорема 8.

Логарифмическая функция на множестве всех положительных действительных чисел является возрастающей при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и убывающей при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, а ее график проходит через точку (1; 0).

Доказательство:

Пусть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Если допустить, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то, с учетом возрастания показательной функции с большим единицы основанием (см. теорему 2 из параграфа 11 и следствие из нее), получим, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, или Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, что противоречит условию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Потому остается признать, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

ПустьЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то по доказанному Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. После перехода к основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получим, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, или Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то точка (1; 0) принадлежит графику логарифмической функции.

Из доказанной теоремы непосредственно получаем следующие утверждения.

Следствие 2.

Значения логарифмической функции с основанием, большим единицы, на промежутке (0; 1) отрицательны, а на промежутке Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения положительны.

Следствие 3.

Значения логарифмической функции с положительным и меньшим единицы основанием на промежутке (0; 1) положительны, а на промежутке Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения отрицательны.

Построим график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Для этого нанесем на координатную плоскость некоторые точки этого графика, составив предварительно таблицу значений функции.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Используя построенные точки и установленные свойства логарифмической функции, получим график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, который представлен на рисунке 167.

Для построения графика функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения учтем равенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и используем то, что график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получается из графика функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения симметричным отражением относительно оси абсцисс. Указанное преобразование проведено на рисунке 168.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Теорема 9.

График функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения симметричен графику функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Доказательство:

Пусть точка Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения принадлежит графику функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (рис. 169). Тогда ее координаты Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения удовлетворяют равенству Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Но тогда истинно и равенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. А это означает, что точка Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения принадлежит графику функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Так же доказывается, что если точка Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения принадлежит графику функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то точка Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения принадлежит графику функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Для завершения доказательства остается заметить, что точки Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения симметричны относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Теорема 10.

Если положительные основания Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмов Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения оба больше единицы или оба меньше ее и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Доказательство:

Сравним значения выражений Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пусть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, тогда, с учетом возрастания логарифмической функции с большим единицы основанием, получим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения или Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, и потому Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, или Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, и потому Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения или Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пусть теперь Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Поскольку логарифмическая функция с меньшим единицы основанием убывает, то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, или Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, и потому Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, а если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, и потому Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

В соответствии с теоремой 10 с увеличением основания Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения на промежутке (0; 1) располагается более высоко, а на промежутке Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — более низко.

График любой логарифмической функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения с основанием Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, большим единицы, похож на график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. На рисунке 170 представлены графики функций Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

График любой логарифмической функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения с положительным основанием Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, меньшим единицы, похож на график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. На рисунке 171 приведены графики функций Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм числа:

Определение:

Логарифмом положительного числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называется показатель степени, в которую необходимо возвести Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения чтобы получить Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Обозначение: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначение: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Примеры:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Определение:

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — иррациональное число, приближенное значение которого:Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения). Обозначение: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Основное логарифмическое тождество:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Примеры:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Свойства логарифмов и формулы логарифмирования: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм единицы no любому основанию равен нулю.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм степени положительного числа равен произведению показа теля степени на логарифм основания этой степени.

Формула перехода к логарифмам с другим основанием:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Следствия:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Логарифм числа

Если рассмотреть равенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то, зная любые два числа из этого равенства, мы можем найти третье:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Первые две операции, представленные в этой таблице (возведение в степень и извлечение корня Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения степени), нам уже известны, а с третьей — логарифмированием, то есть нахождением логарифма данного числа, мы ознакомимся в этом параграфе.

В общем виде операция логарифмирования позволяет из равенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения найти показатель степени Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Результат выполнения этой операции обозначается Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Таким образом, логарифмом положительного числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называется показатель степени, в которую необходимо возвести Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения чтобы получить Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Например:

  1. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения так как Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  2. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  3. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения потому что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Отметим, что при положительных Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всегда имеет единственное решение, поскольку функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения принимает все значения из промежутка Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является возрастающей, а при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — убывающей (рис. 15.1).

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

И так, каждое свое значение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения принимает только при одном значении Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Следовательно, для любых положительных чисел Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияуравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеет единственный корень Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не имеет корней, таким образом, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЬ < 0 значение выражения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не существует . Например, не существуют значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Отметим, что логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Например, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение и составляли очень подробные таблицы их значений, которые использовались в различных вычислениях. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль. В современной науке и технике широко используются логарифмы, основанием которых является особенное число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (такое же знаменитое, как и число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения). Число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, как и число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, — иррациональное, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называется натуральным логарифмом и обозначается Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Например, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Основное логарифмическое тождество

По определению логарифма, если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Подставляя в последнее равенство вместо Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения его значение, получаем равенство, которое называется основным логарифмическим тождеством:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Например: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Свойства логарифмов и формулы логарифмирования

Во всех приведенных ниже формулах Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

1) Из определения логарифма получаем, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

2) Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Чтобы получить формулу логарифма произведения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения обозначим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда по определению логарифма

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Перемножив почленно два последних равенства, имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаемЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Таким образом,

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

4) Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного — Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решениядостаточно разделить почленно равенства (1). Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаемЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом,

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

5) Чтобы получить формулу логарифма степени Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения обозначим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения По определению логарифма Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения ТогдаЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и по определению логарифма с учетом обозначения для Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеемЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом,

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Учитывая, что приЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по формуле (4) имеем: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Иными словами, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно воспользоваться формулой

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

(запоминать эту формулу не обязательно, при необходимости можно записывать корень из положительного числа как соответствующую степень).

Замечание. Иногда приходится находить логарифм произведения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и в том случае, когда оба числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения отрицательны Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения существует, но формулой (2) воспользоваться нельзя — она обоснована только для положительных значений Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения В случаеЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и теперь Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, для логарифма произведения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно воспользоваться формулой (2). Поэтому при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можем записать: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Отметим, что полученная формула справедлива и при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку в этом случаеЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Аналогично можно обобщить и формулы (3) и (4):

при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием ПустьЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда по определению логарифма Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияПрологарифмируем обе части последнего равенства по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияПолучим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Используя в левой части этого равенства формулу логарифма степени, имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Учитывая, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Таким образом, логарифм положительного числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по одному основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения равен логарифму этого же числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по новому основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, деленному на логарифм прежнего основания Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по новому основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

С помощью последней формулы можно получить следующие следствия. 1) Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Учитывая, чтоЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2) Аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулу логарифма степени, получаем (при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения)

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Записав полученную формулу справа налево, имеем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №1

Вычислите: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

1)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2) Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения так как Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Исходя из определения логарифма, необходимо подобрать такой показатель степени, чтобы при возведении основания логарифма в эту степень получить число, стоящее под знаком логарифма.

Пример №2

Запишите решение простейшего показательного уравнения: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

По определению логарифма:

1)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

3)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Для любых положительных чисел Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеет единственный корень. Показатель степени Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в которую необходимо возвести основание Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения чтобы получить Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, называется логарифмом Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияпоэтому Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №3

Выразите логарифм по основанию 3 выражения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. (где Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения) через логарифмы по основанию 3 чисел Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. (Коротко говорят так: «Прологарифмируйте данное выражение по основанию 3».)

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Сначала запишем выражения, стоящие в числителе и знаменателе данного выражения, как степени чисел и букв. Далее учтем, что логарифм частного Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияположительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя, а затем то, что логарифм произведения (Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения) равен сумме логарифмов множителей.

Пример №4

Известно, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Выразите Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Сначала представим число 700 как произведение степеней данных чисел 5 и 7 и основания логарифма 2, а далее используем свойства логарифмов и подставим в полученное выражение значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №5

Прологарифмируйте по основанию 10 выражение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Поскольку логарифмы существуют только для положительных чисел, то мы можем прологарифмировать данное выражение только в случае, когдаЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Из условия не следует, что в данном выражении значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения положительны. Поэтому будем пользоваться обобщенными формулами логарифмирования Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а также учтем, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую операцию называют потенцированием.

Пример №6

Найдите Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по его логарифму: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Пользуясь формулами логарифмирования справа налево, запишем правые части данных равенств в виде логарифма какого-либо выражения. Из полученного равенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (как будет показано, значение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, удовлетворяющее равенству (1), — единственное).

Пример №7

Вычислите значение выражения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Кроме того Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Тогда

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Итак, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Попытаемся привести показатель степени данного выражения к виду Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решениячтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Для этого перейдем в показателе степени к одному основанию логарифма — 5.

Логарифмическая функция

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

1. График логарифмической функции

Функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — взаимно обратные функции, поэтому их графики симметричны относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2. Свойства логарифмической функции

1. Область определения: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 2. Область значений: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 3. Функция ни четная, ни нечетная. 4. Точки пересечения с осями координат:

С осью Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, с осью Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

5. Промежутки возрастания и убывания:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает на всей области определения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывает на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Понятие логарифмической функции

Логарифмической функцией называется функция вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Покажем, что эта функция является обратной функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Действительно, показательная функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает на множестве Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, а при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — убывает на множестве Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Область значений функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — промежуток Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияобратима и имеет обратную функцию с областью определения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и областью значений Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Напомним, что для записи формулы обратной функции достаточно из равенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения выразить Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения через у и в полученной формуле Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения аргумент обозначить через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, а функцию — через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Тогда из уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по определению логарифма получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — формулу обратной функции, в которой аргумент обозначен через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, а функция — через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Изменяя обозначения на традиционные, имеем формулу Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — функции, обратной функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Как известно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно получить из графика функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения симметричным отображением его относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения На рис. 16.1 приведены графики логарифмических функций при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения График логарифмической функции называют логарифмической кривой.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Свойства логарифмической функции

Свойства логарифмической функции и другие свойства прочитаем из полученного графика функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и обоснуем, опираясь на свойства функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Поскольку область определения прямой функции является областью значений обратной, а область значений прямой функции — областью определения обратной, то, зная эти характеристики для функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем соответствующие характеристики для функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Функция:

1)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 2)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Область определения :

1)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 2)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Область значений:

1)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 2)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Обоснуем это, опираясь на свойства функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Например, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возьмем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения По основному логарифмическому тождеству можно записать: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда, учитывая, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является возрастающей, то из последнего неравенства получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения А это и означает, что при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает на всей области определения.

Аналогично можно обосновать, что при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывает на всей области определения. 6) Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияпересекает ось Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в точке Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то, учитывая возрастание функции при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и убывание при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем:

Значение функции:

1) Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 2)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Значение аргумента Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

1)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 2)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Значение аргумента Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

1)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 2)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №8

Найдите область определения функции: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

1)Область определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения задается неравенствомЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияОтсюдаЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решениято естьЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 2) Область определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения задается неравенством Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Это неравенство выполняется при всех действительных значениях Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 3) Область определения функцииЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения задается квадратным неравенством Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Решая его, получаемЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения или Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (см. рисунок), То есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, то для нахождения области определения данной функции необходимо найти те значения аргумента х, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, будет положительным.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №9

Изобразите схематически график функции: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Область определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения следовательно, график этой функции всегда расположен справа от оси Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Этот график пересекает ось Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в точке Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция возрастает, таким образом, графиком функции уЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента поднимаются. При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция убывает, таким образом, графиком функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются.

Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №10

Изобразите схематически график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Последовательно строим графики:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика данной функции с помощью геометрических преобразований. 1. Можно построить график функции уЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (основание логарифма Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — логарифмическая функция возрастает). 2. Затем можно построить график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (справа от оси Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения). 3. После этого можно построить график данной функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияпараллельным переносом графика функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решениявдоль оси Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения на 2 единицы.

Пример №11

Сравните положительные числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения зная, что: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

1) Поскольку функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастающая, то для положительных чиселЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения из неравенстваЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения c получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 2) Так как функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, то для положительных чисел Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения из неравенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

В каждом задании данные выражения — это значения логарифмической функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в точках Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Используем возрастание или убывание соответствующей функции: 1) при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастающая, и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента; 2) при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Пример №12

Сравните с единицей положительное число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения зная, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а из условия получаем, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (то естьЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения), то функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, поэтому Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

ЧислаЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — это два значения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Исходя из данного неравенства, выясняем, является эта функция возрастающей или убывающей, и учитываем, что она возрастает при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и убывает при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение логарифмических уравнений

1. Основные определения и соотношения

Определение:

Логарифмом положительного числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называется показатель степени, в которую необходимо возвести Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения чтобы получить Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

График функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2. Решение простейших логарифмических уравнений

Ориентир

Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — число (Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения), то

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

(используем определение логарифма)

Пример:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: 10

3. Использование уравнений-следствий

Ориентир:

Если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каж дое следующее верно, то гарантируем, что получаются уравнения- следствия. При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения.

Пример:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

По определению логарифма получаем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Проверка, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число);

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: 2

4. Равносильные преобразования логарифмических уравнений

Замена переменных

Ориентир:

Если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то соответствующее выражение с переменной удобно обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: 0,1; 1000.

Уравнение вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ориентир:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

(учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов)

Пример:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ); Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — корень (удовлетворяет условиям ОДЗ). Ответ: 3.

Равносильные преобразования уравнений в других случаях

Ориентир:

  • 1. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ)
  • 2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Пример:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — корень (удовлетворяет условиям ОДЗ); Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ). Ответ: 1.

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических уравнений

Простейшим логарифмическим уравнением обычно считают уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей области определения, то есть при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (см. графики в п. 1 табл. 23), и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Учитывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значения, уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всегда имеет единственный корень, который можно записать, исходя из определения логарифма:Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Если рассмотреть уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и выполнить замену переменной: f (х) = t, то получим простейшее логарифмическое уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеющее единственный корень Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Выполняя обратную замену, получаем, что решения уравнения (2) совпадают с корнями уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Следовательно, уравнения (2) и (3) равносильны. Таким образом, мы обосновали, что для равносильного преобразования простейшего логарифмического уравнения. (1) или уравнения (2) (которое мы также будем относить к простейшим при условии, что основание Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — число) достаточно применить определение логарифма. Если обозначить равносильность уравнений значком Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то коротко этот результат можно записать так:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Напомним, что все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения (2) ОДЗ задается условием Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Но для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически (потому что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения). Поэтому в явном виде ОДЗ для простейших логарифмических уравнений можно не записывать (поскольку оно учитывается автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)). Например, уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения равносильно уравнению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения корень которогоЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и является корнем данного уравнения. Аналогично записано и решение простейшего уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в табл. 23.

Использование уравнений-следствий при решении логарифмических уравнений

При решении уравнения главное — не потерять его корни, и поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался корнем следующего уравнения — в этом случае получаем уравнения-следствия. Напомним, что каждый корень данного уравнения обращает его в верное числовое равенство. Используя это определение, можно обосновать, что в случае, когда преобразования уравнений проводятся так: если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то мы получаем уравнения-следствия (поскольку каждый корень первого уравнения будет и корнем следующего уравнения). Хотя при использовании уравнений-следствий и не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составляющей решения при использовании уравнений-следствий.

Пример решения логарифмического уравнения с помощью уравнений- следствий и оформление такого решения приведены в п. 3.

Равносильные преобразования логарифмических уравнений

Одним из часто используемых способов равносильных преобразований уравнений является замена переменной.

Напомним общий ориентир, которого мы придерживались при решении уравнений из других разделов: если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то соответствующее выражение с переменной удобно обозначить одной буквой ( новой переменной).

Например, в уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения переменная входит только в виде Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поэтому для его решения целесобразно применить заменуЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получить квадратное уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеющее корниЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а затем выполнить обратную замену и получить простейшие логарифмические уравнения: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда, по определению логарифма, корнями данных уравнений являются Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Принимая во внимание то, что замена переменной (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием уравнения на любом множестве, для выполнения замены не обязательно находить ОДЗ данного уравнения. После выполнения обратной замены мы получили простейшие логарифмические уравнения, ОДЗ которых (как было показано выше) учитываются автоматически и могут также не записываться. Таким образом, в приведенном решении ОДЗ данного уравнения учтена автоматически, и поэтому в явном виде ОДЗ можно не записывать в решение. Именно так и оформлено решение этого уравнения в п. 4.

Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения вида

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Как уже отмечалось, все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ задается системой неравенств Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку логарифмическая функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает (при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения) или убывает (при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения) на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияУчитывая ОДЗ, получаем, что уравнение (4) равносильно системе

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Полученный результат символично зафиксирован в п. 4, а коротко его можно сформулировать так:

  • чтобы решить уравнение вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов.

Пример использования этого ориентира приведен в табл. 23.

Замечание 1.

Полученную систему (5)-(7) можно несколько упростить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения между собой равны, поэтому если одно из них будет положительным, то второе также будет положительным. Таким образом, уравнение (4) равносильно системе, состоящей из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (обычно выбирают простейшее из этих неравенств). Например, уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения рассмотренное в табл. 23, равносильно системе

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Но учитывая, что ограничения ОДЗ этого уравнения:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

мы не решали, а только проверяли, удовлетворяют ли найденные корни этим ограничениям, приведенное упрощение не дает существенного выигрыша при решении.

Замечание 2.

Как было обосновано выше, если выполняется равенство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Таким образом, уравнение (5) является следствием уравнения (4). Поэтому для нахождения корней уравнения (4): Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения достаточно найти корни уравнения-следствия (5): Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и выполнить проверку найденных корней подстановкой в данное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнения (4) будет учтено опосредствованно, в момент проверки полученных корней, и его не придется явно записывать.)

Выполняя равносильные преобразования логарифмических уравнений в более сложных случаях, можно придерживаться следующего ориентира (он следует из определения равносильных уравнений и обоснован в курсе 10 класса):

  • 1) Учитываем ОДЗ данного уравнения,
  • 2) Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Например, решим уравнение

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ОДЗ уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а затем, выполняя каждое преобразование уравнения, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Если ответ положителен, то выполненные преобразования равносильны. Если же какое-то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выполнить только в одном направлении (от исходного уравнения к следующему), а для его выполнения в обратном направлении необходимы какие-то дополнительные ограничения, то мы получим только уравнение-следствие, и полученные корни придется проверять подстановкой в исходное уравнение.

Применим этот план к решению уравнения (8).

Чтобы привести это уравнение к простейшему, перенесем все члены уравнения с логарифмами влево. Получим равносильное уравнение

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

(Равносильность уравнений (8) и (9) следует из известной теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному на любом множестве. Равносильность этих уравнений следует также из того, что мы можем не только перейти от равенства (8) к равенству (9), но и выполнить обратное преобразование, пользуясь свойствами числовых равенств.) Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнение

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На ОДЗ данного уравнения можно выполнить и обратное преобразование: поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Таким образом, от равенства (10) можно вернуться к равенству (9), то есть этот переход также приводит к равносильному уравнению. Уравнение (10) — это простейшее логарифмическое уравнение. Оно равносильно уравнению, которое получается по определению логарифма:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Поскольку все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ данного уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — корень, поскольку удовлетворяет условиям ОДЗ;

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетворяет условиям ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет только один корень Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Замечание:

Рассмотренное уравнение можно было решить и с использованием уравнений-следствий, не учитывая явно ОДЗ, но проверив полученные решения подстановкой их в исходное уравнение. Поэтому каждый имеет право выбирать способ решения: использовать уравнения- следствия или равносильные преобразования данного уравнения. Однако для многих уравнений проверку полученных корней выполнить достаточно непросто, а для неравенств вообще нельзя использовать следствия.

Это обусловлено тем, что не удается проверить все решения — их количество у неравенств, как правило, бесконечно. Таким образом, для неравенств приходится выполнять только равносильные преобразования (по ориентирам, аналогичным приведенным выше).

Пример №13

Решите уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Проверка.Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — посторонний корень (под знаком логарифма получаем 0), Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения— корень, поскольку имеем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: 14

Комментарий:

Решим данное уравнение с помощью уравнений-следствий. При использовании уравнений-следствий главное — гарантировать, что в случае, когда первое равенство верно, то и все последующие также будут верны. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения (1) на 2 (если равенство (1) верно, то и равенство (2) верно). Если равенства (1) и (2) верны (при значениях Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, которые являются корнями этих уравнений), то при таких значениях Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения существуют все записанные логарифмы. Тогда выраженияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — положительны. Следовательно, для положительных Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно воспользоваться формулами: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения таким образом, равенства (3) и (4) также верны.

Учитывая, что функцияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастающая, а значит, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, из равенства логарифмов (4) получаем равенство соответствующих аргументов (5). Если равенство (5) верно, то знаменатель дроби не равен нулю, и после умножения обеих его частей на Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем верное равенство (6) (а значит, и верное равенство (7)). Поскольку мы использовали уравнения-следствия, то в конце необходимо выполнить проверку.

Пример №14

Решите уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая ОДЗ, получаем, что х = 1 входит в ОДЗ, таким образом, является корнем; Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не входит в ОДЗ, следовательно, не является корнем данного уравнения. Ответ: 1.

Комментарий:

Решим данное уравнение с по мощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ОДЗ данного уравнения и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства. Заметим, что на ОДЗ выражение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому мы не имеем права применять к выражению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения формулу: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (это приведет к потере корня). Применение обобщенной формулы логарифмирования приведет к уравнению с модулем. Используем другой способ преобразований, учтя, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку на ОДЗ все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, то все преобразования от уравнения (1) к уравнению (2) равносильны. Выполнить равносильные преобразования уравнения (2) можно с использованием ориентира, приведенного на с. 213. Равносильность уравнений (2) и (3) можно обосновать также через возрастание функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

Пример №15

Решите уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Замена: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Получаем:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

(оба корня входят в ОДЗ). Ответ: 16; 64.

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку в уравнение входят логарифмы с разными основаниями, то приведем их к одному и тому же основанию (желательно числовому, иначе можно потерять корни уравнения). В данном случае приводим к основанию 4 по формуле Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения После приведения логарифмов к одному основанию переменная входит в уравнение только в одном виде Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Выполним заменуЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку по ограничениям ОДЗ Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда полученное дробное уравнение (1) равносильно квадратному уравнению (2). Поскольку замена и обратная замена являются равносильными преобразованиями на ОДЗ, то для полученных решений достаточно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Пример №16

Решите уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Замена: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Получаем:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Обратная замена дает

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: 0,1; 1000

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ и используем ориентир: если переменная входит и в основание, и в показатель степени, то для решения такого уравнения можно попытаться прологарифмировать обе его части (только если они положительны). В запись уравнения входит десятичный логарифм , поэтому прологарифмируем обе части по основанию 10 (на ОДЗ они обе положительны ). Поскольку функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастающая, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, если выполняется равенство (1), то выполняется и равенство (2), и наоборот: если выполняется равенство (2), то выполняется и равенство (1). Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильны на ОДЗ. При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения применение формулы Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является равносильным преобразованием, а значит, уравнения (2) и (3) также равносильны . Обоснование равносильности дальнейших преобразований полностью совпадает с аналогичным обоснованием в предыдущей задаче.

Пример №17

Решите уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Замена: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Получаем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Обратная замена дает

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения— корней нет. Ответ: 2.

Комментарий:

Если сначала рассмотреть данное уравнение как простейшее логарифмическое, то по определению логарифма оно равносильно уравнению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Как уже отмечалось (с. 211), ОДЗ данного уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения для всех корней уравнения (1) учитывается автоматически, поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всегда. После этого уравнение (1) решается по схеме решения показательных уравнений (табл. 19, с. 178). Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поэтому уравнение (2) равносильно уравнению (3).

Пример №18

Решите систему уравнений Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

По определению логарифма имеем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Из второго уравнения последней системы получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияи подставляем в первое уравнение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Проверка Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — решение данной системы.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — постороннее решение

(под знаком логарифма получаем отрицательные числа). Ответ: (1; 4).

Комментарий:

Как и логарифмические уравнения, системы логарифмических уравнений можно решать как с помощью систем-следствий (каждое решение первой системы является решением второй), так и с помощью равносильных преобразований систем (все решения каждой из них являются решениями другой).

Кроме того, при решении логарифмических систем можно применить те же способы, что и при решении других видов систем (способ алгебраического сложения, подстановка некоторого выражения из одного уравнения в другое, замена переменных).

Решим данную систему с помощью систем-следствий. Для этого достаточно гарантировать, что если данная система состоит из верных равенств, каждая следующая система также будет содержать верные равенства. Как и для уравнений, при использовании систем-следствий необходимо выполнить проверку полученных решений подстановкой в исходную систему.

Замечание. Данную систему можно было решить и с помощью равносильных преобразований систем. При этом пришлось бы учесть ОДЗ данной системы Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияследить за равносильностью выполненных у – х > 0 , преобразований (в данном случае все написанные преобразования являются равносильными на ОДЗ), а в конце проверить, удовлетворяют ли полученные решения условиям ОДЗ (пара чисел Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения удовлетворяет условиям ОДЗ, а пара Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияне удовлетворяет условиям ОДЗ).

Пример №19

Решите систему уравнений Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Тогда из первого уравнения имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Замена Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решениядает уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Обратная замена дает Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда из второго уравнения системы имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (не принадлежит ОДЗ), Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (принадлежит ОДЗ). Таким образом, решение данной системы

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: (5; 5).

Комментарий:

Решим данную систему с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ее ОДЗ Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и гарантировать, что на каждом шагу были выполнены именно равносильные преобразования уравнения или всей системы. В первом уравнении системы все логарифмы приведем к одному основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (на ОДЗ Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На ОДЗ Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения следовательно, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда после замены Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и поэтому переход в решении от дробного уравнения к квадратному является равносильным. Поскольку замена (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием, то, заменяя первое уравнение системы равносильным ему (на ОДЗ) уравнением Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем систему, равносильную данной (на ее ОДЗ).

Решение логарифмических неравенств

1. График функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2. Равносильные преобразования простейших логарифмических неравенств

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Знак неравенства не меняется, и учитывается ОДЗ.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Знак неравенства меняется, и учитывается ОДЗ.

Примеры:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастающая, тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая ОДЗ, имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая ОДЗ, имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

3. Решение более сложных логарифмических неравенств

Ориентир:

I. С помощью равносильных преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вида.

Схема равносильных преобразований неравенства:

  • 1. Учитываем ОДЗ данного неравенства (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ).
  • 2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было вы полнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

II. Применяется метод интервалов (данное неравенство приводится к неравенству Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения) и используется схема:

Пример №20

1)Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенствам: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Замена Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то естьЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Решение этого неравенства

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Обратная замена дает

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая, что функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастающая, получаем:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

С учетом ОДЗ имеем:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №21

2) Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Обозначим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

1. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2. Нули функции: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (полученному по определению логарифма). То есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияВ ОДЗ входит только Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Итак, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеет единственный нуль функцииЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения 3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических неравенств

Простейшими логарифмическими неравенствами обычно считают неравенства вида

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Для решения такого неравенства можно применять равносильные преобразования. Для этого необходимо учесть его ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

и рассмотреть два случая: основание логарифма больше 1 и основание меньше 1 (но больше 0).

I. При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает на всей своей области определения (при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения), поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Таким образом, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента (в данном случае переходя к выражениям, стоящим под знаком логарифма), мы должны оставить тот же знак неравенства, то есть

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (большему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что на ОДЗ неравенство (1) равносильно неравенству (2). Коротко это можно записать так:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

II. При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывает на всей области определения (при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения), поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента, мы должны знак неравенства изменить на противоположный, то есть

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (меньшему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения неравенство (1) на его ОДЗ равносильно неравенству (5). Коротко это можно записать так:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Суммируя полученные результаты, отметим, что для решения неравенства вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения с помощью равносильных преобразований необходимо учесть его ОДЗ, а при переходе от значений функции к значениям аргумент а (выражениям, стоящим под знаком логарифма) — значение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения: при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения знак неравенства не меняется, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения знак неравенства меняется на противоположный

Примеры использования этих ориентиров приведены в табл. 24. Замечание. Системы неравенств, полученные для случаев I и II, можно несколько упростить. Например, если в системе выполняются неравенство (2): Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и неравенство (4): Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то из этих неравенств следует, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияСледовательно, неравенство (3) этой системы выполняется автоматически, когда выполняются неравенства (2) и (4), и его можно не записывать в эту систему (см. п. 2 табл. 24). Аналогично обосновывается, что в случае II неравенство (4) в системе является следствием неравенств (3) и (5), и его также можно не записывать в систему. Например, решим неравенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

(ОДЗ данного неравенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения учтено автоматически, поскольку, если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то выполняется и неравенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения) Решаем неравенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения отсюда (см. рисунок) Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения или Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — решение данного неравенства (его можно записать и так:Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение более сложных логарифмических неравенств выполняется или с помощью равносильных преобразований данного неравенства (и приведения его к известному виду неравенств), или с помощью метода интервалов

Схема равносильных преобразований логарифмических неравенств полностью аналогична схеме равносильных преобразований логарифмических уравнений:

  1. учитываем ОДЗ данного неравенства;
  2. следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

В этом случае на ОДЗ каждое решение данного неравенства будет решением второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства будет решением первого, то есть эти неравенства равносильны (на ОДЗ). Примеры решения логарифмических неравенств с помощью равносильных преобразований и методом интервалов и оформления такого решения приведены в табл. 24. Рассмотрим еще несколько примеров.

Примеры решения задач:

Пример №22

Решите неравенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Решим данное неравенство с помощью равносильных преобразований. Как и для уравнений, для этого достаточно учесть ОДЗ данного неравенства и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства. Поскольку на ОДЗ выражения, стоящие под знаком логарифмов, положительны, то формулу Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения для положительных Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях. Таким образом, выполняя преобразование неравенства по этой формуле, получим неравенство, равносильное данному (на его ОДЗ). Чтобы применить свойства логарифмической функции, запишем число (-1 ) как значение логарифмической функции: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (разумеется, эту формулу можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях) и учтем, чтоЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, поэтому

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Последнее неравенство имеет решения:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (см. рисунок).

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Учитывая ОДЗ, получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №23

Решите неравенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая ОДЗ данного неравенства и то, что функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, получаем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

то есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Так как функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастающая, получаем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Это неравенство равносильно системе Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

которая равносильна системе Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решаем неравенства (4) и (5) методом интервалов и находим их общее решение (см. рисунок)

Для неравенства (4) ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

нуль функцииЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Для неравенства (5) ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

нуль функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

ОДЗ данного неравенства задается системой

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

При выполнении равносильных преобразований главное — учесть ОДЗ в ходе решения. При переходе от неравенства (1) к неравенству (2) в записи последнего остается выражение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения для которого ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Следовательно, при таком переходе ограничение (7) будет неявно учтено, поэтому достаточно учесть только ограничение (6) (что и сделано в левой части неравенства (2)). Чтобы применить свойства соответствующих логарифмических функций, записываем сначала Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (и учитываем, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияа затем — Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

При переходе от неравенства (2) к неравенству (3) получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения таким образом, и в этом случае не равенство (7) учтено автоматически. Для нахождения общих решений неравенств (4) и (5) удобно их решения методом интервалов разместить одно над другим так, чтобы одинаково обозначенные точки находились одна над другой. Тогда из приведенного рисунка легко увидеть общее решение системы неравенств.

Определение логарифмической функции

Если величины Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения связаны уравнением Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называют логарифмической функцией от Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Возьмем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и будем придавать независимому переменному Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения значения, равные целым положительным числам. Составим для значений Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения таблицу:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Заметим, что в этой таблице значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения растут в геометрической прогрессии, в то время как значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения растут в арифметической прогрессии. Это будет иметь место во всех случаях, когда а больше единицы. Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения давать значения, образующие убывающую геометрическую прогрессию с положительными членами, то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения будет принимать значения убывающей арифметической прогрессии, как это видно из таблицы:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Напомним, что отрицательные числа и нуль не имеют логарифмов, точнее, они не имеют действительных логарифмов.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеет вид, указанный на рис. 33 (Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения).

Логарифм числа. Исследование

1)Запишите вместо х такие числа, чтобы равенства были верными.

а) 2х = 16 б) 3х = 9 в) 4х = 64

2)При каких значениях аргумента функция у = 2х получает значение равное 6? Является ли это значение х единственным?

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

3)Между какими двумя целыми числами находятся значения х удовлетворяющие равенствам? а) 2х = 24 б) 3х = 18 в) 4 х = 56

Что такое логарифм

Логарифмом по основанию а числа b, называется такое число, что

при возведении числа а в эту степень получится число b .

Это записывается так Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Здесь, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения число а и b  положительные действительные числа. Запись Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является логарифмической записью равенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и наоборот запись

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является экспоненциальной записью для равенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

То есть записи Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения эквивалентны.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Равенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называется основным логарифмическим тождеством.

Пример №24

Заменим логарифмическую запись экспоненциальности.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

логарифмическая запись: экспоненциальная запись:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №25

Найдём значение логарифмического выражения.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм чисел по основанию 10 и е соответственно обозначаются как Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом, по основанию е – натуральным логарифмом.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

При вычислении логарифмов можно пользоваться калькулятором. Например, виртуальным калькулятором по адресу http://web2.0calc.com

Исследование. Постройте в тетради таблицу значений и график функций Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения обратной ей функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения . Запишите своё мнение о полученных функциях.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция

Для каждого значения области определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения соответствует единственное значение из области значений, т.е. для функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения существует обратная функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Значит, если график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения отразить симметрично относительно прямой у = х, то получим график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

1)Область определения логарифмической функции все

положительные числа: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2)Множество значений логарифмической функции множество всех действительных чисел: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

3)При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция является возрастающей, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающей.

4)График функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения пересекает ось абсцисс в точке (1; 0). В качестве примера для Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения на рисунке даны графики Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Постройте графики в тетради.

Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция принимает отрицательные значения, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения принимает положительные значения.

В качестве примера для Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения на рисунке даны графики функций у = log_i_ х, у Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Постройте графики в тетради.Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, то при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция принимает положительные значения, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения принимает отрицательные значения. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая шкала и решение задач

В химии: Показатель рН-мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность. Для вычисления уровня рН в растворах используется формулаЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Здесь, Н+ концентрация ионов в мол/л. Из формулы следует, что при увеличении показателя рН па 1 единицу, концентрация ионов в растворе увеличивается в 10 раз. По шкале рН значения показателя рН изменяются от 0 до 14. Если рН равно 7, то раствор считается нейтральным, меньше 7 – кислым, больше 7 – щелочным.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

В физике: Громкость звука измеряется в децибелах и вычисляется по формуле Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Здесь I – интенсивность звука (ватт/м2), I0 – наименьшая интенсивность звука, которую различает человеческое ухо (принято 10-12 ватт/м2). Человеческое ухо может различать звуки в очень большом диапазоне от 0 dB (тишина) до 180 dB.

Землетрясение. В 1935 году американский сейсмолог Чарлз Рихтер вывел формулу Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и создал логарифмическую шкалу определения силы землетрясения (она называется шкалой Рихтера). Здесь М -сила землетрясения (в баллах), А – максимальная амплитуда волны (в микронах), зарегистрированная на сейсмографе, Ао– амплитуда (принято 1 микрон (10 -6 м)) самой маленькой сейсмической волны зарегистрированной сейсмографом (её называют “нулём землетрясения”). Формулу Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно записать иначе, как Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Таким образом, по шкале Рихтера, амплитуда сейсмической волны в 4 балла в 10 раз больше амплитуды сейсмической волны в 3 балла.

Биология. Биологи по длине Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения следа слона, могут, приблизительно, определить его возраст ( а). Для этого они используют формулу Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения .

Свойства логарифмов

  • произведение степеней: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  • отношение степеней: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  • возведение степени в степень: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

1. Логарифм произведения: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Здесь Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, х и у – положительные действительные числа.

2. Логарифм частного: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов. Здесь Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, х и у – положительные действительные числа.

3. Логарифм степени: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм степени числа равен произведению степени и логарифма этого числа. ЗдесьЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения, х – положительное действительное число.

Свойство 1. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Доказательство свойства 1:

Обозначим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Свойство 2. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Доказательство свойства 2:

Обозначим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Свойство 3. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Доказательство свойства 3:

Обозначим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Используя свойства логарифмов, запишите данные выражения через логарифмы положительных чисел х, у и z.

Пример:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Используя свойства логарифмов запишите в виде логарифма какого-либо числа вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения.

Пример:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Запишите в виде логарифма следующие выражения, зная, что переменные могут принимать только положительные значения.

Пример:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Переход к новому основанию:

По основному логарифмическому тождеству и свойству степени логарифма имеем: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Отсюда:Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

В частном случае при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На многих калькуляторах существуют кнопки для вычисления только десятичного логарифма (lg) и натурального логарифма (In). Поэтому, возникает необходимость представлять логарифмы в виде десятичных и натуральных логарифмов.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример:

Запишите в виде : а) десятичного; б) натурального логарифма и вычислите.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм числа и его свойства

Логарифм числа:

Логарифмом положительного числа b по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называется показатель степени, в которую необходимо возвести а, чтобы получить b. Обозначение: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решениятак как Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначение: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — иррациональное число, приближенное значение которого: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Обозначение: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2. Основное логарифмическое тождество

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

3. Свойства логарифмов и формулы логарифмирования Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Следствия

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Логарифм числа в высшей математике

Если рассмотреть равенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то, зная любые два числа из этого равенства, мы можем найти третье:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Первые две операции, представленные в этой таблице (возведение в степень и извлечение корня Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения степени), нам уже известны, а с третьей — логарифмированием, то есть нахождением логарифма данного числа — мы познакомимся в этом параграфе.

В общем виде операция логарифмирования позволяет из равенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (где Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения найти показатель Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Результат выполнения этой операции обозначается Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, логарифмом положительного числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называется показатель степени, в которую необходимо возвести Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения чтобы получить Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2) Например: 1) Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

3) Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Отметим, что при положительных Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всегда имеет единственное решение, поскольку функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения принимает все значения из промежутка Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является возрастающей, а при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — убывающей (рис. 126).

Итак, каждое свое значение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения принимает только при одном значении Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Следовательно, для любых положительных чисел Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеет единственный корень Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не имеет корней, таким образом, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения значение выражения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не существует.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Например, не существуют значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Отметим, что логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Например, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение и составляли очень подробные таблицы их значений, которые использовались в разных вычислениях. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль. В современной науке и технике широко используются логарифмы, основанием которых является особенное число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (такое же знаменитое, как и число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения как и число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения— иррациональное, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифм по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называется натуральным логарифмом и обозначается Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Например, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Основное логарифмическое тождество

По определению логарифма, если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Подставляя в последнее равенство вместо Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения его значение, получаем равенство, которое называется основным логарифмическим тождеством:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения где Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Например: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Свойства логарифмов и формулы логарифмирования

Во всех приведенных ниже формулах Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

1) Из определения логарифма получаем, что

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

2) Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

3) Чтобы получить формулу логарифма произведения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения обозначим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда по определению логарифма

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Перемножив почленно два последних равенства, имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом,

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

4) Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения достаточно разделить почленно равенства (1). Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

5) Чтобы получить формулу логарифма степени Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения обозначим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения По определению логарифма Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и по определению логарифма с учетом обозначения для Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Учитывая, что при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по формуле (4) имеем: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения To есть при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно пользоваться формулой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (можно не запоминать эту формулу, а каждый раз записывать корень из положительного числа как соответствующую степень).

Замечание. Иногда приходится находить логарифм произведения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и в том случае, когда числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения оба отрицательные Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения существует, но формулой (2) воспользоваться нельзя — она обоснована только для положительных значений Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения В случае Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и теперь Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Таким образом, для логарифма произведения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно воспользоваться формулой (2). Поэтому при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можем записать: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Отметим, что полученная формула справедлива и при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку в этом случае Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Аналогично можно обобщить и формулы (3) и (4):

при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Формула перехода к логарифмам с другим основанием

Пусть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда по определению логарифма Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Прологарифмируем обе части последнего равенства по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Получим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Используя в левой части этого равенства формулу логарифма степени, имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Учитывая, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения где Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Таким образом, логарифм положительного числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияпо одному основанию а равен логарифму этого же числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по новому основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения деленному на логарифм прежнего основания а по новому основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

С помощью последней формулы можно получить следующие следствия.

  1. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Учитывая, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решениягде Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  2. Аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулу логарифма степени, получаем (при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Записав полученную формулу справа налево, имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения где Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №26

Вычислите: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

1) Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2) Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения так как

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Учитывая определение логарифма, необходимо подобрать такой показатель степени, чтобы при возведении основания логарифма в эту степень получить число, стоящее под знаком логарифма.

Пример №27

Запишите решение простейшего показательного уравнения: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Для любых положительных чисел Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеет единственный корень. Показатель степени Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в которую необходимо возвести основание Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения чтобы получить Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называется логарифмом Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поэтому Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

По определению логарифма:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №28

Выразите логарифм по основанию 3 выражения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (где Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

через логарифмы по основанию 3 чисел Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (Коротко говорят так «Прологарифмируйте заданное выражение по основанию 3».)

Комментарий:

Сначала запишем выражения, стоящие в числителе и знаменателе данного выражения, как степени чисел и букв. Далее учтем, что логарифм частного Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения положительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя, а затем то, что логарифм произведения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения равен сумме логарифмов множителей.

После этого учтем, что каждый из логарифмов степеней Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени, а также то, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №29

Известно, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Выразите Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий Сначала представим число 700 как произведение степеней данных чисел 5 и 7 и основания логарифма 2, а далее используем свойства логарифмов и подставим в полученное выражение значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №30

Прологарифмируйте по основанию 10 выражение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Поскольку логарифмы существуют только для положительных чисел, то мы можем прологарифмировать данное выражение только в случае когда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияИз условия не следует, что в данном выражении значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения с положительны. Поэтому будем пользоваться обобщенными формулами логарифмирования Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а также учтем, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую операцию называют потенцированием.

Пример №31

Найдите х по его логарифму:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Пользуясь формулами логарифмирования справа налево, запишем правые части данных равенств в виде логарифма какого-то выражения.

Из полученного равенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (значение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения удовлетворяющее равенству (1), — единственное).

Пример №32

Вычислите значение выражения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Попытаемся привести показатель степени данного выражения к виду Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения чтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Для этого перейдем в показателе степени к одному основанию логарифма (к основанию 5).

Решение:

Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Кроме того,

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Итак Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, ee свойства и график

Определение. Логарифмической функцией называется функция вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

График логарифмической функции:

Функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — взаимно обратные функции, поэтому их графики симметричны относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2. Область значений: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

3. Функция ни четная, ни нечетная.

4. Точки пересечения с осями координат: с осью Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения с осью Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

5. Промежутки возрастания и убывания:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения на всей области определения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывает при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Понятие логарифмической функции и ее график

Логарифмической функцией называется функция вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Покажем, что эта функция является обратной к функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Действительно, показательная функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает на множестве Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — убывает на множестве Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения. Область значений функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения— промежуток Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения обратима (с. 141) и имеет обратную функцию с областью определения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и областью значений Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Напомним, что для записи формулы обратной функции достаточно из равенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения выразить Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и в полученной формуле Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения аргумент обозначить через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а функцию — через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда из уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения по определению логарифма получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — формулу обратной функции, в которой аргумент обозначен через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а функция — через Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Изменяя обозначения на традиционные, имеем формулу Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — функции, обратной к функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Как известно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно получить из графика функции у = ах симметричным отображением относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения На рисунке 127 приведены графики логарифмических функций при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения График логарифмической функции называют логарифмической кривой.

Свойства логарифмической функции

Свойства логарифмической функции, указанные в пункте 8 таблицы 54. Другие свойства функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения прочитаем из полученного графика этой функции или обоснуем, опираясь на свойства функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Поскольку область определения прямой функции является областью значений обратной, а область значений прямой функции — областью определения обратной, то, зная эти характеристики для функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем соответствующие характеристики для функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

  1. Областью определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является множество Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всех положительных чисел Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  2. Областью значений функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является множество Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всех действительных чисел (тогда функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений).
  3. Функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не может быть ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0.
  4. График функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не пересекает ось Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку на оси Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а это значение не принадлежит области определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияГрафик функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения пересекает ось Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в точке Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения при всех значениях Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  5. Из графиков функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения приведенных на рисунке 127, видно, что прu Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает на всей области определения, а при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — убывает на всей области определения. Это свойство можно обосновать, опираясь не на вид графика, а только на свойства функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Например, при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возьмем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения По основному логарифмическому тождеству можно записать: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда, учитывая, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является возрастающей, то из последнего неравенства получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения А это и означает, что при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает на всей области определения. Аналогично можно обосновать, что при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывает на всей области определения.
  6. Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения пересекает ось Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в точке Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то, учитывая возрастание функции при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и убывание при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №33

Найдите область определения функции:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

  1. Область определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения задается неравенством Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Отсюда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения То есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  2. Область определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения задается неравенством Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Это неравенство выполняется при всех действительных значениях Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Таким образом, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  3. Область определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения задается неравенством Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Решая это квадратное неравенство, получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения или Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения(см. рисунок).

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

То есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, то для нахождения области определения заданной функции необходимо найти те значения аргумента Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, будет положительным.

Пример №34

Изобразите схематически график функции:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Область определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения следовательно, график этой функции всегда расположен справа от оси Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Этот график пересекает ось Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в точке Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция возрастает, таким образом, графиком функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента поднимаются.

При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция убывает, таким образом, графиком функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются.

Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №35

Изобразите схематически график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Последовательно строим графики:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика данной функции с помощью геометрических преобразований.

Пример №36

Сравните положительные числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения зная, что: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Комментарий:

В каждом задании данные выражения — это значения логарифмической функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в точках Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Используем возрастание или убывание соответствующей функции:

Пример №37

Сравните с единицей положительное число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения зная, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а из условия получаем, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (то есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, поэтому Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Числа Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — это два значения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Исходя из данного неравенства, выясняем, является эта функция возрастающей или убывающей, и учитываем, что она возрастает при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и убывает при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Решение логарифмических уравнении и неравенств

Основные определения и соотношения:

Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называется показатель степени, в которую необходимо возвести Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения чтобы получить Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

График функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения – возрастает

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения– убывает

Решение простейших логарифмических уравнений:

Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — число Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (используем определение логарифма)

Пример №38

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: 10.

Если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то гарантируем, что получаем уравнения следствия. При использовании уравнений”следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление по” сторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения.

Пример №39

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

По определению логарифма получаем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Проверка. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число);

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — корень Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: 2.

Равносильные преобразования логарифмических уравнений:

Если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример №40

Замена переменных:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Замена:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Следовательно, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №41

Уравнение вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

(учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов)

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ);

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — корень (удовлетворяет условиям ОДЗ).

Ответ: 3.

1. Учитываем ОДЗ данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ);

2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и обратном направлениях с сохранением верного равенства

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — корень (удовлетворяет условиям ОДЗ);

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ).

Ответ:1.

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических уравнений

Простейшим логарифмическим уравнением обычно считают уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей области определения, то есть при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (см. графики в пункте 1 табл. 55), и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Учитывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значения, уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всегда имеет единственный корень, который можно записать, исходя из определения логарифма: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Если рассмотреть уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и выполнить замену переменной: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то получим простейшее логарифмическое уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеющее единственный корень Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Выполняя обратную замену, получаем, что решения уравнения (2) совпадают с корнями уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Следовательно, уравнения (2) и (3) — равносильны. Таким образом, мы обосновали, что для равносильного преобразования простейшего логарифмического уравнения (1) или уравнения (2) (которое мы также будем относить к простейшим при условии, что основание Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — число) достаточно применить определение логарифма. Если обозначить равносильность уравнений значком Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то коротко этот результат можно записать так:

  • Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Напомним, что все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения (2) ОДЗ задается условием Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Но для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически (потому что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поэтому в явном виде ОДЗ для простейших логарифмических уравнений можно не записывать (поскольку оно учитывается автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)).

Например, уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения равносильно уравнению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения корень которого Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и является корнем заданного уравнения.

Аналогично записано и решение простейшего уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в таблице 55.

Использование уравнений-следствий при решении логарифмических уравнений

При решении уравнения главное — не потерять его корни, и поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался корнем следующего уравнения — в этом случае получаем уравнения-следствия. Напомним, что каждый корень заданного уравнения обращает его в верное числовое равенство. Используя это определение, можно обосновать, что в случае, когда преобразования уравнений проводятся так: если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то мы получаем уравнения-следствия (поскольку каждый корень первого уравнения будет и корнем следующего уравнения). Напомним, что хотя при использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения при использовании уравнений-следствий.

Пример решения логарифмического уравнения с помощью уравнений-следствий и оформление такого решения приведены в пункте 3 таблицы 55.

Равносильные преобразования логарифмических уравнений

Одним из часто используемых способов равносильных преобразований уравнений является замена переменной.

Напомним общий ориентир, которого мы придерживались при решении уравнений из других разделов: если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Например, в уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения переменная входит только в виде Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поэтому для его решения целесобразно применить замену Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получить квадратное уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеющее корни Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а затем выполнить обратную замену и получить простейшие логарифмические уравнения: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда, по определению логарифма, корнями данных уравнений являются Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Принимая во внимание то, что замена переменной (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием уравнения на любом множестве, для выполнения замены не обязательно находить ОДЗ данного уравнения. После выполнения обратной замены мы получили простейшие логарифмические уравнения, ОДЗ которых (как было показано выше) учитываются автоматически и могут также не записываться. Таким образом, в приведенном решении ОДЗ данного уравнения учтена автоматически, и поэтому в явном виде ОДЗ можно не записывать в решение. Именно так и оформлено решение этого уравнения в пункте 4 таблицы 55.

Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения видаЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Как уже говорилось, все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ задается системой неравенств Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку логарифмическая функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает (при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения или убывает (при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Учитывая ОДЗ, получаем, что уравнение (4) равносильно системе Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Символично полученный результат зафиксирован в пункте 4 таблицы 55, а коротко его можно сформулировать так:

  • чтобы решить уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов.

Пример использования этого ориентира приведен в таблице 55.

Замечание 1. Полученную систему (5)-(7) можно несколько упростить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения между собой равны, поэтому, если одно из этих значений будет положительным, то второе также будет положительным. Таким образом, уравнение (4) равносильно системе, состоящей из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (обычно выбирают простейшее из этих неравенств).

Например, уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения рассмотренное в таблице 55, равносильно системе Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Но, учитывая, что ограничения ОДЗ этого уравнения: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения мы не решали, а только проверяли, удовлетворяют ли найденные корни этим ограничениям, то приведенное упрощение не дает существенного выигрыша при решении этого уравнения.

Замечание 2. Как было обосновано выше, если выполняется равенство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Таким образом, уравнение (5) является следствием уравнения (4), и поэтому для нахождения корней уравнения (4): Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения достаточно найти корни уравнения-следствия (5): Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и выполнить проверку найденных корней подстановкой в данное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнения (4) будет учтено опосредствованно, в момент проверки полученных корней, и его не придется явно записывать.)

Выполняя равносильные преобразования логарифмических уравнений в более сложных случаях, можно придерживаться следующего ориентира (он следует из определения равносильных уравнений):

  1. Учитываем ОДЗ данного уравнения.
  2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Например, решим уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения с помощью равносильных преобразований.

Для этого достаточно учесть ОДЗ уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а затем, выполняя каждое преобразование уравнения, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Если ответ положителен, то выполненные преобразования равносильны. Если же какое-то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выполнить только в одном направлении (от исходного уравнения к следующему), а для его выполнения в обратном направлении необходимы какие-то дополнительные ограничения, то мы получим только уравнение-следствие, и полученные корни придется проверять подстановкой в исходное уравнение.

Применим этот план к решению уравнения (8).

Чтобы привести это уравнение к простейшему, перенесем все члены уравнения с логарифмами влево. Получим равносильное уравнениеЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

(Равносильность уравнений (8) и (9) следует из известной теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному на любом множестве. Равносильность этих уравнений следует также из того, что мы можем перейти не только от равенства (8) к равенству (9), но и выполнить обратное преобразование, пользуясь свойствами числовых равенств.)

Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнениеЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На ОДЗ данного уравнения можно выполнить и обратное преобразование: поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Таким образом, от равенства (10) можно вернуться к равенству (9), то есть этот переход также приводит к равносильному уравнению. Уравнение (10) — это простейшее логарифмическое уравнение. Оно равносильно уравнению, которое получается по определению логарифма: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Поскольку все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ данного уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — корень, потому что удовлетворяет условиям ОДЗ; Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетворяет условиям ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет только один корень Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Замечание. Рассмотренное уравнение можно было решить и с использованием уравнений-следствий.

Примеры решения задач:

Пример №42

Решите уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Проверка. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — посторонний корень (под знаком логарифма получаем 0),

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — корень, поскольку имеем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: 14

Комментарий:

Решим данное уравнение с помощью уравнений-следствий. Напомним, что при использовании уравнений-следствий главное — гарантировать, что в случае, когда первое равенство будет верным, то и все последующие также будут верными.

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения (1) на 2 (если равенство (1) верно, то и равенство (2) также верно). Если равенства (1) и (2) верны (при тех значениях Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения которые являются корнями этих уравнений), то при таких значениях Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения существуют все записанные логарифмы, и тогда выражения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — положительны. Следовательно, для положительных Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно воспользоваться формулами: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения таким образом, равенства (3) и (4) также будут верны. Учитывая, что функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является возрастающей и, следовательно, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, из равенства логарифмов (4) получаем равенство соответствующих аргументов (5).

Если равенство (5) верно, то знаменатель дроби не равен нулю, и после умножения обеих ее частей на Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем верное равенство (6) (а значит, и верное равенство (7)). Поскольку мы пользовались уравнениями-следствиями, то в конце необходимо выполнить проверку.

Пример №43

Решите уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Решим данное уравнение с помощью равносильных преобразований. Напомним, что для этого достаточно учесть ОДЗ данного уравнения и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Заметим, что на ОДЗ выражение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения может быть как положительным, так и отрицательным, и поэтому мы не имеем права применять к выражению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения формулу: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (это приведет к потере корня). Применение обобщенной формулы логарифмирования приведет к уравнению с модулем. Используем другой способ преобразований, учтя, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку на ОДЗ все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, то все преобразования от уравнения (1) к уравнению (2) будут равносильными. Выполнить равносильные преобразования уравнения (2) можно с использованием ориентира, приведенного на с. 377. Также равносильность уравнений (2) и (3) может быть обоснована через возрастание функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

Решение:

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая ОДЗ, получаем, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения входит в ОДЗ, таким образом, является корнем;

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не входит в ОДЗ, следовательно, не является корнем данного уравнения. Ответ: 1.

Пример №44

Решите уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку в уравнение входят логарифмы с разными основаниями, то приведем их к одному основанию (желательно числовому, иначе можно потерять корни уравнения). В данном случае приводим к основанию 4 по формуле Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

После приведения логарифмов к одному основанию переменная входит в уравнение только в одном виде Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Выполним замену Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку по ограничениям ОДЗ Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда полученное дробное уравнение (1) равно-сильно квадратному уравнению (2).

Поскольку замена и обратная замена являются равносильными преобразованиями на ОДЗ, то для полученных решений достаточно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Решение:

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Замена: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Получаем:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

(оба корня входят в ОДЗ).

Ответ: 16; 64.

Пример №45

Решите уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Замена: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Получаем:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Обратная замена дает

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Отсюда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения или

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: 0,1; 1000.

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ и используем ориентир: если переменная входит и в основание, и в показатель степени, то для решения такого уравнения можно попытаться прологарифмировать обе части уравнения (только если они положительны). В запись уравнения уже входит десятичный логарифм, поэтому прологарифмируем обе части по основанию 10 (на ОДЗ обе части данного уравнения положительны).

Поскольку функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является возрастающей, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, если выполняется равенство (1), то выполняется и равенство (2), и наоборот: если выполняется равенство (2), то выполняется и равенство (1). Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильны на ОДЗ. При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения применение формулы Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является равносильным преобразованием, а значит, уравнения (2) и (3) также равносильны.

Обоснование равносильности дальнейших преобразований полностью совпадает с аналогичным обоснованием в предыдущей задаче.

Пример №46

Решите уравнение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Замена: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Обратная замена дает Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения– корней нет.

Ответ: 2

Комментарий:

Если сначала рассмотреть данное уравнение как простейшее логарифмическое, то по определению логарифма оно равносильно уравнению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Как уже отмечалось (с. 376), ОДЗ данного уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения для всех корней уравнения (1) учитывается автоматически, поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения всегда. После этого уравнение (1) решается по схеме решения показательных уравнений.

Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и поэтому уравнение (2) равносильно уравнению (3).

Пример №47

Решите систему уравнений Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

По определению логарифма имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Из второго уравнения последней системы получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и подставляем в первое уравнение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Тогда: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Проверка: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения решение заданной системы.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения – постороннее решение

(под знаком логарифма получаем отрицательные числа).

Ответ: (1; 4).

Комментарий:

Как и логарифмические уравнения, системы логарифмических уравнений можно решать как с помощью систем-следствий (каждое решение первой системы является решением второй), так и с помощью равносильных преобразований систем (все решения каждой из них являются решениями другой).

Кроме того, при решении логарифмических систем можно применить те же способы, что и при решении других видов систем (способ алгебраического сложения, подстановка некоторого выражения из одного уравнения в другое, замена переменных).

Например, решим данную систему с помощью систем-следствий. Для этого достаточно гарантировать, что в случае, когда заданная система состоит из верных равенств, каждая следующая система также будет содержать верные равенства. Как и для уравнений, при использовании систем-следствий необходимо выполнить проверку полученных решений подстановкой в исходную систему.

Замечание. Данную систему можно было решить и с помощью равносильных преобразований систем. При этом пришлось бы учесть ОДЗ данной системы Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения следить за равносильностью выполненных преобразований (в данном случае все написанные преобразования являются равносильными на ОДЗ), а в конце проверить, удовлетворяют ли полученные решения условиям ОДЗ (пара чисел Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения удовлетворяет условиям ОДЗ, а Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения не удовлетворяет условиям ОДЗ).

Пример №48

Решите систему уравнений Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Тогда из первого уравнения имеем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Замена Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения дает уравнения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Обратная замена дает

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Тогда из второго уравнения системы имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (не принадлежит ОДЗ),

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (принадлежит ОДЗ).

Таким образом, решение данной системы

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: (5:5)

Комментарий:

Решим данную систему с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ее ОДЗ Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и гарантировать, что на каждом шагу были выполнены именно равносильные преобразования уравнения или всей системы. В первом уравнении системы все логарифмы приведем к одному основанию Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На ОДЗ Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения следовательно, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда после замены Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и поэтому переход в решении от дробного уравнения к квадратному является равносильным.

Поскольку замена (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием, то, заменяя первое уравнение системы равносильным ему (на ОДЗ) уравнением Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения получаем систему, равносильную данной (на ее ОДЗ).

Решение логарифмических неравенств

График функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Равносильные преобразования простейших логарифмических неравенств:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Знак неравенства не меняется, и учитывается ОДЗ:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Знак неравенства меняется, и учитывается ОДЗ:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастающая, тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая ОДЗ, имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Учитывая ОДЗ, имеем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение более сложных логарифмических неравенств:

I. С помощью равносильных преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вида.

Схема равносильных преобразований неравенства:

1. Учитываем ОДЗ заданного неравенства (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ).

2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенствам: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Замена Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Решение этого неравенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (см. рисунок).

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Обратная замена дает Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Учитывая, что функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения является возрастающей, получаем: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения С учетом ОДЗ имеем: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

II. Применяется общий метод интервалов (данное неравенство приводится к неравенству Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и используется схема:

  1. Найти ОДЗ;
  2. Найти нули Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ;
  4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Обозначим Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

1. ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

2. Нули функции: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (полученному по определению логарифма). То есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения В ОДЗ входит только x = 3. Итак, f(x) имеет единственный нуль функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических неравенств

Простейшими логарифмическими неравенствами обычно считают неравенства вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Для решения такого неравенства можно применять равносильные преобразования. Для этого необходимо учесть его ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и рассмотреть два случая: основание логарифма больше 1 и основание меньше 1 (но больше 0).

I. При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастает на всей своей области определения (то есть при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Таким образом, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента (в данном случае переходя к выражениям, стоящим под знаком логарифма), мы должны оставить тот же знак неравенства, то есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (большему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что на ОДЗ неравенство (1) равносильно неравенству (2). Коротко это можно записать так: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

II. При Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения логарифмическая функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывает на всей своей области определения (то есть при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента, мы должны знак неравенства изменить на противоположный, то есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (меньшему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения неравенство (1) на его ОДЗ равносильно неравенству (5). Коротко это можно записать так: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Суммируя полученные результаты, отметим, что для решения неравенства вида Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения с помощью равносильных преобразований необходимо учесть его ОДЗ, а при переходе от значений функции к значениям аргумента (то есть к выражениям, стоящим под знаком логарифма) — значение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

  • при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения знак неравенства не меняется,
  • при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения знак неравенства меняется на противоположный.

Примеры использования этих ориентиров приведены в таблице 56.

Замечание. Системы неравенств, полученные для случаев I и II, можно несколько упростить. Например, если в системе выполняются неравенство (2): Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и неравенство (4): Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то из этих неравенств следует, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Следовательно, неравенство (3) этой системы выполняется автоматически, когда выполняются неравенства (2) и (4), и его можно не записывать в эту систему (см. пункт 2 табл. 56).

Аналогично обосновывается, что в случае II в системе неравенство (4) является следствием неравенств (3) и (5), и его также можно не записывать в систему.

Например, решим неравенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

(ОДЗ данного неравенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения учтено автоматически, поскольку, если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то выполняется и неравенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решаем неравенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения отсюда (см. рисунок) Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — решение заданного неравенства (его можно записать и так: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение более сложных логарифмических неравенств

Решение более сложных логарифмических неравенств выполняется или с помощью равносильных преобразований данного неравенства (и приведения его к известному виду неравенств), или с помощью метода интервалов.

Схема равносильных преобразований логарифмических неравенств полностью аналогична схеме равносильных преобразований логарифмических уравнений:

  1. учитываем ОДЗ данного неравенства;
  2. следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

В этом случае на ОДЗ каждое решение данного неравенства будет и решением второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства будет решением первого, то есть эти неравенства будут равносильными (на ОДЗ).

Примеры решения логарифмических неравенств с помощью равносильных преобразований и методом интервалов и оформления такого решения приведены в таблице 56. Рассмотрим еще несколько примеров.

Примеры решения задач:

Пример №49

Решите неравенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

Решим данное неравенство с помощью равносильных преобразований. Как и для уравнений, для этого достаточно учесть ОДЗ данного неравенства и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства. Поскольку на ОДЗ выражения, стоящие под знаком логарифмов, положительны, то формулу Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения для положительных Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях. Таким образом, выполняя преобразование неравенства по этой формуле, получим неравенство, равносильное данному (на его ОДЗ).

Чтобы применить свойства логарифмической функции, запишем число (-1) как значение логарифмической функции: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (понятно, что эту формулу можно применить как в прямом, так и в обратном направлении и учтем, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, таким образом, Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Последнее неравенство имеет решения:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (см. рисунок).

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая ОДЗ, получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №50

Решите неравенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая ОДЗ данного неравенства и то, что функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, получаем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

то есть Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Тогда Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Учитывая, что функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения возрастающая, получаем

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Это неравенство равносильно системе Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решениякоторая равносильна системе Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решаем неравенства (4) и (5) методом интервалов и находим их общее решение (см. рисунок).

Для неравенства (4) ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения нули функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Для неравенства (5) ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения нули функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Комментарий:

ОДЗ данного неравенства задается системой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

При выполнении равносильных преобразований главное не записать ОДЗ, а учесть ее в ходе решения. При переходе от неравенства (1) к неравенству (2) в записи последнего неравенства остается выражение

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения для которого ОДЗ: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Следовательно, при таком переходе ограничение (7) будет неявно учтено и поэтому достаточно учесть только ограничение (6) (что и сделано в левой части неравенства (2)). Чтобы применить свойства соответствующих логарифмических функций, записываем сначала Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (и учитываем, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а затем — Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения При переходе от неравенства (2) к неравенству (3) получаем Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения таким образом, и в этом случае неравенство (7) учтено автоматически. Для нахождения общих решений неравенств (4) и (5) удобно их решения методом интервалов разместить одно над другим так, чтобы одинаково обозначенные точки находились одна над другой. Тогда из приведенного рисунка легко увидеть общее решение системы неравенств.

Логарифмические функции и их нахождение

Как известно, если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то каждому положительному значению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения соответствует единственное значение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поэтому равенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решениязадаёт некоторую функцию с областью определения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

 Функцию, заданную формулой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения называют логарифмической функцией с основанием Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Примеры логарифмических функций: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияЛогарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Как связаны между собой функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Равенство Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения выражает ту же зависимость между Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения что и Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения этим двум равенствам отвечает один и тот же график {рис. 29). Чтобы от равенства Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения перейти к Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения нужно поменять местами переменные Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поэтому и на графике следует поменять местами оси Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (рис. 30). Этот рисунок –

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения только его оси размещены не так, как принято. Чтобы изобразить график функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения в общепринятой системе координат, нужно весь рисунок отразить симметрично относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения (рис. 31).

Итак, графики функций Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения построенные в одной системе координат, симметричны относительно прямой  Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Последовательность описанных преобразований рассматриваемых функций для Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения схематически изображена на рисунке 32.

Функции, графики которых симметричны относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияявляются взаимно обратными. В частности, функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения обратная для функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Если две функции взаимно обратные, то область определения одной из них является областью значений другой и наоборот.

Следует обратить внимание и на такое. Если одна из двух взаимно обратных функций на всей области определения возрастает, то и другая возрастает. Например, если функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

возрастает, то большему значению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения соответствует большее значение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а большему значению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения — большее значение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Тогда и в соотношениях  Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения большему значению Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения соответствует большее значение Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения т. е. функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения также возрастает.

Из всего сказанного вытекают следующие свойства функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

  1. Область определения — промежуток Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  2. Область значений — множество Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  3. Функция возрастает на всей области определения, если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения а если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решенияубывает.
  4. Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодическая.
  5. Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то значения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения положительные при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и отрицательные при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  6. Если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то значения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения положительные при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и отрицательные при Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  7. График функции всегда проходит через точку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Несколько графиков логарифмических функций показано на рисунке 33.

Если известно значение основания логарифма, то график логарифмической функции можно построить по точкам, составив предварительно таблицу значений. Постройте таким образом графики функций Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения и убедитесь, что первая из них — возрастающая, а вторая — убывающая.

Обратите внимание на такие утверждения:

  1. если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  2. если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
  3. если Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Вы уже знаете, что графики функций Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения симметричны относительно прямой Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения А как расположены графики функций Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения то понятно, что функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения для одинаковых значений аргументов принимают противоположные значения. Это означает, что их графики симметричны относительно оси Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Примером являются графики функций Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения изображённые на рисунке 34. 

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Показательные и логарифмические функции удобны для моделирования процессов, связанных с ростом населения, капитала, размножением бактерий, изменением атмосферного давления, радиоактивным распадом и т. п.

Пример №51

Найдите область определения функции Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

Областью определения логарифмической функции является промежуток Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поэтому Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Корни уравнения Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения равны Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения поэтому множество решений неравенства такое: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Ответ. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Пример №52

Сравните числа: Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Решение:

а) Функция Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения убывающая, ибо Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения б) Приведём второй логарифм к основанию 0,5:

Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

Из последнего неравенства следует, что Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения Поскольку Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения

  • Логарифмические выражения
  • Показательная функция, её график и свойства
  • Производные показательной и логарифмической функций
  • Показательно-степенные уравнения и неравенства
  • Дифференциал функции
  • Дифференцируемые функции
  • Техника дифференцирования
  • Дифференциальная геометрия

Основные сведения об области определения логарифмической функции

Содержание:

  • Логарифм числа и его свойства
  • Логарифмическая функция, ее свойства и график
  • Область определения функции с корнем
  • Примеры решения задач

Логарифм числа и его свойства

Логарифм некого числа b по основанию а является показателем степени, в которую требуется возвести основание а для получения в результате числа b.

В качестве обозначения логарифма используют: (log _{a}b)

Данную запись можно прочитать, как «логарифм b по основанию а».

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Рассмотрим следующее равенство:

(x=log _{a}b)

Согласно записанному ранее определению логарифма, получим, что данное соотношение является равносильным следующему:

(a^{x}=b)

Пример 

Рассмотрим пример логарифмического уравнения:

(log _{2}8=3)

Равенство является справедливым по той причине, что:

(2^{3}=8)

Логарифмирование — операция по определению логарифма.

В определении логарифма принято использовать числа а и b из множества вещественных чисел. В некоторых случаях применима теория комплексных логарифмов.

С помощью логарифмов удается значительно упростить решение многих задач. Например, в процессе перехода к логарифмическому уравнению умножение может быть заменено на операцию сложения, а вместо деления используют вычитания, также возведение в степень и извлечение корня трансформируются в умножение и деление на показатель степени соответственно.

Примечание 1

Математик из Шотландии Джон Непер в 1614 году первым сформулировал определение логарифмов и представил таблицу со значениями тригонометрических функций. Со временем таблицы были уточнены и дополнены. До появления калькуляторов и компьютерной техники эти таблицы активно применялись на протяжении веков для выполнения расчетов в математике, инженерии и других научных областях знаний.

Изобразим в качестве примера двоичный логарифм на графике:

Изобразим в качестве примера двоичный логарифм на графике

Источник: ru.wikipedia.org

Рассмотрим логарифм какого-то числа из множества вещественных:

(x=log _{a}b)

Исходя из определения логарифма, данное соотношение представляет собой решение следующего уравнения:

(a^{x}=b)

В том случае, когда a=1 при (bneq 1), у записанного уравнения отсутствуют решения. Если b=1, то в качестве решения можно представить любое число. Эти два варианта приводят к неопределенности логарифма. Таким же образом, можно сделать вывод об отсутствии логарифма, когда а принимает нулевое или отрицательное значение.

Зная, что показательная функция (a^{x}) во всех случаях положительна, исключим также случаи, при которых b имеет отрицательное значение. Обобщая вышесказанное, запишем: вещественный логарифм (log _{a}b) обладает смыслом, если  (a>0,aneq 1,b>0.)

Распространенными являются следующими виды логарифмов:

  1. Натуральные: (log _{e},b) или (ln ,b) с основанием в виде числа Эйлера (e).
  2. Десятичные: (log _{10},b) или (lg ,b ) с основанием в виде числа 10.
  3. Двоичные: (log_{2},b) или (operatorname {lb},b) с основанием 2, которые нашли применение в теории информации, информатике, в разных разделах дискретной математики.

Свойства логарифма удобно использовать при решении различных задач. Рассмотрим главное логарифмическое тождество.

Основным логарифмическим тождеством называют справедливое равенство, которое вытекает из определения логарифма и имеет следующий вид: ( a^{log _{a}b}=b)

Следствие 

Согласно равенству пары вещественных логарифмов, логарифмируемые выражения равны, то есть при (log _{a}b=log _{a}) c справедливо, что (a^{log _{a}b}=a^{log _{a}c},) тогда по основному логарифмическому тождеству получаем: b=c.

Исходя из определения логарифма, можно вывести следующие справедливые равенства:

(log _{a}1=0)

(log _{a}a=1.)

Рассмотрим, как вычисляют логарифм произведения, частного от деления, степени и корня при положительных значениях переменных.

Произведение:

(log _{a}(xy)=log _{a}(x)+log _{a}(y))

К примеру:

(log _{3}(243)=log _{3}(9cdot 27)=log _{3}(9)+log _{3}(27)=2+3=5)

Частное от деления:

(log _{a}!left({frac {x}{y}}right)=log _{a}(x)-log _{a}(y))

Например:

(lg left({frac {1}{1000}}right)=lg(1)-lg(1000)=0-3=-3)

Степень:

(log _{a}(x^{p})=plog _{a}(x))

Докажем это равенство:

(log _{a}{x^{p}}=y)

(a^{y}=x^{p}{displaystyle }a^{y}=x^{p})

(a^{frac {y}{p}}=x{displaystyle }a^{frac {y}{p}}=x)

(log_{a}{x}={frac {y}{p}}{displaystyle} log_{a}{x}={frac {y}{p}})

(pcdot log_{a}{x}=y{displaystyle} pcdot log_{a}{x}=y)

Применим данную формулу для решения примера:

(log _{2}(64)=log _{2}(2^{6})=6log _{2}(2)=6)

Степень в основании:

(log _{(a^{p})}(x)={frac {1}{p}}log _{a}(x)={frac {log _{a}(x)}{p}})

Докажем, что записанное равенство является справедливым:

(log _{a^{p}}{x}=y)

(a^{ycdot p}=x{displaystyle} a^{ycdot p}=x)

(log_{a}{x}=pcdot y{displaystyle} log_{a}{x}=pcdot y)

(frac {log_{a}{x}}{p}=y)

В качестве примера упростим выражение:

(log _{2^{10}}{sin {left({frac {pi }{6}}right)}}={frac {log _{2}{frac {1}{2}}}{10}}=-{frac {1}{10}}=-0{,}1)

Корень:

(log _{a}{sqrt[{p}]{x}}={frac {1}{p}})

Докажем данное свойство:

(log _{a}{sqrt[{p}]{x}}=y)

(a^{y}={sqrt[{p}]{x}}{displaystyle} a^{y}={sqrt[{p}]{x}})

(a^{pcdot y}=x{displaystyle} a^{pcdot y}=x)

(log_{a}{x}=pcdot y{displaystyle} log_{a}{x}=pcdot y)

({frac {log_{a}{x}}{p}}=y{displaystyle} {frac {log_{a}{x}}{p}}=y)

Рассмотрим наглядный пример:

(lg {sqrt {1000}}={frac {1}{2}}lg 1000={frac {3}{2}}=1{,}5)

Корень в основании:

(log _{sqrt[{p}]{a}}(x)=plog _{a}(x))

Представим доказательства:

(log _{sqrt[{p}]{a}}{x}=y)

(a^{frac {y}{p}}=x{displaystyle} a^{frac {y}{p}}=x)

(a^{y}=x^{p}{displaystyle} a^{y}=x^{p})

(a^{frac {y}{p}}=x{displaystyle} a^{frac {y}{p}}=x)

(log_{a}{x}={frac {y}{p}}{displaystyle} log_{a}{x}={frac {y}{p}})

(pcdot log_{a}{x}=y{displaystyle} pcdot log_{a}{x}=y)

Применим записанное свойство на практике:

(log _{sqrt {pi }}{(4cdot operatorname {arctg} {1})}=2cdot log _{pi }{left(4cdot {frac {pi }{4}}right)}=2cdot log _{pi }{(pi )}=2)

В том случае, когда переменная обладает отрицательным значением, следует обратиться к обобщенной записи перечисленных свойств логарифма:

(log _{a}|xy|=log _{a}|x|+log _{a}|y|)

(log _{a}!left|{frac {x}{y}}right|=log _{a}|x|-log _{a}|y|)

Формулы для вычисления произведения допустимо обобщить с расчетом на любое число сомножителей:

(log _{a}(x_{1}x_{2}dots x_{n})=log _{a}(x_{1})+log _{a}(x_{2})+dots +log _{a}(x_{n}))

(log _{a}|x_{1}x_{2}dots x_{n}|=log _{a}|x_{1}|+log _{a}|x_{2}|+dots +log _{a}|x_{n}|)

Многозначные числа x, y можно умножать с помощью таблиц логарифмов таким образом:

  • определить по таблице логарифмы x, y;
  • суммировать полученные логарифмы, что соответствует (исходя из первого свойства логарифма) логарифму произведения xcdot y;
  • согласно логарифму произведения определить по таблице значение самого произведения.

Аналогичным способом выполняют деление. Только при этом вместо умножения применяют операцию вычитания, а алгоритм действий остается прежним.

Логарифм (log _{a}b) по основанию a допустимо записать в виде логарифма по другому основанию c:

(log _{a}b={frac {log _{c}b}{log _{c}a}})

Следствием из данной формулы, если b=c, является перестановка местами основания и логарифмируемого выражения:

(log _{a}b={frac {1}{log _{b}a}})

Обратим внимание на то, что коэффициент ({frac {1}{log _{c}a}}=log _{a}c) в рассматриваемом выражении замены основания носит названием модуля перехода от одного основания к другому.

При решении логарифмических неравенств следует помнить, что логарифм (log _{a}{b}) обладает положительным значение в том случае, когда a, b расположены с одной стороны относительно единицы, то есть оба больше, либо меньше по сравнению с 1. В противном случае логарифм имеет знак минуса.

Какое-либо неравенство в случае положительных чисел допустимо логарифмировать:

  • при основании больше, чем единица, знак неравенства остается без изменений;
  • при основании меньше, чем единица, знак неравенство нужно поменять на противоположный.

Существует тождество, которое поможет упростить действия, когда в основании или логарифмируемом выражении содержится степень:

({log _{a^{q}}{b}}^{p}={frac {p}{q}}log _{a}{b})

Данное соотношение получают путем замены в левой части логарифма основания (a^{q}) на a по ранее рассмотренной формуле замены основания. Из этого справедливого равенства можно вывести следующее:

(log _{a^{k}}b={frac {1}{k}}log _{a}b;quad log _{sqrt[{n}]{a}}b=nlog _{a}b;quad log _{a^{k}}b^{k}=log _{a}b)

Другим полезным тождеством является:

(c^{log _{a}b}=b^{log _{a}c})

В этом случае, можно заметить совпадение логарифмов слева и справа по основанию а, то есть являются равными (log _{a}bcdot log _{a}c). По следствию из главного логарифмического тождества получим, что части слева и справа равны друг другу тождественно.

С помощью логарифмирования предыдущего тождества по какому-либо произвольно выбранному основанию d можно получить дополнительное тождество для замены оснований:

(log _{a}bcdot log _{d}c=log _{d}bcdot log _{a}c.)

Логарифмическая функция, ее свойства и график

При рассмотрении какого-либо логарифмируемого числа в качестве переменной получается логарифмическая функция, имеющая следующий вид: (y=log _{a}x).

Областью определения данной функции являются такие значения, которые соответствуют интервалу:

(a>0; aneq 1;x>0.)

Область значений логарифмической функции определена таким образом:

(E(y) = (-infty ;+infty).)

На графике логарифмическая функция имеет вид кривой, которую часто называют логарифмикой. Согласно формуле, с помощью которой осуществляют замену основания логарифма, сделаем вывод о том, что:

  • графики логарифмических функций, имеющих разные основания, больше единицы, различаются по масштабу относительно оси y;
  • графики логарифмических функций для оснований, меньших, чем единица, представляют собой их зеркальное отражение по отношению к горизонтальной оси.

Изобразим графики логарифмических функций:

Изобразим графики логарифмических функций

Источник: ru.wikipedia.org

Согласно определению, логарифмическая функция является обратной для показательной функции (y=a^{x}). По этой причине графические изображения данных функций будут симметричными по отношению к биссектрисе первого и третьего квадрантов. Обе эти функции трансцендентны.

Заметим следующие особенности логарифмической функции:

  • строгое возрастание графика, если a>1;
  • строгое убывание графика, если 0<a<1.

Графически изображенная логарифмическая функция в любом случае будет пересекать точку с координатами (1;0). Функция не прерывается и дифференцируется без ограничений на любом участке в рамках собственной области определений.

Ось ординат при x=0 представляет собой вертикальную асимптоту, так как:

  • (lim _{xto 0+0}log _{a}x=-infty) при a>1;
  • (lim _{xto 0+0}log _{a}x=+infty) при 0<a<1.

Производную логарифмической функции вычисляют по формуле:

({frac {d}{dx}}log _{a}x={frac {1}{xcdot ln a}})

Логарифмическая функция представляет собой непрерывное решение, которое считают единственно верным, для следующего функционального уравнения:

(f(xy)=f(x)+f(y).)

Свойства функции (y={{log}_a x }), при a >1:

  1. Областью определения данной функции является интервал ((0,+infty )).
  2. Значения функции определяются, как множество действительных чисел.
  3. Данную функцию нельзя отнести к типу четных или нечетных.
  4. График пересекает оси координат. С осью Oy точки пересечения отсутствуют. Если (y=0), ({{log}_a x }=0, x=1). Функция пересекается с осью Ox в точке (1,0).
  5. Функция является положительной, если (xin (1,+infty )). Функция является отрицательной в том случае, когда (xin (0,1)).
  6. (y’=frac{1}{xlna}).
  7. Точки минимума и максимума: (frac{1}{xlna}=0), при этом корни отсутствуют, то есть максимальные и минимальные точки также отсутствуют.
  8. Функция является возрастающей на всей области определения.
  9. (y^{”}=-frac{1}{x^2lna}).
  10. Промежутки выпуклости и вогнутости: (-frac{1}{x^2lna}). Функция является выпуклой на всей области, в которой определяется.
  11. ({mathop{lim}_{xto 0} y }=-infty , {mathop{lim}_{xto +infty } y }=+infty.)

Рассмотрим свойства функции (y={{log}_a x }, 0 < a < 1:)

  1. Функция определяется на интервале ((0,+infty).)
  2. Значениями функции являются все числа из множества действительных.
  3. Данную функцию нельзя отнести к типу четных или нечетных.
  4. Отсутствуют пересечения графика с осью Oy. Если (y=0, {{log}_a x }=0, x=1).Функция пересекает ось Ox в точке с координатами: (1,0).
  5. Функция является положительной, если (xin (0,1)). Функция является отрицательной в том случае, когда (xin (1,+infty).)
  6. (y’=frac{1}{xlna}.)
  7. Точки минимума и максимума: ( frac{1}{xlna}=0); в этом случае корни отсутствуют — значит, отсутствуют максимальные и минимальные точки.
  8. Функция является убывающей на всей области, в которой она определена.
  9. (y^{”}=-frac{1}{x^2lna}).
  10. Промежутки выпуклости и вогнутости: ( -frac{1}{x^2lna}>0). Функция является вогнутой на всей области, в которой она определена.
  11. (mathop{lim}_{xto 0} y =+infty , {mathop{lim}_{xto +infty } y }=-infty).

Область определения функции с корнем

По определению, логарифмическая функция имеет вид:

(y=log _{a} x,; a,, x>0,; ane 1.)

Областью определения функции (Dleft(yright)) является такое множество, на котором задана функция (y=fleft(xright)), при этом каждая точка рассматриваемого множества соответствует определенному значению функции.

В случае логарифмической функции, в том числе, с корнем квадратным, дробью со знаменателем, отличным от нуля, область определения соответствует какому-либо числу со знаком плюс из множества действительных чисел:

(Dleft(log _{a} xright):xin left(0;; +infty right))

Рассмотрим несколько примеров логарифмических функций, чтобы узнать область их определений:

(y=log _{ frac{2}{3} } x;)

(y=log _{ sqrt{5}} x;)

(y=log _{7} x.)

Областью определения записанных логарифмических функций, в том числе, с корнем, является интервал ((0, +infty)).

Попробуем решить задачу. Здесь требуется искать область определения в случае функции:

(f(x)=frac{1}{ln(x+3)})

Условия следующие:

х + 3 > 0

(x + 3 neq 1)

Тогда:

х > -3

(x neq -2)

Тогда область определения соответствует следующим значениям:

(D(f) = (-3, -2) cup (-2, +infty).)

Примеры решения задач

Задача 1

Дана функция:

(y=log _{pi } left(2x-4right).)

Требуется обозначить область определения данной функции.

Решение

Область определения рассматриваемой функции можно задать с помощью следующего неравенства:

(2x-4>0.)

Найдем решения для этого линейного неравенства:

(2x>4Rightarrow x>2Rightarrow xin left(2;; +infty right).)

В результате:

(Dleft(yright):xin left(2;; +infty right))

Ответ: (Dleft(yright):xin left(2;; +infty right).)

Задача 2

Имеется некая функция:

(y=log _{2} left(left(x-1right)left(x+5right)right).)

Нужно найти область, на которой определяется данная функция.

Решение

Логарифм определен в том случае, когда подлогарифмическая функция обладает положительным значением. Исходя из этого, запишем:

(Dleft(yright):left(x-1right)left(x+5right)>0.)

Решим получившееся неравенство:

(left(x-1right)left(x+5right)>0.)

Воспользуемся способом интервалов. В процессе определим, каковы нули всех сомножителей:

(begin{array}{c} {x-1=0Rightarrow x=1,} \ {x+5=0Rightarrow x=-5,} end{array})

Задача

 В результате:

(Dleft(yright):xin left(-infty ;; -5right)bigcup left(1;; +infty right).)

Ответ: (xin left(-infty ;; -5right)bigcup left(1;; +infty right).)

Задача 3

 Построен график логарифмической функции (fleft(xright)={{log}_a left(x+bright)}):

Задача 3

Источник: ege-study.ru

Требуется определить (fleft(11right)).

Решение

Заметим, что изображенный график функции (y={{log}_a left(x+bright) }) пересекает следующие точки:

(-3; 1)

(-1; 2)

Следует выполнить подстановку данных точек в уравнение функции. Получим:

(left{ begin{array}{c}{{log}_a left(-3+bright)=1 } \{{log}_a left(-1+bright) }=2 end{array}right.)

Тогда:

(left{ begin{array}{c}b-3=a \b-1=a^2 end{array};right.)

Путем вычитания из второго уравнения первого получим:

(a^2-a=2; a^2-a-2=0;)

a=2 или a=-1

Отрицательное значение является посторонним, так как a = 0, исходя из определения основания логарифма.

В результате:

(b=a+3=5; fleft(xright)={{log}_2 left(x+5right) })

(fleft(11right)={{log}_2 16=4.})

Ответ: 4.

Задача 4

 Представлено графическое изображение функции (fleft(xright)=a{{log}_5 x }-c:)

Задача 4

Источник: ege-study.ru

Требуется вычислить (f(0,2)).

Решение

Заметим, что функция на графике пересекает следующие точки:

(left(1;-2right))

(left(5;3right))

Тогда путем поочередной подстановки координат данных точек в уравнение функции получим:

(left{ begin{array}{c}a{{log}_5 1 }-c=-2 \a{{log}_5 5 }-c=3 end{array}right.)

(left{ begin{array}{c}-c=-2 \a-c=3 end{array}right.)

(left{ begin{array}{c}c=2 \a=5 end{array}right.)

Уравнение функции:

(fleft(xright)=5{{log}_5 x }-2.)

Определим значение (fleft(0,2right)=fleft(frac{1}{5}right):)

(displaystyle 5cdot {{log}_5 frac{1}{5} }-2=-5-2=-7.)

Ответ: -7.

Функцию, заданную формулой

y=logax

, называют логарифмической функцией с основанием (a).

log1.png

log2.png

Основные свойства логарифмической функции:

1) область определения

D(f)=0;+∞

;

2) множество значений

E(f)=−∞;+∞

;

3) если (a>1), то функция возрастает на всей области определения;

    если (0<a<1), то функция убывает на всей области определения.

Обрати внимание!

 Логарифмическая функция не является ни чётной, ни нечётной;
 не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
 не ограничена сверху, не ограничена снизу;      

график любой логарифмической функции

y=logax

 проходит через точку ((1; 0)).

Построим графики двух функций.

Пример:

1.

y=log2x

, основание (2>1)

(x)  14  12  (1)  (2)  (4)  (8)
y=log2x (-2) (-1) (0) (1) (2) (3)

log3.png

Пример:

2.

y=log13x

 основание (0<)

13

 (<1)

(x) (9) (3) (1) 13 19
y=log13x (-2) (-1) (0) (1) (2)

log4.png

Логарифмическая функция

y=logax

 и показательная функция

y=ax

, где 

(a>0,a≠1)

, взаимно обратны.

log5.png           log6.png

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно разбираться в определенных понятиях и находить весомые аргументы и методы решения, что и предложено данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями, чтобы вам больше не нужно было определять все это онлайн.

Что значит найти область определения

После того как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Область определения и область значения можно найти и для кубического корня (куб. √), к примеру, для x+2. 

Ограничение области определения

Область определения функции или ООФ рассматривается еще в школьном курсе алгебры. У действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально узнавать ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

Определение 1
  • при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y=x+2·xx4-1;
  • при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на сложение корня четной степени типа y=x+1 или y=23·x+3x;
  • при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y=5·(x+1)-3, y=-1+x113, y=(x3-x+1)2, которые определены не для всех чисел;
  • при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y=lnx2+x4 или y=1+logx-1(x+1) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
  • при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y=x3+tg2·x+5 или y=ctg(3·x3-1), так как они существуют не для любого числа;
  • при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y=arcsin(x+2)+2·x2, y=arccosx-1+x, область определения которых определяется ни интервале от -1 до 1.

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом (и это не с калькулятором). Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно иметь следующее утверждение:

Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn. Данное утверждение можно записать как:

D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом, чтобы понимать понимания перечисления числовых множеств.

Пример 1

Найти область определения функции вида y=x7+x+5+tgx.

Решение

Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7,степенной с показателем 1, постоянной, функции тангенса.

По таблице определения видим, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞), D(f3)=(−∞, +∞), причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π2+π·k, k∈Z.

Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f1, f2, f3 и f4. То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π2+π·k, k∈Z.

Ответ: все действительные числа кроме π2+π·k, k∈Z.

Чтобы найти  область определения произведения функций необходимо применять правило:

Определение 2

Когда функция f считается произведением n функций f1, f2, f3 и fn, тогда существует такая функция f, которую можно задать при помощи формулы y=f1(x)·f2(x)·…·fn(x), тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

Запишется D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Пример 2

Найти область определения функции y=3·arctg x·ln x.

Решение

Правая часть формулы рассматривается как f1(x)·f2(x)·f3(x), где за f1 является постоянной функцией, f2 является арктангенсом, f3 – логарифмической функцией с основанием e. По условию имеем, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞) и  D(f3)=(0, +∞). Мы получаем, что

D(f)=D(f1)D(f2)D(fn)=(-∞, +∞)(-∞, +∞)D(0, +∞)=(0, +∞)

Ответ: область определения y=3·arctg x·ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом.  Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. 

Функция y=C·f(x) – произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x) является -∞, +∞D(f)=D(f).

Естестввенным образом получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x – [0, +∞).

Области определения y=f(x) и y=−f(x) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Пример 3

Найти область определения  функции y=log3x−3·2x.

Решение

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f1 и f2.

f1(x)=log3x и f2(x)=3·2x. Тогда получим, что D(f)=D(f1)D(f2).

Область определения записывается как D(f1)=(0, +∞). Приступим к области определения f2. В данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D(f2)=(−∞, +∞).

Для нахождения области определения функции y=log3x−3·2x получим, что

D(f)=D(f1)D(f2)=(0, +∞)-∞, +∞

Ответ: (0, +∞).

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где  в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

Пример 4

Найти область определения f1(x)=x5+7×3-2×2+12.

Решение

Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f1(x)=x5+7×3-2×2+12 и f2(x)=3·x-ln 5. Выше  было показано, что D(f1)=R. Область определения для f2 является совпадающей со степенной при показателе –ln5, иначе говоря, что D(f2)=(0, +∞).

Получаем, что D(f)=D(f1)D(f2)=-∞, +∞(0, +∞)=(0, +∞).

Ответ: (0, +∞).

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида  y=f1(f2(x)). Известно, что D(f) является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Пример 5

Найти область определения y=ln x2.

Решение

Алгоритм решения этого уравнения или функции следующий.

Данную функцию представляем в виде y=f1(f2(x)), где имеем, что f1 является логарифмом с основанием e, а f2 – степенная функция с показателем 2.

Для решения необходимо использовать известные области определения D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞).

Тогда получим систему неравенств вида

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-∞, +∞x2∈(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, +∞)x2>0⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Ответ: (−∞, 0)∪(0, +∞).

Пример 6

Найти область определения функции y=(arcsin x)-12.

Решение

График решения следующий.

Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y=f1(f2(x)), где f1 является степенной функцией с показателем -12, а f2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=[−1, 1].  Теперь найдем все множества значений x, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). Получаем систему неравенств вида

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-1, 1arcsin x∈(0, +∞)⇔⇔x∈-1, 1arcsin x>0

Для решения arcsin x>0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [−1, 1], причем обращается в ноль при х=0, значит, что arcsin x>0 из определения x принадлежит промежутку (0, 1].

Преобразуем систему вида

x∈-1, 1arcsin x>0⇔x∈-1, 1x∈(0, 1]⇔x∈(0, 1]

Область определения искомой функции имеет интервал равный (0, 1].

Ответ: (0, 1].

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).

Пример 7

Найти область определения y=sin(lg x4).

Решение

Заданная функция может быть расписана, как y=f1(f2(f3(x))), где имеем f1 – функция синуса, f2 – функция с корнем 4 степени, f3 – логарифмическая функция.

Имеем, что по условию D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=[0, +∞), D(f3)=(0, +∞). Тогда областью определения  функции – это пересечение множеств таких значений, где x∈D(f3), f3(x)∈D(f2), f2(f3(x))∈D(f1). Получаем, что

x∈D(f3)f3(x)∈D(f2)f2(f3(x))∈D(f1)⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞

Условие lg x4∈-∞, +∞ аналогично условию lg x∈[0, +∞), значит

x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔x∈(0, +∞)lg x≥0⇔⇔x∈(0, +∞)lg x≥lg 1⇔x∈(0, +∞)x≥1⇔⇔x∈[1, +∞)

Ответ: [1, +∞).

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться  в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Пример 8

Найти область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6.

Решение

Заданная функция дробная, поэтому f1 – сложная функция, где y=tg(2·x+1) и f2 – целая рациональная функция, где y=x2−x−6, а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0

Представление сложной функции y=f3(f4(x)), где f3 –это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π2+π·k, k∈Z, а f4 – это целая рациональная функция y=2·x+1 с областью определения D(f4)=(−∞, +∞). После чего приступаем к нахождению области определения f1:

x∈D(f4)2·x+1∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)2x+1≠π2+π·k, k∈Z⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Z

Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6. Тогда получаем, что

x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx∈-∞, +∞x2-x-6≠0⇔⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx≠-2x≠3

Ответ: множество действительных чисел, кроме -2, 3 и π4-12+π2·k, k∈Z.

Действия с корнями

Корни в математике, в частности, функцию с корнем можно определить следующим образом:

y=n√x. N здесь — натуральное число, большее за единицу.

Область определения корня зависит от того, каков показатель: четный или нечетный.

Если n является четным числом (n=2m). Это значит, что область определения представляет собой множество всех неотрицательных действительных чисел.

Если показатель корня — нечетное число, большее за единицу (n=2m+1 и m принадлежит к n), то областью определения корня будет множество всех действительных чисел.

Также важным является вопрос, как складывать корни.

Сложение и вычитание корней возможно при условии наличия одинакового подкоренного выражения. К примеру, сложение и вычитание корней возможно 2√3 и 4√3. Можно ли складывать корни или вычитать в случае 2√3 и 2√5? Ответ — нет.

Как решать корни во втором случае? Вы можете упростить подкоренное выражение и привести их корни к одинаковому подкоренному выражению. После этого вы сможете как считать корни, так и вычитать корни.

К основным действиям с корнями относят:

  • умножение корней;
  • деление корней;
  • корень минус корень или плюс.

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение 3

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1. Отсюда видно, что функция y=logf2(x)f1(x) имеет область определения, которая выглядит так:

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

К аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

Пример 9

Обозначить область определения функции y=log2·x(x2-6x+5).

Решение

Следует принять обозначения f1(x)=x2−6·x+5 и f2(x)=2·x, отсюда D(f1)=(−∞, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞). Необходимо приступить к поиску множества x, где  выполняется условие x∈D(f1), f1(x)>0, x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1. Тогда получаем систему вида

x∈(-∞, +∞)x2-6x+5>0x∈(-∞, +∞)2·x>02·x≠1⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 1)∪(5, +∞)x∈(-∞, +∞)x>0x≠12⇔⇔x∈0, 12∪12, 1∪(5, +∞)

Отсюда видим, что искомой областью функции y=log2·x(x2-6x+5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

Ответ: 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x).  Ее область определения  включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

Пример 10

Найти область определения показательно-степенной функции y=(x2-1)x3-9·x.

Решение

Примем за обозначение f1(x)=x2−1 и f2(x)=x3-9·x.

Функция f1 определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D(f1)=(−∞, +∞). Функция f2 является сложной, поэтому ее представление примет вид y=f3(f4(x)), а f3 – квадратным корнем с областью определения  D(f3)=[0, +∞), а функция f4 – целой рациональной,D(f4)=(−∞, +∞). Получаем систему вида

x∈D(f4)f4(x)∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)x3-9·x≥0⇔⇔x∈(-∞, +∞)x∈-3, 0∪[3, +∞)⇔x∈-3, 0∪[3, +∞)

Значит, область определения для функции  f2 имеет вид D(f2)=[−3, 0]∪[3, +∞). После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Получаем систему вида x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x2-1>0⇔x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x∈(-∞, -1)∪(1, +∞)⇔⇔x∈-3, -1∪[3, +∞)

Ответ: [−3, −1)∪[3, +∞)

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.

Функция Ее область определения

Сумма, разность, произведение функций

f1, f2,…, fn

Пересечение множеств

D(f1), D(f2), …, D(fn)

Сложная функция

y=f1(f2(f3(…fn(x))))

В частности, 

y=f1(f2(x))

Множество всех x, одновременно удовлетворяющих условиям

x∈D(fn),fn(x)∈D(fn-1),fn-1(fn(x))∈D(fn-2),… ,f2(f3(…fn(x)))∈D(f1)

x∈D(f2),f2(x)∈D(f1)

Расположим функции и их области определения.

Функция Ее область определения

Прямая пропорциональность y=k·x

R
Линейная y=k·x+b R

Обратная пропорциональность  y=kx

-∞, 0∪0, +∞
Квадратичная y=a·x2+b·x+c R
y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 R
Целая рациональная R
y=C·f(x), где C – число D(f)

Дробная y=f1(x)f2(x)

В частности, если f1(x), f2(x) – многочлены

Множество всех x, которые одновременно удовлетворяют условиям
x∈D(f1), x∈D(f2), f2(x)≠0

f2(x)≠0

y=f(x)n, где n – четное x∈D(f1), f(x)≥0

y=logf2(x)f1(x)

В частности, y=logaf1(x)

В частности, y=logf2(x)a

x∈D(f1), f1(x)>0,x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1

x∈D(f1), f1(x)>0

x∈D(f2), f2>0, f2(x)≠1

Показательно-степенная y=(f1(x))f2(x) x∈D(f1), x∈D(f2), f1(x)>0

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞),  а вторая из множества действительных чисел.  Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что  функция имеет смысл при x≠2.

Добавить комментарий