Найти последнюю цифру числа как решать

Найти последнюю цифру числа как решать

19. Задачи на теорию чисел


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Последняя цифра числа


Задание
1

#2195

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите последнюю цифру числа:

а) (3^{33})

б) (57^{57})

в) (2016^{2016})

а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел (457) и (369). Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть (7cdot 9 = 63), и так последняя цифра у (63) – это (3), то последняя цифра произведения чисел (457) и (369) тоже (3).

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки: [3,, 9,, 7,, 1,, 3,, 9,, 7,, 1,cdots] Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры (3, 9, 7, 1) повторяются, значит, последняя цифра числа (3^{33}) зависит от того, какой остаток будет давать число (33) при делении на (4) (так как блоки по (4) цифры).

Так как остаток (33) при делении на (4) равен (1), то (3^{33}) заканчивается на такую же цифру, как и (3^1). Таким образом, последняя цифра числа (3^{33}) – это (3).

б) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа (57^{57}) – это (7).

в) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа (2016^{2016}) – это (6).

Ответ:

а) (3)

б) (7)

в) (6).


Задание
2

#2196

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Академик Котовский нашел самое большое простое число: (1999876891^{999}-1). Не перепутал ли чего академик?

Посмотрим на последнюю цифру числа (1999876891^{999}).

Так как число (1999876891) оканчивается на (1), то и число (1999876891^{999}) тоже оканчивается на (1), тогда число (1999876891^{999}-1) оканчивается на (0), значит, оно делится на (10), следовательно, оно не простое. Академик ошибся.

Ответ:

Перепутал


Задание
3

#2197

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Делится ли число (27^{23}+33^{11}) на (10)?

Найдем последнюю цифру числа (27^{23}+33^{11}).

Так как последняя цифра числа (27^{23}) – это (3), а последняя цифра числа (33^{11}) – это (7), то последняя цифра числа (27^{23}+33^{11}) – это (0), а значит это число делится на (10).

Ответ:

Да


Задание
4

#2198

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Докажите, что все числа вида (n!) при всевозможных натуральных (n), больших четырёх, оканчиваются на одну и ту же цифру.

При (n geq 5): [n! = 1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot …cdot n = 120cdot …cdot n] – делится на (10), следовательно, последняя цифра такого числа равна (0).

Ответ:

Доказательство


Задание
5

#2199

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите последнюю цифру числа, равного (0! + 1! + 2! + 3! + dots + 2017!), если (0! = 1) – по определению.

Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр исходных слагаемых.

Так как при (ngeq 5) последняя цифра числа (n!) равна (0), то все числа вида (n!) при (ngeq 5) не дадут вклада в последнюю цифру исходной суммы.

Таким образом, последняя цифра исходной суммы совпадает с последней цифрой суммы [0! + 1! + 2! + 3! + 4!,] которая равна последней цифре суммы последних цифр её слагаемых, то есть последней цифре числа [1 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14,] которой является цифра (4).

Ответ:

(4)


Задание
6

#2505

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Последняя цифра числа (n^2) равна (4) ((ninmathbb{N})). Может ли предпоследняя цифра числа (n^2) быть нечётной?

Так как последняя цифра числа (n^2) равна (4), то (n^2) – чётное, следовательно, (n) – чётное, тогда (n^2) делится на (4), что равносильно тому, что число, образованное двумя последними цифрами числа (n^2), делится на (4).

Не более чем двузначные числа, у которых последняя цифра равна (4), которые и сами делятся на (4): [04,qquad 24,qquad 44,qquad 64,qquad 84,.]

Таким образом, предпоследняя цифра числа (n^2) обязательно чётна.

Ответ:

Нет


Задание
7

#2504

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Можно ли составить из цифр (1), (2), (8), (9) (каждую цифру можно использовать сколько угодно раз) два числа, одно из которых в (17) раз больше другого?

Докажем методом от противного: пусть такие числа (m), (n) существуют. Пусть при этом (m = 17cdot n), тогда какой может быть последняя цифра числа (m)?

Ответ на последний вопрос зависит от последней цифры числа (n). Рассмотрим все возможные варианты:
1) последняя цифра числа (n) – это цифра (1), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (7), но (m) не может содержать в своей записи цифру (7).
2) последняя цифра числа (n) – это цифра (2), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (4), но (m) не может содержать в своей записи цифру (4).
3) последняя цифра числа (n) – это цифра (8), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (6), но (m) не может содержать в своей записи цифру (6).
4) последняя цифра числа (n) – это цифра (9), тогда последняя цифра числа (17n) – это цифра (3), но (m) не может содержать в своей записи цифру (3).

Таким образом, подходящих (m) и (n) не существует.

Ответ:

Нет

ЕГЭ по математике — одно из самых сложных тестирований для выпускников. Многолетняя практика показала, что очень часто ученики допускают неточности при вычислении последней цифры натурального числа. Данная тематика сама по себе довольно сложна, так как требует особой точности, внимательности и развитого логического мышления. Чтобы без проблем справиться с подобными заданиями, рекомендуем воспользоваться удобным онлайн-сервисом «Школково». На нашем сайте вы найдете все необходимое для решений уравнений на нахождение последней ненулевой цифры числа и подтяните знания в смежных тематиках.

Сдавайте Единый государственный экзамен на «отлично» вместе со «Школково»!

Наш образовательный портал построен таким образом, чтобы выпускнику было максимально удобно готовиться к итоговой аттестации. Сначала ученик обращается к разделу «Теоретическая справка»: вспоминает правила решения уравнений, освежает в памяти важные формулы, которые помогают найти последнюю цифру числа. После этого переходит в «Каталоги», где находит множество задач различных уровней сложности. Если с каким-либо упражнением возникают затруднения, его можно перенести в «Избранное», чтобы вернуться к нему позже и решить самостоятельно либо с помощью преподавателя.

Специалисты «Школково» собрали, систематизировали и изложили материалы по теме в максимально простой и понятной форме. Таким образом большое количество информации усваивается в короткие сроки. Школьники смогут выполнять даже те задания, которые совсем недавно вызывали у них большие трудности, в том числе и те, где необходимо указать несколько решений.

Чтобы занятия проходили максимально эффективно, рекомендуем начать с наиболее легких примеров. Если они не вызвали сложностей, не теряйте время — переходите к задачам среднего уровня, так вы определите свои слабые стороны, сделаете упор на наиболее сложные для вас задания и добьетесь больших результатов. После ежедневных занятий в течение 1―2 недель вы сможете за пару минут вывести даже последнюю цифру числа Пи. Данное задание достаточно часто встречается в ЕГЭ по математике.

База упражнений на нашем портале постоянно обновляется и дополняется преподавателями с большим стажем. У школьников есть отличная возможность каждый день получать совершенно новые задания, а не зацикливаться на одних и тех же примерах, как зачастую приходится делать при повторении по школьному учебнику.

Начните занятия на сайте «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать!

Обучение на нашем портале доступно всем желающим. Чтобы вы отслеживали свой прогресс и получали новые задания, созданные персонально для вас, зарегистрируйтесь в системе. Желаем вам удачной подготовки!

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник



Знаток

(412),
закрыт



9 лет назад

iwsat

Мастер

(1695)


11 лет назад

рассмотрим сначала число 12^39. последняя цифра будет зависеть от двойки в числе 12, так? вспомним степени двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64 и т. д. Видим, что последовательность последних цифр идет в порядке 2, 4, 8, 6 (а потом снова 2 и т. д) , а нам нужно узнать, какая из этих цифр будет последней в 39 степени. для этого делим 39 на 4 с остатком (делим на 4 потому что у нас в последовательности четыре числа, это те которые 2 4 8 6). остаток три. третье число в последовательности, это 8. вот. Это значит что 12^39 будет оканчиваться на 8.
Проводим те же махинации с 13^41. степени тройки (3, 9, 27, 81, 243 и т. д.) . видим последовательность 3 9 7 1 (в последовательности тоже 4 цифры) . делим степень 41 на 4 с остатком, остаток 1. первое число в последовательности является тройкой, и это значит что последняя цифра числа 13^41 будет являться тройкой.
теперь нам нужно просто сложить полученные числа 8 и 3. получится 11, последняя цифра 1.
опечатался сначала, исправил.

Источник: подумал.

Источник

Тема 18.

Задачи на теорию чисел

18

.

09

Последняя цифра числа

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами – ЛЕГКО!

Подтемы раздела

задачи на теорию чисел

Решаем задачи

Делится ли число 2723 + 3311 на 10 ?

Найдите последнюю цифру числа:

а) 333

б) 5757

в) 2016 2016

Показать ответ и решение

а) Заметим, что последняя цифра произведения двух натуральных чисел такая же, как последняя
цифра произведения последних цифр этих двух чисел.

То есть предположим, что нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел 457 и 369 .
Для этого нам нужно перемножить последние цифры этих чисел, то есть 7 ⋅ 9 = 63 , и так
последняя цифра у 63 – это 3 , то последняя цифра произведения чисел 457 и 369 тоже
3 .

Пользуясь этим правилом, составим последовательность последних цифр степеней тройки:

3,9,7,1,3, 9,7,1,⋅⋅⋅

Заметим, что в этой последовательности блоки по четыре цифры 3, 9, 7, 1 повторяются, значит,
последняя цифра числа 333 зависит от того, какой остаток будет давать число 33 при делении на 4
(так как блоки по 4 цифры).

Так как остаток 33 при делении на 4 равен 1 , то 33 3 заканчивается на такую же цифру, как и
1 3 . Таким образом, последняя цифра числа 33 3 – это 3 .

б) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа 5757 – это
7 .

в) Аналогично решая данный пункт задачи, найдем, что последняя цифра числа 20162016 – это 6 .

Показать ответ и решение

Докажем методом от противного: пусть такие числа m , n существуют. Пусть при этом m = 17 ⋅ n ,
тогда какой может быть последняя цифра числа m ?

Ответ на последний вопрос зависит от последней цифры числа n . Рассмотрим все возможные
варианты:
1) последняя цифра числа n – это цифра 1 , тогда последняя цифра числа 17n – это цифра 7 , но m
не может содержать в своей записи цифру 7 .
2) последняя цифра числа n – это цифра 2 , тогда последняя цифра числа 17n – это цифра 4 , но m
не может содержать в своей записи цифру 4 .
3) последняя цифра числа n – это цифра 8 , тогда последняя цифра числа 17n – это цифра 6 , но m
не может содержать в своей записи цифру 6 .
4) последняя цифра числа n – это цифра 9 , тогда последняя цифра числа 17n – это цифра 3 , но m
не может содержать в своей записи цифру 3 .

Таким образом, подходящих m и n не существует.

Найдите последнюю цифру числа, равного 0! + 1! + 2! + 3! + ⋅⋅⋅ + 2017! , если 0! = 1 – по определению.

Показать ответ и решение

Последняя цифра суммы равна последней цифре суммы последних цифр исходных слагаемых.

Так как при n ≥ 5 последняя цифра числа n! равна 0 , то все числа вида n! при n ≥ 5 не дадут
вклада в последнюю цифру исходной суммы.

Таким образом, последняя цифра исходной суммы совпадает с последней цифрой суммы

0! + 1! + 2! + 3! + 4!,

которая равна последней цифре суммы последних цифр её слагаемых, то есть последней цифре
числа

1 + 1 + 2 + 6 + 4 = 14,

которой является цифра 4 .

Ответ:

4

Академик Котовский нашел самое большое простое число: 1999876891999 − 1 . Не перепутал ли чего
академик?

Показать ответ и решение

Так как последняя цифра числа n2 равна 4 , то n2 – чётное, следовательно, n – чётное, тогда n2
делится на 4 , что равносильно тому, что число, образованное двумя последними цифрами числа n2 ,
делится на 4 .

Не более чем двузначные числа, у которых последняя цифра равна 4 , которые и сами делятся на
4 :

04, 24, 44, 64, 84.

Таким образом, предпоследняя цифра числа n2 обязательно чётна.

Докажите, что все числа вида n! при всевозможных натуральных n, больших четырёх, оканчиваются на одну и ту же
цифру.

Показать ответ и решение

При n ≥ 5 имеем:

n!= 1⋅2⋅3⋅4 ⋅5⋅...⋅n =120⋅...⋅n

— делится на 10, следовательно, последняя цифра такого числа равна 0.

Ответ:

Задача на доказательство

Вася записал число, равное 2016! , в десятичной системе исчисления. Затем он стёр 500 последних
цифр записанного числа. Какой цифрой оканчивается число, полученное в итоге Васей?

Показать ответ и решение

Понятно, что несколько последних цифр этого числа будут равны 0 (в произведении 1 ⋅ 2 ⋅ ...⋅ 2016
есть множители 10 , 100 , 1000 ).

Пусть некоторое число делится на 10N , тогда последние N цифр в его десятичной записи равны
0 .

Число делится на N 10 тогда и только тогда, когда оно делится на N 2 и на N 5 .

 Чисел, которые делятся на 5 и не превосходят 2016 , ровно [2016 : 5] = 403 (здесь [a] – целая часть
a ).
Чисел, которые делятся на 2 5 = 25 и не превосходят 2016 , ровно [2016 : 25] = 80 .
Чисел, которые делятся на 3 5 = 125 и не превосходят 2016 , ровно [2016 : 125] = 16 .
Чисел, которые делятся на 54 = 625 и не превосходят 2016 , ровно [2016 : 625] = 3 .
При n ≥ 5 чисел, которые делятся на 5n и не превосходят 2016 нет.

Тогда 2016! делится на 10502 , следовательно, последние 502 цифры этого числа равны 0 . Таким
образом, число, которое в итоге получил Вася, также оканчивается на 0 .

Ответ:

0

Найдите все натуральные n такие, что к десятичной записи числа n(n + 2) справа можно дописать
две цифры так, что полученное число будет квадратом некоторого натурального числа.

Показать ответ и решение

n (n + 2) = n2 + 2n.

Дописывание к десятичной записи числа цифр a и b эквивалентно умножению исходного числа на
100 и прибавлению к нему 10a + b :

100(n2 + 2n) + 10a + b = 100(n2 + 2n + 1 ) − 100 + 10a + b = (10n + 10)2 − 100 + 10a + b.

По условию полученное число должно быть равно N 2 для некоторого натурального N ,
тогда:

2 2 2 2 (10n + 10) − 100 + 10a + b = N ⇔ (10n + 10) − N = 100 − 10a − b ⇔ ⇔ (10n + 10 − N )(10n + 10 + N ) = 100 − (10a + b)

Обозначим 100 − (10a + b) = c , 1 ≤ c ≤ 100 – натуральное.

Тогда для того, чтобы n подходило по условию, необходимо и достаточно, чтобы для некоторого
натурального N и некоторого натурального 1 ≤ c ≤ 100 было выполнено

(10n + 10 − N )(10n + 10 + N ) = c.

Первый множитель (10n + 10 − N ) – натуральное число, так как оно целое и его произведение с
натуральным числом даёт натуральное число.

Так как произведение не превосходит 100 , то 10n + 10 + N ≤ 100 .

Так как N 2 ≥ 300 (N 2 ≥ n(n + 2 ) ⋅ 100 ≥ 300 ) и N ∈ ℕ , то N ≥ 18 , тогда

28 ≤ 10n + 10 + N ≤ 100.

Таким образом, имеет смысл проверить только n = 1,2,3, 4,5,6,7 .

Для n ∈ {1,2,3,4} достаточно положить N = 10n + 9 , c = (10n + 10 + N ) .

Легко проверить, что при n = 5 :

(60 − N )(60 + N ) = c

– не
может быть выполнено при 1 ≤ c ≤ 100 , N, c ∈ ℕ .

Для n = 6 и n = 7 – аналогично.
Таким образом, условие задачи выполняется только для n ∈ {1,2,3,4} .

Источник

Для целых чисел все просто, как уже верно заметил Stalker_RED достаточно взять остаток от деления на 10n % 10
Но вот с дробными числами все намного интереснее. Потенциально, можно получить целое представление последовательно умножая число на 10 (сдвигая тем самым десятичную точку вправо), а после воспользоваться предыдущим приемом. Но проблема тут в том, что потенциально такая последовательность может оказаться бесконечной и такой алгоритм зациклится.
Если обратится к стандарту IEEE 754, то можно узнать, что в 64 битах можно точно представить не более 16 десятичных разрядов, а это уже можно использовать как ограничитель, так как при превышении 16 сдвигов десятичной точки значение все равно уже не будет точным

const lastDigit = n => {
    // в n совсем не то
    if (isNaN(n) || !isFinite(n)) return NaN;
    // в n целое
    if (n % 1 === 0) return n % 10;
    // для дробных проще со строкой работать
    const s = String(Math.abs(n));
    // неточные значения
    if (s.length > 16 || s.includes('e')) return NaN;
    return +s.slice(-1);
}

Источник

Основная часть

I. Нахождение последней цифры в записи
степени натурального числа.

После изучения темы “Степень с натуральным
показателем” была предложена такая задача:
найти последнюю цифру степеней:

а) , , , , ;

б) , .

Мы заметили, что в первом случае показатели
степеней составные числа, а во втором случае
показатели степеней простые числа. В обоих
случаях есть основания четные и нечетные. Мы
сначала попробовали представить степени в виде
произведения степеней с тем же основанием и
одинаковыми показателями, затем воспользовались
со свойствами степеней с натуральными
показателями

Например, = ***
или

В первом случае узнали последнюю цифру степени . Это 3. А дальше
определили искомую цифру как последнюю цифру
числа .
Получили 1. Во втором случае сначала нашли
последнюю цифру степени . Это 1. А 1 в любой степени -1.
Второй способ нам понравился больше. Аналогично
нашли последнюю цифру остальных степеней.

В ходе решения таких задач мы поняли, чтовсегда оканчивается (при натуральном) n
на 6.

Но вторая задача достаточно сложная, так как
показатели степеней простые числа и мы не
можем представить эти степени в виде
произведения степеней с одинаковыми
показателями, как делали раньше. Но мы нашли
способы решения.

Значит, последняя цифра степени равна 3.

Мы решили найти более удобный,
универсальный способ нахождения последней цифры
степени.

Решили заполнить таблицу, где в первой
строке написаны цифры, которыми оканчиваются
записи натуральных чисел. Во – второй строке –
цифры, которыми оканчиваются соответствующие
квадраты, в третьей – кубы и т.д.

Мы заполнили пятую строку, затем шестую и
удивились. Оказывается, пятая степень числа
оканчивается той же цифрой, что и первая степень
числа; а шестая степень числа оканчивается той же
цифрой, что и вторая степень этого числа; седьмая
степень – что и третья степень этого числа.

К нашему удивлению, результаты в таблице
повторяются через каждые четыре строки.

После решения этих примеров и заполнения
таблицы мы пришли к выводу, что:

  • Во-первых, квадрат натурального числа может
    оканчиваться любой цифрой;
  • Во-вторых, куб натурального числа может
    оканчиваться любой цифрой;
  • В-третьих, четвертая степень натурального числа
    может оканчиваться одной из цифр: 0, 1, 5, 6;
  • В-четвертых, пятая степень натурального числа
    оканчивается той же цифрой, что и само число;
  • В-пятых, если запись натурального числа
    оканчивается на 1, на 5, на 6, то любая степень этого
    числа оканчивается соответственно на 1, на 5, на 6;
  • В-шестых, нечетные степени числа 4 оканчиваются
    цифрой 4, а четные – цифрой 6.

Мы поставили перед собой такую задачу, а
нельзя ли найти способ определения последней
цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.

II. Составление алгоритма нахождения
последней цифры степени по остатку от деления ее
показателя на 4.

Вернулись к нашим же примерам.

Найти последнюю цифру степеней: , , , ;.

Итак, мы заметили, что если остаток равен 0, то
для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а
для четных, искомая цифра равна 6.

Далее мы начали подбирать такие степени, когда
при делении показателя степени на 4 получаются
остатки 1, 2, 3.

Например, .

Если остаток равен 1, то искомая цифра будет
равна последней цифре основания степени.

Если остаток равен 2, то искомая цифра будет
равна последней цифре в записи квадрата
основания.

Если остаток равен 3, то искомая цифра будет
равна последней цифре в записи куба основания.

А если степени с очень большими показателями?

Например,

Мы легко справились и с этой задачей.

Итак, мы получили алгоритм нахождения
последней цифры степени натурального числа.

Чтобы найти последнюю цифру степени
натурального числа с натуральным показателем,
надо:

Найти остаток от деления показателя степени на
4;

Если остаток равен

а) 1, то искомая цифра будет совпадать с
последней цифрой основания степени;

б) 2, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи квадрата основания;

в) 3, то искомая цифра будет равна последней
цифре в записи куба основания;

г) 0, то для всех нечетных оснований, кроме чисел,
оканчивающихся на 5, искомая цифра равна 1, а для
четных, кроме круглых чисел, искомая цифра равна
6.

Мы научились быстро находить последнюю цифру
степени и попробовали расширить круг знаний.
Например, мы составили такие задачи.

III. Составление упражнений на применение
алгоритма.

1. Доказать, что число кратно 2.

2. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

3. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом
(натуральном) n.

4. Какой цифрой оканчивается произведение всех
двузначных чисел, каждое из которых оканчивается
на 7?

Источник

Добавить комментарий