Найти проекции векторов это как - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти проекцию вектора на вектор?

Для того, чтобы найти проекцию вектора на вектор ($overline{a}$ на $overline{b}$) нужно разделить скалярное произведение этих векторов на длину последнего вектора $overline{b}$ по формуле: $$text{Пр}_{overline{b}} overline{a} = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{b}|}$$

Пример 1

Найти проекцию вектора $overline{a} = (1,2)$ на вектор $overline{b} = (-1,2)$

Решение

Вычисляем скалярное произведение векторов. Умножаем соответствующие координаты и складываем $$(overline{a},overline{b}) = 1 cdot (-1) + 2 cdot 2 = -1 + 4 = 3$$

Находим модуль вектора, на который ищем проекцию $$|overline{b}| = sqrt{(-1)^2 + 2^2} = sqrt{5}$$

Подставляя в формулу проекции вектора $overline{a}$ на направляющий вектор $overline{b}$ получаем искомое значение $$text{Пр}_{overline{b}} overline{a} = frac{3}{sqrt{5}}$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$text{Пр}_{overline{b}} overline{a} = frac{3}{sqrt{5}}$$

Пример 2

Вычислить проекцию вектора на вектор, если $overline{a} = (1,2,-3)$ и $overline{b} = (2,1,1)$

Решение

Берем скалярное произведение двух векторов. Перемножаем попарно соответствующие координаты и суммируем полученные значения $$(overline{a},overline{b}) = 1 cdot 2 + 2 cdot 1 + (-3) cdot 1 = 2 + 2 – 3 = 1$$

Так как ищем проекцию на вектор $overline{b}$, то вычисляем его модуль (длину) $$|overline{b}| = sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = sqrt{6}$$

По главной формуле получаем ответ к задаче $$text{Пр}_{overline{b}} overline{a} = frac{1}{sqrt{6}}$$

Ответ

$$text{Пр}_{overline{b}} overline{a} = frac{1}{sqrt{6}}$$

Источник

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Навигация по странице:

Определение проекции вектора на ось
Определение проекции вектора на вектор
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Примеры задач на проекцию вектора
- плоские задачи
- пространственные задачи

Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A₁B₁ оси l, где точки A₁ и B₁ являются проекциями точек A и B на ось l. (рис. 1).

рис. 1

Определение. Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b.

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = {1; 2} на вектор b = {3; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

|b| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	11	= 2.2
\|b\|	5

Ответ: Пр _ba = 2.2.

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = {1; 4; 0} на вектор b = {4; 2; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

|b| = √4² + 2² + 4² = √16 + 4 + 16 = √36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	12	= 2
\|b\|	6

Ответ: Пр _ba = 2.

Источник

Проекцией вектора
на заданную осьl называется численное
значение векторана осиl(рис. 1.5а).

Проекцией вектора
на векторназывается проекция векторана ось, имеющую с векторомодинаковое направление (рис. 1.5б).

Рис. 1.5а Рис. 1.5б

,
где–
угол между вектороми осьюl.

Свойство проекций:

1) Проекция суммы векторов на ось равна
сумме проекций этих векторов, т.е.

Пр_.Пр.+
Пр.;

2) проекция произведения вектора
на числоравна произведению числа на проекцию
вектора,
т.е. Пр_lПр_l.

1.3. Декартовы прямоугольные координаты

Положение точки в пространстве будем
определять относительно пространственной
декартовой прямоугольной системы
координат, состоящей из трех взаимно
перпендикулярных осей координат,
пересекающихся в одной точке О,
называемой началом координат.

Ось Oxназывают осьюабсцисс,
осьOy– осьюординат и осьOz – осьюаппликат.

Координатные оси Ox,Oy,Oz,
взятые попарно, определяют три взаимно
перпендикулярные плоскостиxOy,yOz,xOz, называемыекоординатными
плоскостями.

Декартова система координат позволяет
связать с каждой точкой Pпространства,
в котором выбраны три не лежащие в одной
плоскости направленные прямые Ox,
Oy, Oz(оси координат), пересекающиеся
в начале O, три вполне определенных
действительных числа (декартовы
координаты) x, y, z; при этом пишутP(x,y,z).

Оси Ox, Oy, Ozмогут образовывать
правую или левую систему. Дляправой
системы поворот от осиOxк оси Oyна угол, меньший,
совершается в направлении против часовой
стрелки, если смотреть на плоскостьxOyиз какой-либо точки положительной
полуоси Oz (положительная сторона
плоскостиxOy). рис.1.6.

Правая система Левая система

Рис. 1.6

Замечание.Когда мы изучали комплексные
числа, то, наряду с декартовой системой
координат, рассматривали полярную
систему координат на плоскости, которая
задается точкойО (полюсом) и
полярной осью – лучом, выходящим из
полюса. Связь прямоугольных и полярных
координат задается формулами:

, где(1.3.1)

1.4. Координатное представление векторов

Пусть мы имеем прямоугольную систему
координат в пространстве.

Если вместе с вектором
,
имеющим произвольную длину, рассмотреть
вектор, имеющий единичную длину, но
направленный так же, как вектор,
то этот вектор называетсяортом
вектораи обозначается, например,.
Отсюда следует, что.

Обозначим единичные векторы (орты)
осейOx, Oy, Ozсоответственно
черезпричем.

Разложим произвольный вектор
трехмерного пространства по ортам. Для
этого построим вектор,
равный вектору.
Из точкиМ опустим перпендикуляр
на плоскость хOу. Из основания
этого перпендикуляра (точкаА)
опустим перпендикуляры на оси координатОхиОу и соединим точкуАс
началомО. На векторахипостроим прямоугольникОАММ₃,
диагональю которого будет вектор.
Из рис. 1.7 видно, чтоили.

Рис. 1.7

Векторы
,,называютсясоставляющимивектора.

Координаты точек
являются координатами вектора.

Можно сказать, что координатами вектора
являются
его проекции на оси координат.

Составляющие вектора можно выразить
через его проекции (координаты):

Подставляя эти значения в равенство
и обозначивчерезполучим:

(1.4.1)

Равенство (1.4.1) можно записать в виде:

(1.4.2)

Замечание 1. Равные векторы имеют
одинаковые координаты.

Замечание 2. Разложение векторав виде (1.4.1) возможно только единственным
способом.

Из единственности разложения (1.4.1)
вектора
по ортам, следует, что если координаты
любых двух векторовиравны, т.е.,
то эти векторы тоже равны .

Вектор
,
идущий от начала точкиОк точкеназываетсярадиус – векторомэтой
точки, и его координаты совпадают с
соответствующими координатами точки(рис. 1.8)

Рис. 1.8

Поэтому
,
или.
Пусть– вектор, координаты начала и конца
которого известныи.
Тогда координаты векторавыражаются по формулам :

(1.4.3)

Из рис. 1.9 видно, что

(1.4.4)

Рис. 1.9

Используя свойства проекций (п.1.2.),
имеем:
,
и аналогичным образом находим.

Разложение вектора
по ортам будет иметь следующий вид:

(1.4.5)

Тройка векторов
называетсякоординатным базисом,
а разложение (1.4.1) вектораназывается разложением векторапо базису.

Замечание. Разложение векторана плоскости по базисуимеет вид.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
09.02.201544.66 Mб51Введение в электронику практический подход.pdf
#
#
#
#
#
#
#
#
#

Источник

Содержание:

Формула
Примеры нахождения проекции вектора на вектор

Формула

Чтобы найти проекцию вектора $bar{a}$ на вектор
$bar{b}$, надо
скалярное произведение указанных векторов поделить на
длину (модуль) вектора
$bar{b}$, то есть

$$Пр_{bar{b}} bar{a}=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{b}|}$$

В случае если векторы заданы на плоскости и имеют координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то проекция вектора
$bar{a}$ на вектор
$bar{b}$ вычисляется по формуле:

$$Пр_{bar{b}} bar{a}=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$

Если векторы заданы в пространстве, то есть имеют координаты bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right) text { и } bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right), то проекция вектора
$bar{a}$ на вектор
$bar{b}$ вычисляется по формуле:

$$Пр_{bar{b}} bar{a}=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$

Примеры нахождения проекции вектора на вектор

Пример

Задание. Найти проекцию вектора
$bar{a}$ на вектор
$bar{b}$, если
$bar{a}=(-1 ; 0)$ и $bar{b}=(3 ;-4)$

Решение. Для нахождения проекции вектора
$bar{a}$ на вектор
$bar{b}$, будем использовать формулу

$$Пр_{bar{b}} bar{a}=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$

Подставляя в неё координаты заданных векторов, получим:

$$Пр_{bar{b}} bar{a}=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{b}|}=frac{-1 cdot 3+0 cdot(-4)}{sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=frac{-3+0}{sqrt{9+16}}=frac{-3}{sqrt{25}}=-frac{3}{5}$$

Ответ. $Пр_{bar{b}} bar{a}=-frac{3}{5}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти проекцию вектора
$bar{a}=(-2 ; 3 ; 0)$ на вектор
$bar{b}=(-2 ; -1 ; 5)$

Решение. Подставляя координаты заданных векторов в формулу

$$Пр_{bar{b}} bar{a}=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$

получим:

$$Пр_{bar{b}} bar{a}=frac{(bar{a}, bar{b})}{|b|} =frac{-2 cdot(-2)+3 cdot(-1)+0 cdot 5}{sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+5^{2}}}=$$
$$=frac{4-3+0}{sqrt{4+1+25}}=frac{1}{sqrt{30}}$$

Ответ. $Пр_{bar{b}} bar{a}=frac{1}{sqrt{30}}$

Читать дальше: как найти длину вектора.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, что такое проекция вектора на ось или на другой вектор, и приведем формулу, с помощью которой можно найти значение этой проекции. Также разберем примеры решения задач по этой теме.