Содержание:
- Определение произведения чисел
- Свойства произведения чисел
Определение произведения чисел
Произведение $p$ чисел
$a_{1}, a_{2}, dots, a_{n}$ есть результат умножения этих чисел: $p=a_{1} cdot a_{2} cdot ldots cdot a_{n}$ .
В частности, если умножаются два числа $a$ и $b$, то
Пример
Задание. Найти произведение чисел:
1) 1.2$cdot 3$ ; 2) 4$cdot 5 cdot 13$
Ответ.
$1,2 cdot 3=3,6$
$4 cdot 5 cdot 13=260$
Свойства произведения чисел
- Коммутативность: $n cdot m=m cdot n$
-
Ассоциативность: $(n cdot m) cdot k=n cdot(m cdot k)$
На основании этих свойств можем заключить, что при перестановке множителей значение произведения не меняется.
- Дистрибутивность: $(n+m) cdot k=n cdot k+m cdot k$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти произведение чисел удобным способом:
1) 5$cdot 17 cdot 2$ ; 2) 7$cdot 2 cdot 15 cdot 5$
Решение. По свойства умножения имеем:
$$5 cdot 17 cdot 2=(5 cdot 2) cdot 17=10 cdot 17=170$$
$$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=(7 cdot(2 cdot 15)) cdot 5=(7 cdot 30) cdot 5=210 cdot 5=1050$$
Ответ.
$5 cdot 17 cdot 2=170$
$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=1050$
Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие
натуральные числа или
десятичные дроби.
Пример
Задание. Найти произведение чисел
1) 156$cdot 32$ ; 2) $4,71 cdot 3,1$
Решение. Запишем умножаемые числа в столбик. Далее умножим сначала единицы второго числа на первое,
полученное произведение запишем под чертой. Затем аналогично умножим десятки второго числа на первое. Результат запишем
под первым произведением только на один разряд левее. В конце найдем сумму полученных произведений по правилу сложения в
столбик
Умножение десятичных дробей во втором примере производится следующим образом: не обращая внимания на запятые, дроби
перемножаются как целые числа; в получившемся произведении отделяют справа число знаков, равное сумме чисел знаков после
запятой у сомножителей. В нашем случае в первом сомножителе два знака после запятой, во втором – один, значит, в ответе
нужно отделить справа три знака:
Ответ.
$156 cdot 32=4992$
$4,71 cdot 3,1=14,601$
Читать дальше: что такое простое число.
Содержание
- Умножение натуральных чисел
- Множимое, множитель и произведение
- Проверка умножения
- Что значит найти значение произведения чисел
- Что такое произведение чисел (онлайн калькулятор на умножение)
- Определение произведения чисел
- Свойства произведения чисел
- Умножение или произведение натуральных чисел, их свойства.
- Умножение натурального числа.
- Переместительный закон умножения.
- Сочетательный закон умножения.
- Умножение любого натурального числа на единицу.
- Умножение любого натурального числа на нуль.
- Что такое произведение чисел
- Определение произведения чисел
- Свойства произведения чисел
- Числа. Произведение чисел. Свойства умножения.
- Свойства умножения чисел.
Умножение натуральных чисел
Умножение — это арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых.
Пример. Во дворе посадили 3 ряда ёлок, по 4 ёлки в каждом ряду. Сколько ёлок посадили во дворе?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти сумму 3 слагаемых, каждое из которых равно 4.
Складывая 3 раза по 4 ёлки, мы получим общее количество ёлок во всех трёх рядах.
Умножить – значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц.
Для записи умножения используется знак х (косой крест) или · (точка), который ставится между числами. Например:
Эта запись означает, что 4 надо умножить на 3. Справа от записи умножения ставится знак = (равно), после которого записывается полученный результат:
Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых.
Пример. Умножить 6 на 5 — это значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно шести:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30.
Сократим запись, заменив сложение на умножение:
Оба выражения равны:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 5 = 30,
но для краткости записей лучше всегда использовать умножение, когда число одинаковых слагаемых больше двух.
Множимое, множитель и произведение
Множимое — это число, которое умножают. Множитель — это число, на которое умножают. Например, в записи:
4 — это множимое, 3 — множитель. Множимое является числом, которое выступает в качестве слагаемого. Множитель — это число, которое указывает количество одинаковых слагаемых.
Произведение — это число, которое получается в результате умножения. Например, в записи:
12 — это произведение. При этом сама запись 4 · 3 тоже называется произведением.
Эту запись можно прочитать так: произведение четырёх и трёх равно двенадцати , четыре умножить на три равно двенадцати , по четыре взять три раза, получится двенадцать .
Множимое и множитель иначе называются множителями или сомножителями.
Проверка умножения
где 4 — это множимое, 3 — это множитель, а 12 — произведение. Чтобы узнать правильно ли было выполнено умножение, можно:
- Разделить произведение на множитель, если получится число, равное множимому, то умножение было выполнено верно:
Разделить произведение на множимое, если получится число, равное множителю, то умножение выполнено верно:
Умножение двух чисел можно проверить делением, для этого произведение делят на один из сомножителей, если частное окажется равно другому сомножителю, то умножение выполнено верно.
Источник
Что значит найти значение произведения чисел
Что такое произведение чисел (онлайн калькулятор на умножение)
Одна из важных математических операций это произведение чисел. Что же скрыто за этими словами как произведение, умножение. Именно об этом в нашей статье.
Давайте наверное начнем с банальных вещей. Когда у нас появляется много чего-то, то довольно сложно это хранить даже в виде информации. Нам каким-то образом это приходится компактно сокращать. Вот скажем у нас появилось более чем две пары носков в шкафу, а точнее пусть их будет 15. Как нам из записать на бумаге. Да, конечно, мы можем взять и записать 2+2+2. и так далее, пока не перечислим цифру два, с которой ассоциируется одна из пар носков на их количество, то есть на 15. Но это ведь право не удобно, особенно если представить, что речь идет не только о наших носках в шкафу, но и о случае их хранения в магазине! И здесь проще записать словами так. У нас две пары носков взято какое-то количество раз!
Вот, здесь где-то и образуется эта самая магия перехода от обычной суммы к произведению, когда мы подразумеваем, что берем какое-то число какое-то количество раз. Самое время дать определение.
Определение произведения чисел
Произведение двух чисел это есть не что иное, как взятое одно из чисел в количестве другого числа.
Еще раз! Если произведение будет С, то номинальное значение одного из чисел пусть а, взятое в количестве b раз и будет этим произведением. Можно записать скажем так
С=а1+а2+а3+а4. +аb где 1,2,3,4. b будут индексом указывающим на то, какое это число а по порядку и не более того!
Пример Найти произведение чисел:
Свойства произведения чисел
Коммутативность: n⋅m=m⋅n
Ассоциативность: (n⋅m)⋅k=n⋅(m⋅k)
На основании этих свойств можем заключить, что при перестановке множителей значение произведения не меняется.
Пример Найти произведение чисел удобным способом:
1) 5⋅17⋅2 ; 2) 7⋅2⋅15⋅5
Решение. По свойства умножения имеем:
Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие натуральные числа или десятичные дроби.
Пример Найти произведение чисел
1) 156⋅32 ; 2) 4,71⋅3,1
Решение. Запишем умножаемые числа в столбик. Далее умножим сначала единицы второго числа на первое, полученное произведение запишем под чертой. Затем аналогично умножим десятки второго числа на первое. Результат запишем под первым произведением только на один разряд левее. В конце найдем сумму полученных произведений по правилу сложения в столбик
Умножение десятичных дробей во втором примере производится следующим образом: не обращая внимания на запятые, дроби перемножаются как целые числа; в получившемся произведении отделяют справа число знаков, равное сумме чисел знаков после запятой у сомножителей. В нашем случае в первом сомножителе два знака после запятой, во втором — один, значит, в ответе нужно отделить справа три знака:
Побалуемся с произведением!?
Цифра которую будем брать N раз (множитель)
А чему равно это самое N раз?(множитель)
Источник
Умножение или произведение натуральных чисел, их свойства.
Умножение натурального числа.
Разберем понятие умножение на примере:
Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.
Решение:
Рассмотрим задачу подробно.
В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.
Рассмотрим пример: 
Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22
Подведем итог. Что такое умножение?
Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.
Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел, а числа m и n называют множителями.
Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел.
Числа 7 и 12 называются множителями.
В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:
Переместительный закон умножения.
Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.
Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.
Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m⋅n=n⋅m
Сочетательный закон умножения.
Рассмотрим на примере:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅b) ⋅c=a⋅(b⋅c)
Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.
Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.
Эти законы верны для любых натуральных чисел.
Умножение любого натурального числа на единицу.
Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a⋅1=a или 1⋅a=a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.
Умножение любого натурального числа на нуль.
6⋅0=0 или 0⋅6=0
a⋅0=0 или 0⋅a=0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.
Вопросы к теме “Умножение”:
Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.
Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.
Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0
Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27
Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с
Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.
Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.
Источник
Что такое произведение чисел
Определение произведения чисел
Произведение $p$ чисел $a_<1>, a_<2>, dots, a_$ есть результат умножения этих чисел: $p=a_ <1>cdot a_ <2>cdot ldots cdot a_$ . В частности, если умножаются два числа $a$ и $b$, то
Задание. Найти произведение чисел:
1) 1.2$cdot 3$ ; 2) 4$cdot 5 cdot 13$
Ответ.
$4 cdot 5 cdot 13=260$
Свойства произведения чисел
- Коммутативность: $n cdot m=m cdot n$
Ассоциативность: $(n cdot m) cdot k=n cdot(m cdot k)$
На основании этих свойств можем заключить, что при перестановке множителей значение произведения не меняется.
Что такое произведение чисел не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Найти произведение чисел удобным способом:
1) 5$cdot 17 cdot 2$ ; 2) 7$cdot 2 cdot 15 cdot 5$
Решение. По свойства умножения имеем:
$$5 cdot 17 cdot 2=(5 cdot 2) cdot 17=10 cdot 17=170$$
$$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=(7 cdot(2 cdot 15)) cdot 5=(7 cdot 30) cdot 5=210 cdot 5=1050$$
Ответ.
$5 cdot 17 cdot 2=170$
$7 cdot 2 cdot 15 cdot 5=1050$
Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие натуральные числа или десятичные дроби.
Задание. Найти произведение чисел
1) 156$cdot 32$ ; 2) $4,71 cdot 3,1$
Решение. Запишем умножаемые числа в столбик. Далее умножим сначала единицы второго числа на первое, полученное произведение запишем под чертой. Затем аналогично умножим десятки второго числа на первое. Результат запишем под первым произведением только на один разряд левее. В конце найдем сумму полученных произведений по правилу сложения в столбик
Умножение десятичных дробей во втором примере производится следующим образом: не обращая внимания на запятые, дроби перемножаются как целые числа; в получившемся произведении отделяют справа число знаков, равное сумме чисел знаков после запятой у сомножителей. В нашем случае в первом сомножителе два знака после запятой, во втором — один, значит, в ответе нужно отделить справа три знака:
Источник
Числа. Произведение чисел. Свойства умножения.
Умножение — одно из четырёх основных арифметических действий, бинарная математическая операция, в которой один аргумент складывается столько раз, сколько показывает другой.
Произведение чисел m и n — это сумма n слагаемых, каждое из этих слагаемых = m.
Выражение типа m • n, и значение такого выражения называется произведение чисел m и n. Числа m и n называются множителями.
Если устное умножение чисел затруднительно используют умножение в столбик. В столбик можно умножать большие натуральные числа или десятичные дроби.
Свойства умножения чисел.
1. Коммутативность: 
При перестановке множителей местами, значение произведения остается без изменений. Это переместительное свойство умножения.
где, 3 и 4 — множители, а 12 — произведение.
2. Ассоциативность: 
В произведении 3-х и больше множителей при перестановке этих множителей либо изменения последовательности выполнения умножения результат остается одинаковым.
(6 • 2) • 3 = 12 • 3 = 36 или 6 • (2 • 3) = 6 • 6 = 36 .
3. Дистрибутивность: 
4. Произведение всякого натурального числа и единицы, будет соответствовать этому числу.
Произведение всякого натурального числа и нуля, = 0.
Выражения с буквенными множителями записывают так:
вместо 8 • x пишут 8x , вместо a • b пишут ab.
Кроме того, не используют знак умножения и перед скобками,
2 • (a + b) записывают как 2(а + b),
(x + 2) • (y + 3) записывают как (x + 2)(y + 3) ,
Источник
Целью этого материала будет объяснение важного математического действия, называемого умножением. Для начала попробуем дать вам общее представление о нем и помочь понять сам смысл процесса умножения. Затем мы разберемся с основными определениями и правилами записи, которые используются при умножении натуральных чисел. В последнем пункте мы остановимся на том, для решения каких задач нам пригодится умножение.
Общий смысл умножения
Ранее, разбирая действие сложения, мы говорили о нем как об объединении некоторых множеств. Умножение – тоже своего рода объединение множеств, только разница в том, что все множества будут одинаковы. Что это значит на практике?
Умножение связано с ростом, увеличением изначального количества чего-либо. Вспомним выражение «приумножать богатства» (т.е. приобрести больше богатства, чем было изначально), «приумножать добро» и т.д. Таким образом, умножение сводится к многократному увеличению исходного количества чего-либо.
Взяв за основу общее представление об умножении, выясним конкретный смысл этого понятия. Для этого разберем задачу. У нас есть два мастера, каждый из которых может сковать за день четыре меча. Цель – выяснить, сколько оба мастера изготовят за один день.
Есть два подхода к решению этой задачи. Мы можем определить нужное количество изделий, воспользовавшись методом сложения: 4+4=8. Сумма двух слагаемых и даст нам в итоге нужную цифру (для вычислений надо будет воспользоваться таблицей сложения).
А если нам нужно узнать общее количество изделий не для двух, а для 456 мастеров? Неужели придется складывать 456 одинаковых слагаемых? Ведь исходное число будет равно именно их сумме. Использовать метод сложения тем не менее можно (вспомним, как правильно складывать три натуральных числа и больше), однако подсчеты будут очень сложными и займут много времени. Удобнее применить для решения метод умножения: не складывать восьмерки 456 раз, а просто умножить 8 на 456. Сформулируем определение:
Умножить одно натуральное число на другое – значит совершить действие, в результате которого получится число, являющееся суммой одинаковых слагаемых. При этом значение первого числа будет соответствовать значению одного слагаемого, а второе будет указывать на количество этих слагаемых.
Решить задачу, приведенную ранее, мы можем, умножив числа 8 и 456. Это позволит нам получить точный результат намного быстрее, чем при подсчете методом сложения.
Отдельно отметим, что результат умножения натуральных чисел – это тоже натуральное число, равно как и сумма натуральных чисел дает нам в итоге другое натуральное число.
Основные понятия умножения
В этом пункте мы укажем основные термины, которые используют при описании умножения, и правила их записи.
Знак умножения обычно отображают на письме в виде точки «·», которая располагается между двумя умножаемыми числами. К примеру, 6·7 или 2·78 (два числа со знаком умножения вместе образуют числовое выражение). Иногда вместо точки пишут звездочку или знак «х».
Те числа, которые перемножают, называют множителями, а результат действия принято называть произведением натуральных чисел. Само числовое выражение из множителей и знака между ними также будем называть произведением.
При многоступенчатых подсчетах множители удобно нумеровать, т.е. указывать, что одно из чисел является первым множителем, другое – вторым и др.
Если нам нужно получить результат умножения некоторых чисел, то мы используем выражения «найти произведение», «вычислить произведение», «умножить одно число на другое».
Итог вычисления принято выражать на письме в виде верного равенства. Так, если мы умножаем 5 на 3 (как бы складываем три пятерки) и получаем 15, то записываем так: 5·3=15. С одной стороны от знака равенства у нас стоит числовое выражение, а с другой – результат подсчета. Прочитать запись можно как «пять умножить на три будет равно пятнадцати» или «произведение пяти и трех равно пятнадцати».
Таким образом, процесс нахождения произведения двух чисел схематично можно выразить так: множитель · множитель = произведение.
Типы задач, решаемых с помощью умножения
В этом пункте мы разберем примеры, когда умение умножать натуральные числа нам пригодится.
1. Нахождение количества элементов некоторого множества, которое получилось в результате объединения равных множеств. Например:
В коробку помещается 10 книг. Как найти, сколько книг поместится в 6 коробок?
Просто умножить 10 на 6.
Ответ: 60.
2. Нахождение итоговых значений каких-либо физических величин.
Период оборота Земли вокруг Солнца составляет один год, или в среднем 365 дней. Если Земля совершила 15 оборотов, то сколько прошло дней?
Результат легко вычислить с помощью умножения 365 на 15.
Ответ: 5475.
Еще один пример:
Гиря весит 1,5 кг. Сколько весит 50 таких одинаковых гирь?
Умножим 1,5·50.
Ответ: 75.
3. Если нужно найти, в какое количество раз одно множество больше, чем другое. Например:
В одном огороде посадили 3 яблони, а в другом в 5 раз больше. Для того чтобы вычислить, сколько яблонь посадили во втором огороде, мы должны умножить 3 на 5.
Ответ: 15.
Часто в таких задачах требуется вычислять возраст:
Внуку 15 лет, а дед старше в 4 раза. Как узнать, сколько лет деду?
Перемножим натуральные числа 15 и 4.
Ответ: 60.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Определение
Произведением чисел в математике называется результат их умножения.
Пример: Найдите произведение чисел.
14×15=210
Здесь 14 и 15 называются — множители.
Свойства
1. Коммутативность.
Пример: Вычислить произведение чисел.
17×12=204 и 12×17=204
Переместительный закон: При перестановке множителей результат не меняется.
2. Ассоциативность.
Пример:
11×19×32=6688
(11×19)×32=6688
11×(19×32)=6688
Сочетательный закон: Если группу множителей заменить их произведением, результат не изменится.
3. Дистрибутивность.
Пример:
(15+12)×9=243 и 15×9+12×9=243
Распределительный закон: Умножая сумму на число, можно на это число каждое слагаемое умножить и результаты сложить.
Большие числа, а также десятичные дроби умножают в столбик.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Произведение цифр числа
Пример: найти произведение цифр числа 428
4×2×8=64
Произведение суммы и разности чисел
(23+14)×(23-14)=37×9=333
Наименьшее произведение чисел
При умножении любого числа на 0, получится ноль. Наименьшее произведение чисел равно нулю.
Сумма двух произведений чисел
(7×8)+(9×3)=56+27=83
Ответ: 83
Пример: Найди сумму и произведение чисел 14 и 72
Решение:
14+72=86 — сумма
14×72=1008 — произведение
Содержание
Определение действия умножение, компоненты произведения
Переместительный и сочетательный закон умножения
Особые случаи умножения
Умножение однозначных чисел
Умножение многозначного числа на однозначное
Умножение в столбик многозначного и однозначного чисел
Особые случаи умножения многозначных чисел
Общее правило умножения многозначных чисел
Умножение в столбик многозначных чисел
Некоторые особенности записи умножения в столбик
Изменение произведения при изменении сомножителей
Умножение числа на произведение и произведения на число
Распределительный закон умножения (умножение суммы на число)
Я сперва покажу на примере, для чего нужно умножение, а после дам определение умножения и подробно расскажу об этом действии.
Допустим, мы хотим купить 14 тетрадей по 22 рубля каждая. Планируя покупку, нам нужно знать, сколько мы заплатим за всю покупку?
Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно сложить стоимость каждой тетради, которую мы хотим купить. А, так мы запланировали покупку 14 тетрадей, тогда мы складываем 22 рубля 14 раз, то есть, находим сумму 14 слагаемых, каждое из которых равно 22:
22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22=308 (то есть, 308 рублей).
Если размер и количество одинаковых слагаемых небольшие, мы без особого труда можем найти их сумму. Но что же делать, если слагаемые многозначные и их количество велико?
Для ускорения подсчетов используется действие умножения.
Умножение – это арифметическое действие сложения определенного количества одинаковых слагаемых.
Действие умножение – это частный случай действия сложение.
Когда нам нужно сложить несколько одинаковых слагаемых, мы, вместо утомительного вычисления суммы одинаковых чисел, умножаем это слагаемое на количество его повторений. Если взять наш пример, то мы слагаемое 22 умножаем на количество – 14.
Еще раз: умножить 22 на 14 – это означает, что нам нужно сложить 14 чисел, каждое из которых равно 22.
Число, которое является повторяющимся слагаемым, называется множимое (то, что множится, умножается).
Число, которое указывает на количество одинаковых слагаемых, называется множитель.
Множимое и множитель имеют общее название – сомножители.
Результат действия умножения называется произведением.
Так, в нашем примере мы складываем цену одной тетради (22 рубля) столько раз, сколько тетрадей хотим купить (14 штук). Значит, 22 – это множимое, 14 – это множитель. Стоимость покупки, полученная в результате умножения 22 на 14 (308 рублей) – это произведение.
На записи действие умножения обозначается точкой (∙) или косым крестом (x), которые ставятся между сомножителями. В отдельных случаях допускается обозначение звездочкой (*). Результат действия умножение, то есть, найденное произведение записывается в виде равенства. Если, к примеру, нужно умножить 22 на 14, то записать это действие и его результат можно так:
22 ∙14=308,
или
22x14=308,
или
22*14=308.
При записи от руки действие умножение принято обозначать при помощи точки, косой крест используется в основном при печати, а звездочка – в компьютерном наборе. Но даже и во время компьютерного набора грамотнее использовать точку или косой крест (букву х).
Прочитать действие умножения и результат можно такими способами:
- двадцать два умножить на четырнадцать будет триста восемь;
- двадцать два, умноженное на четырнадцать, равно триста восемь;
- двадцать два на четырнадцать – триста восемь;
- произведение двадцати двух и четырнадцати равно триста восемь.
Компоненты действия умножение для двух сомножителей:
Компоненты умножения для трех сомножителей и более:
Основные свойства умножения
Поскольку действие умножение является частным случаем действия сложение, то основные свойства сложения распространяются и на умножение.
Действие умножение, как и сложение, можно выполнить всегда, и при этом получается единственный результат этого действия.
Законы умножения и их следствия
Умножение обладает такими основными свойствами, называемые законами умножения, из которых вытекают остальные свойства и следствия:
- переместительный закон умножения;
- сочетательный закон умножения.
Переместительный закон умножения.
Произведение двух или нескольких сомножителей от изменения их порядка не меняется.
Это значит, что значение произведения не зависит от порядка перемножения сомножителей, то есть, от порядка выполнения действия умножение.
Для двух сомножителей мы можем записать переместительный закон умножения в общем виде так:
ab=ba.
Допустим, нам нужно подсчитать количество отделений в шкафу (рис. 1).
Рисунок 1.
В верхнем ряду их 5, в среднем и нижнем тоже по 5 отделений. Нетрудно посчитать, что всего во всех рядах их: 5+5+5=15, или 5 ∙3=15.
Но эти же самые отделения можно считать и по вертикали, по столбцам: в первом их 3, во втором тоже 3, в третьем, четвертом и пятом столбцах их также по 3 штуки. То есть, в каждом столбце по 3 отделения. Всего столбцов 5, поэтому: 3+3+3+3+3=15, или 3 ∙5=15.
Это означает, что 5 ∙3=3 ∙5.
Это свойство также верно для трех и более сомножителей.
К примеру, нам нужно подсчитать количество отделений в двух одинаковых шкафах (рис. 2).
Рисунок 2.
В первом шкафу количество отделений, как мы уже выяснили, можно узнать, умножив количество отделений в одном ряду на количества рядов: 5 ∙3.
Во втором шкафу количество отделений точно такое же (5 ∙3), поскольку два шкафа полностью одинаковые.
Общее количество отделений в двух шкафах можно найти, сложив количество отделений в каждом шкафу: 5 ∙3+5 ∙3.
Выражение 5 ∙3 – это не что иное, как повторяющееся слагаемое, поэтому мы можем заменить эту сумму произведением, умножив слагаемое 5 ∙3 на количество его повторений, то есть, на 2:
5 ∙3+5 ∙3 =5 ∙3 ∙2.
Найдя результаты левой и правой части этого равенства, мы убедимся, что они одинаковые, а значит, мы произвели замену суммы произведением верно:
15+15=15 ∙2,
30=30.
Но количество отделений в одном шкафу мы также можем найти, умножив количество рядов на количество отделений в одном ряду: 3∙5. Тогда в двух шкафах у нас будет:
3 ∙5+3 ∙5=3 ∙5 ∙2,
15+15=15 ∙2,
30=30.
Значит, 5 ∙3 ∙2=3 ∙5 ∙2=30.
Также мы можем сразу умножить количество шкафов на количество отделений в одном шкафу. Тогда мы получим: 2 ∙5 ∙3=30 или 2 ∙3 ∙5=30, в зависимости от того, каким способом мы посчитали, сколько отделений содержит один шкаф.
Поэтому, для трех сомножителей переместительный закон умножения в общем виде выглядит так:
abc=acb=bac=bca=cab=cba.
Сочетательный закон умножения.
Результат умножения трех и более чисел не изменяется, если любые из этих сомножителей заменить их произведением.
Следовательно, мы можем группировать множители между собой каким угодно образом, и выполнять действие умножения с этими группами.
В общем виде для трех сомножителей сочетательный закон умножения можно выразить так:
abc=a(bc)=(ab)c=b(ac).
Этот закон можно назвать следствием переместительного закона умножения.
Действительно, согласно переместительному закону, мы можем перенести множители, стоящие в конце выражения a ∙b ∙c ∙d, в его начало, и объединить их в одну группу (c ∙d) ∙a∙b, то есть, найти их произведение c∙d. А так как при изменении порядка сомножителей, результат действия умножение не изменяется, то и изменение порядка групп сомножителей одного произведения, также не влияют на результат.
Так, при подсчете количества отделений в двух шкафах на рисунке 2, мы можем сперва найти число отделений в одном шкафу, а потом умножить результат на 2:
(5 ∙3) ∙2=15 ∙2=30,
или
(3 ∙5) ∙2=15 ∙2=30,
а можем сперва найти общее количество рядов отделений в обоих шкафах, а после умножить их на количество отделений в ряду:
(3 ∙2) ∙5=6 ∙5=30.
Как видите, результат во всех случаях одинаковый.
Особые случаи умножения: умножение единицы и нуля
Если в произведении двух чисел один из сомножителей единица, то произведение равно второму сомножителю:
a ∙1=1 ∙a=a.
Действительно, при умножении любого числа на 1, мы берем это число 1 раз, а значит, получаем только это число.
А при умножении единицы на любое число (например, 1∙7) мы находим сумму семи единиц, то есть, то количество единиц, из которых состоит данное число. Следовательно, сумма этих единиц равна самому данному числу:
1+1+1+1+1+1+1=7.
Если в произведении любого количества сомножителей одним из сомножителей является нуль, то и произведение равно нулю:
a∙b∙0=0∙a∙b=a∙0∙c=0.
Так, при умножении любого числа на 0, мы берем это число 0 раз, то есть, не берем ни разу. А если ничего не брать, то ничего и не получится.
А при умножении нуля на любое число, мы находим сумму нулей, которая, как вам известно, равна 0.
Умножение однозначных чисел
Умножение двух однозначных натуральных чисел a и b – это нахождения суммы b слагаемых, каждое из которых равно числу a, и при этом a и b являются натуральными числами.
Если a и b – числа, находящиеся в самом начале натурального ряда, то найти такую сумму особого труда не составляет: 1 ∙2=1+1=2. Но если взять числа, которые замыкают первый десяток, например, 8 и 9, то для вычисления 8 ∙9, а именно, суммы 8+8+8+8+8+8+8+8+8=72, то в этом случае вычисление результата потребует от нас определенного времени.
Для облегчения вычисления, были посчитаны результаты умножения всех однозначных чисел друг на друга, и сведены в специальные таблицы умножения.
Умножение однозначных чисел – это основа быстрого и точного вычисления произведений любых чисел, поэтому очень важно знать на память все таблицы умножения.
Умножение многозначного числа на однозначное
Допустим, нам нужно умножить 985 на 4. Умножить 985 на 4 – это сложить 4 раза число 985, то есть, 985+985+985+985. Мы можем представить каждое из слагаемых 985 в виде суммы его разрядных слагаемых, а именно: 900+80+5. Получится такое выражение:
900+80+5+900+80+5+900+80+5+900+80+5.
Воспользуемся законами сложения и сгруппируем одинаковые слагаемые этого выражения вместе:
900+900+900+900+80+80+80+80+5+5+5+5,
(900+900+900+900)+(80+80+80+80)+(5+5+5+5).
Суммы в скобках мы можем заменить на произведение одинаковых слагаемых и числа этих слагаемых в каждых скобках:
900 ∙4+80 ∙4+5 ∙4.
Таким образом, чтобы умножить многозначное число на однозначное, достаточно умножить это однозначное число на количество единиц в каждом разряде многозначного числа, и сложить полученные результаты.
Умножение в столбик многозначного числа на однозначное
Удобно и быстро умножить многозначное число на однозначное, и при этом не запутаться в расчете помогает запись вычисления в столбик.
Для этого пишем множимое 985, и под цифрой его разряда единиц записываем множитель 4. Проводим под множителем горизонтальную черту, ставим между сомножителями знак умножения (точку или косой крест), и получаем такую запись:
4 раза по 5 единиц – это будет 20 единиц, то есть, 2 десятка и 0 простых единиц. Поэтому, пишем под чертой в разряде единиц 0, а 2 десятка запоминаем или записываем маленькую цифру 2 над разрядом десятков множимого 985:
4 раза по 8 десятков – это 32 десятка. Прибавим к ним 2 десятка, которые получились после умножения однозначного числа на единицы, получим 32 десятка, то есть, 3 сотни и 2 десятка. Цифру 2 пишем под чертой в разряде десятков, а над разрядом сотен множимого 975 (в уме) ставим маленькую цифру 3:
4 раза по 9 сотен – это 36 сотен. Прибавим к ним 3 сотни, которые держим в уме, получаем 39 сотен, или 3 тысячи и 9 сотен. Значит, пишем под горизонтальной чертой в разряде сотен цифру 9 и, поскольку в множимом 985 нет ни одной тысячи, то сразу запишем в результате под чертой цифру 3 в разряде тысяч:
Умножение многозначных чисел
Прежде чем рассказать, как в общем случае умножить одно многозначное число на другое, я расскажу о двух частных случаях умножения многозначных чисел:
- умножение на число, которое начинается на единицу, и заканчивается любым количеством нулей;
- умножение на число, которое начинается на любые, отличные от нуля, цифры, и заканчивается одним или несколькими нулями.
Умножение на число, состоящее из единицы и любого количества нулей
Пусть необходимо умножить 327 на 10. Это означает, что мы должны 10 раз взять (сложить) число 327. Известно, что если мы возьмем (сложим) одну единицу 10 раз, то мы получим 1 десяток, значит, взяв 327 единиц 10 раз, у нас будет 327 десятков, то есть, 3270 единиц. Значит:
327 ∙10 =3270
Рассмотрим еще один пример. Умножим 327 на 100, то есть, 100 раз возьмем (сложим) число 327. Если единицу повторить 100 раз, получится 100 единиц, или одна сотня. Значит, 327 единиц, повторенные 100 раз, дадут нам 327 сотен, что можно записать так: 32700.
327 ∙100 =32700
Итак, чтобы умножить какое-нибудь число на другое, которое начинается на единицу, и заканчивается любым количеством нулей, достаточно к концу первого числа дописать столько нулей, сколько содержится во втором числе.
Умножение на число, которое начинается цифрами, и заканчивается любым количеством нулей
Например, умножим то же самое число 327, но уже на 20. Это означает, что мы должны сложить одно и то же число 327 друг с другом 20 раз:
327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327+327.
Воспользуемся сочетательным законом умножения, и представим эти слагаемые в виде 10 одинаковых групп, каждая из которых содержит два слагаемых 327:
(327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327)+ (327+327)+(327+327).
Сумму в скобках мы можем, согласно определению действия умножение, заменить на произведение, поскольку слагаемые суммы у нас одинаковые. Получим следующее:
(327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2)+ (327 ∙2).
Но здесь мы опять видим, что выражение состоит из десяти одинаковых слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение. Значит, мы и это выражение можем представить в виде произведения:
(327 ∙2) ∙10.
Рассмотрим другой пример: 764 ∙300.
Здесь нам нужно найти сумму 300 чисел, каждое из которых – это число 764. Эти 300 слагаемых мы группируем в 100 групп, в каждой из которых содержится 3 слагаемых 764. Можем ли мы узнать, какое число единиц содержит каждая из 100 групп? Да, можем. Для этого нам нужно найти сумму трех слагаемых 764, или просто 764 умножить на 3.
764 ∙3 =2292.
Зная, сколько единиц содержится в одной группе и количество этих одинаковых групп, мы можем найти, сколько единиц находится во всех этих группах. Групп у нас 100, значит, мы находим сумму 100 слагаемых, каждое из которых – это найденное нами число 2292. То есть, 2292 умножаем на 100. Для этого достаточно просто приписать справа к числу 2292 два нуля:
2292 ∙100 =229200.
Итак, чтобы умножить какое-нибудь число на другое, начинающееся любыми цифрами и заканчивающееся нулями, достаточно умножить первое число на число, образованное первыми цифрами второго, а к результату приписать справа столько нулей, сколько их было в конце второго числа.
Иными словами: нужно от второго числа отбросить нули в конце, умножить получившиеся числа, а к результату приписать справа столько нулей, сколько изначально отбросили.
Общее правило умножения чисел
Допустим, необходимо найти произведение двух многозначных чисел 2834 и 168. Это означает, что нам нужно сложить 168 одинаковых чисел, каждое из которых равно 2834:
Количество слагаемых (168) мы можем разложить на разрядные слагаемые (100+60+8) и согласно сочетательному закону сложения сгруппировать их следующим образом: сто слагаемых плюс шестьдесят слагаемых плюс восемь слагаемых.
Исходя из определения умножения, выражения в скобках мы можем представить не в виде суммы большого количества слагаемых, а как сумму произведений:
Таким образом, чтобы умножить два многозначных числа, достаточно последовательно умножить одно из этих чисел на количество единиц каждого из разрядов второго числа, и сложить полученные результаты.
Частное произведение – это число, полученное после умножения одного из сомножителей на количество единиц какого-либо разряда другого сомножителя.
Умножение в столбик многозначных чисел
При записи действия умножения в столбик сомножители располагаются друг под другом таким образом, чтобы совпадали соответствующие разряды обоих чисел; под множителем проводим горизонтальную черту, и ставим между сомножителями знак действия умножения:
Далее, умножаем множимое 2834 последовательно на количество единиц каждого разряда множителя справа налево, то есть, начиная с младшего разряда.
Умножаем 2834 на 8 единиц, получается 22672 единиц. Результат умножения, то есть, первое частное произведение, записываем под горизонтальной чертой.
Далее, нам нужно умножить множимое на 6 десятков; для этого умножаем 2834 на 6, а к результату приписываем 0, получается 170040.
В частных произведениях обычно не пишут (опускают) нули в конце числа для упрощения записи. При этом следует не забывать, что, первую полученную цифру частного произведения нужно писать в том разряде, цифру которого мы умножаем на множимое.
В нашем случае это выглядит так. Цифра 6, которую мы умножаем на множимое 2834, находится в числе 168 в разряде десятков, то есть, обозначает количество десятков. Следовательно, первую полученную цифру частного произведения нужно записать в разряде десятков, потому что сейчас мы именно количество десятков умножаем на множимое.
Итак, 6 ∙4 =24, значит мы пишем в строке под первым частным произведением в разряде десятков цифру 4, а 20 десятков, то есть, 2 сотни, запоминаем. Дальше считаем и записываем так же, как и любое другое умножение многозначного и однозначного чисел. После нахождения второго частного произведения, у нас получилась такая запись:
Теперь умножаем множимое на 1 сотню. Для этого достаточно умножить 2834 на 1 и приписать справа два нуля, получится 283400. Но в записи мы нули не пишем, поэтому начинаем писать третье частное произведение с разряда сотен.
Нам осталось только сложить три полученные частные произведения.
Итак, результат умножения 2834 ∙168 = 476112.
Некоторые особенности записи умножения в столбик
При записи нахождения произведения двух чисел в столбик существуют некоторые особенности, которые помогают сократить запись и упростить наглядность вычисления. Все они являются следствием свойств умножения.
Если у первого сомножителя количество цифр, составляющих его, меньше, чем у второго, то удобно при записи в столбик поменять сомножители местами, записав число с большим количеством цифр первым. Например, произведение 284 ∙12093 находят как 12093 ∙284. Это делается, чтобы избавиться от необходимости находить много частных произведений.
Если в множителе некоторые цифры являются нулями, то можно не записывать соответствующие промежуточные произведения, которые, что очевидно, будут равняться также нулю. При этом промежуточное произведение, полученное от умножения следующей значащей цифры (то есть, отличной от нуля) на множимое, начинают записывать с разряда, соответствующего положению этой значащей цифры. Например:
Если один из сомножителей представляет собой число, которое оканчивается любым количеством нулей, то мы записываем сомножители в столбик так, как будто этих нулей нет, находим произведение, мысленно отбросив эти нули, а потом к получившемуся после умножения числу приписываем отброшенные нули и получаем окончательный результат.
Если оба сомножителя – это числа, оканчивающиеся любым количеством нулей, то мы записываем их в столбик так, как будто этих нулей нет, а после нахождения произведения чисел без нулей, приписываем к ним столько нулей, сколько их было изначально.
Попробуйте самостоятельно доказать справедливость этого утверждения. Пишите в комментариях, получилось ли это у вас или нет.
Изменение произведения чисел при изменении его сомножителей
Чтобы понять, что происходит с произведением чисел при изменении одного или нескольких сомножителей, нужно вспомнить, что действие умножения – это частный случай действия сложения, а также переместительный и сочетательный законы сложения.
Если увеличить один из сомножителей в несколько раз, произведение также увеличится в это же число раз.
Рассмотрим пример 18 ∙2. Увеличив второй сомножитель, к примеру, в 3 раза, мы получим другое выражение: 18 ∙6.
Действительно:
18 ∙2 =36
18 ∙6 =108.
Если мы увеличим 36 в 3 раза, то мы получим как раз 108.
По-другому и быть не может, и вот почему.
Первое произведение представляет собой сумму двух слагаемых:
18+18.
Второе произведение – это сумма шести таких же слагаемых:
18+18+18+18+18+18.
Если мы, воспользовавшись сочетательным законом умножения, сгруппируем эти слагаемые по 2, то получим следующее:
(18+18)+(18+18)+(18+18).
Как видите, у нас получилось 3 одинаковых слагаемых, каждый из которых равен первому произведению. А это значит, что полученное произведение состоит из трех, которые были даны изначально, то есть, в 3 раза больше начального. Что и требовалось доказать.
Для второго сомножителя справедливость этого свойства доказывается на основе переместительного закона умножения.
Если уменьшить один из сомножителей в несколько раз, произведение также уменьшится в это же число раз.
Попробуйте самостоятельно доказать правильность этого свойства. Пишите в комментариях, получилось ли это у вас?
Если увеличить один из сомножителей в несколько раз, а второй в это же число раз уменьшить, то произведение при этом не поменяется.
Действительно, при увеличении одного из сомножителей произведение увеличивается, а при уменьшении другого сомножителя произведение уменьшается. Поэтому, если увеличить одно и одновременно уменьшить другое число, то эти изменения компенсируют друг друга, и произведение останется неизменным:
32 ∙8 =256,
Увеличим первый сомножитель в 4 раза, а второй во столько же раз уменьшим:
128 ∙2 =256.
Теперь уменьшим первый сомножитель произведения 32 ∙8 в 4 раза, а второй уменьшим в это же число раз:
8 ∙32 =256.
Умножение произведения на число и числа на произведение
Если необходимо умножить произведение на число, нужно любой сомножитель этого произведения умножить на данное число, а результат умножить последовательно на оставшиеся сомножители.
(a ∙b ∙c) ∙d =(a ∙d) ∙b ∙c =(b ∙d) ∙a ∙c =(c ∙d) ∙a ∙b
Действительно, пусть требуется найти результат (7 ∙9 ∙2) ∙5. Мы можем сперва вычислить произведение в скобках (оно равно 126), а потом умножить его на 5 (результат 630). А можем, чтобы быстрее вычислить результат в уме, сперва умножить 5 на 2, чтобы получить круглое число 10, и потом легко вычислить ещё два произведения, воспользовавшись частными правилами умножения, описанными выше:
10 ∙7 =70 (просто приписываем к семерке нуль),
70 ∙9 =630 (находим по таблице умножения 7 ∙9 =63 и приписываем в конце нуль).
То есть, мы видим, что (7 ∙9 ∙2) ∙5 = (5 ∙2) ∙7 ∙9.
Когда я пишу «находим по таблице умножения», это означает, что мы вспоминаем эту строку из таблицы, а не ищем её там на самом деле. Таблицу умножения нужно знать наизусть!
Если необходимо умножить число на произведение, нужно умножить данное число на любой сомножитель, а результат умножить на оставшиеся сомножители.
a ∙(b ∙c ∙d) =(a ∙b) ∙c ∙d =(a ∙c) ∙b ∙d =(a ∙d) ∙b ∙c.
Рассмотрим такой пример: 6 ∙(3 ∙5 ∙2). Если найти значение произведения в скобках (30), а потом умножить на него число 6, результатом будет 180. А можно сначала умножить число 6 на 5 (будет 30), а потом результат умножить с остальными сомножителями:
30 ∙3 =90,
90 ∙2 =180.
Оба эти свойства являются очевидными следствиями переместительного и сочетательного законов умножения.
Распределительный закон умножения (умножение суммы на число)
Когда мы рассматривали умножение многозначного и однозначного чисел, мы раскладывали число 975 на его разрядные слагаемые (900+70+5), а потом умножали на 4 отдельно каждое это слагаемое. Аналогично можно поступать при умножении числа на любую сумму.
Например, найдем произведение суммы 5+2+4+9 и числа 3. Это означает, что нужно найти такую сумму:
(5+2+4+9)+(5+2+4+9)+ (5+2+4+9).
Все эти слагаемые представляют собой одну сумму чисел, сгруппированных в определенные группы. Запишем их без скобок:
5+2+4+9+5+2+4+9+5+2+4+9,
а затем, используя переместительный и сочетательный законы сложения, сгруппируем одинаковые слагаемые:
(5+5+5)+(2+2+2)+(4+4+4)+(9+9+9).
Основываясь на определении действия умножение, так как мы имеем в каждых скобках одинаковые слагаемые, переписываем это выражение следующим образом:
5 ∙3+2 ∙3+4 ∙3+9 ∙3.
Распределительный закон умножения: для умножения суммы на любое число, необходимо каждое слагаемое этой суммы умножить на данное число, а затем сложить полученные произведения.
Согласно переместительному закону умножения, это свойство справедливо и при умножении числа на сумму.
Для умножения числа на сумму, необходимо умножить данное число на каждое слагаемое этой суммы, а результаты полученных произведения сложить.
(a+b+c+d)∙z =z∙(a+b+c+d) =a ∙z+b ∙z+c ∙z+d ∙z.
Название распределительный происходит от того, что действие умножения на сумму распределяется между каждым из слагаемых этой суммы.
