Найти значение выражения с дробями как решать

Здравствуйте, дорогие читатели, подписчики и гости канала. В этой статье рассмотрим различные вычисления с дробями, которые встречаются в шестом задании ОГЭ по математике. В июле 2.07.2021 года состоится последняя пересдача по математике в основной этап. Дополнительный этап будет уже в сентябре.

Давайте начнем разбор заданий.

1) Умножение дробь на дробь. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно числитель умножить на числитель, знаменатель на знаменатель, при возможности сократить.

6 и 4 сокращаем на 2 (6:2=3; 4:2=2)
6 и 4 сокращаем на 2 (6:2=3; 4:2=2)

2) Деление дроби на дробь. При делении дробь на дробь, первая дробь переписывается, вторая дробь переворачивается, а деление заменяется на умножение.

Числа 12 и 15 сократили на их общий делитель 3 (12:3=4; 15:3=5)
Числа 12 и 15 сократили на их общий делитель 3 (12:3=4; 15:3=5)

3) Вычитание и умножение дробей. Несколько действий.

Задание №6 ОГЭ. Найти значение выражения. Действия с дробями.

Способ №1. Находим общий знаменатель при вычитании. Чтобы найти общий знаменатель, нужно найти такое число, которое будет делиться на первое и второе число. В нашем случае это числа 10 и 20. Общий знаменатель 20.

Задание №6 ОГЭ. Найти значение выражения. Действия с дробями.

Способ №2. Распределительный закон умножения. Чтобы умножить число на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое, и результат сложить. Также это действует и при вычитании.

Задание №6 ОГЭ. Найти значение выражения. Действия с дробями.

Также встречаются выражения, в которых не стоит находить общий знаменатель, поскольку это будет сложно. Приведу два примера:

Пример №1

Задание №6 ОГЭ. Найти значение выражения. Действия с дробями.

Пример №2

Задание №6 ОГЭ. Найти значение выражения. Действия с дробями.

4) Умножение целого числа на дробь. При умножении целого числа на дробь, целое число умножается на числитель, а знаменатель остается без изменений.

1, Общий знаменатель 12, т.к. 12 - это наименьшее число, которое делится на 4 и 6.            2. Чтобы дробь перевести в десятичную, надо знаменатель умножить на такое число, чтобы в знаменателе дроби получилось 10, 100, 1000.....  Чтобы значение дроби не изменилось, то и числитель умножаем на такое же число. Поэтому дробь 7/4 умножили на 25/25
1, Общий знаменатель 12, т.к. 12 – это наименьшее число, которое делится на 4 и 6. 2. Чтобы дробь перевести в десятичную, надо знаменатель умножить на такое число, чтобы в знаменателе дроби получилось 10, 100, 1000….. Чтобы значение дроби не изменилось, то и числитель умножаем на такое же число. Поэтому дробь 7/4 умножили на 25/25

5) Сложение, деление и умножение смешанных чисел.

При сложении, вычитании, умножении и делении смешанных чисел иногда легче перевести смешанное число в неправильную дробь. Чтобы смешанное число перевести в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель, к полученному значению прибавить числитель дробной части и записать это в числитель, а знаменатель оставить прежним.

Задание №6 ОГЭ. Найти значение выражения. Действия с дробями.

6) Вынесение общего множителя за скобку.

Задание №6 ОГЭ. Найти значение выражения. Действия с дробями.

7) Действия с десятичными дробями

Совет: Если вас пугают вычитание десятичных дробей, то можно вычесть 66-24=42 и поставить запятую на место. При делении десятичной дроби на десятичную, можно умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы получились целые числа.
Совет: Если вас пугают вычитание десятичных дробей, то можно вычесть 66-24=42 и поставить запятую на место. При делении десятичной дроби на десятичную, можно умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы получились целые числа.
В числителе умножим каждую десятичную дробь на 10, Сколько цифр после запятой, на такое число и умножаем. Например, 1,52 будем умножать на 100. Числа 84 и 70 сократили на 7.
В числителе умножим каждую десятичную дробь на 10, Сколько цифр после запятой, на такое число и умножаем. Например, 1,52 будем умножать на 100. Числа 84 и 70 сократили на 7.

В итоге у нас получилось, что числитель дроби умножили на 100 (10*10=100), значит и знаменатель дроби тоже умножаем на 100, чтобы значение дроби не изменилось.

И еще один пример:

Число 1 можно представить в виде любой дроби с равным числителем и знаменателем.
Число 1 можно представить в виде любой дроби с равным числителем и знаменателем.

8) Десятичные дроби и действия со степенями

В таких задания, в первую очередь нужно возводить числа в степень.
В таких задания, в первую очередь нужно возводить числа в степень.
Задание №6 ОГЭ. Найти значение выражения. Действия с дробями.

При возведении отрицательного числа в четную степень, получится число положительное. При возведении отрицательного числа в нечетную степень, получится число отрицательное.

В этом задании скобки никакой роли не играют. Скобки можно просто убрать, переставить множители для удобства, и выполнить вычисления. Умножение степеней с одинаковым основанием разобраны в другой статье более подробно.
В этом задании скобки никакой роли не играют. Скобки можно просто убрать, переставить множители для удобства, и выполнить вычисления. Умножение степеней с одинаковым основанием разобраны в другой статье более подробно.

И последнее выражение

В этом выражении первым действием возводим числа в степень, затем выполняем умножения и последним действием вычитания.
В этом выражении первым действием возводим числа в степень, затем выполняем умножения и последним действием вычитания.

Для отработки этих примеров, можно воспользоваться сайтом. Там много аналогичных задания, а эта статья вам будет в помощь при их решений.

Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Задание №6 ОГЭ. Найти значение выражения. Действия с дробями.

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами. 

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки “+”, “·”, “-“, “÷”, то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14-2·15÷6-3.

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14-2·15÷6-3=14-30÷6-3=14-5-3.

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

14-5-3=9-3=6.

Пример 2. Значение числового выражения

Вычислим: 0,5-2·-7+23÷234·1112.

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0,5-2·-7+23÷234·1112=12-(-14)+23÷114·1112

12-(-14)+23÷114·1112=12-(-14)+23·411·1112=12-(-14)+29.

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

12-(-14)+29=12+14+29=14+1318=141318.

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0,5·(0,76-0,06).

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом – умножение.

0,5·(0,76-0,06)=0,5·0,7=0,35.

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1+2·1+2·1+2·1-14.

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним. 

1+2·1+2·1+2·1-14=1+2·1+2·1+2·34

1+2·1+2·1+2·34=1+2·1+2·2,5=1+2·6=13.

В нахождении значений выражений со скобками главное – соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями -2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5.

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

-2·3-1+60÷43=-6-1+153=83=2

2,2+0,1·0,5=2,2+0,05=2,25=1,5.

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

-2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5=2+3·1,5=6,5

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3+13-1-1

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

3+13-1=3-1.

Таким образом:

3+13-1-1=3-1-1=1.

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 23·4-10+161-123,5-2·14.

Начинаем вычислять по порядку.

23·4-10=212-10=22=4

16·1-123,5-2·14=16*0,53=16·18=2.

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

23·4-10+161-123,5-2·14=4+2=6.

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения  с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2-25·45-1+3136.

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

2-25·45-1+3136=2-25·225-1+313·6

2-25·225-1+313·6=2-25·22·5-2+32=22·5-2-25+32

22·5-2-25+32=2-2+3=14+3=314

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения. 

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3,22-3·7-2·36÷1+2+39-6÷2.

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3,22=3,2÷2=1,6

7-2·36=7-66=16

1+2+39-6÷2=1+2+39-3=66=1.

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1,6-3·16÷1=1,6-0,5÷1=1,1

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 25-1-25-74-3.

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

25-1=25+15-15+1=25+15-1=25+24

Исходное выражение принимает вид:

25-1-25-74-3=25+24-25-74-3.

Вычислим значение этого выражения:

25+24-25-74-3=25+2-25+74-3=94-3=-34.

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log24+2·4 можно сразу вместо log24 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log24+2·4=2+2·4=2+8=10.

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log5-6÷352+2+7. Имеем:

log5-6÷352+2+7=log327+7=3+7=10.

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log2log2256+log62+log63+log5729log0,227.

log2log2256=log28=3.

По свойству логарифмов:

log62+log63=log6(2·3)=log66=1.

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log5729log0,227=log5729log1527=log5729-log527=-log27729=-log27272=-2.

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log2log2256+log62+log63+log5729log0,227=3+1+-2=2.

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: tg24π3-sin-5π2+cosπ.

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

tg4π3=3

sin-5π2=-1

cosπ=-1.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

tg24π3-sin-5π2+cosπ=32-(-1)+(-1)=3+1-1=3.

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1.

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1=cos2π8cos5π36+π9-1=cosπ4cosπ4-1=1-1=0.

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения
  1. Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
  2. Выполняются действия в скобках.
  3. Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала – умножение и деление, затем – сложение и вычитание.

Разберем пример.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения -2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39.

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение. 

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2·sinπ6+2·2π5+3π5+3. Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции. 

π6+2·2π5+3π5=π6+2·2π+3π5=π6+2·5π5=π6+2π

Теперь можно узнать значение синуса:

sinπ6+2·2π5+3π5=sinπ6+2π=sinπ6=12.

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=2·12+3=4

Отсюда:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=4=2.

Со знаменателем дроби все проще:

lne2=2.

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2=22=1.

С учетом этого, запишем все выражение:

-1+1+39=-1+1+33=-1+1+27=27.

Окончательный результат:

-2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39=27.

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2·386+5+58941-sin3π4·0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56+8-3,789lne2-56+8-3,789lne2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс – использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями – сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе. 

Например, возьмем выражение 23-15+3·289·343·23-15+3·289·34. Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 13.

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных. 

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Пример 15. Значение выражения с переменными

Вычислить значение выражения 0,5x-y при заданных x=2,4 и y=5.

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0,5x-y=0,5·2,4-5=1,2-5=-3,8.

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х+3-х, очевидно, имеет значение 3, и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений. 

Еще один пример. Значение выражения xx равно единице для всех положительных иксов. 

Формулировка задачи: Найдите значение выражения (действия с дробями).

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 1 (Действия с дробями).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

Найдите значение выражения 5/4 + 7/6 : 2/3.

Решение:

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 3

Пример задачи 2:

Найдите значение выражения (3,9 – 2,4) ∙ 8,2

Решение:

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 12,3

Пример задачи 3:

Найдите значение выражения 27 ∙ (1/3 – 4/9 – 5/27).

Решение:

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: –8

Пример задачи 4:

Найдите значение выражения 2,7 / (1,4 + 0,1)

Решение:

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 1,8

Пример задачи 5:

Найдите значение выражения 1 / (1/9 – 1/12).

Решение:

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 36

Пример задачи 6:

Найдите значение выражения (0,24 ∙ 10^6) / (0,6 ∙ 10^4).

Решение:

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 40

Пример задачи 7:

Найдите значение выражения (1,23 ∙ 45,7) / (12,3 ∙ 0,457).

Решение:

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 10

Пример задачи 8:

Найдите значение выражения (728^2 – 26^2) : 754.

Решение:

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке. Также в данном случае нужно применить формулу разности квадратов:

Ответ: 702

В этом уроке мы познакомимся с понятием дробных выражений и с тем, как их считать. Узнаем интересные способы работы с дробями, в числителе или знаменателе которых стоят дроби.

Для начала определимся с определением дробного выражения.

Дробным выражением называется частное двух выражений или чисел, знак деления в котором обозначается чертой.

Пример:

$$mathbf{frac{1}{2}}$$

Мы привыкли называть такое выражение обыкновенной дробью. Она ничем не противоречит определению дробного выражения. Поэтому если вас спросят: “Является ли обыкновенная дробь дробным выражением?”, то можно смело ответить: “Да, является!”

$$mathbf{frac{1+2}{3+4}}$$

$$mathbf{frac{5cdot(1+2)}{(3+5)div2}}$$

Мы не накладываем никаких ограничений на то, что из себя представляют выражения; нужно только то, чтобы это было деление, записанное как дробь.

Также никто не запрещает записать в одну или даже в обе части выражения, содержащие дроби.

Примеры:

$$mathbf{frac{1}{1+frac{1}{8}}}$$

$$mathbf{frac{3+12frac{1}{2}}{7frac{1}{3}-2frac{3}{4}}}$$

$$mathbf{frac{(frac{1}{2}+frac{1}{4})cdotfrac{2}{3}}{frac{2}{7}cdot(frac{3}{8}-frac{1}{4})}}$$

Можем пойти дальше и записать так называемую многоэтажную дробь. Это дробь, в числителе или в знаменателе (а иногда и в числителе и в знаменателе) которой стоят дробные выражения.

Примеры:

$$mathbf{frac{frac{1}{2}}{3}}$$

$$mathbf{frac{1}{frac{12}{19}}}$$

$$mathbf{frac{frac{12}{89}}{frac{74}{99}}}$$

Помимо определения дробного выражения необходимо знать определения числителя и знаменателя дробного выражения.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Если мы считаем дробное выражение делением, то числителем будет являться делимое, а знаменателем делитель.

Например, существует следующее дробное выражение:

$$mathbf{frac{3+10cdot2}{2+frac{1}{2}}}$$

В данном случае (mathbf{3+10cdot2}) будет являться числителем, а (mathbf{2+frac{1}{2}})- знаменателем.

Также можно преобразовывать обычные выражения в дробные.

Это можно делать при условии, что выражение представляет из себя частное двух выражений или чисел, но пока что записанное через обычный знак деления.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Примеры преобразования обычного выражения в дробное:

(mathbf{(3+4)div(200+123)=frac{3+4}{200+123}})

(mathbf{(1247+523cdot(54+78))div((345+67)cdot56cdot87cdot(63+85))=})

(mathbf{=frac{1247+523cdot(54+78)}{(345+67)cdot56cdot87cdot(63+85)}})

(mathbf{(4+frac{1}{2})div(frac{3}{5}cdot8+2)=frac{4+frac{1}{2}}{frac{3}{5}cdot8+2}})

(mathbf{(452+789cdot(frac{7}{9}+frac{1}{2}))div(frac{4}{741}+582cdot741)=})

(mathbf{=frac{452+789cdot(frac{7}{9}+frac{1}{2})}{frac{4}{741}+582cdot741}})

Сформулируем правило: для того, чтобы преобразовать выражение, представляющее из себя частное двух выражений или чисел, необходимо делимое поместить в числитель дробного выражения, а делитель- в знаменатель.

Теперь вы видите, насколько большой класс формул покрывается понятием дробного выражения.

Давайте пройдем небольшой тест и перейдем к изучению того, как вычислять значения дробных выражений.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Начнем с самого простого способа вычисления значений дробных выражений.

Он заключается в том, чтобы отдельно посчитать значения числителя и знаменателя и получить дробное выражение, в знаменателе и числителе которого стоят числа.

Далее надо смотреть, что получилось:

  • может получиться правильная дробь, тогда это будет готовым ответом
  • может получиться дробь неправильная, тогда необходимо выделить целую часть
  • в числителе и знаменателе дробного выражения могут получиться дробные числа; в таком случае нужно поделить числитель на знаменатель, это и будет ответом

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Пример 1

Вычислим значение выражения (mathbf{frac{1+2cdot4}{5-2}})

Решение:

Для начала вычислим значения числителя и знаменателя:

(mathbf{frac{1+2cdot4}{5-2}=frac{1+8}{3}=frac{9}{3}})

В данном примере числитель делится на знаменатель, поэтому из дроби получится натуральное число.

(mathbf{frac{9}{3}=3})

Пример 2

Вычислим значение выражения (mathbf{frac{7+2cdot3cdot2}{2cdot9}})

Решение:

Сначала вычислим числитель и знаменатель:

(mathbf{frac{7+2cdot3cdot2}{2cdot9}=frac{7+12}{18}=frac{19}{18}})

В данном случае получилась неправильная дробь, выделим целую ее часть, чтобы получить в ответе смешанное число:

(mathbf{frac{19}{18}=frac{19}{18}=1frac{1}{18}})

Пока что были рассмотрены случаи, в которых выражения в числителе и знаменателе представляли из себя арифметические действия над натуральными числами. Но вас нисколько не должны смущать случаи, в которых выражения содержат в себе дроби как обыкновенные, так и десятичные.

Пример: 

(mathbf{frac{3+frac{3}{4}}{1.2+0.3}})

Решение:

Наверное, вы уже догадываетесь, что мы сделаем дальше. Правильно! Вычислим числитель и знаменатель:

(mathbf{frac{3+frac{3}{4}}{1.2+0.3}=frac{frac{3cdot4+3}{4}}{1.5}=})

(mathbf{=frac{frac{12+3}{4}}{1.5}=frac{frac{15}{4}}{1.5}})

В данном случае мы получили неправильную дробь в числителе и десятичную дробь в знаменателе.

Чтобы получить окончательный результат разделим одно на другое:

(mathbf{frac{frac{15}{4}}{1.5}=frac{15}{4}div1.5=frac{15}{4}divfrac{15}{10}=})

(mathbf{=frac{15}{4}cdotfrac{10}{15}=frac{15cdot10}{4cdot15}=frac{10}{4}=frac{5}{2}=2frac{1}{2}})

Прежде чем перейти к дополнительным приемам работы с дробными выражениями, решим небольшой тест для закрепления навыка вычисления дробных выражений.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Пока что во всех предыдущих случаях мы находили значения дробных выражений «в лоб», по достаточно простому алгоритму.

Но, как это часто бывает в математике, в некоторых случаях можно упростить себе подсчеты, вовремя заметив определенные вещи.

Вы уже наверняка хорошо освоили сокращение дробей.

Напомним, в чем его суть: если числитель представляет из себя произведение, и знаменатель также является произведением, и в этих произведениях есть одинаковый множитель, то мы можем сократить дробь на этот множитель.

Как же это относится к дробным выражениям?

Дело в том, что в некоторых случаях числитель и знаменатель могут быть произведениями или же могут стать произведениями в процессе подсчетов.

Тогда почему бы не сокращать их по возможности?!

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Пример:

(mathbf{frac{7cdot(123+4)}{3cdot(120+7)}})

Начнем считать выражение и посмотрим, что получается.

(mathbf{frac{7cdot(123+4)}{3cdot(120+7)}=frac{7cdot127}{3cdot127}})

Числитель и знаменатель дробного выражения после первых преобразований превратились в произведения.

Также можно заметить, что в этих произведениях есть общий множитель: 127

Тогда мы можем поделить числитель и знаменатель дробного выражения на это число, тем самым значительно упростив выражение.

(mathbf{frac{7cdot127}{3cdot127}=frac{7}{3}=2frac{1}{3}})

Это и будет значением этого выражения.

Также мы можем быть еще более хитрыми и внимательными.

Найдем значение выражения (mathbf{frac{2cdot(478569-145236)}{(478569-145236)cdot3}})

Конечно же, можно начать вычислять сначала числитель, потом знаменатель. Для этого мы будем вычислять разность шестизначных чисел.

Но можно сделать проще: заметим, что числитель и знаменатель являются произведениями.

Числитель является произведением 2-х и выражения (478569-145236)

Знаменатель же является произведением выражения (478569-145236) и 3-х.

Выражение (478569-145236) является множителем и можно утверждать, что это один и тот же множитель в числителе и в знаменателе.

Значит, мы можем уверенно сокращать дробное выражение на это выражение.

(mathbf{frac{2cdot(478569-145236)}{(478569-145236)cdot3}=frac{2}{3}})

В данном случае мы сразу получили правильную дробь, это и будет являться значением выражения.

Отдельно стоит упомянуть работу с многоэтажными дробями.

Мы всегда можем идти по алгоритму с последовательным вычислением числителя и знаменателя – это гарантированно дает результат.

Но также можно запомнить два правила, которые существенно экономят время.

Первое правило говорит о том, что, если в числителе дробного выражения находится дробь (или же дробное выражение), мы можем домножить дробное выражение на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в числителе, тем самым уменьшив «этажность» дробного выражения.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Парочка примеров:

(mathbf{frac{frac{2}{3}}{4}=frac{frac{2}{3}cdot3}{4cdot3}=frac{2}{12}=frac{1}{6}})

(mathbf{frac{frac{3}{7+13}}{5}=frac{frac{3}{7+13}cdot(7+13)}{5cdot(7+13)}=})

(mathbf{=frac{3}{5cdot20}=frac{3}{100}=0.03})

Второе правило рассматривает случай, когда дробь (или дробное выражение) находится в знаменателе дробного выражения.

В таком случае уменьшить «этажность» дробного выражения поможет домножение всего дробного выражения на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в знаменателе.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

И парочка примеров на этот случай:

(mathbf{frac{3}{frac{2}{7}}=frac{3cdot7}{frac{2}{7}cdot7}=frac{21}{2}=10frac{1}{2}})

(mathbf{frac{11}{frac{3}{1+7}}=frac{11cdot(1+7)}{frac{3}{1+7}cdot(1+7)}=})

(mathbf{=frac{11cdot(1+7)}{3}=frac{11cdot8}{3}=frac{88}{3}=29frac{1}{3}})

И в завершение еще дам такой пример:

(mathbf{frac{frac{3}{4+1}}{frac{7-2}{4}}=frac{frac{3}{5}}{frac{5}{4}}=})

(mathbf{=frac{frac{3}{5}cdot5}{frac{5}{4}cdot5}=frac{3}{frac{25}{4}}=frac{3cdot4}{frac{25}{4}cdot4}=frac{12}{25}})

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Десять интересных математических фактов:

1. Известные всем знаки сложения и вычитания впервые были использованы только около 500 лет назад

2. 2 и 5– единственные простые числа, которые оканчиваются на 2 или 5

3. Несмотря на то, что сохранилось много трудов древнегреческого ученого Евклида, о его биографии почти ничего не известно

4. В римской системе счисления не существует нуля

5. Знак равенства «=» появился только в XVI веке

6. Слово «миг» обозначает не только короткое мгновение, но и вполне конкретный временной промежуток: 0,01 секунды

7. У древних египтян отсутствовала таблицы умножения и прочие математические правила

8. В свое время заниматься математикой в высоких кругах было настолько популярно, что даже Наполеон Бонапарт оставил после себя научные труды

9. Самые древние математические записи были найдены написанными на костях

10. Ученый Муавр с помощью математики смог рассчитать дату своей смерти

Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе всё что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

  1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
  2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Например, слóжим дроби  две четвертых  и  143. Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

121241434

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к  две четвертых пиццы прибавить 143 пиццы, то получится 1224143434 пиццы:

две четверти плюс четверть равно три четверти


Пример 2. Сложить дроби одна вторая и одна вторая .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

122121222

В ответе получилась неправильная дробь 1221212222.  Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:

1221212223

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к одна вторая пиццы прибавить еще одна вторая пиццы, то получится одна целая пицца:

половина плюс половина равно целая рисунок


Пример 3. Сложить дроби  1231313231  и  1231313231 .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

1231313232

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к 1231313231 пиццы прибавить ещё 1231313231 пиццы, то получится 1231313234 пиццы:

треть плюс треть равно две трети рисунок


Пример 4. Найти значение выражения  1241424341

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

124142434124

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к одна четвертая пиццы прибавить две четвертых пиццы и ещё прибавить три четвёртых пиццы, то получится 1 целая и ещё две четвертых пиццы.

треть плюс треть равно две трети рисунок

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби  две четвертых и  143 сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби  1231313234  и  одна вторая  сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Сложим дроби две третьих и одна вторая

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям две третьих и одна вторая. Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

2 на 3 с дополнительным множителем 2

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

1 на 2 с дополнительным множителем 3

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

2 на 3 плюс 1 на 2 степ 1

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

2 на 3 плюс 1 на 2 степ 2

Таким образом, пример завершается.  К две третьих прибавить одна вторая получается одна целая одна шестая.

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к две третьих пиццы прибавить одна вторая пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

треть плюс треть равно две трети рисунок

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби две третьих и одна вторая к общему знаменателю, мы получили дроби четыре шестых и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

четыре шестых плюс три шестых решение в рисунках

Первый рисунок изображает дробь четыре шестых (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь  (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем семь шестых (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили одна целая одна шестая (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

1423124636

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?«.

Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

  1. Найти НОК знаменателей дробей;
  2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
  3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
  4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
  5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения 14111 .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

нод чисел 2 3 4

нод чисел 2 3 4 шаг 2

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

14117

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

14118

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

14119

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

141110

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

141111

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

141112

Получили ответ 141113


Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

  1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
  2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, найдём значение выражения  143414 . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

14341424

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от 1224143434 пиццы отрезать 143  пиццы, то получится две четвертых пиццы:

три четверти минус четверть равно две четверти рисунок


Пример 2. Найти значение выражения 142314.

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

14231413

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от 1231313234 пиццы отрезать 1231313231  пиццы, то получится 1231313231 пиццы:

две трети минус треть равно треть рисунок


Пример 3. Найти значение выражения 141373171

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

1413731711

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

14133771127

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

  1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
  2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в  ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, от дроби 1224143434 можно вычесть дробь 143, поскольку у этих дробей  одинаковые знаменатели. А вот от дроби 1231313234 нельзя вычесть дробь 143, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения: 1423114

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям 1231313234 и 143

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

2 на 3 с дополнительным множителем 4

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

1 на 4 с дополнительным множителем 3

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

2 на 3 плюс 1 на 4 степ 3

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

2 на 3 плюс 1 на 4 степ 4

Получили ответ 142314132345

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от 1231313234 пиццы отрезать 143 пиццы, то получится 142314132345 пиццы

две трети минус четверть равно пять двенадцатых

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

14231413234

Приведение дробей 1231313234 и 143 к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби восемь двенадцатых и три двенадцатых. Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

восемь двенадцатых минус три двенадцатых решение в рисунках

Первый рисунок изображает дробь восемь двенадцатых (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь три двенадцатых (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь Пять двенадцатых и описывает эти пять кусочков.


Пример 2. Найти значение выражения 14121

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

14126

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

14127

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

14128

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

14129

Мы пришли  к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

141210

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь 141211, нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

нод чисел 20 и 30 шаг 1

нод чисел 20 и 30 шаг 2

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби 141211 на найденный НОД, то есть на 10

141215

Получили ответ 1231313234


Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Умножить дробь одна вторая на число 1.

Умножим числитель дроби одна вторая на число 1

1 на 2 на 1

Запись 1 на 2 на 1 пример можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если одна вторая пиццы взять 1 раз, то получится одна вторая пиццы

половина пиццы взять один раз

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение 1 на 2 на 1 пример, записать как 1 на 1 на 2, то произведение по прежнему будет равно одна вторая. Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

1 на 1 на 2 решение

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется одна вторая пиццы:

взятие половины от целой пиццы рисунок


Пример 2. Найти значение выражения 2 на 4 на 4

Умножим числитель дроби две четвертых на 4

2 на 4 на 4 решение

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

2 на 4 на 4 решение продолжение

Выражение 2 на 4 на 4 можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если две четвертых пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

взятие двух четвертей 4 раза рисунок

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение 4 на 2 на 4. Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

взятие двух пицц от 4 целых пицц рисунок

Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается сокращать, если они имеют общий делитель, бóльший единицы.

Например, выражение 4 на 3 на 4 пример можно вычислить двумя способами.

Первый способ. Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:

4 на 3 на 4 способ 1

Второй способ. Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби три четвёртых, можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4, поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:

4 на 3 на 4 способ 2

Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:

4 на 3 на 4 способ 2 коротко

Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:

4 на 3 на 4 способ 1 с сокращением

А вот к примеру выражение 7 на 2 на 5 можно вычислить только первым способом — умножить число 7 на числитель дроби две пятых, а знаменатель оставить без изменений:

7 на 2 на 5 решение

Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби две пятых не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.

Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:

2 на 6 на 5 ошибка

Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением 2 на 6 на 5 ошибка строчная картинкаделение выполнено только в числителе, поскольку записать 2 на 6 на 5 ошибка строчная картинка это всё равно, что записать 2 на 6 на 5 ошибка строчная картинка 2. Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.


Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения 14131.

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

14132

Получили ответ 14133. Желательно сократить данную дробь. Дробь 14133 можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

14134

Выражение 1 на 2 умножить на 2 на 3 можно понимать, как взятие две третьих пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

рисунок половина пиццы

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

рисунок половина пиццы разделена на три части

И взять от этих трех кусочков два:

рисунок половина пиццы разделена на три части 2

У нас получится одна третья пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

пицца разделенная на три части рисунок

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

сравнение двух кусочков из трех и одного кусочка из трех

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения 1 на 2 умножить на 2 на 3 равно одна третья

половина умножить на две третьих равно треть рисунок


Пример 2. Найти значение выражения 14141

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

14142

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

14143


Пример 3. Найти значение выражения 14151

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

14152

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

нод чисел 105 и 450

нод чисел 105 и 450 шаг 2

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

14156


Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как  пять первых. От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение  пять первых  означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

14162


Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

пять первых

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь пять первых на саму себя, только перевёрнутую:

14164

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

14165

Значит обратным к числу 5, является число 14166, поскольку при умножении 5 на 14166 получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Примеры:

  • обратным числа 2 является дробь одна вторая
  • обратным  числа 3 является дробь 1231313231
  • обратным числа 4 является дробь 143

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Примеры:


Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

рисунок половина пиццы

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

две четверти пиццы рисунок с надписью

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет одна четвертая пиццы. Значит каждому достанется по одна четвертая пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь одна вторая на число 2. Здесь делимым является дробь одна вторая, а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь одна вторая на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь одна вторая. Значит нужно умножить одна вторая на одна вторая

1 на 2 на 2 решение

Получили ответ одна четвертая. Значит при делении половины на две части получается четверть.

Попробуем понять механизм этого правила. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:

одна целая пицца рисунок

Умножим её на 2. То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:

взятие одной пиццы два раза

Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть разделим две пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:

деление двух пицц на два рисунок

Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь одна вторая

деление двух пицц на два рисунок 2 с умножением

В обоих случаях получился один и тот же результат.

Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить одна вторая на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь одна вторая

половина умножить на половину равно четверть рисунок


Пример 2. Найти значение выражения 1 на 4 на 2

Умножим первую дробь на число, обратное делителю:

1 на 4 на 2 решение

Допустим, имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:

четверть пиццы большой рисунок

Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:

две по одной восьмой рисунок


Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5

10 : 2 = 5

Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь одна вторая

10 на одну вторую равно пять

Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.

Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.

Пример 3. Найти значение выражения 3 на 6 деленная на 6

Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь одна шестая

3 на 6 деленная на 6 решение

Допустим, имелось пиццы:

рисунок половина пиццы разделена на три части

Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков

рисунок три шестых разделенные на две части

Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет одна двенадцатая. Поэтому при делении  на 6 получается одна двенадцатая

три шестых на 6 равно 1 на 12 рисунк


Деление числа на дробь

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 1 на одна вторая.

Чтобы разделить число 1 на одна вторая, нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби одна вторая. А обратная дроби одна вторая это дробь 2 на 1

1 на 1na2 равно 2

Выражение 1 разделить на 1 на 2 можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:

одна целая пицца рисунок

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза

одна целая пицца содержит две половины


Пример 2. Найти значение выражения 2 разделить на 1 на 2

Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь 2 на 1

2 разделить на 1 на 2 решение

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

две целые пиццы большой рисунок

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:

в 2 пиццах четыре половины большой рисунок


Деление дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Например, разделим одна вторая на одна четвертая

Чтобы разделить одна вторая на одна четвертая, нужно одна вторая умножить на дробь, обратную дроби одна четвертая. А обратная дроби одна четвертая это дробь 4 на 1

4 на 1 решение

Допустим, имеется половина пиццы:

4 на 1 решение

Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:

рисунок четверть и четверть


Пример 1. Найти значение выражения  14171

Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:

14172


Пример 2. Найти значение выражения 1418

Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:

14182


Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.

Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 6. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 7. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 8. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 11. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 12. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 13. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 14. Найдите значение выражения:

Решение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже


Добавить комментарий